Ausgabe 1/98

TI-NACHRICHTEN FÜR DIE SCHULE

◆ TI-83: Der TVM-Solver ◆ TI-85: Klausuraufgabe ◆ TI-86: Differentialgleichung 2. Ordnung ◆ TI-92: Modellieren und aktive Mathematik ◆ TI-92 PLUS-Modul: Erste Erfahrungen ◆ TI-89: Ein Rechner stellt sich vor ◆ CBR: Anwendungen ◆ T 3

◆ Lehrerprogramme

TI-NACHRICHTEN 1998

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Editorial

Nicht einfacher als nötig

“Alles sollte so einfach wie möglich gemacht werden,aber nicht einfacher.”Diese Aussage von Albert Einstein illustriert mit weni-gen griffigen Worten, daß sich die Realität im Regelfalldurch eine hohe Komplexität auszeichnet. Dies gilt imselben Umfang für die anwendungsorientierten Aufga-ben. Derartige Fragestellungen in den heutigen Mathe-matikunterricht zu integrieren, ist nicht mehr nur eineForderung der Didaktik. Zahlreiche Lehrpläne habendies bereits festgeschrieben und es wird in steigendemMaße auch im Unterricht mit Erfolg umgesetzt.

Mathematik entsteht beim Lernenden nicht durch dieLektüre eines noch so guten Buches, sondern einzigdurch die aktive Auseinandersetzung mit den zugrun-deliegenden Begriffen und Inhalten. Je reichhaltiger al-so eine konkrete Aufgabenstellung an diesen Dingenist, desto besser eignet sie sich, über Mathematik nach-zudenken und Mathematik zu erleben. So wird manzunächst versuchen, einzelne Merkmale einer Realitäts-situation herauszuschälen. Doch ein echtes Verständ-nis der Zusammenhänge wird nur dann möglich sein,wenn man die Puzzleteile wieder zu einem komplexenGanzen zusammenfügt. Das es dabei oftmals nicht dasbeste Modell oder die beste Lösung gibt, liegt in derNatur der Sache.

In der Vergangenheit wurden oftmals triviale Objektemit weitausholenden Methoden untersucht. Diese Ver-einfachungen wurden zumeist von den beschränktenWerkzeugen erzwungen, die ein konkretes Berechnenoder Veranschaulichen fast aussichtslos erscheinenließen. Vor einem graphischen oder symbolisch-gra-phischen Taschenrechner sind jedoch alle Funktionengleich, egal ob sie einfach oder komplex sind. Da manihm das knechtische Abarbeiten der Lösungsalgorith-men überlassen kann, hat man viel mehr Muße, sichder eigentlichen Fragestellung und Interpretation derErgebnisse zu widmen.

Im zukünftigen Mathematikunterricht wird es wenigerdarauf ankommen, beispielsweise sämtliche Integrati-onsregeln abspulen zu können. Es wird vielmehr wich-tig sein, die hinter der Fragestellung liegenden Prinzipi-en zu erkennen und die Problemsituation mitangemessenen Mitteln zu lösen. Denn schließlich solltealles so einfach wie möglich gemacht werden, abereben nicht einfacher.

Stephan GriebelSchulbeauftragter

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TI-NACHRICHTEN 1998

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Inhalt dieser Ausgabe

Anschriften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2technische Auskünfte und Online-Informationen . . . . . . . . . . . . . . 2Reparatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Leihprogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Referent gesucht? - TI hilft! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26Ideenbörse - Autoren gesucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26T3 - Teachers Teaching with Technology . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27Freigeräteprogramm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28Konferenzen und Ausstellungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Folien, Handreichungen, Kopiervorlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29Literatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30-32

Wiederaufladbare Batterien für Graphikrechner von TI . . . . . . . . . 3Erste Erfahrungen mit dem TI-92 PLUS Modul . . . . . . . . . . . . . 13-14TI-89 - ein neuer CAS-Rechner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20-21Software-Wettbewerb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26ECO-Line . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

Klausuraufgabe in Klasse 11 mit dem TI-85 . . . . . . . . . . . . . . . . . 4-5PLOT3D - dreidimensionale Darstellung am TI-92 . . . . . . . . . . . . 6-8Der TI-92 als Galton-Brett . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8-9Numerisches Lösen einer Differentialgleichung 2. Ordnung . 10-11CBR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11-13Modellieren mit dem TI-92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15-18Aktive Mathematik mit dem TI-92 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18-19Programmbeschreibung: Geraden.92p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22Rendite einer Anleihe mit dem TVM-Solver des TI-83 . . . . . . . . . 23Lösung eines Gleichungssystems mit Hilfe von Matrizen . . . . . . 24Beispiel aus der Kosten-Preistheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24-25

Editorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2Impressum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

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ImpressumTI-Nachrichten für die SchuleEin kostenloser Informationsservicevon Texas Instruments Educational &Productivity Solutions Business.Verantwortlich für den Inhalt: Stephan GriebelGestaltung/Gesamtherstellung:Pinsker Druck und Medien, MainburgNachdruck nur mit Genehmigung von Texas Instruments.Für die Richtigkeit abgedruckter Beiträge externer Autoren haftet die Redaktion nicht.Texas InstrumentsEducational & ProductivityHaggertystr. 1, D-85356 Freising

Wiederaufladbare Batterienin TI-Graphikrechnern

Ab Mai 98 werden die folgenden Gra-phikrechner nur noch mit wiederauf-ladbaren Alkaline-Batterien der FirmaRayovac ausgeliefert:

TI-82, TI-83, TI-85, TI-86, TI-89, TI-92,TI-92 II

Vorteile gegenüber herkömmlichenwiederaufladbaren NiCd-Batterien:- die Batterien sind bereits voll

geladen und sofort einsatzbereit- 1,5 Volt Alkaline Leistung- Bei Lagerung bleiben Sie bis zu

5 Jahren aufgeladen- Sie können aufladen ohne zuvor

Entladen zu müssen (kein Memoryeffekt!)

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Batterien entsorgt werden

Das passende Rayovac Ladegerät kannüber den Handel gekauft werden oderüber das Texas Instruments CustomerSupport Center bestellt werden:

✆ 06196-975015

ti-cares@ti.com

Bitte beachten Sie: Rayovac aufladba-re Alkaline Batterien dürfen nur inRayovac Alkaline Ladegeräten geladenwerden. Bei Fragen wenden Sie sichbitte an das Customer Support Center.

TI-NACHRICHTEN 1998

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Benno Fischer, Willi Lichtenberg, Halle

Klausuraufgabe zum Abschluß des ersten Kurses Analysis im Schuljahrgang 11 unter Verwendung des Graphik-Taschenrechners TI-85 Graphik-Taschenrechner wurden im Stoffgebiet Analysis derSekundarstufe II im Rahmen von Unterrichtserprobungen inSachsen-Anhalt in den Jahren 1994 bis 1996 eingesetzt. Mitdem nachfolgend dargestellten Teil einer Klausuraufgabezum Ende des ersten Kurshalbjahres des Schuljahrganges 11soll vor allem die Vielfalt der Lösungsmöglichkeiten, die sichmit Graphik-Taschenrechnern eröffnen, verdeutlicht werden.

Aufgabe:Gegeben ist die Kostenfunktion K für ein Produkt, wobei xdie Anzahl der produzierten Mengeneinheiten angibt:

K(x) = x3 - 13 x2 + 57 x +40Der Graph von K hat genau einen Wendepunkt. ErmittelnSie diesen und geben Sie eine Gleichung für die Wende-tangente an.

Neben dem bekannten analytischen Verfahren (Bilden der 1.und 2. Ableitung, Nullsetzen der 2. Ableitung und Berechnender Koordinaten des Wendepunktes, Überprüfen der Gültig-keit der notwendigen Bedingung) ist hier eine vielfältige Nut-zung des GTR möglich. Allerdings führt ein einfaches Ver-größern des vermuteten Ausschnittes und Abtasten eineraugenscheinlichen Wendestelle mit dem TRACE-Cursor nichtzum Ziel, da das Vorgehen nicht unmittelbar numerisch kon-trolliert werden kann (Beim Ermitteln der Nullstellen kannman auf einen Vorzeichenwechsel der Funktionswerte ach-ten, bei einem lokalen Maximumpunkt muß der y-Wert in derUmgebung der Maximumstelle am größten sein usw.).

Abb. 1: Kostenfunktion im Darstellungsbereich-20 ≤ x ≤ 40; -400 ≤ y ≤ 800

Weg 1 mit GTRBei Annäherung an einen Wendepunkt geht z. B. der positive(wachsende) Anstieg (Linkskrümmung der Kurve, konvexerKurvenabschnitt) im Wendepunkt selbst in einen negativen(fallenden) Anstieg (Rechtskrümmung der Kurve, konkaverKurvenabschnitt) über. Die 1. Ableitung einer Funktion mußalso in der Wendestelle der Funktion eine lokale Extremstellebesitzen. Eine Wendestelle läßt sich somit als Extremstelleder Ableitungsfunktion finden. Folglich ist die 1. Ableitungder Kostenfunktion zu untersuchen:

y1 = x^3 - 13x2 + 57x + 40y2 = nDer (y1, x)

Die Anweisung „nDer (f(x), x)“ auf dem verwendeten GTR er-zeugt z. B. auf numerische Weise den Graphen der 1. Ablei-tung der Funktion f.1 Das Abtasten und gegebenenfalls dasEinschachteln der Umgebung der Extremstelle von y2 führtschnell zu einem Ergebnis (s. Abb. 2).

Abb. 2: Kostenfunktion und deren 1. Ableitung imDarstellungsbereich -4 ≤ x ≤ 15; -100 ≤ y ≤ 400

Weg 2 mit GTRMit GTR kann man natürlich auch den Graphen der 2. Ablei-tung einer Funktion direkt erzeugen und somit analog zumanalytischen Ermitteln von Wendestellen vorgehen (notwen-dige Bedingung: f ``(x) = 0), nur daß man sich jetzt auf die gra-phisch gegebene und durch numerisches Differenzieren er-mittelte 2. Ableitung von GTR stützt. Im einfachsten Weg kanndie Anweisung „nDer (f(x), x)“zweifach angewandt werden:

y1 = x3-13x2+57x+40y2 = nDer(y1,x)y3 = nDer(y2,x)

Schneller kann man z. B. vorgehen, wenn der verwendeteGTR auch eine Anweisung „der2(f(x),x)“besitzt. Sie erzeugtden Graphen der 2. Ableitung einer Funktion f(x) (Abb. 3 und4). Nun kann die vermutliche Wendestelle als Nullstelle der 2.Ableitung graphisch ermittelt werden.

Abb. 3

Abb. 4Darstellungsbereich -4 ≤ x ≤ 15; -100 ≤ y ≤ 400

Ob es sich tatsächlich um eine Wendestelle handelt, kann mitder hinreichenden Bedingung (für unser Beispiel in Abb. 3 z.

1) Beim TI-85 war es durch die Anweisung „der1(f(x),x)“ ebenso möglich, dieerste Ableitung einer Funktion graphisch darzustellen.

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B. y4 = nDer(y3,x)) oder auf inhaltlichem Wege (Krümmungs-verhalten) begründet werden.Durch dieses Vorgehen konnten Schüler auch ohne dieKenntnis von Ableitungsregeln die Koordinaten von Wende-punkten von Graphen von Funktionen (unterschiedlichsterFunktionsklassen) ermitteln.

Weg 3 mit GTRKomfortable GTR, wie der TI-85, stellen spezielle Anweisun-gen bereit, die gewünschte Werte innerhalb eines vorzuge-benden Intervalls direkt „automatisch“ ermitteln. Für das Er-mitteln von Nullstellen kann das z. B. die Anweisung „ROOT“sein, für das Ermitteln von Extremstellen „FMIN“ und„FMAX“ und für das Lokalisieren von Wendepunkten die An-weisung „INFLC“ (INFLC - abgeleitet vom englischen Wortinflection- Flexion, Beugung). Das Vorgehen beim Nutzendieser Anweisungen ist im Graphik-Modus des hier verwen-deten GTR immer gleich:Schritt 1: Darstellen des betreffenden Funktionsgraphen;Schritt 2: Bewegen des Cursors in die Nähe der vermuteten

Stelle der Funktion;Schritt 3: Anwählen der Anweisung.

Abb. 5: Schritt 3- Ergebnisanzeige des GTR nach Ausführender Anweisung „INFLC“

Nach dem das beschriebene Vorgehen häufig bei Kurvenun-tersuchungen angewendet wurde, hat sich besonders gezeigt, daß für eine erfolgreiche Bearbeitung solcher Aufga-ben nach Weg 1 bzw. 2 das Verständnis für den Zusammen-hang zwischen dem Krümmungsverhalten des Graphen einer Funktion und der 1. Ableitung dieser Funktion erforder-lich war, ohne das die Bearbeitung kaum gelingen würde. MitHilfe von GTR war es besser möglich, anschaulich den Wen-depunkt eines Graphen als den Punkt zu erfassen, in dem derÜbergang von einem konkaven zu einem konvexen Kurven-abschnitt (bzw. umgekehrt) vorliegt. Bei häufiger Anwen-dung des Weges 1 bzw. 2 mit GTR zeigt dieses Vorgehen al-lerdings darin Nachteile, da es doch relativ aufwendig ist(Eingabe mehrerer Funktionsterme, häufiges „ZOOM“en,Suchen mit „TRACE“).

Im zweiten Teil der Aufgabe sollte eine Gleichung der Wen-detangente angegeben werden. Zur Bestimmung einer Glei-chung für die Wendetangente von K stehen wiederum ver-schiedene Vorgehensweisen mit und ohne Einbeziehung vonGTR zur Verfügung. Nach dem herkömmlichen Weg wird ausAnstieg m der Funktion im Wendepunkt (K` (xW) = m) und sei-nen Koordinaten W(xW|yW ) die Tangentengleichung ermit-telt. Mit GTR kann für jeden Punkt eines Funktionsgraphen ei-ne Tangente eingezeichnet werden. Mit der gezeichnetenTangente wird gleichzeitig der Wert des Anstieges angege-ben als Wert „dy/dx“ (s. Abb. 8). Aus der Angabe (z. B.dy/dxP 0,68 für den genauen Wert m = 2

3_ ) läßt sich dann

ebenfalls eine Tangentengleichung aufstellen, allerdingsmuß hier ein numerisch ermittelter Näherungswert für denAnstieg verwendet werden. Von den Schülern wurde über-

wiegend das ihnen bekannte rechnerische Verfahren aus derAnalytischen Geometrie (Punktrichtungsgleichung) genutzt.In der unterrichtlichen Behandlung des Vorgehens mit Ver-wendung von GTR wurde den Schülern der mathematischeHintergrund für die Angabe des Anstieges der Tangente mitdy/dx leicht klar, da ja der Wert der 1. Ableitung an einer be-stimmten Stelle der Funktion der Anstieg der Tangente indiesem Punkt ist.

Abb. 6 (Die nahezu waagerechte Darstellung der Tangentenim Display – s. Abb. 6 – resultiert aus dem gewählten Intervallfür x und y (Stauchung der y-Achse) und war für die mit un-terschiedlichsten Darstellungsbereichen vertrauten Schülerkein Problem.)

Bei Bearbeitung der Aufgabe konnte beobachtet werden, daßviele Schüler eine weitere Kontrollmöglichkeit mit dem GTRgenutzt haben. Sie haben die rechnerisch ermittelte Tangen-tengleichung

in das Funktionsmenü ihres GTR eingegeben und mit Ver-gleich der Lage des Graphen dieser Funktion zur Wendestelleder Funktion K die Richtigkeit geprüft (Vgl. Abb. 7).

