Physikalisdtc Begriindung eines Farbenkreises und Ansdifse zu einer physikalisdten Farbenlehre l )

Von Hans Wolter

(Mit 3 Abbildungen)

Inhaltsubersieht Fiir die Benutzung der Farben als Kennzeichnungsmittel in der physikalischen

MeDtechnik benBt.igt rnan cincn mathcrnatisch bequernen, physikalisch einfach realisier - baren und gcnau reproduzierbaren Farbenkrcis, desscn Farben bei additiver Mischung stets wieder zu (u. L'. noch mit Grau vermischten) Farhen desselben Farbenkreises fiihren. Farben wcrden dabei als gleicli bezeichnet, wenn ihre spektrale Zusammen- setzung identisch ist.

Die genanntcn Forderungen werden von den ,,Korm'alfarhen" erfiillt. Ihrc Eigen- schaften sind in der Zusammenfassung am SchluB der Arbeit aufgefuhrt.

8 1. Eirileitiriig Die groBe Mannigfaltigkcit der dem menschlichen Auge unterscheidbaren

Farben erhalt bekanntlich eine iibersichtliche Ordnung durch den Farbenkreis, d. h. jenes eindinwnsionale zyklische Kontinuuni von Farben, das man erhalt, wenii man die Spektralfarben durch die Purpurgemische (Geniische eines gerade noch sichtbaren Violett niit geradc iioch sichtbarem Rot) erganzt. Denn jede Farbe ist genau einer (mit Grau vermischten) Farhe des Farbenkreises physio- logisch aquivalent.

Insbesondere ist die additive Mischung von Farben des Farbenkreises stets einer Miuchung einer bestininiten Farhe des Farhenkreises niit Grau aquivalent ; diese letzte Eigenschaft ini Zusammenhang mit der zyklischen Struktur madht die Farben des Farbenkreises geeignet als Keniizeichnungsniittel in der physikali- when MeStechnik, und zwar allgeinein iiberall dort, wo den Elementen einer zwei- dimensionalen oder dreidirnensionalen Nannigfaltigkeit einfach beobachtbare Kennzeichen eineindeutig und stetig zugeordnet werden sollen. Ein Beispiel hierfiir ist das zneidimensionale Farbschliereiiverfahren z), das die Ablenkungen des Lichtes durch ein Schlierenobjekt nach Ablenkrichtung und Ablenkbetrag er- kennen lalit. Dabei erhalt das Bild des Objekts an jeder Stelle eine Farbung, deren Farbton die Ablenkrichtung und deren Sattigung den Ablenkbetrag kennzeichnet. Bei dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten konnte iioch die Intensitat als drittes Kennzeichen dienen.

Bei dieseni Farbschlierenverfahren und ehensa bei anderen geplanten Anwen- dungen kommt nun die resultierende Farbe im Bilde durch additive Mischung vieler

Vornetranen auf der Taeune der Deutschen Phvsikalischcn Gesellschaft in Miinster u u

a m 15. A&il 550. 2) Ann. I'hgsik (6) N, 1 (1950).

12 Annalen akr Physik. 6.Folge. Bdnd 8. 1950

Farben des Farbenkreises zustande. Die -Mischfarbe ist zwar sclbstverstandlich eirier grauvermischten Farbe des Farbenkreises physiologisch aquivalcnt ; doch ist diesc Aquiralenz ahhaingig yon dem Auge tles Beobachters, da. die beideii zu w r - gleicheiiden Farben zwangsliiufig 'sehr verschiedene spektrale Z u s a ~ u ~ ~ ~ ~ i ~ e ~ ~ s e t ~ z u n g habeii. Besoiidcrs uiiangeneh~~i ist, daB die Aussagen tler Beolmhtcr iiber gleiches A4usseheii voii spektral verscahieden zusumm~.llgesetztell Farlwn nuch zeit,lich sehr schwiinkcn. Das zeigtc sicli, '111s Verfaxser einc Keuveri~~essuiig clcr K ij 11 i g - D i e t. e r i e i - Kurvcn in Angriff genoinmen hatte. Diese entspracheri dem Auge des Verfassws zwar nicht ; abcr die Variationsbreite erwies sich schlie Blich a h so groB, daB eine Berichbigung der KD-Kur\-en fur die physikalische Anwendung der Farben ohnehiri nicht ausgereicht hiitte. So blieb iiur noch ubrig, die physikalischeii An- wendungen der Farhen gaiiz von Gesiehtspunkteii der physiologischeri xquiralenz zu befreien.

Der crste Schritt nuf diesem Rege besteht in der Schaffung cines Farben- kreises, dessen Farberi niiteinander additiv gemischt stets wieder zu einer (u. U. grauverinischten) Farbe desselben Kreiscs in1 Sinne der pliysikalische~i Glcichheit fuhren. Die Frage, ob es einen solchen Farbenkreis - wir 1ienrien ihn cinen ,,Nor- ma1farbenkreis"- iiborhautlt gibt, wird in dieser Arheit hejaht werden : wir werdeii die s p e h a l e Zusammensetzuiig der ,,Nor~nalfarber~" nlathematisch heschreibe~t, Methoden zur experimentelleii Realisierung aufweisen und die Frage nach der Eindeutigkeit der Liisung beantworten.

Eincr KiBrpcroberfliiclw sclirc.ibcn wir als Parl)c ihrc Reniissionsfunktion zu, einciii Filter clas Vcrhiiltnis der dnrclrgclassc..nen m r uiffnllmdcn Intcnsitit als Funktion von Y .

Falls die fio definicrten Funktionen von &-r slwktralcn \'c*rteilung ~ E Y einfallrndeii Lichtes abhlngen (z. 1%. bri fluorcszierendcn Stoffen), ist das eiIifallendc Licht als cbneigic>glciches Spektrum bcziiglich v als drr Abszissc. anzusctzcn (d. 11. die in cin Inter- ra l l (I , ] ; v2) fallcnde Intcnsitiit s c i proportional der lntcwallingc 1 vg - v1 I).

I) ic von der einfiillendm Strdilung una1)liiingip c.niitticdc Strahlung dcr bctrach- teten K6rpt.r i R t dahei alu ve~rschwinclcnrl klein gt~gcmiilx~r clcr rc5fIckticLrtm cttlcr hindurdi- gc-lassrncn Strahlung vorausgesetzt.

Piir die obm dcfinicrtcn F a r h i gilt in tlvn wc-itaus mcistm Fiillrn / ( v ) 2 1. Doch wollcn wir this nicht voraussctwn. F'urlwn, h i tltnen es vin vI $it, SO tlii13 j(sl) > 1 jst, irc~nnen wir iil~rrliiihte Farbcm.

170n dcbr .F;irl)c c iwr Stralllung w o l l ~ ~ n wir nrrr i n i T'crgleirh niit einrr andwen Strali- lung sl)rechcn und dann clas Intr~nsitiits\.ciliiiltnis als Funktion vuii v darunter ver- 8t ehrn.

:-- I2(v) fiir jedes 1'. l)f. ?: Ehrbcn f l ( v ) u n d f 2 ( r i ) h ~ ; p c ) z g k i c h , il9cnn

€I. Wolter: Ph ysikalische Bepiindung e i w Farbenkreiaes 13

DI. 3: Ist f (v;p) eine htinuierliche Menge won Farben, deren jede durch eine reelle Zahl p geknnzeichnet ist, und ist e(p) 2 0 eine’Funktion mit $e(p) dp = 1, .YO- cersteht m n unter

I e (14 f (v; rt4 dP

die additive Mi.!?chung der Farben f ( v ; , ~ ) zur Gewichtsfunktion e(,u)3).

speziell Bezeichnet man mit 6(z) die Sominerfeldsche Zackenfuriktion und wihlt

e(p) = 4 ( ~ ( P - P , ) + &ilf-pFlZ)jj

so besagt. dic Df. 3 speziell

Df.3a: ‘Unter der additken .Xisehung .zuvic.r Farben f1 (v) und f z (v ) oersfeht man

Auch ohne Vcrwendung der uneigentlichen Funktion d (2) hijnnen die additive Nischung diakreter und kontinuierlicher Fariwnmengen einheitlieh formuliort werden, wenn man statt tlcs Riemannschen Integrals das Sticltjcsintegral vcrwendet.

