Physikalisches Fortgeschrittenenpraktikum

Elektrische Leitfahigkeit von Festkorpern bei tiefen

Temperaturen

Gruppe 22

Tobias Großmann

Marc Ganzhorn

Durchfuhrung: 07.01.2008

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Inhaltsverzeichnis

1 Versuchsziel 3

2 Theoretische Grundlagen 32.1 Elektrischer Widerstand von normalleitenden Metallen . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Leitfahigkeit von Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2.1 Intrinsische Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Extrinsische Halbleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.3 Supraleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3.1 Allgemeines zur Supraleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.3.2 Supraleiter im Magnetfeld und Ginzburg-Landau Theorie . . . . . . . . . . 5

3 Versuchsaufbau 8

4 Durchfuhrung 9

5 Auswertung 105.1 Widerstandsverlauf der Proben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.2 Bestimmung der Debye-Temperatur und Gruneisen-Borelius Gesetz . . . . . . . . . 13

5.2.1 Widerstandsauftragung in reduzierten Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . 155.2.2 Qualitative Erklarung der Widerstandsbereiche von Metallen . . . . . . . . 165.2.3 Nicht-linearer Bereich von Kupfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165.2.4 Bestimmung des spezifischen Widerstands und der mittleren freien Weglangen 17

5.3 Sprungtemperatur und Koharenzlange von Niob . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175.4 Bestimmung der Aktivierungsenergie EA von Si:P . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

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1 Versuchsziel

Wie der Name der Versuchs bereits impliziert, werden die elektrischen Eigenschaften von Festkor-pern bei tiefen Temperaturen untersucht. Insbesondere der Verlauf des elektrischen Widerstandesals Funktion der Temperatur kennzeichnet die verschiedenen Materialklassen Metall, Halbleiterund Isolator. Bei bestimmten Metallen erfolgt bei besonders niedrigen Temperaturen ein Phasen-ubergang zur Supraleitung. Dieser soll in diesem Versuch am Beispiel von Niob beobachtet werden.

2 Theoretische Grundlagen

2.1 Elektrischer Widerstand von normalleitenden Metallen

In einem sehr einfachen klassischen Bild eines Metalles, werden Elektronen mit Masse m in einemelektrischen Feld beschleunigt und an den Gitteratomen gestreut. Dabei ergibt sich folgenderZusammenhang fur die Leitfahigkeit σ:

σ =ne2τ

m

wobei n die Ladungstragerkonzentration, e die Elementarladung und τ die mittlere Stoßzeit ist.Mit dieser Formel kann aber noch keine Temperaturabhangigkeit erklart werden. Hierfur nimmt

man an, dass die Elektronen an Phononen und an Storstellen im Gitter streuen. Fur den spezifi-schen Widerstand ρ ergibt sich damit die Matthiesensche Regel:

ρ = ρph(T ) + ρSt

Die Streuung an den Storstellen ist temperaturunabhangig und sorgt fur einen konstanten Restwi-derstand Rrest. Diese Beitrag ist vor allem bei tiefen Temperaturen (wenn die Phonenen ausgefro-ren sind) erkennbar. Die Streuung an den Phononen liefert folgende Temperaturabhangigkeiten:

• Fur hohe Temperaturen (T > θ, wobei θ die Debyetemperatur bezeichnet) gilt:

ρPh ∝ T

• Fur niedrige Temperaturen (T < θ) gilt:

ρPh ∝ T 5

Fur den linearen Bereich des Wiederstandes gilt nach Gruneisen-Borelius folgender Zusam-menhang:

RT = 1, 17R(θ)θ

T − 0, 17R(θ)

Mit dieser Formel lasst sich die Debyetemperatur des Metalls bestimmen. Die Debyetemperaturbezeichnet diejenige Temperatur, ab der alle moglichen Zustande besetzt sind.

2.2 Leitfahigkeit von Halbleiter

Die elektrische Leitfahigkeit eines Halbleiters unterscheidet sich stark von der eines Normalleiters.Halbleiter besitzen bei T = 0 nur vollstandig gefullte Valenzbander und leere Leitungsbander.