Abb. 7: Kontrolle der Lage der Tangente im Wendepunkt zurWendestelle der Kostenfunktion K

Die vielen zur Verfügung stehenden Lösungsmöglichkeitenvon GTR bei Kurvenuntersuchungen erfordern ein bewußtesAuswählen des jeweiligen Weges. Diese Entscheidung fielbesonders den leistungsschwächeren Schülern nicht immerleicht. Vom Lehrer erfordert es eine Entscheidung, welchevon den vielfältigen Lösungsstrategien mit den Schülern ge-meinsam erarbeitet und genutzt werden und welche der indi-viduellen und selbständigen Erarbeitung und Nutzung durchdie Schüler vorbehalten bleiben. Dabei mußte immer be-dacht werden, daß die Vielzahl der Verfahren und Möglich-keiten nicht zur Verwirrung führen dürfen. Wie z. B. im obendargestellten Weg 1 zur Ermittlung der Koordinaten vonWendepunkten sichtbar wird, gelingt die Verwendung vonGTR oft mit einem Minimum an technischen und bedie-nungsorientierten Zusatzkenntnissen. Der Schwerpunkt wur-de verstärkt auf Vorgehensweisen gelegt, deren mathemati-sche Substanz über die Kenntnis von GTR hinausgeht.

Autoren: Benno Fischer, Willi Lichtenberg, LISA, Riebeckplatz 9, D-06110 Halle

y x= +23

121 37,

TI-NACHRICHTEN 1998

Manfred Gurtner, Wien

PLOT3D – ein Zeichenprogramm für dreidimensionale Darstellungen von„Punktkörpern“ am TI-92Da ich mich schon öfter geärgert habe, dass es keine dreidimensionale Darstellung am TI-92 gibt, in der man die räumliche Vek-torrechnung illustrieren kann, habe ich mir ein PLOT-Programm gebastelt, dass den Anforderungen genügt. Man kann damitmehrere Plots übereinander zeichnen, insgesamt 8 verschiedene. Man muss nur die Koordinaten der Punkte, die miteinanderverbunden sind in einer n*3 - Matrix angeben.

Man startet die 3D-Sitzung mit Setplot(0.7,0.9,1,120°,100°), das die Lage der Koordinatenachsen und die Verkürzungen angibt(hier soll die x-Achse um 0.7, die y-Achse um 0.9, die z-Achse gar nicht verkürzt werden, der Winkel zwischen x- und z-Achse soll120° betragen, der Winkel zwischen der y- und z-Achse soll 100° betragen)Dann ruft man das Plot3D-Programm auf, z.B. mit Plot3D(2, [0,0,0; 1,2,3]), um eine Strecke zwischen [0,0,0] und [1,2,3] zu zeich-nen und auf Plot 2 zu speichern.

SetPlot(a,b,c,w1,w2)Prgm

© Einstellung der Verkürzungen Pu,Pv,pw und der Winkel p a (x,z) und p b (y,z)Lokal StrafPu: b fPv: c fpw: 90°+w1 fpa: 360°-w1-w2 fpbFnOff setMode("Graph","FUNCTION")setMode("Angle","DEGREE")setGraph("axes","off")setGraph("Cordinates,","rect")setGraph("Labels","off")setGraph("Leading Cursor","off")setGraph("grid","off"){projx(0,0,0),projx(1,0,0),projx(5,0,0),projx(5,5,0),projx(0,5,0),projx(0,1,0),projx(0,0,0),projx(0,0,1),projx(0,0,5),projx(0,5 ,5),pro-jx(0,5,0)} fLa1{projy(0,0,0),projy(1,0,0),projy(5,0,0),projy(5,5,0),projy(0,5,0),projy(0,1,0),projy(0,0,0),projy(0,0,1),projy(0,0,5),projy(0,5 ,5),pro-jy(0,5,0)} flb1NewPlot 9,2,La1,lb1,,,,4 © Ausgabe der Koordinatenachsen auf Plot 9EndPrgm

SetPlot stellt die Projektionswerte ein: a,b,c sind die Verkürzungen, w1 und w2 die Winkel der x- und y-Achse gegenüber der z-Achse:

Wir brauchen noch folgende Unterprogramme, die die Umwandlung der Koordinaten von den dreidimen-sionalen Werten auf die zweidimensionalen Werte der Zeichenebene durchführen:

Projx(x,y,z) © wandelt drei- in zweidim. Koordinaten um (x)Funcx*Pu*cos(p a)+y*pv*cos(p a+pb)EndFunc

Projy(x,y,z) © wandelt drei- in zweidim. Koordinaten um (y)Funcx*Pu*sin(p a)+y*pv*sin(p a+pb)+2*pwEndFunc

Plot3D(Nr,m)Prgm

© Nr des Plots(1-8), Matrix m(n*3) als EingabeLokal ilist Emat(left(dim.(m),1))[1,1] fn © Ermittlung von n (2.Matrixdimension){projx(m[1,1],m[1,2],m[1,3])} fxli10 © Speicherung des ersten Punktes auf Listen{projy(m[1,1],m[1,2],m[1,3])} fyli10If n>1 Then © weitere Punkte speichernFor i,2,nAugment({projx(m[i,1],m[i,2],m[i,3])},xli10) fxli10Augment({projy(m[i,1],m[i,2],m[i,3])},yli10) fyli10EndForEndIfString(exact(Nr)) fi © Ausgabe eines neuen Plots expr("xli10 fxli"&i&":yli10 fyli"&i&":NewPlot "&i&",2,xli"&i&",yli"&i&",,,,1")ZoomData:ZoomSqr © Anzeige der PlotsEndPrgm

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TI-NACHRICHTEN 1998

Leider kann man den TI-92 nicht so programmieren, dassman eine Liste der Punkte als Eingabe machen kann (waskomfortabler wäre), weil der TI-92 keine Listen von Vektorenerlaubt. Daher habe ich noch dieses Eingabeprogramm ge-schrieben, das die Eingabe der Punkte der Reihe nach (ent-weder als waagrechte Vektoren oder als deren Namen) er-möglicht:

Um einen Körper darstellen zu können, muss man alle Punk-te des Körpers eingeben, wobei man beachten muss, dassman einen Kantenzug eingeben muss. Die Verbindungen derPunkte erfolgt in der Reihenfolge der Eingabe.

Für das Beispiel der dreieckigen Pyramide ABCS mit den Ko-ordinaten A[3,0,0], B[0,2,0], C[0,-2,-2] und S[0,0,5] erfolgt dieEingabe so, dass die Punktreihenfolge ist: ABCASBSC, um al-le Kanten zu zeichnen:

a) Lösung mit dem Zusatzprogramm Punktmat():Eingabe: [3,0,0] STO> A: [0,2,0] STO> B: [0,-2,-2] STO> C:

[0,0,5] STO> SPunktmat()ABCASBSC0SetPlot(0.7,0.9,1,120°,100°)Plot3D(1,m)

b) Lösung nur mit dem Plot3D-Programm:Eingabe: SetPlot(0.7,0.9,1,120°,100°)

Plot3D(1,[3,0,0; 0,2,0; 0,-2,-2; 3,0,0;0,0,5; 0,2,0; 0,0,5; 0,-2,-2])

Da die Eingabe von Punkten doch eher mühsam ist, kannman sich ein Programm schreiben, dass das Plot3D-Pro-gramm aufruft. Ich zeige das hier am Beispiel eines Würfels:

Grafische Lösung der Darstellung einer Ebene durch A(2,1,4),B(1,0,0), C(5,2,1):

Mit dem Programm Zebene() von Himmelbauer kann mandie Ebene x= (2,1,5) +t*(-1,-1,-4) + s*(3,1,3) zeichnen, was al-lerdings einige Zeit dauert. Andere Elemente kann man im3D-Modus leider nicht dazu zeichnen.

Punktmat()Prgm

© Umwandlung von Punkten in die Eingabematrix mLocal pClrIODisp "Ausgabe der Matrix m für plot3d"Input "Bitte Punkt eingeben (waagrecht)!",ppfmLoopDisp "Bitte Punkt eingeben (waagrecht)!"Input "Ende mit Eingabe: 0",pIf getType(p) Þ"MAT" Then

ExitEndIf(augment(m T,p T)) TfmEndLoopDisp "Bitte F5 drücken !"EndPrgm

Wuerfel()Prgmplot3d(3,[[1,1,0][1,1,0][ - 1, - 1,0][1, - 1,0][1,1,0][1,1,2][ - 1,1,2][ - 1, - 1,2][1, - 1,2][1,1,2][ - 1,1,2][ - 1,1,0][ - 1, - 1,0][ - 1, - 1,2][1, - 1,2][1, - 1,0]])EndPrgm

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Zur Veranschaulichung von Binomialverteilungen ist dienach ihrem Erfinder, Sir Francis Galton (1822 – 1911), be-nannte Vorrichtung sicher ein sehr schönes Gerät. Für denEinsatz im Unterricht hat es allerdings einige Nachteile:

● Ein handwerklich einwandfrei gearbeitetes Galton-Brett,bei dem alle eingeworfenen Kugeln auch dort ankommen,wo sie der Lehrer1 erwartet (und nicht zum Gaudium derSchüler durch das Klassenzimmer hüpfen), ist teuer.

● Sind denn 100 oder 200 Kugeln durchgefallen, bleibt im-mer noch das Auszählen der einzelnen Fächer, was sichsamt der Versuchsdurchführung leicht zu einer ganzen Un-terrichtsstunde summieren kann.

● Trefferwahrscheinlichkeiten verschieden von 0,5 sind zwardurch Neigen des Bretts möglich, die Begründung fürquantitative Ausssagen würde aber sicher den Aufwandnicht lohnen.

Seit der PC Einzug in die Schule genommen hat, wurdenzahllose Galton-Bretter in BASIC, Pascal oder C++ "gebaut",die sogar mit Ton und bunten Farben das Klickern der Kugelnin einem echten Galton-Brett täuschend realistisch simulie-ren. Die meisten davon sind gut, viele sogar perfekt, aber sieleiden alle an einem Mangel:

● Zur Demonstration, die nach Ansicht des Autors nichtmehr als 25 Minuten der wertvollen Unterrichtszeit ver-brauchen sollte, muß die Klasse in den Computerraum ge-führt, oder der Computer samt Projektionsvorrrichtung indas Klassenzimmer geschoben werden. Und wieder ist dieganze Unterrichtsstunde vorbei! Den TI-92 samt View-Screen kann der Lehrer unter den Arm klemmen und in Mi-nutenschnelle im Klassenzimmer zusammenbauen undstarten.

Bei den Vorüberlegungen zu dem Programm galton() für denTI-92 stand als erstes die Frage, ob der kleine Bildschirm aus-reichen wird. Die Antwort kann sich jeder Leser nach Be-trachten der Abbildungen zu diesem Beitrag selbst geben.galton() verlangt nach dem Start die Eingabe einer Ablenk-wahrscheinlichkeit und des Simulationsmodus. Wer mit die-sen Fragen nichts anzufangen weiß, kann durch Drücken derN-Taste in eine kurze Hilfe-Routine verzweigen.

Abb. 1

Der Modus 1 dient der Demonstration des Verfahrens. JederTastendruck löst das Fallen einer Kugel aus. Ihr Auftreffenwird im entsprechenden Fach regi-striert. Dem Spieltrieb desAutors ist es zuzuschreiben, daß die Fallgeschwindigkeit derKugeln in gewissen Grenzen mit Hilfe der Cursor–links/rechtsTaste reguliert werden kann, und dies auch mit einer ArtSchieberegler in der rechten oberen Bildschirmecke ange-zeigt wird. 4 bis 5 Kugeln dürften reichen, das Prinzip desGalton-Bretts zu erläutern. Mit N wird der Modus 1 verlas-sen. Ein weiteres N beendet das Programm. Drücken der∏-Taste führt wieder zum Eingabefenster (s. Abb. 1).

Wolfgang Pröpper, Nürnberg

Der TI-92 als Galton-Brett

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Besser ist es, man zeichnet eine Figur, die in der Ebene liegt.Mit dem Programm plot3D(Nr,Matrix) kann man eine Figurzeichnen samt Koordinateneinheiten. Das sieht für das Drei-eck so aus:Aufruf: SetPlot(.8,.8,1,240°,60°)

plot3d(1,[2,1,4;1,0,0;5,2,1;2,1,4])

Zum Abschluss noch ein paar Aufgaben:

a) Man teste den Aufruf:SetPlot(0.5,1,1,120°,90°)Plot3D([1,1,0; -1,1,0; -1,-1,0; 1,-1,0; 1,1,0; 1,1,2; -1,1,2; -1,-1,2; 1,-1,2; 1,1,2; -1,1,2; -1,1,0; -1,-1,0; -1,-1,2; 1,-1,2; 1,-1,0Ü)

Welchen Körper sieht man? Welche Projektionsart ist das(Frontalriss oder Militärriss)?

b) Man teste den Aufruf:SetPlot(1,1,0.5,120°,150°)Plot3D([2,0,0; -1,1,0; -1,-1,0; 2,0,0; 0,0,4; -1,1,0; -1,-1,0; 0,0,4Ü)

Welchen Körper sieht man? Welche Projektionsart ist das(Frontalriss oder Militärriss)?

c) Wie stellt man mit Plot3D eine quadratische Pyramide dar(siehe nebenan)?

Autor:Manfred Gurtner, Strozzigasse 30, A-1080 Wien, manfred.gurtner@vienna.at

TI-NACHRICHTEN 1998

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Abb. 2

Im Modus 2 läuft der Versuch automatisch ab. Deshalb mußvor Versuchsbeginn noch die Anzahl der Kugeln für diese Si-mulation angegeben werden. Die Kugeln fallen nun soschnell, wie es die Graphik des TI-92 zuläßt. Mit der Taste ◊kann eine fallende Kugel angehalten werden. Mit jeder ande-ren Taste wird der Vorgang fortgesetzt. Wenn alle Kugeln ge-fallen sind, werden drei Alternativen angeboten:● ∏ läßt den Versuch mit gleichem Parameter p aber ggf.

anderer Kugelzahl wiederholen.● N führt auf die von Modus 1 bekannte Ende-Routine.● MH zeigt das Histogramm der eben erzeugten Verteilung.

Abb. 3

Versuchsergebnisse, die im Modus 2 erhalten wurden, könnenvon den Schülern aufgeschrieben und in häuslicher Arbeit aus-gewertet werden, z.B. Umrechnen in relative Häufigkeiten oderZeichnen des Histogramms. Hier empfiehlt sich ein vorbereite-tes Arbeitsblatt, in dem nur die Kugelanzahlen in den einzelnenFächern in eine Tabelle übertragen werden müssen.2 Um denVersuch mit drei verschiedenen Ablenkwahrscheinlichkeiten(z.B. p1 = 0,3; p2 = 0,5 und p3 = 0,8) und jeweils ca. 150 Kugelndurchzuführen, benötigt man etwa 15 Min.

Im Modus 3 wird ein virtuelles Galtonbrett demonstriert: DasDisplay zeigt nur noch die Nummer der registrierten Kugelund den Auffangbehälter. Dafür fallen pro Minute ca. 150 Ku-geln. Durch Drücken der Taste MH kann man jederzeit zur Hi-stogrammdarstellung umschalten und dort die zugehörige

Abb. 4

Abb. 5

Gaußkurve mit einblenden. Mit der Taste MZ wird die Zählungfortgesetzt. Dieser Modus eignet sich besonders gut, wennein zweiter TI-92 vorhanden ist. Der Lehrer kann ihn zu Be-ginn der Unterrichtsstunde starten und das Ergebnis nachAblauf der Versuche in den Modi 1 und 2 mit ca. 3000 Kugelnzeigen, denn das Anschließen eines laufenden TI-92 an denView-Screen ist problemlos möglich. (Wegen der automati-schen Abschaltung des TI-92 muß man nur von Zeit zu Zeitwieder die …-Taste drücken.)

Abb. 6

Wem die Darstellung des Galton-Bretts nicht gefällt, der soll-te vor dem eigentlichen Programmstart das Programmbrett() starten. Dann wird angeboten, das Brett mit den, wieoben gezeigt, als Kreuzchen markierten Nägeln zu "bauen",oder Nägel mit großen oder kleinen Köpfen zu verwenden.

Das Programm kann, einschließlich einer "Gebrauchsanlei-tung", in der aktuellsten Fassung von der TI-92 Seite meinerSchule (http://www.kolleg.nuernberg.de/ti92.html) herunter-geladen werden. Es befindet sich auch auf der neuesten CD-ROM mit TI-Shareware der Firma Böttcher Datentechnik in Lü-beck, die bei Kauf eines TI-92 unentgeltlich mitgeliefert wird.

