Parameterschätzung in Lévy-Zinsstrukturmodellenauf der Basis von empirischen Korrelationen

Diplomarbeitbei Prof. Dr. Ernst Eberlein

Institut für mathematische StochastikAlbert-Ludwigs-Universität Freiburg i. Brsg.

vorgelegt vonMaximilian Beinhofer

April 2009

1 EinleitungDie finanzmathematischen Modelle, mit denen Kursentwicklungen von festver-zinslichen Wertpapieren beschrieben werden, sind im Laufe der Zeit immer wie-der verändert und verbessert worden. In den traditionellen Modellen wird dieZinsstrukturkurve in Abhängigkeit von der Short-Rate modelliert. Modelle die-ser Art sind zum Beispiel das in [24] eingeführte Vasicek-Modell aus dem Jahr1977 und das Cox-Ingersoll-Ross-Modell von 1985 (siehe dazu [5]). Diese Mo-delle haben den Nachteil, dass die (empirisch beobachtbaren) Startwerte für dieBondpreise vom Modell nicht exakt wiedergegeben werden können. Siehe dazuBrigo und Mercurio [3].

1992 führten D. Heath, R.A. Jarrow und A. Morton in [17] ein Modell ein,bei dem dieses Problem nicht auftritt, im Weiteren als HJM-Modell bezeichnet.Im HJM-Modell wird die Zinsstrukturkurve in Abhängigkeit von den Forward-Raten modelliert. Wie bei vielen anderen finanzmathematischen Anwendungenwird als treibender Prozess eine Brownsche Bewegung verwendet. Da sie nur vonzwei Parametern abhängen, sind Brownsche Bewegungen (mit Drift) einfach inder Handhabung aber auch relativ starr.

Ein flexibleres Modell entwickelten E. Eberlein und S. Raible in [16] 1999.Im sogenannten Lévy-Forward-Rate-Modell wird der treibende Prozess allge-mein als Lévy-Prozess gewählt. Mit der Brownschen Bewegung als treibendemLévy-Prozess ergibt sich das HJM-Modell als Spezialfall des Lévy-Forward-Rate-Modells. Die Möglichkeit, auch andere Lévy-Prozesse zu verwenden, machtdas Lévy-Forward-Rate-Modell jedoch deutlich flexibler.

2007 wurde von E. Eberlein und A. Janssen in [10] eine explizite Formelbestimmt, welche die Korrelationen zwischen Bondpreisen im Lévy-Forward-Rate-Modell angibt. Diese Formel werden wir im Weiteren benutzen, um dieParameter des Lévy-Prozesses im Lévy-Forward-Rate-Modell anhand empiri-scher Korrelationen zu schätzen.

Homogene und inhomogene Lévy-Prozesse werden in Kapitel 2 näher erläu-tert. In Kapitel 3 wird das Lévy-Forward-Rate-Modell vorgestellt. Als treibendeProzesse für dieses Modell können homogene und inhomogene Lévy-Prozessefungieren. Im Weiteren sind mit der Bezeichnung Lévy-Prozess stets homogeneLévy-Prozesse gemeint.

In Kapitel 4 werden die im Modell verwendeten Volatilitätsstrukturen dar-gelegt und es wird die Klasse von Verteilungen beschrieben, die wir verwenden,um Lévy-Prozesse zu erzeugen. Diese sogenannten verallgemeinerten hyperboli-schen Verteilungen werden durch fünf Parameter bestimmt, die aus empirischenBondpreiskorrelationen geschätzt werden können.

Ein Verfahren, mit dem die Parameter aus empirischen Korrelationen zwi-schen historischen Bondpreisen geschätzt werden, wird in Kapitel 5 eingeführt.Zudem wird in diesem Kapitel eine Methode erläutert, mit der die Parameterüber Log-Returns geschätzt werden können.

Kapitel 6 enthält Details zum Datensatz, den wir bei der Implementierungverwenden. In Kapitel 7 werden die Ergebnisse der Schätzungen präsentiert.

1

Die Log-Return-Methode wird benutzt, um Vergleichswerte für die Ergebnisseder Schätzung über die Korrelationen zu erzeugen. Es zeigt sich zum einen, dassdas HJM-Modell nicht flexibel genug ist, um Korrelationen zwischen Bondprei-sen realistisch wiederzugeben. Zum anderen ergibt sich, dass über Korrelationeneingestellte Modelle realistische Korrelationen aber unrealistische Zuwachsdich-ten für den treibenden Prozess liefern. Über Log-Returns eingestellte Modelledagegen erzeugen realistische Dichten, aber unrealistische Bondpreiskorrelatio-nen.

2

DanksagungIch danke Prof. Dr. Ernst Eberlein für die kompetente und motivierende Be-treuung. Für die anregenden Diskussionen danke ich Timo Vollmer und ErnstAugust von Hammerstein, der bei Fragen zur Implementierung immer Rat wuss-te. Außerdem danke ich Dr. Katharina Hauer für ihre Unterstützung in allenLebenslagen und meinen Eltern für die Ermöglichung meines Studiums. DerDeutschen Bundesbank, insbesondere Dr. Sandra Haasis und Daniel Kaiser,danke ich für die Bereitstellung des Datensatzes.

3

Inhaltsverzeichnis1 Einleitung 1

2 Lévy-Prozesse 7

3 Lévy-Zinsstrukturmodelle 113.1 Das Lévy-Forward-Rate-Modell unter dem physikalischen Maß . 113.2 Das Lévy-Forward-Rate-Modell unter dem risikoneutralen Maß . 123.3 Weitere Lévy-Zinsstrukturmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4 Annahmen über Verteilung und Volatilität 154.1 Verallgemeinerte hyperbolische Verteilungen . . . . . . . . . . . . 154.2 Volatilitätsstrukturen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

5 Parameterschätzung 195.1 Schätzung der Korrelationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195.2 Schätzung der Parameter aus Korrelationen . . . . . . . . . . . . 235.3 Schätzung der Parameter aus Log-Returns . . . . . . . . . . . . . 265.4 Kombination der Schätzmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

6 Datensatz und Svensson-Methode 31

7 Ergebnisse 337.1 Empirische Resultate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337.2 Simulationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

8 Zusammenfassung 41

A Details zur Implementierung 43

5

2 Lévy-ProzesseLévy-Zinsstrukturmodelle, wie sie in Kapitel 3 beschriebenen sind, werden stetsvon Lévy-Prozessen oder inhomogenen Lévy-Prozessen angetrieben. Lévy-Pro-zesse können wie folgt definiert werden: Sei (Ω,F ,F,P) eine vollständige sto-chastische Basis, wobei F = (Ft)t∈[0,T ∗] den üblichen Bedingungen genüge.T ∗ > 0 sei ein endlicher Zeithorizont und F = FT ∗ .

Definition 1. Ein eindimensionaler Lévy-Prozess L ist ein reeller stochasti-scher Prozess mit L0 = 0 P-fast sicher, der an F adaptiert ist und folgendeEigenschaften erfüllt:L hat unabhängige Zuwächse, d.h. Lt − Ls ist stochastisch unabhängig von Fsfür s ≤ t,L hat stationäre Zuwächse, d.h. Lt − Ls ist verteilt wie Lt−s für s ≤ t, undL ist stochastisch stetig, d.h. ∀ ε > 0 gilt limh→0 P[|Lt+h − Lt| ≥ ε] = 0.

Zur Definition von Lévy-Prozessen siehe auch Protter [21], Kapitel I.4. Je-der Lévy-Prozess L besitzt eine eindeutige càdlàg-Version, die selbst ein Lévy-Prozess ist (siehe [21], Theorem 30). Im Weitern können wir deshalb stets an-nehmen, dass L càdlàg ist. Ein bekanntes Beispiel für Lévy-Prozesse ist dieBrownsche Bewegung.

Um die Charakteristik von L analog zu Jacod und Shiryaev [18] einführenzu können, ist es nötig, dass jeder Lévy-Prozess ein Semimartingal ist. Dies folgtaus Theorem 40 in [21]. Aus der Unabhängigkeit und der Stationarität der Zu-wächse folgt die unbegrenzte Teilbarkeit der Verteilung jedes Lévy-Prozesses.Umgekehrt gilt auch, dass man mit jeder unbegrenzt teilbaren Verteilung Feinen Lévy-Prozess L erzeugen kann, indem man L1 ∼ F setzt (siehe Cont undTankov [4] Proposition 3.1). Auf diese Weise werden die im Weiteren betrach-teten Lévy-Prozesse spezifiziert (siehe Kapitel 4.1).

Jede unbegrenzt teilbare Verteilung ist über die Lévy-Khinchine-Formeldurch ein Tripel (b(h), c, F ) und eine zugehörige Abschneidefunktion h eindeu-tig festgelegt, wie in [4] beschrieben. Somit kann auch jeder Lévy-Prozess durchein solches Tripel bezüglich einer Abschneidefunktion eindeutig (bis auf Versio-nen) charakterisiert werden. Die charakteristische Funktion des Lévy-ProzessesL zum Zeitpunkt t zum Tripel (b(h), c, F ) der zugrunde liegenden Verteilunghat die Gestalt (siehe [21], Theorem 43)

E[eiuLt ] = exp(iutb(h)− 1

2u2tc+

∫Rt(eiux − 1− iuh(x))F (dx)

). (1)

Dabei sind b(h) ∈ R und c ∈ R+. F ist ein Maß auf R, das (x2 ∧ 1) integriertund F (0) = 0 erfüllt. h wird in der Regel durch h(x) = x1|x|≤a für ein aaus R+ definiert. Verschiedene Werte von a können in Gleichung (1) durch eineentsprechende Anpassung von b ausgeglichen werden. Der kanonische Wert füra ist 1. Die Abscheidefunktion h wird für die Wohldefiniertheit des Integrals inAusdruck (1) benötigt, da iux bezüglich F im Allgemeinen nicht integrierbarist.

7

t geht in die charakteristische Funktion nur als linearer Vorfaktor von b(h),c und F ein. Das Tripel (tb(h), tc, tF ) wird als Charakteristik von Lt bezüglich hbezeichnet. Charakteristiken (B(h), C, ν) sind für alle Semimartingale definiert(siehe Jacod und Shiriaev [18], Kapitel II, Definition 2.6). Dabei dürfen B(h)und C allgemein stochastische Prozesse mit gewissen Eigenschaften und ν einzufälliges Maß sein.

Um die in Abschnitt 5.2 benötigte Korrelationsformel aus Eberlein undJanssen [10] benutzen zu können, müssen wir noch eine Annahme über dentreibenden Lévy-Prozess treffen.

Annahme (EM). Es existieren Konstanten M, ε > 0, sodass∫|x|>1

exp(ux)F (dx) <∞

für alle u ∈ [−(1 + ε)M, (1 + ε)M ].

Die im Weiteren betrachteten von verallgemeinerten hyperbolischen Vertei-lungen erzeugten Lévy-Prozesse erfüllen diese Annahme. Sie ist äquivalent zuE[euLt ] < ∞ für u wie oben und t ∈ [0, T ∗]. Beweise zu dieser Äquivalenz undden im Weiteren aufgeführten Folgerungen aus (EM) finden sich bei Kluge [20].