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2.2.1 Intrinsische Halbleiter

Damit ein Elektron zur Leitfahigkeit beitragt muss es vom Valenzband ins Leitungsband uber eineEnergielucke Eg angehoben werden. Aufgrund der thermischen Energie besteht immer eine endlicheWahrscheinlichkeit dafur dass das Elektron ins Leitungsband gelangt. Das Fehlen eines Elektronsim Valenzband kann als “Loch” betrachtet werden, welches auch zur Leitfahigkeit beitragt. Furdie Gesamtleitfahigkeit gilt damit:

σges = nie(µe + µh)

wobei µ die entsprechende Beweglichkeit fur Locher (h) bzw fur Elektronen (e) darstellt. Sowohl nials auch µ sind temperaturabhangig. Damit ergibt sich folgende Leitfahigkeit σi fur intrinsisscheHalbleiter:

σi = Ci exp(− Eg

2kT

)2.2.2 Extrinsische Halbleiter

Die andere Moglichkeit Elektronen im Leitungsband zu erzeugen ist die thermische Anregungvon Storstellen, die durch Dotierung erzeugt werden. Bei der Dotierung handelt es sich um dengezielten Einbau von Fremdatomen, die entweder Elektronen abgeben (Donatoren) oder Elek-tronen aufnehmen (Akzeptoren). Halbleiter in denen eine Sorte Ladungstrager uberwiegt (Majo-ritatsladungstrager) heißen extrinsisch. Aufgrund der komplizierten Temperaturabhangigkeit derLadungstragerkonzentration ergibt sich wegen σ = neµ auch ein entsprechender Temperaturver-lauf der Leitfahigkeit.

Abbildung 1: Temperatuabhangige Ladungstragerkonzentration bei extrinsischen Halbleitern

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2.3 Supraleitung

2.3.1 Allgemeines zur Supraleitung

Die Supraleitung wurde 1911 von Kamerlingh Onnes an Quecksilber experimentell beobachtet.Der supraleitende Zustand stellt sich unterhalb einer kritischen Temperatur Tc ein und ist da-durch gekenzeichnet dass der elektrische Widerstand der Substanz verschwindet. Diese kritischenTemperaturen liegen typischerweise fur elementare Supraleiter im Bereich 0-10K. Mit Legierungenund speziellen Schichtsystemen lassen sich Sprungtemperaturen zwischen 30 und 150K erreichen.Die Theorie zu den beobachteten Phanomenen lieferten Bardeen, Cooper und Schrieffer in Jahre1957 mit der BCS Theorie (nach den Autoren benannt). Diese liefert insbesondere eine mikro-skopische Erklarung dafur, dass der Energieaustausch zwischen den Elektronen und dem Gitterverhindert wird.

Die BCS Theorie setzt als grundlegend voraus, dass sich zwischen zwei Leitungselektronenin einem Festkorper eine anziehende Wechselwirkung bilden kann. Diese ist stets starker als dieabstoßende Coulombwechselwirkung. Diese anziehende Wechselwirkung wird durch den Austauscheines virtuellen Phonons beschrieben. Ein solches Elektronenpaar wird als Cooperpaar bezeichnet.Die genaue Betrachtung zeigt dass ein Cooperpaar immer folgende Konfiguration hat:

(~k ↑,−~k ↓)

Damit wird auch der bosonenartige Zustand der Coopepaare deutlich (S = 0). Zudem ist derGesamtimpuls eines Cooperpaares auch Null.

Die Cooperpaare besetzen somit alle den gleichen quantenmechanischen Zustand, den BCSGrundzustand. Es existiert deshalb eine feste Korrelation zwischen den Cooperpaaren. Das Anle-gen eines elektrischen Feldes andert unterhalb einer kritischen Feldstarke nichts an dieser Korrela-tion. Wurde ein Elektron an einem Phonon gestreut werden, so mussten alle anderen Elektronenauch entsprechend gestreut werden. Die gleichzeitige Streuung aller Elektronen ist unmoglich. Diesfuhrt dazu, dass sich die Cooperpaare ungestort im Gitter bewegen konnen: Der elektrische Wi-derstand verschwindet. Ist die kritische Feldstarke erreicht brechen alle Cooperpaare auf und dasMetall kehrt in den normalleitenden Zustand zuruck. Die kritische Feldenergie entspricht danngerade der Bindungsenergie des Cooperpaares.

