Physik IIÜbung 10 - Lösungshinweise

Stefan Reutter SoSe 2012Moritz Kütt Stand: 04.07.2012Franz Fujara

Aufgabe 1 Lolli

Die kleine Carla hat von einem netten Onkel einen großen, runden Lolli geschenkt bekommen.Da Carlas Mama ihr eingeschärft hat, dass sie keine Sachen von Fremden Männern annehmensoll, oder, wenn doch, diese zumindest eingehend untersuchen soll, überprüft sie ihr Geschenkzunächst mit einem Multimeter. Dabei stellt sie fest, dass der kugelförmige Lolli an seiner Ober-fläche ein Potential von 450 V besitzt und in einem Abstand von 20 cm immerhin noch einPotential von 150 V. Nimm an der Lolli sei homogen geladen.

a) Wie groß ist der Radius des Lolli?b) Wie groß ist die auf ihm befindliche Ladung?c) Spielt es eine Rolle wie die Ladungen auf dem Lolli verteilt sind, also ob sie sich etwa nur aufder Oberfläche befinden?

Natürlich schleckt das vorsichtige Mädchen nicht an dem geladenen Lolli. Stattdessen verwendetsie ihn, um ihrem Papa einen Streich zu spielen. Erst danach macht sie sich genüsslich über dieSüßigkeit her.

Lösungshinweise:

Außerhalb der Kugel ist das elektrische Feld, wie wir schon mehrfach mit Hilfe des GaußschenIntegralsatzes gezeigt haben, gleich dem einer Punktladung der gleichen Ladung im Mittelpunktder Kugel. Der Radius der Kugel sei R und d = 20 cm

a) Wir berechnen das elektrische Potential der Kugel

φ(R) =q

4πε0

1

R!= U0 = 450 V

φ(R+ d) =q

4πε0

1

R+ d!= U1 = 150 V

Dividiert man die erste Zeile durch die zweite ergibt sich

R+ d

R=

U0

U1

R=d

U0U1− 1= 10 cm

1

Die Ladung erhält man, indem man dieses Ergebnis in eine der Gleichungen einsetzt

q = 4πε0RU0 = 5× 10−9 C

Aufgabe 2 Zylinderkondensator

Zwei lange leitende Zylindermäntel mit Radien Ri < Ra sind koaxial angeordnet. Der innere Zy-lindermantel trägt eine Flächenladungsdichte σ, der äußere eine Flächenladungsdichte −σ Ri

Ra.

Berechne für einen Teil der Zylinder mit Länge l

a) Die Spannung zwischen den Zylindernb) Die Kapazität dieses Kondensators pro Längeneinheitc) Die in ihm gespeicherte Energie pro Längeneinheit

Lösungshinweise:

Das Feld zwischen den Leitern muss aus Symmetriegründen radial nach außen zeigen. Integriertman also über einen Zylinder der Länge l und Radius Ri < r < Ra muss das Feld auf seinerMantelfläche konstant sein während es auf den beiden Stirnseiten verschwindet.

Nach Gaußschem Integralsatz ergibt sich (siehe Übung 8, Aufgabe 7)

E =σRi

ε0r

Die Spannung erhält man aus der Potentialdifferenz zwischen innen und außen (Vorsicht Vor-zeichen)

U =

Ra∫

Ri

Edr =σRi

ε0ln

Ra

Ri

b) Die Kapazität pro Länge C ist definiert als

C =Q

Ul=

2πlRiσ

Ul

=2πε0

ln RaRi

c) Die gespeicherte Energie ergibt sich analog zum Plattenkondensator zu

W =Q2

2Cl2 =πR2

iσ2 ln Ra

Ri

ε0

2

Aufgabe 3 Es fließt heraus und bleibt doch drinnen

Aus einer kugelförmigen Fläche mit dem Radius r = 12 cm wird ein elektrischer Fluss φ =250 Vm ermittelt.

a) Welche Ladung muss sich im Inneren der Kugel befinden?

b) Wenn die Kugeloberfläche leitend ist, und die Ladung homogen auf ihr verteilt - wie groß istdanan die Feldstärke direkt über der Oberfläche?