Wenn wir init den Uefinitionen 3 und 3a von dencn Littmanns‘) und anderer nbweichen, so gcwhieht das mit Kuckvicht auf drci Vortcile in der Praxis. Die Misehung zwcier Pignicntfarhen niit Remissionsfunktit,Ilcn f , und f z zu gleichen Teilen fuhrt un- mittelbar zu it- ( f , + fz), sofern nur die einzclnen I’igmenttcilchen optiseh dick und groR gegen die \\‘cllcmliingc sind. Fiir die Mischung dcr Filtcrfarben durcli aherein- anderprojizicrcn nvcicr gefiltcrter Str;ihlenliiindd ist c’s nahc~licgend, vor Pmsieren heidcr Filter vine Trennung eines Stmhles (durch hnlli durchliissig vemilberten Spiegel odcr dergleichen) vorauszusctzen und die nuch der Vcrcinigung resultierendc Intensitiit auf die Intenaitiit \-or der Trcnnung zu heziehcn; das Ergebnis dieser Farbenrnischung entspricht unserer Dvfinition. \lor iillem aher ist unserc Definition ersichtlieh besonders cinfnch auf dic fur clas Farbschlicrenverfahrcn u. 2. wichtige kontinuierliche Farben- nrisehung anzuwcndcn.

Df. 4: Unter multiplikativer iVisc?bting m e i e r Farben f1 (v) und f z ( v ) verste?ht maw, die Farbe f l ( v ) . f Z ( v ) .

Oft wurde diese Farbenniischupg als subtrnktire bczeicbnet. Wollte inan auch die (freilich in der Praxis kauni intercssierende) iuultiplikative Mischung kou- tinuierlieher Farbcninengen erfassen, SO wiire eine Definition durch p, (v) = exp (J e (p) 111 f (v, p ) dp) zweckiniiflig ; wiirde inan wieder J p (p) dp = 1 voraus- setzen, so erhielte iiian fur die multiplikative Mischung zweier Farben vjl(v) f a ( ~ ) . Doch empfiehlt sich das fur die Praxis iiicht ; dcnn zwei hintereinandergesetztc Filter oder ein niit zwei Lasurfarben iibereinaiider gestrichenes Papier lassen sich niit unserer Definition 4 bequeincr erfasscn.

Ersichtlich fuhrt beliebig kombinierte additive und multiplikatirc Mischung nichtiiberhohter Farben stets wieder zu einer nichtiiberhohten Farbe.

die F d e 3 ( f i (4 + f z ( v ) } .

__-

8 3. Mathematisehe Formuliening der Forderiingen an einen physikalischen Farbenkreis und an einen Normalfarbcnkreis

Eine jede Farbe kijnnen wir uns veransehaulichen, indem wir der Abb. 1 ent- sprechend eine Schablone iiber das Spektrum decken und das von der Schablone

8 ) Alle Integrale in dieser Arbeit sind bestimmte Integrale. Sind keine Grenzen sngegeben, so ist die Integration ubcr den gesamten Definit,ionsbereich der Integra- tionsvariablen zu ciatrecken.

4) L i t t m a n n , Optik 5, 180 (1949).

14 Annalen der Physik. 6. Folge. Band 8. 1950

hindurchgelassene Licht gemischt denken. Die Schablonenkante gibt d a m die Farbe f(v).

Unter einem physikalischen Farbenkreis verstehen wir eine Teilnlenge aus der Menge aller Farben, die in folgender Weise erzeugt werden kann. Eine periodische Schablone werde larigs der v-Achse verschoben ; jede Schablonenstellung fuhrt zu einer Farbe des Fa.rbenkreises. 1st x die in v-Richtung geniessene Koordinate auf dem Schablonenblech iind gibt F (2) die Schablonenkante, so wird die Farbe F (v-p) von der Schablone durchgelausen. Dabei gibt p die Stellc der v-Achse, an der sich der schablonenfeste Koordinatenanfang der x-Achse befindet. Die sowohl in Y als auch in p periodische Funktion F(v--)(i) reprasentiert fur jcdes , ~ t eine Farbe des Farbenkreises.

F,' X) - F V-P I

Abb. 1. Zur Erzeugung eines physikalischen Rtrbenkreises durch Verschieben einclr periodkchen Schabloiie im Sprktrum

D f . 5: F ( v - p ) bezekhnen wir als phgsikalischen Farbenkreis, wenn a ) F (x) stikkweise stetig und stiickweise mnoton ist, ferner a n je&m Argumeizt

einen rechtsseitigen und eimn linksseitigen Linies besitzt, deren arithmetisches Mitteb gleich dem Funklwnswert ist ;

b) 0 SJ'W 5 1; c) F ( x + g ) = F ( x ) ; (Periodizitiitsforderung; g bleibt verjiigbar). D f . 6 Einen physikalischen Farbenkreis F ( v - p ) bezichnen zcir als eimn

d ) eszu jederFunktwn p(p)niit ~ ( p ) 2 0 ; Je(,u) dp = 1 e i n A , 2 0 , e i n B, 2 0 ,,Normal fa rbenkreis" , wenn

und ein reelles pe so gibt, dap

J e ( p ) F ( v - p ) d / c = A o + B,.F(V-,LL,). (1)

(Additivitiitsfwderung ; sie verluqt entsprechend der in der Einkitung formuli&rttn Aufgabe, dap additive Mi-schung von Farbew dc s Normalfarbenkreises stets zu einer (u. U . grauuermischten) Farbe desselben Fnrbenkreises jiihrt.)

Alle dwch additive Jfishung aus Farben dcs Normnlfarbenkreises entstehenden Farben nennen wir dann ,,21rormaljarbenL(.

8 4. Trigonomctrisehc Funktioncn als chinzige Liisungcn dcs Problems A) Wir nehnien in diesem Abschnitt A an, daB cs niiiidestens eine Funktion

F (x) gibt, die den Bedingungel1 a bis d genugt; dann kann diese wegen der Voraus- setzungen a und c in einc Fourierreihe entwickelt werdcn

00 z n i z n F ( x ) = a,e ,

n = - c o

3. W o k : PhyeikalMe Bepiindung einea Fahkrebea 15

die fur alle x konvergiert und die Funktion darstellt. Einsetzen in die Bedingung d fiihrt wegen der gliedweisen Integrierbarkeit von Fourierreihen zu

und wegen der Eindeutigkeit der Fourierreihenentwicklung durch Koeffizienten- vergleich zu

- 2 n i E n - 2 n i 2, a n * J e ( p ) e dp=a,B,e 0 fur n+O. (4)

Sind n und m zwei von Null verschiedene Indizes init m kn, fur die a, * 0 und a,,, + 0, so mu13 also

Feiii fur jedcs p ( p ) mit Je(p) dp = 1, also auch speziell fiir

x x Wahlen wir z: R. speziell lpl-,uz I so, daB - Im I ~pl -pz I = - ist, so ist (7) nur zu erfiillen, wenil-

