poliedros y graficas[1]

8/3/2019 poliedros y graficas[1]

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P l a n a r G r a p h s a n d M o d u l a r O r i g a m i

T h o m a s H u l l

D e p t . o f M a t h e m a t i c s

U n i v e r s i t y o f R h o d e I s l a n d

K i n g s t o n , R I 0 2 8 8 1 - 0 8 1 6 , U S A

1 . I n t r o d u c t i o n

M o d u l a r o r i g a m i h a s i t s r o o t s i n c o m p l e x o r i g a m i g u r e d e s i g n . I f a

d e s i g n e r c o u l d n o t c r e a t e t h e d e s i r e d o b j e c t w i t h o n e p i e c e o f p a p e r , s e v e r a l

s h e e t s m i g h t m a k e t h e t a s k e a s i e r . H o w e v e r , t h a n k s m a i n l y t o t h e p o p u l a r

w o r k s o f T . F u s e a n d K . K a s a h a r a ( 4 ] , 5 ] ) , p e o p l e n o w a d a y s t h i n k o f m o d u l a r

o r i g a m i a s u s i n g s e v e r a l , s o m e t i m e s h u n d r e d s o f p i e c e s o f p a p e r t o c r e a t e

v a r i o u s g e o m e t r i c f o r m s . T h e c h a r m o f s u c h o r i g a m i i s t h a t s i m p l e , e a s y t o

f o l d m o d u l e s c a n l e a d t o v e r y c o m p l e x , i n t r i c a t e s t r u c t u r e s . A l s o , s i n c e m o r e

t h a n o n e p i e c e o f p a p e r i s i n v o l v e d , o n e c a n e x p e r i m e n t w i t h t h e m u l t i t u d e

o f c o l o r p a t t e r n s t h a t a r e p o s s i b l e i n a n y o n e m o d u l a r o r i g a m i w o r k .

I n e x p l o r i n g s u c h g e o m e t r i c s t r u c t u r e s a n d c o l o r p a t t e r n s , a g o o d u n d e r -

s t a n d i n g o f 3 - d i m e n s i o n a l p o l y h e d r a l g e o m e t r y i s n e e d e d . I n t h i s p a p e r , w e

w i l l d i s c u s s h o w s u c h a g e o m e t r i c u n d e r s t a n d i n g c a n b e r e a c h e d v i a a b r a n c h

o f m a t h e m a t i c s c a l l e d p l a n a r g r a p h t h e o r y

1

B y e x a m i n i n g s p e c i c e x a m -

p l e s , w e w i l l s h o w h o w s t u d y i n g p l a n a r g r a p h s c a n l e a d t o t h e g e n e r a t i o n o f

m o r e c o m p l e x m o d u l a r o r i g a m i s a n d t o u c h u p o n t h e i n v e r s e d i r e c t i o n a s w e l l :

h o w s t u d y i n g m o d u l a r o r i g a m i c a n l e a d t o a b e t t e r u n d e r s t a n d i n g o f p l a n a r

g r a p h t h e o r y . S u c h a c o r o l l a t i o n w o u l d c e r t a i n l y b e v a l u a b l e t o e d u c a t o r s ,

a n d t h e a u t h o r h i m s e l f h a s f o u n d m o d u l a r o r i g a m i a g r e a t s o u r c e o f i d e a s

a n d i n s p i r a t i o n i n h i s o w n m a t h e m a t i c a l r e s e a r c h o n p l a n a r g r a p h s .

1

F o r a m o r e r i g o r o u s i n t r o d u c t i o n t o g r a p h t h e o r y , s e e 2 ] a n d 3 ] .

1



2 . W h a t i s a p l a n a r g r a p h ?