2.3.2 Supraleiter im Magnetfeld und Ginzburg-Landau Theorie

Das besondere Verhalten von Supraleitern im Magnetfeld wird durch den Meissner-Ochsenfeld-Effekt beschrieben. Das außere Magnetfeld B induziert Dauerstrome an der Oberflache des Supra-leiters, welche das vollstandige Eindringen des Magnetfeldes in die Probe verhindern. Betrachtetman die Grenzflache zum Supraleiter etwas genauer, so stellt man fest, dass das Magnetfeld aufeiner Lange λ doch in die Probe eingedrungen ist. λ nennt man auch Londonsche Eindringtiefe.Der Supraleiter zeigt somit bis zu einer kritischen Feldstarke, bei der der Meissner-Ochsenfeld-Effekt verschwindet, ein ideales diamagnetisches Verhalten. Fur die magnetische Suszeptibilitatgilt damit:

χ =µ0M

B= −1

wobei M die Magnetisierung darstellt.Im Allgemeinen unterscheidet man zwei Arten von Supraleitern:

• Supraleiter 1.Art

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• Supraleiter 2.Art

Ein Supraleiter 1. Art zeigt bis zum kritschen Feld Bc,th,wo die Supraleitung zusammenbricht,den Meissner-Ochsenfeld-Effekt.

Ein Supraleiter 2. Art weist zudem noch ein Mischphase auf, die Shubnikovphase genanntwird. In dieser Phase dringt das Magnetfeld ab dem unteren kritischen Feld Bc1 in sogenann-ten Flussschlauchen in die Probe ein. Beim oberen kritischen Feld Bc2 bricht die Supraleitungdann ebenfalls zusammen. Somit erhalt man folgende charakteristische Magnetisierungskurvenund Flussdiagramme:

Abbildung 2: Magnetisierung und magnetischer Fluss in einem Supraleiter 1. und 2. Art

Es sei hier noch angemerkt, dass die kritischen Magnetfelder temperaturabhangig sind, wasin folgendem Phasendiagramm deutlich wird und aus der Ginzburg Landau Theorie hergeleitetwerden kann:

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Abbildung 3: Phasendiagramm eines Supraleiters aus der Ginzburg Landau Theorie

In der Ginzburg-Landau Theorie entwickelt man die freien Energie in der Nahe der kritischenTemperatur nach Potenzen des Ordnungsparameters ψ, welcher der Cooperpaardichte entspricht.Im thermodynamischen Gleichgewicht ist die freie Energie minimal, woraus sich die Temperatu-rabhangigkeiten des kritischen Magnetfeldes Bc2, der Ginzburg-Landau Koharenzlange ξGL undder Londonschen Eindringtiefe λ ergeben.

Fur die Londonsche Eindringtiefe ergibt sich damit:

λ(T ) = λ(0)

(1−

(T

Tc

)4)−1/2

Die Ginzburg Landau Koharenzlange beschreibt die Langenskala auf der die Cooperpaardichtevariieren kann. Fur diese ergibt sich in der Molekularfeldnaherung folgende Abhangigkeit:

ξGL(T ) =ξ(0)GL√

1− T/TcDamit folgt fur das obere kritische Feld Bc2:

Bc2(T ) =Φ0

2πξ2GL(T )=

Φ0

2πξ(0)2GL

(1− T/Tc)

wobei Φ0 = h2e = 2, 07 · 10−15V s das Flussquant und

ξ(0)GL =

[−Φ0

2πTc dBc2dT |Tc

]1/2

die Koharenzlange bei T = 0 ist. Die mittlere freie Weglange l in der normalleitenden Phase desSupraleiters ergibt sich aus

ξ(0)GL =

√39nm · l

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3 Versuchsaufbau

Der Messaufbau besteht im wesentlichen aus einem Kryostaten, der folgende Komponenten bein-haltet:

Abbildung 4: Versuchsaufbau

In den außeren Dewar wird Stickstoff eingefullt. Damit konnen die Proben auf maximal 77K gekuhlt werden. Um die Proben auf Temperaturen im Bereich von 5-10 K zu kuhlen, wirdin den inneren Dewar flussiges Helium eingefullt. Die Proben befinden sich in der Probenkam-mer im Inneren des Heliumdewars. Damit der Abkuhlvorgang langsam vonstatten geht, wird dieProbenkammer evakuiert.

