Anfänger-Praktikum II

Praktikumsbericht:

SchwingkreisSchwingungssiebe

Michael SeidlingTimo Raab

Sommersemester13. Juli 2012

Inhaltsverzeichnis

Inhaltsverzeichnis

1 Einführung 3

2 Grundlagen 32.1 Gleichstromwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.2 Wechselstromwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2.2.1 Ein Ohmscher Widerstand im Wechselstrom . . . . . . . . . . . . 42.2.2 Ein Kondensator im Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . 42.2.3 Eine Spule im Wechselstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.3 Ladevorgang eines Kondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.4 Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4.1 elektrische Feldenergie eines Kondensators . . . . . . . . . . . . . 82.4.2 magnetische Feldenergie einer Spule . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5 Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.5.1 Schwingungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.5.2 Erzwungene Schwingung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.6 induktive Kopplung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.7 RC-Hochpass/Tiefpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.8 LC-Hochpass/Tiefpass . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

3 Versuch 143.1 Aufbau & Durchführung Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3.1.1 Versuchsteil 1: langsame angestoßene gedämpfte Schwingungen . . 143.1.2 Versuchsteil 2: angestoßene gedämpfte Schwingungen . . . . . . . 143.1.3 Versuchsteil 3: erzwungene Schwingungen, Resonanzkurven und

Phasenverschiebung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143.2 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3.2.1 Versuchsteil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153.2.2 Versuchsteil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163.2.3 Versuchsteil 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.3 Aufbau & Durchführung Schwingungssiebe . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3.1 Versuchsteil 1: Zeitkonstante eines RC-Gliedes . . . . . . . . . . . 183.3.2 Versuchsteil 2: RC-Hoch- und -Tiefpass . . . . . . . . . . . . . . . 183.3.3 Versuchsteil 3:LC-Hoch- und -Tiefpass . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.4 Auswertung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4.1 Berechnung der Zeitkonstanten τ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.4.2 Durchlasskurven der RC- / LC-Kombinationen . . . . . . . . . . . 19

3.5 Fehlerbetrachtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Fragen & Aufgaben 23

5 Anhang 25Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

2

2 GRUNDLAGEN

1 Einführung

Im Versuch”Elektrischer Schwingkreis“ soll untersucht werden, wie eine Umwandlung

zwischen elektrostatischer Energie und magnetischer Energie abläuft. Ebenso wird derEinfluss von Dämpfung und einer äußeren Kraft betrachtet.In dem Versuch

”Schwingungssiebe“ sollen verschiedene Kombinationen von Spulen, Wi-

derständen und Kondensatoren beobachtet werden. Insbesondere geht es darum, dass beieinem beliebigen Wechselstromsignal, mit Hilfe einer geeigneten Schaltung, bestimmteFrequenzanteile

”ausgewählt“ werden können.

2 Grundlagen

2.1 Gleichstromwiderstand

Wenn man Gleichstrom durch einen Leiter schickt, der dem Ohmschen Gesetz folgt,dann sieht man, dass das Verhältnis der Spannung U und der Stromstärke I einen kon-stanten Wert ergibt. Dieser Wert ist abhängig von den Eigenschaften des Leiters undheißt Gleichstromwiderstand R. Diesen Wert kann man auch über die geometrischenAbmessungen des Körpers, wie in Bild (1) zu sehen ist, und einer Materialkonstanten,dem spezifischen Widerstand ρ, bestimmen:

R =U

I= const. (1)

R = ρl

A(2)

Abbildung 1: Abmessungen des Leiters

2.2 Wechselstromwiderstand

Wenn man an einen Widerstand nun Wechselstrom anschließt, ändert sich permanent dieMomentanspannung am Widerstand. Bei sinusförmigem Wechselstrom ist der Quotientvon der effektiv Spannung Ueff und der effektiven Stromstärke Ieff der Scheinwieder-stand Z.