A g r a p h i s w h a t m a t h e m a t i c i a n s u s e t o m o d e l n e t w o r k s . I t c o n s i s t s o f

a c o l l e c t i o n o f p o i n t s , c a l l e d v e r t i c e s , w h i c h a r e c o n n e c t e d b y l i n e s , c a l l e d

e d g e s . I n t u i t i v e l y , g r a p h s c a n b e t h o u g h t o f a s s i m p l y a b u n c h o f v e r t i c e s

c o n n e c t e d b y e d g e s , b u t f o r c o m p l e t e n e s s a t e c h n i c a l d e n i t i o n f o l l o w s :

D e n i t i o n : A g r a p h G i s p a i r ( V E ) , w h e r e V = f v

1

v

2

: : : v

n

g i s a s e t o f

v e r t i c e s a n d E V V i s a s e t o f e d g e s .

T h u s e a c h e d g e e 2 E i s o f t h e f o r m e = ( v

i

v

j

) a n d m e a n s t h a t t h e

v e r t i c e s v

i

a n d v

j

a r e c o n n e c t e d b y a n e d g e . F i g u r e 2 . 1 s h o w s e x a m p l e s o f

s o m e g r a p h s .

v1

v2

v3 v4

v6

v5

v7

v1

v2

v3v4

v5

F i g u r e 2 . 1 : S o m e g r a p h s .

A p l a n a r g r a p h i s a g r a p h t h a t c a n b e d r a w n s o t h a t t h e e d g e s o n l y

i n t e r s e c t a t t h e v e r t e x p o i n t s . I n F i g u r e 2 . 1 , t h e l e f t g r a p h i s p l a n a r , w h i l e

t h e r i g h t g r a p h i s n o t . ( Y o u m i g h t n e e d t o e x p e r i m e n t w i t h a p e n c i l a n d

p a p e r t o c o n v i n c e y o u r s e l f o f t h i s f a c t ! )

O u r i n t e r e s t i s i n p l a n a r g r a p h s b e c a u s e t h e y p r o v i d e a n a t u r a l w a y o f

s t u d y i n g p o l y h e d r a . I m a g i n e a p o l y h e d r a ( s a y , a c u b e ) i n 3 - d i m e n s i o n a l

s p a c e . S u r e l y i t t o o c a n b e t h o u g h t o f a s s i m p l y a c o l l e c t i o n o f v e r t i c e s ( t h e

c o r n e r s ) c o n n e c t e d b y e d g e s ! F u r t h e r m o r e , w e c o u l d t a k e o n e s i d e ( a f a c e )

o f t h i s p o l y h e d r a a n d s t r e t c h i t o u t , a s i f t h e e d g e s w e r e m a d e o f e l a s t i c , s o

a s t o e m b e d t h e p o l y h e d r a i n a 2 - d i m e n s i o n a l p l a n e . D o i n g t h i s t u r n s t h e

p o l y h e d r a i n t o a p l a n a r g r a p h , a n d a n y p o l y h e d r a c a n b e e m b e d d e d i n t h e

p l a n e i n t h i s w a y . T o g e t a b e t t e r u n d e r s t a n d i n g o f t h i s , s e e F i g u r e 2 . 2 , w h e r e

p l a n a r g r a p h e m b e d d i n g s o f t h e v e P l a t o n i c s o l i d s a r e s h o w n . ( T h e c u b e

m i g h t b e t h e e a s i e s t t o v i s u a l i z e . )

2



Tetrahedron Cube Octahedron

Dodecahedron Icosahedron

F i g u r e 2 . 2 : T h e P l a t o n i c s o l i d s i n p l a n a r g r a p h f o r m .

T h e s t u d y o f p l a n a r g r a p h s h a s a l o n g h i s t o r y i n m a t h e m a t i c s , g o i n g b a c k

t o t h e t i m e o f E u l e r ( 1 7 3 6 ) . A s a r e s u l t , t h e r e a r e m a n y k n o w n f a c t s a b o u t

p l a n a r g r a p h s . F o r e x a m p l e , E u l e r h i m s e l f p r o v e d t h a t i f v i s t h e n u m b e r o f

v e r t i c e s , e t h e n u m b e r o f e d g e s , a n d f t h e n u m b e r o f f a c e s i n a p l a n a r g r a p h ,

t h e n

v ; e + f = 2

T h i s i s k n o w n a s E u l e r ' s f o r m u l a

2

, a n d s i n c e i t a p p l i e s t o p l a n a r g r a p h s , i t

a l s o a p p l i e s t o p o l y h e d r a .