9 4

14 = 14 (8)

ist,. Die Fourierreihe nm13 sich also zwangslaufig reduzieren auf eine Funktion

~ n i Z n - 2 n i -E n F ( s ) = a , $-a,e + a-,&e , also suf

) (9) 9L F ( s ) = Konst. + Konst. cos 2n - (s-Konst.) oder

F ( x ) = A + B * C O S ~ ( Z U z’),

( P

wenn 2‘ sich von z durch eine Konstante unterschcidet. Wahlen wir 0. B.d .A. den Anfangspunkt der Koordinate z passend, d. h. die Marke auf der Schablonc, mit deren Hilfe wir die Lage der Schablonc in] Spektrum kennzeichnen, so mu0 also F ( Y - ~ ) in der Form

F(Y-,u) = A + B COS’ (3 u ( Y - p ) ) ; A 2 0; B 2 0; A + B 2 1 (10)

darstellbar sein, sofern F ( v - p ) ein Normalfarbenkreis sein soll. Die GroDe a, d. h. die Periodenliinge 9 = E , ist mit unseren bisherigen physikalischen For- a

46 Annala der' Pbysik. 6 .Fdge. Band 8. 1950

dermigen natiirlich nicht festgelegt; wir werden sie spater nach der Breite deu sichtbaren Spektrums, also nach einein physiologischen Gesichtspunkt, bemessen.

B) Da13 die Farben (10) tatsichlich Noriiialfarben sind (d. h. den lklingungen u biu d der Definitiorien 5 und 6 genugen), ist beziiglich u bis c evident; fur d folgt es unmittelbar a w dem Additionst,lieoreni der trigonometrischen Fuiiktionen ; derin es ist, wie einc elenlentare Rcchnung zeigt, fiir jcdes e(p) 2 0 init Je(p) dp = 1

Je(il i)ros2((;cu(~--/i))n~i -~ :{I + C ' , c o s ( 2 z n ~ ) +&sin ( 2 n n y ) ) 1 - Be (1 1)

- ~ +- Be COS, (z a (Y - I t e ) )

init C, = J e ( p ) cos ( 2 z n p ) (Ju; S, --- Je(,a) sin (2za,1y1)(?p

(12) R -. ]/,f.~+ ,jf' e - e e

a $ 5. Proportionalkli~sscll, rcduziertc Nornialhrben, gcomctrische

Vcransehaulichi~ng der Korinalhrhen F;irl,cii, die nuseinnndrr lccliglich durclt Vcrmischm init ScliJrnrz hrrvorgchcn,

sintl so vc~r\raiiclt. da13 m i i i siclr oft hgniigcii h i i n , aiis iliii(w je\\-& eiiicri Re- priiscntanteii zu hetracalitcn. \Vir c h ~ f i n i t w n d;ihcr:

Uf. 7 : Zwei Furben f , ( v ) und f2(v) heipen einnruhr pi-oprtioml, in Zeichm

a) Es giht ein c, , so dup c, f , (v) - - / , ( I ) ) l i ir nilv 1 1 ;

b) 12s gibt ein c,, so drip cr f2(v) - f l ( v ) fiir nlle 1 8 .

M. 8: Unter eiwr Propmtiondkbsse ~ e r s t ~ h t ~ ~ wir (lie X e n g e nller Farbesi, die 211 einer festen nicht schunrxn, Ftirhe proportiom1 sind.

We Farhe Schwarz ist jetlcr Farbc prclportional, sic ist also 1Slc~ment jcder Pro- Jedc Fa'arl~c ist sich srlbbit proportional; jrdc nicht scliwur~e Farbe

f l ( v ) N f , (v), wmn mindestms eine der folgtwlt n Bcding?rngc-n er/ullt ist:

portionalkhsse. gehiirt daher genilu ( h e r 1'lol)ortionalklasso an.

Df. 9: Die Farhen cos2((;c n ( v - p ) ) nennen wir gesiittigte Nwinalfarben, ihre Gesnmtheit einen gesuttigten iVorqnnlfarbenkreis. A lie durch aa2litit.e J l i schmg aus ihin hcruorgehenden Fcirhen (1 1) nennen wir retltizierte Normalfarbrn.

ZN j e h r Farbe (10) gibt es genau cine ihr propt ionale reduzierte Normalfarbe der Gestalt

(13) 1 - 11

2

CEns ist eine gmiltigte Kornaal/rrrbp fiir l3 :- 1 ; B = 0 bedeutef reduziertes Grau. Jedc Farbe (10) hipt sieh iu der Form sclireibui

+ B c o s 2 ( z a . ( r - - p ) ) ; 0 5 B 5 1;

2 I { -2~' + 12 COS? (n n (v--p)); 0 5 B 5 1. (14)

H. W o k : PhySibalkhe Begriindung eines Farhkreieea 17

Df. 10: Bei einer Farbe (14) bezekhen wir ,u a h Farbton. B als Siitligung und I

Reduzierte Normalfarben sind Normalfarben mit dem Mittelwert 0,5. Alle Normalfarben nach . (14) bilden eine dreidimensionale Mannigfaltigkeit.

Doch wollen wir uns zur Vereifachung nur fur die zweidimensionale Mannig- faltigkeit der Proportionalklassen von Normalfarben interessieren ; da jede Pro- portionalklasse von Normalfarben genau eine reduzierte Normalfarbe enthiilt, wahlen wir diese als Reprasentanten der Proportionalklasse und befassen uns nur mit diesen. Sie bilden nach (13) eine zweidimensionale Mannigfaltigkeit, die wir durch die Festsetzung r = B, = 2 n a p den Punkten dek Kxeisinnern ( r 5 1) mit den Polarkoordinaten r , tp eineindeutig zuordnen konnen. (Siehe Abb.2!)

Den Rand des Kreises nehmen die Normalfarben mit der Siittigung B = 1 ein, sie bilden den gesiittigten Normal- farbenkreis. Die Mitte B = 0 stellt das reduzierte Grau ( f (v) = 4) dar.

Der Wert der geometrischen Zuord- iiung liegt in der Ubersichtlichkeit der ge'ometrischen Konstruktion, die den ana- lytischen Operationen (ll), (12) ent- sprkht.

Der in G1. (11) ausgefuhrten additiven Mischung gesiittigter Normalfarben ent- spricht namlich geometrisch einfach die &hwerpunktsbildung ; denn zwischen den Cartesischen Koordinaten fe, ye der resul- Abb. 2. Zuordnung der reduzierten tierenden Farbe und denen der Aus- Normalfarben gangsfarben [(p) ~ c o s ( 2 n a p ) , q(p) = sin ( 2 n a p ) bestehen nach G1. (11) und (12) offenbar die Beziehungen

als Mittelwert.

A?l

* 5

a(1-B) f B C o s * ( z a ( v - P ) )

Ebene

5 e = B p ~ 0 ~ ( 2 n a ~ e ) =Ce = le(p) c o s ( 2 n a ~ ) d~ = / e@) qQ = Besin(2nape) = 8, = J e(p) sin(2na p) dp

ZU den Punkten 1 f 4*1 5 1 einer

4; J e(p) q(p) d ~ .

(15)

Auch die additive Mischung von nicht gesattigten Norinalfarben fuhrt, wie ebenso zu zeigen, stets zu dem Schwedunkt der Ausgangsfarben.