Z =UeffIeff

(3)

3

2 GRUNDLAGEN

Da es zu einer Phasenverschiebung ϕ zwischen maximaler Spannung und maximalerStromstärke kommen kann, wird der Scheinwiderstand als komplexe Zahl betrachtet undwird Impedanz Z genannt:

Z = Z · ejφ (4)

In der komplexen Zahlenebene kann man die Impedanz auftragen und erhält somit diekomplexe Widerstandsebene mit:

Z = R + jX (5)

Wobei R =

2 GRUNDLAGEN

Man sieht, dass der Strom neben seiner Ursprungsspannungsamplitude noch von derKapazität C sowie der Kreisfrequenz ω abhängt. Der Kondensator beeinflusst also dasVerhältnis zwischen Spannungsamplitude und Stromamplitude. Man kann also behaup-ten, dass der Kondensator einen Widerstand für Wechselstrom hat. Man nennt ihn

”ka-

pazitiven Blindwiderstand“ XC :

XC =1

ωC(12)

Zudem erkennt man, dass die Spannung am Kondensator der Erregerspannung unddem Strom um π

2verschoben folgt. Man kann um leichter zu rechnen den kapazitiven

Blindwiderstand auch schreiben:

XC =−iωC

(13)

2.2.3 Eine Spule im Wechselstrom

Liegt an einer Spule eine Gleichspannung an, wird ein Magnetfeld im inneren der Spuleaufgebaut, nach dem Faradayschen Induktionsgesetz gilt:

UL(t) = −nΦ̇(t) (14)

= −nd(B(t)A)dt

(15)

= −nµ0µrn2

lAİL(t) (16)

= −LİL(t) (17)

wobei L := µ0µrn2

lA die Induktivität der Spule ist.n die Windungszahl, A die Fläche

und l die Länge der Spule. µ0 ist die magnetische Feldkonstante und µr die Permeabi-litätszahl. B ist die Magnetische Flussdichte und Φ der magnetische Fluss.Haben wir nun den selben Stromverlauf, wie bei dem Kondensator oder dem OhmschenWiderstand ergibt sich:

IL(t) = I0 sin(ωt) (18)

⇒ UL(t) = I0Ld(sin(ωt))

dt(19)

= I0lω sin(ωt+π

2) (20)

Man sieht, wie bei dem Kondensator, dass das Verhältnis zwischen Spannungsamplitudeund Stromamplitude beeinflusst wird. Man hat nun einen induktiven BlindwiderstandXL

XL = ωL (21)

bzw. = iωL (22)

um wieder einfacher mit der Phasenverschiebung umgehen zu können.

5

2 GRUNDLAGEN

Betrachtung im Komplexen Bisher wurde nur gesagt, dass man den Blindwiderstandals Imaginärteil betrachten soll. Um damit aber anständig zu rechnen sollte man denStrom und die Spannung auch umschreiben:

I(t) = I0eiωt (23)

UR(t) = RI0eiωt (24)

UC(t) =−iωC

I0eiωt (25)

UL(t) = iωLI0eiωt (26)

Für die reale Spannung und Stromstärke ist nur den Realteil ausschlaggebend. DerVorteil der komplexen Betrachtung liegt darin, dass man sich nicht mit Phasenverschie-bungen auseinandersetzen muss und dass man ganz einfach den komplexen Gesamtwie-derstand einer Schaltung berechnen kann. Diese Größe bezeichnet man als ImpedanzZ:

Z = R + iX (27)

Wobei R =

2 GRUNDLAGEN

gilt:

UQuelle(t) = U0 beim Ladevorgang (31)

UQuelle(t) = 0 beim Entladevorgang (32)

UR(t) = R · I(t) (33)= R · Q̇(t) (34)

UC =Q(t)

C(35)

wobei U0 die angelegte Spannung, R der Ohmsche Widerstand und C die Kapazität desKondensators ist. Da die Spannungen nach dem 2. Kirchhoffschen Gesetz in Verbindungzueinander stehen, erhält man folgende Differentialgleichung:

