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Pion-Diffusion in Kernen Daniel Dobos Daniel Weber Seminar: Computational Physics Dortmund, 29.06.2001 06.07.2001 13.07.2001

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen Inhalt 1. Motivation 1.1 Neutrino-Oszillation 1.2 Hinweise auf Neutrino-Oszillation 1.3 Long Baseline Experimente 2. Theorie 2.1 Pion Erzeugung 2.2 Grundannahmen und Formulierung des Transportproblems 2.3 Kerneffekte a) Ladungsaustausch b) Absorption und Streuung 3. Monte Carlo Integration 3.1 Grundlagen 3.2 Lepage Integration 4. Algorithmus 4.1 Struktur 4.2 Funktionen 4.3 g-factor 4.4 Integration 5. Literatur

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen 1. Motivation 1.1 Neutrino-Oszillation: (, =e,, ) In 2 flavour case: e = Mischungswinkel entspricht Cabibbowinkel im Quark-Sektor Mischungswinkel bestimmt Amplitude Massendifferenz bestimmt Frequenz Suche nach Ausschlu-Konturen und Erlaubten Gebieten in m 2 /sin 2 2 - Diagrammen: Folgen bei Existenz: nicht alle gleiche Masse, d.h. nicht alle m = 0 Leptonenzahl L nicht streng erhalten Widerspruch zu SM 1 0 P sin 2 2 1/ m 2 =1/m 2 -m 2 e P( ) P( e ) x

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen 1. Motivation 1.2 Hinweise auf Neutrino-Oszillation: - LSND sieht Neutrino-Oszillation (1997) jedoch Widerspruch zu KARMEN - Superkamiokande (Juni 1998) Vergleich von Atmosphren-Neutrinos: Gut vertrglich mit: 2 flavour case sin 2 2 0,85 5 10 -4 eV 2 < m 2 < 6 10 -3 eV 2 6 ! Monte Carlo ohne Oszillation ~15 km ~13.000 km Erde Super- kamiokande Atmosphre

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen 1. Motivation 1.3 Long Baseline Experimente: -K2K (KEK to Kamiokande) (Juni 1999) Protonenstrahl (12 GeV, 1.1 s) trifft auf Aluminium Target Erzeugung von Pionen Fokussierung der Pionen durch Magnetic Horn Erhhung des Neutrino-Flusses Zerfall der Pionen: + + + + durch dump shield abgefangen Front Detektor (300m) +1 kton Cherenkov-Detektor mit mehreren hundert PMTs Bestimmung des Neutrino-Flusses wie bei Superkamiokande

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen 1. Motivation +SCIFI (SCIntillating FIber) Detektor; 200 m dicke Scintillatoren zwischen Wassertargets Messung des Neutrino-Flusses ber Rekonstruktion entstandener Teilchen +Bleiglas array Messung entstandener Elektronen im SCIFI +Myonen Kammer; Abwechseln Eisenplatten und Drahtkammern Messung des Myonenspektrums durch Neutrino WW Trigger ber TOF (Time Of Flight) und Richtung Wahrscheinlichkeit fr Atmosphrisches Neutrino 0,01%

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen 1. Motivation Superkamiokande (250km) 50 ktons Cherenkov (22,5 ktons effektiv) bis Juni 2000: 28 Neutrino Ereignisse gemessen 37,8 (+3,5, -3,8) Neutrino Ereignisse erwartet Neutrino-Osz. zu 90% wahrscheinlich Ziel: 99% in den nchsten Jahren - MINOS (2003?) 26 Fe 56 -Scintillator Detektor (Fermilab Soudan Mine, 730 km) - OPERA / ICARUS (2005?) 18 Ar 40 -TPC Detektor (CERN Gran Sasso, 732 km)

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen 2. Theorie 2.1 Erzeugung von Pionen Gewhnlich betrachtet man in - Experimenten quasiel.Streuung, z.B.: Bei hinreichend hohen Energien der knnen aber auch folgende Prozesse auftreten: charged current - Reaktionen (1a) neutral current - Reaktionen (1b)

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen 2. Theorie 2.2 Formulierung des Transportproblems: Im folgenden sollen nun also die Reaktionen (1a) und (1b) genauer untersucht werden. Zuerst lassen sie sich als 2 Schritt Reaktionen auffassen:(i) - Erzeugung (ii) WW der mit der Kernmaterie In diesem Vortrag wollen wir uns auf (ii) konzentrieren. Im hier betrachteten Energiebereich ( - Resonanz) gilt fr den Wirkungsquerschnitt der - Nukleon Streuung: Die Hauptbeitrge dieser Winkelverteilung liefern die Vorwrts und Rckwrtsstreuung 1 dimensionales Modell als gute Nherung

