Parallelmengen mit Vielfachheit und Steiner-Formeln

ROLF SCHNEIDER

P A R A L L E L M E N G E N M I T V I E L F A C H H E I T

U N D S T E I N E R - F O R M E L N

1. EINLEITUNG

Fiir einen konvexen K6rper K (nichtleere, kompakte, konvexe Menge) im n-dimensionalen euklidischen Vektorraum E" und ffir e > 0 ist der Parallel- k6rper K, erkl~irt als die Menge aller Punkte x ~ E", deren euklidischer Abstand r(K, x) von K nicht gr6Ber als e ist. Nach der klassischen Steiner- Formel (Steiner [16], fiir n = 3) driickt sich das Volumen von K, als Polynom h6chstens n-ten Grades in e aus. Die Koeffizienten, die Minkowskischen QuermaBintegrale, spielen in der Theorie der konvexen K6rper eine be- deutende Rolle. Entsprechende Sachverhalte bestehen bereits ' lokal ' . Damit ist folgendes gemeint. Ftir x ~ E"IK bezeichne p(K, x) den zu x n~ichsten Punkt in K und u(K, x) ~ (x - p(K, x))/r(K, x) den von p(K, x) nach x weisenden Einheitsvektor. Fiir eine Borelmenge/3 c E" sei dann

A e ( K , / 3 ) ~ ( x ~ E " :0 < r(K,x) < e und p(K,x) E/3},

und fiir eine Borelmenge w c S --1 (Einheitssphfire des E") sei

B e ( K , w ) ~ { x 6 E ~ : 0 < r(K,x) <<. e und u(K,x)~w}.

Insbesondere ist also A , ( K , E " ) = B~(K, S ~-1) = K, IK. Die Menge A,(K,/3) nennen wir die e-Parallelmenge yon K beziiglich /3; die Menge B,(K, w) ist als die zu w und , geh6rige Biirstenmenge von K bezeichnet worden (Fenchel und Jessen [2, S.28]). Fiir beide Mengen driickt sich das Lebesguesche MaB L,e" als Polynom in e aus: Nach Fenchel und Jessen [2] gilt

(n 1 (I.1) .~"(B,(K, ~o)) = n ,=o *"-' S,(K, w),

wo So(K, .) . . . . . S,_ I(K, .) positive Mal3e aufM(S"-1) (a-Algebra der Borel- mengen in S "-1) sind, die sogenannten Oberflachenfunktionen von K. Nach Federer [1] (mit anderen Bezeichnungen) ist

1 ~=o e"-' C,(K,/3); (1.2) £#"(A,(K,/3)) = n ,=

hier sind Co(K, .) . . . . . C,_I(K, .) MafSe auf M(E") (o-Algebra der Borel- mengen in E"), die Kriimmungsmafle yon K(siehe auch [14]). Ist der Rand yon K eine zweimal stetig differenzierbare, regul/ire Hyperfl/iche, so gilt

(1.3) C~(K,/3) = f H,_I -, dF, /3 ~ ~'(E"), J~ KnB

Geometriae Dedicata 9 (1980) 111-127. 0046-5755/80/0091-0111 $04.20 Copyright © 1980 by D. Reidel Publishing Co., Dordrecht, Holland and Boston, U.S.A.

112 R O L F S C H N E I D E R

und

( 1 . 4 ) S,(K, co) = fo~ R, dA, co e ~ ( S ~- z),

wo Hk (bzw. Rk) die kte normierte elementarsymmetrische Funktion der Hauptkrtimmungen (bzw. der Hauptkrtimmungsradien, aufgefaBt als Funk- tionen des/iuBeren Normaleneinheitsvektors) yon OK ist und dF das Ober- fliichenelement sowie A das sph/irische LebesguemaB bezeichnet. Die lokalen Steiner-Formeln (1.1) und (1.2) liefern also natiirliche Verallgemeinerungen der sonst nur fiir hinreichend glatte K6rper erkliirten Krfimmungs- funktionen.

Naheliegenderweise kann man die beiden Bildungen der Parallel- bzw. Btirstenmenge folgendermaBen zusammenfassen. Wir setzen f~ ~ E ~ x S ~- 1 und bezeichnen mit ,~(f~) die a-Algebra der Borelmengen (beziiglich der Produkttopologie) in f~. Fiir ,j • ~(f~) und e > 0 sei

M , ( K , ~ 7 ) ~ { x • E n : O < r (K ,x ) <<. e und

(p(K, x), u(K, x)) • ~)}.

Dann gilt die lokale Steiner-Formel

= e n - ~ ® t ( K , r/) (1.5) .~e"(M~(K, 7)) n ,=o

mit positiven MaBen ®o(K, .) . . . . . O=_I(K, .) auf ~'(~) (siehe [15]), die wir als die verallgemeinerten Kriimmungsmafle yon K bezeichnen wollen. Speziell ist

(1.6) C,(K, fl) = ®,(K, f l x S"- i), /3 • ~(E"),

(1.7) &(K, co) = ®,(K, E" x w), ¢o • ~ ( S " - 1).

Ziel des Folgenden ist eine Ausdehnung dieser lokalen Parallelmengen- bildung und zugeh6riger Steiner-Formeln auf gewisse nichtkonvexe Mengen. Fiir hinreichend glatte Untermannigfaltigkeiten sind solche Betrachtungen yon Weyl [17], allgemeiner fiir Mengen positiver Reichweite yon Federer [1] durchgefiihrt worden. Die kompakte Menge A c E . heiBt yon positiver Reichweite, wenn eine Zahl p > 0 existiert, so dab fiir alle x • E" mit r(A, x) < p genau ein zu x n~ichster Punkt p(A, x) in A existiert. Ftir solche Mengen k6nnen fiir e < p die Parallelmengen wie oben erklgrt werden. Nicht yon positiver Reichweite sind zum Beispiel die nichtkonvexen Polyeder. Hier wird eine Erkl~irung yon Parallelmengen, die zu Steiner-Formeln fiihren soU, not- wendig Vielfachheiten von Punkten beriicksichtigen miissen. Wir werden also statt der Menge M~(K, 7) ihre Indikatorfunktion c~(K, "1, ") betrachten und versuchen, diese Funktion in geometrisch sinnvoller Weise auch fiir nichtkonvexe Mengen K zu erkl~iren. Dabei beschr/inken wir uns auf die Mengen

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des Konvexringes ~3~; dies sind die Teilmengen des E ~, die sich als endliche Vereinigungen von konvexen K6rpern darstellen lassen. Ob die Betrachtungen auf allgemeinere Mengenklassen ausgedehnt werden k6nnen, bleibt often.

