Physik in Experimenten und Beispielen

Bearbeitet vonHans J. Paus

3., aktualisierte Auflage 2007. Buch. XXX, 1043 S. HardcoverISBN 978 3 446 41142 5

Format (B x L): 21,6 x 23,5 cmGewicht: 2155 g

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Hans J. Paus

Physik in Experimenten undBeispielen

ISBN-10: 3-446-41142-9ISBN-13: 978-3-446-41142-5

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�Mechanik deformierbarer Korper

Dehnung und Torsion elastischer Korper entsprechend dem Hookeschen Gesetz (Draht, Torsionsfeder, Spiralfeder).Aus: Robert Hooke ”Lectures de Potentia Restitutiva“, 1687; Bibliothek Deutsches Museum, Munchen.

Teil B: Mechanik deformierbarer Korper

14Aufbau der Korper

14.1 VorbemerkungenIn der bisherigen Behandlung der Mechanik wurden die Korper als starrangenommen. Alle Korper sind jedoch aus Atomen, Ionen oder Molekulenaufgebaut, die mehr oder weniger leicht gegeneinander verschiebbar sind:wirklich starre Korper gibt es nicht. Wir wollen die Mechanik deformier-barer Korper nach den drei Aggregatzustanden fest – flussig – gasformigeinteilen und abhandeln. Die Darstellung der diesen Aggregatzustandenz. T. gemeinsamen Effekte soll etwa nach folgendem Schema vorgenommenwerden:

(14) Aufbau der Korper

Feste Korper Flussige Korper Gasformige Korper

(15) Korper unter außeren Spannungen

(16) Oberflachen (17) Stromungen

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In Abschnitt 14 beschaftigen wir uns mit dem Aufbau der Korper, mit ih-ren Strukturen und physikalischen Eigenschaften. Die Einteilung nach denAggregatzustanden ergibt sich fast zwangslaufig. Abschnitt 15 enthalt einephanomenologische Beschreibung des Verhaltens der Korper unter auße-rem Zug und Druck. Dies betrifft wieder die Korper in allen drei Aggre-gatzustanden. Die Oberflachen fester und flussiger Korper sind schließlichThema des folgenden Abschnitt 16. Gase besitzen keine Oberflache – sietauchen hier nicht auf. Im letzten Abschnitt 17 werden dann einfachste Fak-

Teil B: Mechanik deformierbarer Korper

164 Kapitel 14: Aufbau der Korper

ten zum großen Gebiet der Stromungslehre zusammengetragen. Stromun-gen setzen eine leichte Verschiebbarkeit der Molekule gegeneinander voraus;dieses Kapitel kann also nur Flussigkeiten und Gase betreffen.

14.2 Feste Korper

14.2.1 Allgemeines zur Bindung

Im festen Korper sind die atomaren Bausteine an bestimmte Gitterplatzegebunden, um die sie nur Schwingungen ausfuhren konnen, deren Amplitudemit der Temperatur zunimmt. Fur eine stabile Bindung sind Anziehungs-und Abstoßungskrafte notwendig. Wir erlautern das Wechselspiel von Ab-stoßung und Anziehung bei der Bindung an dem zweiatomigen polarenKochsalzmolekul Na+Cl− und stellen uns vor, das negative Chlorion werdeim Nullpunkt eines Koordinatensystem festgehalten, bei dem wir auf derAbszisse den Abstand zum positiven Natriumion und auf der Ordinaten diewirkenden Krafte auftragen. Abstoßende Krafte werden positiv, anziehendeKrafte negativ gerechnet (Fig. 14.1a).

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Fig. 14.1: (a) Krafte zwischen zwei Ionen; dieCoulombkraft variiert mit 1/r2 und ist anzie-hend, die Abstoßungskraft setzt man propor-tional 1/rn mit n � 2 an; bei großen Abstan-den zwischen den Ionen uberwiegt die Anzie-hung, bei kleinen die Abstoßung. r0 ist derGleichgewichtsabstand der Ionen.(b) Die Flache unter der F (r)-Kurve ergibt diepotentielle Energie. Diese besitzt beim Gleich-gewichtsabstand r0 ein Minimum. Die gestri-chelte Linie markiert den mittleren Ionenab-stand fur verschiedene Temperaturen.

