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Projekt

31.07.2006 – 04.08.2006

Betreuer: Dr. H. Schmidt

von und mit:

Franziska Kaiser

Max Metzger

Martin Steinke

Inhaltsverzeichnis:

Einleitung 4

I: Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit nach Foucault 4

I.I.: Aufbau 4 I.II: Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit 5 I.III: Herleitung der Formel 5 I.IV: Messung 6 I.V: Auswertung 6

II: Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit mit der Phasenmethode 6

II.I: Aufbau 6 II.II: Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit in Luft 7 II.III: Lichtgeschwindigkeit in einem Medium 8 II.IV: Herleitung der Formel 9 II.V: Messungen 9 II.VI: Auswertung 9

III: Lichtreflexion 10

III.I: Aufbau 10 III.II: Herleitung der Formel 10 III.III: Messung 11 III.IV: Auswertung 12

IV. Michelson Interferometer 12

IV.I Aufbau 12 IV.II: Herleitung der Formel 13 IV.III: Messung und Auswertung 13

V. Newtonsche Ringe 13

V.I Grundlagen 13 V.II: Aufbau 14 V.III: Herleitung der Gleichungen 14 V.IV: Graphische Auswertung 15 V.V: Auswertung 16

VI: Dispersion und Winkel minimaler Ablenkung 18

VI.I: Aufbau 18 V.II: Herleitung der Gleichungen 19 V.III: Bestimmung des brechenden Winkels 19 V.IV: Bestimmung des Winkels minimaler Ablenkung 20

VII: Refraktometer 21

VII.I: Grundlagen und Aufbau 21 VII.II: Abbe-Refraktometer 22 VII.III: Auswertung 23

VIII: Fazit 24

VIII.I: Foucaults Methode 24 VIII.II: Phasenmethode 24 VIII.III: Lichtreflexion 24

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VIII.IV: Michelson-Interferometer 24 VIII.V: Newton’sche Ringe 24 VIII.VI: Prisma, Dispersion 24 VIII.VII: Refraktometer 24

IX: Gesamtergebnis 25

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Einleitung

Ziel des einwöchigen Projektpraktikums war es, mit verschieden Methoden die Brechungsindizes verschiedener Stoffe (Gase, Flüssigkeiten und Gläser) mit den dafür geeigneten Verfahren zu bestimmen. Diese Methoden nutzen verschiedene physikalische Zusammenhänge aus, um dies zu bestimmen. Ausgenutzt wurden dabei Gesetze, die diese Zusammenhänge beschreiben, so das bekannteste n1 / n2 = c2 / c1, die Lichtgeschwindigkeit in einem Stoff also umgekehrt proportional zum Quotienten der Brechungsindizes. Daher liegt es nahe, im Rahmen eines Projekts auch die Lichtgeschwindigkeit zu vermessen. Details zu den einzelnen Methoden finden sich dann jeweils in den Einzelbeschreibungen.

I: Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit nach Foucault

Die in dem Experiment verwendete Messmethode ist identisch mit der von Foucault (1819 -1868) durchgeführten Methode aus dem Jahre 1862. Jean Bernard Léon Foucault, der Erfinder des Foucaultsche Pendel, bestimmte in diesem Jahr mit Hilfe der Drehspiegelmethode die Lichtgeschwindigkeit. Seine Messungen ergaben einen schon recht genauen Wert von 298000km/s. Im folgenden Versuch wird die Lichtgeschwindigkeit in Luft über eine minimale Verschiebung des Lichtwegs bestimmt.

I.I.: Aufbau

Abb. 1.1: Schematischer Aufbau

Alle Geräte außer dem Hohlspiegel werden auf einer magnetischen Schiene positioniert um zu verhindern, dass sie verrutschen. Der Strahl des He-Ne-Lasers wird mit Hilfe zweier Lochblenden fokussiert. Es handelt sich hierbei um einen monochromatischen, parallelen Laserstrahl der zuerst auf die Linse L1 gelenkt wird und dann durch die Linse im Punkt s gebündelt wird. Hinter dem Bildpunkt s wird eine 2. Linse (L2) so platziert, dass der Bildpunkt s auf den fixierten Rotorspiegel trifft und von dort aus auf den Holspiegel reflektiert

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wird. Des Weiteren muss der Hohlspiegel derart justiert werden, dass der Laserstrahl wieder auf den Rotorspiegel trifft, und somit zum Beamsplitter gelangt, der den Strahl in das Mikroskop umlenkt, so dass der Brennpunkt der Linse sich genau auf dem Objektiv befindet. Da der Laserstrahl zu stark für die Augen ist, wurden in den Versuchsaufbau noch zwei Polarisationsfilter eingefügt.

I.II: Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit

Fängt der Drehspiegel an zu rotieren, läuft der Laserstrahl nicht auf dem gleichen Weg zurück. Der Reflektionspunkt verschiebt sich auf dem Drehspiegel, da dieser sich in der Zeit des Hin- und Rücklaufs (zum Hohlspiegel u. zurück) schon etwas weiter gedreht hat. Anhand dieser Verschiebung kann die Lichtgeschwindigkeit berechnet werden. Allerdings ist die Verschiebung so gering, dass sie nur durch das Mikroskop beobachtet und gemessen werden kann.

Abb. 1.2: Lichtreflex im Mikroskop

Hier ist sehr schön der Reflex bei laufendem Drehspiegel im Mikroskop zu erkennen.

