Physik A VL2 (11.10.2012) - uni-muenster.de · z.B. digitales Multimeter: 12 bit analog-digital-Wandler 212 = 4096 mögliche Werte! Messbereich 0-1000 V: Genauigkeit ±~0.25 V Spannungsänderungen

Physik A – VL2 (11.10.2012)

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Physik A – VL2 (11.10.2012)

• Messen und Abschätzen

Messmethoden

• Messfehler

Angabe/Quantifizierung zufälliger (statistischer) Messfehler

Mittelwert, Varianz, Standardabweichung

Fehlerfortpflanzung

• Signifikante Stellen, wissenschaftliche Schreibweise

• Einheiten

• Mathematische Grundlagen!

Messen und Abschätzen

• Genaue (!) Messungen sind ein grundlegender Teil der Physik!

Jede Messung vergleicht die Messgröße mit einer Referenzgröße

aber: Mit jeder Messung ergibt sich ein Messfehler!

und: In manchen Fällen reicht es aus, eine bestimmte Größe lediglich

grob abzuschätzen,

mmmBlatt

mm 510808.0500

0,40

• Abschätzung der Größenordnung einer Messgröße:

Angabe innerhalb eines Faktors 10 genau.

Beispiel: Bestimmung der Dicke einer Buchseite mit einem Lineal

das Buch hat 1000 Seiten = 500 Blätter

mit dem Lineal wird gemessen: 500 Blätter = 40,0 mm

Messen

Einsatz unterschiedlicher Messmethoden

Wahl der Messmethode abhängig von • zu erwartendem Wertebereich

• Anforderungen an die Genauigkeit der Messung

Beispiel: Längenmessung

Methode/Gerät Messbereich Genauigkeit

Massband, Lineal einige mm bis m ± 1 mm (± 0,5 mm)

Schieblehre mm bis cm ± 0,1 mm

Mikrometerschraube µm bis cm wenige µm

Laufzeit von Lasern

(Interferometer)bis > 105 km

Bereich der

Lichtwellenlängen

(µm)

Mikroskope (Licht-,

Elektronen-, Raster-)einige nm bis µm

bei Tunnelmikroskopen:

0.1 nm(atomare Auflösung!)

Kobaltatome auf Kupferoberfläche, Durchmesser ca. 15 nm (1,5·10-8 m)

Messen

Messfehler

Wiederholte (gleiche) Messungen können verschiedene Ergebnisse liefern.

Die Differenz zwischen Messwert und (unbekanntem!) wahren Wert ist der Messfehler.

Einteilung der Messfehler in zwei Gruppen:

1. zufällige Fehler

Schwankungen / Streuung der

Messwerte durch Störeffekte

• äussere Einflüsse

(Temperaturschwankungen,

Zugluft, elektromagnetische

Felder, Erschütterungen)

• „Rauschen“ der Messgeräte

2. systematische Fehler

• Fehler der Messinstrumente

• nicht optimale Auslegung des

Experiments in Bezug auf die

Fragestellung

• falsche Nutzung von Messgeräten

• Fehler des Messenden (Ablesefehler!)

Oft schwer abzuschätzen bzw. werden

häufig nicht erkannt!

Messfehler

• Messfehler ergeben sich aus unterschiedlichen Ursachen:

- Begrenzte Genauigkeit des Messinstrumentes

Beispiele: • Genauigkeit von Skalen und Eichung

• Empfindlichkeit des Messgerätes

• bei digitalen Instrumenten:

Digitalisierung liefert diskrete Anzahl möglicher

Messwerte, d.h. begrenzte Auflösung,

z.B. digitales Multimeter:

12 bit analog-digital-Wandler

212 = 4096 mögliche Werte!

Messbereich 0-1000 V: Genauigkeit ± ~0.25 V

Spannungsänderungen im mV-Bereich

bleiben verborgen!

• Messfehler ergeben sich aus unterschiedlichen Ursachen:

- Ablesefehler

(bei analogen Anzeigen oder durch Digitalisierung)

Beispiel: Ablesegenauigkeit eines Zentimetermaßes,

Zollstocks oder Lineals mit 1 mm

als kleinster Einteilung

→ Ablesegenauigkeit von ± 1 mm, eventuell auch ± 0,5 mm,

aber z.B. 10,1 oder 10,2 mm nicht bestimmbar!

