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Prof. F. Wörgötter (nach M. Seibt) -- Physik für Mediziner und Zahnmediziner 1

Physik für Mediziner und Zahnmediziner

Vorlesung 0010


Satz von Bernoulli

In einer reibungsfreien (!) Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit ist die Summe aus Dichte der kinetischen Energie, Druck und potentieller Energiedichte konstant.

konstantρghpρv21 2 =++

Der Satz von Bernoulli ist eine direkte Folge des Energieerhaltungssatzes.

.constEEE potDkin =++Zur Erinnerung (Mechanik):

Alle diese Terme umschreiben „Druck“!


Versuch: rotierender Zylinder Magnus Effekt

vZylinder

vrot,oben

vrot,unten vrot,oben vrot,unten = -

voben = vLuft + vrot

vunten = vLuft - vrot poben < punten

Auftrieb!

vLuft

Zylinder bewegt sich nach rechts

Die Luft strömt ihn von links an.


noch einmal Bernoulli: Freistoß um die Ecke...

aus: Physik-Journal, Juni 2006


Flugzeugflügel

Erklärung über den Bernoulli-Effekt


Kontinuitätsgleichung

Folge der Inkompressibilität von Flüssigkeiten: „die pro Zeit in ein Volumen hineinfließende Flüssigkeit muss auch wieder herausfließen“

s2 s1

Querschnittsfläche A2 Querschnittsfläche A1

Je kleiner der Rohrquerschnitt desto größer die (mittlere) Strömungsgeschwindigkeit

2211

2211

tAvtAvAsAs

∆=∆⇒⋅=⋅Gleichheit der Volumenelemente

Gleichheit des Transports

1

2

2

1

AA

vv

=⇒Ergibt umgekehrte Proportionalität zw. Flächen und Geschwindigkeiten


...das „aufgebogene“ U-Rohr-Manometer

p

pLuft

h

ρghpp Luft +=

⇒ Druck p messbar über Höhe h der Flüssigkeitssäule


Bernoulli

Beobachtung:

Deutung:

Experimente


Erklärung mit dem Satz von Bernoulli

konstantρghpρv21 2 =++

Also: mit der Kontinuitätsgleichung ergibt sich:

an Verengungen in einer Röhre verringert sich der (statische) Druck in der Flüssigkeit

Wir haben: veng > vbreit

Damit ergibt sich peng < pbreit

Wegen: unterschiedliches h


Bernoulli mit weichen Scheiben

Beobachtung:

Deutung:

Experimente


Stimmritze: Gummimembran-Modell


Phonation

aus: Klinke/Silbernagel: „Lehrbuch der Physiologie“

1. Luftströmung aus Trachea (Luftröhre) führt zum Öffnen der Stimmritze (Glottis)

2. erhöhte Strömungsgeschwindigkeit erniedrigt den Druck (Bernoulli)

3. ⇒ Schließen der Glottis

Folge: periodisches Öffnen und Schließen führt zur Tonerzeugung


Phonation und Artikulation

aus: Klinke/Silbernagel: „Lehrbuch der Physiologie“

• Form des Resonanzkörpers (=Rachen und Mundhöhle) bestimmt den produzierten Laut

• Stimmgebung über Rückkopplung mit dem Gehör


Buchhaltung: Bernoulli und Kontinuität

1

2

2

1

AA

vv

=⇒

Je kleiner der Rohrquerschnitt desto größer die (mittlere) Strömungsgeschwindigkeit

Kontinuitätsgleichung

konstantρghpρv21 2 =++Satz von Bernoulli

Mit Kontinuitätsgleichung ergibt sich: an Verengungen in einer Röhre verringert sich der (statische) Druck in der Flüssigkeit

In einer reibungsfreien (!) Strömung einer inkompressiblen Flüssigkeit ist die Summe aus Dichte der kinetischen Energie, Druck und potentieller Energie konstant.