UQuelle = UR + UC (36)

⇒ UQuelle = R · Q̇(t) +Q(t)

C(37)

Diese Differentialgleichung löst man mit exponentiellem Ansatz und erhält:

UQuelle = U0 ·(

1− e−tRC

)(38)

und für den Entladevorgang gilt:

UQuelle = U0 · e−tRC (39)

Man stellt fest, dass RC eine zeitlich Konstanter Wert ist und nur von der Art derBauteile abhängt. Man nennt sie Zeitkonstante des RC-Gliedes τ . Sie sagt, dass nachder Zeit τ der Ladevorgang zu 1− 1

eabgeschlossen ist.

Abbildung 3: (Ent-)Ladekurve eines Kondensators

7

2 GRUNDLAGEN

2.4 Energie

2.4.1 elektrische Feldenergie eines Kondensators

Ein Kondensator besteht aus 2 nicht miteinander verbundenen Elektroden. Er besitztdie Fähigkeit elektrische Ladung zu speichern. Somit wird ein Elektrisches Feld zwischenden Elektroden aufgebaut, in dem Energie gespeichert ist.Zwischen den beiden Elektroden liegt eine Spannung U an, diese ist proportional zurLadung Q auf der Elektrode:

C =Q

U= const. (40)

Wobei C die Kapazität des Kondensators ist.Bei dieser Spannung U ist dann die Feldenergie WE:

WE =1

2CU2 (41)

2.4.2 magnetische Feldenergie einer Spule

Eine Spule besteht aus Wicklungen in einem Leiter. Durch Strom, der durch diese Spulefließt, baut sich im inneren ein Magnetfeld auf. In diesem Magnetfeld ist die Energie WBgespeichert. Diese hängt von der spezifischen Eigenschaft der Spule, der Induktivität L,und der Stromstärke I ab:

WB =1

2LI2 (42)

2.5 Schwingkreis

In einem Schwingkreis ist eine Spule, mit Induktivität L, und ein Kondensator, mitKapazität C, in Reihe geschaltet. Lädt man den Kondensator auf und trennt die Strom-quelle, stellt man fest, dass die Spannung am Kondensator sinusförmig verläuft. Dasliegt daran, dass bei der Entladung des Kondensators Strom durch die Spule fließt undsich so ein Magnetisches Feld aufbaut. Nach nach der Lenzschen Regel, fließt der Strombeim Abbau des Magnetfeldes in die selbe Richtung weiter, wie in Bild (4) veranschau-licht wird, und lädt den Kondensator entgegen seiner ursprünglichen Polung wieder auf.Jedoch geht ein bisschen Energie verloren, da an der Spule aufgrund des OhmschenWiderstandes etwas Energie in Wärme umgewandelt wird.

8

2 GRUNDLAGEN

Abbildung 4: Skizze eines Schwingkreises

2.5.1 Schwingungsgleichung

Wenn man nun noch mittels eines Ohmschen Widerstandes R dämpft, erkennt man denZusammenhang:

UL(t) + UR(t) + UC(t) = 0 (43)

⇒ Q̈+ RLQ̇+

1

LCQ = 0 (44)

Damit erhält man eine homogene Differentialgleichung 2. Ordnung mit konstanten Ko-effizienten, die wir im folgenden abkürzen:

β :=R

2L(45)

ω0 :=

√1

LC(46)

wobei β die Dämpfungskonstante und ω0 die Eigenfrequenz des gedämpften Systems ist.Diese Differentialgleichung erinnert stark an die Differentialgleichungen bei der Mecha-nischen Schwingung.Wir nehmen den komplexen Ansatz:

Q(t) = Q0 · eλt (47)

wobei Q0 die Anfangsladung ist. Wir erhalten die beiden Lösungen:

Q(t) = Qo · e−βt · e±jt√ω20−β2 (48)