Die auf ~)~ zu erklfirende Funktion c,(., V, x) nennen wir die 'Parallel- mengenfunktion', da c,(A, *1, x) die Vielfachheit angibt, mit der x zur ~- Parallelmenge von A beziiglich V geziihlt werden soil. Dementsprechend sehen wir in dem Integral

~(A, ~) ..~ f e~(A, ~, x) d-W'(x)

die Verallgemeinerung des Parallelmengenvolumens. Die Erkl/irung der Parallelmengenfunktion soil nun so vorgenommen werden, dad eine Steiner- Formel gilt, das heiDt dab ~(A, ~?) sich als Polynom in e ausdrfickt. Eine derartige Fortsetzung der Parallelmengenfunktion yon der Menge der konvexen K6rper auf den Konvexring ist auf mehrere Weisen m6glich. Wir geben im 2. und 3. Abschnitt zwei verschiedene Fortsetzungen an und erlfiutern dort, welcher Gesichtspunkt jeweils im Vordergrund steht.

2 . A D D I T I V E F O R T S E T Z U N G DER P A R A L L E L M E N G E N F U N K T I O N

Zun/ichst noch einige Bezeichnungen. ~ sei die Menge der konvexen K6rper des E ~. Eine auf einer Mengenfamilie definierte Funktion 9 mit Werten in einer abelschen Gruppe heiBt additiv, wenn

q~(K1 tJ K2) + ¢p(K~ n K2) = 9(Kx) + ~o(K2)

gilt, fal ls/(1, /(2, /(1 u / (2 , / (1 n K2 aus dem Definitionsbereich yon ~o sind. Mit X bezeichnen wir die Eulersche Charakteristik auf dem Konvexring .9 =, also die reellwertige additive Funktion mit x(K) = 1 fiir K ¢ ~= und X(~) = 0. Elementare Existenzbeweise findet man bei Hadwiger [8] und Groemer [5].

Ftir eine natfirliche Zahl r sei S(r) die Familie der nichtleeren Teilmengen von {1 . . . . , r}; ffir v~S(r) sei Iv[ := card v (Elementzahl). Sind Mengen /(1 . . . . . K, gegeben, so werde ffir v = {il . . . . . ik} e S(r) stets

K ~ := K , n . . . n K , ~

gesetzt. Mit dieser Bezeichnung gilt ffir eine additive Funktion (p auf ,9" und beliebige K~, . . . , Kr e.9 ~ ffir die Vereinigung K = U~= ~ Ki die Formel

(2.1) ¢p(K) = ~ (-1)l~t-~0(K~), yES(r)

wie man bekanntlich durch ein ¢infaches Induktionsargument zeigt. Seien jetzt V E ~(~)), x ~ E ~ und e > 0 gegeben. Fiir die auf ~ bereits

definierte Parallelmengenfunktion c,(-, v, x) l~iBt sich leicht zeigen, dab sie additiv ist. Naturgem~iB ergibt sich die Frage nach der additiven Fortsetz- barkeit dieser Funktion aufden Konvexring. Gibt es eine solche Fortsetzung,

114 ROLF SCHNEIDER

so iibertr~igt sich die Additivifftt sofort auf die Koeffizienten in der hierftir giiltigen Steiner-Formel. Man erh~ilt damit additive Fortsetzungen der verallgemeinerten KriimmungsmaBe O, auf den Konvexring.

Eine additive Fortsetzung der Parallelmengenfunktion auf den Konvexring soU nun im folgenden explizit angegeben werden. Wit bedienen uns dabei im wesentlichen einer Methode, die ftir die Fortsetzung yon Co in [13] und fiir die QuermaBintegrale in verwandter Form yon Matheron [11, S.118-119] angewendet wurde.

Fiir z ~ E ~ und p > 0 sei B(z, p) ~ E '~ die abgeschlossene Kugel mit Mittel- punkt z und Radius p.

(2.2) DEFINITION. Fiir K E f)~ und q, x e E ~ sei

f l - lira lim x(K n B(x, [Ix - qll - * ) n B(q, 3)),

0""* 0 + 6 ~ 0 +

j (K , q, x) ~ falls q ~ K, 0, falls q q~ K.

Wir nennen die ganze Zahlj(K, q, x) den Index yon K im Punkt q beziiglich x. Ftir konvexe K6rper K gilt offenbar

(2.3) j ( K , q , x ) = f l 0 ' w e n n q =

Die Existenz der Grenzwerte in (2.2) ist leicht zu sehen. In der Tat, sei K = U~'=l K, mit K~ ~ R~, und ftir gegebenes q e K sei o.B.d.A, q ~ K, fiir i = 1 . . . . . m u n d q $ K ~ f t i r i > m, wobei l ~ < m < rgilt. Esgib te in3o > 0 mit K~nB(q, 3 ) = o fiir i E { m + 1 . . . . , r} und 0 < 3 < 30. Ffir festes 3 < 3o besteht fiir alle hinreichend kleinen, > 0 die Ungleichung

K~ n B(x, [ix - q[[ - e) n B(q, 3) :/:

fiir allev ~ S(m) mitj(K~, q, x) = 0. Fiir v ~ S(m) ist n~imlich q ~ K~, und aus j(K~, q, x) = 0 folgt wegen (2.3), dab K~ und damit auch K~ n B(q, 3) einen Punkt enth/ilt, der n/iher bei x liegt als q. Ffir jedes v ~ S(m) gilt also

j(K~, q, x) = 1 - x(K~ n B(x, []x - ql[ - e) n B(q, 3))

und daher wegen der Additivit~t von X

1 - - x ( K n B(x, [ ix - e l l - ~) n B ( q , 3 ) )

= ~ (--1)lvl-Xtl -- x(Kv n B(~f.I[x - q[[ - ,) n B(q, 3))] wS(m)

= E q,x)= q,x). v~S(m) v~S(r)

Die rechte Seite ist unabh~ngig von 8 und 3.