B u t l e t u s n o w t u r n o u r a t t e n t i o n t o s p e c i c e x a m p l e s o f h o w p l a n a r

g r a p h k n o w l e d g e c a n h e l p u s d e s i g n m o d u l a r o r i g a m i s t r u c t u r e s .

3 . \ C a p p e d " p o l y h e d r a m o d u l e s .

M a n y m o d u l a r f o l d s c r e a t e v e r s i o n s o f \ s t e l l a t e d " , o r \ c a p p e d " p o l y h e d r a .

T h a t i s , t h e f o r m t h e y p r o d u c e i s a p o l y h e d r a w i t h p y r a m i d s \ c a p p e d " o n

e a c h f a c e . T h e r e s u l t i s u s u a l l y a s p i k e y - l o o k i n g o b j e c t . S o m e e x a m p l e s c a n

b e f o u n d i n K a s a h a r a 5 ] .

A f t e r d e s i g n i n g s u c h a m o d u l e t h a t c o u l d p r o d u c e c a p p e d v e r s i o n s o f

a l m o s t a n y p o l y h e d r a , t h e a u t h o r w o n d e r e d w h a t w a s t h e f e w e s t n u m b e r

o f c o l o r s n e e d e d t o \ c o l o r " s u c h a n o b j e c t . B y a c o l o r i n g w e m e a n a n

2

I t i s i n t e r e s t i n g t o n o t e t h a t w h e n e v e r I s h o w M a e k a w a ' s T h e o r e m t o o t h e r m a t h e -

m a t i c i a n s , t h e i r r s t r e s p o n s e i s u s u a l l y t o t r y c o r o l l a t i n g i t t o E u l e r ' s f o r m u l a . N o r e a l

c o n n e c t i o n e x i s t s t h a t I a m a w a r e o f , b u t w h o k n o w s ?

3



a s s i g n m e n t o f c o l o r s t o t h e f a c e s o f t h e c a p p e d p o l y h e d r a s u c h t h a t n o t w o

a d j a c e n t f a c e s h a v e t h e s a m e c o l o r . S p e c i c a l l y , t h i s w o u l d b e c a l l e d a f a c e -

c o l o r i n g o f t h e p o l y h e d r a .

T h i s q u e s t i o n c a n b e a n s w e r e d r a t h e r e a s i l y u s i n g a s p e c i c c a s e o f a

t h e o r e m f r o m g r a p h t h e o r y c a l l e d B r o o k ' s T h e o r e m . T o u n d e r s t a n d i t , w e

m u s t d e n e t h e d e g r e e o f a v e r t e x i n a g r a p h t o b e n u m b e r o f e d g e s c o m i n g

o u t o f t h a t v e r t e x .

B r o o k ' s T h e o r e m ( c u b i c c a s e ) : A g r a p h i s v e r t e x - c o l o r a b l e i n 3 c o l o r s i f

i t s m a x i m u m v e r t e x d e g r e e i s 3 , u n l e s s i t i s t h e t e t r a h e d r o n .

N o t e t h a t t h i s i s a t h e o r e m a b o u t v e r t e x - c o l o r i n g s , i . e . , a n a s s i g n m e n t o f

c o l o r s t o t h e v e r t i c e s o f a g r a p h s u c h t h a t n o t w o v e r t i c e s c o n n e c t e d b y a n

e d g e h a v e t h e s a m e c o l o r . T h u s , o n e m i g h t a s k , \ H o w d o e s t h i s r e l a t e t o

f a c e - c o l o r i n g c a p p e d p o l y h e d r a ? "

S u p p o s e w e h a v e a p o l y h e d r a w h i c h w e w i s h t o c a p ( i . e . , p l a c e p y r a m i d s

o n e a c h o f i t s f a c e s ) . I f w e t h i n k o f t h i s p o l y h e d r a a s a p l a n a r g r a p h , t h e n t h e

c a p p i n g p r o c e s s a m o u n t s t o p l a c i n g a n e w v e r t e x i n e a c h o f t h e p o l y h e d r a ' s

f a c e s , a n d t h e n a d d i n g e d g e s c o n n e c t i n g t h e v e r t i c e s a l o n g t h e f a c e t o t h e

n e w v e r t e x ( s e e F i g u r e 3 . 1 ) .