Bei großen Abstanden r dominiert die anziehende Wirkung der elektrischenCoulombkraft. Sie besitzt eine 1/r2-Abhangigkeit und wird mit Verringe-rung des Ionenabstands schnell großer. Erst bei sehr kleinen Abstandenmacht sich schließlich auch eine Abstoßung bemerkbar: Die Ionen wehrensich vehement gegen eine gegenseitige Durchdringung ihrer Elektronenscha-len. Das ist ein quantenmechanischer Effekt: Das Pauli-Prinzip verbietet,daß sich zwei Elektronen in gleichen Zustanden am gleichen Ort aufhal-ten durfen. Die resultierende Abstoßungskraft besitzt eine weit starkereOrtsabhangigkeit als die Coulombkraft. Man hat versucht, sie durch einPotenzgesetz ∼ 1/rn mit Exponenten n ≈ 8 . . . 10 zu erfassen. Besser istoft ein Exponentialansatz ∼ e−r/ρ mit ρ als einem charakteristischen Ra-dius. Wie dem auch sei: Bei kleinen r geht die Abstoßungskraft steil zusehr hohen Werten und uberwiegt die Coulombanziehung betrachtlich. DieSummenkurve Fab −Fan biegt, wie in Fig. 14.1a zu sehen, bei einem gewis-sen Ionenabstand nach oben um und schneidet bei r = r0 die Abszisse: r0

ist der Gleichgewichtsabstand der beiden Ionen.In Fig. 14.1b sind die Bindungsverhaltnisse durch Angabe der potentiellenEnergie als Funktion des Abstands der beiden Ionen veranschaulicht. Dieseergibt sich aus dem Arbeitsintegral:

Ep(1) − Ep(2) =

r2∫r1

�F d�r. (14.1)

Legt man den Energie-Nullpunkt wie ublich ins Unendliche, also Ep(2) → 0fur r → ∞, dann ergibt sich

Ep(r′) =

∞∫r′

�F d�r = −r′∫

∞

�F d�r. (14.2)

Teil B: Mechanik deformierbarer Korper

Kapitel 14: Aufbau der Korper 165

Diese Energie ist negativ und erreicht beim Gleichgewichtsabstand r0 derIonen ihren tiefsten Wert. Das ist die Bindungsenergie EB, die man aufwen-den muß, um die beiden Ionen des Molekuls voneinander zu trennen. Siewird umgekehrt bei der Vereinigung der beiden Ionen frei. Fur sehr kleineAbstande schließlich wird auch die Energie positiv. Vom Gleichgewichts-abstand r0 ausgehend steigt die potentielle Energie also nach großeren undnach kleineren r-Werten hin an, jedoch nicht symmetrisch; man nennt einensolchen Potentialverlauf anharmonisch. Nur bei ganz tiefen Temperaturenwird der Ionenabstand wirklich gleich r0 sein; bei hoheren Temperaturenschwingen die Ionen um diesen Wert, und zwar mit umso großerer Am-plitude, je hoher die Temperatur ist. Die Umkehrpunkte der Schwingbe-wegung sind durch die Potentialkurve Fig. 14.1b gegeben und dort durchDoppelpfeile gekennzeichnet. Die Asymmetrie des Potentials hat zur Fol-ge, daß mit wachsender Temperatur der mittlere Ionenabstand im Molekulgroßer wird. Dies ist letztlich der Grund fur die thermische Ausdehnungeines festen Korpers, den man sich aus Molekulen der betrachteten Artzusammengesetzt denkt.

14.2.2 Bindungstypen

Wir wollen in diesem Abschnitt kurz die einzelnen Bindungstypen durch-gehen und die wesentlichen Fakten aufnotieren. Wir mussen uns aber imklaren sein, daß die in der Natur wirklich realisierten Bindungen nie genaunur einem Typ entsprechen; in den meisten Fallen werden irgendwelcheMischformen vorliegen.(a) Ionenkristalle (heteropolare Kristalle)

Fig. 14.2: Kochsalz als Modell eines Ionenkri-stalls, der aus positiven und negativen Ionenaufgebaut ist.