Die drei Proben, die untersucht werden, sind Kupfer, Niob und Phosphor-dotiertes Silizi-

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um(Si:P). Kupfer stellt ein typisches Metall dar. Niob wird bei einer Temperatur von ca. 9,2K supraleitend und Si:P ist ein n-dotierter Halbleiter. Anhand dieser Proben, sollen die theo-retischen Vorhersagen, die den Widerstand als Funktion der Temperatur beschreiben, uberpruftwerden.

Als Thermometer fur hohe Temperaturen wird ein Platinthermometer verwendet. Platin ist einMetall. Somit verlauft der Widerstand von Platin linear als Funktion der Temperatur. Wird einkonstanter Strom an das Platin angelegt kann durch die Messung der Spannung der Widerstandberechnet werden und somit auf die Temperatur geschlossen werden. Zur Messung der tiefenTemperaturen (ab ca. 30 K) wird ein Kohlethermometer benutzt. Kohle ist als Halbleiter beitiefen Temperaturen sehr empfindlich in Bezug auf den Widerstand.

Um die Abhangigkeit der Sprungtemperatur von einem außeren Magnetfeld zu untersuchen,befindet sich um den Probenbecher herum eine supraleitende Spule aus Niob-Titan. Die Spule darfnicht normalleitend sein, da sonst zu viel Warme erzeugt werden wurde, was zum Verdampfen desHeliums fuhren wurde.

4 Durchfuhrung

Zuerst uberpruften wir die Funktionsweise der Thermometer und der Widerstande. Fur die Wi-derstande bei Raumtemperatur erhielten wir folgende Messwerte:

• RKupfer = 2, 16 Ω

• RNiob = 52, 38 Ω

• RSi = 0, 08 Ω

• RPt = 106 Ω

• RC = 216 Ω

Beim Vergleich unserer Werte mit den Referenzwerten in der Vorbereitungsmappe ist festzustellen,dass unsere Werte nur leicht davon abweichen. Deshalb sind wir davon ausgegangen, dass alleWiderstande ordnungsgemaß funktionieren.

Als nachstes evakuierten wir den Heliumdewar und den Probentank. Anschließend wurde derHeliumdewar mit Heliumgas aus der Ruckleitung mehrmals gespult und im Anschluss wiederan das Ruckgewinnungssystem angeschlossen. Nun wurde der Kryostat mit flussigem Stickstoffaufgefullt. Wahrend des Abkuhlvorgangs haben wir die Temperatur zunachst mit dem Platin-thermometer aufgenommen. Wir wahlten dabei eine Schrittweite von 2,5 K. Nach ca. 3 Stundenerreichten wir eine Temperatur von ca. 80 K. Jetzt wurde der innere Dewar mit Helium gefullt. ImTemperaturbereich von 30-60 K nahmen wir unsere Messwerte sowohl mit dem Platin- als auchmit dem Kohlethermometer auf, um den Ubergang zwischen beiden Thermometern bestmoglichfestzustellen. Fur Temperaturen unter 30 K benutzten wir nur noch das Kohlethermometer.

Zur Bestimmung des oberen kritischen Magnetfeldes BC2(T ) benutzten wir den Heizer undeinen XY-Schreiber. Fur die Strome von 0-12 A (in 1,5 A-Schritten) durch die supraleitendeSpule wurde am XY-Schreiber jeweils der Widerstand als Funktion der Temperatur aufgenommen.Insgesamt haben wir so neun Kurven aufgenommen, bei denen die Sprungtemperatur aufgrunddes anliegenden Magnetfeldes unterschiedlich ist.