F i g u r e 3 . 1 : T h e c a p p i n g o f a f a c e .

I n f a c t , i f G i s a p l a n a r g r a p h , l e t u s d e n e C ( G ) t o b e G \ c a p p e d . " T h a t

i s , C ( G ) i s t h e n e w g r a p h o b t a i n e d b y d o i n g t h e c a p p i n g o p e r a t i o n s h o w n i n

F i g u r e 3 . 1 t o e v e r y f a c e o f G . T h e n n o t i c e t h a t e v e r y f a c e o f C ( G ) w i l l b e

a t r i a n g l e , a n d t h i s i s t r u e f o r a n y p l a n a r g r a p h ( p o l y h e d r a ) t h a t w e s t a r t

w i t h .

N o w w e w i s h t o c o l o r t h e f a c e s o f C ( G ) . D o i n g t h i s w o u l d b e e q u i v a l e n t t o

c o l o r i n g t h e v e r t i c e s o f t h e d u a l o f C ( G ) . T h e d u a l o f C ( G ) , w h i c h i s d e n o t e d

C ( G )

, i s t h e n e w g r a p h o b t a i n e d b y r e v e r s i n g t h e r o l e s o f t h e v e r t i c e s a n d

f a c e s o f C ( G ) . V e r t i c e s o f C ( G ) w i l l b e f a c e s o f C ( G )

, a n d f a c e s o f C ( G ) w i l l

b e v e r t i c e s o f C ( G )

. I n t e c h n i c a l t e r m s , C ( G )

i s t h e g r a p h w h o s e v e r t e x s e t

i s t h e c o l l e c t i o n o f f a c e s o f C ( G ) , w h e r e t w o v e r t i c e s o f C ( G )

a r e c o n n e c t e d

4



b y a n e d g e i f a n d o n l y i f t h e c o r r e s p o n d i n g f a c e s i n C ( G ) a r e a d j a c e n t ( n e x t

t o e a c h o t h e r ) . F i g u r e 3 . 2 d e m o n s t r a t e s h o w t h e d u a l o f t h e c u b e i s t h e

o c t a h e d r o n .

≅

F i g u r e 3 . 2 : ( C u b e )

= O c t a h e d r o n .

B u t w h a t k i n d o f g r a p h i s C ( G )

? S i n c e e a c h f a c e o f C ( G ) w a s a t r i a n g l e ,

e a c h v e r t e x o f C ( G )

w i l l b e o f d e g r e e t h r e e ! T h u s B r o o k ' s T h e o r e m t e l l s u s

t h a t C ( G )

i s 3 v e r t e x - c o l o r a b l e . S i n c e e a c h v e r t e x o f C ( G )

c o r r e s p o n d s t o

a f a c e o f C ( G ) , t h i s p r o v e s t h a t C ( G ) c a n b e f a c e - c o l o r e d u s i n g o n l y t h r e e

c o l o r s .

A n o t h e r i n t e r e s t i n g f a c t i s t h a t t h e s t r u c t u r e o f C ( G ) c a n b e u n d e r s t o o d

v e r y w e l l , n o m a t t e r w h a t p o l y h e d r o n G i s . R e c a l l w h a t i t m e a n s t o t r u n c a t e

a p o l y h e d r o n , i . e . , t o c h o p o e a c h c o r n e r , c r e a t i n g a n e w f a c e w h e r e t h e

c o r n e r u s e d t o b e . I n t e r m s o f a p l a n a r g r a p h , t h i s i s e q u i v a l e n t t o r e p l a c i n g

e a c h v e r t e x o f d e g r e e n w i t h a n n - g o n , a s i l l u s t r a t e d i n F i g u r e 3 . 3 . I n f a c t ,

l e t u s d e n e T ( G ) t o b e t h e g r a p h o b t a i n e d b y t r u n c a t i n g a l l t h e v e r t i c e s o f

G

F i g u r e 3 . 3 : T h e t r u n c a t i o n o f a v e r t e x .