Aus diesen beiden Lösungen lässt sich für jedes Problem, wenn die Anfangsbedingungenbekannt sind die Lösung darstellen. Man unterscheidet in 3 Fälle:

• Schwingfall: (β2 < ω20)Es entsteht eine Schwingung, bei der die Amplitude nachlässt:

Q(t) = Q0 · e−βt · a sinωt+ ϕ (49)

9

2 GRUNDLAGEN

wobei ω =√ω20 − β2 und a undϕ zwei reelle Konstanten sind die durch die An-

fangsbedingung gegeben sind. Das gedämpfte System schwingt also mit einer klei-neren Frequenz wie das ungedämpfte System.Die Spannung am Kondensator und die Stromstärke sind auch sinusförmig, da gilt:

Uc(t) =Q(t)

C(50)

I(t) = Q̇(t) (51)

Im Experiment kann man die Dämpfungskonstante β über das LogarithmischeDekrement Λ und der Periodendauer T ermitteln:

Λ = βT (52)

wobei : Λ = lnÛn

Ûn+1(53)

• aperiodischer Grenzfall: (β2 = ω20)In diesem Fall geht die Ladung schnellst möglich gegen 0. Es kommt zu keinerSchwingung, jedoch ist ein Nulldurchgang möglich.Da die Wurzel in diesem Fall 0 ist muss man die zweite linear unabhängige Lösungnoch suchen. Dies geschieht durch Variation der Konstanten. Man erhält:

Q(t) = (a+ bt)e−βt (54)

wobei a und b durch die Anfangsbedingungen gegeben sind.

• Kriechfall: (β2 > ω20) Es gibt keine Schwingung Ladung und Spannung fallenlangsam auf 0:

Q(t) = e−βt(ae−t√ω20−β2 + bet

√ω20−β2) (55)

wobei a und b durch die Anfangsbedingungen gegeben sind.

2.5.2 Erzwungene Schwingung

Wenn man an einen Schwingkreis eine sinusförmige Wechselspannung Uerr = Uerr,0 ·sin(ωerrt) anlegt, so entsteht eine erzwungene Schwingung. Um dies zu beschreiben mussman die inhomogene Differentialgleichung lösen:

UC(t) = UC,homogen(t) + Uerr(t) (56)

limt→∞

UC(t) = Uerr(t) = UC,0 · sin(ωerrt− ϕ) (57)

mit : UC,0 = Uerr,0 ·ω20√

(ω20 − ω2err)2 + 4β2ω2err(58)

ϕ = arctan

(2βωerr

(ω20 − ω2err)

)(59)

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2 GRUNDLAGEN

wobei ϕ die Phasenverschiebung von der erregenden Schwingung zu der Eigenschwingungist. Es gibt verschiedenen Möglichkeiten einen Schwingkreis anzuregen, wie in Bild (5)gezeigt:

Abbildung 5: erzwungene Schwingung am Schwingkreis

Im Falle von der Parallelschaltung kommt es bei der Resonanzfrequenz zu einer maxi-malen Stromstärke. Bei einer Reihenschaltung ist die Spannung maximal. In jedem Fallist die Phasenverschiebung 0 und die Resonanzfrequenz ist ω =

√ω20 − 2β2

2.6 induktive Kopplung

Sind zwei oder mehrere Stromkreise durch den Magnetischen Fluss verbunden, d.h.Strom in einem der Stromkreise hat über den magnetischen Fluss Einfluss auf die anderenStromkreise und dort wird Strom induziert. wie es zum Beispiel bei einem Transformatorder Fall ist.

2.7 RC-Hochpass/Tiefpass

Eine RC-Hochpass/Tiefpass Schaltung ist eine Reihenschaltung eines Kondensators undeinem Ohmschen Widerstand. Sie unterscheiden sich lediglich an der Abnahme der Aus-gangsspannung, wie im Bild (6) gezeigt. Greift man über dem Ohmschen Widerstandab erhält man einen RC-Hochpass, über dem Kondensator einen RC-Tiefpass. Dennder Blindwiederstand eines Kondensators, wie in Gleichung (13) gezeigt, hängt von derKreisfrequenz des Erregers ab, so wird das Ausgangssignal auch frequenzabhängig. Mankann also je nach Schaltung die hohen oder die tiefen Frequenzen unterdrücken.