Ströme: Vorgehensweise

• Erarbeiten wichtiger Zusammenhänge am Beispiel der Flüssigkeitsströmung

• Übertragen allgemeiner Ergebnisse auf elektrische Ströme und Spannungen Kirchhoffsche Gesetze, Widerstandsnetzwerke


elektrische Spannung und Druckabfall

Beobachtung:

Deutung:

Experimente


Druckverlust in fließenden Flüssigkeiten

v=0

x

p

v

x

p

∆p IpR ∆

=

Druckabfall entlang des Widerstands sowie Stromfluß

Widerstand ist unendlich: kein Druckabfall und kein Stromfluß


elektrische Spannung und Druckabfall

Beobachtung:

Deutung:

Experimente


reale elektrische Leiter

V

x

φ

U=∆φ IUR =

V

x

φ


Das Ohm‘sche Gesetz

V

x

φ

U=∆φ IUR =

Zumeist geschrieben als:

U = R . I

WIKIPEDIA: Uri Geller erregte in den 1970er-Jahren erstmals Aufsehen mit seinen Fernsehauftritten, in denen er angeblich durch telepathische Kräfte versteckt gemalte Zeichnungen nachmalte, stehengebliebene Uhren zum Ticken brachte und Besteck verbog. Er sagt in Interviews gelegentlich, dass er glaubt, seine Kräfte von Außerirdischen vom Planeten „Hoova“,erhalten zu haben. Ob das bei der Physikklausur auch hilft……?


Blutkreislauf: Netzwerk von „Röhren“ mit unterschiedlichen Widerständen

aus: Schmitd/Thews: Physiologie des Menschen

Verzweigungen: „Knoten“

geschlossene Kreise: „Maschen“


Blutkreislauf: Parallel- und Serienschaltung von Widerständen


Serienschaltung:

Parallelschaltung:


Kirchhoffsche Gesetze

In einem geschlossenen Stromkreis (Flüssigkeitskreislauf) bleiben einige physikalische Größen konstant:

Zahl der Ladungen (Zahl der Teilchen)

1.Kirchhoffsches Gesetz: In einem Knoten ist die Summe aller Ströme gleich Null (In einem Knoten ist die Summe der hinfließenden Ströme gleich der Summe der wegfließenden Ströme) Energie: Spannung (Druckdifferenz)

2.Kirchhoffsches Gesetz: In einer Masche ist die Summe der treibenden Kräfte (= Spannungen, Druckdifferenzen) gleich Null


1. Kirchhoffsches Gesetz Knotenregel

0Ij

j =∑In einem Knoten ist die Summe der Ströme gleich Null

I1

I2

I3

I4

0IIII 2143 =−−+

Zufließende und abfließende Ströme vorzeichenrichtig addieren!


2. Kirchhoffsches Gesetz Maschenregel

In einer Masche ist die Summe der Spannungen gleich Null

P1

P2

P3 P4

Einmal rum: Druckdifferenz P1-P1 muß Null sein

Masche

0UUABA

21 =+−→→

R1

R2

V

V

U1

U2

A B

Für Spannungen gilt dasselbe. Einmal rum:


Flüssigkeitswiderstände

21 R1

R1

R1

+=

21 RRR +=

R1 R2

R1

R2


Leitfähigkeit und Widerstand

21 R1

R1

R1

+=R1

R2 Verschließen!

Z.B. fließen jetzt 10ml pro Sekunde Nach dem Öffnen: Wieviel fließt etwa??

Der Widerstand R hat abgenommen Die Leitfähigkeit g hat zugenommen!

Es gilt: g = 1/R Wichtig bei Membranen!


Serienschaltung

R1 R2 R

Equivalent zu

I

U

I I1 I2

U1 U2

U

I.

II.

Knotenreg.:

Maschenreg.:

Ohm‘sches Ges.: und und

X X X Alle Ströme sind gleich: 21 RRR +=I.

II.


Parallelschaltung

R1

R2

U1

U2

I

I1

I2

I R

Equivalent zu

I

U

21 R1

R1

R1

+=II. I.

I.

II.

Wie ist der Wert von R?