I t i s l e f t a s a n e x e r c i s e t o t h e r e a d e r t o p r o v e t h a t i f G i s t h e p l a n a r g r a p h

o f a p o l y h e d r a , t h e n

C ( G )

=

T ( G

)

T h a t i s , t h e d u a l o f t h e G c a p p e d i s c o n g r u e n t ( t h e s a m e a s ) t h e t r u n c a t i o n o f

t h e d u a l o f G . T h i s h a n d y l i t t l e f a c t m e a n s t h a t t o f a c e - c o l o r a c a p p e d c u b e ,

f o r e x a m p l e , o n e c o u l d e q u i v a l e n t l y v e r t e x - c o l o r a t r u n c a t e d o c t a h e d r o n .

4 . C u b i c s k e l e t o n m o d u l e s .

I n t h e a b o v e s e c t i o n w e s a w h o w c a p p e d p o l y h e d r a a r e r e l a t e d t o g r a p h s

i n w h i c h e a c h v e r t e x i s o f d e g r e e 3 . A g r a p h w i t h o n l y d e g r e e 3 v e r t i c e s i s

5



c a l l e d a c u b i c g r a p h . C u b i c g r a p h s p l a y a c e n t r a l r o l e i n p l a n a r g r a p h t h e o r y

( a s w e w i l l s e e b e l o w ) , a n d i t i s i n t e r e s t i n g t h a t m a n y m o d u l a r o r i g a m i u n i t s

a r e \ c u b i c " a s w e l l . T h a t i s , w e c a l l a m o d u l a r u n i t c u b i c i f i t t a k e s t h r e e

u n i t s t o f o r m a c o r n e r , o r v e r t e x , o f t h e u n d e r l y i n g p o l y h e d r a . T h e S o n o b e

u n i t ( s e e 6 ] ) i s o n e e x a m p l e o f a c u b i c u n i t .

O n e l a r g e c l a s s o f c u b i c m o d u l e s a r e w h a t J e n n e n i e M o s l e y r e f e r s t o a s

\ z i g - z a g " m o d u l e s . T h e y i n v o l v e a c c o r d i o n - p l e a t i n g a s q u a r e i n t o t h i r d s o r

f o u r t h s t o c r e a t e a s t r i p . T h i s s t r i p t h e n h a s \ p o c k e t s " o n b o t h o f i t s l o n g

s i d e s . W h e n t h e s t r i p i s f o l d e d t o p r o d u c e a p s f o r t h e s e p o c k e t s , a n y o n e o f

a n u m b e r o f d i e r e n t m o d u l e s c a n b e t h e r e s u l t . T h r e e e x a m p l e s w h i c h c a n

b e f o l d e d f r o m a s q u a r e a c c o r d i a n - p l e a t e d i n t o f o u r t h s a r e s h o w n i n F i g u r e

4 . 1 .

Type I (R. Neale) Type II (T. Hull)

Type III (S. McIntyre)

F i g u r e 4 . 1 : T h r e e z i g - z a g m o d u l e s .

T h e s e m o d u l e s c a n b e u s e d t o p r o d u c e \ s k e l e t o n s " o f p o l y h e d r a , i . e . , t h e

u n i t s p l a y t h e r o l e o f t h e p o l y h e d r a ' s e d g e s . N e a l e ' s t y p e I m o d u l e i s t h e

m o s t i n e x i b l e o f t h e t h r e e . W h e n t h r e e a r e i n t e r l o c k e d , t h e y f o r c e a r i g i d

a n g l e w h i c h c a n o n l y p r o d u c e t h e s k e l e t o n o f a d o d e c a h e d r o n . T y p e s I I a n d

I I I o e r m o r e v a r i e t y . T y p e I I c a n g e n e r a t e s k e l e t o n s o f a n y p o l y h e d r a w i t h

n e i t h e r t r i a n g u l a r n o r s q u a r e f a c e s . M c I n t y r e ' s t y p e I I I u n i t p r o d u c e s o n l y

p o l y h e d r a i n w h i c h e v e r y f a c e h a s a n e v e n n u m b e r o f s i d e s .