I.III: Herleitung der Formel

Es gilt für den Abbildungsmaßstab von dünnen Linsen:

'*

sBD

SS

g

bs ∆=

+

∆Α=∆−=∆ (1.1)

Anhand des Versuchaufbaus ergibt sich folgende Gleichung für die Verschiebung des Lichtpunktes (∆S) bei rotierendem Drehspiegel:

∆Θ=∆ DS 2 (1.2) Die Winkelgeschwindigkeit des Rotorspiegels und die Zeit die der Lichtstrahl benötigt um Strecke 2D zu durchlaufen, ergibt den Drehwinkel ∆Θ. Die Gleichung dafür lautet:

cD

ω2=∆Θ

(1.3) Setze Gleichung (1.2) und (1.3) in (1.1) ein und somit ergibt sich für c:

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)('

²4

)(

²4'

BDs

ADc

BDc

ADs

+∆=⇔

+=∆

ωω

(1.4) mit: A - Abstand zwischen Linse 2 und Linse 1 vermindert um die Brennweite von Linse 1 B - Abstand zwischen Linse 2 und dem rotierenden Spiegel D - Abstand zwischen rotierenden Spiegel und dem Hohlspiegel ∆s' - Verschiebung des Bildpunktes im Mikroskop ∆S - Abstand zwischen Auftrefforten des Laserstrahls am Hohlspiegel beim rotierenden Drehspiegel c - Lichtgeschwindigkeit ω - Winkelgeschwindigkeit

I.IV: Messung

Mit dieser Methode zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit in Luft haben wir 10 Messungen durchgeführt, jeweils 5 mit dem im Uhrzeigersinn als auch mit dem gegen den Uhrzeigersinn drehenden Motor, und eine durchschnittliche Lichtgeschwindigkeit von (2,86 ± 0,7)*10

8m/s ermittelt. Somit weicht unser experimentell ermittelte Wert um 4,8% vom Literaturwert (2,998*108m/s) ab.

I.V: Auswertung

Die von uns experimentell ermittelte Lichtgeschwindigkeit in Luft nach dem Versuchsaufbau Foucaults weichen relativ „gering“ vom Literaturwert ab. Der Fehler, den wir mit unserer Fehlerberechnung ermittelt haben, ist allerdings immens und somit kann es ehr als Zufall betrachtet werden, dass unser Wert für die Lichtgeschwindigkeit so nah am Literaturwert liegt. Zum einem könnte die Drehzahl vom Motor erhöht werden. Dies erweißt sich in der Praxis als ziemlich schwierig, da wir einen sehr leistungsstarken Motor hatten, der in sehr hohen Drehzahlbereichen drehte. Des Weiteren könnten wir den Weg, den das Licht vom Drehspiegel zum Hohlspiegel und wieder zurücklegen muss, verlängern. Dies haben wir auch gemacht, indem wir den Weg von 5m auf 10m verdoppelt haben. Allerdings sind wir dabei auf große Schwierigkeiten gestoßen, denn der Lichtstrahl, der auf den Hohlspiegel traf, war kein Punkt mehr, sonder einen Fläche. Um diesen Fehler auszugleichen haben wir unser D derart verkürzt, das der dem Brennpunkt nächste Zustand des Lichtstrahls den Hohlspiegel traf. Dennoch war im Mikroskop kein klarer Punkt zu erkennen, sondern nur lang gezogene Streifen, was es sehr schwierig gestaltete, die genaue Messstrecke ∆s’ zu finden. Große Ungenauigkeit kommt somit aus den großen Lichtpunkten und den lang gezogenen Lichtreflexen. Außerdem hat das Mikroskop gewackelt. Im Großen und Ganzen ist das Experiment zur Ermittlung der Lichtgeschwindigkeit nach dem Aufbau Foucaults historisch und vom experimentellen Anspruch her sehr interessant. Allerdings ist es auch sehr umständlich und zeitaufwendig. Zur dem Projekt kann es insofern nicht viel Beitragen, da es sehr ungenau ist. Man kann allerhöchstens die Lichtgeschwindigkeit von Gasen ermitteln, doch ist es technisch sehr schwierig den Raum nur mit H2 oder S2 zu füllen. Man muss jedoch den Raum mit den Gasen füllen, da für dieses Experiment, gerade die langen Wege durch die zu untersuchenden Gase sehr wichtig sind, um überhaupt ordentliche Resultate erzielen zu können. Daher entfällt für uns jeder praktische Nutzen um mit diesem Aufbau die Brechzahlen von anderen Gasen zu ermitteln.

II: Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit mit der Phasenmethode In dem folgenden Versuch wurde ebenfalls die Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes bestimmt, jedoch nicht nur in Luft, sondern auch für Wasser und Ethanol. Anhand der unterschiedlichen Geschwindigkeiten kann der Brechungsindex der Flüssigkeiten bestimmt werden.

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Es wird ein Lichtstrahl mit der Frequenz von 50MHz von einer Leuchtdiode ausgesendet. Über eine Konstruktion (siehe Abb. 2.1) von 2 Umlenkspiegeln wird der Lichtstrahl reflektiert und so auf eine zweite Photodiode geworfen.

Abb. 2.1: Schematische Anordnung

Die Zeit die das Licht benötigt, um von der einen Photodiode zur anderen zu kommen, wird als Phasenverschiebung der Trägerfrequenz deutlich. Diese Phasenverschiebung macht man sich zu Nutze, um die Lichtgeschwindigkeit zu berechnen. Die beiden Dioden sind an ein Zwei-Phasen-Oszilloskop angeschlossen, auf dem die Phasenverschiebung deutlich zu erkennen ist.