P A R A L L E L M E N G E N MIT V I E L F A C H H E I T U N D S T E I N E R - F O R M E L N l l 5

(2.4) BEHAUPTUNG. Fiir K1, Kz ~ ~)n und q, x ~ E n gilt

j(K~ U K2, q, x) + j(Kx m 1(2, q, x) = j(K~, q, x) + j(K2, q, x);

die Funktion j ( . , q, x) ist also auf O n additiv. Dies folgt unmittelbar aus der Definition (2.2), und zwar trivialerweise,

wenn q ¢ K~ w K2 ist, und wegen der Additivit/it yon x, wenn q ¢ K~ n / ( 2 ist. Im Fall q E K~\K2 (analog im Fall q E K21K~) beachte man, dab f/Jr alle hinreichend kleinen 8 > 0

(K~ u K2) n B(q, ~) = 1(1 c~ B(q, 3) ist.

Fiir K ~ .fin, ~7 ~ ~(f2), e > 0 und x ~ E ~ setzen wir nun

(2.5) c,(K, 7 I, x) ~- ~, j ( K t3 B(x, e), q, x), q~gn\{x)

(q , x -q )~ ;

WO

u

gesetzt ist. Die rechts stehende Summe ist stets endlieh, denn j(K, q, x) # 0 fiir K = U[=l K~ mit K~ E ~" (i = 1 . . . . , r) impliziert wegen (2.4) und (2.1) die Ungleichungj(K~, q, x) # 0, nach (2.3) also q = p(K~, x), ffir ein v ~ S(r).

Ist K konvex, so gilt wegen (2.3) offenbar

( i , w e n n O < r ( K , x ) < < - e u n d (2.6) c,(K, ~7, x) = (p(K, x), u(K, x)) E 7,

sonst.

In diesem Fall ist also c,(K, 7, ") in der Tat, in Ubereinstimmung mit der bereits eingefiihrten Bezeichnung, die Indikatorfunktion der Parallelmenge M,(K, ~7). Andererseits folgt aus (2.4) die Additivit/it der Funktion c,(., r/, x) auf,9 n. Durch (2.5) ist also die gewiJnschte additive Fortsetzung der Parallel- mengenfunktion auf den Konvexring gegeben.

Nun k6nnen wir auch das f/Jr konvexe K6rper K ~ ~n und fiir ~ ~ ~'(~) durch

(2.7) ~ (K , 7) := ~q~"(M,(K, ~7))

gegebene Parallelmengenvolumen ~ ( - , '1) additiv auf den Konvexring fortsetzen. Wegen der Additivit/it yon c~(., ,~, x) gilt nach (2;1) ffir Ke ,9" mit K = U[= 1 K~ und K, z ~n (i = 1 . . . . , r) die Gleichung

(2.8) c~(K, 7, ") = ~ ( - 1) I~j-lc~(K~, 7, "). wS(r)

Da rechts eine endliche Summe integrierbarer Funktionen steht, k6nnen wir

(2.9) ~(K, ~) ~ J~ cAK, ~, x) d~en(x)

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fiir K 6 ~9 ~ und ~ ~ &(f~) definieren. Damit ist ~ ( . , 7) eine additive Funktion auf ~3 ~.

Unter Beriicksichtigung yon (2.7) und (1.5) erhalten wir fiir K = (,,J[=l K~ mit K~ ~ R" (i = 1 . . . . . r)

~(K,~7) = ~. (-1) 'vt- l~(K~,~7) w S ( r )

wsm ~ = o i

= nl~l,=o e = " ( 7 ) v~,, ( - 1)'v'-10'(K~' '/)"

Da die linke Seite nur yon der Menge K und nicht yon ihrer speziellen Darstellung als Vereinigung konvexer K6rper abh/ingt, gilt dasselbe for die Koeffizienten des Polynoms auf der rechten Seite. Daher k6nnen wir

(2.10) ®,(K, 7) ~ ~ ( - 1) '~' -I®,(K~, r/) v¢8(r)

(i = 0 . . . . . n - 1) definieren. Hieraus (oder aus der Additivit~it yon ~ ( . , 7)) folgt die Additivit/it von 0~(., 7) auf ~3~. Wir fassen zusammen:

(2.11) SATZ. Fiir beliebige ~7 6 ~(f~), x ~ En und e > 0 besitzen die au f ~ definierten Funktionen c,( . , ~7, x), ~ ( . , 7) additive Fortsetzungen au f den Konvexring; sie werden explizit gegeben durch (2.5) und (2.9).

Fiir das Parallelvolumen ~ ( . , 7) gilt die Steiner-Formel

= e "-~ ®¢(K, ~7) (2.12) ~(K, 7) n,= o

fiir K ~ 3" und e > O. Dabei sind @o(K, .) . . . . , O,_I(K, .) signierte Mafle auf M(f2), f i ir K E ~ die verallgemeinerten Kriimmungsmafle, und 0,(. , 7) ist au f ~ additiv (i = 0 . . . . . n - 1).

3. NICHTNEGATIVE FORTSETZUNG DER PARALLELMENGENFUNKTION

Bei der im vorigen Abschnitt erzielten Fortsetzung der verallgemeinerten Kriimmungsmage auf den Konvexring stand die Eigenschaft der Additivit~it im Vordergrund. Diese Forderung erscheint als natiJrlich zum Beispiel vom Standpunkt der Integralgeometrie aus (siehe §4, Bemerkung 7). Andererseits wird man yon einer Funktion, die die 'KriJmmung' einer Punktmenge messen soil, weniger Additivitfit als vielmehr Nichtnegativit~it verlangen wollen. Wir fragen daherjetzt nach natiJrlichen Fortsetzungen der verallgemeinerten Kriimmungsmage O~ von S~ ~ auf den Konvexring Oh in Form positiver MaBe. FOr die Federerschen Krtimmungsmage C, sind solche

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Fortsetzungen von Matheron [11 S.119ff] angegeben worden. Wir wollen Matherons Konstruk'tion ausdehnen zu einer positiven Fortsetzung der Maf3e ®~ auf den Konvexring und dabei zugleich die Argumentation in [11 ] in einem Punkt pr~izisieren.

