Potentialtöpfe und Potentialbarrieren - KIT - LTI · 3 V(x)-V 0-L/2 L/2 Potentialtopf: E>0, Kontinuumslösungen Klassisch für E>0: Teilchen rauscht über den Topf hinweg (wird beschleunigt

1

Potentialtöpfe und Potentialbarrieren

0

0 0( ) 0

0

für xV x V für x a

für x a

<= ± ≤ ≤ >

V0V0

-V0<0 V0>0

„Potentialtopf“ „Potentialbarriere“

0

- lokalisierte, gebundene Zustände, die so ähnlich aussehen wie beim Potentialtopfmit unendlich hohen Wänden

Der endliche Potentialtopf: Gebundene Lösungen

V(x)

x-L/2 L/2

V(x)

x-L/2 L/2

0

0 : / 2( )

: / 2x L

V xV x L

>= − >

V(x)

-V0

-L/2 L/2

1. Fall: V=-V0, E<0

http://www.falstad.com/qm1d/

2


Die diskrete Natur der Lösungen ergibt sich jetzt wieder aus den Stetigkeitsbedingungen:

( / 2) ( / 2) '( / 2) '( / 2)

( / 2) ( / 2) '( / 2) '( / 2)I II I II

II III II III

L L L L

L L L L

ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ

− = − − = −

= =

4 Gleichungen für die 4 Unbekannten

, , , (mit k bzw. als Parameter)α β γ γ κ+ −

Gleichungssystem hinschreiben

Determinante = 0 setzen

Bedingungen für k bzw. κ2 2 0

2

tan für symm. (cosinusartig)2

cot für antisymm. (sinusartig)2

2mVWeiterhin gilt: +k =

kLk

kLk

C

κ ψ

κ ψ

κ

= =

=h

0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

WineV

x in nm

|ΨW2 |2

|ΨW1 |2

0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

WineV

x in nm

|ΨW2 |2

|ΨW1 |2

0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

WineV

x in nm

|ΨW2 |2

|ΨW1 |2

-L/2 L/2


-Stetigkeitsbedingungen werden nur für -diskrete k erfüllt:

→endliche Anzahl von Wellenfunktionen mit diskreten Energiewerten

cos( )2( )

cos( )exp ( )2 2

2

g

LA kx für xu x L L

A k x Lfür x

κ

≤= − >

Symmetrische (gerade) Lösungen:

Antisymmetrische (ungerade) Lösungen:

sin( )2( )

sin( )exp ( )2 2

2

u

LB kx für xu x L L

B k x Lfür x

κ

≤= − >

-im Gegensatz zur klassischen Lösungendliche Aufenthaltswahrscheinlichkeitausserhalb der Topfes !!

„Teilchen tunnelt aus dem Topf heraus “

„Quantenmechanischer Tunneleffekt“

0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

WineV

x in nm

|ΨW2 |2

|ΨW1 |2

0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

WineV

x in nm

|ΨW2 |2

|ΨW1 |2

0 0.5 1 1.5 2

0

0.5

1

1.5

2

WineV

x in nm

|ΨW2 |2

|ΨW1 |2

-L/2 L/2

3

V(x)

-V0

- L/2

V(x)

-

-L/2

Potentialtopf: E>0, Kontinuumslösungen

Klassisch für E>0:

Teilchen rauscht über den Topf hinweg (wird beschleunigt und dann wieder abgebremst)

Quantenmechanisch für E>0:

Aus ( ) sin( )exp ( )2 2

wird

( ) sin( )sin( '( )) 2 2

gedämpft

Kontinuum

L Lx B k x

L Lx B k x

ψ κ

ψ κ

= −

= −

Qualitatives Bild der Lösungen:

wobei 20

2

2=

mVkκ −h

Periodische Lösungen auch ausserhalb des Topfes.

Potentialtopf: E>0, instationäre Lösungen

Ansatz für die Lösung also:

exp( ) exp( ) : / 2( ) exp( ' ) exp( ' ) : -L/2 L/2

exp( ) exp( ) : / 2

ikx ikx x Lx ik x ik x x

ikx ikx x L

α αψ γ γ

β β

+ −

+ +

+ −

+ − < −= − − < < + − >

..ergibt eine üble Rechnerei.

Typischere Situation: Elektron kommt nur einer Seite: Ebene Welle läuft von links nach rechts

Die Rechnerei ist damit immer noch heftig.

Was interessiert uns denn eigentlich ?

Ähnlich zur Optik sind die Reflexions- und der Transmissionskoeffizienten (die Ströme)relevant.