Abb. 2.2: Bilder vom Experimentaufbau

II.II: Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit in Luft

Sobald eine Phasenverschiebung auftritt ist als erstes eine Lissajous-Figur zu erkennen, in unserem Fall eine einfache Ellipse. Zunächst werden mit Hilfe eines Reglers am Oszillographen beide Signale so überlagert, dass die Phasenverschiebung Null ist. Somit war auf dem Oszilloskop nur eine Gerade zusehen.

II.I: Aufbau

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Abb. 2.3: Graphen am Oszilloskop

Nun werden die beiden Umlenkspiegel um eine Strecke ∆x verschoben, so dass sich die Phase um π verschiebt. Die Veränderung des Lichtwegs ist auf dem Oszillographen schön als Lissajous-Figur zu erkennen. Verschiebt man die Spiegel immer weiter (bis π), entsteht wieder eine Gerade, da die beiden Signale nun wieder in Phase sind.

II.III: Lichtgeschwindigkeit in einem Medium

Um die Lichtgeschwindigkeit im Medium zu bestimmen benötigen wir eine lichtdurchlässige, einen Meter lange Küvette, die das zu untersuchende Medium enthält. Der Versuchsaufbau bleibt der Gleiche, nur wird die Küvette in den Strahlengang gebracht. Im Oszillographen werden die Signale so verschoben, dass sie in Phase sind, dass eine Gerade zu sehen ist. Daraufhin wird die Küvette aus dem Strahlengang entfernt und es kommt zu einer Phasenverschiebung. Nun werden die Umlenkspiegel derart Verschoben, dass beide Phasen wieder gleich sind. Die Verschiebung wird gemessen. Aus diesen Messwerten lässt sich der Brechungsindex des Mediums ermitteln.

Abb. 2.4: Schematischer Aufbau und Prinzip

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II.IV: Herleitung der Formel

Da das Licht für eine Strecke l = 2∆x (hin und zurück) eine halbe Periode benötigt, ergibt sich:

xfT

xc ∆=

∆= 4

5,0

2, (2.1)

Zeit für die Ausbreitung in Luft und Medium (erste Messung):

m

m

l

m

c

l

c

llt +

−= 1

1 (2.2)

Zeit für die Ausbreitung in Luft (zweite Messung):

lc

xlt

∆+=

212 (2.3)

Da beide Zeiten gleich sind ergibt sich:

lm

m

l

m

c

xl

c

l

c

ll ∆+=+

− 2 (2.4)

Aus (2.4) ergibt sich:

12

−∆

==mm

l

l

x

c

cn (2.5)

Wobei n für den Brechungsindex des in den Strahlengang eingebrachten Mediums steht.

II.V: Messungen

Mit dieser Methode zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit in Luft haben wir 7 Messungen durchgeführt und eine durchschnittliche Lichtgeschwindigkeit von (2,974 ± 0,01)*108

m/s ermittelt. Somit weicht unser experimentell ermittelte Wert um 0,8% vom Literaturwert (2,998*10

8m/s) ab. Des Weiteren haben wir mit diesem Versuchsaufbau zwei Versuche durchgeführt um die Brechzahlen von Wasser und Ethanol zu experimentell ermitteln. Für Wasser haben wir mit 6 Messungen einen Brechungsindex von 1,352 ± 0,004 ermittelt. Dieser weicht um 1,7% vom Literaturwert (1,33) ab. Für Ethanol haben wir mit 5 Messungen einen Brechungsindex von 1,387 ± 0,005 ermittelt. Dieser weicht um 1,4% vom Literaturwert (1,36) ab.

II.VI: Auswertung

Im Gegensatz zum Aufbau Foucaults ist dieses Experiment eine sehr einfache und schnelle Methode die Lichtgeschwindigkeit experimentell zu bestimmen. Die Messwerte sind wesentlich genauer und kommen mit einem sehr geringen Fehler recht nahe an die Literaturwerte heran. Es hat sich jedoch gezeigt, dass bei diesem Experiment systematische Fehler, hohen Einfluss haben. So haben sich bei uns erst im zweiten Aufbau Werte ergeben, die repräsentativ sind. Das Problem war darin zu finden, dass der Strahlengang nicht richtig eingestellt und somit die Streuung durch die Linsen, die zur Fokussierung dienen sollten sehr groß war.

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Daraus schließen wir auch, dass die Abweichung von 0,025*108 m/s von der ermittelten Lichtgeschwindigkeit zum größten Teil durch einen derartigen Einfluss zustand kommt. Die Standartabweichung ist hinreichend klein um diese Aussage zu stützen. Auch bei der Ermittlung der Brechungsindizes von Ethanol und Wasser tritt dieser Effekt deutlich zu Tage. Die Differenz zwischen den beiden experimentell ermittelten Indizes (0,025) stimmt mit der Differenz zwischen den Literaturwerten (0,02) nahezu überein. Diese Verschiebungsfehler liegen, wie schon bei der Lichtgeschwindigkeit, deutlich außerhalb des Fehlerbereiches der einzelnen Messwerte. Somit zeigt sich, dass die Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit durch Phasendifferenzen eine sehr schöne Methode ist. Weiterhin ist diese Methode geeignet um Brechungsindizes von Flüssigkeiten zu bestimmen. Allerdings ist der Fehler der Methode wohl noch zu groß, um die feinen Unterschiede in den Brechungsindizes von Gasen zu ermitteln.