Sie bestehen, wie der Name sagt, aus positiven und negativen Ionen, dieim Festkorper regelmaßig angeordnet sind. Ein Beispiel ist das im vorigenAbschnitt bereits erwahnte Kochsalz, NaCl, in dem die Kationen (Na+)und Anionen (Cl−) ein kubisches Gitter bilden.Die wesentlichen Eigenschaften dieses Bindungstyps sind:

• durchsichtige Kristalle,• gute Isolatoren bei Zimmertemperatur,• bei hohen Temperaturen Ionenleiter,• hohe Schmelztemperaturen (≈ 1000 ◦C),• hohe Gitterenergie (das ist die Energie pro Ion, die man benotigt, um

den Kristall in seine ionischen Bestandteile zu zerlegen): ca. 10 eV.1

(b) Homoopolare Kristalle

Fig. 14.3: Die homoopolare Bindung in einemWasserstoffmolekul H2. Eine Wolke negativgeladener Elektronen zwischen den positivenKernen sorgt fur die Bindung.

Homoopolare (oder kovalente) Kristalle sind aus elektrisch neutralen Ato-men aufgebaut. Die Atome werden durch die sogenannte Elektronenpaar-Bindung (homoopolare Bindung) aneinander gehalten. Das ist die gleicheBindungsart, durch die zwei Wasserstoffatome zum Wasserstoffmolekul ver-bunden sind (Fig. 14.3): Die Coulomb-Abstoßung der beiden positiv gela-

1 Das Elektronenvolt eV ist eine atomphysikalische Energieeinheit. 1eV ist die Ener-gie, die ein Elektron beim Durchfallen einer Spannung von 1 V erhalt: 1 eV =1,6 · 10−19 V As.

Teil B: Mechanik deformierbarer Korper

166 Kapitel 14: Aufbau der Korper

denen Kerne wird durch eine Elektronenwolke zwischen ihnen uberkompen-siert. Beide Elektronen gehoren zu beiden Kernen. Im festen Korper sindfur diese Art der Bindung z. B. fur den Fall von Silizium vier Valenzelek-tronen notwendig (Wertigkeit 4); die raumliche Struktur ist tetraedrisch(Fig. 14.4). Jedes Atom ist von vier anderen Atomen umgeben.

Fig. 14.4: Der homoopolare Siliziumkristallbesteht aus tetraedrisch angeordneten vierwer-tigen Siliziumatomen. Je zwei gemeinsameElektronen bewerkstelligen die Bindung zwi-schen zwei benachbarten Atomen.

Beispiele und Eigenschaften:

• Beispiele: Silizium, Germanium, Diamant.• Hohe Gitterenergie (4–8 eV).• Bei tiefer Temperatur Isolatoren.• Große Harte (Diamant).

(c) Van-der-Waals-Kristalle2

Fig. 14.5: Ein Molekulkristall (oder Van-der-Waals-Kristall) besteht aus neutralen Mo-lekulen, die nur schwach aneinander gebundensind (Beispiel: Naphthalin).

Van-der-Waals-Kristalle bestehen aus elektrisch neutralen Molekulen oderchemisch vollig inerten Atomen (z. B. Edelgasatomen). Die Bindung zwi-schen ihnen kommt durch fluktuierende elektrische Ladungen (die Atomesind keine statischen Gebilde) und dadurch statistisch auftretende elektri-sche Dipolmomente zustande.Beispiele und Eigenschaften:

• Beispiele: Naphthalin (Molekule bestehend aus zwei Benzolringen,Fig. 14.5), fester Wasserstoff (H2-Molekule), Trockeneis (festes CO2),feste Edelgase,

• geringe Harte,• niedrige Gitterenergien (0,1–1 eV),• sehr niedrige Schmelztemperaturen,• Isolatoren.

(d) Metall-Kristalle

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Fig. 14.6: Modell eines Metallkristalls: Die re-gelmaßig angeordneten positiven Ionen

”schwimmen“ in einem See aus negativenElektronen.