Autor:Wolfgang Pröpper, Josef-Simon-Str. 59, D-90473 Nürnberg,w.proepper@wpro.franken.de

1) Wenn in diesem Text von " Lehrern" oder "Schülern" die Rede ist, sind damitselbstverständlich auch Lehrerinnen und Schülerinnen gemeint. Der Autorbetrachtet hier die Termini "Lehrer" oder "Schüler" als Berufsbezeichnungenund nicht als geschlechtsspezifische Merkmale.

2) Beim Schreiben dieser Zeilen kommt dem Autor die Idee, das Programmdurch eine Routine zu ergänzen, die das automatische Speichern der Ver-suchsergebnisse bewirkt, sodaß die Auswertung einer eventuellen Hausaufga-be in der nächsten Stunde mit den erhaltenen Daten erfolgen kann. Diese Pro-grammergänzung wird sicher in der nächsten Version implementiert werden.

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TI-NACHRICHTEN 1998

In diesen Artikel werden gewöhnliche Differentialgleichun-

gen des Typs als Spezialfall von zwei ge-

wöhnlichen Differentialgleichungen erster Ordnung von der

Form,

behandelt. Durch die Substitution kann eine

gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung in einSystem von zwei Differentialgleichungen erster Ordnung mit

übergeführt werden. So wird auch eine ge-wöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung mit den

Anfangswerten in ein Anfangswert-

problem des -Systems mit den Anfangswerten

transformiert.Lösungen bzw. genäherte Lösungen eines Anfangswertpro-blems, das aus zwei Differentialgleichungen besteht, unter-sucht man mit Hilfe der Konstruktion des , oder

Graphen. Wir werden auch untersuchen, wie sich dieLösungen bei kleinen Variationen der Anfangswerte bzw.Gleichungsparameter verhält.

Beispiel 1:Wir betrachten das Problem:

,

Man prüft leicht nach, daß die Lösung dieses Problems

ist. Die oben angegebene Transformation ergibt:

Nach Wahl des DifEqn-Mode gebe man das Problem wiefolgt in den TI-86 ein:FORMT FldOffQ´(t) = Q´1=Q2, Q´2=Q1INITC QI1=1, QI2=1, AXES x=t, y=Q1WIND tMin=0, tMax=1, tStep=.025, tplot=0, xMin=0,

xMax=1, xScl=1, yMin=-.1, yMax=3, yScl=1, difTol=.001

Drücke GRAPH, dann TRACE, gebe 1 und ENTER ein, so er-hält als Ergebnis Q1=2,71763...Durch dieses Ergebnis kann man nachprüfen, ob der imple-mentierte Algorithmus des TI-86 richtig gearbeitet hat.

Die Untersuchung der Bewegung eines mechanischen Feder-pendels bzw. des Stromflusses in einem elektrischenSchwingkreis führt zu einem mathematischen Modell der

Form:

Hier sei Man bezeichnet meist als Reibungkoeffizientund als äußere Kraft.Viele physikalische Probleme, die durch diese Differential-

gleichung beschrieben werden, enthalten oft nicht lineareElemente, die durch lineare Terme in oder approxi-miert werden. In diesem Abschnitt werden Beispiele undÜbungen dieses Modells und nicht lineare Erweiterungendieses Modells untersucht.

Beispiel 2:Wir betrachten obiges Modell für das Federpendel bzw.Schwingkreis ohne "äußere Kraft" mit den Parametern

und den Graphen der Lösung für

.Man mache im DifEqn-Mode folgende Eingaben in den TI-86:FORMT FldOffQ´(t)= Q´1=Q2, Q´2=-(145*Q1/144+Q2/6)INITC QI1=12, QI2=0AXES x=t, y=Q1WIND tMin=0, tMax=12.566, tStep=.025, tPlot=0, xMin=0,

xMax=12.566, xScl=1 yMin=-13, yMax=13, yScl=1,difTol=.001

und drücke GRAPH.Mit Hilfe von Lösungstechniken aus der Theorie der gewöhnli-chen Differentialgleichungen kann man die analytische Lösungdieses Problems Q1(t)=12.04*exp(-t/12)*sin(t+1.49) finden.Es ist informativ die Graphen von Q1(t)=±12.04*exp(-t/12) un-serer Zeichnung hinzuzufügen. Man sieht, daß die Lösungzwischen diesen beiden Graphen oszilliert. Um dies zu bewerkstelligen speichert man mit STPIC denGraphen unter den Namen SOL. Nun wechselt man in denFunc-Mode und zeichnet die beiden Einhüllenden und fügtden zuvor abgespeicherten Graphen (RCPIC, Eingabe vonSOL) hinzu. Somit erhält man folgendes Bild.

Abb. 1: Lösung mit Einhüllenden für

Beispiel 3:Jetzt betrachten wir eine ungedämpfte Schwingung mit

.Man zeichne den Graphen auf den Intervall für folgenden Anfangswert . Man gebe im DifEqn-Mode diese Einstellungen ein:FORMT FldOffQ´1= Q´1=Q2, Q´2=cos(4*t)-36*Q1INITC QI1=0, QI2=0AXES x=t, y=Q1WIND tMin=0, tMax=6.283, tStep=.025, tPlot=0, xMin=0,

xMax=6.283, xScl=1, yMin=-.15, yMax=.15, yScl=1,difTol=.001

und drücke Graph.Die Lösung ist Q1(t)=sin(5t)*sin(t)/10 und es ist wie oben auf-schlußreich die Graphen Q1(t)=± sin(t)/10 hinzuzufügen. Soerkennt man, daß die Lösung der Differentialgleichung zwi-schen diesen Einhüllenden oszilliert.

Numerisches Lösen einer gewöhnlichen Differentialgleichung zweiterOrdnung durch Transformation in zwei Gleichungen erster Ordnung

d w

dtg t w

dwdt

2

2=

, ,

( )dQ

dtf t Q Q

11 2= , , ( )dQ

dtg t Q Q

21 2= , ,

w Qdw

dtQ= =1 2,

( )f t Q Q Q, ,1 2 2=

( ) ( )w t wdwdt

t w0 0 0 0= = ′,

Q Q1 2,

( ) ( )Q t w Q t w1 0 0 2 0 0= = ′,

t Q− 1 t Q− 2Q Q1 2−

d w

dtw

2

20− = ( ) ( )w

dwdt

0 0 1= =

( ) ( )dQ

dtQ

dQ

dtQ Q Q1

22

1 1 20 1 0 1= = = =, , ,

( )w t e t=

( )d wdt

bdwdt

w f t2

22+ + =σ .

( )f tb ≥ 0. b

w dw dt/

( )b f t= = =1

6

145

14402, ,σ

( ) ( )w w t0 12 0 0 0 4= ′ = ≤ ≤, , π

′′ + ′ + =w w w16

145144

0

( )b f t t= = =0 36 42, , cosσ0 2≤ ≤t π

( ) ( )w w0 0 0= ′ =

TI-NACHRICHTEN 1998

Abb.2:Lösung mit Einhüllenden für

Beispiel 4:Als nächstes wollen wir uns mit einem speziellen Teilpro-blem des Federpendel- bzw. Schwingkreismodells befassen,nämlich mit dem Fall b>0 und f(t) periodisch mit der PeriodeP. Ein Lehrbuch über gewöhnliche Differentialgleichungenzeigt, daß die Lösung eines Anfangswertproblems dieser Dif-ferentialgleichung aus zwei Termen besteht. Der eine ver-schwindet für wachsendes t (diese wird auch allgemeine Lö-sung genannt) und der andere ist eine partikuläre Lösung. Istdie partikuläre Lösung periodisch, so bestimmt sie dasSchwingungsverhalten für große Zeiten.Ist f(t) eine einfache Kombination aus Sinus- und Cosinus-Funk-tionen, so liefert ein Ansatz mit unbestimmten Koeffizienteneine periodische partikuläre Lösung (z.B. ). Der Taschenrechner kann benutzt werden, um das Verhaltender Lösung in Abhängigkeit von der Wahl der periodischenFunktion f(t) zu studieren. Zum Beispiel für er-hält man die partikuläre Lösung ,wobei

Setze b=.5, s2=1.25. Benutze den Rechner, um die Graphenvon f(t)= cos(t)+3*(sin(3t/2))^2 und wp(t)= (sin(t+.245))/1.031+1.5*(.8-sin(3*t-1.12)/8.31) zu zeichnen. Warnung: Die reser-vierten Variablennamen im Func MODE sind x und y. In unse-rem Fall wird t zu x und f(t) bzw. wp(t) zu y(x).

y(x)= y1=cos(x)+3*(sin(3*x/2))^2 , y2=(sin(x+.245))/1.031+1.5*(.8-sin(3*x-1.12)/8.31)

WIND xMin=0, xMax=6.283, xScl=1, yMin=-3, yMax=4, yScl=1

Wird y2 jemals 0? (Man benutze die Trace Funktion des Ta-schenrechners, um eine Vermutung zu machen.)

Abb.3: Anregende Kraft und periodische Reaktion für

′′ + =w w t36 4cos

( ) ( )w t i tp = λ ωexp

( )f t a t= cosγ( ) ( ) ( )w t A tp = +γ γ φsin

( )( )

Aa

bb

γσ γ γ

φσ γ

γ=

− +=

−

22

2 2

2 2

42

, tan

′′ + ′ − = +w w w t t125 3 152. cos sin .

EinleitungDer CBR bietet eine Lösung, um Bewegungsdaten (Abstand,Geschwindigkeit und Beschleunigung) schnell zu erfassenund mathematisch zu behandeln. Der CBR arbeitet wie derUltraschall-Bewegungsmesser des CBL™ (Calculator BasedLaboratory™), besitzt aber zusätzlich einen intelligentenSpeicher. Es ist auch möglich, den CBR anstelle des CBL Mo-tion Detectors zusammen mit dem CBL™ (Calculator BasedLaboratory™) zu verwenden, doch soll hier die eigenständigeArbeit mit dem CBR betrachtet werden. Der CBR wird direktmit dem TI-92, (TI-82, TI-83, TI-85, TI-86) verbunden. DasMeßprogramm (RANGER) ist im Speicher des CBR integriertund wird über ein Kabel auf Knopfdruck in den TI-Rechnerübertragen, um von dort aus gestartet zu werden. Dabei wer-den bis zu 200 Meßpunkte je Sekunde erfaßt. Bisher war esrecht mühsam, Bewegungsdaten zu erfassen. Abhilfe schafftder CBR, da bereits mit geringen Mitteln Meßdaten erhaltenwerden können. Diese Meßdaten liegen als Listvariable imRechner vor und können dort leicht weiterverarbeitet werden.

Zur Veranschaulichung der Arbeit mit dem CBR sollen nun ei-nige Experimente und ihre Auswertung am TI-92 beschriebenwerden.

Experiment 1: Den Graphen treffen (Match it)Benötigte Hilfsmittel:Taschenrechner, CBR, Verbindungskabel

Durchführung:Das Programm gibt einen Graphen im Weg-Zeit-Diagramm(oder im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm) vor und eine Per-

Heinz-Dieter Hinkelmann, Korneuburg

CBR™ (Calculator Based Ranger‘)son soll nun versuchen, ihre Bewegung so auszuführen, daßÜbereinstimmung mit dem Graphen erzielt wird. Der Graphbesteht jeweils aus drei linearen Teilen, die Messung erfolgtim „Realtime”-Modus, die Meßergebnisse werden punktiertüber den Graphen gelegt.

Zum Start der Messungen wählt man aus dem Hauptmenü„4:Applications” und danach die Einstellung „2:Meters”. Die„Match”-Programme werden sonst nicht von den Voreinstel-lungen beeinflußt. Um ein Weg-Zeit-Diagramm zu untersu-chen, wählt man in der Folge „1:Distance Match” und ge-langt in das Start-Fenster:

Nach dem Drücken der <Enter>-Taste wird ein Graph vorge-geben. Die Versuchsperson hält den CBR in der einen undden Taschenrechner in der anderen Hand, richtet den Sensordes CBR gegen eine Wand und stellt sich an jene Position, woder Graph beginnen könnte. Die Messung wird im „Real-time”-Modus mit <Enter> gestartet und es wird versuchtdurch Vor- oder Zurückgehen den vorgegebenen Graphen zutreffen. Ein typisches Diagramm und ein Ergebnis könnteneventuell folgendermaßen aussehen:

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TI-NACHRICHTEN 1998

In diesem Beispiel bewegt sich die Person in etwa 3 s von 1,9m auf 3,3 m von der Wand weg, verweilt etwa 4,5 s und be-wegt sich in den folgenden 3,5 s auf etwa 1,8 m zur Wandhin. Ganz analog kann man auch mit dem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm vorgehen:

Experiment 2: Harmonische SchwingungenBenötigte Hilfsmittel:Taschenrechner, CBR, Verbindungskabel, Schraubenfeder mitMassenstück, Stativ mit Stangen und Klemme

Durchführung:Es wird ein Gewicht an eine Schraubenfe-der gehängt und durch Dehnen der Federin harmonische Schwingungen versetzt.Der Abstand der schwingenden Masse inAbhängigkeit von der Zeit folgt der Funkti-ong = r·cos (vt + d)(g ... Elongation, r ... Amplitude, v ... Kreisfrequenz, t ... Zeit, d ... Phasenwinkel)

Für die Geschwindigkeit gilt y = - v·r·sin (vt + d)und für die Beschleunigung a = - v2·r·sin (vt + d)Aus Platzgründen sollen hier nur Weg- und Gechwindigkeits-funktion der harmonischen Schwingung untersucht werden.

Man stellt die Verbindung zwi-schen TI-Rechner und CBRher und startet das ProgrammRANGER. Die hier gezeigtenEinstellungen sollten gewähltwerden. Nach der Bestätigungvon “Start Now” wird die

Messung mit <Enter> eingeleitet. Sind die Daten in den Spei-cher des TI-92 übertragen, wird das Weg-Zeit-Diagramm amDisplay dargestellt. Nach Betätigen der <Enter>-Taste er-scheint das Menü, welches die Darstellung des Geschwindig-keits-Zeit-Diagramms erlaubt.

Wie bereits erwähnt, sind die Meßergebnisse in Listvariablengespeichert: L1 = Zeit, L2 = Abstand, L3 = Geschwindigkeit, L4 = BeschleunigungEs soll nun eine Nachbehandlung der Daten am Rechnerdurchgeführt werden.

Mittels der <APPS>-Taste am Rechner wird das „Applicati-ons”-Menü eröffnet. „6:Data/ Matrix Editor” gibt die Möglich-keit, eine neue Variable zu definieren (hier „harmonic”), wodie Meßdaten eingetragen werden können:In die Zelle „c1” schreibt man „l1” hinein und erhält sofortdie Werte der Listvariablen in dieser Spalte (Zeitwerte). Ge-nauso verfährt man mit der 2. Spalte („l2”), der 3. Spalte(„l3”) und der 4. Spalte („l4”).

Da im Programm RANGER keine Nullpunktkalibrierung desAbstandes vorgesehen ist, kann man aus den Meßergebnissender 2. Spalte (Weg) den mittleren Abstand vom Meßinstru-ment ablesen (Mittelwert zwischen zwei benachbarten Extrem-werten). In diesem Beispiel beträgt der mittlere Abstand 0,647m. In die 5. Spalte wurden daher die Werte des Abstandes ver-mindert um 0,647 m gebracht. Verwendet man diese Spalte zurDarstellung des Weg-Zeit-Diagramms, so wird die Funktionparallel verschoben um die t-Achse dargestellt.

Um nun einen Graphen am Display des Rechners zu erzeu-gen, geht man folgendermaßen vor:

Man aktiviert aus dem Data/Matrix Editor heraus <F2> („PlotSetup”) und definiert dann mit <F1> („Define”) die Plot-Dar-stellung (am Beispiel der Darstellung des verschobenen s-t-Diagramms als xy-Linie aus Punkten).

Sind nun die Plots festgelegt, so werden sie im Grafikfenster(Auswahl am Rechner mit <◆> + <R>) dargestellt. Mit <F4> istes möglich, das Zeichen “✔” aus- oder einblenden, da nurmit “✔” gekennzeichneten Plots angezeigt werden.