1

R T

(R+T=1)

V(x)

-C

a

V(x)

-C

0

4


V(x)

-C

a

V(x)

-C

02 20 1

0 0

sin ( 2 ( ) / )( 0) (1 )

4( / )( / 1)m E V a

T EE V E V

−+> = +

+h

1

R T2 2

2 2; T Rβ α

α α

+ −

+ += =

2

2mEε = h

'n

kaπ

=Resonanzen für

also immer dann, wenn die halbe Materiewellenlänge(oder ein ganzzahliges Vielfaches in den Potentialtopfhineinpasst)


Ähnliches Verhalten wie beim Durchgang von Licht (=elektromagnetische Welle)durch ein Fabry-Perot-Interferometer:

5

Potentialbarriere

V0

E<V0:

Klassisch würde das Elektron an der Barriere mit 100%iger Wahrscheinlichkeitreflektiert werden.

Quantenmechanisch „durchtunnelt“ es mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit die Barriere

2 20 1

00 0

sinh ( 2 ( ) / )( ) (1 )

4( / )(1 / )m V E a

T E VE V E V

−−< = +

−h

Tunneleffekt in Reinkultur

denn:

Potentialbarriere

-hinter der Potentialstufe nach rechts laufende Welle mit räumlich konstanterAufenthaltswahrscheilichkeit

-vor der Potentialstufe bildet sich durch Interferenz von hinlaufender und reflektierter Welle eine räumlich periodische Aufenthaltswahrscheinlichkeit aus

6

http://www.people.fas.harvard.edu/~hanneke/wavepack/

Für die Stromdichte gilt dann:

Sehr starke Feldabhängigkeit, hohe Nichtlinearität des Bauelementes

VF

d=

Anwendung von Potentialtopf und -barriere: Die Tunneldiode

7

Für die Stromdichte gilt dann:

Sehr starke Feldabhängigkeit, hohe Nichtlinearität des Bauelementes

VF

d=



Metall-Isolator-Tunneldiode

Zener-Diode zur SpannungsstabilisierungTunneldiode in Mikrowellenschaltkreisen

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Anwendung von Potentialtopf und -barriere: Die resonante Tunneldiode

statt „normaler“ Dioden-kennlinie

-Bereich mit negativem differentiellen Widerstand

Anwendung von Potentialtopf und -barriere: Die resonante Tunneldiode

9

Anwendung von Potentialbarriere: Das Rastertunnelmikroskop

Die Potentialbarriere

V0

E>V0

2 20 1

00 0

sin ( 2 ( ) / )( ) (1 )

4( / )( / 1)m E V a

T E VE V E V

−−> = +

−h

Gibt im Prinzip genau die Lösung wie beim Potentialtopf für E>0:

V0

10

Der harmonische Oszillator

-ein weiteres exakt lösbares und immer wieder auftauchendes Problem. (Fast) allePotentiale können in erster Näherung als parabolisch beschrieben werden.

- Oszillatoren ... schwingende Gebilde

auch eine Frage in diesem Zusammenhang: Was sind eigentlich Photonen und Phononen ?

z.B. Si

- Wackelnde Atome in Kristallgittern

- Oszillierende elektromagnetische Felder

Der harmonische Oszillator: Klassisch

( )F x Gx= −

Klassisch: Rückstellkraft ist proportional zur Auslenkung von der Ruheposition

/F dV dx= − 2( )2G

V x x=oder wegen als Potential geschrieben

x

Klassische Bewegungsgleichung:

22

2 0d x

xdt

ω+ =Gm

ω =mit

11

Der harmonische Oszillator:Quantenmechanisch

x

Stationäre Schrödinger-Gleichung:

2 22

2 ( ) ( ) ( )2 2

dx x x E x

m dxω

ψ ψ ψ− + =h

...um eine handhabbare Differentialgleichung zu erzeugen, wird die Variable u eingeführt: m

u xω

= h

22

2

2( ) ( ) ( )

d Eu u u u

duψ ψ ψ

ω+ = − h

Damit ergibt sich dann

Lösungen dieser DGL kann man suchen, ...lässt man aber besser die Mathematiker finden ....


Die Lösungen haben die Form2

( ) exp ( )2n n n

uu A H uψ

= −

wobei Hn die Hermite‘schen Polynome sind:

u

E,V

0

1

22

33

4 24

1 2

( ) 1

( ) 2

( ) 4 2

( ) 8 12

( ) 16 48 12

...mit dem rekursiven Bildungsgesetz:

( ) 2 ( ) 2( 1) ( )n n n

H u

H u u

H u u

H u u u

H u u u

H u uH u n H u− −

=

=

= −

= −

= − +

= − −

12



( ) exp ( )2n n n

uu A H uψ

= −


u

E,V...wieder mal alternierend symmetrischeund antisymmetrische Wellenfunktionen.



( ) exp ( )2n n n

uu A H uψ

= −


u

E,V

Für die Energieeigenwerte gilt:

1( )

2E n ω= + h

Im Gegensatz zu den rechteckigenPotentialtöpfen äquidistante Energieniveaus !

n=0,1,2...