Aus Annahme (EM) folgt, dass E[Lt] < ∞ für alle t ∈ [0, T ∗] und dass dieAbschneidefunktion h durch die Identität ersetzt werden kann. Im Weiteren seib := b(id). Außerdem vereinfacht sich die kanonische Zerlegung von L (siehe [21],Theorem 42) zu

Lt = tb+√cWt +

∫ t0

∫Rx(µ− ν)(ds, dx), (2)

wobei W eine Standard Brownsche Bewegung und µ das Sprungmaß von L mitKompensator ν(ds, dx) = F (dx)ds ist. Das Sprungmaß µ ist definiert durch

µ(ω; dt, dx) :=∑s>0

1∆Ls 6=0ε(s,∆Ls(ω))(dt, dx).

µ ist also ein Zufallsmaß, das auf all die Punkte (s, x) aus R+×R eine Punktmas-se legt, für die Ls(ω) einen Sprung der Höhe x macht. ν wird als Kompensatorvon µ bezeichnet, da ν(t, A) = E[µ(·, [0, t] × A)] (siehe dazu Eberlein [7]). DieSubtraktion von ν kompensiert also die erwarteten Sprunghöhen im Integral inGleichung (2) und macht es somit zu einem Martingal. Darstellung (2) zeigt,dass man Lt in seine Drift, seinen stetigen Martingalanteil und seinen kompen-sierten Sprunganteil zerlegen kann. Daraus folgt

E[Lt] = tb. (3)

Außerdem ist L unter (EM) ein spezielles Semimartingal. Gleichung (2) gibtseine kanonische Darstellung an. Mit (EM) lässt sich auch die Kumulante θohne Abschneidefunktion für u ∈ [−(1 + ε)M, (1 + ε)M ] definieren als

θ(u) := ub+ 12u2c+

∫R

(eux − 1− ux)F (dx). (4)

8

θ enthält mit b, c und F alle Informationen über den zugehörigen Lévy-ProzessL und ist, wie in Kapitel 5.2 beschrieben, das Verbindungsstück zwischen denbetrachteten Bondpreiskorrelationen und dem treibenden Lévy-Prozess.

Inhomogene Lévy-Prozesse sind eine Verallgemeinerung der Lévy-Prozesse.Sie werden auch PIIAC (processes with independet increments and absolutelycontinuous characteristics) genannt. Ihre Charakteristik darf t auf andere alsnur auf lineare Weise einbeziehen. Sie hat die Form (

∫ t0 bsds,

∫ t0 csds, F

t). Dabeisind b : R+ → R und c : R+ → R+ deterministische Funktionen. F t ist definiertdurch F t(dx) =

∫ t0 Fs(dx)ds. Dabei ist s 7→ Fs eine Abbildung von R+ in die

Menge der Maße auf R, die (x2 ∧ 1) integrieren und bezüglich derer 0 eineNullmenge ist. Anschaulich bedeutet das, dass sich die dem Prozess zugrundeliegende unbegrenzt teilbare Verteilung im Laufe der Zeit verändern darf. Auchdie inhomogenen Lévy-Prozesse eignen sich als Treiber für das im nächstenKapitel vorgestellte Lévy-Forward-Rate-Modell. In diesem Fall kann das Modelljedoch nicht über empirische Korrelationen kalibriert werden (siehe Kapitel 5.1).Deshalb werden inhomogene Lévy-Prozesse im Weiteren außer Acht gelassen.

9

3 Lévy-ZinsstrukturmodelleZinsstrukturmodelle werden in der Regel dazu verwendet, Preise von Deriva-ten zu bestimmen. Diese Preise ergeben sich als risikoneutrale Erwartung derdiskontierten Auszahlung des Derivats. Für die Derivatpreisbestimmung mussden Modellen also ein risikoneutrales Maß zugrunde liegen (siehe Eberlein undKluge [12], Abschnitt 3). Für die Berechnung des Value at Risk, einer Kenn-größe für das einer Anleihe innewohnende reale Risiko, benötigt man allerdingsein Modell, dem das Wahrscheinlichkeitsmaß der realen Welt zugrunde liegt.Dieses Maß spiegelt die Realität möglichst genau wieder und wird im Weiterenals physikalisches Maß bezeichnet.

3.1 Das Lévy-Forward-Rate-Modell unter dem physikalischenMaß

Das Lévy-Forward-Rate-Modell wurde von E. Eberlein und S. Raible in [16]eingeführt und von E. Eberlein und F. Özkan in [13] weiterentwickelt. Wie auchim HJM-Modell aus [17], wird im Lévy-Forward-Rate-Modell die gesamte Zins-strukturkurve ausgehend von den Forward-Raten modelliert. Die Verzinsung indiesem Modell wird immer als stetig angenommen. Somit hängt die Forward-Rate f(t, T ) mit dem Preis B(t, T ) einer Nullkuponanleihe zum Zeitpunkt t mitFälligkeit T ∈ [t, T ∗] und einem Auszahlungsbetrag von einer Einheit über

B(t, T ) = exp(−∫ Ttf(t, u)du

)(5)

zusammen. Da dieser direkte Zusammenhang besteht, werden mit den Forward-Raten auch die Bondpreise modelliert.

Für beliebige t, T ∈ [0, T ∗] mit t ≤ T wird die Dynamik der Forward-Rateals

f(t, T ) = f(0, T ) +∫ t

0α(s, T ) ds−

∫ t0σ(s, T ) dLs (6)

angenommen, wobei die f(0, T ) die gegebenen Startwerte sind. α und σ sindFunktionen von [0, T ∗] × [0, T ∗] nach R. Im Allgemeinen können sie auch alsstochastische Prozesse gewählt werden (siehe [13]); in der Regel werden sie je-doch deterministisch angenommen. Im Weiteren seien α und σ deterministisch,beschränkt und es gelte 0 ≤

∫ Tt σ(t, s) ds ≤

M2 für alle t ≤ T ≤ T ∗. M ist

dabei die Konstante aus Annahme (EM). Diese Beschränkung wird in [10] fürdie Berechnung der Korrelationen zwischen Bondpreisen bei der Verwendungdes dort aufgeführten Theorems 1 gebraucht.

In Gleichung (6) ist L der treibende Lévy-Prozess. Wie in Kapitel 2 erwähnt,könnte man L auch als inhomogenen Lévy-Prozess wählen. Für die Korrelati-onsschätzung ist das allerdings nicht sinnvoll (siehe Kapitel 5.1). Wenn man inGleichung (6) L als Brownsche Bewegung wählt, ergibt sich das HJM-Modellals Spezialfall des Lévy-Forward-Rate-Modells.

11

Ohne Beschränkung der Allgemeinheit kann man E[Lt] = 0 für alle t ≥ 0annehmen. Dies ist mit folgendem Argument möglich: Sei L ein Lévy-Prozessmit E[Lt] 6= 0. Dann definiere Lt := Lt − tb. Mit (3) gilt E[Lt] = 0. Wennman in Gleichung (6) zudem α(t, T ) := α(t, T ) − bσ(t, T ) anstelle von α(t, T )verwendet, ergeben sich für f(t, T ) dieselben Werte.

Seien nun Σ(s, T ) :=∫ Ts∧T σ(s, u) du und Σ(s, t, T ) := Σ(s, T ) − Σ(s, t).

Analog seien A(s, T ) :=∫ Ts∧T α(s, u) du und A(s, t, T ) := A(s, T )− A(s, t). Mit

dem Satz von Fubini ergibt sich aus Gleichungen (5) und (6)

B(t, T ) = B(0, T )B(0, t)

exp(−∫ t

0A(s, t, T ) ds+

∫ t0

Σ(s, t, T ) dLs). (7)

B(0, t) und B(0, T ), die sich aus f(0, ·) ergeben, können als gegeben und un-gleich Null vorausgesetzt werden.

Eine Darstellung von B(t, T ) in Abhängigkeit von der Short-Rate r(s) :=f(s, s) ergibt sich über das Geldmarktkonto Bt := exp

(∫ t0 r(s) ds

). Analog zu

(7) ist

Bt = 1B(0, t)

exp(∫ t

0A(s, t) ds−

∫ t0

Σ(s, t) dLs). (8)

Einsetzen von (8) in (7) ergibt nun

B(t, T ) = B(0, T ) exp(∫ t

0(r(s)−A(s, T )) ds+

∫ t0

Σ(s, T ) dLs). (9)

Im Weiteren wird ausschließlich Darstellung (7) verwendet. Für die in Ab-schnitt 5.1 beschriebene Schätzung muss an A noch die Stationaritätsbedingung

A(s, T ) = A(0, T − s) ∀s ≤ T (10)

gestellt werden. Diese Bedingung ist gängig. Sie wird zum Beispiel auch beiEberlein und Kluge [11] gestellt.

Da dem Modell das physikalische Maß zugrunde gelegt wird, es also diereale Welt möglichst originalgetreu abbilden soll, lässt es sich über historischeBondpreise kalibrieren. So wird in Kapitel 5 vorgegangen.

3.2 Das Lévy-Forward-Rate-Modell unter dem risikoneutralenMaß

Da es im Weiteren nicht verwendet wird, wird das Lévy-Forward-Rate-Modellunter dem risikoneutralen Maß hier nur knapp geschildert. Genaueres dazufindet sich bei Kluge [20].

Alle Gleichungen aus Kapitel 3.1 gelten auch im risikoneutralen Fall. Zusätz-lich wird dem Modell ein risikoneutrales Maß zugrunde gelegt. Genauer: In derzugrunde liegenden stochastischen Basis (Ω,F ,F,P) wird das physikalische MaßP durch ein äquivalentes risikoneutrales Maß Q ersetzt. Ein Maß Q wird als ri-sikoneutral bezeichnet, wenn die diskontierten Preisprozesse (B(t, T )/Bt)t∈[0,T ]

12

für alle T ∈ [0, T ∗] Q-Martingale sind. Das lässt sich erreichen, indem manA aus Darstellung (7) nicht wie im Fall mit dem physikalischen Maß als freiwählbar zulässt, sondern es über

A(s, T ) := θ(Σ(s, T )) (11)

definiert. θ ist dabei die in Kapitel 2 definierte Kumulante von L. Mit Glei-chung (11) sind die (B(t, T )/Bt)t∈[0,T ] für alle T ≤ T ∗ Martingale, wie sich mitTheorem 1 aus [10] leicht zeigen lässt. Die Eindeutigkeit des so entstandenenrisikoneutralen Maßes zeigen Eberlein, Jacod und Raible [9]. Unter (11) ist dieStationaritätsbedingung (10) für A äquivalent zur Stationarität von Σ. Die inden hier beschriebenen Modellen gängigen Volatilitätsstrukturen sind stationär,wie in Kapitel 4.2 beschrieben.