Deutlich lassen sich die Zu-sammenhänge zwischen Wegund Geschwindigkeit aus denGraphen herauslesen.

s-t- und v-t-Diagramm

Experiment 3: Aufspringender BallBenötigte Hilfsmittel:Taschenrechner, CBR, Verbindungskabel, Ball

Durchführung des Experimentes:Man läßt einen Ball aus gegebener Höhe fallen, der dannmehrmals aufspringt. Es soll untersucht werden, welcherFunktion die Höhen der Ballsprünge folgen.

TI-NACHRICHTEN 1998

Es wird das Programm RANGER gestartet. Nach dem Er-scheinen des Eingangsschirms erhält man mit <Enter> dasHauptmenü und wählt daraus “3:Applications...”. Danachwird “2:Meters” bestätigt. Aus dem nachfolgendem Menüwählt man “3:Ball Bounce”.

Auswertung des Experiments:Beim Experiment kann die Verbindung zum CBR gelöst unddie Messung mit der <Trigger>-Taste am CBR eingeleitet wer-den. Die Daten werden danach in den Rechner transferiert.Das Ergebnis des Experiments könnte nun wie folgt aussehen:

Es sollen die Koordinaten derExtremwerte der ersten fünfBallsprünge bestimmt wer-den. Das geht recht einfach,da man mit den Cursortasten(A und B) die Spur des Gra-phen verfolgen und unten dieKoordinaten ablesen kann.

Man verläßt nun das Programm RANGER, eröffnet im Da-ta/Matrix Editor eine neue Variable (hier: ball) und trägt dieabgelesenen Werte ein:

Es können nun die eingegebenen Werte als Plot 2 dargestelltund zusammen mit dem Plot 1 der Messungen am Displayausgeben werden. Man betätigt <F2> (Plot Setup), setzt denCursor auf “Plot2:” und definiert mit <F1> (Define).

Das Ergebnis erscheint nach Aufsuchen des GRAPH - Fen-sters (mit <◆> + <R>):

Mit der <APPS>-Taste undAuswahl „6:Data/Matrix Edi-tor” und „1:Current” kommtman wieder zu den eingegebe-nen Meßwerten. Wie aus dergrafischen Darstellung zu ersehen, ist hier eine exponen-

tielle Regression sinnvoll, um eine Funktion der abnehmen-den Ballhöhen zu erstellen. Dazu wird <F5> (Calc) gedrückt,um im nachfolgenden Fenster die notwendigen Einstellun-gen zu treffen.

Werden die Plots und die Regressionslinie in einem Fensterangezeigt, erhält man folgendes Ergebnis:

Ich hoffe, daß ich mit diesen Ausführungen einen kleinen Ein-blick in die große Zahl möglicher Anwendungen des CBR ge-ben konnte. Das CBR ist auf alle Fälle eine kostengünstige Lö-sung zum Erforschen der „Realen Welt” in der Schulklasse.Für Anfragen zu CBL und CBR stehe ich gerne zur Verfügung.

Autor:Heinz-Dieter Hinkelmann, Kreuzensteinerstr. 6, A-2100 Korneuburg,heinz-dieter.hinkelmann@telecom.at

Wolfgang Pröpper, Nürnberg

Höhere Mathematik mit dem TI-92 – das PLUS-ModulKann man doch, werden Sie sagen. Denn selbstverständlichschafft der TI-92 alle Kalküle, die in der Oberstufe des Gym-nasiums Verwendung finden. Auch ein großer Teil der Fra-gestellungen, die in der Mathematikausbildung der meistenStudiengänge an Hoch- und Fachhochschulen auftreten, las-sen sich mit dem TI-92 "erschlagen".

Dennoch kündigte Texas Instruments Ende letzten Jahres dieEntwicklung eines Plus Moduls für den TI-92 an. Als voraus-sichtlicher Erscheinungstermin wurde der Sommer 1998 ge-nannt. Inzwischen ist eine Entwicklungsversion fertiggestellt.Sie wird derzeit weltweit von Fachleuten aber auch einfachenAnwendern auf Herz und Nieren geprüft und optimiert.Die Fülle der Neuerungen könnte leicht den Rahmen des vor-liegenden Hefts sprengen. Deshalb, und um den Leserinnen

und Lesern einen Vorgeschmack zu geben, werden hier nurdrei Höhepunkte der neuen Möglichkeiten vorgestellt.

1.Mit dem Plus Modul (er wird einfach anstelle des alten Be-triebssystem Moduls eingesteckt) wird der TI-92 um Län-gen flexibler als seine Vorläufer.Da das Betriebssystem des TI-92 im Plus Modul in einFlashROM gebrannt ist, kann es einfach nachgerüstet wer-den: Mit einem Internet-Zugang und dem TI-Graph Linkwird die jeweils neueste Version von der Texas InstrumentsHome Page geladen und auf dem TI-92 installiert. Die aktu-elle Fassung meldet sich in einem About Fenster (Abb.1).Und, daß der Speicher vergrößert wurde, ist beinahe eineSelbstverständlichkeit.

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TI-NACHRICHTEN 1998

Damit scheint sichergestellt, daß Erweiterungen und Verbes-serungen des Betriebssystems ohne zusätzlichen HardwareAufwand (und wohl auch ohne Zusatzkosten??) installiertwerden können.

2.Die Betriebssoftware ist um zwei mächtige Werkzeuge zumLösen von Differentialgleichungen erweitert worden. Be-trachten wir die gedämpfte Schwingung x“+l x’+v2 x = 0als bekanntes Beispiel.

● Die deSolve (Funktion des Plus Modul löst die Gleichunganalytisch. @1und @2sind dabei die Integrationsvariablen.Aber auch spezielle Lösungen lassen sich errechnen:

Wir setzen g = 12– und v2 = 4p2 + 1

16– . Die Anfangsbedingungenseien x(0) = 3 und x’(0) =0. Die Lösung

wird anschließend (mit den begrenzenden Exponentialfunktio-nen) im Graphik Modus für Funktionen geplottet.

● Für die graphische Lösung von Differentialgleichungen gibtes einen eigenen Modus. Der zugehörige Funktionen Editorfordert nun zur Eingabe von Gleichungen der Form auf. Da-zu muß die gegebene Differentialgleichung 2. Ordnung in

ein System zweier Gleichungen 1. Ordnung aufgelöst wer-den (Abb., linkes Fenster). Das Umschalten in den GraphScreen liefert das Richtungsfeld im y1-y2-Phasenraum. Legtman noch zusätzlich die Anfangsbedingungen wie obenfest, so wird die partikuläre Lösung fett in das Phasendia-gramm eingezeichnet (Abb., rechtes Fenster).

3.Das Lösen von Gleichungssystemen (und nicht nur von li-nearen!) wurde entscheidend verbessert:In der Abb. 6 werden die Schnittpunkte des Kreises um (-1 / 0) und Radius 2 mit der Hyperbel x2 - y2 = 0 einmal mitder solve (und ein zweites Mal mit der zeros (Funktionberechnet.

Die Ausgabe des Resultats erscheint dem Unterzeichner aller-dings im letzteren Fall weitaus übersichtlicher und damit bes-ser geeignet. (Die 8 Schnittpunkte einer Kugel, eines Rotations-hyperboloids und eines Paares paralleler Ebenen lassen sicheben noch sichtbar darstellen. Die Lösung dieses Problems mitder solve (Funktion führt dagegen auf eine Zeichenkette derLänge 296, also etwa 5 Zeilen eines DIN A4 Blattes.)

Daß natürlich noch nicht alles perfekt sein kann, zeigt dasletzte Beispiel: In Abb. 8 werden die beiden Schnittpunkte desEinheitskreises und der e-Funktion zuerst, wie gewohnt, "zuFuß" berechnet.

Die erweiterte Lösungsfunktionalität des Plus Moduls liefertnur eine Lösung, aber immerhin die, welche mit viel Rechen-aufwand verknüpft ist. Ein Gefühl dafür, daß noch etwas imBusche sein könnte, scheint schon im Betriebssystem ent-wickelt zu sein: In der Statuszeile liest man nämlich "Warning:More solutions may exist" Die beiden Beispiele ließen sichnoch um eine lange Liste ergänzen: Für die Matrix-Algebra ste-hen fertige Funktionen zur Eigenwert- und Eigenvektorberech-nung bereit, Matrizen können auf unterschiedliche Arten in or-thogonale und orthonormale Anteile zerlegt werden. Das3D-Plot Fenster wurde um Kontur- und Linienplots erweitertund mit Hilfe der Cursortasten kann man 3D-Plots um alle Ach-sen rotieren lassen, was die Anschauung weiter unterstützt.

Autor: Wolfgang Pröpper, Josef-Simon-Str. 59, D-90473 Nürnberg, w.proepper@wpro.franken.de

Das about Fenster

Lösung mitAnfangsbedingungenund speziellenParametern

Graphische Darstellungim t-x-Koordinaten-system

Numerischer Ansatzmit Richtungsfeld

allgemeineLösung

2 Lösungsverfahren fürein nichtlineares Gleichungssystem

TransponierteLösungsmatrix

Beachten Sie dieStatuszeile!

TI-NACHRICHTEN 1998

Mechthild Ebenhöh, Oldenburg

Modellieren mit dem TI-92

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Ein fächerübergreifendes Projekt Biologie - Mathematikdurchgeführt im Juli 1997 am Albertus-Magnus-GymnasiumFriesoythe im Mathematikunterricht der Klasse 7 und im Leistungskurs Biologie, Jahrgang 12

1. Die Idee

Rosettenartige Stellungen von Blättern und Blütenorganenenthalten einen hohen ästhetischen Reiz, und mit Hilfe des Ta-schencomputers TI-92 kann man diese fraktalen Formen derNatur auch in ein mathematisches Modell übertragen. DasModell in der Klasse 7 ist rein beschreibend; es erfordert alsVorwissen Kenntnisse über Winkel und Teilbarkeit und führtzur Darstellung in Polarkoordinaten. Im Leistungskurs Biologiewird ein kausales Modell entwickelt, das biologische Sachver-halte mit den Grundkenntnissen der Analysis verbindet.

2. Das Modell im Mathematikunterricht der Klasse 7

Es kann an die bereits bekannte Darstellung von Blütendia-grammen aus dem Biologieunterricht angeknüpft werden:Man überträgt das reale Objekt in ein Schema aus konzentri-schen Kreisen, in dem die einzelnen Organe in bestimmtenWinkeln angeordnet werden. Dies ist ein deskriptives Modell,das dazu dient, verschiedene Pflanzenfamilien zu unterschei-den und zu klassifizieren. Es sind also schon Vorkenntnisseüber die Darstellung von Objekten mit den Größen „Radius“und „Winkel“ vorhanden, so dass sich der Schritt zu Polarko-ordinaten recht einfach ergibt.

Bau einer Schema der BlattstellungenRapsblüte von oben (kreuzweise

gegenständig)

Untersucht man nun eine rosettenartige Pflanze, wie Löwen-zahn, Dachwurz, Gänseblümchen, usw., so stellt man fest,dass die Blätter alle „auf Lücke“ stehen. Dadurch hat diePflanze den Vorteil, dass jedes Blatt optimal Sonnenlicht er-hält, weil die Blätter sich nicht gegenseitig beschatten. Dieseoptimale Anordnung gelingt der Pflanze offenbar dadurch,dass sie die Blätter in einem bestimmten Winkel aufeinanderfolgen lässt. Diesen Winkel wollen wir herausfinden.

Man vermutet beim Auseinanderpflücken, dass der Winkelzwischen 90° und 180° liegt, und probiert mit Zirkel und Geo-dreieck aus, welche Anordnungen sich z. B. bei 135° oder140° ergeben. In der 7. Klasse hat man noch die Vorstellung,dass schöne Bilder auf einfachen Zahlen beruhen. Das Er-gebnis ist enttäuschend. Trotz mühsamer Zeichenarbeit ge-lingt uns keine befriedigende Lösung. Mit Polarkoordinaten-mm-Papier kann man zwar weitaus mehr „Blätter“darstellen, aber man hat das Gefühl, das sei immer noch zuviel Arbeit für zu wenig Erfolg.

Nun wird der „Zauberkasten“ aktiviert, der uns das Zeichnenabnehmen soll. Nach all der Vorarbeit ist die Entstehung derTI-92-Grafik keine black box mehr. Wir wissen, dass die Radi-en der Kreise mit zunehmendem Winkel immer größer wer-den; die Zuordnung ist proportional. Damit r nicht zu großwird, wird als Proportionalitätsfaktor eine sehr kleine Zahlgewählt, z. B. 120000 . Wir lassen den Winkel von 0 bis 20000laufen, dann läuft r von 0 bis 1. Nun muss man nur nochdafür sorgen, dass der Rechner immer dann einen Punktmacht, wenn ein Vielfaches des gewünschten Winkels er-reicht ist.

In die Schülerhefte wird also die Grundeinstellung aufge-schrieben:

Einstellungen: MODE: Graph................POLARAngle.................DEGREE

◆ y= r1=T /20000 (Der Radius ändert sich mit demWinkel T. Wenn T = 0, dann ist r =0.Wenn T = 20000, dann ist r = 1.)

F6 Style SQUARE (während r1 markiert ist)◆ F Axes OFF◆ WINDOW Tmin = 0

Tmax = 20000Tstep = 135 (Dieser Wert enthält den gewünsch-

ten Winkel. Man ändert ihn, wennman eine neue Zeichnung anferti-gen will.)

xmin = - 2.3xmax = 2.3xscl = 1ymin = -1ymax = 1yscl = 1

◆ Graph

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TI-NACHRICHTEN 1998

Nun staunt man, wie einfach die Bilder gezeichnet werden.Man wird zum Ausprobieren geradezu herausgefordert undregt sich gegenseitig dazu an, möglichst absonderliche Figu-ren anzufertigen. Dabei ist es nicht schlimm, dass unser Ziel,den „optimalen“ Winkel der Pflanze zu suchen, zunächst ausden Augen verloren wird. Die Begeisterung ist groß.

Zwischendurch tauchen Fragen auf: Bei welchen Zahlen erge-ben sich „Strahlen“, bei welchen Zahlen erhält man Spiralen?Warum ergeben sich bei dem Winkel 135° genau 8 Strahlen?8·135 = 1080 = 3 ·360, das bedeutet, das 9. Blatt steht nach 3Umläufen genau wieder über dem ersten!Warum erhält man bei 89° vier rechtsläufige Spiralen, bei30.1° zwölf linksläufige Spiralen? Man sieht an den Grafikendeutlich, wie die Abweichungen zu den Zahlen 90 bzw. 30 auf-summiert werden!

Zurück zu unserem Ausgangsproblem: Um eine „optimale“ Blattstellung zu erhalten, d.h. dass mög-lichst alle Blätter auf Lücke stehen, muss man eine Zahl su-chen, die mit 360 keine Teiler gemeinsam hat, ja mehr noch,auch Vielfache dieser Zahl dürfen nicht durch 360 teilbar sein!„Diese Zahl gibt es nicht“, beweisen mir meine Schüler,„denn wenn ich eine Zahl mit 360 Millionen multipliziere, istsie durch 360 teilbar, also stehen bei jeder Zahl die Blätter ir-gendwann wieder übereinander!“Hier hat sich das mathematische Modell verselbständigt. Esist uninteressant geworden, dass Pflanzen doch nur wenigeBlätter besitzen, und dass es in der Natur kaum von Bedeu-tung ist, wenn nach 1000 Blättern eine Überdeckung stattfin-det. Die Suche nach dem geheimnisvollen Winkel ist zu einemmathematischen Problem geworden, das direkt zu den irratio-nalen Zahlen führen könnte.