Der Grundgedanke besteht wieder darin, die Parallelmengenfunktion c~(., ~7, x) von S~" auf den Konvexring derart fortzusetzen, da6 eine Steiner- Formel gilt, jedoch soil jetzt die Fortsetzung nichtnegativ sein.

Mit Matheron [11, S.119-120] bezeichnen wir zu K • f)n und x • E ~ einen Punkt q ~ E" als eine Projektion von x in K, wenn q e Kist und eine Umgebung U von q existiert mit ]Ix - y II > fix - qll fiir a l ley ~ U n K mit y ¢ q. Ist K = U~= 1 K~ mit K~ • ~ , so ist q genau dann eine Projektion von x in K, wenn q = p(K~, x) fiir alle i e {1 . . . . . r} mit q ~ K~ gilt. Die Menge ~ (K, x) aller Projektionen von x in K ist also endlich.

Ffir K • ~ , V ~ M(~) und e > 0 setzen wir

(3.1) e , (K , v , x ) :={qe l - I (g , x ) :O< l l x -q l l <<.~ und (q ,x -q)} •~7

und

(3.2) g~(K, ~7, x) := card P¢(K, ~7, x).

Ffir konvexe KSrper K ist offenbar O,(K, 77, x) = c~(K, ~, x). Wir setzen jetzt in Analogie zu (2.9)

(3.3) ~ ( K , ~) .'----rE- O~(K, ~7, x) d£~'~(x)

(die Integrierbarkeit von g~(K, ~, .) folgt sp~iter aus der Gleichung (3.10)). Ffir konvexe K6rper K ist ~ (K, ~) = ~ (K, ~), also ~ (K, r/) ein Polynom in e, dessen Koeffizienten (bis auf konstante Faktoren) die verallgemeinerten Kriimmungsmage @~(K, ~) sind. Wir zeigen, dab ~(K, ~) auch fiir beliebiges K ~ ~" ein Polynom in emi t nichtnegativen Koeffizienten ist. (Der Nachweis der entsprechenden, spezielleren Behauptung bei Matheron [11, S.122, Z.2-3] scheint liickenhaft zu sein, da [11] (4-7-1) wegen des Auftretens der Funktionen F~ ..... ~ nicht angewendet werden kann.) Dazu erkl~iren wir zu gegebenem K e,5 ~, dargestellt in der Form K = g [ = l K~ mit K~ ~ ~ , ffir jedes v ~ S(r) eine Funktion F~ auf E" durch

{~ wennp(K,,x)•K~\K~ffiri~vundj•{1 . . . . . r)\v, F~(x) ~ ' sonst. (3.4)

Dann gilt

(3.5) e~(K, ~, x) = ~ Fv(x)c~(K~, ,7, x). yeS(r)

Zum Beweis sei qeP, (K,v ,x ) und v(q):=(ic{l , . . . ,r}:qEK~}. Aus q • ~[ (K, x) und q • K~ folgt q = p(Ki, x). Fiir i • v(q) gilt also p(Ki, x) • K,<q). Es folgt F,~q)(x) = 1 ; ferner ist q = p(K~q), x) und daher c~(K,~q~, v, x) = 1.


Ist umgekehrt v ~ S(r) und F,(x)c,(K~, 7, x) = 1, dann ist q ~ p(K,, x) P,(K, 71, x) und v = v(q). Die Zuordnung q -+ v(q) ist also eine Bijektion von P,(K, 7, x) auf die Menge der v ~ S(r) mit F~(x)c~(K~, ~7, x) = 1. Daraus folgt (3.5).

Zur passenden Umforrnung yon (3.5) bezeichne N(H, y) ffir H e ~ und y e E" den abgeschlossenen Kegel aller/iuBeren Normalenvektoren an H in y ( 0 , falls y (s OH). Sodann setzen wir fiir v e S(r)

[~ ~- {(y, u)~ f~ : y e K~\K, fiir j e {1 . . . . . r}\v, u ~ O N(Ki, y )} .

Dann gilt

(3.6) F~(x)c,(K~, 7, x) = c,(K~, ~ n ~ , x).

In der Tat ist F~(x)c,(K~, 7, x) = 1 gem~i$ (2.6) und (3.4) genau dann, wenn

0 < r (K~, x) <~ e, (p(K~, x), u(K~, x)) e (3.7)

und

(3.8) p(Ki, x) GK~\K i f f i r i G v u n d j G { 1 . . . . ,r}\v

ist. Unter der Bedingung 0 < r(K~, x) ist (3.8) iiquivalent mit

{ p(K~, x) ~ K~\Kj f i i r j e {1 . . . . . r}\v,

u(K~, x) ~ ('~ N(K,, p(K~, x)),

also mit

(3.9)

und (3.7)

(p(K., x), u(K~, x)) e ~,

und (3.9) zusammen gelten nach (2.6) genau dann, wenn c~(K~, ~7 n [,, x) = 1 ist. Nun bemerken wir noch, dab [, eine Borelmenge ist (g~ ist darstellbar als Differenz yon zwei abgesehlossenen Mengen), und sehlieBen dann aus (3.5) und (3.6) die Gleichung

(3.10) 6,(K, 7, x) = E c,(K~, ~ n [~, x), ws(r )

aus der insbesondere die Integrierbarkeit yon ~(K,-q, .) folgt. Aus (3.10), (2.9) und (1.5) folgt jetzt

~(/(, 7) = ~ ~(Ko, ~ n ~) v~8(r)

(n) Die linke SeRe h/ingt nur yon der Menge K und nicht von ihrer speziellen

PARALLELMENGEN MIT VIELFACHHEIT UND STEINER-FORMELN 119

Darstellung ab; dasselbe gilt daher fiir die Koeffizienten des Polynoms auf der rechten Seite. Wir k6nnen also

(3.11) 0,(K, 7) := ~ ®,(K~, 7 n ~,,) yeS(r)

setzen (i = O, ...,in~+- 1) und haben dann

(3.12) ~ (x , ~) = n , ~ ~"-' ~,(K,,7).

Wir fassen zusammen:

(3.13) SATZ. Fiir 7 e~(f~), x ~ E" und e > 0 besitzt die Parallelmengen- funktion e,(., 7, x) eine Fortsetzung ?~(., 7, x) auf den Konvexring derart, daft fiir das dureh (3.3) definierte Parallelmengenvolumen ~ (K , 7) die Steiner- Formel (3.12) gilt. Dabei sind Oo(K, .) . . . . . O,_~(K, .) positive Marie auf ~(f2), die fiir K ~ ~" mit den verallgemeinerten Kriimmungsmarien iiberein- stimmen.