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen 2. Theorie Weitere Bedingungen: N - Reaktionen im Bereich der - Resonanz Isospin 3/2 - Kanal Kern mit gleich vielen p und n - Streuung an gebundenen N wie an freien E( ) ndert sich nicht bei el. Streuung Kern als Fermigas mit Dichte (r) und unabh. n und p. Der entscheidende Parameter fr den Transport im Kern ist die Kerndichte. Sie ist hier in der harmonic well Parametrisierung gegeben: Man muss nun noch eine effektive Lnge des Kerns definieren, auerhalb derer die Pionen als frei angenommen werden knnen: (b = impact parameter)

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen 2. Theorie Betrachtet man die Pionenenddichte nach einer Streuung, so ist diese durch eine Matrix mit der Anfangsdichte verknpft: Mit den Eigenwerten und den Eigenvektoren von, lt sich dann die Mehrfachstreuung durch wiederholte Anwendung von auf beschreiben: Da die anderen Reaktionen unabhngig von dieser Matrixstruktur sind, kann man schreiben mit und Bruchteil d. Pionen, die nach n Reaktionen den Kern verlassen.

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen 2. Theorie Wir wollen nun noch einen Zusammenhang zwischen dem Wirkungsquerschnitt der N - Streuung und herstellen: Hier ist der Produktionspaulifaktor. stellt den dreifach diff. WQ (incl. aller Korrekturen) dar. Fr die Beziehung von und whlt man folgenden Ansatz:

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen 2. Theorie Da es 3 Isospin - Zustnde der Pionen gibt, lt sich M durch 3 Gren parametrisieren: Durch die Gleichsetzung lassen sich dann die Elemente der Matrix M bestimmen.

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen 2. Theorie 2.3 Kerneffekte (A) Ladungsaustausch Die Elemente der Matrix knnen durch eine Clebsch Gordan Analyse bestimmt werden. Das N Matrixelement lt sich wie folgt darstellen: Clebsch Gordan Koeff. reduz. Matrixelement Damit erhalten wir z. B.: Alle anderen Terme sind 0 wegen Isospin Erhaltung oder Beschrnkung auf 3/2 Kanal

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen 2. Theorie Das Matrixelement ist dann die Wahrscheinlichkeit, bei festem Ausgangszustand j aus allen Endzustnden l den Endzustand k zu erreichen: Die Eigenvektoren und Eigenwerte sind dann:

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen 2. Theorie Entwickelt man schlielich nach diesen Eigenvektoren so kann man die Elemente der Transportmatrix bestimmen Schlielich erhlt man als Ergebnis Nun mu noch die Funktion bestimmt werden.

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen 2. Theorie (B) Absorption und Streuung Betrachte Kern als 1 - dim. Medium d. Lnge L. Gesucht: = Anzahl d., die Medium rechts (links) verlassen. = Wahrscheinlichkeit fr Vorwrts - (Rckwrts - ) Streuung Bestimme Wahrscheinlichkeit, ein Pion, das sich nach n-1 Kollisionen am Ort y in Richtung j bewegte, im Intervall dx um x mit Bewegungsrichtung i zu finden. (i,j = rechts oder links)

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen 2. Theorie Hierfr abkrzende Dirac - Notation: Anfangsdichte d. m. Bewegungsrichtung i: mit Normierung: Dichte nach n Kollisionen: Anzahl d. Pionen, die nach n Kollisionen das Medium verlassen = Gesamtanzahl d. Pionen im Medium nach n Kollisionen - Anzahl d. Pionen, die ein weiteres Mal im Medium wechselwirken werden:

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen 2. Theorie Mit den weiteren Abkrzungen: folgt dann Dabei wurde folgende Identitt verwendet: Durch einfaches Nachrechnen sieht man, dass

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen 2. Theorie Damit erhlt man: Im letzten Schritt wurde (#) verwendet und der Ausdruck definiert.

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen 2. Theorie Nun ist also zu berechnen. Hierzu whlt man den Ansatz: Daraus folgt Die Berechnung von f( ) reduziert sich damit auf die Bestimmung von v(yl). Wir verwenden nochmals (#):

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen 2. Theorie und erhalten so Mit Hilfe der Definitionen von P(xi|yj) sieht man, dass v(xj) und w(xj) folgende Symmetrieeigen - schaften aufweisen: Somit folgt fr v eine Integralgleichung Multiplikation mit exp( y) und Differentiation nach y liefert die Differentialgleichung:

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen 2. Theorie Der homogene Teil dieser DGL lautet mit der Lsung Eine spezielle Lsung der inhomogenen Gleichung ist so dass man insgesamt erhlt Damit sind wir am Ziel angelangt, durch Einsetzen kann man nun und damit f( ) bestimmen.