Bei der metallischen Bindung sind die geladenen Atomrumpfe auch in ei-nem Gitter angeordnet; jedes Atom gibt im Mittel ca. 1 Elektron an dasGitter ab: Diese Elektronen gehoren dann dem Kristall als ganzem undsind nicht mehr einem einzelnen Atom zuzuordnen. Dieser ”Elektronensee“bewerkstelligt die Bindung.Beispiele und Eigenschaften:

• Beispiele: alle Metalle,• sehr gute elektrische Leiter; die ”quasifreien“ Elektronen3 sind leicht

verschiebbar,• nicht durchsichtig,• stark unterschiedliche Gitterenergien (1–4eV), wovon allerdings nur etwa

1 eV wirklich der metallischen Bindung anzurechnen ist; die daruberhinausgehende Bindungsenergie ist – vor allem bei den Ubergangsmetal-len – kovalenter Art;

• stark unterschiedliche Dichten, Harten und Schmelztemperaturen.

2 Jan Diderik van der Waals 1837–19233

”quasifrei“ heißt, frei beweglich im Kristall, aber ohne daß die Elektronen aus dem

Festkorper heraustropfen konnen.

Teil B: Mechanik deformierbarer Korper

Kapitel 14: Aufbau der Korper 167

Tab. 14.1: Zusammenstellung der Bindungstypen, Beispiele.

Bindungstyp Bindungskrafte Beispiele Gitterenergien

heteropolar Coulomb NaCl 8,0 eVKCl 7,3 eVLiF 10,7 eVMgO 41,0 eVCaO 36,5 eV

homoopolar Elektronenpaare Diamant 7,4 eVSi 4,6 eVGe 3,9 eV

van der Waals fluktuierende Naphthalin 0,75 eVelektrische Anthracen 1,06 eVDipole Ne (fest) 0,02 eV

Ar (fest) 0,08 eV

metallisch quasifreie K 0,9 eVElektronen Fe 4,3 eV

Cu 3,5 eVAu 3,8 eV

14.2.3 Idealkristalle – Realkristalle

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Fig. 14.7: Ein Idealkristall ist aus Elementar-zellen aufgebaut; hier ist ein Parallelepiped alsElementarzelle gezeichnet.

Idealkristalle kann man sich aus Elementarzellen aufgebaut denken, die inden drei Raumrichtungen regelmaßig periodisch angeordnet sind. Die Ato-me/Ionen/ Molekule des Gitters sind an den Ecken, Kanten, Flachen oderin der Mitte dieser Elementarzellen angeordnet zu denken. Die Elementar-zelle ist vollstandig charakterisiert durch die Angabe von drei Basisvektoren�a, �b und �c, die i. allg. nicht orthonormal sind (Fig. 14.7.)Die Vielzahl der in der Natur vorkommenden Kristalle wird durch nur sie-ben Kristallsysteme erfaßt, die in Fig. 14.8 zusammengestellt sind. DieElementarzellen sind Parallelepipede4 der verschiedensten Art; im ortho-rhombischen System sehen sie z. B. aus wie Streichholzschachteln: drei ver-schiedene Kantenlangen, lauter rechte Winkel zwischen diesen Kanten; imkubischen System sind es Wurfel, die im einfachsten (sogen. primitiven)Fall nur an den Ecken, in komplizierteren Fallen auch an den Seiten- oderKantenmitten Atome tragen.Die wirklich in der Natur vorkommenden Realkristalle enthalten Gitterfeh-ler, die ihre physikalischen Eigenschaften ganz wesentlich bestimmen. Einreiner Metall-Einkristall ist z. B. meist sehr weich (Pt, Au); der Einbau vonGitterfehlern und Fremdatomen macht ihn hart (Beispiel: Eisen – Stahl).Oder: Aluminiumoxid bildet klare, durchsichtige Kristalle (Saphir); die Zu-gabe weniger Chromatome macht tiefroten Rubin daraus. Das sind nurzwei Beispiele von vielen.