11

2 GRUNDLAGEN

(a) Hochpass (b) Tiefpass

Abbildung 6: RC-Schaltpläne

Für den RC-Hochpass gilt:

U3U1

=R

R +XC(60)

=R

R + 1iωC

(61)∣∣∣∣U3U1∣∣∣∣ = 1√

1 +(

1ωRC

)2 (62)Für den RC-Tiefpass gilt:

U4U1

=XC

R +XC(63)

=1iωC

R + 1iωC

(64)∣∣∣∣U4U1∣∣∣∣ = 1√1 + (ωRC)2 (65)

Man erhält nach Gleichung (30) somit eine Phasenverschiebung von:

Hochpass : ϕ = arctan

(1

ωRC

)(66)

Tiefpass : ϕ = arctan (−ωRC) (67)

Besondere Bedeutung hat die sogenannte”Grenzfrequenz“ ωgr. Dort ist der Wert für

das Verhältnis Ausgangsspannung zu Eingangsspannung genau 1√2

und aus Gleichungen

(62) und (65) folgt:

ωgr =1

RC=

1

τ(68)

12

2 GRUNDLAGEN

2.8 LC-Hochpass/Tiefpass

Ebenso ist es möglich Frequenzfilter aus einer Spule und einem Kondensator, welche inReihe geschaltet sind, bauen. Man hat wieder 2 Möglichkeiten die Spannung abzugreifen,an der Spule (Hochpass) oder am Kondensator (Tiefpass), wie in Bild (7) dargestellt.Man erhält ebenso die Gleichungen:

(a) Hochpass (b) Tiefpass

Abbildung 7: LC-Schaltpläne

LC− Hochpass :U5U1

=XL

XL +XC(69)∣∣∣∣U5U1

∣∣∣∣ = 1∣∣1− 1ω2LC

∣∣ (70)LC− Tiefpass :

U6U1

=XC

XL +XC(71)∣∣∣∣U6U1

∣∣∣∣ = 1|1− ω2LC| (72)Zu einer Phasenverschiebung, zwischen Erreger und Ausgangsfrequenz kommt es in die-sem Fall nicht.Ein besonders starkes Ausgangssignal kommt bei der Grenzfrequenz ωgr zustande, wennder Nenner 1 ergibt. Dies ist der Fall bei:

ωgr =1√LC

(73)

Es ist also nicht nur eine Filterung möglich, sondern auch eine Überhöhung des Aus-gangssignals bei idealisierten Bedingungen um ωgr.

13

3 VERSUCH

3 Versuch

3.1 Aufbau & Durchführung Schwingkreis

3.1.1 Versuchsteil 1: langsame angestoßene gedämpfte Schwingungen

Wir bauen eine Schaltung nach Bild (8) und zeichnen den Spannungsverlauf auf.

Abbildung 8: Schaltplan für Versuchsteil 1

3.1.2 Versuchsteil 2: angestoßene gedämpfte Schwingungen

In der Schaltung nach Bild (9) bestimmen wir, bei einer”Rechteck“-Spannung, für 3

verschiedene Werte von dem regelbaren Widerstand R jeweils die Schwingzeit T unddas Dämpfungsverhältnis k zweier aufeinander folgender Maxima.

Abbildung 9: Schaltplan für Versuchsteil 2

3.1.3 Versuchsteil 3: erzwungene Schwingungen, Resonanzkurven undPhasenverschiebung

In dem Schaltplan (10) sind die beiden Spulen induktiv gekoppelt wobei eine mit”Sinus“-

Spannung angeregt wird. Wir messen, bei 3 verschiedenen Werten von dem regelbarenWiderstand R, die Amplitude am Kondensator sowie die Phasenverschiebung.