Wir setzen noch speziell (vgl. (1.6))

(3.14) C,(K, r ) := O,(K, fl x S"-~), /3 ~ ( E " ) ,

und haben hierin (his auf unwesentliche Faktoren) die yon Matheron [11] eingefiihrten Fortsetzungen der KriimmungsmaBe C, auf den Konvexring.

4. BEMERKUNGEN f3BER KR/dMMUNGSMASSE

Dutch die Steiner-Formeln (2.12) und (3.12) werden aufdem Konvexring zwei Serien yon MaBen definiert, die ffir konvexe K6rper mit den verallgemeinerten KriimmungsmaBen zusammenfallen. In diesem Abschnitt stellen wir weitere Ergebnisse und verschiedene Bemerkungen fiber die verallgemeinerten KriimmungsmaBe und ihre Fortsetzungen zusammen.

Zuvor einige weitere Bezeichnungen: Fiir einen konvexen K6rper K 6 ~ sei S(K) die Menge der singuliiren Randpunkte. Bezeichnet ~ - 1 das (n - 1)-dimensionale Hausdorffmai3 im E ~, so gilt bekanntlich

(4.1) ,~/t°'~-I(S(K)) = O.

Fiir die Menge S*(K) der singul~iren Normaleneinheitsvektoren von K gilt entsprechend

(4.2) A(S*(K)) = O.

(Ein Vektor heiBt singul/irer Normalenvektor von K, wenn er/iuBerer Nor- malenvektor an K in zwei verschiedenen Punkten von K ist.) Ein Paar (x, u) e f2 heiBe Stiitzelement von K, wenn x Randpunkt von K und u/iuBerer Normalenvektor an K in x ist. Die Menge ~ (K) aller Stiitzelemente von K ist offenbar eine kompakte Teilmenge von f~.


Auch for die Mengen des Konvexringes erklaren wir s ta tzelemente. Sei K ES) ~ und x ~ 8K. Ein Vektor u ~ S ~-1 heiBe Normalenvektor an K in x, wenn die zu u senkrechte Ebene durch x lokale Stfitzebene an K ist, d.h. wenn far hinreichend kleines ~ > 0 die Menge K n B(x, ~) ganz in dem H a l b r a u m {y e E~: ( y - x, u) ~< 0} liegt. Ein Paar (x, u) e f~ heiBt dann Stiitzelement von K, wenn x R a n d p u n k t von K und u Norma lenvek to r an K in x ist. Die Menge der s ta tze lemente yon K wird wieder mit ~ (K) bezeichnet.

Ein Punkt x ~ K heiBt Punkt lokaler Nichtkonvexitiit fiir K, wenn fiir kein > 0 der Durchschni t t K n B(x, ~) konvex ausf/illt. Die Menge der Punkte

lokaler Nichtkonvexit / i t wird mit lnc K bezeichnet. SchlieBlich bezeichne ~-~ die Projekt ion von E ~ x S ~- 1 auf den /-ten Fak to r

(i = 1, 2). Bemerkung 1. Sei K ~ ~". Fiir i = n - 1 und i = 0 sind die verallgemeiner-

ten Kr i immungsmaBe O~ nichts wesentlich Neues; es gilt n~imlieh

(4.3) ®,_I(K, ~) = ~'°n-1(Trl('~ (K) ~ ~)),

falls d im K ¢ n - 1 ist. Im Fall d im K = n - 1 ist 2

(4.4) O,_ I(K, ~7) = ~ ~ " - l ( z q ( ( K x {u~}) n ~)), t = 1

wo u~, u2 die beiden auf der affinen Hal le von K senkrechten Einheitsvektoren sind. Ferner gilt

(4.5) Oo(K, 7) = A0ra(2 (K) n ~7)).

Wir begnagen uns mit einem Beweis fiir abgeschlossene Mengen 7. Die Ausdehnung auf den Fall ~7 e M(f2) (in dem ~r~(~ (K) n ~7) im allgemeinen keine Borelmenge ist) erfordert nur maBtheoretische Standardschltisse. Sei zun/ichst d im K ~: n - 1. Es gilt

(4.6) M~(K, ~ (K) n ~7) ~ A~(K, ~ ( ~ (K) n ~7))

c M,(K, Y. (K) n ~) u A~(K, S(K)).

Die erste Inklusion ist trivial. Sei x ~ A~(K, ¢r~(~ (K) n r/)), aber x ¢ M~(K, Y ( K ) n 7). D a n n gibt es einerseits einen Vektor u e S ~-~ mit (p(K, x), u) ~ 7, andererseits ist (p(K, x), u(K, x)) ¢ 7, folglich u ~ u(K, x) und daher (da dim K :An - 1 ist) p(K, x) E S(K). Es folgt x ~ A~(K, S(K)). Dies beweist die zweite Inklusion. Aus M~(K, ~) -- M~(K, ~ (K) n v) und (4.6) folgt

~" (M~(K, r/)) ~< ~"(A~(K, ~(~Y (K) n n))

~< ~e"(M,(K, n)) + £-~"(A,(K, S(K)).

Nach Einsetzen yon (1.5) und (1.2) und Division durch ~ ergibt der Grenz- i i b e r g a n g , -+ 0 die Ungleichungen

®,_ ~(K, -q) <~ C._ I(K, ~'~(X (K) n ~/))

~< ®,_~(K, r/) + C,_~(K, S(K)).

P A R A L L E L M E N G E N MIT V I E L F A C H H E I T U N D S T E I N E R = F O R M E L N 121

Aus (4.1) und [14], (3.21) folgt jetzt die Behauptung (4.3). Im Fall dim K = n - 1 ist (4.4) leicht zu beweisen.

Zum Beweis yon (4.5) bemerken wir, daB analog zu (4.6) die Inklusionen

M,(K, E (K) n 7) ~ B~(K, 7r2( E (K) n 7))

c M,(K, ~ (K) n 7) u B,(K, S*(K))

gelten, woraus sich entsprechende Ungleichungen wie oben ergeben. Ein- setzen yon (1.5) und (1.1) liefert durch den Grenzfibergang e --> ~ zusammen mit (4.2) und [14, (4.18)] die Behauptung (4.5).