Damit: X X

Knotenreg.:

Maschenreg.:

Ohm‘sches Ges.: und und


Flüssigkeitswiderstände

21 R1

R1

R1

+=

21 RRR +=

R1 R2

R1

R2


...wrap up

1.Kirchhoff (Teilchen)

im Knoten im Knoten

2.Kirchhoff (Energie)

in der Masche in der Masche

treibende Kraft Spannung U

Druckdifferenz ∆p

Strom elektrischer Strom

Volumenstrom

allgemein elektr.Strom Flüssigkeitsstrom

VdtdVI == Q

dtdQI ==

0Ii

i =∑0Ii

i =∑

0Ui

i =∑0pi

i =∆∑


Schaltsymbole

V

A

- +

• Widerstand R

• Zuleitung (widerstandsfrei)

• Voltmeter (großer Innenwiderstand Ri; ideal: Ri=∞)

• Amperemeter (kleiner Innenwiderstand Ri; ideal Ri=0)

• Gleichspannungsquelle

• Kondensator


Versuch: Viskosität


reale Flüssigkeiten: Widerstand durch innere Reibung

Alltag: Flüssigkeiten besitzen unterschiedliche „Fließeigenschaften“

Ursache: Viskosität oder Zähigkeit, auch: innere Reibung

A

v=0

v0 F

x

v

∆v ∆x

Def.: Viskosität η

ΔxΔvAηF ⋅=


laminares Strömungsprofil

Beobachtung:

Deutung:

Experimente


kreisförmiger Röhrenquerschnitt: laminares Geschwindigkeitsprofil

r

( ) ( )22 ρrρv −∝ •Strömungsgeschwindigkeit am Gefäßrand Null

• max. Strömungsgeschwindigkeit in der Röhrenmitte

ρ

v(ρ=r) = 0 v(ρ2) > 0

v(ρ3) >> 0 v(ρ=0) = max.

v, Geschwin- digkeit

Radius: ρ


laminare Strömung: mikroskopische Vorstellung

• Flüssigkeit am Gefäßrand ruht (v=0)

• „Abgleiten“ der Flüssigkeitsschichten aneinander

• Reibung aufgrund der Viskosität der Flüssigkeit

v(ρ)


laminare Strömung: Hagen-Poiseuille

v(ρ)

ρ

v(ρ+dρ) dρ

L

Betrachung einzelner Flüssigkeitszylinder

Flüssigkeitskraft: (vom Druck)

Viskosität:

Wenn‘s gleichmäßig fließt: Umstellen:



Die Ableitung ist eine lineare Funktion von ρ

Integration

Integrationskonstante

Rand- oder Nebenbedingungen treten in der Physik oft auf. Sie geben an, wie sich ein System an bestimmten „charakteristischen“ Stellen verhält. Damit kann man dann ‚uneindeutige Gleichungen‘ endgültig bestimmen.

Sollte NULL sein !

Der Rand des Zylinders:

Also:

Wenn wir hier v0=0 setzen, bekommen wir für den Rand des Zylinders (der „Randwert“ – hier sprichwörtlich!) was unsinniges raus, nämlich:



Wir hatten:

Und setzten: Damit ist:

Also insgesamt:

A

∆x Jedoch: v ist nicht konstant, wir haben: v(ρ) !

Und nun zum Fluß (laminare Strömung):



A

∆x

Von vorn ARing

ρ

∆ρ

Einsetzen von v(ρ): Dann in Integralform (und Rausziehen aller Konstanten):

Weil:

Damit:

Fluß eines einzelnen Rings: (Geschw. mal Fläche, wie vor)

Fluß gesamt:

Strömung eines Rings:

Summe über alle Ringe!