14

3 VERSUCH

Abbildung 10: Schaltplan für Versuchsteil 3

3.2 Auswertung

3.2.1 Versuchsteil 1

Aus den aufgenommen Kurven bestimmen wir die Periodendauer T aus der Schreib-geschwindigkeit v und der Strecke s zwischen 2 Nullstellen. Daraus lässt sich dann dieFrequenz f bestimmen:

f =1

T=

1

v · s(74)

mit der Genauigkeit von:

δf =

∣∣∣∣∂f∂s∣∣∣∣ · δs = 1vs2 δs (75)

Und das Dämpfungsverhältnis k berechnet man aus den Verhältnis 2 aufeinanderfolgen-der Maxima:

k =MnMn+1

(76)

Für den Fehler wird die Standartabweichung genommen. Man erhält dann:

Frequenz f in δ f Theoretische Dämpfungsverhältnis δkin Hz in Hz Frequenz k

Spule 1 0,95 ±,2 0,95 1,81 ±0,09Spule 2 1,89 ±0,3 1,91 1,8 ±0,1

Tabelle 1: Dämpfungsverhältnis und Frequenz

Aus der Frequenz und dem Dämpfungsverhältnis lässt sich die Dämpfungskonstanteβ berechnen:

β = f · ln k (77)

δβ =

∣∣∣∣∂β∂k∣∣∣∣ · δk + ∣∣∣∣∂β∂f

∣∣∣∣ · δf = fk δk + ln k · δf (78)

15

3 VERSUCH

Aus β lässt sich dann mit der Induktivität L der Spule der Gesamtwiderstand desSchwingkreises berechnen:

RG = β · 2L (79)

δR =

∣∣∣∣∂RG∂β∣∣∣∣ · δβ = 2L · δβ (80)

β in N s m−1 δβ RG in Ω δRGSpule 1 0,56 ±0,16 722 ±198Spule 2 1,1 ±0,4 357 ±120

Tabelle 2: Dämpfungskonstante und Gesamtwiderstand

Der Gesamtwiderstand ist im Vergleich zu den angegebenen 280Ω bzw. 140Ω ist unsergesamte Widerstand um einiges größer. Vermutlich liegt das daran, dass die Spule warmwurde und so der Widerstand zunimmt, da der Spezifische Widerstand von Kupfer mitder Temperatur zunimmt. Natürlich haben die anderen Bauteile auch einen Widerstand,aber dieser ist so gering, dass das keine Erklärung für diese große Differenz.

3.2.2 Versuchsteil 2

Aus Gleichung 46 und der bekannten Kapazität C sowie mit der gemessenen Perioden-dauer T lässt sich die Induktivität der Spule berechnen.

C = 0, 01µFT = 66± 3µsL = T2

(2π)2C

δL =

∣∣∣∣∂L∂T∣∣∣∣ · δT = T2π2C (81)

Man erhält eine Induktivität von:

L = 11± 1, 2mF

Mit den selben Gleichungen wie bei Versuchsteil 1 berechnet man k,β und RG:

Geregelter Widerstand R Dämpfungsverhältnis k δk β δβ RG δRGin Ω in kN s m−1 in Ω50 1,8 0,2 8,6 2,1 190 44100 1,9 0,3 9,5 2,3 212 50300 2,6 0,4 14,3 2,4 319 52

Tabelle 3: Dämpfungskonstante und Gesamtwiderstand

Man sieht, dass bei dem großen Regelwiderstand das Ergebnis sehr nahe an demeingestellten Widerstand. Bei kleinen Widerständen sind die Stromstärken so groß, dassich die Leitungen erhitzen und so der Widerstand steigt.

16

3 VERSUCH

3.2.3 Versuchsteil 3

Bei dem angeregten Schwingkreis wurde die Resonanzkurve aufgenommen, zudem wurdedie Phasenverschiebung notiert.