1st insbesondere die Gewichtsfunktion g ( p ) symmetrisch zu eineu p,, so ist das bei der Mischung resultierende pe = p,. Das hat eine wichtige Konsequcnz fur das oben genannte Farbschlierenverfahren. Dort kam die Mischung so zustande, daB ein Lichtbiindel kreisformigen Querschnitts eine Farbsektorplatte durch- setzte. 1st diese Farbsektorplatte nun eine ebene Platte, die an den Punkten mit Polarkoordinaten R, oc mit den gesattigten Normalfarben cos*(na (v-p)) =

COB= ( nav-- i) angefarbt ist (eine einfache experimentelle Realisierung wpde ubrig ens bereits in der Veroffentlichung uber das Farbschlierenverfahren beschrie- ben), so erfahrt ein exzentrisch hindurchtretendes Lichtbiindel kreisformigen Quer- 8c hnitts nach der Strahlenvereinigung eine Farbmischung, deren Gewichtsfunktion

hn. Phydk. 6. Folge. Bd. 8 2

18 Annakn der Physik. 6.Foige. Band 8. 1950

durch die Lage des Kreisbundels gegeben ist und jedenfalls symnietrisch .zu ,uo = (u,/2n a ist, wenn der Kreisquerschnitt des Bundels auf der Farbsektorplatte sym- metrisch zu dem Radius in Richtung O L ~ liegt. Das zu der Farbe gehorige pQ = p,, ist also nur von der Richtung, in die der Kreis aus der zentrale!i Lage abgelenkt ist, abhangig und nicht yon dem Ablenkhetrag. Folglich kennzeichnet das Parb- schlierenverfahren, wenn es mit Norma1f:irben durchgefiihrt wird, die Ablenk- richtung durch eiiien eindeutigen Farbton ; der Ablerikbetrag wird durch die Satti- gung gekennzeichnet.

Diese Zusnmmenhange gelten bei Verwendung yon Nornialfarben im Sinne der strengen Farbengleichheit unserer Df. 2, wlhreiid Entvprechendes mit anderen Farbenkreisen hochstens im Sinne der Farbcnaquivalenz erreichbar ist.

Q 6. Einordniing der Normalfarben in die ~qiiivalcnzklassen s, Df. 11: Ist b(v) 2 0 eine stiicAwcise stcitige und stiickweise monotone Funktion.

mit existierendtm $ b(v) dv, so heipt

~ ~ - $ b ( v ) f ( ~ ) d v (16)

die Komponente der Fa,rbe j ( v ) nach der Funktion b(v).

Df. 12: Ist 9X eine beliebige Menge (wir neniwn sie ,,Dimensionsmenge") und liegt fiir jedes Element i diescr Xenge eine Funktion bi(v), die die T'oraussetzungen der Of. 11 erfiillt,vor,sind ferner alle bi(v) linear umbhungig voneinunder, so nennen wir die Gesamtheit der bi(v) eine Basis mn dw Dimension I9Ji 1. N i t 1911 I sei darin die Kardinalzahl der Dinlensionsmcnge '911 bezeichnet. Die nuch Of. 11 gebildeten K m p n e n t e n xi einerFarbe f ( v ) nach den bi(v) einer Basisnennen wir die Koordinaten der Farbe m c h der Basis.

D f . 13: Hnben die Koordinaten einer Farbe nach einer Basis eine tvn der Reihen- folge der Summandm unahhiingige Summe

,r x i = s + 9 , ieBL

SO heijlen die

die nomnierten Koordimten dcr Farbe m c h dcr Lwrgelegten Basis. Ersichtlich existiert dann die Summe der xi unrl ist gleich 1.

Df. 14: Farben f l (v ) und f z ( v ) heipen &uivalent be-iiglich der Basis bi(v), in Zeichen

f l ( 4 7 f 3 ( 4

wenn fi(v) und f 2 ( v ) identiscReKoordinaten nach des Basis bi(v) hnben. ZweiFarben heipen &$uiva lent proprt iona I , in Zeick t n

6, Die Lektiire dieses Paragraphen ist Z U I ~ Vcratiindnis der folgenden nicht erfor- derlich.

H . WoUer: PAyeikaK& Bepiindung einee Farbenkreieee 13

wenn sie' gleiche normierte Xoordinaten beziiglieit der Basis haben. Farben, deren Koordinaten gleich ihren normierten Koordinatcn sind, heipen wmierte Farben.

D f .15: Alle einander iipuivalenten Farben bilden eine Aquivalenzklasse ; alle einander iipuivalentpropwtiona2elz bilden eine A'qui~alent~o~rticnaIklasse.

Df. 16: Zuriachen Aquivalenzklassen definieren w'r eine additive Mischung, {&m wir die Of. 3 und 3a auf ein beliebiqes Element (eimn ,,Repiisentanten(') der Aquivalenzklassen anwenden. Man h n n leicht zeigen,dap diese Of. stets zu einem &&utigen (d. h. mn &r Wahl des Repasentanten unabhangigcn) Ergebnis jiihrt.

D f . l 7 : Zwischen ~ q u i m l e n t p r ~ t h l k l n s s e n deiinieren wir e k e additice Nischung, indem wir die Of. 3 und 3a jeweils auf eine normierte Farbe als Re- priisentanien der ~ q u i v a l e n t ~ o ~ t ~ o ~ l k l a s s e an wende n .

Df . 18: Gibt es t u einer Bash bi(v) und eiwr zweiten Basis b:(v) Zahlen aik, so dab

b ) (v) = 2 ai, b,(v); i E W, iiir alle v, k c 9 R

SO sagt man, behie Basen seien rniteinander vcrwandl; G1. (19) heipen die Trans- formationsgleichungen einer ..hmqenen linearen Koordinatcntransfoi maticn".

Wegen der Linearitiit des Integraloperators in (16) bleibt bei homogener linearer Koordiantentransformation der Elementenbestand einer Aquivalenzklasse (und ebenso einer Aquivalentproportionalklasse) stets erhalten; in. a. W. : Farben, die beziiglich einer Basis aquivalent sind, sind es auch beziiglich einer verwandten Basis; Entsprechendes gilt fur die dquivalentproportionalitat. Bei fjbergang von einer Basis zu einer zur ersten nicht verwandten kann dagegen die Aquivalenz zweier Farben verlorengehen.

Die Aquivalenzklassen zu einer Basis von dcr Dimension IW( kann man geo- metrisch veranschaulichen, indem man der Aquivalenzklasse mit den Koordinaten xi den Punkt des IWl-dimensionalen linearen Raunies R mit den Koordinaten xi zuordnet. Den1 Gbergang von einer Basis zu eincr dam verwandten entspricht dann eine lineare homogene Transforniation des Koordinatensyslkms. Urn der ein- facheren SprechP;eise willen wwrden wir Punkte dieses Raumes geradezu Aqui- valenzklassen nennnen.

Alle auf dem gleichen Urspruiigsstrabl liegenden Aquivalenzklassen enthalten Farben, die zu einer Menge vereinigt, gerade eine Aquivalentproportionalklasse bilden. Da fur die normierten Koordinaten xi nach G1. (18) stets

gilt, liegen die zu normierten Farben gehorigen Aquivalenzklassen stets in dem (1% 1 - 1)-dimensionalen linearen Unterrauni R,, der durch C zi = 1 definiert ist. Jeder Aquivalentproportionalklasse konnen wir daher eindeutig einen Punkt dieses Unterraumes zuordnen ; umgekehrt entspricht jedem Punkt dieses Unterraumes hochstens eine Aquivalentproportionalklasse. Da definitionsgemafl alle Kompa- nenten nicht negativ sind, wird fur unsere geometrische Veranschaulichung nur der Teil des )9X~-dirnensionalen Raumes R und ebenso des (l9JZl- 1)-dimensionalen Unterraumes R, benotigt, dessen Punkte nichtnegative Koordinaten haben.