13


u

E,V

Eigenschaften der Lösungen:

- nichtverschwindende Nullpunktsenergie

-diskrete Energieniveaus (...diesmal ohne besondere Stetigkeitsbetrachtungen „heraus“gekommen)

-äquidistante Energieniveaus

z.B. Si

Sprechweise:

„Es werden Phononen der Energie ωhangeregt.“


u

E,V

Aber:

Befindet sich das System in einem Eigenzustand ist der Erwartungswert <x>=0.

Oszillationen ähnlich dem klassischen Verhalten ergeben sich wieder nur durchdie Überlagerung von Eigenzuständen zu Wellenpaketen.

Dem klassischen Oszillator am nächsten kommen die „kohärenten“ Zustände:

0

( , ) exp ( )nnnn

n

Ex t c i t xψ ψ

∞

=

= −

∑ hmit

exp( )!

n

nn

n nc

n−

=

Dies ergibt eine Poisson-Verteilung mit

dem Mittel n und der Standardabweichung n.

14

http://www-troja.fjfi.cvut.cz/~ladi/HO/

Quantisierung des elektromagnetischen Feldes

Klassische Energie des harmonischen Oszillators:

2 22

2 2p m

E H xm

ω= = +

Eine ähnliche Relation gilt für das elektromagnetische Feld.

2 2

000

1 12

L

W E B dxεµ

= +

∫

ur ur

Für die Energie einer stehenden elektromagnetischen Wellen in einem Hohlraum gilt:

15

u

E,V

Quantisierung des elektromagnetischen Feldes

Klassisch:

Feldstärke der Felder kann kontinuierlich erhöht werden

ωh

Quantenmechanisch:

Energie des Feldes kann wie beim harmonischen Oszillator nurin Portionen von

aufgenommen und abgegeben werden:

„Photonen“

Quantenmechanische Probleme in 3D

x

y

z

2 2

2 ( ) ( ) ( ) ( )2

dx V x x E x

m dxψ ψ ψ− + =

hzu lösen ist dann die dreidimensionale S.-Glg:

22 ( ) ( ) ( ) ( )

2r V r r E r

mψ ψ ψ− ∇ + =

r r r rh

Nehmen wir den dreidimensionalen harm. Oszi.:3

2

1

( )2 i i

i

mV r xω

=

= ∑r

Das Potential ist somit additiv

( ) ( ) ( ) ( )V r f x g y h z= + +r

16


1 2 3

3

1

( ) ( ) ( ) ( )

( )i ii

V r f x f y f z

f x=

= + + =

∑

rBei einem additiven Potential ist die S.-Glg. separierbar:

3

1 2 31

( , , ) ( ) ( ) ( ) ( )i ii

x y z x y z xψ ψ ψ ψ ψ=

= = ∏

Produktansatz:

2 2 2 2

1 2 3 1 2 3 1 2 32 2 2

1 2 3

( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( )2

( ) ( ) ( )

x y z f x f y f z x y zm x y z

E x y z

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ

∂ ∂ ∂− + + + + + =

∂ ∂ ∂h

Einsetzen in die Schrödinger-Gleichung ergibt:

2

1 2 3 1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3 1 2 3

( ''( ) ( ) ( ) ( ) ''( ) ( ) ( ) ( ) ''( ))2

( ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

x y z x y z x y zm

f x f y f z x y z E x y z

ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ ψ

ψ ψ ψ ψ ψ ψ

− + + +

+ + =

h

11

1

13

1

12

1

2 ''( )( )

(( ) (

''( )( )

''( )( )

( ) )) ()

2 zx y

zf z E

zy

f Em

E Ey

xx

yx

fψψ

ψ ψ ψψ

− + + + + + = = + +h


D.h. die Funktionen müssen die eindimensionalen S.-Glg. erfüllen. Die dreidimensionale Lösung ergibt sich dann als Produkt der 1D-Lösungen.

Gleichung muss gelten für alle x,y,z. Daher muss auch einzeln gelten:

2 21

1 1 1 1 112 2''( )

( ) ''( ) ( ) ( ) ( )( ) x x

xf x E x f x x E x

xm mψ

ψ ψ ψψ

− + = ⇔ − + =h h

etc. etc.

Für die Energieeigenwerte gilt in diesem Fall:3

, ,1

1( )

2n nynx ny nz ii

nzx iEEE nE ω=

= + + = +∑hZustände:

( , , ( )( )) ( ) nnx n zyxz zyx y ψψψψ =

Sprechweise: Zustand wird beschrieben durch die drei Quantenzahlen nx,ny,nz

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0,0,0

Der dreidimensionale harmonische Oszillator

x

y

z

Falls ωi für alle Raumrichtungen gleich ist, dann ergeben sich entartete Zustände:

0

[ ] E ωh

1 1,0,0 0,1,0 0,0,1

2 1,1,0 0,1,1 1,0,1

nicht entartet

3-fach entartet

6-fach entartet

3

0,0,22,0,0 0,2,0

Ende 17.11.03

4

Einfache Notation in Dirac-Schreibweise: , ,nnx ny zψ =

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