Am Ende des Versuches wurden noch zusatzliche Widerstandswerte im Temperaturbereich von7-15 K aufgenommen. Vorallem der Bereich um die Sprungtemperatur konnte so nochmals hoheraufgelost werden. Dies war beim Abkuhlvorgang nicht moglich, da dieser zu schnell war.

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5 Auswertung

5.1 Widerstandsverlauf der Proben

Der Verlauf des Widerstands mit der Temperatur der drei Proben sieht folgendermaßen aus:

Abbildung 5: Widerstandsverlauf als Funktion der Temperatur fur alle Proben

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Abbildung 6: Widerstandsverlauf fur Kupfer bei tiefen Temperaturen

Abbildung 7: Widerstandsverlauf fur Niob bei tiefen Temperaturen

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Abbildung 8: Doppelt-logaritmisch aufgetragener Widerstandsverlauf von Silizium

Beim Vergleich der Widerstande aller drei Proben fallt auf, dass Silizium bei hohen Tempe-raturen den geringsten Widerstand hat. Erst bei Temperaturen niedriger als ca. 15 K steigt derWiderstand von Silizium deutlich an, da bei diesen Temperaturen die thermische Energie nichmehr ausreicht, um die Elektronen aus den Donatorniveaus in das Leitungsband zu heben.

Die Niobprobe hat im Vergleich zum Kupfer einen viel hoheren Widerstand bis zur Sprung-temperatur bei ca. 9 K. Bei uns im Schaubild sind zwei Sprunge erkennbar. Dies folgt aus derTatsache, dass die beim Hochheizen aufgenommenen Werte nicht mit den Werten bei Abkuhlenubereinstimmen. Da die Heizung naher an der Probe ist als am Thermometer, hat das Thermo-meter eine etwas niedrigere Temperatur als die Probe. Dieser Effekt ließ sich bei der Versuchs-durchfuhrung nicht vermeiden.

Die Kupferprobe besitzt wie erwartet einen relativ geringen Widerstand. Wie bei Niob istauch bei Kupfer der Widerstandsverlauf linear bei hohen Temperaturen. Bei niedrigen Tempe-raturen nahert sich der Widerstand von Kupfer erwartungsgemaß dem temperaturunabhangigenRestwiderstand an.

Fur alle Messkurven wurde im Temperaturbereich von 30-60 K sowohl mit dem Kohlethermo-meter als auch mit dem Platinthermometer Messwerte aufgezeichnet. Aus unseren Daten ergabsich der beste Ubergang zwischen den beiden Thermometern bei 45 K. Dies bedeutet, dass alleMesswerte unter 45 K diejenigen des Kohlethermometers sind.

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5.2 Bestimmung der Debye-Temperatur und Gruneisen-Borelius Ge-

setz

Fur die Kupferprobe ist der lineare Bereich oberhalb von 90 K und fur die Niobprobe ist derlineare Bereich oberhalb von 70 K. Dies wird aus den folgenden Auftragungen ersichtlich:

Abbildung 9: Linearer Widerstandsbereich von Kupfer

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Abbildung 10: Linearer Widerstandsbereich von Niob

Bei den obigen Auftragungen wurde bereits folgender Restwiderstand der beiden Proben ab-gezogen:

• RRest(Cu) = 0, 005 Ω

• RRest(Nb) = 22, 37 Ω

Bei der Auftragung von Kupfer fallt dabei auf, dass die Messwerte zwischen 100 K und 130 Kfehlen. Diese Messwerte wurden von uns aus dem Datensatz weggelassen, da wahrend der Mes-sung in diesem Bereich das Messgerat nicht ordnungsgemaß funktioniert hat. Somit haben dieMesspunkte dieses Bereiches zu dem ansonsten linearen Verlauf gepasst. An die Messwerte ist einlinearer Fit angelegt worden, der mit den systematischen Fehlern der einzelnen Messpunkte ge-wichtet wurde. Somit beinhalten die statistischen Fehler der Fitparameter auch die systematischenFehler. Als systematische Fehler wurden immer die Halte der letzten ablesbaren Skaleneinheit desMessgerates verwendet.