2*

20 Annalen der Physik. 0.E'olge. Band 8. 1950

Werden xquivalenzklassen xi(p) nach Df. 16 (Reprasentanten seien j (v;p)) mit- einander gemischt, so entspricht dem geometrisch die Schwerpunktsbildung ; denn die resultierende xquivalenzklasse hat die Koordinaten

l i = / h ( Y ) / e ( p ) f ( Y ; P ) ~ P ~ V = /e(ru) I f ( ~ ; p ) k ( ~ ) d v d p = /e(p)&)dp.

Werden xquivalenzklassen normierter Fiwben miteinander additir gemsicht, so ist das Ergebnis (Schwerpunkt) wegen der Linearitat des Unterraumes (20) wieder eine xquivalenzklasse normierter Farben. Wegen der Df. 17 bleibt dieser Satz richtig, wenn statt Aquivalenzklasse normierter Farben durchweg Xquivalent- proportionalklasse gesagt wird.

Die gesattigte Normalfarbe cos2 (na (v -p ) ) hat bzgl. der Bask bi(v) die Eoor- dinaten

-

Si@) = a + ~ c o s ( 2 7 r a p ) */bc(Y)COs(27CaY)dv + + s i n ( 2 n a p ) ~ / b j ( ~ ) s i n ( 2 n a v ) d v . (21)

Das folgt aus dem Additionstheorem der trigonometrischen Funktionen in derselben Weise wie G1. (11). Die I'm] Gleichungen (21) bedeuten eine Eurve im Raume R in Parameterdarstellung mit dem Parameter p. Falls 2 3 ist, konnen aus dreien dieser Gleichungeu sin ( 2 n a p ) und cos ( 2 n a p ) durch rein lineare Operationen eliminiert werden. Das Ergebnis dieser Elimination ist eine die zi linear enthaltende Gleichung, die einen ( 1 Em I - 1)-dimcnsionale linearen Unterraum R, definiert; ihrn gehort daher die gesamte Kurve (21) an. Da die ungesiittigten reduzierten Normalfarben durch additive Mischung aus den gedttig- ten hervorgehen, die zugehorigen xquivalenzklassen also Schwerpunkte irgend- welcher Punkte unserer Kurve (21) sind, gehoreu also alle reduzierten Normal- farben, die zu einem a * v(A) gehoren, dem genannten (I'm[ - 1)-dimensionalen linearen Unterraum R, an.

Rechnet man ferner aus irgend zweien der Gleichungeil (21) sin (2 n a p) und cos (2n n p) sus, quadriert und addiert, so erhalt man eine Gleichung, auf deren einer Seite 1 und auf deren anderer Seite eine quadratische Form der zd steht; diese Gleichung definiert ciuen ([ 9R I - 1)-dimensionalen Unterraum zweiten Grades R,, dem die xquivalenzklassen gesattigter Normalfarben ebenfalls angehoren miissen. Die Kurve (21) ist also als ,,Schnittkurve" zweier (I'Jnl- 1)-dimensionaler Unterraume, eines linearen R, und eines vom 2. Grade, selbst eine Kurve 2. Grades.

Projizieren wir d i e s vom Nullpunkt aus auf den linearen Unterraum R,, (2 xt = l), so erhalten wir wieder eine Kurve 2. Grades als den geometrischen Ort aller Proportionalklassen der gesiittigten Normalfarben.

Diese Verhiiltnisse werden anschaulich vor allem, wenn wir die Dimension l%l = 3 wahlen, wie das bei der verbreiteten Farbenlehre geschieht. Der Raum R ist dann eiu dreidimensionaler hearer Raum. Der lineare Unterraum R,, fiir die Proportionalklsssen ist die Ebene

21 + Zs + $3 = 1,

die alle drei Eoordinatenachsen in dem Abstande 1 vom Ursprung schneidet. Die Aquivalenzklassen der gesiittigten Normalfarben cos* (na (Y -p)) erfullen

e k e Kurve (21), die als Schnitt einer Ebene R, mit einer Flache 2. Grades Ro eine Kurve 2. Grades sein mu13. Ihre Projektion auf die Ebene R, vom V r s p m g

61. Wolter: Physikalieehe Be@indung e i w Farbmkreiaes 21

als Projektionszentrum aus ist dann zwangsliiufig ebenfalls eine Kurve 2. Grades. Da diese iiberdies ganz in dem Rsurnteil mit nichtnegativen Koordinaten bleiben mu5, kann sie das von den Koordinatenebenen begrenzte gleichseitige Dreieck der Ebene R,,

nicht verlassen, kann also n u eine Ellipse sein. x1fx,+x,=1; x120; 2,220; x 3 2 0 (22)

G

R Abb. 3. Darstellung der Aquivalentproportionalklassen im Farbendreieek. Als Basis dienten die 3 Konig -Dieterici-Kurven. Parabelartiger Bogen: Spektralfarben, ge- schlossen dureh die Yurpurgerade. Punktiertc Kurvc: Ostwaldscher Farbenkreis nu. Ausgezogene Ellipse : Normalfarben zu Y als Frequenz und Periodenliinge g = 300 - 10” Hz.

Gestrichelte Ellipse: Dasselbe fur g = 400 - 10l2 Hz

Abb. 3 zeigt ein solchcs Dreieck (22)6). Die ausgezogene Ellipse gibt die xqui- valentproportionalklassen der gesattigten Normalfarben zu einer frequenz-

proportionalen Grundfunktion; und zwar wurde v ( A ) als Frequenz - und g = - = C 1 1 a

6, Wir wghlen dabei die gleichseitige Form, uni die zu Ostwaldschen Farben ge- horenden Punkte unmittelbar der Arbeit K. W. F. Kohlrausch, Physik. Z. 31, 403 (1920) entnehnien zu konnen.

22 Annalen der Physik. 6. Folge. Band 8. 1950

300 1012 Hz gewahlt. Als Basis b,(v) dienten die auf Frequenzabszisse umge- rechneten K o n ig - D i c t e r i c i schen , , Gtrundcmpf indungskurven".

Die gestrichelte Ellipse gibt einen Normdfarbenkreis niit g = - = 400 . 10'*Hz. obe r die Rahl von a und Y ( A ) siehe die folgenden Paragraphen.

Der parabelahnliche Bogen in Abb. 3 gibt die Spektralfarben und die seine Endpunktc verbindendc Strccke die ,,Purpurgerade". Gegeniiber dieseni Spek- tralfarbeiikreise uiid dcm Os t wa Idschen Farbenkrcisc (punktierte Kurve) zeichnet sich der Norinalfarbeiikreis durch die denkbar cinfachste geschlossenc Kurve aus. Man beachte dabei, daD cine Ellipse wegeri der jederzeit noch iiioglichen linearen Koordiiiat,eiitraiisforlilatioii auf Kreisforrn gebracht werden kann (1x1. a. W. : wegcn der Projektivitiit der gesamten Darst,ellung ist die Ellipse dcm Krcise gleich- wertig). In dieseni Sinne ist cin Nornialfarbenkreis also wirklich ein Farben kre i s irn Unterschied zu den aiidercn ,,Farbcnkreiscn" !

Wichtig ist, daD dicse Bevorzuguiig dcr Nornialfarbcnkreisc nicht an die Konig-Dietericischen Grti~ide~npfiiidui~gskiirvcri, j a nicht cinnial an die Di- mension 3 gehunden ist, wic oben bereits bei der allgeineineren Betrachtmig aus- einandcrgesetzt wurde. Voiii Staiidpunkte ciner physikalischen Farbenlehre haben gerade solche Zusanimenhiinge besondere Bedcutulig, die kovariant gegen be l ie bige Koordin;itcntransforiiiatioii und unabhiingig von der gewlhlten Di- nienfiion sind.