Bemerkung 2. Ftir K~ ~ sind die MaBe ~ ( M , ( K , .)), ®o(K, .) . . . . . ®~_ I(K, .) auf der Menge ~ (K) der Stiitzelemente yon K konzentriert (siehe [15, (2.8)]). Dies 1/iBt sich in der folgenden Weise auf die Mengen des Konvex- ringes ausdehnen. Sei K~ 8 ~. F/Jr jede Menge 7 e M(Y2) mit 7 n (lnc K x S ~- 1) = ~ gilt

(4.7) ~ (K , 7) = ~ (K, ~ (K) n 7),

also auch ®,(K, 7) = O,(K, ~. (K) n r/) flit i = 0 . . . . . n - 1. Zum Beweis sei V~o~(f2) und 7 n ( l n c K x S "-1) = ~. Setze 7 ' :=

7/5~ (K). Es ist ~ (K , 7') = 0 zu zeigen. Angenommen, ~ (K, 7') ~ 0 fiir ein e > 0. Nach (2.9) und (2.5) muB es dann ein x e E ~ und ein q ~ E"\{x} geben mit ( q , x - q ) e~7' und j ( K n B ( x , e ) , q , x ) ¢ O . Wegen ( q , x - q ) e 7 ist q ¢ lnc K. Ffir ein hinreichend kleines a > 0 ist also K n B(q, a) konvex und j ( K n B(x, e) n B(q, ~), q, x) ~ O, woraus (q, x - q) e ~ (K) folgt, im Wider- spruch zu 7' n ~ (K) = ~. Damit ist (4.7) bewiesen.

Bemerkung 3. Ist V eine Menge yon Stfitzelementen von K, so Mngt ®,(K, 7) nur von 7 ab, genauer: Sei K1,/(2 E 8~ und 7 c 5~ (/(1) n ~ (/(2) eine Borelmenge; dann gilt

(4.8) ~(K~, 7) = ~(K2, 7),

also auch O~(K~, r]) = ®~(K2, 7) ffir i = 0 . . . . , n - 1. Zum Beweis seien x ~ E ~, q ~ E"\{x} Punkte mit (q, x - q) e 7. Wegen c 5~ (/(1) n ~ (/(2) gibt es ein p > 0 derart, dab K, n B(q, p) konvex und

(q, x - q) Stiitzelement von K, n B(q, p) ist (i = 1, 2). Es folgt

j(K~ n B(x, ~), q, x) = j(K~ n B(q, p) n B(x, e), q, x)

f l , wenn [Ix - q[[ ~<

0, wenn I I x - q]l >

= j(K2 n B(x, e), q, x)

und daraus nach (2.5) und (2.9) die Behauptung (4.8). Bemerkung 4. Ffir konvexe K6rper K gibt (4.5) eine Deutung von @o als

MaB des sph/irischen Bildes der Menge der Normalenvektoren aller in enthaltenen Stfitzelemente von K. Wir wollen diese Deutung auf beliebige Elemente K des Konvexringes fibertragen, wobei naturgem/iB das sphfirische


Bild mit passend erkl~irten 'Vielfachheiten' verstanden werden muB; diese sind (in Abhiingigkeit von K) additiv im Fall der Fortsetzung Oo und nichtnegativ im Fall der Fortsetzung 60.

Die angestrebte Deutung von Oo(K, ~) liiBt sich bequem formulieren unter Verwendung des in [13] eingefiihrten Index i(K, q, u). Er kann folgender- maBen erkl~irt werden. Fiir q • E ~, u • S "- 1 und ~ > 0 sei

Hs(q, u) ~ {x • E '~ : (x , u) = (q, u) + e}

gesetzt. Fiir K • R" setzen wir dann in Analogie zu (2.2)

f l - lira lira x(K n H~(q, u) n B(q, 3 ) ) ,

~ 0 + 8--*0+

i(K, q, u) ~ wenn q • K, sonst.

Ist K konvex, so ist i(K, q, u) = 1, wenn q im Durchschnitt von K mit der Stiitzebene an K mit ~iul3erem Normalenvektor u liegt, und i(K, q, u) = 0 sonst. Ist u • S '~-I \S*(K) , so gibt es genau einen Punkt q • K mit (q, u) •

(K), also ist die Funktion

u --~ ~ i ( K , q , u ) ( u • S " - x \ S * ( K ) ) (q ,u )~

die Indikatorfunktion von #2(~ ( K ) n ~7)\S*(K). Aus (4.2) und (4.5) folgt jetzt

(4.9) Oo(K, ~) = f ~ i(K, q, u) dA(u). J S n- 1 (q,u)e11

Da sowohl Oo(K, ~7) als auch i(K, q, u) (siehe [13]) additiv yon K abh~ingen, iibcrtr~igt sich die Gleichung (4.9) sofort auf allgemeine K • ~n. Damit ist die gewiinschte Deutung yon ®o(K, ~) gewonncn.

Urn eine anschauliche Interpretation yon O0(K, ~) als 'Inhalt eines sph~irischen Bildes mit Vielfachhcit' zu gewinnen, gehen wir analog vor wie in §3, wo ~(K, ~7) als' Volumen einer Parallelmenge mit Vielfachheit' erkl~irt wurde.

FiJr K • ~ und u • S ~- ~ bezeichnen wir einen Punkt q • E ~ als einen Gipfel yon K in Richtung u, wenn q • K ist und eine Umgcbung U yon q existiert mit (u, y > < (u, q> fiir alley • U n K mit y # q. Die (offenbar endliche) Menge aller Gipfcl yon K in Richtung u sei mit r(K, u) bezeichnet. Fiir K • R n und u e S~-~\S*(K) gibt es genau einen Gipfcl yon K in Richtung u; er sei mit q(K, u) bezeichnet. Fiiry • E" und u • S"-~\S*(K) ist alsoy = q(K, u) genau dann, wenn i(K, q, u) = I ist.