Um die Natur wieder ins Spiel zu bringen, werden einigeMessdaten angegeben:

Beobachtungen aus der Natur:

Pflanze Umläufe Zahl der Blätter Winkel zwischenden Blättern

Schwertlilie 1 2 180°Sauergräser 1 3 120°Kohl 3 8 135°Dachwurz 5 13 138,5°Tannenzapfen 8 21 137,1°Margaritenblüte 13 34 137,6°Gänseblümchenblüte 21 55 137,46°Sonnenblume 34 89 137,52°

TI-NACHRICHTEN 1998

Was kann man an den Zahlen erkennen? Beobachtungen derSchüler:

Die Winkel liegen zwischen 120° und 180°.Je komplizierter die Blüten sind, desto näher kommt der Winkel 137°.Die Zahlen der zweiten Spalte kommen auch in der ersten Spalte vor.Wenn man zwei Zahlen untereinander addiert, kommt die darunterliegende raus.

Und wieder löst man sich von den Daten aus der Natur, stelltdie Frage: „Mit welchen Zahlen geht es weiter?“ und berech-net die noch genaueren Winkel der neu geschaffenen „Pflan-zen“.

Der Winkel 137.5° ist wirklich der „optimale“ Winkel für unserModell, wie man in den drei Zeichnungen sehen kann. Schongeringe Abweichungen führen zu einer weniger günstigenBlattstellung.

Die Schülerfrage „Gibt es denn eine Pflanze, die ganz genauden Winkel 137.5° einhält?“ lenkt den Blick zurück auf die Bio-logie und lässt erkennen, dass nun das Modell in die Realitätübertragen wird. Es mag dann enttäuschend oder tröstlichsein, dass die Pflanzen große Abweichungen zu dem so gün-stigen Winkel zeigen, dass die Natur niemals starr festgelegtist, sondern innerhalb gewisser Grenzen variabel bleibt. DieMittelwerte der Messungen ergeben allerdings recht genauden Wert 137.5°.

3. Das kausale Modell im Leistungskurs Biologie

Im Biologie-Leistungskurs wird ein Modell entwickelt, das dieEntstehung von Blattrosetten durch Inhibition, also durch ge-genseitige Hemmung, erklärt. Auch hier ist der TI-92 einwichtiges Hilfsmittel, da sich die Verteilungsfunktionen desHemmstoffes nicht von Hand berechnen lassen.

Spross von oben gesehen:

Nr. 2 entsteht bei 180° und produziert Hemmstoff

Nr. 1 entsteht bei 0° und produziert Hemmstoff

zwei Möglichkeiten fürNr. 3

✘

✘

Allgemeine Annahmen● Eine neu entstehende Blattknospe gibt einen Inhibitions-

stoff an die Umgebung ab.Inhibitionsstoffe sind als Pflanzenhormone oder Wuchs-stoffe seit langem bekannt (z.B. Auxine).

● Der Inhibitor verteilt sich durch Diffusion und durch ande-re Transportprozesse.Sein Maximum liegt immer am Ort der neuen Knospe.

● Je älter das Blatt wird, desto weniger Inhibitor wird produ-ziert.

● Die folgende Knospe entsteht dort, wo die Konzentrationdes Inhibitors am geringsten ist.

Spezielle Annahmen für das Modell● Die erste Knospe entsteht bei k1 =0° = 360°● Wir beschreiben die Inhibitorverteilung durch eine peri-

odische Funktion mit breitem Minimum, z. B. . (Später wird man auch andere Funktionen testen.)

● Die Inhibitorverteilung der ersten Knospe ist also

und die zweite Knospe entsteht im Minimum von in1, also bei k2 = 180°.

● Auch die zweite Knospe produziert Inhibitor, der sich mit verteilt. Die erste Knospe liefert aus

Altersgründen nur noch die Hälfte dieses Stoffes.Die neue Inhibitorverteilung ist also insgesamt

● Die dritte Knospe hat als Entstehungsort zwei gleichwerti-ge Möglichkeiten

k3 = 70.53° oder k3 = 289.47°. Die beiden Orte liegen symme-trisch zu einander. Wenn man einen Ort auswählt, ist damitder Drehsinn für alle weiteren Knospen festgelegt. In der Na-tur kommen rechts gedrehte und links gedrehte Blattstellun-gen bei den entsprechenden Pflanzen auch etwa gleich häu-fig vor. Es scheint also zufällig zu sein, an welcher der beidenMöglichkeiten die dritte Knospe entsteht.● Wir wählen die zweite Möglichkeit und erhalten die neue

Inhibitorverteilung

● Und so geht es weiter............

Ergebnisse des rekursiven Modells:

Nr. des Blattes 1 2 3 4 5

Entstehungsort 0 180 289.5 77.2 202.5Differenzwinkel - 180 109.5 147.8 125.2

6 7 8 9 10 11

341.2 110.1 245.9 17.4 151.4 283.8138.7 128.9 135.8 131.5 134 132.4

Bei diesem Modell pendelt sich der Winkel bei etwa 133° ein.

17

TI-NACHRICHTEN 1998

Bearbeitung mit TI-92

Einstellung: MODE FUNCTION DEGREE APPROXIMATE

◆ WINDOW: xmin = 0xmax = 360xscl = 30ymin = 0ymax = 6

◆ HOME

■ ClrGraph

■ Define in1(x)=(1+cos(x))2

■ Graph in1(x)■ fMin (in1(x),x) | 0<x and x<360 x=180

■ Define in2(x)=0.5 in1(x) + (1+cos(x-180))2

■ Graph in2(x)■ fMin (in2(x),x) | 0<x and x<180 x=70.53

■ Define in3(x)=0.5 in2(x) + (1+cos(x-70.53))2■ Graph in3(x)■ fMin (in3(x),x) | 180<x and x<360 x=282.764

usw.

Die Schritte „Graph zeichnen lassen“ und „numerisch dasMinimum bestimmen“ sind aus mehreren Gründen notwen-dig. Am Graphen sieht man die Inhibitorverteilung über dasganze Intervall, und jeder Schritt liefert eine neue, unge-wöhnliche Funktion. Gleichzeitig kontrolliert man am Gra-phen, ob die neue Verteilung richtig definiert wurde. Für die Bestimmung des Minimums muss man den unge-fähren Bereich am Graphen ablesen. Der Wert lässt sich nichtalgebraisch exakt berechnen, da durch die rekursive Definiti-on die Terme sehr komplex werden, und durch die Periodi-zität immer unendlich viele Minima auftreten. Selbst im Inter-vall 0° bis 360° treten manchmal mehrere lokale Minima auf,und man ist auf das Augenmaß angewiesen, um das „gering-ste“ Minimum herauszufinden.

Es werden nun natürlich auch andere Varianten des Modellsgetestet, vor allem der Einfluss des Alterungsfaktors, der hier0.5 beträgt. Man entdeckt, dass die Werte des Differenzwin-kels um so schneller konvergieren, je geringer die Hemm-stoffproduktion der vorletzten Knospe ist. Und bei hohen Fak-toren (0.8 oder 0.9) entstehen periodische Zyklen, wobei dieVerteilungsfunktionen „chaotisch“ aussehen.

Literatur: H. Haß: Phyllotaxis, Computer und Unterricht, Heft8/1992

Autorin:Mechthild Ebenhöh, Schlehenweg 7, D-26131 Oldenburg,m_eben @icbm.uni-oldenburg.de

Im Rahmen der Ostwald-Tage an unserer Schule führten wir1997 erstmalig zwei Workshops zum Umgang mit dem Ta-schenrechner TI-92 durch. Da in Sachsen derzeitig nur gra-phikfähige, programmierbare Taschenrechner ohne Compu-teralgebrasystem zugelassen sind, war der Umgang mitdem TI-92 für unsere Schüler neu. An den beiden Workshopsbeteiligten sich Schüler ab der Klasse 9. Nach einer relativkurzen Einführung in die Arbeit mit dem TI-92 stellten wir be-sonders das Gleichungslösen in den Vordergrund, da diesnach unserer Meinung einen guten und schülergemäßenEinstieg in den Umgang mit einem CAS-fähigen Taschen-rechner ermöglicht. Nach einer Besprechung der entspre-chenden zur Verfügung stehenden Funktionen haben wir unsbesonders mit Wurzelgleichungen beschäftigt. Dabei sollteneinfache und schwierigere Aufgabentypen von den Schülernbearbeitet werden. Unsere Schüler brachten dem TI-92 sehrgroßes Interesse entgegen und unsere Veranstaltungen wa-ren sehr gut besucht. Dadurch wurden wir angeregt, auchanderen unsere gesammelten Erfahrungen im Problemlösenmit dem TI-92 mitzuteilen. Hier soll nur eine kleine Auswahlder gestellten Aufgaben erläutert und deren Lösung demon-striert werden.

(Wer sich an seine Schulzeit erinnert, wird sich auch an dieProbleme erinnern, die beim Lösen von Wurzelgleichungenauftreten können.)

1 4 5.) 3x - 5 + =2.) x - a − =b c

3 0 5 1 5 0.) , , x +1 + 2x 2 + + =x4 3 50 3 0.) 7 15x + 4 − − =x5 2 7 10 7 1.) 3x +1 + − = −x x

6 6 5 2 3 6 7.) 2x +1 + − − − = +x x x

7 10 3 10 32.) 6x + 4 + x4 + + + = +x x x

9 10 27 12 3 33 2.) x +8 + x4 + + + − = +x x x x

10 54 47 113 2 32.) 27x 33 + + − − =x x x

8 14 5 1 52.) 10x + 32 + x4 − + − = +x x x

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Dr. Sonnhard Graubner, Leipzig

Aktive Mathematik mit dem TI-92-Möglichkeiten und die Lösung von Problemen

Hinweis: Der Lösungsgrundbereich sei die Menge der reellenZahlen. Und nun zu den Aufgaben und deren Lösungen:Bei 1.) ergibt der Befehl solve ( ) sofort x=2. Be-sonders wichtig ist bei dieser Art von Gleichungen eine Pro-be mit dem sogenannten „Mit-Operator“ | : |x=2 ergibt true. Auch mit dem zweiten Beispiel kommt unser Taschenrechnergut zurecht. Solve ( ) ergibt mit derBedingung . Diese Bedingung, unter der die Gleichunglösbar ist, geben manche anderen professionellen Mathema-tikprogramme nicht mit aus. Die Probe (wie im Beispiel 1.)liefert: Diese Gleichung läßt sich natürlich unterder Bedingung zu der wahren Aussage c=c vereinfa-chen.Beim Beispiel 3.) lautet die Angabe des Ergebnisses x=1..Dies ist zu beachten, da es sich bei der Eingabe um float-Zah-len handelt. Auch hier stimmt die Probe.

Nun wollen wir sehen, ob unser Taschenrechner auch mitmehreren Wurzeln zurechtkommt. Wir geben wiederum ein:solve ( ) . Erstaunlicherweise erfolgthier eine Ausgabe der Form x=0.333333333333. (Der TI-92 ar-beitet offensichtlich intern mit einem Näherungsverfahren.)

Setzen wir zur Probe ein, so ergibt sich auch hier die Antwort: true. Der geneigte Leser sei aufgefordert an dieserStelle zu experimentieren und die Anzahl der Dreien zu redu-zieren!Beim Beispiel 5.) ermittelt der TI-92 x=5., also wiederum einefloat-Zahl, diese könnte gerundet sein. Die Probe bestätigtaber die Richtigkeit des Ergebnisses!Auch mit dem Beispiel 6.) kommt unser Rechner mühelos zu-recht.Zum Beispiel 7.): Wir geben ein: solve( ) . Der Taschenrech-ner ermittelt die „Lösung“ x=3162277,66017, welches auchmit einer „Probe“ bestätigt wird. Es ist zu erwarten, daß derTI-92 eine solche, doch schon recht komplizierte Gleichungnicht mehr symbolisch lösen kann. Deswegen versuchen wires mit dem Befehl nsolve(). Da dieser Befehl numerische Ite-rationsverfahren, wie z.B. das Newtonverfahren oder die Re-gula-falsi benutzt, benötigen wir einen guten Startwert bzw.ein Intervall, welches die Lösung mit Sicherheit enthält. Dazustellen wir den Graph der Funktion

auf dem Taschenrechnerdar. Nun läßt sich leicht mit Hilfe von Trace ein Näherungs-wert für die Lösung der Gleichung ermitteln:

Wie aus den beiden Abbildungen zu sehen ist, liegt die Lö-sung ungefähr bei x=5. Nun geben wir ein:

nsolve( ) | 4.6<x and x<5.1. Damit kann der Taschenrechner nun die richtige Lösung er-mitteln. Bemerkung: Es läßt sich auch mit solve() die richtige Lösungermitteln, wenn wir die folgende Bedingung angeben:

solve( ) |x<100.Beim Beispiel 8.) tritt wiederum der gleiche „Effekt“ wie beider vorherigen Gleichung auf. Diese ließe sich dann auch mitden eben gezeigten Methoden lösen. Der TI-92 besitzt aberauch die Möglichkeit, ähnlich dem Gleichungslösen mit derHand, die Lösungsmenge von Gleichungen mit bestimmt de-finierten Umformungen zu lösen. Dies wollen wir nun mitdem nächsten Beispiel tun. Wir geben dazu die folgendeGleichung ein:

. Diese steht nun in derEingabezeile und wir betätigen die Taste ^ und angezeigtwird: ans(1)^2. Dazu die umgeformte Gleichung:

Um diese Gleichung weiterumzuformen, wenden wir den Befehl expand() auf dieseGleichung an, so ergibt sich entsprechend:

. Nun werden schritt-weise die Summanden 10x und 32 auf die rechte Seite „ge-bracht“. Dies geschieht z.B. durch ans(1)-10x. Nun sind wirbei der Gleichung angelangt. Diesewird nun nach dem eben beschriebenen Schema quadriertund nach x umgeformt. Als Lösung ergibt sich schließlichx=10. Die Probe bestätigt dies! Die Aufgaben 9 und 10 seiender werten Leserschaft als Übungsaufgaben überlassen!

FACIT: Diese Beispiele zeigen deutlich Möglichkeiten undGrenzen sowie deren Überwindung bei der Anwendung desTI-92. Unsere Schüler haben nach diesem Workshop die Kon-sequenz mit nach Hause genommen, daß auch bei einemCAS-fähigen Taschenrechner der Mensch auf keinem Fall nurzu einem „Tastendrücker“ degradiert wird.An dieser Stelle möchte ich mich ganz herzlich bei meinerKollegin, Frau Winkler bedanken, die die sehr interessantenBeispiele ausgesucht hat und mir mit Rat und Tat zu Seitestand, sowie bei TEXAS Instruments GmbH für die kostenlo-se und pünktliche Bereitstellung der Leihrechner für unsereSchule.

Bemerkung: In der Zwischenzeit befindet sich das neue TI-92Plus Modul im Test. Hier stehen nicht nur neue Funktionenwie z.B. deSolve() zur Verfügung, sondern es arbeiten auchviele Algorithmen effizienter.

Autor:Dr. Sonnhard Graubner, Wilhelm-Ostwald-Gymnasium, Willi-Bredel-Str. 15,D-04279 Leipzigsonnhmath@aol.com

TI-NACHRICHTEN 1998

19

3 5 4 5x x− + = ,

3x - 5 + =4 5

x - a − =b c x, ( )x a b c= + + 2

b c+ ≥ 0.b c b c+ − = .

b c+ ≥ 0

7 15x + 4 − − =3 50 3 0x x,

x =1

3

6 4 10 3 10 34 2x x x x x x+ + + + + = + ,

y x x x x x= + + + + + − −6 4 10 3 10 34 2

6x + 4 + x4 + + + = +10 3 10 32x x x

6x + 4 + x4 + + + = +10 3 10 32x x x x,

( )10x + 32 + x4 − + − = +14 5 1 52 2x x x .

10x + 32 + x4 − + − = + +14 5 1 10 252 2x x x x

x x x x4 2 214 5 1 7− + − = −

8 14 5 1 52.) 10x + 32 + x4 − + − = +x x x

TI-NACHRICHTEN 1998

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TI-89mit

Software für höhere Mathematik

Software für höhere Mathematik

Diese beinhaltet ein Computer-Alge-bra-System (CAS), Differentialglei-chungen (numerisch und symbo-lisch) mit Richtungsfeldern,2D-Graphik und Datenanalyse, 3D-Graphik mit Rotation, lineare Alge-bra, interaktiver numerischer Glei-chungslöser, Konstanten, Rechnenmit Maßeinheiten, Statistische Re-gressionen und optional Assembler-Programmierung

Pretty Print

Mathematische Ausdrücke werdenim Display genauso dargestellt wieman es an der Tafel oder in Büchernfindet.