4 Ein Parallelepiped ist ein durch Parallelogramme begrenzter Korper.

Teil B: Mechanik deformierbarer Korper

168 Kapitel 14: Aufbau der Korper

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Fig. 14.8: Die sieben Kristallsysteme: triklin, monoklin, orthorhombisch, hexagonal, trigonal, tetragonal undkubisch. Die relative Große der Basisvektoren und die Winkel zwischen ihnen sind jeweils vermerkt.

Wir unterscheiden:

(1) Punktfehler, die man auch nulldimensionale Storstellen nennt, sindin Fig. 14.9 schematisch gezeichnet. Es konnen auftreten:

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Fig. 14.9: Punktstorstellen: (a) falsche Ato-me auf einem regularen Gitterplatz. (b) Leer-stellen im Gitter: die zugehorigen Atome sindan die Kristalloberflache gewandert. (c) Leer-stellen: die zugehorigen Atome sind auf einenZwischengitterplatz gewandert.

a) chemische Defekte (Fremdatome), die anstatt der regularen Atome imGitter eingebaut sind;

b) Leerstellen (Atome sind von ihren Gitterplatzen an die Kristalloberflachegewandert;

c) Zwischengitteratome; hierbei kann es sich um gittereigene oder um frem-de Atome handeln.

In Fig. 14.10 ist als ein Beispiel fur eine ganze Kategorie von Punktfehlerndas Farbzentrum (”F-Zentrum“) in einem Alkalihalogenid-Kristall angege-ben. Auf einem Aniongitterplatz fehlt ein regulares Halogenion; an seinerStelle sitzt einfach ein Elektron. Ersetzt man nur jedes zehntausendsteCl−-Ion in einem NaCl-Kristall durch ein F-Zentrum, wird der vorher klardurchsichtige Kristall schwarz. Das ist ein weiteres Beispiel dafur, wie dra-stisch die Kristalleigenschaften durch solche Gitterfehler bestimmt sind.

Teil B: Mechanik deformierbarer Korper

Kapitel 14: Aufbau der Korper 169

(2) Eindimensionale Fehler. Hier sind z. B. die Versetzungen anzufuhren.Fig. 14.11 zeigt eine sogenannte Stufenversetzung. Sie entsteht, wenn derKristall nicht ganz regelmaßig gewachsen ist: Hier hort eine Gitterebene imKristall auf. Die Grenzlinie nennt man Versetzungslinie; sie verlauft hiersenkrecht zur Zeichenebene; ihr Durchstoßpunkt ist gestrichelt umrandet.

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Fig. 14.10: Ein spezieller Punktfehler in ei-nem Ionenkristall wie NaCl z. B. ist das F-Zentrum: im Gitter hat ein einzelnes Elektronden Platz eines Anions eingenommen.

(3) Zweidimensionale Fehler. Fig. 14.12 zeigt als Beispiel fur zweidi-mensionale Kristallfehler einen sogenannten Stapelfehler. Angenommen einKristall wachst normalerweise so, daß Atomlagen der Sorten A, B und Cregelmaßig aufeinanderfolgen: ABCABCABC . . .. Wird diese Schichtfolgeeinmal nicht richtig eingehalten, spricht man von einem Stapelfehler.

14.3 Flussige Korper

Fig. 14.11: Eine Versetzung ist ein Beispiel fureinen eindimensionalen Gitterfehler: Eine Git-terebene endet plotzlich mitten im Kristall.

Bei flussigen Korpern sind die atomaren Bausteine noch fest aneinander ge-bunden, jedoch im Gegensatz zum festen Korper frei verschiebbar. FlussigeKorper stellen eine Zwischenstation in der Sequenz Festkorper → Flussig-keit → Gas dar. Sinnvolle Idealisierungen fur modellhafte Betrachtungensind nur an den Endpunkten dieser Kette moglich (Idealkristall, IdealesGas). Daher beschranken wir die Beschreibung von Flussigkeiten auf weni-ge phanomenologische Fakten. � � � � � �

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Fig. 14.12: Schema eines Stapelfehlers.