O n e r e a s o n s u c h m o d u l e s a r e o f i n t e r e s t i s b e c a u s e t h e y o e r u s a f u n

a n d e a s y w a y t o e x p l o r e e d g e - c o l o r i n g s o f c u b i c p l a n a r g r a p h s . A n e d g e -

c o l o r i n g i s s i m i l a r t o v e r t e x a n d f a c e - c o l o r i n g s o n e c o l o r s t h e e d g e s o f t h e

g r a p h s o t h a t n o e d g e s w h i c h m e e t a t a v e r t e x a r e o f t h e s a m e c o l o r . I n

a c u b i c p l a n a r g r a p h , e a c h v e r t e x h a s t h r e e e d g e s c o m i n g o u t o f i t , s o o n e

m i g h t h o p e t h a t w e c o u l d a l w a y s g e t a w a y w i t h u s i n g o n l y t h r e e c o l o r s t o

p r o p e r l y c o l o r a c u b i c m o d u l a r s t r u c t u r e .

I n f a c t , w e c a n a l w a y s g e t a w a y w i t h t h r e e c o l o r s , b u t i t i s b y n o m e a n s

e a s y t o s e e w h y . T h i s p r o b l e m , w h e t h e r o r n o t w e c a n c o l o r t h e e d g e s o f

6



a c u b i c p l a n a r g r a p h w i t h o n l y t h r e e c o l o r s , t u r n s o u t t o b e e q u i v a l e n t t o

t h e f a m o u s F o u r C o l o r T h e o r e m , a t h e o r e m w i t h o n e o f t h e m o s t n o t o r i o u s

h i s t o r i e s i n m a t h e m a t i c s !

3

T h u s t h e p o s s i b i l i t y e x i s t s t h a t b y 3 - c o l o r i n g c u b i c m o d u l a r w o r k s , f u r t h e r

l i g h t m i g h t b e t h r o w n o n t h e s e a r c h f o r a s h o r t p r o o f o f t h e F o u r C o l o r

T h e o r e m . H o w t h i s c o u l d p o s s i b l y h a p p e n i s a n o t h e r m a t t e r . B u t c o n s i d e r

t h e e x e r c i s e o f 3 - c o l o r i n g t h e e d g e s o f a d o d e c a h e d r o n , w h i c h c a n e a s i l y b e

r e a l i z e d u s i n g u n i t t y p e I i n F i g u r e 4 . 1 . W h e n t h i s d o n e , t h e o b s e r v a n t f o l d e r

m i g h t n o t i c e t h a t n o m a t t e r h o w y o u c o l o r i t , t h e p e n t a g o n a l f a c e s w h i c h a r e

o p p o s i t e e a c h o t h e r a l w a y s h a v e t h e s a m e c o l o r p a t t e r n ! T h i s f a c t i s n o t

e a s i l y n o t i c e d w h e n c o l o r i n g t h e e d g e s o f t h e d o d e c a h e d r o n o n p a p e r .

M o v i n g f r o m e d g e - c o l o r i n g t o p l a n a r g r a p h s t r u c t u r e , c o n s i d e r t h e u n i t

t y p e I I i n F i g u r e 4 . 1 . T h i s u n i t l o c k s t o g e t h e r q u i t e w e l l , a n d m a d e t h e

a u t h o r w o n d e r h o w l a r g e a s t r u c t u r e c o u l d b e m a d e f r o m s u c h a u n i t . O f

c o u r s e , a d o d e c a h e d r o n c o u l d b e m a d e w i t h 3 0 u n i t s , a n d , r e m e m b e i n g t h a t

t h i s u n i t c a n p r o d u c e a n y p o l y h e d r o n w i t h o u t t r i a n g l e o r s q u a r e f a c e s , a

s o c c o r b a l l ( t r u n c a t e d i c o s a h e d r o n ) c a n b e m a d e f r o m 9 0 u n i t s . B u t w h a t

e l s e ?