III: Lichtreflexion

III.I: Aufbau

Von einer Glühlampe ausgesandtes Licht wird parallelisiert und durch einen Polarisationsfilter polarisiert. Es fällt in ein geschlossenes Gehäuse, das das störende Streulicht der Umgebung abhalten soll. In dem Gehäuse ist eine Grenzfläche drehbar gelagert. Durch eine Photodiode wird der Intensitätsverlauf der reflektierten Strahlung in Abhängigkeit des Einfallswinkels aufgenommen. Zur Verbesserung des Versuches wurde die Glühlampe in einer weiteren Messreihe durch einen um seine optische Achse drehbar gelagerten roten Laser ersetzt. Bessere Polarisation und höhere Intensität sollten bessere Messergebnisse ermöglichen.

Abb. 3.1: Schematische Anordnung

III.II: Herleitung der Formel

Licht ist parallel und senkrecht polarisiert. Die Reflexion wird durch die Fresnel’schen Formeln in Abhängigkeit ausgedrückt. Sie lauten:

2

2

)cos(cos

)cos(cos

)coscos(

)coscos(

+

−=

+

−=

βα

βα

βα

βα

n

nR

n

nR

II

II

(3.1)

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Außerdem gilt nach Snellius: n = tan αp (3.2) Die Kurve, die den parallel polarisierten Anteil des Lichtes darstellt, fällt, und verschwindet für einen bestimmten Winkel, den Brewsterwinkel. Fällt Licht in diesem Winkel auf das reflektierende Material, so wird nur senkrecht polarisiertes Licht reflektiert. Nach den Fresnel’schen Formeln ist der Brewsterwinkel Brechzahlabhängig und ermöglicht somit die Berechnung der Brechzahl. Wenn man die Formeln aus (3.1) umstellt erhält man:

Se

II

R

Rn

−

+=

1

1 (3.3)

III.III: Messung

Lichtreflexion

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90

Winkel in Grad

Re

flexio

nsk

oeff

izie

nt

senkrecht polaristiert parallel polarisiert

Abb. 3.2: Messwerte im Diagramm

Die beiden Diagramme zeigen die Reflexionskoeffizienten unserer Messwerte in Abhängigkeit vom Winkel. Der Reflexionskoeffizient gibt an wie viel Licht reflektiert wurde. Die gelbe Linie stellt das parallel polarisierte Licht dar.

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III.IV: Auswertung

Als Brewsterwinkel kommt ein Wert zwischen 50° und 55° in Frage, da der Anteil des parallel polarisierten Lichtes gegen 0 geht. Daher lässt sich mit der Formel (3.2) der Brechungsindex berechnen. Dieser liegt für die Glasscheibe bei n=1,3+0,02. Die Berechnung des Brechungsindexes nach Formel (3.3) ergibt: n=1,27+0,03. Beiden Werte weichen um 2% voneinander ab.

IV. Michelson Interferometer

IV.I Aufbau

Die Methode der Bestimmung des Brechungsindexes mit dem Michelson Interferometer eignet sich für Gase, Flüssigkeiten und Festkörper. Im Folgenden beschränken wir uns jedoch nur auf Gase und Festkörper.

Abb. 3.2: Experimentierplatz zum Versuch

Das Licht eines Laserstrahls trifft durch eine konvexe Linse auf einen Strahlenteiler. Dieser Strahlteiler teilt den Lichtstrahl. Die zwei Teilstrahlen treffen auf die Spiegel und werden von dort zum Strahlteiler zurück reflektiert. Der erste Teil des Lichtes wird um 90° vom Strahlteiler reflektiert, bevor es auf den Spiegel trifft. Der andere Teil geht hindurch durch den Strahlenteiler und trifft dann auf den entsprechenden Spiegel. Wenn sie das zweite Mal auf den Strahlteiler treffen, werden sie von dort zu einem Beobachtungsschirm reflektiert. Durch Variation des Ortes des zweiten Spiegels kann die optische Weglänge verändert werden. Man verändert hierbei den Gangunterschied wodurch ein Interferenzmuster auf dem Beobachtungsschirm entsteht. Im Versuch selber werden zwischen Stahlteiler und beweglichen Spiegel Küvetten mit den entsprechenden Stoffen gebracht. Durch verändern des Drucks wird die Dichte des Mediums geändert. Auch hier durch ändert sich der Gangunterschied, und Interferenzmuster entstehen. Man zählt wie oft Interferenzen auftreten und kann so den Brechungsindex bestimmen.

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IV.II: Herleitung der Formel

Da der Brechungsindex linear vom Druck abhängt, gilt:

pp

npnpn *)0()(

∆

∆+== (4.1)

Wenn sich der Druck in der Küvette ändert, erkennt man im Interferenzbild einen Wechsel zwischen Minimum und Minimum, infolge einer Änderung der optischen Wellenlänge um Nλ. Da das Licht zweimal durch die Küvette läuft, ergibt sich somit folgende Formel:

sppNpNpnppn

2)}()({)()(

λ∆+−=−∆+ (4.2)

s ist hierbei der geometrische Lichtweg in der Küvette. Mit Hilfe des Differenzquotienten erhält man schließlich:

sp

N

p

pnppn

p

n

2

)()( λ

∆

∆−=

∆

−∆+=

∆

∆ (4.3)

IV.III: Messung und Auswertung

Leider ist es uns nicht möglich eine experimentelle Auswertung zu machen, da unser Partner aufgehört hat Physik zu studieren und wir es nicht geschafft haben, sein Versuchsprotokoll zu erhalten.

