Platten - Home | Department Bauingenieurwesen · PDF fileCzerny-Tafel; Hahn; Brückner; Stiglat und Wippel; Pucher; Bittner, usw. (siehe Arbeitblatt „Platten (Literatur))! LEHRSTUHL

LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN

Baustatik II (SS 2011)

8.3 Platten


8.3.1 Schnittgrößen in Platten

Voraussetzungen:# Dicke viel kleiner als die Seitenlängen.# Lasten wirken quer zur Plattenebene.



xy

xyyx

x

y

zh

yz xz

Spannungen

Plattenmittelebene



Schnittgrößen

Plattenmittelebene

x

y

zh

xymyxm

xqyqxm

ym



Beziehungen zwischen Schnittgrößen und Spannungen:

h

2hz

2hz

z

2

2

wobei: h

hx x x xxm z dz m m

2

2

wobei: h

hy y y yym z dz m m

• Biegemomente:



• Drillmoment2

2

h

hxy xym z dz

xy yxm m

• Querkräfte

2

2

h

hx xzq dz

(qx = resultierende Kraft von xz )

2

2

h

hy yzq dz

(qy = resultierende Kraft von yz)



Hauptmomente:

1 2, , , Hauptmomentex y xym m m m m

22

1,2 2 2x y x y

xy

m m m mm m

2

tan 2 xy

x y

mm m

2m

1m

yxm

ym

xym

xm

x

y


Beispiel: Gelenkig gelagerte quadratische Platte unter konstanter Flächenlast

1xm m

2ym m

2m1m

2

27,2pl2

21,6xyplm 2m

1 2 xym m m

x

y

auf der -Achsexm xmax. xm


Beispiel: Gelenkig gelagerte quadratische Platte unter konstanter Flächenlast

1infolge bzw. xym m

Bemerkungen:• mx und my in der Plattenmitte am größten, |mxy| in den Ecken am größten.• Rissbilder auf der Plattenunterseite

Rissbilder auf der Plattenoberseite2infolge bzw. - xym m


8.3.2 Annahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie

Die Durchbiegung w der Platte (Verschiebung in z-Richtung) ist unabhängig von z: w = w(x,y), d.h.: alle Punkte P auf der Normalen besitzen die gleiche Durchbiegung w(x,y).

Es gilt die Normalenhypothese:Die Normalen bleiben nach der Deformation weiterhin senkrecht (orthogonal) zur Plattenmittelebene!

Normale

zw

P

P


8.3.2 Annahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie

,, 0Z

w x yw w x y

z

0 Schubverzerrungxz yz

Daher werden die Kirchhoffschen Platten auch als „schubstarre“ Platten bezeichnet.

Die Normalspannung senkrecht zur Plattenmittelebene ist vernachlässigbar, d.h.

0z (Ebener Spannungszustand)


8.3.3 Grundgleichungen der Kirchhoffschen Plattentheorie

2 22

2 22 ,

xy yx m mm p x yx x y y

,yx qq p x yx y

yxxx

mm qx y

y xyy

m mq

y x

1.) Gleichgewichtsgleichungen



2.) Kinematik

wx

z

P

P

( , )w x yz

x

wu zx

wu zx

wv zy

2

2xu w zx x

2

2yv w zy y

2

2 xy

u v w zy x x y

• Verschiebungen:

• Verzerrungen:



3.) Spannungs-Verschiebungsbeziehungen (Hooke)

2 2

2 2 2 21 1x x yE E z w w

x y

2 2

2 2 2 21 1y y xE E z w w

y x

2

2xy xywG G z

x y

Elastizitätsmodul Querkontraktionszahl/Querdehnzahl

Schubmodul : 2(1 )

E

EG G



4.) Momenten-Verschiebungsbeziehungen

2 2

2 2xw wm K

x y

2 2

2 2yw wm K

y x

2

1xywm K

x y

3

2Plattensteifigkeit:

12 1E hK



5.) Querkraft-Verschiebungsbeziehungen

3 3

3 2 xw wq K

x x y

3 3

3 2yw wq K

y x y


8.3.4 Kirchhoffsche Plattengleichung

Einsetzten von mx, my und mxy in die Gleichgewichtsgleichung für die Momente

liefert die Kirchhoffsche Plattengleichung:

4 4 4

4 2 2 4

,2

p x yw w w

Kx x y y

oder

pwK

Partielle DGL 4. Ordnung,Inhomogene Bipotentialgleichung

Bemerkung:Die Kirchhoffsche Plattengleichung kann als eine Verallgemeinerung derEuler-Bernoullischen Balkengleichung EIwIV = p betrachtet werden!


8.3.5 Plattengleichung im Polarkoordinatensystem

Für Kreisplatten, Kreisringplatten, Kreissektorplatten oder Platten mit einem

Kreisloch ist es sinnvoll, Polarkoordinatensystem zu verwenden.

z

dr

rh

r

z

r

rz

r

d

zm

rm q

dr

r

d

rmrm

rq

hSpannungen

Schnittgrößen



( , )( , ) p rw rK

Rotationssymmetrische Probleme:

2 2

2 2 2

4 3 2 4 3 2 4

4 3 2 2 3 2 2 2 3 2 4 2 4 4

1 1

,2 1 1 2 2 4 1

wr rr r

p rw w w w w w w wwr r Kr r r r r r r r r r r

4 3 2

4 3 2 2 3

( ), ( ), 0

2 1 1

w w r p p r

p rd w d w d w dwr dr Kdr dr r dr r

Inhomogene EulerscheDGL 4. Ordnung!



Momenten-Verschiebungsbeziehungen:2 2

2 2 2

1 1r

w w wm Kr rr r

2 2

2 2 2

1 1w w wm Kr rr r

11r rwm m K

r r

rq K wr

1q K wr

Querkraft-Verschiebungsbeziehungen:



Rotationssymmetrische Probleme:2

2

1r

d w wm Kr rdr

2

2

1d w dwm Kr drdr

0r rm m

2

2

1r

d d w dwq Kdr r drdr

0q


8.3.6 Ersatzquerkräfte und Eckenkraft

An jedem Rand der Platten treten 3 Schnittgrößen auf: Biegemoment, Drillmoment und Querkraft. Im Rahmen der Kirchhoffschen Plattentheorie können aber nur 2 Randkräfte vorgeschrieben werden. Um diese Schwierigkeit zu beseitigen, werden an jedem Rand die Querkräfte und die Drillmomente zu den so genannten Kirchhoffschen Ersatzquerkräften zusammengefasst:

3 3

3 2, 2

xyx xy x x

m w wq m q q Ky x x y

3 3

3 2, 2yxy yx y y

m w wq m q q Kx y x y

Dabei wird das Drillmoment myx=mxy durch äquivalente Kräftepaare ersetzt. Für ein infinitesimales Randelement dx verbleibt dann nur ein Zuwachs als effektive Kraft in z-Richtung.



xym dx

xyxy

mm dx dx

x

/xyxy

mm dx dx dx

x

/xym dx dx

dx dx

x

y

//xyxyxy

xy

mm dx dx dx

x

m

m dx dx

dxx

Resultierende

dx/xy xym m

dx dxx x

verteil t aufxymdx dx

x



xymx

yq

yq

An Plattenecken verbleibt an beiden Rändern in der Ecke eine resultierende Einzelkraft, die sich nicht abhebt. Diese Kraft wird als Eckenkraft bezeichnet.

2

2 2 (1 )xy yx xywF m m m K

x y



xym dyyxm dx

/yx yxm dx dx m

dydx

x

y /xy xym dy dy m

xy yxmF m Resultierende Eckkraft

Fx

y



Diese Eckenkraft ist abhebend!

Maßnahmen gegen Abheben:1.) durch Auflast in der Ecke;2.) durch Verankerung;3.) durch biegesteife Verbindung der Ecke mit der Unterstützung oder benachbarter Platte.