Wenn die gelaufigc Farbenlehre die Diincnsionszahl 3 wahltc, so gcschah das aus eineln physiologischen Grunde. ~quivalenzklassen zur Dimension 3 ent- sprechen in i hrcr Mannigfaltigkeit gerade dem Uiiterscheidungsvermogei~ des menschlichen Auges bei Hellanpassung ; das Iiiitcrschciduiigsverniogeii bei Dam- nierungssehen entspricht der Dimension 1.

3 ist fcrner die kleinste Dimciision, fur die eiuc ~quivalenzthcorie nicht Zuni Trivialcn entartet, und zugleich die griidte Ihnension, fur die dcr R u i n R unserer Anschauung unmittclbar zuganglich ist. Dns gibt dcr dreidiiiiensionalen Farben- lehre eine Vorzugsstellung auch ohne physiologische Gesichtspunkte.

Wollten wir alle nach Df. 1 definierteri Farbcn untcrscheiden konnen (dies sol1 heiBen, daD verschiedenc Farben nicht aquivaleiit seiii sollten), so wiirde als Menge nur ein Rontinuum ausreichen; wir mul3ten daiin den1 r -Zeichen in der oben gegebenen Darstellung zweckmadig die Bedeutung cines Integrals zuweisen. Beschrankcn wir uns auf analytische Funktionen als Farben, so konnen wir mit abziihlbar vielen Dimensionen auskonimcn. Immer freilich haben wir bei unendlich vielen Dimensionen VorsichtsmaDregeln uiid Einschranknngen notig ; so ist es z. B. zweckmaDig, als Grundfunktion Y ( A ) nur eiiie besehranktc Furiktion zuzu- lassen. (Siehe 4 8!) Urn die gebrauchliche Farbenlehre als Teil ciner physikalischen Farbenlehre ini Raum init abzkhlbar vielen Dimensionen zu erhaltcn, wahlt man zweckmaDig eine Basis bi(v), i = 1 , 2 , 3 , . . . mit b,(v(A)) = i j ( A ) ; bz(v(A)) = z ( A ) ; b,(v(A)) = 3 (A) ; darin sirid 2, &, Z die IBK-Nornialreizbetriige des Normblatts DIN 5053. Als b, sei die Augenempfindlichkeitsfunktion des Danimerungssehens vor- gcschlagen ; fur physiologische Fragen hat dann hauptsachlich die Projektion aller Farben auf diesen vierdimensionalen Unkrraum Bedeutung.

Unter den dreidimensionaleri Farbenlehren spielt fur die physikalische MeB- technik iioch die auf den1 Agfa-Color-Verfahren basierendc einc gewisse Rolle ;

1

€I. Wolter:' Ph ysikalieche Begriindung einea Farbenkreieee 23

wahlen wir die drei Grundempfindlichkeitskurven des Agfa-Color-Films als Basis, so schreiben wir die Aquivalenz

17

unter Angabe der Emulsionsnummer und einer Kennummer fur die Filment- wickluug. Bezeichnet man Farben als aquivalent, die dein Auge ununterscheidbar sind, so notiert' man zweckmaBig unter dem Aquivalenzzeichen den Namen des Beobachters ; leider geniigt auch das nicht immer, da das Urteil ,,ununterscheidbar" auch von der ,,Vorgeschichte" des Auges abhangt ').

Bei Verwendung der Normalfarben in der MeBtechnik kann auf Aquivalenz- hetrachtungen vollig verzichtet werden ; gerade das war die Absicht hei Ein- fiihrung der Normalfarben. Die Betrachtungen dieses Paragraphen sollten vor allem die Einordnung der Normalfarben in eine rerallgemeinerte, aber der iib- lichen analoge Farbenlehre zeigen.

§ 7. Experimentello Realisicrungen von Sormallarbenkrehn Eine experimentelle Realisierung von Normalfarben niit einer Schablone im

Spektrum entsprechend der Abb. 1 hat sich besonclers bewahrt, wenn es auf mehr prinzipielle Untersuchungen iiber die physiologische Wirkung der zu verschiedenen a Y (A) gehorigen Nornlalfarbensysteme ankani.

Auf eine elegantere Realisierung fur mel3technische Zwecke deutet der cosinus in der die Normalfarben charakterisierenden Funktion (10). Die an einer Plan- parallelplatte der Dicke d senkrecht rcflektierte Intensitat ist

(24) d 1, * cosa 272 c Y + .> ; (

darin ist I,, die einfallende Intensitat, Y die Frequenz, c die Lichtgeschwindigkeit und eine Phasenverschiebung. Die beiden niiteinander interferierenden Wellen sind als gleich stark vorausgesetzt. Die Farben dunner Blattchen sind also Normal- farben ; doch gehoren die be; verschiedener Dicke d erscheinenden Farben zu ver- schiedenen Normalfarbensystemen. Man erhalt den Farbenkreis eines einheitlichen Systems ersichtlich (vcrgleiche (10) !) durch Variation der Phasenverschiebung von 0 bis 2n unter Konstanthalten der Dicke d . Das freilich erwies sich in der Praxis a19 schwierig; es erfordert die Bedampfung der Unterlage und dcr Ober- fliiche einer dunnen Zaponlackhaut (auf Glas oder dergleichen) mit mindestens drei verschiedenen Metallen in veranderlicher Dicke. Dennoch ist die Frequenz durch ihr Auftreten in der eine Welle darstellcnden Funktion so ausgezeichnet, daB man ihr vor vielen anderen moglichen Grundfunktionen, jedenfalls vor 1 selbst, den Vorzug geben wird.

Aber selbst dann, wenn wir iiber ~ ( 3 . ) verfiigen, indenl wir es mit der Frequenz identifizieren, bleibt das a, d. h. die Periodenlangc g = a noch offen. Dem ent-

spricht bei der Realisierung mittels Farben dunner Blattchen die Wahlbarkeit der

1

~~ ~.

') Siehe 8 1.

24 Annalen der Phyeik. 6.Folge. Band 8. 1950

Dicke d = 3 a - c. Unter den hiernach noch moglichen Systemen zeichnet sich jedoch eines aus, das beeonders giinstig zur Lange des sichtbaren Spektralbereichs liegt. Wahrend eehr grode d (d. h. kleine Periode g) bekanntlich nur wenig von Grau abweichcnd scheincnde Farben (sogenanntes WeiD hoherer Ordnung) liefern, muB offenbar t in allzu kleines d dazu fiihrcn, daB in GI. (24) die cost-Funktion fiir alle Frequenzen des Sichtbaren einen etwa einheitlichen Wert hat, also prak- t iwh etwa Graustufen zwiechen WeiB und Schwarz durchlauft, wenn p geandert wird ; das erhellt aus eincni Verechieben einer cost-Schablone mit sehr groDem g (im Vergleich zur Breite des sichtharen Spektrums) ebenso, wie bei kleinem g das U'eid hiiherer Ordnung aus der Schablonenfigur anechaulich wird.

Zwixhen dieeen Extrenien liegt ein Optimum bei d = 0,s lo-* cm (d. h. g = 300 1012 Hz). Der Farbenkreis der gesattigten Norinalfarben dieses Systems umfadt dann die Farben Rot, Gelb, &in, Blau, Violett und PurpuP in einer nicht nur kontinuierlichen Eonderii auch dem Auge iiberall hinreichend geeattigt er- scheinenden Form. Es handelt sich hier natdrlich um eine Entscheidung von der Physiologie her, die noch in1 Paragraphen 8 riaher beleuchtet werden soll. Doch beachte man, daB hier ron der Physiologie keine Aquivalenzbetrachtung, sondern ausschlieBlich eine Angabe iiber die Lange dcs sichtbaren Spektrums stammt.