Zur Kalibrierung des Lévy-Forward-Rate-Modells unter dem risikoneutralenMaß eignen sich Wertpapiere, in deren Preisen implizit die Annahme enthaltenist, dass diskontierte Bondpreise Martingale sind. Derivate auf Bonds erfüllendiese Bedingung, während sie für die Bonds selbst nicht gilt. Da die Modell-kalibrierung im Weiteren Korrelationen zwischen Bondpreisen zur Grundlagehat, lässt sich mit ihr das Modell unter dem risikoneutralen Maß nicht kalibrie-ren. Wenn man dem treibenden Lévy-Prozess allerdings eine verallgemeinertehyperbolische Verteilung zugrunde legt, lassen sich aus den Verteilungsparame-tern des Modells unter dem physikalischen Maß gewisse Einschränkungen fürdie Parameter des Modells unter dem risikoneutralen Maß ableiten (siehe dazuRaible [22]).

3.3 Weitere Lévy-Zinsstrukturmodelle

Im oben beschriebenen Lévy-Forward-Rate-Modell werden die Forward-Ratenals stochastische Prozesse modelliert. Andere Grössen wie Bondpreise, Forward-Prozesse und LIBOR-Raten können dann in Abhängigkeit von den modelliertenForward-Raten angegeben werden. Für die Bondpreise geschieht das über Glei-chung (5). Forward-Prozesse F (·, T1, T2) für T1 < T2 können über folgendenZusammenhang berechnet werden:

F (t, T1, T2) = B(t, T1)B(t, T2)

(12)

(Forward-)LIBOR-Raten L(t, T ) für eine Laufzeit δ ab einem Startzeitpunkt Tergeben sich über:

L(t, T ) = 1δ

(F (t, T, T + δ)− 1) (13)

Die direkte Modellierung der Forward-Prozesse oder der LIBOR-Raten mit in-homogenen Lévy-Prozessen als Treiber führt zu anderen Modellen. Diese werdenLévy-Forward-Process-Modell und Lévy-LIBOR-Modell genannt und werdenzum Beispiel in Eberlein und Özkan [14] und Eberlein und Kluge [11] beschrie-ben.

13

Bei beiden Modellen wird zunächst eine diskrete Folge von Zeitpunkten0 = T0 < T1 < T2 < ... < TN < TN+1 = T ∗ festgelegt. Die Laufzeiten δi derLIBOR-Raten L(t, Ti) werden dabei für 0 ≤ i ≤ N definiert als δi := Ti+1− Ti.Zu jedem Zeitpunkt Ti werden nun ein eigener inhomogener Lévy-Prozess LTiund ein eigenes Forward Maß PTi konstruiert. Dies geschieht mittels Induktionvon n nach n−1 mit Induktionsanfang in T ∗. Die Konstruktion erfolgt so, dassdie Prozesse F (·, Ti−1, Ti) beziehungsweise L(·, Ti−1) unter den zugehörigen Ma-ßen PTi Martingale sind. Diese Bedingungen treffen auf dem reellen Bondmarktnicht zu. Somit werden die Modelle wie auch das im vorigen Kapitel beschrie-bene Lévy-Forward-Rate-Modell unter dem risikoneutralen Maß üblicherweisenur über Derivate kalibriert. Eine Kalibrierung über die Korrelationen zwischenBondpreisen, wie sie im Weiteren beschrieben wird, ist für diese Modelle alsonicht sinnvoll.

14

4 Annahmen über Verteilung und Volatilität

4.1 Verallgemeinerte hyperbolische Verteilungen

Verallgemeinerte hyperbolische Verteilungen, auch GH-Verteilungen genannt(von generalized hyperbolic), sind unbegrenzt teilbar (siehe dazu [2]). Somiterzeugt jede GH-Verteilung einen Lévy-Prozess. Die Elemente der Klasse derGH-Verteilungen werden durch die fünf Parameter α > 0, β ∈ (−α, α), δ > 0,λ ∈ R und µ ∈ R eindeutig festgelegt. Die Lebesgue Dichte einer GH-Verteilunghat die Gestalt

dGH(x;λ, α, β, δ, µ) = a(λ, α, β, δ)(δ2 + (x− µ)2

)(λ− 12 )/2

×Kλ− 12

(α√δ2 + (x− µ)2

)exp(β(x− µ)) (14)

mita(λ, α, β, δ) = (α2 − β2)λ/2

√2π αλ−

12 δλKλ

(δ√α2 − β2

) .Kλ bezeichnet hierbei die modifizierte Besselfunktion dritter Art zum Index λ.Mit der Dichtetransformationsformel geht aus (14) hervor, dass für eine GH-verteilte Zufallsvariable X und eine Konstante c ∈ R die Zufallsvariable Y :=cX auch GH-verteilt ist. Genauer: Wenn X ∼ GH(α, β, δ, λ, µ), dann ist cX ∼GH(1

cα,1cβ, cδ, λ, cµ).

Wie in Eberlein [6] beschrieben, ergibt sich für |β + u| < α die momenter-zeugende Funktion einer GH-Verteilung als

MGH(u) = eµu(α2 − β2

α2 − (β + u)2

)λ2 Kλ

(δ√α2 − (β + u)2

)Kλ

(δ√α2 − β2

) . (15)

Die charakteristische Funktion ΦGH der Verteilung kann über den Zusammen-hang

ΦGH(u) =MGH(iu) (16)

bestimmt werden. Aus dieser Gleichung folgt auch, dass für einen von einerGH-Verteilung erzeugten Lévy-Prozess L gilt: MGH(u) = E[euL1 ]. Somit giltAnnahme (EM) aus Kapitel 2 mit Gleichung (15) für GH-Verteilungen. (1+ε)Maus (EM) muss nur kleiner als α− |β| gewählt werden. Außerdem folgt θ(u) =log(MGH(u)) mit Gleichungen (1) und (4).

Aus Gleichung (15) lassen sich Momente und Kumulanten der Verteilungbestimmen. Für den Erwartungswert erhält man

E[GH] = µ+ βδ2

ζ

Kλ+1(ζ)Kλ(ζ)

, (17)

wobei ζ := δ√α2 − β2 ist. Wenn der treibende Lévy-Prozess L nun, wie in Ka-

pitel 3.1 beschrieben, mit E[Lt] = 0 für alle t ≥ 0 gewählt wird, ist µ durch die

15

anderen Parameter der den Prozess erzeugenden GH-Verteilung bereits eindeu-tig festgelegt. Gleichung (17) liefert dann

µ = −βδ2

ζ

Kλ+1(ζ)Kλ(ζ)

. (18)

Mit gleichem ζ ergibt sich die Varianz einer GH-verteilten Zufallsvariable aus(15) als

Var(GH) = δ2

ζ

Kλ+1(ζ)Kλ(ζ)

+ β2 δ4

ζ2

(Kλ+2(ζ)Kλ(ζ)

−K2λ+1(ζ)K2λ(ζ)

). (19)

Eine häufig verwendete Unterklasse der GH-Verteilungen ist die Klasse derNormal-Inverse-Gaussian-(NIG-)Verteilungen, für die der Parameter λ beimWert −1

2 festgehalten wird. Die Besselfunktion K− 12

kann man in einem ge-

schlossenen Ausdruck angeben, nämlich als K− 12(u) =

√π2u e

−u (siehe Abra-mowitz und Stegun [1] 10.2.16 und 10.2.17). Für NIG-Verteilungen vereinfachtsich damit die momenterzeugende Funktion zu

MNIG(u) = exp(µu)exp

(δ√α2 − β2

)exp

(δ√α2 − (β + u)2

) . (20)

Die Verteilung des treibenden Lévy-Prozesses bestimmt im Lévy-Forward-Rate-Modell die Korrelationen zwischen Bondpreisen über θ (siehe Kapitel 5.2).Da θ(u) = log(MGH(u)) gilt, gehen die Verteilungsparameter in die Korrelatio-nen über Gleichungen (15) und (20) ein. Für eine detailliertere Beschreibungder GH-Verteilungen siehe [6].

4.2 Volatilitätsstrukturen

Die zwei gängigsten Volatilitätsstrukturen im Lévy-Forward-Rate-Modell sinddie Ho-Lee- und die Vasicek-Volatilitätsstruktur (siehe [10], [11], [16]). Bei Ho-Lee gilt für s ≤ T

Σ(s, T ) = σ0(T − s). (21)Die Vasicek-Volatilitätsstruktur hat für s ≤ T die Form

Σ(s, T ) = σ0a

(1− e−a(T−s)

)(22)

mit dem zusätzlichen Parameter a 6= 0. Der Parameter σ0 kann bei beidenStrukturen ohne Beschränkung der Allgemeinheit gleich 1 gesetzt werden, daman ihn in den Lévy-Prozess integrieren kann. Das sieht man wie folgt: Manbetrachte eine der beiden Volatilitätsstrukturen Σ mit σ0 6= 1 und den zugehöri-gen Lévy-Prozess L mit L1 ∼ GH(α, β, δ, λ, µ). Seien nun Σ(s, T ) := 1

σ0Σ(s, T )

und L := σ0L. Dann ist L ∼ GH( 1σ0α, 1σ0β, σ0δ, λ, σ0µ), wie in Abschnitt 4.1

beschrieben. Zudem gilt für alle t ≤ T ≤ T ∗∫ t0

Σ(s, t, T ) dLs =∫ t

0Σ(s, t, T ) dLs.

16

Im Lévy-Forward-Rate-Modell unter dem physikalischen Maß erzeugen also(Σ, L) und (Σ, L) dieselben Bondpreise (siehe Gleichung (7)).

Wie in Eberlein und Raible [16] gezeigt wird, sind unter gewissen Vorausset-zungen die Ho-Lee- und die Vasicek-Struktur die einzigen Volatilitätsstrukturen,mit denen im Lévy-Forward-Rate-Modell die Short-Rate r ein Markovprozessist.

Aus (21) folgt für die Ho-Lee-Volatilitätsstruktur die Unabhängigkeit desAusdrucks Σ(s, t, T ) = T − t von s. In diesem Fall lässt sich also das Integral inGleichung (7) leicht lösen. Für die Vasicek-Volatilitätsstruktur gilt: Σ(s, t, T ) =eas

a (eat − eaT ).In beiden Fällen hängt der Wert der Volatilitätsstruktur Σ nur von der Diffe-

renz (T −s) ab. Diese Eigenschaft wird als Stationarität der Volatilitätsstrukturbezeichnet (vergleiche Eberlein und Kluge [11]). Bei Ho-Lee und Vasicek ists 7→ Σ(s, T ) ∈ C2 und Σ′ := dΣ

ds ebenfalls stationär. Dies wird später im Be-weis zu Lemma 3 gebraucht. Für Satz 5 braucht man zudem, dass Σ(·, t1, T1) =C Σ(·, t2, T2) für eine Konstante C, die nur von t1, T1, t2 undT2 abhängt. Auchdiese Bedingung erfüllen die Ho-Lee- und die Vasicek-Volatilitätsstruktur.

17

5 ParameterschätzungUm die Parameter des treibenden Prozesses aus historischen Bondpreisdatenzu schätzen, werden normalerweise die Logarithmen der Verhältnisse der Bond-preise zu ihren Forwardpreisen am vorigen Tag betrachtet. Diese werden alstägliche Log-Returns bezeichnet.