Stammfunktionen:

Bemerkenswert! 4te Potenz des Radius! Und endlich:


Hagen-Poiseuille

Beobachtung:

Deutung:

Experimente



pL8

rI4

∆⋅η

π= 4r

L8Rπ

⋅η=oder

Der Strömungswiderstand einer newtonschen Flüssigkeit (Viskosität unabhängig vom Druck) in einer Kapillaren ist

• proportional zur Viskosität der Flüssigkeit

• proportional zur Länge der Kapillaren

• umgekehrt proportional zur vierten Potenz des Kapillarradius

Folgerung: der Strömungswiderstand - und damit der Volumenstrom bei festem Druck - kann über den Röhrendurchmesser empfindlich verändert werden


einige Kreislaufdaten

• Blutvolumen: 5l • Herzschlagvolumen: ca 70ml

≈(4-6)l/min • unter Belastung: 20l/min • statischer Druck: (6-8)mmHg

(ca. 1kPa) (ohne Herzschlag!) • mittlerer Blutdruck: 100mmHg

(13kPa) • 0.25l/min O2-Verbrauch in

Ruhe • 3l/min O2-Verbrauch unter

Belastung

• Blut ist keine newtonsche Flüssigkeit!

...abhängig vom Gefäßdurchmesser

aus: Klinke/Silbernagel „Lehrbuch der Physiologie“


Blut ist keine newtonsche Flüssigkeit

...abhängig von der Schubspannung (Druck)

Aggragation bei kleinen Schub-spannungen

Desaggragation bei großen Schub-spannungen



Stromstärke-Druck-Diagramm

arteriovenöse Druckdifferenz

Dur

chbl

utun

g

dehnbares, aber druckpassives Gefäß (z.B. Lunge, Skelettmuskel)

starres Rohr

dehnbares, aber autoregulierendes Gefäsystem (z.B. Gehirn, Darm, Niere)

Blutgefäße ändern passiv oder aktiv ihren Strömungswiderstand und regulieren so die Durchblutung


Fluß-Muster


laminare und turbulente Strömung

Beobachtung:

Deutung:

Experimente

laminar turbulent


Strömungsarten

laminare Strömung: Flüssigkeitsteilchen bewegen sich nur in Fließrichtung

turbulente Strömung: auch Geschwindigkeitskomponenten senkrecht und entgegen der Fließrichtung Wirbelbildung

Blutkreislauf: vorwiegend laminare Strömung; turbulente Strömung in der Aorta; pathologisch bei Gefäßverengungen ( Auskultation Strömungsgeräusche)


Übergang laminar turbulent: Reynoldszahl

laminar turbulent

• laminare Strömung für kleine Strömungsgeschwindigkeiten

• Strömungswiderstand im turbulenten Bereich erhöht

• Übergang durch Reynoldszahl beschrieben: oberhalb von Re≈1000 nimmt der turbulente Strömungsanteil zu

ηρ⋅⋅

=vrRe



Zusätzliche Folien


Schaltung von Widerständen

Sie haben 3 Widerstände mit jeweils R=2kΩ zur Verfügung. Entwerfen Sie mit diesen Widerständen eine Schaltung mit dem Gesamwtiderstand Rges=3kΩ.

R R

R


Serienschaltung

15Ω 12Ω 27Ω 18Ω 24Ω

U=32V

Die Spannung zwischen den Klemmen I und II des Widerstandes R2 beträgt in dem oben gezeigten Schaltbild:

1. U=2V

2. U=4V

3. U=5V

4. U=12V

5. U=15V

I II


...Kategorien

Grundlagen: notwendige Kenntnisse und Fähigkeiten

Wissenswertes:

Informationen jenseits des Notwendigen Für Experten:

Medzinische Physik...


...das U-Rohr-Manometer

p p p p+∆p

h ρghΔp =

der hydrostatische Druck hängt nur von der Höhe der Flüssigkeitssäule ab; insbesondere hängt er nicht von der Gefäßform ab

hydrostatischer Druck


Blutdruckmessung

Manschettendruck > syst.Druck >> diast. Druck Manschettendruck ≥

syst.Druck >> diast. Druck

syst.Druck ≥ Manschettendruck >> diast. Druck Manschettendruck < syst. und

diast. Druck



Widerstand

I: Volumenstromstärke [m3/s] ∆p: Druckdifferenz [Pa=N/m2]

I: elektr. Stromstärke [A] U: Spannung [V]