Demgegenüber: Schieblehre

Mikrometerschraube

- Äussere Einflüsse, die das Messergebnis beeinflussen können

Beispiel: Ballwurf, bei dem (unkontrollierbare) Luftbewegungen die Messergebnisse

beeinflussen und verfälschen.

Messfehler


• relativer Messfehler:

- Verhältnis des Messfehlers zum gemessenen Wert, multipliziert mit 100:

Direkt mit einem möglichen Messfehler verknüpft ist die Zahl signifikanter Stellen

bei der Angabe bzw. Auswertung von Messwerten.

Beispiel (s.o.): Angabe des Messwertes in der Form 10,00 mm impliziert,

dass die Messung mit einer Genauigkeit erfolgte, die es z.B.

erlaubt zu unterscheiden, ob eine Länge 10,00 oder 10,05 mm

beträgt!

Tatsächlich wissen wir (s.o.), dass wir gerade in der Lage sind,

10,0 von 10,5 mm zu unterscheiden!

%51000,10

5,0

mm

mm

Messfehler


• Angabe des Messfehlers:

• Berechnung des Mittelwertes einer Messgröße aus n Messungen:

• Der Mittelwert ist der wahrscheinlichste Wert für die gemessene Größe x.

• Die Verlässlichkeit des Mittelwertes steigt mit der Anzahl der Wiederholungsmessungen.

! Das gilt nur bei zufälligen, statistischen Fehlern !

statsys xxx

1 2

1

1 1n i

n

i

x x x x xn n

x

Messfehler


• Quantifizierung der Streuung der Messwerte um den Mittelwert Δx =

als Maß für den Messfehler:

Nicht die Summe der Differenzen vom Mittelwert:

xxi

1 1

1 1

1 1

1 10

n n

i i

i i

n n

i

i i

x x

x x x xn n

x xn n

2 2 2

1

2

1

1( ) ( )

1

1

1

n

i

i

n

i

i

x xn

x xn

Stattdessen: Quadratische Differenz = Varianz

Messfehler


• Aus der Varianz σ2 erhält man die Standardabweichung σ, über die die Messgröße

bestimmt wird:

Messgröße = Mittelwert ± Standardabweichung

x x

• Die Angabe des Messergebnisses erfolgt dann als

absoluter Fehler oder relativer Fehler

x x 5% bzw. 05,010

5,0

mm

mm

x

Beispiel

Messfehler


• Beispiel: Messreihe mit n = 5 Messwerten (Zeit) Messung # Messwert

1 1.34 s

2 1.54 s

3 1.44 s

4 1.29 s

5 1.43 s

1. Mittelwert

s 408,1s 04,75

1s 43,1s 29,1s 44,1s 54,1s 34,1

5

11 5

1

i

itn

t

2. Quadratische Differenz / Varianz

2

222225

1

222

s 03748,0

s 022,0s 118,0s 032,0s 132,0s 068,04

1

15

1

i

i ttt

3. Standardabweichung

s 194,0s 03748,0 22

Angabe des Messwertes

mit absolutem Fehler:

mit relativem Fehler:

s 19,041,1 t

%5,13135,041,1

19,0

t

s %5,13141,1 t

Messfehler


• Graphische Darstellung des Messfehlers: Fehlerbalken

1 2 3 4 5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

t /

s

Experiment #

Messung # Messwert

1 1.34 s

2 1.54 s

3 1.44 s

4 1.29 s

5 1.43 s

s 19,041,1 t

s %5,13141,1 t

Messfehler


• Fehlerfortpflanzung

1. Addition und Subtraktion

c = a + b; Messfehler: a ± Δa, b ± Δb

c ± Δc = a + b ± Δa ± Δb

Δcmax = Δa + Δb

Bei Addition oder Subtraktion von Messwerten addieren sich die absoluten Fehler.