Lösungshinweise:

a)

φ =

∮

~E · d~A=Q

ε0

Q = φε0 = 2.2× 10−9 C

b) Leitend bedingt homogen verteilt, das wiederum bedingt die Kugelsymmetrie des Problems.Daher können wir den Betrag des Feldes über den Gauss’schen Satz ausrechnen, die Richtungist dann senkrecht zur Kugeloberfläche.

φ =

∮

~E · d~A

φ = |~E| · |~A|

E =φ

4πr2 ≈ 1.4kV

m

Aufgabe 4 Dielektrikum im Plattenkondensator

Ein Plattenkondensator besteht aus zwei Platten mit einer Fläche von jeweils A= 500 cm2. DiePlatten haben den Abstand d = 4 mm. Der Kondensator wird auf 100 V aufgeladen, anschlie-ßend von der Spannungsquelle getrennt.

a) Bestimme die elektrische Feldstärke zwischen den Platten und die Flächenladungsdichte aufden Platten sowie die elektrostatische potentielle Energie.

Ein Dielektrikum (εr = 4) wird zwischen die Platten geschoben, es füllt den Raum zwischen denPlatten vollständig aus.

b) Wie groß ist nun die Feldstärke?

c) Wie groß ist die Potentialdifferenz zwischen den Platten?

d) Berechne die Flächenladungsdichte der gebundenen Ladungen (Ladungen an der Oberflächedes Dielektrikums)?

3

Lösungshinweise:

a)

E =U

d= 25000

V

mσ = ε0E = 2.2× 10−7 C/m2

W =1

2CU2 =

1

2

ε0A

dU2 = 1.1× 10−6 J

b)

ED =E

εr= 6250

V

m

c)

U = EDd = 25 V

d)

σ =σb +σ

εr

σb =σ�

1−1

εr

�

= 1.66× 10−7 C/m2

Aufgabe 5 Dielektrizitäts-Hamburger

Ein Plattenkondensator mit der Kapazität C und dem Plattenabstand d wird mit zwei Dielektrika(ε1, ε2) gefüllt. Jedes Dielektrikum hat eine Dicke d

2. Auf den Platten befinden sich die Ladungen

Q bzw. −Q.

ε1ε2

d/2d/2

a) Wie groß ist die elektrische Feldstärke in jedem Dielektrikum?

b) Wie groß ist die Potentialdifferenz zwischen den Platten?

c) Zeige, dass die Kapazität des gefüllten Kondensators durch folgende Formel gegeben ist:

Cd =2ε1ε2

ε1+ ε2C

4

d) Zeige, dass man das System auch als zwei in Reihe geschaltete Kondensatoren betrachtenkönnte.

Lösung:

a) Das elektrische Feld ohne Dielektrikum ist

E =Q

Cd

Wir wissen, dass ein Dielektrikum das Feld wie folgt absenkt:

ED =E

εr

Damit sind die beiden Felder

ED1 =E

ε1

ED2 =E

ε2

b) Die Differenz der Potentiale auf beiden Seiten eines Dielektrikums ist Ui = Ei · di. Für dieübereinanderliegenden Dielektrika müssen die beiden Potentialdifferenzen addiert werden. Da-mit ergibt sich

U = ED1d

2+ ED2

d

2=

Q

2C

�

1

ε1+

1

ε2

�

c) Wir berechnen direkt die Kapazität:

CD =Q

U

=Q

Q2C

�

1ε1+ 1ε2

�

=2

1ε1

1ε2(ε1+ ε2)

C

=2ε1ε2

ε1+ ε2C

5

d)

CD1 =2ε1CCD2 =2ε2C

CD =�

1

CD1+

1

CD2

�−1

=�

1

2ε1C+

1

2ε2C

�−1

=C · 2 ·1

1ε1+ 1ε2

=2ε1ε2

ε1+ ε2C

Aufgabe 6 Nochmal ein Plattenkondensator

Ein Plattenkondensator mit der Fläche A, Plattenabstand d wird auf die Spannung U aufgeladen.Anschließend wird er von der Spannungsquelle getrennt. Nun wird eine Platte mit der FlächeAp =

A2

und der Dielektrizitätszahl εr = 2 in den Kondensator eingeschoben.