T h e r e t u r n s o u t t o b e a v e r y e a s y w a y t o s t a r t w i t h t h e d o d e c a h e d r o n a n d

g e n e r a t e a n i n n i t e c l a s s o f p o l y h e d r a w i t h o n l y p e n t a g o n s a n d h e x a g o n s a s

f a c e s . L e t D b e t h e p l a n a r g r a p h o f t h e d o d e c a h e d r o n . T h e n t h e d u a l D

i s

t h e i c o s a h e d r o n ( s e e i f y o u c a n c o n v i n c e y o u r s e l f o f t h i s ! ) , a n d t h u s T ( D

) i s

t h e s o c c o r b a l l .

B u t l o o k a t w h a t t h i s p r o c e s s d i d . E a c h f a c e o f D i s a p e n t a g o n , s o e a c h

v e r t e x o f D

h a s d e g r e e 5 . W h e n t h i s d e g r e e 5 v e r t e x i s t r u n c a t e d , i t w i l l

p r o d u c e a p e n t a g o n a l f a c e ! T h u s t h e o p e r a t i o n

D ! T ( D

)

p r e s e r v e s p e n t a g o n a l f a c e s ( s e e F i g u r e 4 . 2 ) . B u t w h e r e d i d t h e h e x a g o n s

p r e s e n t i n T ( D

) , t h e s o c c o r b a l l , c o m e f r o m ? W e l l , e a c h v e r t e x o f D h a s

d e g r e e 3 , w h i c h t u r n s i n t o a t r i a n g u l a r f a c e i n D

I n T ( D

) e v e r y v e r t e x o f

t h i s t r i a n g l e h a s b e e n t r u n c a t e d , r e s u l t i n g i n a h e x a g o n f a c e ! T h u s w h e n w e

3

T h e F o u r C o l o r T h e o r e m s t a t e s t h a t a n y p l a n a r g r a p h c a n b e v e r t e x - c o l o r e d u s i n g

o n l y 4 c o l o r s . I t w a s a n o p e n c o n j e c t u r e f o r a h u n d r e d y e a r s , u n t i l A p p e l a n d H a k e n

p r o v e d i t i n 1 9 7 7 b y b r e a k i n g t h e p r o b l e m d o w n i n t o 1 9 3 6 c a s e s a n d c h e c k i n g e a c h o f

t h e s e b y c o m p u t e r . T h u s t h e F o u r C o l o r T h e o r e m w a s t h e r s t \ c o m p u t e r p r o o f . " S e e 8 ]

a n d 9 ] f o r m o r e i n f o r m a t i o n

7



p e f o r m D ! T ( D

) , e a c h p e n t a g o n f a c e r e m a i n s a p e n t a g o n a n d e a c h v e r t e x

b e c o m e s a h e x a g o n .

F i g u r e 4 . 2 : T h e r e l a t i o n b e t w e e n D a n d T ( D

)

T h e n w h a t w i l l T ( T ( D

)

) b e ? E a c h p e n t a g o n o f T ( D

) w i l l r e m a i n a

p e n t a g o n , a n d a s i m i l a r a r g u m e n t s h o w s t h a t t h e h e x a g o n s o f T ( D

) w i l l

r e m a i n h e x a g o n s t o o . B u t e a c h v e r t e x ( s t i l l o f d e g r e e 3 ) o f T ( D

) w i l l c r e a t e

a n e w h e x a g o n i n T ( T ( D

)

) , t h u s p r o d u c i n g a n e w , b i g g e r p o l y h e d r a s t i l l

h a v i n g o n l y p e n t a g o n s a n d h e x a g o n s a s f a c e s . T h i s p r o c e s s c a n b e c o n t i n u e d

t o p r o d u c e a n i n n i t e f a m i l y o f s u c h p o l y h e d r a .

I t i s a s i m p l e e x e r c i s e t o s h o w t h a t i f G h a s n e d g e s , t h e n T ( G

) h a s

3 n e d g e s . T h u s , t h e n u m b e r o f t y p e I I u n i t s n e e d e d t o c r e a t e a n y o f t h e s e

s t r u c t u r e s i s e a s y t o c a l c u l a t e . T h e r s t f o u r a r e g i v e n i n t h e b e l o w t a b l e .