Mit den in Eberlein und Janssen [10] entwickelten Korrelationsformeln fürLévy Zinsstrukturmodelle lässt sich ein direkter Zusammenhang zwischen denParametern des treibenden Prozesses und den Korrelationen zwischen zwei ver-schiedenen Bondpreisen angeben. Somit ist es auch möglich, die Parameterüber die Korrelationen zwischen historischen Bondpreisen zu schätzen. Diesgeschieht in zwei Schritten: Im ersten Schritt werden Korrelationen aus histori-schen Bondpreisen geschätzt. Im zweiten Schritt werden daraus die Parameterdes treibenden Lévy-Prozesses geschätzt.

Die Methode zur Schätzung der Verteilungsparameter aus täglichen Log-Returns werden wir verwenden, um Vergleichswerte für die über Korrelationengeschätzten Parameter zu erzeugen.

Alle Aussagen in diesem Kapitel haben Gültigkeit im Lévy-Forward-Rate-Modell unter dem physikalischen Maß.

5.1 Schätzung der Korrelationen

Für feste t1, T1, t2, T2 mit t1 < T1 ≤ T ∗, t2 < T2 ≤ T ∗ und o.B.d.A. t1 < t2soll der Korrelationskoeffizient Corr(B(t1, T1), B(t2, T2)) geschätzt werden. AlsSchätzer für Corr wird wie üblich die empirische Korrelation Corr verwendet.Diese hat die Gestalt

Corr(B(t, T1), B(t, T2))

=∑Nn=0(Bn(t1, T1)− B(t1, T1))(Bn(t2, T2)− B(t2, T2))√∑N

n=0(Bn(t1, T1)− B(t1, T1))2√∑N

n=0(Bn(t2, T2)− B(t2, T2))2. (23)

B1(t1, T1), ..., BN (t1, T1) sind dabei N unabhängige Samples der ZufallsvariableB(t1, T1). B(t1, T1) ist das arithmetische Mittel von B1(t1, T1), ..., BN (t1, T1).B1(t2, T2), ..., BN (t2, T2) und B(t2, T2) sind analog definiert. Um Corr schätzenzu können, braucht man also zunächst möglichst viele Samples der Zufallsva-riablen B(t1, T1) und B(t2, T2). In historischen Daten ist allerdings für beideZufallsvariablen je nur ein Sample vorhanden, da man für alle T1, T2 je nur einenhistorischen Pfad der Prozesse B(·, T1) und B(·, T2) beobachten kann. DiesesProblem kann über folgenden Zusammenhang gelöst werden:Definition und Satz 2. Für feste t, T, ∆ mit t < T und ∆ ∈ [0, T ∗ − T ] seidie Zufallsvariable B∆(t, T ) definiert als

B∆(t, T ) := B(t+ ∆, T + ∆)B(0, T )B(0, t)

B(∆, t+ ∆)B(∆, T + ∆)

. (24)

B∆(t, T ) hat dann die gleiche Verteilung wie B(t, T ). Des Weiteren ist B∆(t, T )für ∆ ≥ t stochastisch unabhängig von B(t, T ).

19

Zum Beweis des Satzes wird noch das folgende Lemma benötigt.

Lemma 3. Für Y ∆s := Ls+∆ − L∆ sind Y ∆

s und Ls identisch verteilt. Für∆ ≥ s ist Y ∆

s stochastisch unabhängig von Ls. Für festes t ≤ T ≤ T ∗ gilt∫ t+∆

∆Σ(s, t+ ∆, T + ∆) dLs =

∫ t0

Σ(s, t, T ) dY ∆s . (25)

Beweis. Laut Definition 1 (Lévy-Prozesse) besitzt Y ∆s die gleiche Verteilung

wie Ls und ist stochastisch unabhängig von F∆. Für s ≤ ∆ ist Y ∆s somit auch

stochastisch unabhängig von Ls.Die Integralgleichheit wird mit Itôs Formel (siehe Jacod und Shiryaev [18],

Kapitel I, Theorem 4.57) gezeigt. Wir wenden diese Formel auf Xs := (Ls, s)und f(x, s) := xΣ(s, t+ ∆, T + ∆) an. Σ′ = dΣ

ds nehmen wir dabei als stationäran, wie in Kapitel 4.2 erwähnt. Es ergibt sich

LuΣ(u, t+ ∆, T + ∆) = L0 Σ(0, t+ ∆, T + ∆)

+∫ u

0Ls−Σ′(s−, t+ ∆, T + ∆) ds+

∫ u0

Σ(s−, t+ ∆, T + ∆) dLs

+ 12

∫ u0

0 d〈Lcs〉+12

∫ u0Ls−Σ′′(s−, t+ ∆, T + ∆) d〈sc〉

+∫ u

0Σ′(s−, t+ ∆, T + ∆) d〈Lcs, sc〉

+∑s≤t

(LsΣ(s, t+ ∆, T + ∆)− Ls−Σ(s−, t+ ∆, T + ∆)

−Σ(s−, t+ ∆, T + ∆)∆Ls − Ls−Σ′(s−, t+ ∆, T + ∆)∆s)

für beliebiges u ≤ T ∗. Der stetige Martingalanteil einer deterministischen Funk-tion ist konstant Null, also gilt sc = 0. Zudem ist s− = s, also ∆s = 0. L0 = 0,das Lebesguemaß hat keine Punktmassen und Σ ist stetig. Somit folgt

LuΣ(u, t+∆, T +∆) =∫ u

0LsΣ′(s, t+∆, T +∆) ds+

∫ u0

Σ(s, t+∆, T +∆) dLs.(26)

Wenn man (26) mit u := ∆ von (26) mit u := t+ ∆ abzieht, ergibt sich

Lt+∆ Σ(t+ ∆, t+ ∆, T + ∆)− L∆ Σ(∆, t+ ∆, T + ∆)

=∫ t+∆

∆LsΣ′(s, t+ ∆, T + ∆) ds+

∫ t+∆

∆Σ(s, t+ ∆, T + ∆) dLs.

20

Daraus folgt mit der Stationarität von Σ und Σ′ und mit Substitution im Le-besgueintegral∫ t+∆

∆Σ(s, t+ ∆, T + ∆) dLs

= Lt+∆ Σ(t, t, T )− L∆ Σ(0, t, T )−∫ t+∆

∆LsΣ′(s, t+ ∆, T + ∆) ds

= Lt+∆ Σ(t, t, T )− L∆ Σ(0, t, T )−∫ t

0Lz+∆ Σ′(z, t, T ) dz

= (Lt+∆ − L∆) Σ(t, t, T ) + L∆ (Σ(t, t, T )− Σ(0, t, T ))

−∫ t

0Lz+∆ Σ′(z, t, T ) dz

= (Lt+∆ − L∆) Σ(t, t, T )−∫ t

0(Lz+∆ − L∆) Σ′(z, t, T ) dz

= Y ∆t Σ(t, t, T )−

∫ t0Y ∆z Σ′(z, t, T ) dz

=∫ t

0Σ(s, t, T ) dY ∆

s .

Die letzte Gleichheit ergibt sich mit Itôs Formel, angewandt auf Xs := (Y ∆s , s)

und f(x, s) := xΣ(s, t, T ).

Beweis zu Satz 2. Anwenden von Gleichung (7) auf B(t+ ∆, T + ∆), B(∆, T +∆) und B(∆, t+ ∆) führt zu

B(t+ ∆, T + ∆)

= B(∆,T+∆)B(∆,t+∆) exp

(−∫ t+∆

∆ A(s, t+ ∆, T + ∆) ds

+∫ t+∆

∆ Σ(s, t+ ∆, T + ∆) dLs)

(10)= B(∆,T+∆)B(∆,t+∆) exp

(−∫ t

0 A(s, t, T ) ds+∫ t+∆

∆ Σ(s, t+ ∆, T + ∆) dLs)

Lemma 3= B(∆,T+∆)B(∆,t+∆) exp

(−∫ t

0 A(s, t, T ) ds+∫ t

0 Σ(s, t, T ) dY ∆s

). (27)

Einsetzen von (27) in (24) liefert

B∆(t, T ) = B(0, T )B(0, t)

exp(−∫ t

0A(s, t, T )ds+

∫ t0

Σ(s, t, T ) dY ∆s

).

Mit den in Lemma 3 genannten Eigenschaften von Y ∆t und (7) folgt die Be-

hauptung.

Lemma 4. Für feste ∆, t, T mit t ≤ ∆ und N ≤[T ∗−T

∆

]sind die Zufalls-

variablen B(t, T ), B∆(t, T ), B2∆(t, T ),..., BN∆(t, T ) vollständig stochastischunabhängig.

21

Beweis. Für alle n ∈ 0, ..., N gilt σ(Bn∆(t, T )) ist stochastisch unabhän-gig von Fn∆ laut Definition 1. Dabei ist Fn∆ = σ(Lt|t ∈ [0, n∆]). Für allen ≥ 1 gilt σ(B0∆(t, T ), ..., B(n−1)∆(t, T )) ⊆ Fn∆. Seien nun für alle n ≤ NEn ∈ σ(Bn∆(t, T )) beliebig. Dann ist auch

∩i≤n−1Ei ∈ Fn∆. Induktiv folgt die

Behauptung.

Wir wählen ∆ = t als die kleinste Schrittweite, für die die Bn∆(t, T ) mitn ∈ 0, ..., [(T ∗−T )/t] vollständig stochastisch unabhängig sind. Für i ∈ 1, 2,∆ = ti und n ∈ 0, ..., [(T ∗ − T )/ti] können die Werte von Bn∆(ti, Ti) aus his-torischen Bondpreisdaten berechnet werden. Diese sollen die in Gleichung (23)benötigten Samples Bn(ti, Ti) für die Schätzung von Corr(B(t1, T1), B(t2, T2))liefern. Damit sie für die Korrelationsschätzung tauglich sind, muss zudem diefolgende Gleichheit gelten.

Satz 5. Für alle ∆ ≥ t1, t2 und alle n ∈ 0, ..., [(T ∗ − T )/∆] ist

Corr(Bn∆(t1, T1), Bn∆(t2, T2)) = Corr(B(t1, T1), B(t2, T2)). (28)

Für den Beweis von Satz 5 braucht man das folgende Lemma.

Lemma 6. Die Prozesse IL· :=∫ ·

0 Σ(s, t0, T ) dLs und I∆· :=∫ ·

0 Σ(s, t0, T ) dY ∆s

haben unabhängige Zuwächse. t0 ist dabei ein fester Wert in [0, T ].

Beweis. Definition 1 und die Definition von Y ∆ ergeben, dass L und Y ∆ un-abhängige Zuwächse haben. Mit Kapitel II, Theorem 4.15 in [18] folgt: DieCharakteristiken von L und Y ∆ sind deterministisch. Zudem ist Σ determinis-tisch. Mit Lemma 3.3 in Eberlein et al. [15] folgt, dass IL und I∆ deterministi-sche Charakteristiken haben. Erneutes Anwenden von Kapitel II, Theorem 4.15in [18] liefert die gesuchte Behauptung.