V. Newtonsche Ringe

V.I Grundlagen

Bei diesem Versuch wurden die Brechungsindezes von Luft und verschiedenen Flüssigkeiten ermittelt. Dabei wurden die Durchmesser der so genannten Newton’schen Ringe vermessen. Die Ringe entstehen als Interferenzmuster zwischen den in Abb. 5.1 beispielhaft dargestellten Lichtstrahlen 1 und 2 (zur Verdeutlichung des Strahlengangs sind sie versetzt gezeichnet). Die Interferenz tritt dabei zwischen dem an der Unterseite der schwach gewölbten Linse (Strahl 1) und dem von der Oberseite der planparallelen Platte darunter (Strahl 2). Dabei passiert der Strahl den Zwischenraum zwischen Linse und Platte. Falls das Medium (ohne Zugabe von Stoffen befindet sich dort Luft) einen größeren Brechungsindex als die Linse haben sollte, fände bei der Reflektion von Strahl 1 an der Linse in dieses Medium ein Phasensprung statt (beim Gangunterschied müssten demnach λ / 2 addiert werden). Der transmittierte Lichtstrahl propagiert durch das Medium und wird teilweise an der Oberfläche der Platte reflektiert wobei hier, falls das Zwischenmedium einen kleineren Brechungsindex als das Material der Platte (hier: Glas), ein Phasensprung stattfindet. Der an der Platte transmittierte Teil des Strahls spielt keine Rolle, da die Unterseite der Platte angeraut ist und er somit auf den weiteren Verlauf des Strahlengangs keinen Einfluss mehr hat. Durch die zweimal durchlaufene Strecke d und den Phasensprung kommt es zur Verschiebung der Phase beider Strahlen 1 und 2, wodurch ein Interferenzmuster mit kreisförmigen Minima und Maxima entsteht. (Die Richtungsänderung durch Brechung des zweiten Strahls bei Durchlauf der Grenze Linse-Zwischenmedium sei hier vernachlässigt, da der Krümmungsradius im Verhältnis zur durchlaufenen Strecke sehr groß ist.) Im Verlauf des Versuchs wurde anstatt der Luft als Zwischenmedium Ethanol und destilliertes Wasser verwendet. Theoretisch könnte man auch andere gasförmige Medien einsetzen, jedoch wäre der Aufwand, die ganze Apparatur in einer gasdichten Kammer zu installieren und anstelle der Luft ein

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anderes Gas zu verwenden, verhältnismäßig hoch, da sich andere Methoden besser zur Bestimmung der Brechindizes von Gasen eignen.

V.II: Aufbau

Als Lichtquelle wurde eine 100-Watt Bogenlampe verwendet, deren Licht mit einem Kondensor (Linsensystem mit kleinen Brennweiten) und einem Astroobjektiv (Brennweite ca. 50 cm) parallelisiert wurde. Mit Hilfe zweier Farbfilter (grün mit λ = 546 nm und orange mit λ = 578 nm) konnte mit monochromatischem Licht gearbeitet werden. Zur Beobachtung diente eine CCD-Kamera, die als Okularersatz agierte. Das parallele Licht wurde mittels eines Strahlteilers auf die Linse und die darunter liegende Platte reflektiert und auf dem Rückweg lief der Lichtstrahl durch den Strahlteiler zur Kamera. Grundlage der Interferenz bei diesem Versuch sind die Gangunterschiede, deshalb hierzu noch einige Erläuterungen. Der Gangunterschied wird nach ∆x = 2n (d + d0) + λ / 2 (5.1) berechnet, wobei n der Brechungsindex des Zwischenmediums, d seine Dicke an der betrachteten Stelle ist, d0 drückt die Deformation des Systems Linse-Platte aus (zum Beispiel durch Staub oder Einbuchtungen der Linse an der Auflagefläche) und λ/2 bezeichnet den Phasensprung (mit λ als Wellenlänge des verwendeten Lichts).

Abb. 5.1: Schematische Anordnung

V.III: Herleitung der Gleichungen

Dieser Gangunterschied bewirkt die Phasenverschiebung

(5.2) δ = 2 π ∆ x / λ = 4 n π (d + d0) / λ + π. Daraus folgen die Gleichungen für die hellen und dunklen Ringe: δhell = 2 k π und δdunkel = (2 k – 1) π. (5.3a, b) Der Parameter k bezeichnet dabei die Nummer des Rings (k = 1 sei der innerste). Setzt man die Gleichungen (5.3a) oder (5.3b) in (5.2) ein, so ergibt sich nach d umgestellt

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dhell = ½ (k – ½) λ / n - d0 und ddunkel = ½ (k – 1) λ / n - d0. (5.4a, b) Wie in Abb. 5.1 veranschaulicht, kann die Linse als Kugelkappe aufgefasst werden und im Dreieck (ABC) kann der Ringradius r mit dem Höhensatz in diesem Dreieck bestimmt werden r2 = d (2 R – d). (5.5) Wegen der Größenverhältnisse (R » d) kann der Term d

2 in den weiteren Berechnungen

vernachlässigt werden, wodurch (5.5) vereinfacht wird zu r2 ≈ 2 R d (5.5a)

und mit Gleichungen (5.4a) und (5.4b) wird d ersetzt (rk sei der Radius des k-ten Rings) rk,dkl

2 = R λ / n (k – 1) – 2 R d0 und rk,hell2 = R λ / n (k – ½) – 2 R d0. (5.6a, b)

Durch Differenzbildung für verschiedene k konnte der Faktor R λ / n bestimmt werden und daraus bei bekanntem λ und n (bei Luft wurde n = 1 gesetzt) wurde der Krümmungsradius der Linse berechnet zu R = 161 mm R λ / n = (rk,2

2 - rk12) / (k2 – k1). (5.7)

Mit Gleichung (5.7) konnten auch die Brechungsindizes der untersuchten Flüssigkeiten Ethanol und destilliertes Wasser berechnet werden.