Messfehler



2. Multiplikation und Division

c = a · b; Messfehler: a ± Δa, b ± Δb

c ± Δc = (a ± Δa)(b ± Δb)

= ab ± bΔa ± aΔb ± ΔaΔb

Δcmax = bΔa + aΔb + ΔaΔb

relativer Fehler:

Bei Multiplikation und Division addieren sich die relativen Fehler.

abbabaab

babaab

c

c

, ;

b

b

a

a

c

c

Messfehler



3. Allgemeine Definition des Größtfehlers

Messfehler

...

,...,,

zdz

dRy

dy

dRx

dx

dRR

zyxfR

Partielle Ableitungen von R nach x,y und z

Relativer Größtfehler:R

R

Signifikante Stellen

• Die Zahl signifikanter Stellen eines Messergebnisses ergibt sich aus dem mit der Messung

verknüpften Messfehler.

Beispiel: Lineal, Zollstock mit 1 mm-Skalierung

10 mm

oder, falls es möglich ist, auch „halbe Millimeter“ abzulesen

10,0 mm (da sich 10,0 bzw. 10,5 mm noch ablesen lassen)

aber:

weder 1 cm (impliziert, das der Messwert auch bei 0,9 oder 1,2 cm

liegen könnte),

noch 10,00 mm (impliziert eine Messgenauigkeit < 0.1 mm!!)

• Entscheidend ist die Anzahl signifikanter Stellen auch bei Rechnungen

insbesondere, wenn dabei Messgrößen die mit unterschiedlicher Genauigkeit bestimmt

wurden, miteinander verknüpft werden.

Das Endergebnis einer Multiplikation oder Division sollte nur so viele Stellen haben wie

die Zahl mit der kleinsten Signifikanz.

Signifikante Stellen

Das Endergebnis einer Multiplikation oder Division sollte nur so viele Stellen haben wie

die Zahl mit der kleinsten Signifikanz.

Beispiel: 11,3 cm x 6,8 cm = 76,84 cm2,

6,8 cm: 2 signifikante Stellen

76,84 aufrunden auf 2 signifikante Stellen: 77 cm2!

Gleiches gilt für Addition und Subtraktion:

(3,6 – 0,57 = 3,0 und nicht 3,03)!

Auch nicht zu wenige signifikante Stellen angeben:

2,5 x 3,2 = 8,0 und nicht 8!

Im Laufe einer Rechnung sollte mit mehr Stellen gerechnet werden

Vermeidung von Rundungsfehlern,

das Endergebnis sollte aber nur mit der entsprechenden (sinnvollen!) Anzahl

signifikanter Stellen angegeben werden!

Wissenschaftliche Schreibweise

Angabe in Zehnerpotenzen:

36900 = 3,69 x 104

oder = 3,6900 x 104,

wenn alle 5 Stellen signifikant sind.

Offensichtliche Vorteile bei großen Zahlen („Übersichtlichkeit“):

Welche Zahl ist größer?: 1543000000000 oder 154300000000000?

Besser: 1,543 x 1012 vs. 1,543 x 1013 !!!

Und: Die wissenschaftliche Schreibweise verdeutlicht die Anzahl signifikanter Stellen!

Einheiten

• Keine (physikalische) Größe ist sinnvoll ohne Einheit!!

• Das SI-Einheitensystem

(Systeme International des Unites, seit 1954)

1. Länge (Meter, m)

Ursprüngliche Definition (1790): zehnmillionster Teil der Entfernung

zwischen dem Äquator und den Polen.

1960: 1 Meter ist das 1 650 763,73-fache der Wellenlänge einer Emissions-

Linie des Gases Krypton 86 (im orangefarbenen Bereich).

1983: 1 Meter ist die Wegstrecke, die das Licht im Vakuum während einer

Zeit von 1/299 792,458 Sekunde zurücklegt.

Beispiele: Größenordnungen von subatomaren Partikeln bis hin zu

astronomischen Größenordnungen (Entfernung zwischen

Galaxien, Größe des bekannten Universums).