Aus den Fitparametern lassen sich die Debye-Temperatur θ und der Debye-Widerstand Rθbestimmen. Die Gerade, die an die Messpunkte angepasst wurde lautet:

RT = 1, 17R

b· T − 0, 17 ·R

Somit entspricht der Parameter R dem Debye-Widerstand Rθ und b der Debye-Temperatur θ. Ausden Schaubildern lesen wir die Parameter direkt ab:

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Rθ(Cu) = (2, 88± 0, 02) Ω

θ(Cu) = (358, 44± 1, 51) K

Rθ(Nb) = (24, 14± 0, 01) Ω

θ(Nb) = (228, 91± 0, 09) K

Der Literaturwert fur die Debye-Temperatur von Kupfer liegt bei θ(Cu) = 343 K. Somit weichtder von uns bestimmte Wert um 4,5 Prozent vom Literaturwert ab. Fur die Debye-Temperaturvon Niob lautet der Literaturwert θ(Nb) = 275 K. Der von uns bestimmte Wert weicht um 16,8Prozent vom Literaturwert ab.

5.2.1 Widerstandsauftragung in reduzierten Einheiten

Die Auftragung des Widerstands von Kupfer und Niob in reduzierten Einheiten R(T )/θ uber T/θergibt folgenden Verlauf:

Abbildung 11: Auftragung in reduzierten Einheiten fur Kupfer und Niob

Aus dem obigen Schaubild erkennt man, dass beide Kurven fast direkt ubereinander lie-gen und dass die numerischen Werte fur beide Kurven fast identisch mit den Zahlenwerten ausder Gruneisen-Borelius Relation von 1,17 und -0,17 sind. Das Experiment ist somit eine gute

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Bestatigung dieses universellen Verhaltens von Metallen bei hohen Temperaturen. Auch in diesenbeiden Fits wurde mit den systematischen Fehlern gewichtet.

5.2.2 Qualitative Erklarung der Widerstandsbereiche von Metallen

Die Streuung an den Storstellen ist temperaturunabhangig und sorgt fur einen konstanten Rest-widerstand RRest. Diese Beitrag ist vorallem bei tiefen Temperaturen (wenn die Phonenen aus-gefroren sind) erkennbar. Beim erhohen der Temperatur werden Phononen angeregt. Durch dieStreuung an den Phononen steigt der Widerstand der Metalle mit T 5 an. Fur Temperaturen weitoberhalb der Debye-Temperatur sind alle Phononen angeregt. Diese schwingen mit steigenderTemperatur mit großer werdender Amplitude um ihre Gleichgewichtslage. Dadurch erhoht sichdie Streuung der Elektronen an den Phononen, wodurch der elektrische Widerstand linear mit derTemperatur zunimmt (Gruneisen-Borelius).

5.2.3 Nicht-linearer Bereich von Kupfer

Der nicht-lineare Widerstandsbereich bei unserer Messung geht von ca. 23 K bis 49 K. In diesemBereich hat der Widerstand eine T 5-Abhangigkeit. Diese Verhalten wollen wir uberprufen, indemwir folgenden Fit an unsere Messkurve anpassen:

ln(R−RRest) = m · ln(T ) + C

Mit unseren Messwerten erhalten wir folgenden Plot:

Abbildung 12: Bestimmung des nicht-linearen Verhaltens von Kupfer

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Als Potenz lesen wir aus der oberen Graphik folgenden Wert ab:

m = 4, 43± 0, 12

Wir erhalten somit nicht ganz eine T 5-Abhangigkeit.