V.IV: Graphische Auswertung

Alternativ zur Berechnung der Brechungsindizes gibt es die Möglichkeit der graphischen Auswertung. Hierbei wird rk

2 als Funktion der k-Werte aufgetragen und die lineare Regressionsgerade y = a x + b

liefert mit a = R λ / n und b = – 2 R d0 ebenfalls die Werte für n und d0. Der Wert für d0 ist abhängig vom Zwischenraummedium, da etwaige Staubkörner oder Verformungen der Linse durch Flüssigkeiten als Medium verändert werden, so dass der Abstand d0 veränderlich ist. Bei den Messungen wurde für Luft ein Wert von d0,L. = 464 nm berechnet und für Wasser d0,W. = 133 nm. Für Ethanol ergab sich ein Wert von d0,E. = 37 nm. Die Newton’schen Ringe wurden mittels einer Okular-Computerkamera aufgenommen und am Computer die Messwerte für rk vermessen. Aufgrund der Messungenauigkeiten bei der Bestimmung der Durchmesser (bzw. Radien) der Ringe, wobei ein Pixel Abweichung bei der Messung bereits Einfluss auf die vierte Nachkommastelle des Geradenanstiegs hat, was wiederum die Genauigkeit bei der zweiten Nachkommastelle des Brechungsindex beeinträchtigt. Mit Gleichung (5.7) kann nun der Brechungsindex bestimmt werden n = R λ (k2 – k1) / (rk,2

2 - rk12). (5.7a)

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Abb. 5.2: Newton’sche Ringe auf Computerbildschirm

V.V: Auswertung

Mit den Messwerten der Ringradien und ausgesuchten Paaren für k1 und k2 konnten für die Brechungsindizes von Wasser und Ethanol (und Luft, wobei dieser Wert aber für die Berechnung von R mit n = 1 angenommen wurde und somit entfällt) bestimmt werden. Aufgrund der Messungenauigkeiten sind auch die Mittelwerte mit recht großen Abweichungen von Literaturangaben behaftet, was im Rahmen genauerer Messungen noch besser werden könnte. Als Fazit kann man hierbei festhalten, dass die Messungen überaus genau vorgenommen werden müssen um gute Ergebnisse zu erhalten. Dies ist jedoch nicht immer möglich, da durch den Aufbau bereits nicht gewährleistet werden kann, dass die Newton’schen Ringe gleichmäßig sind und somit die Messungen ihrer Radien schwer fehlerfrei durchzuführen sind.

Abb. 5.3: Gesamtaufbau

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Tabelle 1: Brechungsindizes. Brechungs- index n für:

Filter: grün (λ = 546 nm)

Filter: orange (λ = 578 nm)

Literaturwerte (für 20°C, D1)

Wasser 1.36 1.30 1.33 Ethanol (100%) 1.34 1.37 1.36 Tabelle 2: Geradenanstiege

Stoff λ /nm Anstieg

Luft (gr.) 546 ; (or.) 578 0.0882 ; 0.0927 Wasser (gr.) 546 ; (or.) 578 0.0663 ; 0.0714 Ethanol (gr.) 546 ; (or.) 578 0.0665 ; 0.0682

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Abb. 5.2a und 5.2b: Diagramme. Dargestellt sind die Messwerte rk2 als Funktion der k-Werte.

Mittels linearer Regression wurden die dargestellten Geraden bestimmt. Im oberen Diagramm für den grünen Filter, unter für den orange-farbenen. (Zuordnung siehe Legende.)

VI: Dispersion und Winkel minimaler Ablenkung

VI.I: Aufbau

Dieser Versuch soll dazu dienen, grundlegende Einsichten in die optische Spektroskopie und Dispersion zu erlangen und damit die Brechungsindizes für verschiedene Prismen zu bestimmen. Dispersion bezeichnet die unterschiedliche Brechung verschiedener Wellenlängen. Dabei wird derjenige Winkel gesucht, bei dem das Licht symmetrisch durch das Prisma verläuft, bei dem also der Eintrittswinkel gleich dem Austrittswinkel ist (parallel zur Auflagefläche des Prismas). Zur Kalibrierung des Fernrohrs wird dieses vor Versuchsbeginn auf einen weit entfernten Punkt scharf eingestellt (uns diente ein Fensterkreuz am Ende des Labors), so dass bei Betrachten des Spalts im Kollimator ein scharfes Bild entsteht. Dadurch wird die Parallaxe minimiert.

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Abb. 6.1: Schematischer Versuchsaufbau

Abb. 6.2: Schematischer Strahlengang bei Minimalablenkung

VI.II: Herleitung der Gleichungen

Im Falle der minimalen Ablenkung gilt demnach α1 = α2 und β1 = β2 und γ ist in diesem Falle der brechende Winkel. Über Dreiecksbeziehungen lässt sich bestimmen, dass γ = 2 β und δmin = 2 α – γ und somit die Winkel der gebrochenen Strahlen β = γ / 2 und α = (δmin + γ) / 2. Eingesetzt in das Brechungsgesetz ergibt sich

(6.1)

wobei n der relative Brechungsindex vom Prisma und Luft ist.