Protonen-/Neutronen-Radius 10-15 m

Atom (inkl. Elektronenhülle) 10-10 m

Virus 10-7 m

Bakterien 10-6 m

Blatt Papier 10-4 m

Fingerdicke 10-2 m

Fussballfeld 102 m

Höchste Berge (Mt. Everest) 104 m

Erddurchmesser 107 m

Abstand Erde-Sonne 1011 m

Abstand nächster Fixstern 1016 m

Abstand nächste Galaxie 1022 m

Größe des beobachtbaren Universums

(fernste sichtbare Galaxie)1026 m

Größenordnungen der Länge

von subatomaren Partikeln zu astronomischen Größenordnungen

Einheiten



2. Masse (Kilogramm, kg)

Beispiele: Größenordnungen von subatomaren Partikeln bis hin zu astronomischen

Größenordnungen (Masse von Erde & Sonne).

Elektron 10-30 kg

Proton/Neutron 10-27 kg

Bakterium 10-15 kg

Mücke 10-5 kg

Maus 10-2 kg

Mensch 102 kg

Schiff 108 kg

Erde 6·1024 kg

Sonne 2·1030 kg

Galaxie 1041 kg

Größenordnungen der Masse

von subatomaren Partikeln zu astronomischen Größenordnungen

Einheiten



2. Masse (Kilogramm, kg)

3. Zeit (Sekunde, s)

4. Elektrischer Strom (Ampere, A)

5. Temperatur (Kelvin, K)

Vergleich mit anderen (nicht-SI) Einheiten: °Celsius, °Fahrenheit

6. Stoffmenge (Mol, mol)

7. Lichtstärke (Candela, cd)

Einheiten

• Kohärente SI-Einheiten

Alle anderen physikalischen Größen sind abgeleitete Größen, die als Produkt aus

Potenzen der 7 SI-Basiseinheiten ausgedrückt werden.

Beispiele:

Größe EinheitEinheiten-

Zeichen

in

SI-Einheiten

in SI-

Basiseinheiten

Kraft Newton N J/m m·kg·s-2

Druck Pascal Pa N/m2 m-1·kg·s-2

Energie Joule J N·m; W·s m2·kg·s-2

Leistung Watt W J/s; V·A m2·kg·s-3

elektr. Spannung Volt V W/A m2·kg·s-3·A-1

elektr. Ladung Coulomb C A·s A·s

Mathematische Grundlagen

• Grundrechenarten!

• Vektoren und Skalare, Vektorrechnung (VL 3 & 4)

• Geometrie

• Funktionen - lineare Funktionen

- Parabeln und Polynome

- trigonometrische Funktionen

- Exponential- und Logarithmusfunktion

• Differential- und Integralrechnung, partielle Ableitungen

Übungen (ÜZ 1 & 2)

Zusammenfassung

• Messen und Abschätzen

Jede Messung vergleicht die Messgröße mit einer Referenzgröße.

Mit jeder Messung ergibt sich ein Messfehler!

In manchen Fällen reicht es aus, eine bestimmte Größe lediglich grob abzuschätzen.

Es gibt zufällige und systematische Messfehler. Erstere können quantifiziert werden.

Messwerte werden angegeben in der Form: Mittelwert ± Standardabweichung.

Die Standardabweichung berechnet sich dabei aus der quadratischen Differenz (Varianz).

Beim Rechnen mit fehlerbehafteten Größen muss die Fehlerfortpflanzung beachtet werden.

• Signifikante Stellen

Die Zahl signifikanter Stellen eines Messergebnisses ergibt sich aus dem Messfehler.

Ergebnisse von Rechnungen nur mit der entsprechenden Anzahl signifikanter Stellen

angegeben!

• Sehr große und sehr kleine Zahlen sollten in wissenschaftlicher Schreibweise ausgedrückt werden.

• Einheiten

Keine (physikalische) Größe ist sinnvoll ohne Einheit!!

Nach Möglichkeit sollte das SI-Einheitensystem verwendet werden bzw. Werte in SI-

Einheiten umgerechnet werden.

Documents

Physik A VL2 (11.10.2012) - uni-muenster.de · z.B. digitales Multimeter: 12 bit analog-digital-Wandler 212 = 4096 mögliche Werte! Messbereich 0-1000 V: Genauigkeit ±~0.25 V Spannungsänderungen