5.2.4 Bestimmung des spezifischen Widerstands und der mittleren freien Weglangen

Zunachst berechnen wir die Lange lp der Kupferprobe. Diese ergibt sich aus

lp =R(T = 300K) ·Aρ(T = 300K)

= 0, 939 m

wobei A = 0, 78 · 10−8 m2 die Querschnittsflache des Kupferdrahtes darstellt und ρ(T = 300K) =1, 71 µΩcm ist. Damit lasst sich der spezifische Widerstand bei 4,2 K ausrechnen:

ρCu(T = 4, 2K) =R(T = 4, 2K) ·A

lp= (4, 15± 0, 83) · 10−11Ωm

wobei wir ρ(T = 4, 2K) = (0, 005± 0, 001) Ω eingesetzt haben. Damit ergibt sich als mittlere freieWeglange l uber

l(Cu) =ρl

ρ= (1, 59± 0, 32) · 10−5 m

Nun berechnen wir die entsprechenden Werte fur Niob. Der spezifische Widerstand bei 12 Kberechnen wir wie folgt:

ρNb(T = 12K) =R(T = 12K) ·A

lp= (1, 10± 0, 00) · 10−7Ωm

wobei A = 3, 6 ·10−11 m2, lp = 8 ·10−3 m und R(T = 12K) = (22, 41±0, 01) Ω sind. Damit ergibtsich die mittlere freie Weglange l:

l(Nb) =ρl

ρ= (3, 72± 0, 00) · 10−9 m

5.3 Sprungtemperatur und Koharenzlange von Niob

Aus den Kurven, die mit Hilfe des XY-Schreibers aufgenommen wurden, erhalten wir folgendeSprungtemperaturen TC in Abhangigkeit vom angelegten Magnetfeld BC2:

TC [K] I[A] BC2[T ]9,37 0 0,0009,25 1,5 0,0719,13 3 0,1418,95 4,5 0,2128,83 6 0,2838,63 7,5 0,3538,52 9 0,4248,36 10,5 0,4958,19 12 0,566

Tabelle 1: Messwerte des kritischen Feldes

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Tragt man BC2 gegen TC auf, erhalt man folgenden Plot:

Abbildung 13: Magnetfeld als Funktion der Sprungtemperatur

In der obigen Auftragung ist ein linearer Fit durch die ersten drei Punkte gemacht worden.Aus der Steigung dieser Geraden S lasst sich die Koharenzlange ξ(0)GL wie folgt bestimmen:

ξ(0)GL =

[−Φ0

2πTcS

]1/2Mit S = (−0, 59± 0, 01) T/K ergibt sich

ξ(0)GL = (7, 79± 0, 15) nm

Der hier angegebene Fit berucksichtigt bereits die systematischen Fehler durch das Ablesen derMesswerte und die statistischen Fehler.

Zur Bestimmung der mittleren freien Weglange l benutzen wir folgende Gleichung:

ξ(0)GL =

√39nm · l

Damit erhalten wir

l =(ξ(0)GL)2

39nm= (1, 53± 0, 03) nm

Vergleicht man diesen Wert mit der bestimmten mittleren freien Weglange aus dem vorherigenAufgabenteil, so stimmen diese Werte zumindest in der Großenordnung miteinander uberein.

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5.4 Bestimmung der Aktivierungsenergie EA von Si:P

Zur Bestimmung der Aktivierungsenergie von Si:P tragen wir ln(σ) gegen 1/T auf. Die Leitfahig-keit σ lasst sich folgendermaßen aus dem Widerstand bestimmen:

σ =1ρ

=l

RA

wobei l die Lange und A die Querschnittsflache der Probe darstellen. Es ergibt sich folgendesSchaubild:

Abbildung 14: Bestimmung der Aktivierungsenergie

Als linearen Bereich haben wir den Temperaturbereich von 7,7 K bis 14,3 K gewahlt. DieAktivierungsenergie ergibt sich aus der Steigung S der obigen Auftragung wie folgt:

EA = −2SkB = (7, 47± 0, 00) meV

In der Vorbereitungsmappe ist ein Wert von EA = 45 meV fur Si:P angegeben. In der Mappeist jedoch nicht angegeben wie hoch die Dotierung bei diesem Wert war. Da das Donatorniveauabhangig ist von der Dotierungskonzentration, wissen wir nicht ob der große Unterschied zwischenden Werten von der Dotierung stammt oder ob ein Messfehler vorliegt.

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