Eine dritte Gruppe von Realisierungen der Normalfarben schlieBt an die be- kannten Farben an, die nian an optiwh anisotropen oder optisch aktiven Stoffen zwischen Polsrieatoren beobachtet. Alle diese Farben sind Normalfarben ; das Problem liegt fur unsere -4ufgabe meist niir tlarin, Vorrichtungen zii finden, die Normalfarben eines einheitlichen Systems (d. h. einer einheitlichen Funktion a . Y ( A ) in GI. (10)) liefern.

Ani leichtesten gelingt das unter Verwendung der Rotationsdispersion mi t eineni Verfahren, das schon von Helxiih o l t z ini Leukoskop verwendet, und dessen speziclle techniwhe Zurichtung fiir die Zaecke des Farbschliereiiverfahrens in der oben gcnannten Arbcite) bcwhrieben wurde. Hier sol1 cs vor alleiii in1 Hin- blick auf die mit ihni sealisierbaren Grundfunktionen a . v(A) untersncht werden.

Eine d cni dicke Plattc optisch aktiven Materials mit eincm spezifischen Dreh- vermogen [a ( A ) ] liege zwi5chen einem festen Polarisator und eineni drehbaren Analyeator, deesen PolariPatiorisrichtung niit der des Polarisators den verander- lichen Winkel ,!I bildct. Der von der geeamten Vorrichtung hindurchgelassene Bruchteil der eiiifallendcn Intensitit (naturlichcn Lichtes) ist dann

cos2 (n d [a ( A ) ] - p). (25)

Fur jcde Stellung des Analyrators erhalten wir also cine Normalfarbe. Alle diese Normalfarben gehoren zu eineni einheitlichen System, das durch a * v(A) = d- [a (A ) ] charakterisiert ist. Rahlen wir also irgendcin Material, so bleibt nur noch iiber die Dicke d zu entscheiden. Das kann von der Phyfiiologie her wie bei den Farben dunner Blattchen geschehen und fiihrt z. B. hei Quarz (Kristallachse in Richtung der optischen Achse) zu einer 4 iniii dicken Platte. In der oben genannten Arbeit *) war in Abb. 6 der Verlauf von [&(A)] in Abhiingigkeit von der Frequcnz angegeben worden. Da die Kurve nur wenig ron einer Geraden ahwcicht, ist das durch

*) Ann. Physik 1. c.

Ii. Wolter: Phyaihlwck %q?%ndung e i n a Farbenkeieea 25

Quarz @) festgelegte Normalfarbensystem nicht sehr verschieden von dem Fre- quenzsystem, auf das die Farben dunner Blattchen gefuhrt hatten. Auch ein reines Frequenzsystem laBt sich mit Hilfe der Rotationsdispersian aufbauen, wenn man die Kriimmung in der zu [m(A)] gehorigen Kurve durch Kombination rnit einem geeigneten anderen optisch aktiven Stoff kompensiert.

Wegen der groBen Auswahl optisch aktiver Stoffe kann man aber auch prak- tisch alle gewiinschten Normalfarbensysteme mit fast beliebig gewahltem a a v ( 1 )

realisieren. Wir werden in1 nachsten Paragraphen dieser Arbeit noch Gebrauch davon machen.

8 8. Zur Entscheidung iiber die Griindvariable Aus unseren Forderungen der Periodizitat und ddditivitat war iiur zu folgern,.

da13 die Normalfarben'die Form

F(A) = A + BCOS'(~U{Y(A)-V(AJ)); ,U =Y(&)

haben miissen. Die Grundvariable Y ( A ) und dip Zahl a waren dabei noch verfugbar ; von Y ( A ) war lediglich verlangt worden, da13 es eine stetige, eigent,lich monotone Funktion von 1 ist. So haben wir es also nicht rnit einem Normalfarbensystem, sondern rnit einer Menge von Normalfarbensystemen zu tun, deren Kardinalzahl gleich der Machtigkeit der Menge aller stetigen Fuiiktionen ist.

Solange noch Losungen nnseres Problems in solcher Vielfalt gleichberechtigt nebeneinander stehen, konnte man die Aufgabe zur Schaffung eines rationellen Farbenkreises als nicht restlos gelost betrachten.

Man kann aber leicht einsehen, darj die verbliebene Freiheit nur Vorteile bietet und uns erlaubt, jeweils ein Normalfarbensytem auszusuchen, wie es gerade einer speziellen praktischen Anwendung besonders angemessen ist. Neben den mit Farben dunner Blattchen besonders leicbt realisierbaren Frequenzsystemen (~(1) = T ) und den Quarzsystemen usw. wollen wir noch drei Systeme naher be- trachten .

C

a) Die Ternpernturspstcme Wenn wir als Beleuchtung die Strahlung des schwarzen Korpers von der Tem-

peratur T benutzen, und wenn wir auf sie eine Schablonenfunktion cos2 (nu (Y-p)) mit Y als Frequenz anwenden, so werden offenbar die so enhtehenden gesattigten reduzierten Normalfarben eine von ,LA abhangige resultierende Gesamtintensitat liefern. Verlangen wir dagegen iiber die Additivitat hinaus noch eine fur alle redu- zierten Normalfarben des Systems konstant+, Gesamtintensitat, so ist das nur zu realisieren bei Transformation auf eine Grundvariable v(A), uber der als Abszisse nun die Kirchhoff-Planck-Funktion E(A; T) eine Konstante wird. Da die Inten- sitat im Spektrum Ton A bis ;Z + dA gleich E(A; T) ist, so mu13 also die neue Grund- variable die Differentialgleichung

(26) &(A) = K l . E ( 1 ; T) (12

9) DaB den ,,&uarzfarben" bei Drehung dcs Analysators ehc Ellipsc in1 Farben- dreieck entspricht, entdeckte S. Riis c h unabhangig vom' Verfasser und gleichzeitig-

26 A n n a h der Phyeik. S.F&e. Band 8. 1950

Da E(A; IT) > 0 fur alle A ist, so ist v(A) eine stetige eigentlich monotone Funk- tion von A, wie in Df. $ verlangt worden mar. Y geht nur in Differenzforrn in die Formeln ein, wir konncn dahcr 0. B. d. 8. K , = 0 setzen. Wir wahlen ferner K , = 1 0 . B. d. A., da a ohnehin noch vorfiigbar bleibt. Die Gesanitintensitat des von der reduzierten Normalfarbe (13) ausgehenden Lichtes bei der vorgegebenen Beleuchtung ist

und kann dann in der Tat von & unabhangig sein, sofern nur v(00) eiii ganzes Viel- faches \-on g = - , also v(00) = n g ist; dabei ist 1

m

Y(OO) = J E ( A ; T) dA. 0

Wir haben also die eforderte Konstanz der Gesanitintensitat iiber alle reduzierten

fiigen. Die reduzierten Normalfarben ,,zur Telnperatur T" nehrnen daniit die Form an

Normalfarben gesic Jg ert, wenn wir iiber g und Y in detn angegebeiien Sinne ver-

n ist darin eine beliebige natiirliche Zahl. Einen Gesichtspunkt, der fur n = 1 spricht, diskutieren wir in 0 9.

b) Systeme zu vorgegebenem Belcuelitungsspektrum

Wiihlt man statt der Strahlung des schwarzeii Korpers z. B. das Sonnenspek- trum a19 Beleuchtung, so findet man in rollig enbsprechender Weise das Normal- farbensystem, das bei Sonnenbeleuchtutig intensitatsgleiche Farben enthalt. iihnliches gilt fur jedes Spektrurn; in (30) ist E(A; T ) d a m iiur als d:ts jeweiis ge- wahlte Ueleuchtungsspektrum zu deuten.

c) Des Normelkrbensystcm gleicher physiologischer Helligkeit

Verlangen wir, da13 alle reduzierten Normalfarben bei Beleuchtung mit dem Spektruin S(A) dein Auge gleich hell erscheinen, so miissen wir die Augenempfind-

€I. Wdte7: Physikalkch Begriindung eines Farbenkreisea 27

lichkeitskurve V(1) beriicksichtigen und statt GI. (30) schreiben

1 J V(2.') S(3.') a,?'

(31) Fly(?.) =--+ 1 - B Bcos2(z: -1.