Über 500kB Speicher

Beinhaltet 188kB nutzbaren Rechen-speicher und 384kB Archivspeicherzum Ablegen von Funktionen, Pro-grammen und Daten.

Elektronisch

Aufrüstbar

Erweitern Sie die Lebensdauer IhresTI-89 durch Herunterladen der neue-sten Software aus dem Internet mit-tels TI-GRAPH LINK sobald neueFunktionen verfügbar sind.

Hochauflösendes Display

100 x 160 Pixel in einem kontrast-reichen Display erlauben ein leichtesLesen des Bildschirminhalts. Dieswird durch eine neue Bildschirm-technologie ermöglicht.

Ausführliche Informationen finden

Sie unter:

http://www.ti.com/

calc/docs/89.htm

Än

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e vo

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n.

Symbolisches Lösen von Differentialgleichungen

Berechnet die exakte symbolischeLösung vieler gewöhnlicher Diffe-rentialgleichungen erster und zwei-ter Ordnung.

Lineare Algebra

Berechnet Eigenwerte, Eigenvekto-ren, Matrizenfunktionen (wie eA)und vieles mehr.

Split Screen Modus

Durch die Teilung des Bildschirmskönnen Sie zwei Anwendungengleichzeitig betrachten.

3D Rotation und Konturplots

Echtzeitrotation von 3D-Flächen undKonturplots unterstützen die Darstel-lung im Dreidimensionalen. Wech-seln Sie Ihre Blickrichtung entlangder x-, y- oder z-Achse oder freien -Fenstereinstellungen.

Symbolische Umformungen

Das CAS des TI-89 erlaubt die sym-bolische Eingabe und Auswertungmathematischer Ausdrücke. Siekönnen zwischen der exakten symbolischen Lösung oder einernumerischen Näherung wählen.

TI-NACHRICHTEN 1998

21

Maßeinheiten

Nutzen Sie die Einheiten in Gleichungen,bei symbolischen Umformungen undzur Einheitenkonvertierung. Wählen Sieaus 20 Konstanten und über 100 Einhei-ten aus. Erstellen und speichern Sie Ihreeigenen Maßeinheiten.

Numerisches Lösen von Differentialgleichungen

Lösen Sie einzelne oder Systeme vonDifferentialgleichungen durch Euler-oder Runga-Kutta-Methoden. ZeichnenSie Richtungsfelder und Lösungskurvendurch Vorgabe der Anfangsbedingungoder interaktiv.

Gleichungssysteme

Lösen Sie Systeme von linearen odernichtlinearen Gleichungen (Buchberger-Algorithmus).

Fragen und Antworten

Was bedeutet Flash und "elektro-nisch aufrüstbar"?Flash ist eine Technologie die daselektronische Aufrüsten der Soft-ware eines Taschenrechners erlaubt.Über das TI-Graph Link und den I/O-Port kann die Software des TI-89 mitder jeweils neuesten Software upge-dated werden.

Ist der TI-89 kompatibel mit CBL undCBR?Ja, der TI-89 ist kompatibel mit CBLund CBR.

Wird der TI-89 mit dem TI-GraphLink arbeiten?Ja, der TI-89 wird mit dem TI-GraphLink arbeiten. Die nötige Softwarewird auf dem Internet bereitgestelltwerden.

Ist der TI-89 mit dem TI-92 und demTI-92 Plus kompatibel?Ja, die Programmierfunktionen undDaten des TI-89 können direkt aufund von einem TI-92 Plus mit demRechner-zu-Rechner-Kabel übertra-gen werden. Daten und Programme,die nur die original TI-92 Funktionennutzen, können direkt mit einem TI-92 ausgetauscht werden.

Ist mein TI-92 jetzt veraltet?Nein, denn durch das TI-92 Plus-Mo-dul erhalten Sie die zusätzlichen ma-thematischen Fähigkeiten des TI-89zusammen mit der Speicher-erweiterung und der Upgrade-fähigkeit über das Internet. Wenn SieIhren TI-92 durch das PLUS-Modulaufrüsten, besitzen beide Rechnerdie identische Software (ausgenom-men Geometrie) und somit auch die-selbe Befehlsstruktur, Menüführung,etc. Der Vorteil des TI-92 liegt in sei-nem größeren Display und seinerbequem zu bedienenden QWERTY-Tastatur. Außerdem besitzt der TI-92einen Geometrieteil basierend aufCabri Géomètre II.

Welchen Viewscreen nutzt der TI-89?Die TI-89 ViewScreen-Rechner nut-zen dasselben ViewScreen-Panel wieder TI-92.

Wann wird der TI-89 erhältlich sein?Der TI-89 wird voraussichtlich imHerbst 1998 erhältlich sein.

www.ti.com/calc

06196-975015

ti-cares@ti.com

Weitere Funktionen:

ProgrammierungDie Programmieroptionen umfassen ei-gene Menüs, Dialogfelder und Pop-Up-Menüs. Benutzerdefinierte Funktionenerweitern die eingebauten Funktionalität.

Katalog der eingebauten FunktionenDer Katalog zeigt die Syntax von jedemBefehl und jeder Funktion an.

Kompatibilität Die Software des TI-89 für die höhereMathematik ist identisch mit der Soft-ware des TI-92 Plus Moduls mit Ausnah-me der Geometrie. Der TI-89 ViewScreen-Rechner arbeitet mit dem ViewScreenPanel des TI-92. Daten und Programmekönnen direkt mit dem TI-92 Plus durchdas beiliegende Rechner-zu-Rechner-Kabel ausgetauscht werden.

www

TI-NACHRICHTEN 1998

Wenn im Mathematik-Unterricht die linearen Funktionen zubehandeln sind, ist der TI-92 ein hervoragendes Hilfsmittel zurVeranschaulichung. Um die verschiedenen Aufgaben in unse-ren Lehrbüchern kontrollieren zu können und selbst schnell,während des Unterrichts, neue Aufgaben zu erstellen, habeich das Programm “Geraden” geschrieben. Das Programmkann von den Internetseiten von Texas Instruments kostenlosheruntergeladen werden. Dem Leistungsvermögen der Klasseentsprechend kann man die Aufgaben gestalten.

Ein Beispiel:Die Gerade y1 ist bestimmt durch P1.1(–4|–5) und P1.2(2|6). Vony2 kennt man den Punkt P1(–4 | 4) und m2 = –0,6. a) Zeichnen Sie beide Geraden

(Maßstab: 1 Kästchen Í 1 Einheit)b) Ermitteln Sie die Koordinaten des Schnittpunktes aus der

Zeichnung.c) Stellen Sie die Gleichungen der Geraden auf.d) Berechnen Sie die Koordinaten des Schnittpunktes der

beiden Geraden.

Wie die u.a. Screenshots des TI-92 zeigen, lassen sich auf Ab-frage die Koordinaten der Punkte und die Steigung m be-quem eingeben. Ebenso einfach könnten Geradengleichun-gen von der Form y = mx + n oder ax + by = c eingegebenwerden. In jedem Fall werden die Geradengleichungen unddie Koordinaten des Schnittpunktes ausgegeben. Der Schlus-sbild-schirm ermöglicht mit ENTER den Ausstieg aus demProgramm nach Löschen aller Variablen, oder mit ESC dieÜbertragung der Geradengleichungen nach y20(x) undy21(x). Damit lassen sich die Funktionen noch im Grafikbild-schirm darstellen.

Nachdem die Schüler ihre Aufgabe zuende gerechnet undgezeichnet haben, kann ich zur Kontrolle mit dem ViewScre-en noch die Zeichnung zeigen und die Koordinaten desSchnittpunktes mit F5, Intersection ermitteln.

Autor:Günther Bereths, Schmielenweg 7, D-41379 Brüggen, G.Bereths@t-online.de

Günther Bereths, Brüggen

Programmbeschreibung: Geraden.92P

Abb. 1 Abb. 2

Abb. 3 Abb. 4

Abb. 5 Abb. 6 Abb. 7

22

TI-NACHRICHTEN 1998

Herr Mayer hat einen größeren Geldbetrag auf einem mit i = 4% verzinsten Sparbuch angelegt. Seine Bank bietet ihm als alternative Anlagemöglichkeit eineAnleihe zu folgenden Konditionen:

nomineller Zins: 5,25% (Coupon)Laufzeit: 5 JahreAusgabekurs: 100,35Tilgung: zum Nennwert

Soll Herr Mayer sein Geld in der angebotenen Anleihe anle-gen? Verwenden Sie als Entscheidungskriterium die Renditeder Anleihe!

● Welchen Betrag muß Herr M. bezahlen, wenn er Schuldver-schreibungen mit einem Nominalwert von 100 000,--kauft?

● Welchen Betrag erhält er jährlich an Zinsen?● Welchen Betrag erhält er bei Tilgung der Anleihe? (Spesen,

Steuern und Gebühren bleiben ohne Berücksichtigung!)☞Unter der Rendite i´ versteht man einen jahresbezogenen

Prozentsatz, bei dem die Barwerte aller zukünftigen Zahlun-gen (Coupon und Tilgung) genau den Marktpreis (Ko’ = PV)der Anleihe ergeben. (Zur Vereinfachung der Rechnung istes sinnvoll ein Nominalkapital Ko = 100 anzunehmen.)

Diese Renditeberechnung ist gleichbedeutend mit dem Lösender folgenden Gleichung:

Ko’=C1·v’+C2·v’2+C3·v’3+C4·v’4+C5·v’5+RW·v’5 mit v’ = (1+ i’) -1

Ko’=( Ct + RW

Ko’ Ct=100 . i=5,25v

C1 C2 C3 C4 C5+RW

Ct = 5,25 = jährliche CouponzahlungRW = 100 = Rückzahlung al Parin = 5 = Laufzeit Ko’ = PV = 100,35 = Present Value = Preis der Anleihe = Kurs-wert

Der TVM-Solver des TI 83 bietet die Möglichkeit alle Größen,die im Bereich der Zinseszins- und Rentenrechnung (bei theo-retischer Verzinsung) auftreten, sehr einfach zu bestimmen.Drücken Sie die Tasten y [Finance] 1:TVM Solver... Õ,um den Solver aufzurufen.

Friedrich Tinhof, Müllendorf

Rendite einer Anleihe mit dem TVM - Solver des TI-83

5

t=1 (l+i’)t (l+i’)5

Die Bezeichnungen des SOLVERs haben dabei folgende Be-deutung:

N... Zahl der Raten ; Dauer in Jahren i% ... nomineller Jahreszins; (hier die gesuchte Rendite i’) PV... Present Value; (hier - Ko’ = - 100,35 ) FV ... Final Value; Future Value ; (Endwert = RW = 100)PMT... Payments (regelmäßige Ratenzahlungen;

Coupon = Ct = 5,25)P/Y... Payments/Year (Zahlungsperioden/Jahr;

regelmäßige Zahlungen pro Jahr)C/Y... Compoundingperiods/Year

(Zinseszinsperioden/Jahr; C/Y = 1)PMT... END BEGIN

(Ratenzahlung am ENDE oder am BEGINN derdazugehörigen Rentenperiode nachschüssig / vorschüssig). Geben Sie weiters alle Zahlungen, dieSie erhalten mit positivem Vorzeichen ein. Beträge, die Sie zahlen müssen, geben Sie mit Vorzeichen (-) ein.

Tragen Sie die gegebenen Werte im Solver ein, setzen Sieden Cursor neben den gesuchten Zins (Rendite) und drückenSie die Tastenkombination É [SOLVE].

Sie erhalten eine Rendite von i’ = 5,16878%. Die Rendite isthöher als die Verzinsung des Sparbuches. Herr Mayer solltealso die Anleihe kaufen!Bei einem Nennwert Ko von 100 000,-- beträgt der KaufpreisKo’ = 100 350,--.Die jährlichen Couponzahlungen betragen 5 250,--.Am Ende der Laufzeit erhält Herr Mayer 100 000,-- plus 5 250,--.

Autor:Mag. Friedrich Tindorf, Hauptstraße 1, A-7052 Müllendorf,tindorf@netwax.at

23

24

TI-NACHRICHTEN 1998

Friedrich Tinhof, Müllendorf

Lösung eines Gleichungssystems mit Hilfe von Matrizen

Das rechnerische Lösen von Gleichungssystemen ist zeitauf-wendig, fehleranfällig und mühsam. Der einfachste Weg mitdem TI 83 Gleichungssysteme zu lösen führt über die Matri-zenrechnung.Die Äquivalenzumformungen des Gaußverfahrens werdendabei auf die Matrizenrechnung übertragen. Das Ergebnis heißt reduzierte zeilengestaffelte Matrix (rowreduced echelon matrix form), aus der sich die Lösung einesGleichungssystems einfach ablesen läßt.Der Befehl rref( , aus dem é ; MATH - Menü des TI 83 be-rechnet aus einer gegebenen erweiterten Matrix die row re-duced echelon matrix form, aus der wir dann die Lösungs-menge des Gleichungssystems ablesen.

Bestimmen Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystemsmit dem TI 83:

2 x1 + 2 x2 + x3 = 20x1 + 2 x2 + 3 x3 = 30

3 x1 + 2 x2 + 2 x3 = 28

erweiterte Matrix :

Geben Sie die erweiterte Matrix in é ; EDIT 1: [A] ein.

(Aus Platzgründen können nicht alle Elemente der Matrixgleichzeitig im Sichtfeld dargestellt werden.)

Verlassen Sie danach das é; EDIT-Menü mit y [QUIT].

Wählen Sie aus dem é; MATH - Menü den Befehl B:rref ( . Õ

In der Anzeige steht jetzt rref( .

Wählen Sie danach Matrix [A] : é; NAMES ; 1:[A] . Õ

In der Anzeige steht jetzt rref([A] .

Nach einem weiteren Õ erhalten Sie die gewünschte zei-lengestaffelte Matrix, aus der Sie die Lösung des Gleichungs-systems ablesen können.

(Mit ç ; 1: Frac Õ kommen Sie zur Bruchdarstellungder Matrixelemente.)

Aus der reduzierten zeilengestaffelten Matrix

ergibt sich die Lösungsmenge L ={(2 / 5 / 6 )}.

Anmerkung: Mit dem besprochenen Verfahren können auchalle Spezialfälle von Lösungen linearer Gleichungssystemebestimmt werden.

Autor:Mag. Friedrich Tindorf, Hauptstraße 1, A-7052 Müllendorf,tindorf@netwax.at

2 2 1 201 2 3 303 2 2 28( )

1 0 0 20 1 0 50 0 1 6( )

Friedrich Tinhof, Müllendorf

Beispiel aus der Kosten-PreistheorieEinem Monopolbetrieb ist bekannt, daß für eines seiner Pro-dukte eine Kostenfunktion dritten Grades vorliegt. Die Kosten-rechnungsabteilung ermittelt folgende Beträge (siehe Tabelle):

x ME K(x) WE2 1 4905 1 54010 1 60011 1 61620 1 95025 2 400

Lösung a)Geben Sie zunächst die Tabellenwerte in die Listen L1 und L2ein:

a) Bestimmen Sie die Kostenfunktion durch kubische Regression!

b) Die Gleichung der Nachfragefunktion für das Produkt lautet: p(x) = 300 - 3 . xBei welchem Preis wird der Gewinn maximal? Wie hoch ist der maximale Gewinn?

c) Bestimmen Sie die Gewinngrenzen!

Mit der Tastenkombination Ö ; EDIT ; 1:Edit Õ kommenSie zur Listeneingabe.

Geben Sie hier die Tabellenwerte ein und bestätigen Sie je-den Wert mit Õ.

TI-NACHRICHTEN 1998

Verlassen Sie die Listeneingabe mit y [QUIT].Drücken Sie die Tasten Ö ; CALC ; 6:CubicReg Õ.

Auf dem Bildschirm erscheint CubicReg.Geben Sie dahinter die Namen der Listen mit den Daten unddie Bezeichnung der Funktion ein, in der die Kurve gespei-chert werden soll!y[L1]¢[L2] ¢ê ;Y-VARS ; 1:Function Õ; 1:Y1Õ.