Bei Flussigkeiten findet man unterschiedliche Bindungstypen:

• meist liegt van-der-Waals-Bindung vor;• in geschmolzenen Salzen (z. B. NaCl) bleibt der ionische Charakter der

atomaren Bausteine erhalten: Es liegen stark heteropolare Bindungsan-teile vor;

• in geschmolzenen Metallen verbleibt ein guter Anteil der metallischenBindung (gute elektrische Leitfahigkeit);

• in polaren Flussigkeiten gibt es einen wesentlichen Beitrag zur Bindungdurch Dipol-Dipol-Wechselwirkung (z. B. H2O). � " � � � � � % �

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Fig. 14.13: a) Nematische5 Phase: Die Mo-lekule sind parallel zueinander ausgerichtet,aber raumlich statistisch verteilt;b) Smektische6 Phase: Die Molekule sind inEbenen parallel ausgerichtet, aber innerhalbder Ebenen statistisch verteilt;c) Cholesterische Phase: Diese wurde zuerstam Cholesterin entdeckt; die Molekule sindin Ebenen nematisch geordnet, die Vorzugs-richtung ist jedoch in aufeinanderfolgendenEbenen verdreht. Zur besseren Ubersichtlich-keit sind hier die aufeinanderfolgenden Ebenenweit auseinandergezogen.

Es gibt aber auch Flussigkeiten mit kristallinen Eigenschaften: FlussigeKristalle. Sie zeigen einerseits Eigenschaften von Flussigkeiten wie etwa diefreie Verschiebbarkeit der Molekule und ein starkes Fließen, andererseitsaber auch Eigenschaften von Kristallen, was z. B. die mehr oder weniger re-gelmaßige Anordnung der meist langgestreckten Molekule anbetrifft. Flus-sige Kristalle besitzen stark anisotrope (d. h. richtungsabhangige) optischeund elektrische Eigenschaften. Durch Anlegen elektrischer Felder kann manbei ihnen Klarungen und Trubungen erzeugen, die zur Lichtstreuung Anlaßgeben. Hierauf beruht die heute vielfach verwendete Flussigkristall-Anzeige(LCD = Liquid crystal display). In Fig. 14.13 sind die Strukturen einigerflussiger Kristalle beschrieben.

5 nema griech. Faden6 smekma griech. Seife

Teil B: Mechanik deformierbarer Korper

170 Kapitel 14: Aufbau der Korper

14.4 Gasformige KorperGase sind die Korper mit der einfachsten Struktur. Sie besitzen keine Ober-flache und nehmen jeden ihnen zur Verfugung gestellten Raum ein. DieWechselwirkungskrafte zwischen den Gasmolekulen sind gering, aber natur-lich vorhanden. Eine naheliegende, vereinfachende Idealisierung stellt dasModell des idealen Gases dar. Man macht folgende Idealisierungen:

• Die Gasmolekule werden als punktformige Korper (Massenpunkte) an-gesehen, zwischen denen keine anziehenden oder abstoßenden Wechsel-wirkungskrafte bestehen.

• Die Gasmolekule besitzen Masse und Geschwindigkeit und damit Im-puls und kinetische Energie; die Geschwindigkeit der Molekule ist vonder Temperatur abhangig und gehorcht der Maxwellverteilung (s. Kap.15.6.2).

• Die Gasmolekule fuhren Stoße untereinander aus und verhalten sich da-bei wie vollkommen elastische Kugeln. Damit Stoße uberhaupt vorkom-men konnen, muß man die Idealisierung ”Massenpunkt“ etwas aufwei-chen und den Molekulen eine gewisse Querschnittsflache (geometrischerWirkungsquerschnitt) zubilligen.

Die Molekule realer Gase besitzen naturlich ein von Null verschiedenes Vo-lumen; sie verhalten sich bei Stoßen keineswegs immer vollelastisch; siemussen – wenn sie aus mehreren Atomen bestehen – nicht notwendig kugel-formig sein; es bestehen zwischen ihnen stets(!) anziehende und abstoßendeWechselwirkungskrafte. Erstere sind dafur verantwortlich, daß alle Gasebei genugend tiefen Temperaturen und genugend hohen Drucken flussigund schließlich fest werden.

Teil B: Mechanik deformierbarer Korper