J V(1.') S(3.') dA' 2

tfber die in G1. (30) noch auftretende natiirliche Zahl n ist in diesem physiolo- pischen Normalfarbensystem bereits zwanglos durch die Festsetzung n = 1 ver- fugt worden. Mit Hilfe der Schablonenvorrichtuiig uberzeugt nian sich leicht, daD groBere n zu Farben fiihren, die sich von eineni ReiB hoherer Ordnung nicht mehr wesentlich unterscheiden. Fur n = 1 IieEert das System gesattigte und in jeder We& befriedigende gleich helle Normalfarben. (Siehe auch 4 9!)

Das System (31) kann durch Kombination optisch aktiver Stoffe zwischen Polarisatoren mit groBer Anniiherung realisiert werden. Da es auch fur die Farben- lehre Bedeutung hat, wird es in einer gesonderten Veroffentlichung naher be- trachtet.

Wenn hier ohne Zweifel ein physiologischer Gesichtspunkt in unsere Betrach - tungen eingebrochen ist, so geschah das erstens nur ini Zusammenhang mit einem noch verfugbaren Freiheitsgrad und daher ohne VerstoB gegen die ursprunglichen physikalischen Forderungen. Zweitens bedeutet die Augenempfindlichkeitskurve lediglich eine prazisiertere Angabe uber den sichtbaren Spektralbereich, der noch weniger Willkiir aiihaftet als der Festlegung durch zwei Sichtbarkeitsgrenzen.

Fur die physikalischen Anwendungen werden wir neben diesem System vor sllem das Quarzsystem und das Frequenzsystem benutzcn.

? Q 9. Darstellung jeder vorgcgebcnen Farbo mittels Kormalfarben

Multiplikative Mischung gesattigter reduzierter Normalfarben mit sich selbst ergibt hohere Potenzen einer cos2-Funktion. Der an Y = p vorhandene Maximal- Wert 1 bleibt dabei erhalten, wahrend der Funktioiiswert an allen andercn Stellen gegen Null geht, wenn die multiplikative Mischung fortgesetzt wird. Durch kom- binierte multiplikative und additive Mischung kann man daher aus Normal- farben (10) jedk beliebige Farbe mit der Periode g beliebig gut approximieren.

1st die Grundfunktion ~ ( 2 ) fiir das gesamte Interval1 0 5 t < 00 beschrankt, so haben wir bczuglich der Variablen Y nur ein endliches Interval1 ~ ( 0 ) 5 Y < Y(W)

vor uns. Die Normalfarben

die dem System (30) analog gebildet sind, nehmen den Wert 1 hiichstens fur ein A an. Das Normalfarbensystem zu einer beschrankten Grundfunktion laBt daher jede vorgelegte Farbe rnit jeder gewunschten Gcnauigkeit durch kombinierte mul- tiplikative und additive Mischung dieser Normalfarben approximieren. Auch das ist ein wichtiger Gesichtspunkt zur Wahl von n = 1 im letzten Paragraphen, ohne daD hierbei physiologische Fragen eine Rolle spielen.

28 Annalen der Plsyeik. 6.Fdge. Band 8. I950

Diese Darstellbarkeit aller Farben trifft insbesondere fiir das Normalfarben- system gleicher Helligkeit (31) zu, nicht aber z. B. fur das Frequenzsystem, dessen Grundfunktion nicht beschrankt ist.

8 10. Mcssung yon Normallarbcn Das innerhalb eines jeden Normalfarbensystems fur eine Normalfarbe charak-

teristische Zahlentripel A , B, & 1aBt sich verhaltnismal3ig einfach messen mit einem etwas vervollstandi,nten Taschenspektroskop. In ihm seien ubereinander das Spektrum des von der Farbe beeinflufiten und des direkten Lichtes beobachtbar. Das direkte Licht wird durch einen vor dem Spalt verschieblichen geeichten Grau- keil meBbar geschwacht, bis das Maximum des Normalfarbenspcktrums gleiche Helligkeit wie die entsprechende Stelle des Vergleichsspektrums zeigt ; aus der Graukeilstellung entnimmt man den Wert A + B. Ebenso liefert eine Einstellung des Vergleichsspektrums auf gleiche Helligkeit rnit dem Minimum den Wert von A . Der Ort im Spektrum, an dem das Maximum lie& ergibt das &. Mit cinein handels- ublichen Taschenspektroskop von I. D. Moeller konnten & auf einige mp und A , B anf einige Prozent genau gemessen n-erden.

Zusammeniassung Die in 4 3 eingefuhrten Normalfarben ztticlinen sich durch folgende Eigen-

1. Gesattigte Normalfarben liefern einen Farbenkreis, der dem Ostwald - schen ahnelt ; doch bietet ein Normalfarbenkreis auBer der Kontinuierlichkeit den Vorteil, da13 additive Mischung .von Normalfarben stets wieder eine Normal- farbe im Sinnc der strcngen physikalischen Gleichheit ergibt. Daher werden subjektive Urteile (,,physiologisch aquivalent") uberflussig, wenn ein Normal- farbenkreis statt des Ostwaldschen (oder anderer) in der physikalischen MeB- technik benutzt wird.

2. In einer allgemeineren Bquivalenztheoric der Parben wird ein Normal- farbenkreis stets durch eine Ellipse dargestellt, wahrend dem Ostwaldsohen Farbenkreisc eine unubersichtliche, kornplizierte und willkurlich erseheinende Kurve entspricht.

3. Die Normalfarbcn sind einfach niit physikalischen Hilfsmitteln zu reali- sieren und genau reproduzierbar.

4. Das eine Normalfarbe charakteriuiwende Zahlentripel kann einfach ynd objektiv (ohne Eingehen von physiologischen Momenten) gemessen werden.

5. Es gibt unendlich viele Normalfarbensysteme; und zwar bleibt eine eigent- lich monotone stetige Funktion (,,Grundfunktion") verfugbar. Diese kann der jeweils vorliegenden Aufgabe optimal angepal3t werden. So kann man z. B. zu einer gegebenen Beleuchtung eine Grundfunktion so wiihlen, da13 nach Passieren der die Normalfarben realisierenden Vorrichtung gleiche Gesamtintensitat (oder nach Wunsch auch gleiche visuelle Helligkeit,) iiber den ganzen Farbenkreis re- sukiert. Die Eigenschaftcn 1 bis 4 bleiben auf jeden Fall von dieser Wahl unbe- riihrt.

schaften aus:

61. Wolter: Phyeikulische Begriindung e i w Farbenkreises 29

6. Bei einem Normalfarbensystem m beschriinkter Grundfunktion la& sich jede beliebig gegebene Parbe durch kombmierte multiplikative und additive Michung der Normalfarben beliebig genau in ihrem spektralen Verlauf approxi- mieren.

Dem Direktor des Instituts, Herrn Professor Dr. Lochte-Hol tgreven , dankt Verfaaser fiir freundliche Unterstutzung und Herrn stud. phil. Ste inebach fiir werhvolle Hilfe bei numerischen Rechnungen.

'Kiel , Institut fi ir Experimentalphysik der Universitiit.

(Bei der Redaktion eingegangen am 27. bfai 1950.)