Die Regressionsfunktion wird berechnet und die Koeffizien-ten werden angezeigt.Die Gleichung dritten Grades wird in Y1 gespeichet.

Lösung b)Drücken Sie o ; Geben Sie in Y2 die Erlösfunktion E(x) = p(x) · x ein.In Y3 geben Sie die Gewinnfunktion : Y3 = Y2 - Y1(Gewinn = Erlös minus Kosten) ein.

Nach dem Einstellen eines geeigneten Fensters stellen Siedie Funktionen mit s dar.Mit dem Befehl y [CALC]; 4: maximum können Sie das Ma-ximum der Gewinnfunktion ermitteln.

Wählen Sie mit Cursor } oder Ü zunächst die Gewinnfunk-tion aus und geben Sie dann die linke Grenze (left bound) unddie rechte Grenze (right bound) des Suchintervalls ebenfallsmit Hilfe des Cursors ein.

Bestätigen Sie jede Eingabe mit Õ .

Der maximale Gewinn ergibt sich bei einem Preis von p =219,55 WE und bei einer Produktionsmenge von x = 26,817ME und ist Gmax = 3255,40 WE

Lösung c)Die Gewinngrenzen erhalten Sie, indem Sie die Nullstellender Gewinnfunktion bestimmen. Deaktivieren Sie dazu Y1und Y2 und zeichnen Sie nur die Gewinnfunktion Y3. Mit dem Befehl y [CALC]; 2: zero können Sie die Nullstellender Funktion bestimmen.Geben Sie für die Suche die linke Grenze (left bound) und dierechte Grenze (right bound) des Suchintervalls mit Hilfe desCursors ein. Bestätigen Sie jede Eingabe mit Õ. Führen Sie den Vor-gang für beide Nullstellen aus!

Die Gewinnzone liegt im Intervall [5,44 , 43,78].

Autor:Mag. Friedrich Tindorf, Hauptstraße 1, A-7052 Müllendorf,tindorf@netwax.at

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TI-NACHRICHTEN 1998

Taschenrechner zum Ausleihen„Graphikrechner bieten im mathematischen Unterricht an-geblich große Vorteile. Ich bin ein wenig skeptisch und möch-te mich vor einer Anschaffung erst davon überzeugen.”

Wir helfen Ihnen mit unserem Leihprogramm!Kostenlos und unverbindlich stellen wir Ihnen für einenWorkshop, ein Projekt oder einen eigenen kleinen Schulver-such unsere Taschenrechner inklusive Zubehör für ca. 2 Wo-chen zur Verfügung. In Ihrer Klasse können Sie sich von dersinnvollen Verwendbarkeit und den didaktisch-methodischenVorzügen dieser modernen Werkzeuge überzeugen.

„Welche Produkte kann ich ausleihen?”Graphikrechner: TI-82, TI-83, TI-85, TI-86Symbolische Rechner: TI-92, TI-92 IIMeßwerterfassungssystem: CBL, CBRVerbindung zum PC: TI-Graph Link

„An wen muß ich mich wenden?”Bitte beschreiben Sie uns kurz ihre Vorhaben. Nennen Sie diebenötigte Anzahl des gewünschten Modells, den Wunschter-min und den Ort Ihres Projektes. Rechtzeitig vor Beginn IhrerVeranstaltung erhalten Sie von uns eine Bestätigung.

„Komme ich mit den Rechnern auch klar?”Allen Rechnern ist ein Paket inklusive Handbuch, Lehrerhand-reichung und weiterem Unterstützungsmaterial beigelegt.Außerdem steht unser Customer Support Center für Auskünf-te jederzeit zur Verfügung.

„Wie schicke ich die Rechner wieder zurück? Ist dasnicht furchtbar teuer?”Alle Transportkosten übernimmt Texas Instruments. Sie rufenlediglich die im Paket angegebene Telefonnummer an undsind alle Sorgen los. Als Feedback erbitten wir von Ihnennach Abschluß Ihres Projektes einen Erfahrungsbericht, lie-ber noch einen Artikel für die TI-Nachrichten.

Falls Sie interessiert sind, schreiben Sie uns:Texas Instruments – E&P – , Leihprogramm, Haggertystr. 1, D-85356 Freising, Fax: 08161-804907, ti-schule-de@ti.com, http://www.ti.com/calc/deutschland/leihprogramm.htm

Referent für Workshop gesucht? - TI hilft!Suchen Sie einen erfahrenen Lehrer, der graphische Taschen-rechner bereits erfolgreich in seinem Unterricht einsetzt?Möchten Sie an einem Workshop teilnehmen, wo Sie sich ge-meinsam mit Ihren Kollegen über den sinnvollen Einsatz die-ser modernen Unterrichtswerkzeuge austauschen?

Gerne helfen wir Ihnen, den für Sie bestmöglichen Referen-ten zu finden.

Bitte teilen Sie uns mit, zu welchem Taschenrechner Sie gernean einem Workshop teilnehmen möchten und wann und wo dieVeranstaltung nach Möglichkeit stattfinden soll. Wir bemühenuns dann, Ihnen einen Referenten in Ihrer Nähe zu vermitteln.Soweit nötig stellen wir für alle Teilnehmer leihweise auch diebenötigten Graphikrechner kostenlos zur Verfügung.

Wenn Sie an einem solchen Workshop teilnehmen wollen,schreiben Sie an: Texas Instruments – E&P –, Haggertystr. 1, D-85356 Freising,ti-schule-de@ti.com

Ideenbörse – Autoren gesuchtDie TI-Nachrichten sind ein Forum für alle interessierten undengagierten Lehrer der Mathematik und der Naturwissen-schaften. Wenn Sie überzeugt sind, daß graphische Taschen-rechner einen hohen Wert für Ihren eigenen Unterricht ha-ben, dann brauchen wir Sie. Ihre Ideen und Ihre Erfahrungerleichtert es Ihren Kollegen, graphische Taschenrechnersinnvoll und gewinnbringend im Unterricht einzusetzen.

Nicht zuletzt durch das Projekt Schulen ans Netz haben immermehr Lehrer die Möglichkeit das Internet als Quelle unter-richtsrelevanter Informationen zu nutzen. Auch besitzt dieseselektronische Medium einige Vorteile, wie das Herunterladeneines Programms statt nervtötendem Abtippen eines Listings.Daher möchten wir ergänzend zusätzliche Materialien, Artikelund Programme im Internet für Sie bereitstellen. Auch hiersind wir auf Ihre Unterstützung angewiesen.

Wenn Sie mithelfen wollen, den sinnvollen Einsatz von Gra-phikrechnern im Unterricht zu fördern, dann schreiben Sieuns: Texas Instruments – E&P – , Haggertystr. 1, D-85356 Freising,ti-schule-de@ti.com

Software WettbewerbDie Böttcher Datentechnik GmbH hat einen Softwarewettbe-werb ausgeschrieben und mit lohnenswerten Preisen ausge-stattet. Gesucht werden selbstgeschriebene Programme ausden Bereichen- Maschinenbau und Elektrotechnik- Bau- und Vermessungswesen- Chemie- Physik- Mathematik- Wirtschaft

Die Software wird von Fachleuten des jeweiligen Themenge-bietes geprüft und beurteilt. Die besten Programme werdenprämiert:

1. Preis: 1000,- DM2. Preis: 900,- DM 3. Preis: 800,- DM 4. Preis: 700,- DM5. Preis: 600,- DM

6.-10. Preis: je 200,- DM11.-25. Preis je 100,- DM26.-50. Preis je 50,- DM

Bitte senden Sie Ihr Programm bis zum 15.02.1999 an Böttcher Datentechnik GmbH, Hudekamp 18a, D-23558 Lübeck, BoeDatec@aol.com

Mit der Einsendung der Software gestatten Sie unwiderruf-lich die Veröffentlichung der Programme auf einer SharewareCD-ROM. Das Copyright verbleibt beim jeweiligen Autor. DieSoftware kann nur dann am Wettbewerb teilnehmen, wenndie vollständige Anschrift des Autors, sowie eine kurzedeutschsprachige Beschreibung des Programms mitgeliefertwird. Die Gewinner werden persönlich benachrichtigt.

TI-NACHRICHTEN 1998

Teachers Teaching with Technology ist ein europäisches Pro-jekt zur Lehreraus- und -weiterbildung. Neue Medien verän-dern den Unterricht, besonders in der Mathematik und in denangrenzenden Fächern. Lehrerinnen und Lehrer müssen heu-te für den Einsatz neuer Medien gezielt aus- und weitergebil-det werden, damit auf längere Sicht neue Technologien imUnterricht sinnvoll genutzt werden können.

Unter neuen Technologien verstehen wir in erster Linie:

● Computeralgebra-Systeme wie z.B. Derive● Geometrieprogramme wie z.B. Cabri Géomètre● Taschenrechner (z.B. TI-92), die beide Arten von Program-

men - Computeralgebra und Geometriesoftware integrie-rend implementiert haben.

Zu diesen Technologien bieten wir Seminarveranstaltungenin Deutschland, Österreich und der deutschsprachigenSchweiz an. Bei den Fortbildungen wird auch auf die Mög-lichkeit der elektronischen Datenkommunikation (Internet)verwiesen, da dies ein schnell verfügbares und universellesForum zur Bereitstellung von Materialien und zum Austauschmit Lehrenden darstellt.

T3 richtet sich an:

● Lehrerinnen und Lehrer● Studentinnen und Studenten● Referendarinnen und Referendare● Fachleiterinnen und Fachleiter● Moderatorinnen und Moderatoren

in der mathematisch-naturwissenschaftlichen Fächergruppe.

Ziel ist es:

● Kolleginnen und Kollegen die Möglichkeiten und Chancendes Unterrichtens mit neuen Technologien zu vermitteln,

● denen, die neue Technologien im Unterricht anwenden,den Austausch mit Kolleginnen und Kollegen anzubieten,um so sinnvolle didaktische Konzepte entwickeln und er-weitern zu können.

Das Programm von T3 läuft seit dem Sommer 1997. Seitherwurden im gesamten deutsprachigen Raum Europas über120 Fortbildungen mit ca. 2400 Lehrerinnen und Lehrerndurchgeführt. Für die Durchführung dieses Programms ste-hen über 130 erfahrene Referentinnen und Referenten zurVerfügung, die erprobte und didaktisch ausgereifte Ansätzezum Einsatz moderner Technologien im Unterricht entwickelthaben. Die Einzelveranstaltungen - i.d.R. zweitägige Fortbil-dungen - finden in Kooperation mit den Fortbildungsinstitu-tionen der Länder (Landesinstitute, Bezirksregierungen,Pädagogische Akademien, ...) oder als schulinterne Fortbil-dungen (Schilf) statt. Neben den laufenden Aktivitäten findet jährlich in der Wochenach Pfingsten eine T3 - Jahrestagung in Münster/Westfalenstatt. Informationen zu dieser Veranstaltung sowie das voll-ständige Programm von T3 - Deutschland finden sich im In-ternet unter

http://www.uni-muenster.de/Lehrerausbildung/TTT.HTM

Das Projekt wird in Zukunft in zwei Richtungen ausgeweitet.Zum einen ist die Integration von Slowenien unter denSchirm von T3 - Germanic geplant. Hier kann sich der Aufbaueines entsprechenden Fortbildungsprogramms auf die Erfah-rungen der Projektpartner stützen. Zum anderen werdenSchulen, die sich für moderne Technologien interessieren,regional zusammengefaßt und z.B. mit Klassensätzen TI-92leihweise ausgerüstet, wobei die Fachkolleginnen und -kolle-gen gleichzeitig eine intensive Schulung durchlaufen kön-nen.

Die Koordination des gesamten T3 - Germanic Projektes ob-liegt der Zentralen Koordination Lehrerausbildung (ZKL) ander Westfälischen Wilhelms-Universität Münster. Ansprech-partner für das Projekt T3 - Germanic und für die Organisati-on der Veranstaltungen in Deutschland sind Bärbel Barzelund Dr. Detlef Berntzen, Kontaktperson für Österreich istKlaus Aspetsberger an der Pädagogischen Akademie desBundes in Oberösterreich. In der Schweiz obliegt die Koordi-nation der Schweizerischen Fachstelle für Informationstech-nologien im Bildungswesen (SFIB) in Person von René Hu-gelshofer.

Adressen:

Bärbel Barzel/Dr. Detlef BerntzenZKL Zentrale Koordination LehrerausbildungPrinzipalmarkt 38D-48143 MünsterTel.: 0251/510380Fax: 0251/5103824e-mail: barzel@uni-muenster.de berntz@uni-muenster.de

Klaus AspetsbergerPädagogische Akademie des Bundes in OberösterreichKaplanhofstr. 40A-4020 LinzTel.: 07327704010Fax: 0732771170e-mail: aspetsbergerk@Pa-linz.ac.at

René HugelshoferSFIB Schweizerische Fachstelle für Informationstechnologi-en im BildungswesenErlachstr. 21CH-3000 Bern 9Tel.: 0313012091Fax: 0313010104e-mail: rene.hugelshofer@ksh.edu

T3 - Teachers Teaching with Technology Germanic

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TI-NACHRICHTEN 1998

Konferenzen und Ausstellungen

Auch in diesem Jahr nimmt Texas Instruments wieder an zahlreichen Konferenzen und Ausstellungen teil. Wenn Sie uns persönlich kennenlernen wollen, besuchen Sie uns.

Zeit Veranstaltung Ort

6.-8.4. MNU Hauptversammlung Leipzig22.-25.4. Computeralgebra in Lehre, Ausbildung und Weiterbildung Bayreuth12.-15.5. Worldidac Basel26.5. Benutzertag, Rheinland-Pfalz Mainz2.-5.6. T^3 – Pfingsttagung; Workshops zum TI-92 Münster14.-17.7. International Conference on Derive and TI-92 Gettysburgh, USA13.-15.8. International Symposium on Symbolic and Algebraic Computation Rostock17.-22.8. Junior Mathematical Congress Potsdam18.-27.8. International Congress of Mathematicans Berlin27.-31.8. Conference of the European Society for Research in Mathematics Education Osnabrück15.9. MNU Nordrhein Köln16.9. MNU Hessen Gießen25.9. MNU Baden-Württemberg Heidelberg30.9. MNU Niedersachsen I Hannover28.9.-2.10. Internationales Symposium Didaktik der Mathematik Klagenfurt6./7.10. MNU Schleswig-Holstein Kiel20.10. MNU Südbayern München5.11. MNU Niedersachsen II Meppen7.11. MNU Sachsen-Anhalt Halle13./14.11. Neue Technologien im Mathematikunterricht Linz16./17.11. MNU Bremen Bremerhaven17.11. MNU Franken Fürth

Erfahrene Lehrer haben speziell für TI Handreichungen, z. T.mit Kopiervorlagen und Folien, entwickelt, die Ihren Schülernhelfen, den sinnvollen Umgang mit dem Taschenrechnerspielerisch zu erlernen. Es liegen vor

Solar Little Professor (U. Kopp)Materialien zum langjährig bewährten Rechentrainer mit me-thodisch didaktischen Überlegungen und 8 Spielebögen.