Beweis zu Satz 5. Da Y n∆t gleich verteilt ist wie Lt, gilt

E[Bn∆(t, T )] = E[B(t, T )] und Var(Bn∆(t, T )) = Var(B(t, T )). (29)

22

Sei nun o.B.d.A. t2 ≥ t1. Dann gilt mit dem Zusammenhang aus Abschnitt 4.2

E[exp

(∫ t10

Σ(s, t1, T1) dY n∆s +

∫ t20

Σ(s, t2, T2) dY n∆s

)]= E

[exp

((C + 1)

∫ t10

Σ(s, t2, T2) dY n∆s +

∫ t2t1

Σ(s, t2, T2) dY n∆s

)]Lemma 6= E

[exp

((C + 1)

∫ t10

Σ(s, t2, T2) dY n∆s

)]× E

[exp

(∫ t2t1

Σ(s, t2, T2) dY n∆s

)]Y n∆t ∼Lt= E

[exp

((C + 1)

∫ t10

Σ(s, t2, T2) dLs)]

× E[exp

(∫ t2t1

Σ(s, t2, T2) dLs)]

Lemma 6= E[exp

((C + 1)

∫ t10

Σ(s, t2, T2) dLs +∫ t2t1

Σ(s, t2, T2) dLs)]

= E[exp

(∫ t10

Σ(s, t1, T1) dLs +∫ t2

0Σ(s, t2, T2) dLs

)]⇒ E[Bn∆(t1, T1)Bn∆(t2, T2)] = E[B(t1, T1)B(t2, T2)]. (30)

Mit der Definition der Korrelation folgt die Behauptung aus (29) und (30).

Das in diesem Abschnitt beschriebene Verfahren zur Schätzung von Kor-relationen ist nicht ohne Weiteres auf inhomogene Lévy-Prozesse als treibendeProzesse anwendbar. Die Grundlage der hier beschriebenen Vorgehensweise istBn∆(t, T ) ∼ B(t, T ) für alle n ∈ 0, ..., [(T ∗ − T )/∆]. Diese Eigenschaft giltfür inhomogene Lévy-Prozesse im Allgemeinen nicht, da sich bei ihnen die Zu-wachsverteilung im Laufe der Zeit ändert.

5.2 Schätzung der Parameter aus Korrelationen

Im Weitern wird angenommen, dass L von einer GH-Verteilung erzeugt wird.Zur Schätzung der Parameter der GH-Verteilung wird die in Eberlein und Jans-sen [10] entwickelte Korrelationsformel benutzt, aus der man einen direkten Zu-sammenhang zwischen den Korrelationen zwischen Bondpreisen und den Ver-teilungsparametern des treibenden Lévy-Prozesses ableiten kann. Diese hat dieForm

Corr(B(t1, T1), B(t2, T2))

= exp(∫ t2t1θ(Σ(s, t2, T2)) ds

)g1(t1, t2, T1, T2)− g2(t1, t2, T1, T2)√

h(t1, T1)√h(t2, T2)

(31)

23

für 0 ≤ t1 ≤ T1 ≤ T ∗ und 0 ≤ t2 ≤ T2 ≤ T ∗ mit t1 ≤ t2. Dabei sind

g1(t1, t2, T1, T2) := exp(∫ t1

0θ (Σ(s, t1, T1) + Σ(s, t2, T2)) ds

),

g2(t1, t2, T1, T2) := exp(∫ t1

0θ(Σ(s, t1, T1)) + θ(Σ(s, t2, T2)) ds

),

h(t, T ) := exp(∫ t

0θ(2Σ(s, t, T )) ds

)− exp

(∫ t0

2θ(Σ(s, t, T )) ds).

Über den Zusammenhang θ(u) = log(M(u)) (siehe Kapitel 4.1) kann manmit (15) und (20) aus obiger Formel die Parameter der GH-Verteilung gewin-nen. Für den folgenden Spezialfall geben wir diesen Zusammenhang explizitan.

Satz 7. Sei im Lévy-Forward-Rate-Modell mit Ho-Lee-Volatilität der treibendeProzess von einer NIG-Verteilung erzeugt. Dann gilt für 0 ≤ t ≤ T1 ≤ T2 ≤ T ∗

Corr(B(t, T1), B(t, T2)) = G1(t, T1, T2)−G2(t, T1, T2)√H(t, T1)

√H(t, T2)

(32)

mit

G1(t, T1, T2) := exp(−δt

√α2 − (β + T1 + T2 − 2t)2

),

G2(t, T1, T2) := exp(− δt

(√α2 − (β + T1 − t)2

+√α2 − (β + T2 − t)2 −

√α2 − β2

)),

H(t, T ) := exp(−δt

√α2 − (β + 2(T − t))2

)− exp

(−δt

(2√α2 − (β + T − t)2 −

√α2 − β2

)).

Zu beachten ist, dass der Parameter µ der NIG-Verteilung die Korrelationnicht beeinflusst. Für GH-Verteilungen im Allgemeinen und für die Vasicek-Volatilitätsstruktur lässt sich die Korrelationsformel auf ähnliche Weise berech-nen. Die Ausdrücke sind jedoch weitaus umfangreicher und werden deshalb hiernicht angegeben.

Beweis. Da der Exponentialterm vor dem Bruch in (31) für t1 = t2 = t Einsergibt, gilt

Corr(B(t, T1), B(t, T2)) = g1(t, t, T1, T2)− g2(t, t, T1, T2)√h(t, T1)

√h(t, T2)

. (33)

24

Dabei sind, mit (20) und (21),

g1(t, t, T1, T2) = exp(∫ t

0θ (Σ(s, t, T1) + Σ(s, t, T2)) ds

)= exp

(∫ t0θ (T1 + T2 − 2t) ds

)= exp (tθ (T1 + T2 − 2t)) (34)

= exp(t

(µ(T1 + T2 − 2t) + δ

√α2 − β2

− δ√α2 − (β + T1 + T2 − 2t)2

))und

g2(t, t, T1, T2) = exp(∫ t

0θ (Σ(s, t, T1)) + θ (Σ(s, t, T2)) ds

)= exp (t (θ(T1 − t) + θ(T2 − t))) (35)

= exp(t

(µ(T1 + T2 − 2t) + 2δ

√α2 − β2

− δ(√α2 − (β + T1 − t)2 +

√α2 − (β + T2 − t)2

))).

Für h(t, T ) ergibt sich mit den gleichen Argumenten

h(t, T ) = exp(∫ t

0θ (2Σ(s, t, T )) ds

)− exp

(∫ t0

2θ (Σ(s, t, T )) ds)

= exp (tθ(2(T − t)))− exp (2tθ(T − t)) (36)

= exp(t

(2µ(T − t) + δ

√α2 − β2 − δ

√α2 − (β + 2(T − t))2

))− exp

(2t(µ(T − t) + δ

√α2 − β2 − δ

√α2 − (β + (T − t))2

)).

Nun sieht man, dass in Gleichung (33) mit dem Term

exp(µt(T1 + T2 − 2t)) exp(tδ√α2 − β2

)gekürzt werden kann. Der gekürzte Bruch entspricht dem aus Gleichung (32).

FürK verschiedene Tripel (tk, T k1 , T k2 ) kann nun das Parametertripel (α, β, δ)der NIG-Verteilung per Least-Squares-Verfahren ermittelt werden. Als Schätzer(α, β, δ) für (α, β, δ) wird also dasjenige Parametertripel gewählt, das folgendenAusdruck minimiert:

K∑k=1

(Corr

(B(tk, T k1 ), B(tk, T k2 )

)− Corr

(B(tk, T k1 ), B(tk, T k2 )

))2. (37)

25

µ kann anschließend über Gleichung (18) aus den geschätzten Parametern er-rechnet werden.

In Kapitel 7 vergleichen wir die Parameterschätzung bei NIG-Verteilung mitderselben Schätzmethode angewandt auf das HJM-Modell. Im HJM-Modell istder treibende Prozess eine Brownsche Bewegung. Es gilt also: L1 ∼ N(µ, σ)ist normalverteilt. Im HJM-Modell funktioniert die Methode genau wie obenbeschrieben. Die Korrelationsformel von Eberlein und Janssen gilt auch hier.

Satz 8. Im HJM-Modell mit Ho-Lee-Volatilitätsstruktur ist für 0 ≤ t ≤ T1 ≤T2 ≤ T ∗

Corr(B(t, T1), B(t, T2)) = exp(σ2t(T1 − t)(T2 − t))− 1√exp(σ2t(T1 − t)2)− 1

√exp(σ2t(T2 − t)2)− 1

.

(38)

Zu beachten ist, dass wie auch bei NIG-Verteilungen der Parameter µ derNormalverteilung nicht in die Korrelation eingeht.

Beweis. Mit Gleichung (2) sieht man, dass die Charakteristik zur BrownschenBewegung (tµ, tσ2, 0) ist, wobei 0 hier das Maß bezeichnet, das jeder Mengeden Wert 0 zuordnet. Mit Gleichung (4) ergibt sich, dass für die BrownscheBewegung θ(u) = uµ + 1

2u2σ2 gilt. Im Weiteren wird analog zum Beweis von

Satz 7 vorgegangen. Obiges θ wird in (34), (35) und (36) eingesetzt. Um dieBehauptung zu erhalten, muss nun noch in Gleichung (33) mit dem Term

exp(µt(T1 + T2 − 2t) + 1

2σ2t

((T1 − t)2 + (T2 − t)2

))gekürzt werden.

Wie bei der NIG-Verteilung kann nun der Parameter σ der Normalvertei-lung per Least-Squares-Verfahren aus den empirischen Bondpreiskorrelationengewonnen werden. Wie in Kapitel 3.1 gezeigt, kann ohne Einschränkung derAllgemeinheit E[Lt] = 0 gewählt werden. Damit kann der Parameter µ derNormalverteilung gleich 0 gesetzt werden.

5.3 Schätzung der Parameter aus Log-Returns

Die Methode zur Schätzung der Verteilungsparameter aus täglichen Log-Re-turns werden wir verwenden, um Vergleichswerte für die über die Korrelationengeschätzten Parameter zu erzeugen. Die Beschreibung der Methode folgt denAusführungen in Eberlein und Kluge [11]. Wir werden die Methode hier nur fürdie Ho-Lee-Volatilitätsstruktur vorstellen. Mit der Vasicek-Volatilitätsstrukturfunktioniert das Verfahren ähnlich. Da bei der Parameterschätzung aus Log-Returns nicht die Fälligkeit T der Bonds, sondern ihre Restlaufzeit (T − t) vonBedeutung ist, führen wir für die Restlaufzeit die Bezeichnung T ′ := (T − t)ein. t wählen wir in diesem Abschnitt in ganzen Tagen. Die täglichen Log-Returns LR(t, t+ T ′) zur Restlaufzeit T ′ werden definiert als Logarithmen der

26

Verhältnisse zwischen Bondpreisen und ihren Forwardpreisen am vorigen Tag,also als

LR(t, t+ T ′) := log B(t+ 1, t+ T ′)B(t, t+ 1, t+ T ′)

, (39)

wobei der Forwardpreis B(t, t + 1, t + T ′) definiert ist als B(t, t + 1, t + T ′) :=B(t,t+T ′)B(t,t+1) . Gleichungen (7) und (39) liefern für die Log-Returns

LR(t, t+T ′) = −∫ t+1

tA(s, t+ 1, t+T ′) ds+

∫ t+1

tΣ(s, t+ 1, t+T ′) dLs. (40)

