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Wir bilden Zukunft.
Oh Gott - Mathematik
Alte und neue gelöste und ungelöste Probleme der
Mathematik und wie diese manche Menschen zum
Spielen verführen können
Prof. Dr. Sophie Huck
Wir bilden Zukunft.
• Mathematik in der Antike
• Mathematik im Mittelalter
• Mathematik der frühen Neuzeit
• Mathematik heute
Seite 2 23. März 2012
Wir bilden Zukunft. Mathematik in der Antike
Pythagoras 570 v. Chr – 510 v. Chr
23. März 2012 - 3 -
a
b
c
2 2 2a b c
Wir bilden Zukunft.
Was ist aber nun das geniale an mathematischen
Beweisen?
Kann man zeigen, dass dieses Schachbrett sich nicht
mit Dominosteinen überdecken lässt?
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Wir bilden Zukunft. Mathematik in der Antike
Pythagoras war der erste, der gezeigt hat, dass in
einem rechtwinkeligen Dreieck die Summe der
Kathetenquadrate gleich dem Hypothenusenquadrat
ist.
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a
b
A = (a + b)² = a² + 2ab + b²
und
A = c² + 4∙½∙ab = c² + 2ab
a² + 2ab + b² = c² + 2ab
a² + b² = c²
b
c
Wir bilden Zukunft. Mathematik in der Antike
Euklid ca. 360 v. Chr. – 280 v. Chr.
• erste systematische Darstellung des Mathematikwissens
der Zeit
• Euklidische Geometrie → 2000 Jahre lang Stand der
Forschung
Erstes Lehrbuch der Geometrie
Diophant ca. 300 n. Chr.
• erste systematische Abhandlung zum Thema
Gleichungen
→Diophantische Gleichungen
Erstes Lehrbuch der Zahlentheorie
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Wir bilden Zukunft.
• Mathematik in der Antike
• Mathematik im Mittelalter
• Mathematik der frühen Neuzeit
• Mathematik heute
Seite 7 23. März 2012
Wir bilden Zukunft. Mathematik im Mittelalter
Man rechnete mit römischen Zahlen
I für 1, V für 5, X für 10, L für 50, C für 100, D für
500, M für 1000.
CLV + DCI = DCCLVI oder CLV ∙ DCI = …
155 + 601 = 756 oder 155 ∙ 601= 93155
Auch die Null war unbekannt
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Wir bilden Zukunft. Mathematik im Mittelalter
Fibonacci ca. 1180 – 1241 • Wiederentdeckung der Mathematik für den europäischen
Raum
• Liber abbaci: Theorie des Rechnens, unter Verwendung der
Null
• Fibonaccizahlen:
0,1,
0+1=1,
1 + 1 = 2,
1 + 2 = 3,
2 + 3 = 5,
3 + 5 = 8,
5 + 8 = 13,
8 + 13 = 21,
…
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Wir bilden Zukunft.
• Mathematik in der Antike
• Mathematik im Mittelalter
• Mathematik der frühen Neuzeit
• Mathematik heute
Seite 10 23. März 2012
Wir bilden Zukunft. Mathematik der frühen Neuzeit
Pierre de Fermat ca. 1607 – 1665
• Eigentlich Jurist
→ lateinische Übersetzung von Diophants ersten
Lehrbuch war Anreiz zu neuen Überlegungen
• Fermatscher Zwei-Quardrate-Satz :
4 ∙ 1 + 1 = 5 = 1² + 2²; 4 ∙ 2 + 1 = 13 = 2² + 3² …..
• Großer Fermatscher Satz:
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2 2p a b p 4n 1
n n na b c
Wir bilden Zukunft. Mathematik der frühen Neuzeit
„Es ist unmöglich, einen Kubus in zwei Kuben zu
zerlegen, der ein Biquadrat in zwei Biquadrate,
oder allgemein irgendeine Potenz größer als die
zweite in zwei Potenzen gleichen Grades.
Ich habe hierfür einen wahrhaft wunderbaren
Beweis, doch ist dieser Rand hier zu schmal um
ihn zu fassen“
….
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Wir bilden Zukunft. Mathematik der frühen Neuzeit
also
hat für n > 2 und für a, b, c natürliche Zahlen keine
Lösungen.
hat derartige Lösungen:
3² + 4² = 5² oder 9 + 16 = 25
20² + 21² = 29² oder 400 + 441 = 841
…..