TI-30Xa / TI-30Xa Solar (H. Schmidt)Folien und Kopiervorlagen mit zahlreichen Aufgaben und Lö-sungen aus Sek. I

TI-40 Solar (H. Schmidt)Kopiervorlagen mit zahlreichen Aufgaben und Lösungen ausSek. I

Prof. Dr. A. Bakus (H. Schmidt)Handreichung mit zahlreichen Lernspielen zum TI-30Xa/TI-30Xa Solar(in Vorbereitung, voraussichtich ab Juni erhältlich)

Folien, Poster, Handreichungen und KopiervorlagenUm Ihnen den Einsatz unserer Taschenrechner im Unterricht zu erleichtern, senden wir Ihnen gerne kostenlos die folgendenMaterialien. Bitte wenden Sie sich an unser Customer Support Center. (06196/975015, ti-cares@ti.com)

Folien zur Overheadprojektion erleichtern das Erklären derrichtigen Benutzung eines Taschenrechners. Sie erhalten Foli-en für - TI-108 (ident. mit TI-106)- TI-30Xa Solar- TI-40 Solar- TI-82- TI-83- TI-85- TI-86- TI-92

Poster mit den Abbildungen der Taschenrechner erleichterndas Arbeiten mit dem Overheadrechner oder ViewScreen. Er-hältlich für- TI-30Xa Solar- TI-40 Solar- TI-82- TI-83- TI-85- TI-86- TI-92

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TI-NACHRICHTEN 1998

Titel Autoren Verlag Quelle Inhalt

GRAFIKRECHNER ALLGEMEIND Grafikfähige Weber, K. Paetec Buch- ◆Graphikrechner in SII

Taschenrechner Zillmer, W. Verlag handel ◆Kurvendiskussionim Mathematik- ◆Analytische Geometrie unterricht und lineare AlgebraDidaktisch- ◆Stochastikmethodische ◆Klausurbeispiele für Empfehlungen den Mathematik-

unterricht ◆72 Seiten

D Grafikfähige hrsg. LISA Paetec Buch- ◆entwickelt im Schulver-Taschenrechner SI Halle Verlag handel such Sachsen-Anhalt– Schülerheft ◆zahlreiche Aufgaben

mit Lösungshinweisen

D Grafikfähige hrsg. LISA Paetec Buch- ◆entwickelt im Schulver-Taschenrechner Halle Verlag handel such Sachsen-AnhaltSI – Lehrerheft ◆methodische

Empfehlungen◆Arbeitsblätter und

Kontrollaufgaben◆vollständige Lösung

aller Aufgaben

D Grafikfähige hrsg. LISA Paetec Buch- ◆entwickelt im Schulver-Taschenrechner Halle Verlag handel such Sachsen-AnhaltSII – Unterrichts- ◆Aufgabenmaterialien ◆ didaktisch-methodische

Empfehlungen◆Zielvorstellungen

E More than Graphs Specht, J. Key Buch- ◆40 BeispieleActivities for TI Curriculum handel ◆Diskette liegt beiGraphics Press ◆228 SeitenCalculators

TI-82D Der Taschenrechner Gouy, M. Texas CSC ◆Einführung in

TI-82 für den Landurau, A. Instruments das ArbeitenMathematik- mit dem TI-82unterricht

D TI-82 – Übungen Gouy, M. Texas CSC ◆Aufgaben undund Module Landurau, A. Instruments Übungen

E Advanced Algebra Murdock, J. Key Buch- ◆Speziell für through Data Kamischke, E. Curriculum handel TI GrafikrechnerExploration Press ◆886 Seiten

E Advanced Algebra Murdock, J. Key Buch- ◆Lehrerausgabe mitthrough Data Kamischke, E. Curriculum handel LösungenExploration Press ◆277 Seiten

TI-83D Graphikrechner Messner, A. Paetec Buch- ◆schulstufenbezogene

ABC für TI-83 - SI Verlag handel Anleitung◆detaillierte Darstellung◆ reich mit Screenshots

bebildert

D Taschenrechner Messner, A. Paetec Buch- ◆schulstufenbezogeneABC für TI-83 - SII Verlag handel Anleitung

◆detaillierte Darstellung◆ reich mit Screenshots

bebildert

E Statistics handbook Morgan, L. Texas CSC ◆Beschreibt ausführlichfor the TI-83 Instruments die Statistikfunktionen

◆Datenanalyse, Simula-tion, Wahrscheinlich-keitsverteilung, Konfi-denzintervalle, Testenvon Hypothesen, Regression

◆mehr als 60 Aufgaben◆Für Schüler und

Studenten

E Time, Value, Money: Hofmann, C. Texas CSC ◆Speziell für TI-83Applications on the Hofmann, R. Instruments ◆Beschreibt die finanz-TI-83 mathematischen Funk-

tionen des TI-83◆Viele Beispiele

Literatur zu den GraphikrechnernTitel Autoren Verlag Quelle Inhalt

E Tapping into Galpin, B. Addison Buch- ◆Speziell für TI-83mathematics with Graham, A. Wesley handel ◆Beschreibt die a TI-83 Graphics Funktionenvielfaltcalculator ◆Mit vielen Beispielen

◆320 Seiten

TI-85D Mathematik sehen Bettinaglio, M. Sabe Buch- ◆11 praktische Anwen-

Grafikrechner im Hartmann, W. Verlag handel dungen aus Mathe-Unterricht Schneebeli, H. CSC matik und Physik

◆144 Seiten

TI-86E Differential Barton, R. Texas CSC ◆graphische und

Equations with Instruments numerische Lösungthe TI-86 ◆Differentialgleichung

höherer Ordnung◆Bewegungsanalysen◆Biologische Modelle

E Programming Math Slomer, D. Texas CSC ◆umfassende Einfüh-Applications on Instruments rung in die Program-the TI-86 mierung mit dem TI-86

◆zahlreiche Beispiele

E Using the TI-86 in Dodd Texas CSCCollegiate Cruthirds InstrumentsMathematics

TI-92D Der TI-92 im Aspets- Texas bk ◆Terme und ihre

Mathematik- berger, K. Instruments CSC Darstellungunterricht Schlögl- ◆Geometrie

hofer, F. ◆Wachstumsprozesse◆Analysis◆Stochastik

D Einführung in das Pröpper, W. Texas bk ◆Analysis im Grund- Arbeiten mit Instruments CSC und Leistungs-dem TI-92 kursabitur

◆analytische Geometrie◆Gleichungssysteme

D Gebrochen- Pröpper, W. Texas bk ◆eingehende Diskussion rationale Instruments CSC gebrochen-rationaler Funktionen mit Funktionendem TI-92 ◆graphische

Visualisierungen◆Aufgaben und

Lösungen

D Mathematik erleben Schmidt, G. Texas bk ◆5 realitätsnahe mit dem TI-92 Instruments CSC Aufgaben

◆umfassende Darstel-lung der Funktionen

◆Algebra, Analysis, Geometrie

D Numerische Schmidt, G. Texas bk ◆NäherungsverfahrenVerfahren Instruments CSC ◆spezielle Wahrschein-

lichkeits-verteilungen◆Gleichungen und

Gleichungssysteme◆Aufgaben und

Erweiterungen

D Lineare Algebra Lehmann, E. Texas bk ◆Matrizen und lineare mit dem TI-92 Instruments CSC Gleichungssysteme

◆Analytische Geometrie◆Abbildungsgeometrie◆Mathematik mit Bau-

steinen

D Programmpaket Himmel- Texas bk ◆Programme und Funk-Vektorrechnung bauer, T. Instruments tionen zur Vektor-

rechnung◆2- und 3- dimensional◆graphische Darstellung

D Symbolrechner Kutzler, B. Addison bk ◆Einführung in das TI-92 Wesley BD Arbeiten mit dem TI-92

CSC ◆192 Seiten◆Algebra, Analysis,

Geometrie◆Programmierung

TI-NACHRICHTEN 1998

Titel Autoren Verlag Quelle Inhalt

D Tolle TI-92 Kutzler, B. bk bk ◆ Interaktive LektionenProgramme – Bd. 1 teachware BD ◆nützliche Online-Hilfe

CSC ◆ Interaktive Lektionenmit lehrreichen Beispielen

◆Differential-gleichungen

◆Systeme nichtlinearer Gleichungen

◆ implizite Graphen, Turtle Graphik

D Lineare Gleichungen Kutzler, B. bk bk ◆Experimente zum lösen mit dem TI-92 teachware BD Lösen linearer

CSC Gleichungen◆numerische, graphi-

sche und symbolische Lösung

◆experimentelles Ler-nen – Visualisierung –Gerüstmethode

D Lineare Gleichungs- Kutzler, B. bk bk ◆Experimente zum systeme lösen teachware BD Lösen linearer mit dem TI-92 CSC Gleichungssysteme

◆numerische, graphi-sche und symbolischeLösung

◆experimentelles Ler-nen – Visualisierung – Gerüstmethode

D Mathematik mit Reichel, H. C. hpt bk ◆Zusatz zur Schulbuch-dem TI-92 Müller, R. BD reihe, aber auch eigen-

CSC ständig zu verwenden◆Nachschlagewerk zur

Behandlung des gesamten Oberstufen-stoffes

D Mathematik 1 für Schärf, J. Oldenbourg bk ◆approbiertes Schullehr-HTL und Fachschule BD buch aus Österreich

D DIRA – ein Unter- Pröpper, W. Bergmoser bk ◆Material zur Erleich-richtsprojekt für Tschacher, K. & Höller terung der Unter-den TI-92 richtsvorbereitung

◆Kurvendiskussion◆mit Diskette

E Mastering the TI-92 Rich, N. Gilmar bk ◆alle wichtigen Explorations from Rose, J. Publishing MerkmaleAlgebra through Gilligan, L. ◆200 SeitenCalculus

E Learning Blasberg, S. Texas CSC ◆einfache ProgrammeProgramming with Lodi, E. Instruments ◆Verzweigungenthe TI-92 Ellis, W. ◆Unterprogramme,

Funktionen◆Programmierung

mit CBL◆Graphiken,

Animationen◆Übungen und

Beispiele

E Discovering Math Bruening- Texas CSC ◆viele praktische on the TI 92 sen,C. Instruments Beispiele

Bruening ◆ausführliche sen, E. AnleitungenTurley, E. ◆ArbeitsblätterGough, S. ◆LösungenBower, B. ◆didaktische Hinweise

E Investigating Kelly, B. Brendan CSC ◆ausführlicheAdvanced Algebra Kelly Anleitungenwith the TI-92 Publishing ◆Förderung der Selbst-

tätigkeit der Schüler◆Diskette mit

Programmen◆ausführliche Lösungen

E Investigating Kelly, B. Brendan CSC ◆detailierte AnleitungenCalculus with Kelly ◆Gruppen- uns the TI-92 Publishing Einzelarbeit

◆ausführliche Lösungen

Titel Autoren Verlag Quelle Inhalt

E Investigating Kelly, B. Brendan CSC ◆ reale DatenProbability and Kelly ◆graphische und rech-Statistics with Publishing nerische Auswertungthe TI-92 ◆detaillierte Anleitungen

◆Diskette mit Programmen

◆ausführliche Lösungen

E 92 Geometric Keyton, M. Brendan CSC ◆92 illustrierte Explorations with Kelly Aktivitätenthe TI-92 Publishing ◆ für Anfänger und

Fortgeschrittene◆didaktische Hinweise◆ausführliche Lösungen

E Introduction to the Lund, C. Math Ware CSC ◆37 LektionenTI-92: 37 Andersen, E. ◆Symmetrie, Experiments in UmkehrfunktionPrecalculus and ◆ParameterkurvenCalculus ◆Grenzwerte,

Ableitungen◆Kegelschnitte◆ lineare und quadrati-

sche Gleichungssysteme◆ Integrale

E Geometric Embse, V. Texas CSC ◆Geometrie und Investigations for Engebretsen, C. Instruments Algebrathe Classroom on Engebretsen, A. ◆ Interaktion zwischen the TI-92 Schüler und Rechner

◆Förderung der Selb-ständigkeit, des Inter-esses und der Mitarbeit

CBLE Real-World Math Brueningsen, C. Texas bk ◆25 Versuche aus Er-

with the CBL Bower, B. Instruments BD fahrungswelt derSystem Antinone, L CSC Schüler

Brueningsen, E. ◆ reale Fragestellungenführen zu mathe-matischen Konzepten

. ◆Verschiedene Verniersonden

◆Programme für TI-82, TI-83, TI-85 und TI-92 auf Diskette

◆didaktische Hinweise

E Exploring Physics Brueningsen,C Texas bk ◆48 Aktivitätenand Math with Krawiec, W. Instruments BD ◆detaillierte Anleitugenthe CBL System CSC ◆10 verschiedene

Sensoren◆Programme für TI-82,

TI-83, TI-85 undTI-92 auf Diskette

◆didaktische Hinweise

E Biology with CBL Holman, S. Vernier bk ◆30 VersucheMasterman, D. Software BD ◆viele verschiedene

CSC Sensoren◆pH, Temperatur, Gas-

druck, EKG, Puls, Farb-werte, Leitfähigkeit

◆2 Disketten mit Pro-grammen für TI-82, TI-83, TI-85, TI-92,Abbildungen undArbeitsblättern fürPC und Mac

◆MeßprogrammCHEMBIO

E Chemistry with Holmquist, D. Vernier bk ◆35 Schülernex-CBL Randall, J. Software BD perimente

Volz, D. CSC ◆viele verschiedeneSensoren

◆pH, Temperatur, Gas-druck, EKG, Puls,Farbwerte, Leitfähig-keit, Spannung

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TI-NACHRICHTEN 1998

Titel Autoren Verlag Quelle Inhalt

◆2 Disketten mit Pro-grammen für TI-82, TI-83, TI-85, TI-92,Abbildungen undArbeitsblättern fürPC und Mac

◆MeßprogrammCHEMBIO

E Physical Science Volz, D. Vernier bk ◆35 Schülernex-with CBL Sapatka, S. Software CSC perimente

◆viele verschiedeneSensoren

◆Temperatur, Druck, Kraft, Magnetfeld, Spannung, Lichtstärke, pH-Wert

◆2 Disketten mit Programmen für TI-82, TI-83, TI-85, TI-92,Abbildungen undArbeitsblättern fürPC und Mac

◆Meßprogramm PHYSC

CABRID Arbeitsbuch Henn, H. W. Dümmler- Buch- ◆Ausgearbeitete

Cabri Géomètre Jock, W. Verlag handel Unterrichtskonzeptebk für SI

◆167 Seiten

D Schulgeo- Schumann, H. Reinhard Buch- ◆ In 14 Kapiteln wird dasmetrisches Kon- Becker handel schulgeometrischestruieren mit dem Verlag ◆Konstruieren mit CabriComputer ausführlich beschrie-

ben

D Cabri Géomètre Schuhmann, H. Cornelsen Buch- ◆Auswertung einer Software handel Umfrage

D Im Zugmodus der Hölzl. R. Deutscher Buch- ◆ InteraktionsstudienCabri-Geometrie Studien- handel ◆Analysen zum Mathe-

verlag matiklernen mit demComputer

D Computerunter- Ziegler, T. Comet Buch- ◆Kongruenzgeometriestützer Geometrie- Verlag handel ◆ (fast) alle denkbarenunterricht mit Cabri KonstruktionenGéomètre, Band 1 ◆Diskette mit Figuren

und Makrovarianten

D Computerunter- Ziegler, T. Cornelsen Buch- ◆umfassende Darstel-stützer Geometrie- Software handel lung der Areal-, unterricht mit Cabri Ähnlichkeits- undGéomètre, Band 2 affinen Geometrie

◆Ausstattung wie Band 1

D Cabricolages Lugon, S. Comet Buch- ◆Arbeitsbuch fürVerlag handel Schüler

◆viele Erklärungen◆Lösungsdiskette

erhältlich

E Exploring the Wilgus Texas CSCbasics of Geometry Instrumentswith Cabri

E Discovering Schumann, H. Chartwell- Buch- ◆15 ausführliche KapitelGeometry with a Green, D. Bratt handel ◆euklidische GeometrieComputer using ◆288 SeitenCabri Geometry

bk = bk teachware, Softwarepark, A-4232 Hagenberg, +43-(0)7236-3329, bk.teachware@swp.co.at

BD = Böttcher Datentechnik, Hudekamp 18a, D-23558 Lübeck, +49-(0)451-899153,BoeDatec@aol.com

CSC = Customer Support Center, D: 06196-975015, A: 01-502910007, CH-Zürich: 01-2730688, CH-Genf: 022-7100010, ti-cares@ti.com

Texas Instruments ECO-Line

Rechtzeitig zum Schulanfang 1998 bringt Texas Instru-ments eine umweltfreundliche Ausgabe seiner bekannte-sten Schulrechner heraus:

TI-30 SolarTI-30 Xa SolarTI-36 SolarTI-40 Solar

Sie zeichnet sich aus durch

Verpackung und Handbuch aus Recyclingpapier

umweltgerechte Druckfarben

Solarzellen

Bitte empfehlen Sie die ECO-Line weiter...... der Umweltzuliebe!