Mit Gleichung (10) ist es leicht zu zeigen, dass der Wert des Integrals über Ain Darstellung (40) von t unabhängig ist. Somit kann man es in Abhängigkeitvon T ′ schreiben als

d(T ′) := −∫ t+1

tA(s, t+ 1, t+ T ′) ds = −

∫ 1

0A(s, 1, T ′) ds. (41)

Mit der Ho-Lee-Volatilitätsstruktur gilt für das Integral über Σ in (40)∫ t+1

tΣ(s, t+ 1, t+ T ′) dLs = (T ′ − 1)Y t1 (42)

mit Y t1 = Lt+1 − Lt wie in Lemma 3. Also ist Y t1 ∼ L1 und Y t1 stochastischunabhängig von Y s1 für alle s 6= t. Für die Log-Returns ergibt sich

LR(t, t+ T ′) = d(T ′) + (T ′ − 1)Y t1 . (43)

Da E[Y t1 ] = E[L1] = 0 (siehe Lemma 3 und Kapitel 3.1) und d deterministischist, gilt

d(T ′) = E[LR(t, t+ T ′)]. (44)

E[LR(t, t+T ′)] ist also für alle t gleich. Y t1 lässt sich mit (43) und (44) schreibenals

Y t1 = 1T ′ − 1

(LR(t, t+ T ′)− E[LR(t, t+ T ′)]). (45)

Mit Gleichung (45) hat man eine Formel, in der Y t1 nur von Log-Returns undihren Erwartungswerten abhängt. Allerdings ist in dieser Gleichung die rechteSeite von T ′ abhängig und die linke nicht. Im Modell sollte sich also für verschie-dene Werte von T ′ derselbe Wert für Y t1 ergeben. Bei realen Marktdaten stimmtdieser Zusammenhang in der Regel nicht ganz (siehe [11]). Um dieses Problemzu umgehen, kann man für jedes feste t die Punkte (T ′1 − 1, LR(t, t + T ′1) −E[LR(t, t+T ′1)]), ..., (T ′m−1, LR(t, t+T ′m)−E[LR(t, t+T ′m)]) fürm verschiedeneWerte T ′1 < ... < T ′m von T ′ betrachten und über sie eine Regression durch denUrsprung durchführen. Der Wert für Y t1 ergibt sich als der Gradient der Regres-sionsgeraden. Mit diesem Verfahren kann man also für t ∈ 0, 1, 2, ..., [T ∗−T ′m]([T ∗ − T ′m] + 1) stochastisch unabhängigie Samples von L1 aus Log-Returnsund ihren Erwartungswerten berechnen. Die Log-Returns kann man direkt aus

27

historischen Bondpreisen berechnen. Da die Erwartungswerte der Log-ReturnsE[LR(t, t+ T ′)] nur von T ′ abhängen (siehe Gleichung (44)), ist für festes T ′

1[T ∗ − T ′]

[T ∗−T ′]∑t=0LR(t, t+ T ′)

ein erwartungstreuer Schätzer für E[LR(t, t+ T ′)].Aus den stochastisch unabhängigen Samples von L1 kann man dann die Pa-

rameter der zugrunde liegenden GH-Verteilung mit der Maximum-Likelihood-Methode oder der Kumulantenmethode schätzen.

Im Folgenden werden wir kurz die bei der Kumulantenmethode für NIG-Verteilungen verwendeten Schätzer auflisten, da diese auch im nächsten Ab-schnitt benötigt werden. Die Darstellung erfolgt analog zu Kluge [19]. Nachdemman die ersten vier Kumulanten κ1, κ2, κ3 und κ4 mit den üblichen Methodenaus den unabhängigen Samples von L1 geschätzt hat, ergeben sich für α, β, δund µ folgende Schätzer α, β, δ und µ:

Falls κ3 = 0:

α =√

3κ2κ4

β = 0 (46)δ = ακ2

µ = κ1

und falls κ3 6= 0:

β =(κ4κ3− 5κ3

3κ2

)−1

α =√

3β κ2κ3

+ β2 (47)

δ =

(√α2 − β2

)3

α2 κ2

µ = κ1 −δβ√α2 − β2

5.4 Kombination der Schätzmethoden

Bei der Schätzmethode über Korrelationen werden die Parameter des treiben-den Prozesses geschätzt, indem die quadratischen Abstände zwischen empiri-schen Bondpreiskorrelationen und denen im Modell minimiert werden. Als Re-sultat ergeben sich Parametersätze, mit denen im Modell realistische Bondpreis-korrelationen entstehen. Bei der Methode über Log-Returns wird die Schätzunganhand stochastisch unabhängiger Samples von L1 durchgeführt. Folglich erge-ben sich Parametersätze, die Modelle mit realistischen Dichten für L1 liefern.

28

Wie in Kapitel 7 beschrieben, ergeben sich jedoch bei Schätzungen über Korrela-tionen keine realistischen Dichten für L1 und bei Schätzungen über Log-Returnskeine realistischen Bondpreiskorrelationen. Eine Schätzmethode, die sowohl rea-listische Dichten für L1 als auch realistische Modellkorrelationen erzeugt, mussalso sowohl Samples von L1 als auch Samples der Bondpreiskorrelationen be-rücksichtigen.

In diesem Abschnitt entwickeln wir eine Schätzmethode, die beide Ansätzekombiniert. Dazu wird ein Teil der Parameter der NIG-Verteilung über Korre-lationen geschätzt, während ein anderer Teil über Log-Returns mit der Kumu-lantenmethode bestimmt wird. Wir schätzen β über Korrelationen und α undδ über Log-Returns. Diese Aufteilung der über Korrelationen und über Log-Returns zu schätzenden Parameter bietet sich an. Somit erzeugen wir nämlicheine Verteilung, deren zweite und dritte Kumulante den geschätzten Kumulan-ten κ2 und κ3 entsprechen (siehe dazu (4.20) und (4.21) in [19]). Auch für die Im-plementierung ist diese Aufteilung günstig, da α und δ in den Gleichungen (46)und (47) in Abhängigkeit von β angegeben sind. Man könnte die Aufteilungder über Korrelationen und über Log-Returns zu schätzenden Parameter auchanders wählen. Dann müsste man Gleichungen (46) und (47) nach den überKorrelationen zu schätzenden Parametern auflösen.

Konkret gehen wir wie folgt vor: Zunächst schätzen wir die Kumulanten κ2und κ3 mit den üblichen Methoden. Falls κ3 = 0 ist, brechen wir ab. Für κ3 = 0lässt sich β nicht über die Korrelationen schätzen, da β durch Gleichung (46)schon als Null festgelegt ist. Bei den Schätzungen, die wir vornahmen, tratdieser Fall allerdings nie auf.

Falls κ3 6= 0 ist, führen wir, wie in den Kapiteln 5.2 und 5.1 beschrieben, dieParameterschätzung über Bondpreiskorrelationen durch. Bei der Least-Squares-Schätzung (siehe Gleichung (37)) wird die Regression jedoch nicht über dieParametertripel (α, β, δ) durchgeführt, sondern nur über den Parameter β. Diefehlenden Parameter α und δ bestimmen wir in Abhängigkeit von β bei jedemRegressionsschritt neu aus den Kumulanten. Die Schätzer α und δ wählen wiralso wie in Gleichung (47).µ schätzen wir, wie auch bei der Korrelationsmethode, nachdem wir die

anderen Parameter bestimmt haben, über Gleichung (18).Es wird also β so bestimmt, dass sich im Modell möglichst realistische Bond-

preiskorrelationen ergeben, während α und δ so geschätzt werden, dass die zwei-te Kumulante (also die Varianz) und die dritte Kumulante der Modellverteilungvon L1 den aus der empirischen Verteilung von L1 geschätzten Kumulanten ent-sprechen.

29

6 Datensatz und Svensson-MethodeDer im Weiteren verwendete Datensatz besteht aus den Parametern β0, β1, β2,β3, τ1 und τ2 des in [23] eingeführten Zinsstrukturkurvenmodells von Svens-son. Diese wurden von der Deutschen Bundesbank täglich aus den Kursdatenbörsennotierter Bundeswertpapiere ermittelt. In die Berechnungen gehen dieTagesdaten vom 07.08.1997 bis zum 09.04.2008 ein (jeweils einschließlich). Wirbetrachten somit 2707 Parametersätze. Zudem verwenden wir im Weiteren dieKonvention, dass ein Jahr 260 Handelstagen entspricht.

Im von Svensson entwickelten Modell wird die Forward-Rate-Kurve f(t, ·)zum Zeitpunkt t per Regression über die oben genannten Parameter in folgendeForm gebracht:

f(t, T ) = β0 + β1 exp(−T − tτ1

)+ β2

(T − tτ1

)exp

(−T − tτ1

)+β3

(T − tτ2

)exp

(−T − tτ2

). (48)

Die Anleihen, die den Berechnungen der Bundesbank zugrunde liegen, habenRestlaufzeiten T ′ von bis zu zehn Jahren. Damit sind die Werte von f(t, T ),die sich mit Gleichung (48) ergeben, nur plausibel, wenn T so gewählt wird,dass T ′ ∈ [0, 10 Jahre]. Um die zur Parameterschätzung benötigten BondpreiseB(t, T ) zu erhalten, wird Gleichung (5) benutzt. (5) und (48) ergeben fürB(t, T )

B(t, T ) = exp(− β0(T − t) + β1τ1

(exp

(−T − tτ1

)− 1

)+ β2(T − t+ τ1)

× exp(−T − tτ1

)− β2τ1 + β3(T − t+ τ2) exp

(−T − tτ2

)− β3τ2

). (49)

Aus diesem Datensatz lässt sich also für t = 0, ..., 2706 Tage und für beliebigeRestlaufzeiten T ′ ∈ [0, 10 Jahre] der Wert von B(t, T ) bestimmen.

Andere Datensätze, die nicht über die Svensson Parameter die gesamteZinsstrukturkurve, sondern B(t, T ) für bestimmte Werte von t und T ′ direktenthalten, liefern oft nur Bondpreise für Restlaufzeiten in ganzen Jahren, al-so zum Beispiel B(t, T ) nur für (T − t) ∈ 1, 2, ..., 10 Jahre. Sowohl für dieParameterschätzung über Korrelationen als auch für die Schätzung über Log-Returns benötigt man aber auch Bondpreise für andere Restlaufzeiten. Wennman T ′ nur in ganzen Jahren wählt, benötigt man für die Schätzung über Korre-lationen noch B(0, T ), B(0, t), B(∆, t+∆), B(∆, T +∆) (siehe Gleichung (24)).In Jahren gemessen haben diese im Allgemeinen keine ganzzahligen Restlauf-zeiten. Bei der Schätzung über Log-Returns fehlen in solchen Datensätzen dieBondpreise B(t+1, t+T ′) = B(t+1, (t+1)+(T ′−1)) und B(t, t+1) (vergleicheGleichung (39)).

31

Um die beiden Parameterschätzverfahren bei solchen Datensätzen trotz-dem anwenden zu können, müsste man die fehlenden Bondpreise über eineInterpolation bestimmen. Bei Raible [22] wird zum Beispiel zur Bestimmungder Log-Returns eine Interpolation mit kubischen Splines über − log(B(t, T ))durchgeführt.