Fiir K • ~, 7/• M(f2) und u • S ~- ~ setzen wir nun

6(K, rl, u):= ~,, 1. q~P(K,U) (q,u)~rt

Hiermit haben wir fiir ~3o die Darstellung

(4.10) Oo(K, ~) = f 3(K,-q, u) dA(u). Js r t - i

P A R A L L E L M E N G E N M IT V I E L F A C H H E I T U N D S T E I N E R - F O R M E L N 123

Im Spezialfall ~7 = f2 ist dies von Matheron [11, S.123] bewiesen worden. Zum Beweis von (4.10) erkl/iren wir zu gegebenem K ~ 0 ", dargestellt in der

Form K = U~=~ K~ mit K~ ~ ~", fiir jedes v ~ S(r) eine Funk-tion G~ auf S"- ~\S*(K~) durch

(4.11) G~(u) ~ (10 ' wennq(K~,x)~K~\K~fiJrieVundje(1 sonst. . . . . . r}\v

Man beweist dann ffir u e S"-l\Uv~s(,)S*(K~) ganz analog wie in §3 die Gleichungen

g(K, 7, u) = ~ G~(u)E(K~, ~h u) yeS(r)

und

Gv(u)E(K~, ~7, u) = E(Kv, ~ n ~, u).

Da U~s(r) S*(Ko) nach (4.2) eine ;,-Nullmenge ist, folgt nach (4.9) und (3.11)

= ~ Oo(K~, ,7 n ~,) = 0o(K, ,9. v~8(r)

Damit ist (4.10) bewiesen. Bemerkung 5. In sehr allgemeinem Rahmen hat Kuiper [9] (insbesondere

S.85-86) unter Verwendung singularer Homologiegruppen gewisse Kfiim- mungsmaBe definiert. Wie man zeigen kann, stimmt f~ir die Mengen des Konvexringes das MaB Co (vgl. Def. (3.14)) im wesentlichen fiberein mit Kuipers %, und Co ist bis auf einen Faktor Kuipers ~'~:t. FOr Polyeder ver- gleiche man hierzu auch Kfihnel [10, 3. Kapitel]. KrfimmungsmaBe for polyedrische Mannigfaltigkeiten sind ferner betrachtet worden yon Flaherty [4].

Bemerkung 6. Die verallgemeinerten KrfimmungsmafSe O~ gestatten ffir konvexe KOrper eine integralgeometrische Deutung, durch welche die von Firey [3] gefundene integralgeometrische Interpretation der Oberfl~ichenfunktionen und deren in [14, §5] bewiesenes Gegenstiick for die Federerschen Krfimmungsmal3e verallgemeinert werden. Ist K E R", (x, u) e f~ und Eq c E . eine q-dimensionale Ebene, so wollen wir sagen, dal3 E~ den KOrper K in (x, u) beriihrt, wenn x e Eo n K ist und Eq in der Sttitzebene an K mit ~.ul3erem Normalenvektor u liegt. Die integralgeometrische Deutung von O~(K, ~7) besteht nun darin, dab O~(K, 7) als nat(irliches MaB for die Menge aller (n - 1 - i)-dimensionalen Ebenen angesehen werden kann, die K in ~7 (d.h.

S, ~'(K, ~/, u) d~(u) = ~ f E(K~, ~ n ~'~, u) d,~(u) - 1 1.~15S(r) S n - 1

= ~" fs E i(K~,~n~o,u) d~(u) 1)(58(f ' ) n - 1 ( q , g ) 1 5 7 / N ~ p


in einem Element von ~) bertihren. Diese Aussage l~iBt sich folgendermagen pr/izisieren.

Sei 8g die Menge aller q-dimensionalen Ebenen des E", in bekannter Weise als homogener Raum beziiglich der Bewegungsgruppe G, des E" aufgefaBt. Auf d~ gibt es ein, bis auf einen Faktor eindeutig bestimmtes, Haarsches Mag tz~.

Fiir K E ~", ~/c f~ und e > 0 setzen wir

M~(K, ~) ~ {E~ + pu : Eq e ~'~,

E~ beriihrt K in einem (x, u) e ~,

0 < p ~ < 8 } .

Mit anderen Worten, M~(K, ~) enthalt genau die q-dimensionalen Ebenen Eq, fiir deren Abstand r(K, Eq) yon Kdie Ungleichungen 0 < r(K, Eq) <<. e gelten und fiir die es Punkte x e K und y e E q mit [ [y-x] [ = r (K , Ea) und (x, y - x) e V gibt.

Die angekiindigte integralgeometrische Deutung der verallgemeinerten KriimmungsmaBe kommt im folgenden Satz zum Ausdruck.

(4.12) SATZ. Fiir K e R" und ~ ~ ~(~2) ist das Marl t%(M~(K, ~)) definiert, der Grenzwert

lim I t~q(M~(K ' ~/)) ~ fi~(K, e) ~ 0 + e

existiert, und es gilt

#q(K, n) = cn.q®,~_~_~(K, n),

wo der Faktor c~,~ nur yon der Normierung des Haarschen Mafles t% abhiingt (q = 0 . . . . . n - 1).

Den Beweis wollen wir hier nicht wiedergeben, da er sich durch nahelie- gende Modifikation desjenigen ergibt, der ffir den Spezialfall der Federerschen Kriimmungsmaf~e in [14, §5] durchgefiihrt wurde.

Bemerkung 7. Ffir die KrtimmungsmaBe C~ gelten nach Federer [1] (siehe auch Schneider [14]) integralgeometrische Formeln, die als 'Lokalisierungen' der kinematischen Hauptformeln und der Croftonschen Schnittformeln angesehen werden k6nnen: Bezeichnet/~ ein Haarsches MaB auf tier Bewe- gungsgruppe G, des E", so gilt ffir K, K' E ~,/3,/3' ~ ~(E~), i ~ {0 . . . . . n} die Gleichung

(4.13) f C,(K n gX',/3 n g/3') dt~(g) = ~ a,kjCk(K, fl)Cj(K',/3') do n k + j = n + ¢ ~

mit gewissen Konstanten anky (ftir deren Werte auf [1 ] verwiesen sei). Ferner

P A R A L L E L M E N G E N MIT V I E L F A C H H E I T U N D S T E I N E R - F O R M E L N 125

gilt fiir K ~ ~",/3 ~ ~'(E"), q, i ~ {0 . . . . . n} und mit ¢~,/zq wie in Bemerkung 6 die Gleichung

(4.14) f C,(K n Ea, fl) dt%(Eq) = b,a,C,_q +,(K, I3) de

mit Konstanten b,~. Nachdem wir nun in §2 mit den verallgemeinerten KrfimmungsmaBen wegen (1.6) speziell auch die KrfimmungsmaBe C~ additiv auf den Konvexring fortgesetzt haben, k6nnen wit die Gleichungen (4.13), (4.14) allgemein ffir K, K' ~3" aussprechen. Da die Mengen des Konvex- ringes i.a. nicht von positiver Reichweite sind, ist dieses Resultat nicht in demjenigen yon Federer enthalten. Der Beweis der verallgemeinerten Formeln ergibt sich sofort, indem man erst K und dann K' als endliche Vereinigung von konvexen K6rpern darstellt und (2.10) (mit (1.6)) sowie die Gfiltigkeit von (4.13) und (4.14) fiir konvexe K6rper benutzt.