VI.III: Bestimmung des brechenden Winkels

Im ersten Teil des Versuchs sollte der brechende Winkel des Prismas bestimmt werden. Dazu wurde das Prisma etwa so ausgereichtet, dass der brechende Winkel auf die Öffnung des Kollimators zeigt.

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Abb. 6.3 : Zur Bestimmung des brechenden Winkels

Durch Ablesen der Werte für ϕ1 und ϕ2 kann der brechende Winkel γ = ½ (ϕ1 - ϕ2) berechnet werden. Zusätzlich wurde γ mit einem einfachen Winkelmesser bestimmt. Beim verwendeten Prisma wurden die Winkel so zu γ1 = 65°58’, γ2 = 61°49’ und γ3 = 52°45’ gemessen. Beim zweiten verwendeten Prisma (Siliziumprisma) wurde der für die Messungen verwendete Winkel zu γ = 70° bestimmt (eine Seitenfläche war geschwärzt, so dass nur dieser Winkel genutzt werden konnte).

Abb. 6.4 : Versuchsaufbau

VI.IV: Bestimmung des Winkels minimaler Ablenkung

Um diesen Winkel δmin zu finden, wird der Tisch, auf dem sich das Prisma befindet, langsam gedreht und das austretende Spektrum mit einem Fernrohr beobachtet. Im Fernrohr sieht man dann die Spektrallinien der verwendeten Lampen (Natriumdampf- und Quecksilberdampf-Niederdruck-Lampen). Der Kollimator dient dazu, die Lichtstrahlen zu parallelisieren, so dass das Licht beim Auftreten auf das Prisma möglichst keine Divergenz aufweist. Bei Drehung des Tisches wird der Eintrittswinkel des Lichts solange verändert, bis man im Fernrohr beobachten kann, dass die einzelnen Linien sich bei weiterer Drehung in dieselbe Richtung

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gegenläufig bewegen. Da dieser Winkel für die verschiedenen Wellenlängen unterschiedlich ist, muss für jede Wellenlänge der Winkel minimaler Ablenkung einzeln bestimmt werden. Mit den Messdaten von δmin und γ wurden anschließend die Brechungsindizes (als Funktion der Wellenlänge) bestimmt.

Prisma 1 Farbeindruck λ /nm Winkel n

Na violett 41°15 1,435

γ = 70° blauviolett 41°13 1,439

blau 41°12 1,439

grünblau 40°58 1,437

grün 40°56 1,436

gelbgrün 567,00 40°37 1,434

gelb1 589,00 40°32 1,433

gelb2 589,59 40°31 1,433

rot 615,00 40°29 1,432

Hg violett 404,66 42°02 1,446

γ = 70° blau 435,84 41°28 1,441

blaugrün 491,60 41°08 1,438

hellgrün 546,00 40°50 1,435

gelborange 578,00 40°48 1,435

Für das andere Prisma ergaben sich folgende Brechungsindizes:

Prisma 2 Farbeindruck λ /nm Winkel n

Na blaugrün 55°00 1,598

γ = 65°58 grün 54°33 1,594

grünorange 53°58 1,587

gelb1 589,00 53°40 1,587

gelb2 589,59 53°38 1,587

rot 615,00 53°30 1,586

Hg violett 404,66 57°00 1,614

γ = 65°58 blau 435,84 56°00 1,606

blaugrün 491,60 54°55 1,597

gelb 54°10 1,591

gelborange 578,00 53°45 1,588

Die Werte von Prisma 2 stimmen laut Kohlrausch, Praktische Physik Bd. 3, am ehesten mit der Glassorte F3 (leichtes Flintglas) überein, jedoch sind die Abweichungen im Bereich von bis zu 4%. Prisma 1 solle aus Silizium bestehen, was auch die Messwerte verdeutlichen (Literaturwert für λ = 404,6nm: n = 1,470). Auch hier liegen die Abweichungen im Bereich von 1-3 %.

VII: Refraktometer

VII.I: Grundlagen und Aufbau

Die Refraktometrie ist ein Teilgebiet der Optik welches sich mit der Bestimmung der Brechzahlen verschiedener Stoffe beschäftigt. Darüber hinaus findet die Refraktometrie in verschiedenen Bereichen außerhalb der Physik Verwendung, z.B. in der Chemie und Pharmazie zur Bestimmung von Konzentrationen von gelösten Stoffen und Eiweißen. Die Bestimmung nutzt meist die Totalreflexion von Licht aus. Dabei dient meist ein Prisma oder Glasquader mit bekannter Brechzahl als Träger, auf den die Probe aufgebracht wird. Dabei ist zu beachten, dass die Probe eine kleinere Brechzahl haben muss als der

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Träger wodurch der Lichtweg wie in Abb. 6.1 skizziert verlaufen kann (Brechung von der niedrigeren zur größeren Brechzahl). Am einfachsten kann man sich den Lichtweg umgekehrt vorstellen: Die Lichtstrahlen 1-4 treten durch das Trägerprisma ein und werden gebrochen. Der Auftreffwinkel von Strahl 4 liegt jedoch über dem Grenzwinkel der Totalreflexion, er verlässt das Prisma nicht und wird von der geschwärzten Fläche absorbiert. Der dritte Strahl liegt gerade unter dem Grenzwinkel und tritt an der Kante aus. Durch den tatsächlichen Lichtverlauf (in der Skizze von links nach rechts) kann man zwischen den Strahlen 3 und 4 eine Hell-Dunkel-Grenze beobachten, die dann mit geeigneten Geräten vermessen werden kann (z.B. Fernrohr mit Fadenkreuz). Mit diesem Winkel kann nur bei bekannter Brechzahl des Trägers die Brechzahl der Probe berechnet werden kann.