Def.: Widerstand R

IUR =

Def.: Widerstand R

IpR ∆

=

I

∆p

I

U

53 mNs

msPa]R[ =

⋅= )Ohm(

AV]R[ Ω==


Ergänzung: Leitwert G

I: Volumenstromstärke [m3/s] ∆p: Druckdifferenz [Pa=N/m2]

I: elektr. Stromstärke [A] U: Spannung [V]

Def.: Leitwert G

R1

UIG ==

Def.: Leitwert G

pIG

∆=

I

∆p

I

U

ungebräuchlich! )Siemens(SVA]G[ ==


Folge: Druckverlust in fließenden Flüssigkeiten

v v=0

x

p

x

p

∆p IpR ∆

=


reale elektrische Leiter

V

x

φ

U=∆φ IUR =

V

x

φ


reale elektrische Leiter...

qFμv =

elektrische Leiter: Ladung wird transportiert durch

• Elektronen (Metalle)

• Ionen (Elektrolyte, biologische Systeme)

Widerstand aufgrund von Stößen der Ladungsträger Beschreibung durch die „Beweglichkeit“ μ:

v: Geschwindigkeit des Ladungsträgers F: Kraft auf den Ladungstträger q: Ladung des Ladungsträgers


Blutkreislauf: Netzwerk von „Röhren“ mit unterschiedlichen Widerständen


Verzweigungen: „Knoten“

geschlossene Kreise: „Maschen“


Blutkreislauf: Parallel- und Serienschaltung von Widerständen


Serienschaltung:

Parallelschaltung:


Buchhaltung: Kirchhoffsche Gesetze

In einem geschlossenen Stromkreis (Flüssigkeitskreislauf) bleiben einige physikalische Größen konstant:

Zahl der Ladungen (Zahl der Teilchen)

1.Kirchhoffsches Gesetz: In einem Knoten ist die Summe aller Ströme gleich Null (In einem Knoten ist die Summe der hinfließenden Ströme gleich der Summe der wegfließenden Ströme) Energie: Spannung (Druckdifferenz)

2.Kirchhoffsches Gesetz: In einer Masche ist die Summe der treibenden Kräfte (= Spannungen, Druckdifferenzen) gleich Null


1. Kirchhoffsches Gesetz

0Ij

j =∑In einem Knoten ist die Summe der Ströme gleich Null

I1

I2

I3

I4

0IIII 2143 =−−+

Zufließende und abfließende Ströme vorzeichenrichtig addieren!



0Ij

j =∑



R1

R2

V

In einer Masche ist die Summe der Spannungen gleich Null

V

U1

U2

A B 0UU

ABA

21 =+−→→


Parallelschaltung

R1

R2

21p R1

R1

R1

+=

I)(RIR

IRR

IRIII

IRUIRUIRUUUU

p2

p

1

p21

p22211121

÷=+⇒=+

=====⇒==

Rp

denn:


Serienschaltung

R1 R2

21s RRR +=

IIRIRIRUUURU

RU

RUIIII

21s21

2

2

1

1

s21

÷+=⇒+=

===⇒==

Rs

denn:


Schaltungen

21p R1

R1

R1

+=

21s RRR +=

R1 R2

R1

R2

Parallelschaltung

Serienschaltung


...wrap up

1.Kirchhoff (Teilchen)

im Knoten im Knoten

2.Kirchhoff (Energie)

in der Masche in der Masche

treibende Kraft Spannung U

Druckdifferenz ∆p

Strom elektrischer Strom

Volumenstromdichte

allgemein elektr.Strom Flüssigkeitsstrom

VdtdVI == Q

dtdQI ==

0Ii

i =∑0Ii

i =∑

0Ui

i =∑0pi

i =∆∑


Schaltsymbole

V

A

- +

• Widerstand R

• Zuleitung (widerstandsfrei)

• Voltmeter (großer Innenwiderstand Ri; ideal: Ri=∞)

• Amperemeter (kleiner Innenwiderstand Ri; ideal Ri=0)

• Gleichspannungsquelle

• Kondensator

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