Bemerkung 8. Die M6glichkeit einer additiven Fortsetzung der (verallgemeinerten) Kriimmungsmal3e auf den Konvexring, die aufgrund der vorstehenden Bemerkung von besonderem Interesse ist, Mtte man (unter Beachtung tier aus [15, (2.2)] folgenden Stetigkeitseigenschaft der MaBe 6)~) auch aus einem allgemeinen Fortsetzungssatz von Groemer [7] folgern k6n- nen. Wir haben uns jedoch nicht auf diese allgemeine Existenzaussage beru- fen, da die in §2 gegebene explizite Konstruktion den Vorteil hat, daB sie einerseits die geometrische Bedeutung der fortgesetzten KriimmungsmaBe hervorkehrt, andererseits verschiedene anschlieBende Folgerungen (u.a. in §3) erm6glicht.

Bemerkung 9. W~hrend es ffir die verallgemeinerten KriimmungsmaBe O~ keine allgemeingiiltigen integralgeometrischen Formeln vom Typ (4.13), (4.14) zu geben scheint (auBer im Fall i = n - 1), sind solche Formeln fiir konvexe K6rper bekannt ffir die Oberfl~ichenfunktionen S~, zum Tell sogar allgemeiner fiir gemischte Oberfl~chenfunktionen (siehe [12, Gleichungen (4.2), (4.3), (6.2)]). Es fragt sich, ob sich der Giiltigkeitsbereich dieser Glei- chungen fiber die Menge der konvexen K6rper hinaus ausdehnen l~iBt. Das ist in der Tat der Fall. Allerdings mfissen zuvor neben den Oberfl~ichenfunktionen auch die in jenen Formeln auftretenden Operationen der Minkowski- Addition und der Projektion geeignet fortgesetzt werden. Der natiirliche Rahmen fiir eine solche Fortsetzung scheint der von Groemer [6] eingefiihrte reelle Vektorraum ~ zu sein, der von den Indikatorfunktionen der konvexen K6rper des E" erzeugt wird. In ~," sind insbesondere die Indikatorfunktionen der Elemente des Konvexringes 9" enthalten. Bezeichnet K* die Indikator- funktion der Menge K c E", so kann man fiir Kz, K2 ~ ~

X* x K* :--(K1 × K2)*

definieren, wo K~ x K2 die Minkowskische Summe von K~ und K2 bezeichnet, und dann, wie Groemer [6], [7] gezeigt hat, × in eindeutiger Weise zu einer

126 ROLF SCHNEIDER

bilinearen Abbildung von ~ " O ~" in ~" fortsetzen. Mit dieser 'Min- kowskischen Addition' als Multiplikation und der gewShnlichen Addition von Funktionen und Multiplikation mit rellen Zahlen wird ~" eine kom- mutative Algebra. Wie ferner in [6] gezeigt, gibt es zu jeder affinen Abbildung A: E"---~ E" eine eindeutig bestimmte lineare Abbildung a: ~"--~ ~9" mit a(K*) = (AK)* fiir aUe K ~ R". Sodann lassen sich die gemischten Volumina konvexer K6rper zu multilinearen Abbildungen fiber ~" fortsetzen. Letztere Tatsache (oder der allgemeine Fortsetzungssatz in [7]) erlaubt es nun, auch die gemischten Oberflachenfunktionen in konsistenter Weise fiir die Elemente von ~9" zu erkl/iren. Sodann kann unter Verwendung der Linearit~itseigen- schaften der Giiltigkeitsbereich der integralgeometrischen Formeln (4.2), (4.3), (6.2) in [12] entsprechend ausgedehnt werden.

Bemerkung 10. Im Zusammenhang mit dem Vorstehenden soil noch er- wS.hnt werden, daB die in §2 grundlegende Funktion c,(K, ~7, ") fiir den Spezialfall V = f2 bereits bei Groemer [6] auftritt, allerdings mit einer unter- schiedlichen Definition. Sei K~.9" und f die Indikatorfunktion von K. Groemer [6, §10] definiert dann ffir e > 0 die 'parallel function' vonfdurch f~ ~ f x (e o B*) (ftir die Bedeutung der Bezeichnungen sei auf [6] verwiesen). Wir zeigen

f , = c,(K, t), .).

Zum Beweis sei K = I,.J~'=l K~ mit K~ c R~. Dann ist

f = K * = ~ ( - 1 ) ' ~ ' - I g *, wS(r)

und wegen der Bilinearit/it der Minkowskischen Addition folgt

f , = f x ( 8 o B * ) = ~ (-1) 'vl- l [K * × (eoB*)] yeS(r)

= ~ (-1)'~1-1(K,, × eB)* wS(r)

= ~ (-1) lv l - lc , (Kv, f2, .) yeS(r)

= c,(K, f~, .)

nach (2.8). Dabei wurde benutzt, dab c,(K,, f~, .) nach (2.6) die Indikator- funktion des ParallelkSrpers (K,), = K, x eB ist.

B I B L I O G R A P H I E

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PARALLELMENGEN MIT VIELFACHHEIT UND STEINER-FORMELN 127

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Anschrif t des Verfassers :

R o l f Schneider , Mathemat i sches Ins t i tu t der Universit / i t ,

Alber ts t r . 23b, D-7800 Freiburg, Bundesrepubl ik Deutsch land

(Eingegangen am 7. Januar 1978)

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Parallelmengen mit Vielfachheit und Steiner-Formeln