εrd

A

a) Weshalb muss das elektrische Feld im Dielektrikum und im freien Plattenzwischenraum dengleichen Wert haben?

b) Zeige, dass die Ladungsdichte auf der Grenzfläche zwischen Leiter und Dielektrikum (σld)genau doppelt so groß ist wie die auf der Grenzfläche Leiter - Luft (σl l), also σld = 2σl l .

c) Zeige, dass die neue Kapazität den Wert 3ε0A2d

hat.

d) Zeige, dass die neue Spannung zwischen den Platten den Wert 23U hat.

Lösungshinweise:

a) Jede Platte ist eine Äquipotentialfläche, da sie leitend ist. Zwischen den Platen muss daherüberall die gleiche Potentialdifferenz herrschen, auch dort wo das Dielektrikum ist. Da das Feldin jeder Hälfte des Kondensators homogen ist, ergibt sich U = Ed und damit muss E auf beidenSeiten gleich sein.

6

b) Für das Feld in der Nähe eines von einem Dielektrikum umhüllten Leiters (bzw. von einerSeite umhüllt) gilt

E =σ

εrε0

σ = Eεrε0

Das Feld ist im ganzen Kondensator gleich, daher gilt für die Flächenladungsdichten

σ1 = Eεrε0

σ2 = Eε0

σ1 = 2σ2

c) Wir können den Kondensator als zwei parallelgeschaltete Kondensatoren betrachten. DieKapazität der einzelnen Kondensatoren wird dann einfach addiert.

C1 =εrε0

A2

d

C2 =ε0

A2

d

CD =C1+ C2 =ε0A

2d(1+ εr) =

3ε0A

2d

d) Der Kondensator hat die ganze Zeit die Ladungsmenge, die er zum Zeitpunkt der Aufladunghatte. Diese ist

Q = CaU =ε0A

d

Die neue Spannung ist dann also

UD =Q

CD=

2Qd

3ε0A=

2

3U

Aufgabe 7 Diskussion: Der Ampèretiger

Wie ist die Definition des Ampère? Wie die des Coulomb? Warum ist das Ampere die Basiseinheitund nicht das Kuhlomb?

Lösungshinweise:

Das Ampere ist die Stärke eines konstanten elektrischen Stroms, der, durch zwei parallele, gerad-linige, unendlich lange und im Vakuum im Abstand von 1 Meter voneinander angeordnete Leiter

7

von vernachlässigbar kleinem, kreisförmigen Querschnitt fließend, zwischen diesen Leitern je 1Meter Leiterlänge die Kraft 2× 10−7 Newton hervorrufen würde.

Das Coulomb ist definiert als 1 Ampere × 1 Sekunde.

Eigentlich ist es viel sinnvoller, das Coulomb (d.h. die Ladung) als Basiseinheit zu definieren,das auf Grund der Existenz der Elementarladung sehr gut definiert ist. In der Tat gibt es auchBestrebungen, das Ampere über den Ladungsfluss zu definieren. Die historische Definition gehtauf eine Zeit zurück, zu der man sich der Elementarladung nicht bewusst war.

Aufgabe 8 Diskussion: Das Alte Leiden

Was ist eine Leidener Flasche? Erkläre ihre Funktionsweise.

Lösungshinweise:

Bei einer Leidener Flasche handelt es sich um nichts anderes als einen simplen Kondensator. Zu-meist ist es ein Glaszylinder, der beidseitig mit einer Metallschicht bedeckt ist. Das Glas fungiertdabei als Isolator. Frühe Experimentatoren hatten es hierbei in erster Linie auf die Speiche-rung der elektrischen Ladung abgesehen: eine frühe Batterie bestand aus mehreren parallelenLeidener Flaschen.

8