Abbildung 11: Resonanzkurve

Man sieht, dass das Amplituden Maximum bei größeren R bei einer niedrigeren Kreis-frequenz ist als bei kleineren. Jedoch ist die Phasenverschiebung immer an der selbenStelle. Wie es nach der Theorie zu erwarten war.

Abbildung 12: Phasenverschiebung bei verschiedenen Erregerfrequenzen

17

3 VERSUCH

3.3 Aufbau & Durchführung Schwingungssiebe

3.3.1 Versuchsteil 1: Zeitkonstante eines RC-Gliedes

Wir bestimmen in dem Aufbau nach Bild (2) die Zeitkonstante τ bei 5 verschiedenenKombinationen aus Kondensatoren und Ohmschen Widerständen. Dazu benutzen wirdie Rechteckspannung am Funktionsgenerator.

3.3.2 Versuchsteil 2: RC-Hoch- und -Tiefpass

In dem Aufbau nach Bild (6) mit einem Widerstand von R = 600Ω, einem beliebigenKondensator und einer sinusförmigen Erregerspannung nehmen wir eine Durchlasskurvefür den RC-Hoch- und Tiefpass auf. Dabei messen wir die Phasenverschiebung unterhalbder Grenzfrequenz, bei der Grenzfrequenz und oberhalb der Grenzfrequenz.

3.3.3 Versuchsteil 3:LC-Hoch- und -Tiefpass

In der Schaltung nach Bild (7) mit einem Kondensator mit C ≈ 27nF , einem Wider-stand von R = 600Ω und einer beliebigen Spule messen wir das Spannungsverhältniszuerst ohne den angeschlossenen Widerstand und nehmen anschließend, mit Widerstand,ebenso die Durchlasskurven auf und bestimmen die Phasenverschiebung unterhalb derGrenzfrequenz, bei der Grenzfrequenz und oberhalb der Grenzfrequenz.

18

3 VERSUCH

3.4 Auswertung

3.4.1 Berechnung der Zeitkonstanten τ

Da wir die Halbwertszeit T 12

gemessen haben, müssen wir diesen Wert umrechnen. Nachder Halbwertszeit liegt die Hälfte der maximalen Spannung am Kondensator an. Nachder Zeit τ liegt 1

eder Maximalen Spannung an.

U(t) = U0 · (1− e−tτ ) (82)

U(T 12) =

U02

= U0 · (1− e−T 12τ ) (83)

⇒ τ =T 1

2

ln 2(84)

mit der Genauigkeit:

δτ =

∣∣∣∣∣ ∂τ∂T 12

∣∣∣∣∣ · δT 12 = δT 12ln 2 (85)Kombination

R in Ω C in nF τtheo in µs τexp in µs δτexp in µs500 44 22,0 23,1 ± 1700 44 30,8 31,7 ± 11000 44 44,0 43,3 ± 1500 25 12,5 14,4 ± 2700 25 17,5 20,0 ± 2

Tabelle 4: Theoretische und experimentell Zeitkonstanten

3.4.2 Durchlasskurven der RC- / LC-Kombinationen

Die Durchlasskurven werden logarithmisch aufgetragen. Die Genauigkeit berechnet sich:

δUEUA

=

∣∣∣∣∣∂UEUA

∂UA

∣∣∣∣∣ · δUA +∣∣∣∣∣∂

UEUA

∂UE

∣∣∣∣∣ · δUE = 1UE δUA + UAU2E δUE (86)Dabei wird die Frequenz als genau angenommen, da das Oszilloskop und der Frequenz-generator fast immer identische Werte lieferten.

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3 VERSUCH

Abbildung 13: Durchlasskurve der RC-Kombinationen

Die Grenzfrequenz liegt nach Gleichung 68 bei

fgr = 10610Hz

Während dem Versuch nahmen wir an sie liegt bei 11000Hz in Bild 13 ist sie als x-Wertdes Schnittpunktes der Durchlasskurven abzulesen.