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n n na b c
2 2 2a b c
Wir bilden Zukunft. Mathematik der frühen Neuzeit
Newton 1642 – 1726
• Naturforscher insbesondere Begründer der klassischen
Mechanik
Entwickelte 1666 die Differentialrechnung
Leibnitz 1646 – 1716
• Diplomat, Jurist und Naturforscher
Entwickelte fast zeitgleich ebenfalls die
Differentialrechnung
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Wir bilden Zukunft. Mathematik der frühen Neuzeit
Euler 1707 – 1783
• 866 Veröffentlichungen
• Viele Darstellungen gehen auf ihn
zurück (e, π, i, ∑, f(x) …..)
• 1753 Beweis der Fermatschen
Vermutung für n = 3
• Es reicht aus den Satz für alle
Primzahlen zu beweisen, denn hat man
eine Lösung für den Exponenten n, dann:
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m m m
n n nx y z
Wir bilden Zukunft.
http://www.mathematik.de/ger/information/forschungs
projekte/kramerfermat/kramerfermat.html
Und http://www.rzuser.uni-
heidelberg.de/~ci3/fermat.pdf
oder
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Wir bilden Zukunft.
9 2 4 6 8 5 7 3 1
6 7 1 4 2 3 8 5 9
3 8 5 9 7 1 4 2 6
4 5 7 1 6 8 3 9 2
2 9 3 7 5 4 6 1 8
1 6 8 3 9 2 5 7 4
5 1 9 8 4 7 2 6 3
8 3 2 5 1 6 9 4 7
7 4 6 2 3 9 1 8 5
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3 1
6 2
7
5 1 8
2 6
3 7
4 2
3 5
7
Minimale Sudokus: http://rotor.di.unipi.it/cisterni/Shared%20Documents/minsudoku.html
Wir bilden Zukunft. Mathematik der frühen Neuzeit
Gauß 1777 – 1855
• Konstruktion des regelmäßigen 17ecks
• Methode der kleinsten Quadrate
• Gaußsche Glockenkurve → Dichte der
Standardnormalverteilung
• Fundamentalsatz der Algebra
• Primzahlverteilung
→ Riemannsche Vermutung
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Wir bilden Zukunft. Mathematik der frühen Neuzeit
Poincaré 1854 - 1912
• Legte Grundlagen zu Einsteins Relativitätstheorie
• Begründer der algebraischen Topologie
Poincarevermutung:
Wenn ein dreidimensionaler geschlossener Raum
einfach-zusammenhängend ist, dann ist dieser Raum
topologisch identisch mit der dreidimensionalen Sphäre.
Millenniumproblem
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Wir bilden Zukunft. Mathematik heute
Milleniumprobleme
1. der Beweis der Vermutung von Birch und
Swinnerton-Dyer,
http://www.iwr.uni-heidelberg.de/groups/arith-
geom/boeckle_old_design/LeichteMillion.pdf
2. die Lösung des P-NP-Problems,
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Wir bilden Zukunft. Mathematik heute
3. die Erforschung der Gleichungen von Yang-Mills,
4. der Beweis der Vermutung von Hodge,
5. Analyse von Existenz und Regularität von
Lösungen der dreidimensionalen inkompressiblen
Navier-Stokes-Gleichungen,
23. März 2012
http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Karman_Vortex
_street_ani.gif&filetimestamp=20110329105704 - 21 -
Wir bilden Zukunft. Mathematik heute
5. der Beweis der Poincaré-Vermutung (2002 gelöst
von Grigori Jakowlewitsch Perelman),
Wenn ein dreidimensionaler geschlossener
(randloser) Raum einfach-zusammenhängend („ohne
Löcher“) ist, dann ist dieser Raum topologisch
identisch mit der dreidimensionalen Sphäre. http://www.igt.uni-stuttgart.de/eiserm/popularisation/Poincare-
Vermutung/
6. der Beweis der Riemannschen Vermutung.
http://didaktik.mathematik.hu-berlin.de/files/riemann.pdf
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Wir bilden Zukunft.
Goldbachsche Vermutung:
„Lässt sich jede gerade Zahl als Summe zweier
Primzahlen darstellen?“
2 = 1 + 1, 4 = 1 + 3, 6 = 1 + 5, 8 = 1 + 7 ….
für Zahlen mit bis zu 18 Stellen gezeigt, aber es
existiert kein allgemein gültiger Beweis
Literatur:
www.wikipedia.de
Alle im Text verwendeten Links
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