D 3 0 u n i t s

T ( D

) 9 0 u n i t s

T ( T ( D

)

) 2 7 0 u n i t s

T ( T ( T ( D

)

)

) 8 1 0 u n i t s

T h e a u t h o r h a s c o n s t r u c t e d t h e t h i r d i t e r a t i o n s p h e r e ( 8 1 0 u n i t s ) f r o m

2 - i n c h a n d 3 - i n c h p a p e r . T h e y h o l d t o g e t h e r q u i t e w e l l .

5 . C o n c u l s i o n ?

W e h o p e t h e r e a d e r i s c o n v i n c e d b y t h e s e e x a m p l e s t h a t k n o w l e d g e o f

p l a n a r g r a p h t h e o r y c a n l e a d t o a d e e p e r u n d e r s t a n d i n g o f p o l y h e d r a l s t r u c -

t u r e , a n d t h u s a d e e p e r u n d e r s t a n d i n g o f t h e p o t e n t i a l s o f m o d u l a r o r i g a m i .

I n f a c t , t h e a u t h o r ' s e x p e r i e n c e h a s b e e n t h a t o n l y a f t e r s t u d y i n g t h e l i n k s

8



b e t w e e n p l a n a r g r a p h s a n d m o d u l a r o r i g a m i w a s h e a b l e t o s t a r t d e s i g n i n g

m o d u l a r u n i t s o f h i s o w n . A l s o , w e h a v e o n l y t o u c h e d u p o n a f e w e x a m -

p l e s h e r e . T h e r e a d e r i s e n c o u r a g e d t o e x p l o r e t h e \ h i d d e n g r a p h " s t r u c t u r e

u n d e r l y i n g a l l m o d u l a r o r i g a m i w o r k s .

R e f e r e n c e s

1 ] D . B a r n e t t e . M a p C o l o r i n g , P o l y h e d r a , a n d t h e F o u r - C o l o r P r o b l e m ,

T h e M a t h e m a t i c a l A s s o c i a t i o n o f A m e r i c a , ( 1 9 8 3 ) .

2 ] J . A . B o n d y a n d U . S . R . M u r t y . G r a p h T h e o r y w i t h A p p l i c a t i o n s , N o r t h

H o l l a n d , N e w Y o r k , ( 1 9 7 6 ) .

3 ] G . C h a r t r a n d a n d L . L e s k i a k . G r a p h s a n d D i g r a p h s , 2 n d e d . , W a d s w o r t h

& B r o o k s / C o l e , P a c i c G r o v e , ( 1 9 8 6 ) .

4 ] T . F u s e . U n i t O r i g a m i , J a p a n P u b l i c a t i o n s , N e w Y o r k , ( 1 9 9 0 ) .

5 ] K . K a s a h a r a . O r i g a m i O m n i b u s , J a p a n P u b l i c a t i o n s , N e w Y o r k , ( 1 9 8 8 ) .

6 ] K . K a s a h a r a a n d T . T a k a h a m a . O r i g a m i f o r t h e C o n n o i s s e u r , J a p a n

P u b l i c a t i o n s , N e w Y o r k , ( 1 9 8 7 ) .

7 ] A . L o e b . S p a c e S t r u c t u r e s , A d d i s o n - W e s l e y , R e a d i n g , ( 1 9 7 6 ) .

8 ] T . S a a t y a n d P . K a i n e n . T h e F o u r - C o l o r P r o b l e m : A s s a u l t s a n d C o n -

q u e s t s , M c G r a w - H i l l , N e w Y o r k , ( 1 9 7 7 ) .

9 ] R . S t e i n b e r g . \ T h e S t a t e o f t h e T h r e e C o l o r P r o b l e m " i n Q u o V a d i s ,

G r a p h T h e o r y ? , G i m b e l , K e n n e d y , a n d Q u i n t a s e d s . , A n n a l s o f D i s c r e t e

M a t h e m a t i c s , V o l . 5 5 , p p . 2 1 1 - 2 4 8 , ( 1 9 9 3 ) .

9

Documents

poliedros y graficas[1]