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen 2. Theorie Das Ergebnis lautet bzw. fr den geraden und den ungeraden Anteil

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen 3. Monte Carlo Integration 3.1 Grundlagen: -Grundlegend Schwierigkeit der computational Physik: Berechnung von komplizierten mehrdimensionalen Integralen, z.B. Berechnung von Streu-Amplituden in der Feynman Peturbations Theorie -Charakteristik der Monte Carlo Integration: zuverlssiger Fehler fr das Integral wird gleichzeitig berechnet Der Integrand mu nicht kontinuierlich und stetig sein. Integration ber Hypervolumen mit unregelmiger Kontur straightforward Konvergenz-Rate ist unabhngig von der Dimension des Integrals -Hauptproblem: Exponentieller Wachstum der ntigen Auswertungen mit steigender Dimension des Integrationsvolumens: z.B. 5- Punkt Gauss-Legendre Integration in 9 Dimensionen bentigt5 9 210 6 Auswertungen -Integral einer Funktion von n Variabeln ber Volumen : [3.1] Man whlt zufllig M Punkte x, aus einer Verteilung von Punkten in mit einer Dichte p(x)

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen 3. Monte Carlo Integration Das Integral kann jetzt genhert werden als: [3.2] wobei die Wahrscheinlichkeitsdichte-Funktion auf eins normiert ist: [3.3] S (1) fluktuiert um den wahren Wert des Integrals, wenn verschiedene Stze von Zufalls-Punkten gewhlt werden. Die Varianz der Fluktuation ist gegeben durch: [3.4] fr groe M kann man nhern: [3.5] wobei: [3.6] ist. Die Standard-Abweichung ist ein Ma fr die Genauigkeit von S (1) Als Schtzung von I, und ist nur zuverlssig, wenn folg. Integral endlich ist: [3.7]

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen 3. Monte Carlo Integration Fr festgehaltenes M gibt es zwei Standard- Methoden zur Reduzierung der Varianz von 2 : Importance sampling: Die Dichte p(x) wird variiert, und die optimale Varianz ist erreicht, wenn: [3.8] Die Auswertung des Integrals wird auf Bereiche mit den grten Werten konzentriert Stratified sampling: Das Integrationsvolumen wird in N kleinere Volumen mit variierender Gre unterteilt; Monte Carlo in jedem Unter- volumen mit M/N Zufalls-Punkten; Variation der Varianz durch nderung der Gren und Lage der einzelnen Untervolumen; Minimum erreicht, wenn Beitrge zu 2 aller Untervolumen gleich (= 2 /N) Auswertung des Integrals konzentriert auf Bereiche mit grten potentiellen Fehlern,d.h. Bereiche mit grten Werten und groer Steigungen der Funktion 3.2 Lepage Integration: -Adaptives Monte Carlo Verfahren, d.h. mit Importance sampling, nach Peter Lapage (1978)

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen 4. Algorithmus 4.1 Struktur: 342 675 qg (3,3) k0k0 k q0q0 h-h- h+h+ +p + - tot - + abs T f L(b) g(W,Q 2 ) wie + grn + blau f( ) wei + grn + rot M

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen 4. Algorithmus 4.2 Funktionen:

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen 4. Algorithmus 4.3 g-Faktor:

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Daniel (Dobos; Weber) - Pion-Diffusion in Kernen 5. Literatur Y. Fukuda et al.; Phys. Lett. B 433(1998) 9 Y. Fukuda et al.; Phys. Lett. B 436(1998) 33 Y. Fukuda et al.; Phys. Rev. Lett. 81(1998) 1562 Long Baseline neutrino oscillation experiment, from KEK to Kamiokande; http://neutrino.kek.jp/intro/k2k.html Current Status of K2K (July, 1998); http://neutrino.kek.jp/news/9807.STATUS/ Artificial Neutrino Beam Detected After Passing Through 250km Of Earth; http://neutrino.kek.jp/news/990628.1stSK/ Present status of the K2K Long Baseline Neutrino Oscillation Experiment (March, 2001) http://neutrino.kek.jp/news/2001.03.01.News.Up/ S.L. Adler, S. Nussinov, E. A. Paschos; Phys. Rev. D 9 (1974) 2125 M. Nowakowski; Dissertation; Universitt Dortmund; 1988 E. A. Paschos, L. Pasquali, J.Y. Yu; Nucl. Phys. B 588 (2000) 263 G. Peter Lepage; A New Algorithm for Adaptive Multidimensional Integration; Journal Of Computational Physics 27, 192-203 (1978)