32

7 ErgebnisseIn diesem Abschnitt wenden wir die in Kapitel 5 erläuterten Methoden auf denin Kapitel 6 beschriebenen Bundesbank-Datensatz und auf simulierte Datenan. Für die Schätzungen verwenden wir die Statistiksoftware Splus (Details zurProgrammierung können dem Anhang entnommen werden). Eine der Haupt-schwierigkeiten bei der Implementierung ist die große Anzahl lokaler Minimader Zielfunktion (37) bei der Schätzung der Parameter einer NIG-Verteilungüber Korrelationen. Die Ergebnisse aller gängigen Regressionsalgorithmen hän-gen bei dieser Schätzung stark vom vorgegebenen Startwert ab. Um bei derMinimierung sicherzugehen, dass wir das globale Minimum finden, legen wirein Gitter über den Kubus der möglichen Parametertripel (α, β, δ) und startendie Regression von jedem Gitterpunkt aus erneut. Wenn das Gitter feinma-schig genug gewählt wird, ist das Minimum der Ergebnisse aller durchgeführtenRegressionen das globale Minimum der Zielfunktion.

Diese Vorgehensweise erzeugt sehr stichhaltige Ergebnisse, erfordert jedochlange Rechenzeit. Daher führen wir diese Methode nur für NIG-Verteilungenund die Ho-Lee-Volatilitätsstruktur durch. Bei allgemeinen GH-Verteilungenund bei der Vasicek-Volatilität wäre der Rechenaufwand zu groß.

7.1 Empirische Resultate

Wie in Kapitel 5.2 beschrieben, werden alle Korrelationsschätzungen über dieMinimierung des Ausdrucks

K∑k=1

(Corr

(B(tk, T k1 ), B(tk, T k2 )

)− Corr

(B(tk, T k1 ), B(tk, T k2 )

))2

durchgeführt. Dabei durchlaufen die Tripel (tk, T k1 , T k2 ) von Zeitpunkten alleWerte aus der Menge

M := (t, T1, T2) | t ∈ 1, ..., 100 Tage;T1 − t, T2 − t ∈ 1, ..., 10 Jahre; T1 < T2.

Somit ergibt sich K = |M | = 4500. In M wählen wir für t ein möglichst kon-tinuierliches Spektrum an Werten, um nicht nur einzelne Schnitte der Korrela-tionskurven zu berücksichtigen. Je größer der Wert von t gewählt wird, umsoweniger Samples B∆(t, Ti) kann man zur Schätzung der Korrelationen erzeu-gen. Die Werte für ∆ müssen mindestens um t voneinander entfernt sein, um diestochastische Unabhängigkeit der B∆(t, Ti) zu gewährleisten (siehe Lemma 4).Unser Datensatz beinhaltet Werte von 2707 Tagen. Für t = 1 Tag erhält manalso 2706 Samples zur Korrelationsschätzung, für t = 100 Tage nur noch 27.Deshalb verzichten wir darauf, für tk größere Werte als 100 Tage einzusetzen.

In M durchlaufen die Restlaufzeiten T1− t und T2− t für verschiedene t diegleichen Werte. Bei einer zweiten Schätzung wählen wir die Zeittripel so, dassnicht die Restlaufzeiten Ti−t, sondern die Maturitäten Ti konstant bleiben. Die

33

Tabelle 1: Geschätzte Parameter zum Datensatz aus Kapitel 6α β δ µ Methode

2.851,52 -2.841,25 4,36e-15 5,12e-14 Corr925.368,70 -116.159,76 2,92e-6 3,48e-7 LR Maximum-Likelihood433.895,03 -45.926,08 1,38e-6 1,25e-7 LR Kumulantenmethode5.336,01 -7,03 1,72e-8 2,27e-11 Corr-LR Kombinationσ = 5, 71e− 5 µ = 0 HJM Corr

erzeugten Modellkorrelationen und Dichten ähneln denen aus der Schätzung mitZeittripeln ausM sehr. Daher gehen wir im Weiteren auf diese zweite Schätzungnicht gesondert ein.

Die Ergebnisse der Parameterschätzungen für NIG-Verteilungen und die Ho-Lee-Volatilitätsstruktur anhand des Bundesbank-Datensatzes kann man Tabel-le 1 entnehmen. Die Parameter in der ersten Zeile sind per Schätzung überKorrelationen von Bonds entstanden. Zeilen zwei und drei zeigen die Ergeb-nisse der Schätzung über Log-Returns, wie sie in Kapitel 5.3 beschrieben ist.Die Schäzung erfolgte jeweils einmal mit der Maximum-Likelihood- und derKumulantenmethode. Zeile vier zeigt die Parameter, die mit der kombiniertenSchätzmethode aus Kapitel 5.4 erzeugt wurden. Bei der Schätzung über Korre-lationen und bei der kombinierten Schätzung kann µ nicht direkt mitgeschätztwerden, da es in der Korrelationsformel (32) nicht auftaucht. Wie in Kapitel 5.2beschrieben, wurde hier der Wert von µ nach der Schätzung über Gleichung (18)bestimmt.

Auch das HJM-Modell mit Ho-Lee-Volatilität kann über empirische Bond-preiskorrelationen kalibriert werden. Die Ergebnisse dieser Kalibrierung desHJM-Modells können der letzten Zeile von Tabelle 1 entnommen werden. µkann hier, wie auch bei den NIG-Verteilungen, nicht aus den Korrelationen ge-schätzt werden. Es wird ohne Beschränkung der Allgemeinheit gleich 0 gesetzt,wie in Kapitel 5.2 erklärt.

Abbildung 1 zeigt empirische Korrelationen zwischen Bonds mit der Fäl-ligkeit ein Jahr und Bonds mit Fälligkeiten 2, 5 und 10 Jahre und die Bond-preiskorrelationen, die sich in den verschiedenen über Korrelationen kalibrier-ten Modellen ergeben. In der linken Grafik sind (als durchgezogene Linien) Mo-dellkorrelationen eingezeichnet, die sich im Lévy-Forward-Rate-Modell ergeben,wenn man dem treibenden Lévy-Prozess die NIG-Verteilung zu den Parameternaus der ersten Zeile von Tabelle 1 zugrunde legt. Die durchgezogenen Linien inder rechten Grafik stellen die Korrelationen dar, die sich im HJM-Modell mitden Parametern aus der letzten Zeile von Tabelle 1 ergeben. Die als Punktedargestellten empirischen Korrelationen sind, wie in Kapitel 5.1 beschrieben,aus dem Datensatz geschätzt. In beiden Grafiken sind dieselben empirischenKorrelationen eingezeichnet.

Man sieht deutlich, dass die mit der NIG-Verteilung erzeugten Modellkorre-

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t

Kor

rela

tione

n zw

isch

en B

(t,1

Jah

r) u

nd B

(t,T

2)

0 20 40 60 80 100

0.4

0.6

0.8

1.0

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T2 = 2 JahreT2 = 5 JahreT2 = 10 Jahre

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t

Kor

rela

tione

n zw

isch

en B

(t,1

Jah

r) u

nd B

(t,T

2)

0 20 40 60 80 100

0.4

0.6

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T2 = 2 JahreT2 = 5 JahreT2 = 10 Jahre

Abbildung 1: Empirische (gepunktet) und Modellkorrelationen für die Kalibrie-rung des Lévy-Forward-Rate-Modells mit NIG-Verteilungen (links) und für dieKalibrierung des HJM-Modells (rechts)

lationen sich gut an die empirischen Korrelationen anpassen lassen. Wie mansieht, sind die Modellkorrelationen im HJM-Modell vor allem für kleine Wertevon t wenig flexibel. Deshalb ist in diesem Modell keine sinnvolle Anpassungan empirische Korrelationen möglich.

Die beiden Kalibrierungen über Log-Returns liefern Modellkorrelationen,die für beliebige Werte von t, T1 und T2 stets über 0,9995 liegen, sich also starkvon den empirischen Korrelationen unterscheiden.

Abbildung 2 zeigt dieselben Korrelationen wie Abbildung 1 links. Diesmalist an der t-Achse der gesamte Zeitraum bis zur Fälligkeit von B(t, 1Jahr) an-getragen. Wie erwartet, nehmen die Korrelationen ab, wenn sich t der Fäl-ligkeit von B(t, 1Jahr) nähert. Die empirischen Korrelationen sind wieder nurbis t = 100 Tage angetragen, da empirische Korrelationen für größere t-Wertenicht sinnvoll geschätzt werden können, wie oben beschrieben ist.

Abbildung 3 zeigt die empirische Dichtefunktion von L1, die wie in Kapi-tel 5.3 aus dem Datensatz berechnet wurde. Zudem sind die beiden mit derüber Log-Returns per Maximum-Likelihood-Methode und per Kumulantenme-thode geschätzten Modelldichten von L1 eingetragen. Die über Korrelationengeschätzten Parametersätze erzeugen weitaus steilere Dichten für L1. In derGrafik würden sie nur als senkrechte Linien bei x = 0 erscheinen.

Abbildung 4 zeigt die Modellkorrelationen und Modelldichten, die bei derkombinierten Schätzung entstehen. Wie man sieht, sind die Modellkorrelatio-nen, die mit der kombinierten Schätzung entstehen, deutlich besser als die Mo-dellkorrelationen in den über Log-Returns kalibrierten Modellen. Realistischsind sie dennoch nicht. Analog verhalten sich die Modelldichten. Die über dieKombination der Methoden erzeugte Modelldichte ist besser als die Dichte imüber Korrelationen kalibrierten Modell. Sie bleibt aber immer noch sehr unrea-listisch.

35

t

Kor

rela

tione

n zw

isch

en B

(t,1

Jah

r) u

nd B

(t,T

2)

0 50 100 150 200 250

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T2 = 2 JahreT2 = 5 JahreT2 = 10 Jahre

Abbildung 2: Empirische (gepunktet) und Modellkorrelationen für die Kalibrie-rung mit NIG-Verteilungen

x

Dic

hte

−5*10^−6 0 5*10^−6

010

0000

2000

0030

0000

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Max. LikelihoodKumulanten

x

Dic

hte

−1.5*10^−5 −5*10^−6 0 5*10^−6 10^−5

24

68

1012

14

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Max. LikelihoodKumulanten

Abbildung 3: Empirische (gepunktet) und Modelldichten für die beiden Kali-brierungen über Log-Returns, rechts logarithmiert

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t

Kor

rela

tione

n zw

isch

en B

(t,1

Jah

r) u

nd B

(t,T

2)

0 20 40 60 80 100

0.4

0.6

0.8

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T2 = 2 JahreT2 = 5 JahreT2 = 10 Jahre

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x

Dic

hte

−5*10^−6 0 5*10^−6

050

000

1000

0015

0000

2000

00

Abbildung 4: Korrelationen und Dichte für die kombinierte Schätzung

Zusammengefasst ergeben sich bei der Modellkalibrierung anhand des Bun-desbank-Datensatzes folgende Ergebnisse: Das HJM-Modell reicht zur Erzeu-gung realistischer Modellkorrealtionen nicht aus. Das Lévy-Forward-Rate-Mo-dell liefert mit NIG-Verteilungen über Korrelationen kalibriert gute Modell-korrelationen und über Log-Returns kalibriert gute Modelldichten. Die Kombi-nation der beiden Methoden erzeugt sowohl für die Korrelationen als auch fürdie Dichte Werte, die grob in der richtigen Größenordnung liegen, aber dennochunrealistisch sind.