8.3.7 Randbedingungen

1.) Gelenkig gelagerter Rand 0

0x

wm

xx

y(0, ) 0

(0, ) 0

w y

w y

2

2

2 2 2

2 2 2

(0, ) 0 0

(0, ) 0 0 0x

w ww yy y

w w wm yx y x

Naviersche RB

0 2 ,xy xy xxm F m q q Beachte:



2.) Eingespannter Rand

2

2

2

(0, ) 0 0

(0, ) 0 0 (0, ) 0xy

w ww yy y

w wy m yx x y

(kein Drillmoment)

2 0 , (0, ) (0, )xy xxF m q y q y Beachte:

00xy

wm

x

x

y



3.) Freier Rand

2 2

2 2

3 3

3 2

(0, ) 0 (0, ) (0, ) 0

(0, ) 0 (0, ) 2 (0, ) 0

x

x

w wm y y yx y

w wq y y yx x y

0

0x

x

m

q

xx

y



4.) Eingespannte Ecke

x

y2

0 0 2 0xy xyw m F m

x y

Abhebende Eckenkraft!

5.) Gelenkig gelagerte Ecke

x

y

0,0 0

0,0 0

0,0 0

0,0 0

2 0

x

y

xy

xy

w

m

m

m

F m

Keine abhebende Eckenkraft!



6.) Freie Ecke

Keine abhebende Eckenkraft!

Bemerkung:

Mehr zu Randbedingungen siehe Arbeitsblätter „Platten (Randbedingungen)“!

x

y

2

0,0 0 0 0xywm F

x y


8.3.8 Lösungen der Plattengleichung

pwK

Die Plattengleichung ist eine inhomogene Bipotentialgleichung:

Gesamtlösung:

Dabei:

wh: homogene Lösung der Plattengleichung

wp: Partikularlösung der Plattengleichung

h pw w w


8.3.8 Lösungen der Plattengleichung

0hw Die homogene Lösung wh erfüllt die homogene Bipotentialgleichung:

Daher kann man den Lösungskatalog für die Airysche Spannungsfunktion Fverwenden. Dabei wird F einfach durch wh ersetzt (vgl. Arbeitsblatt „Scheiben (Lösungen))!

Die Partikularlösung wp erfüllt die inhomogene Bipotentialgleichung:

ppwK

wp kann z.B. mittels „Ansatz vom Type der rechten Seite“ gewonnen werden!


8.3.9 Praktische Methoden zur Bestimmung der Schnittgrößen bei Platten

In der praktischen Anwendung erfolgt die Bestimmung der Schnittgrößen bei Platten mit Hilfe von Tabellenwerken oder in komplizierten Fällen mit einem EDV-Programm (z.B. FEM).

8.3.9.1 EinfeldplattenÜberblick:1.) Drillfreie bzw. drillweiche Platten

Lastaufteilungsverfahren von Marcus („Streifenkreuz-Verfahren“, „Streifenmethode“). Dabei wird das Drillmoment vernachlässigt.

2.) Drillsteife PlattenCzerny-Tafel; Hahn; Brückner; Stiglat und Wippel; Pucher; Bittner,

usw. (siehe Arbeitblatt „Platten (Literatur))!


8.3.9 Praktische Methoden zur Bestimmung der Schnittgrößen bei Platten

8.3.9.2 Durchlaufende PlattenÜberblick:1.) Belastungsumordnungsverfahren (BU-Verfahren)

Dieses Verfahren wird auch als „Schachbrettverfahren“ bezeichnet.Voraussetzung: min.l/max.l ≥0,75!

2.) Verfahren nach Pieper/Martens (siehe Bautabelle Schneider)Voraussetzungen: q ≤ 2g; q ≤ (2/3)p!

* Verfahren beruht auf BU-Verfahren;* Verfahren liefert i. A. größere Feldmomente als BU-Verfahren

(auf der sicheren Seite);* Rechenaufwand wesentlich geringer als BU-Verfahren.

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