Abb. 7.1 Prinzip des Abbe-Refraktometer

VII.II: Abbe-Refraktometer

Beim Abbe-Refraktometer wird nach der oben beschriebenen Methode gearbeitet, flüssige Proben werden jedoch zwischen zwei Trägerprismen gebracht und dann vermessen. Zum Ablesen dient jedoch nicht der Winkel sondern eine angebrachte Skala der Brechzahl, sodass die Umrechung eingespart wird. Sollen Festproben untersucht werden, kann notfalls das untere Prisma entfernt werden (es dient sonst der Stabilisierung). Dieses Verfahren wurde vom deutschen Physiker und Optiker Ernst Abbe (1840-1905) entwickelt und wird heute noch fast unverändert genutzt. Da hierbei meist mit Sonnenlicht oder Licht einfacher Lampen gearbeitet wird, müssen noch zusätzlich Farbkompensatoren eingebaut werden, um Dispersionserscheinungen zu minimieren.

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Abb. 7.2 Schematischer Aufbau des Abbe-Refraktometers (mit Lichtgang)

Abb. 7.3 Abbe-Refraktometer

VII.III: Auswertung

Die Auswertung entfällt leider aufgrund fehlender Messwerte.

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VIII: Fazit

Nach Ausführung der Versuche, bei denen wir bei der Auswertung auch die Messwerte hatten, können wir folgendes Fazit ziehen:

VIII.I: Foucaults Methode

Aufgrund des aufwendig zu justierenden Versuchsaufbaus und der trotzdem nur bis 4% Genauigkeit bestimmten Lichtgeschwindigkeit eignet sich dieser Aufbau nur zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit in Gasen. Falls auch andere Gase (außer Luft) genutzt werden sollen, müsste der gesamte Aufbau (mit der gesamten Lichtstrecke) mit diesem Gas gefüllt sein, was einen verhältnismäßig großen Aufwand im Vergleich zur Genauigkeit bedeutete.

VIII.II: Phasenmethode

In diesem Versuch wurde die Lichtgeschwindigkeit in Luft und flüssigen Medien bestimmt, wobei die Genauigkeit unterschiedlich, aber recht gut war. Festzustellen ist allerdings ein großer systematischer Fehler im Aufbau.

VIII.III: Lichtreflexion

Mittels Lichtreflexion wurde der Brechungsindex von Festkörpern festgestellt. Die Genauigkeit liegt in der zweiten Nachkommastelle (mit Abweichungen von bis zu 0,03), welche auch mit den berechneten Werten gut übereinstimmen.

VIII.IV: Michelson-Interferometer

Aufgrund fehlender Messergebnisse (durch Abbruch des Studiums durch den Kommilitonen) muss hier ein Fazit leider entfallen. Aus den Betrachtungen geht jedoch eine recht hohe Genauigkeit bei der Bestimmung der Brechungsindizes von Gasen hervor.

VIII.V: Newton’sche Ringe

Wegen der ungenauen Durchführungsmöglichkeiten und der angenommenen Näherungen ergibt sich maximal eine Genauigkeit in der zweiten Nachkommastelle, was für weitere Berechnungen ungenügend ist. Anwendbar ist das Verfahren im Wesentlichen nur für Flüssigkeiten.

VIII.VI: Prisma, Dispersion

Aufgrund der guten Unterscheidbarkeit einzelner Spektrallinien sollte dieser Versuch gute Messwerte liefern, was allerdings durch die kleinen Änderungen des Winkels und wegen der kleinen Unterschiede zwischen zwei Wellenlängen leichte Ungenauigkeiten hatte. Aufgrund ihrer Genauigkeit eignet sich diese Methode gut zur Bestimmung der Brechungsindizes von Prismen.

VIII.VII: Refraktometer

Aufgrund fehlender Messergebnisse (durch Abbruch des Studiums durch den Kommilitonen) muss hier ein Fazit leider entfallen. Aus den Betrachtungen geht jedoch eine recht hohe Genauigkeit bei der Bestimmung der Brechungsindizes von (ausreichend kleinen) Festkörpern hervor.

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IX: Gesamtergebnis

Nach Betrachtung der einzelnen Fazite (mit Einschränkung der nicht vorhandenen Messergebnisse) kommen wir zu folgendem Ergebnis: Zur Bestimmung der Brechungsindizes von Festkörpern ist die Prismenmethode die geeignetste. Zur Bestimmung der Brechungsindizes von Flüssigkeiten sollte die Refraktormethode gute Genauigkeiten liefern, mit bestimmter Genauigkeit auch die Methode der Newton’schen Ringe. Bei Gasen liefert die Michelson-Methode die besten Ergebnisse. Bei den Methoden zur Bestimmung der Lichtgeschwindigkeit stellte sich ein hoher Aufwand in der Justierung zu einem recht mittelmäßigen Ergebnis in der Genauigkeit.