7.2 Simulationen

Um zu überprüfen, inwieweit die Ergebnisse der Modellkalibrierung aus Kapi-tel 7.1 von dem zugrunde gelegten Datensatz abhängen, führen wir noch zweiKalibrierungen an simulierten Daten durch. Dazu simulieren wir Sätze von je2707 Tagesdaten, die alle für die Schätzungen benötigten Bondpreise enthalten.Die Länge der simulierten Datensätze wird mit 2707 gleich groß gewählt wiedie des Bundesbank-Datensatzes. Die Bondpreise simulieren wir wie folgt: DieStartwerte B(0, T ) für alle Werte von T übernehmen wir aus dem Bundesbank-Datensatz. A(s, t, T ) setzen wir als konstant 0. Da A(s, t, T ) in die Schätzungennicht eingeht, spielt sein Wert bei der Simulation keine Rolle. Die Werte von Ltsimulieren wir für fest vorgegebene Verteilungsparameter. Nur Lt zu simulierenist ausreichend, da sich das stochastische Integral in Gleichung (7) bei Verwen-dung der Ho-Lee-Volatilität auflösen lässt. Somit haben wir alle Werte erzeugt,um mit Gleichung (7) die benötigten Bondpreise zusammenzusetzen.

Wir führen zwei Simulationen durch, wobei wir zur Erzeugung des Datensat-zes zwei verschiedene Verteilungen für L1 verwenden. Beide Verteilungen sindNIG-Verteilungen, ihre Parameter sind in Tabelle 2 mit „Ausgangsparameter“bezeichnet. Die Parametersätze, die als Grundlagen der Simulationen dienen,sind frei gewählt. Für α wählen wir sehr große und für δ entsprechend kleineWerte. Dadurch erhalten wir sehr spitze Wahrscheinlichkeitsdichten (die Vari-

37

Tabelle 2: Parameter der der Simulation zugrunde liegenden Verteilungen undder geschätzten Verteilungenα bzw. α β bzw. β δ bzw. δ µ bzw. µ

1e6 1 1e-6 0 Ausgangsparameter Sim. 1557.861,94 104,66 3,23e-7 -6,05e-11 Corr963.715,27 -37.667,65 9,20e-7 3,30e-8 LR

1,39e7 6,56e6 9,07e-6 -4,87e-6 Corr-LR Kombination1e6 -5e5 1e-6 0 Ausgangsparameter Sim. 2

363.831,26 -9,34 3,88e-7 9,95e-12 Corr636.058,09 -61.072,93 1,04e-6 3,56e-7 LR

4,90e8 -4,90e8 1,28e-7 2,36e-6 Corr-LR Kombination

anzen der Verteilungen sind beide kleiner oder gleich 10−12). Weniger spitzeDichten würden unrealistische Log-Returns und Korrelationen erzeugen, sodasseine sinnvolle Schätzung nicht möglich wäre. Bei der Grundlage der ersten Si-mulation wird β der Wert 1 zugewiesen, während die Größenordnung von α undδ der Größenordnung des Ergebnisses der Schätzung über Log-Returns anhanddes Bundesbank-Datensatzes entspricht. Bei der Grundlage der zweiten Simu-lation wird β nahe bei −α gewählt, da β bei den Ergebnissen der Schätzungenüber Korrelationen im vorigen Kapitel nahe an −α liegt.

Die Zeilen „Corr“, „LR“ und „Corr-LR Kombination“ zeigen die Ergebnisseder Schätzungen aus den jeweiligen simulierten Datensätzen. Die Schätzungenüber Log-Returns verwenden die Maximum-Likelihood-Methode.

Abbildung 5 zeigt empirische und Modellkorrelationen zwischen Bonds mitder Fälligkeit ein Jahr und Bonds mit Fälligkeiten 2, 5 und 10 Jahre für die bei-

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t

Kor

rela

tione

n zw

isch

en B

(t,1

Jah

r) u

nd B

(t,T

2)

0 20 40 60 80 100

0.99

985

0.99

990

0.99

995

1.00

000

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T2 = 2 JahreT2 = 5 JahreT2 = 10 Jahre

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t

Kor

rela

tione

n zw

isch

en B

(t,1

Jah

r) u

nd B

(t,T

2)

0 20 40 60 80 100

0.99

975

0.99

985

0.99

995

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T2 = 2 JahreT2 = 5 JahreT2 = 10 Jahre

Abbildung 5: Empirische (gepunktet) und Modellkorrelationen (durchgezogeneLinien: über Korrelationen kalibriertes Modell, unterbrochene Linien: über Log-Returns kalibriertes Modell) in Simulation 1 (links) und Simulation 2 (rechts)

38

den Simulationen. Das über Korrelationen kalibrierte Modell liefert, wie auchbeim Bundesbank-Datensatz, sehr gute Modellkorrelationen. Anders als beimBundesbank-Datensatz dagegen verhält sich das über Log-Returns kalibrierteModell: Die Modellkorrelationen sind bei beiden Simulationen relativ nahe anden empirischen Daten. Dies lässt sich darauf zurückführen, dass der verwen-dete Datensatz unter der Annahme eines Lévy-Forward-Rate-Modells simuliertwurde.

x

Dic

hte

−4*10^−6 −2*10^−6 0 2*10^−6 4*10^−6

02*

10^5

6*10

^510

^6

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KorrelationsmethodeLog Return Methode

x

Dic

hte

−4*10^−6 −2*10^−6 0 2*10^−6 4*10^−6

02*

10^5

4*10

^56*

10^5

8*10

^510

^6

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KorrelationsmethodeLog Return Methode

Abbildung 6: Empirische (gepunktet) und Modelldichten für Simulation 1(links) und Simulation 2 (rechts)

Abbildung 6 zeigt die empirischen und die Modelldichten der Verteilungvon L1 für beide Simulationen. Die Modelldichten bei der Einstellung des Mo-dells über Korrelationen sind deutlich besser als bei der Schätzung anhand desBundesbank-Datensatzes. Zudem ist auffällig, dass die Modelldichte im überLog-Returns kalibrierten Modell bei der zweiten Simulation stärker als sonstvon den empirischen Werten abweicht. Die extreme Schiefe der zugrunde lie-genden Verteilung, bedingt durch den extremen Wert für β, scheint dafür ver-antwortlich.

Die Korrelationen und die Dichte, die im über die Kombination beider Me-thoden kalibrierten Modell in Simulation 1 entstehen, zeigt Abbildung 7. DasErgebnis der kombinierten Schätzung bei Simulation 1 liefert ein ähnliches Bildwie das Ergebnis dieser Schätzung beim Bundesbank-Datensatz: Die Korrela-tionen und die Dichte haben die richtige Größenordnung, sind aber dennochunrealistisch. Dass die Korrelationen und die Dichte bei der Simulation etwasnäher an den realistischen Werten liegen als bei der Schätzung aus den empiri-schen Daten, lässt sich darauf zurückführen, dass die simulierten Daten exaktauf das Lévy-Forward-Rate-Modell passen. Auf eine Grafik zur kombiniertenSchätzung bei Simulation 2 verzichten wir, da sie ähnliche Resultate liefert wiebei Simulation 1.

Auch wenn bei den Simulationen die Ergebnisse weniger drastisch ausfallenals bei den Kalibrierungen anhand des Bundesbank-Datensatzes, so zeigt sich

39

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t

Kor

rela

tione

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Abbildung 7: Korrelationen und Dichte für die kombinierte Schätzung in Simu-lation 1

doch auch hier, dass mit der Log-Return-Methode keine perfekten Modellkorre-lationen und mit der Korrelationsmethode keine perfekten Wahrscheinlichkeits-dichten erzeugt werden können. Die Modellkorrelationen im über Korrelationenkalibrierten Modell und die Dichte im über Log-Returns kalibrierten Modellsind bei Simulation 1 wie beim Bundesbank-Datensatz sehr realistisch. BeiSimulation 2 erschwert die starke Schiefe der zugrunde liegenden Verteilungdie numerische Durchführung der Likelihood-Schätzung bei der Log-Return-Methode, die Korrelationsmethode funktioniert gut. Die Kombination beiderMethoden erweist sich auch hier als nicht sinnvoll.

40

8 ZusammenfassungWir haben eine Methode entwickelt, aus einer ausreichend umfangreichen Lis-te von Bondpreisen unter der Annahme des Lévy-Forward-Rate-Modells em-pirische Bondpreiskorrelationen zu schätzen. Unter des Annahme einer GH-Verteilung (oder Normalverteilung) ist es somit möglich, in einem zweitenSchritt die Parameter des treibenden Lévy-Prozesses aus diesen Korrelationenzu schätzen.

Wir führten das Verfahren an empirischen und simulierten Bondpreisendurch. Die so kalibrierten Modelle erzeugen sehr realistische Bondpreiskor-relationen. Es ergibt sich jedoch eine unrealistische Wahrscheinlichkeitsdich-te von L1 und mit ihr eine unrealistische Verteilung der Returns der Bonds.Im Heath-Jarrow-Morton-Modell als einem Spezialfall des Lévy-Forward-Rate-Modells ließen sich keine realistischen Bondpreiskorrelationen erzeugen, da dietreibende Brownsche Bewegung nicht genügend Flexibilität bietet.

Zum Vergleich führten wir die Schätzungen auch mit der Standardmetho-de zur Kalibrierung des Lévy-Forward-Rate-Modells unter dem physikalischenMaß durch. Diese Methode, aus den täglichen Log-Returns unabhängige Samp-les von L1 zu erzeugen und die Modelldichte an die empirische Dichte von L1anzupassen, erzeugt realistische Wahrscheinlichkeitsdichten, aber unrealistischeBondpreiskorrelationen.

Mit dem Ziel, eine Schätzmethode zu finden, die sowohl realistische Korre-lationen als auch realistische Dichten liefert, kombinierten wir die beiden Ver-fahren. Das kombinierte Verfahren erzeugte in der praktischen Durchführungim Gegensatz zu den beiden einzelnen Verfahren sowohl Korrelationen als auchDichten von der richtigen Größenordnung. Die konkreten Werte der Korrelatio-nen und der Dichten sind jedoch unrealistisch.

Mit unserer Vorgehensweise lässt sich also keine Methode konstruieren, mitder für beide Größen realistische Werte erzeugt werden können. Der Anwen-der sollte sich also je nach Verwendungszweck für eine der beiden Methodenentscheiden. Für die Betrachtung von Bondpreiskorrelationen sollte ein überKorrelationen kalibriertes Modell verwendet werden und für die Betrachtungder Returns der Bonds sollte man ein über Log-Returns kalibriertes Modellbenutzen.

41

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)

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Erklärung

Hiermit bestätige ich, dass ich diese Arbeit selbstständig verfasst und keineanderen als die angeführten Quellen und Hilfsmittel verwendet habe.

Freiburg, den 8. April 2009