Phasenverschiebung in ◦

Frequenz Hochpass Tiefpassf1 = 4kHz� fgr 60± 5 20± 4f1 = 20kHz� fgr 25± 4 61± 2f1 = 11kHz ≈ fgr 47± 3 44± 3

Tabelle 5: Gemessene Phasenverschiebung bei RC-Hoch- und RC-Tiefpass

Kommentar zu der Phasenverschiebung Bei dem Hochpass und dem Tiefpass istdie Phasenverschiebung bei der Grenzfrequenz bei 45◦. Jedoch verhalten sich Hoch- undTiefpass genau unterschiedlich, wenn man die Frequenz erhöht, senkt. Die Phasenver-schiebung beim Tiefpass nähert sich 90◦ wenn man die Frequenz erhöht und 0◦ wennman die Frequenz senkt. Bei dem Hochpass ist dies genau umgekehrt. Da bestätigenauch unsere Messwerte:

20

3 VERSUCH

Abbildung 14: Durchlasskurve der LC-Kombinationen

Die Grenzfrequenz f0 bei der LC-Kombination ist ebenso im Bild 14 als x-Wert desSchnittpunktes der Durchlasskurven abzulesen. In der Theorie berechnet er sich nachGleichung 73:

f0 = 10065Hz

womit wir mit unserer Auswertung im Versuch von 10000Hz sehr genau bei der theore-tischen Grenzfrequenz.

Phasenverschiebung in ◦

Frequenz Hochpass Tiefpassf1 = 4kHz� f0 137± 8 23± 3f1 = 20kHz� f0 40± 5 136± 4f1 = 10kHz ≈ f0 90± 2 77± 3

Tabelle 6: Gemessene Phasenverschiebung bei LC-Hoch- und LC-Tiefpass

Kommentar zu der Phasenverschiebung An der Grenzfrequenz ist bei Hoch- undTiefpass die Phasenverschiebung 90◦. Hoch- und Tiefpass verhalten sich bei der Fre-quenz Erhöhung, Senkung wieder entgegengesetzt. Der Hochpass nähert sich für höherenFrequenzen 90◦ an und für niedrige 90◦. Der Tiefpass reagiert genau andersherum. Dasstimmt auch mit unseren gemessenen Werten überein:

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3 VERSUCH

3.5 Fehlerbetrachtung

Vergleicht man bei den Durchlasskurven die Messwerte mit den Theoriekurven sieht man,dass die Messwerte bei niedrigen Ausgangsspannungen nicht sehr gut sind. Das kanndaran liegen, dass unsere Schaltungen nicht so optimal funktionieren wie es die Theorievorhersagt. Dennoch ist es möglich diese Schaltungen als Frequenzfilter zu benutzen, dadie nicht gewollten Frequenzen auf ein Minimum gesenkt werden und die gewollten mitvoller Intensität durchgelassen werden. Die Zeitkonstanten der Schaltungen sind auchim Rahmen unserer Genauigkeit bestimmt worden.Um die Durchlasskurven besser nähern zu können wären mehrere Messpunkte nötiggewesen. Ebenso wären höhere und niedrigere Frequenzen interessant gewesen.Bei dem Versuch Schwingkreis hatten wir bei Versuchsteil 1 unerklärliche Messwerte,aber bei einem erneuten Durchführen kamen wir auf die jetzigen Werte. Diese Wertesind realistisch und auch zu erklären. Jedoch wäre es besser gewesen einen Widerstandin den Schwingkreis einzubauen, da dann die Kabel nicht so heiß werden würden undder Gesamtwiderstand näher an den Werten der Bauteile liegen. Ebenso ist dies beiVersuchsteil 2 besser große Widerstände zu benutzen.Alles in allem sind die Messwerte aber gut.

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4 FRAGEN & AUFGABEN

4 Fragen & Aufgaben

Schwingkreis 1 Ist die in diesem Experiment mit dem Oszilloskop erzielte Messgenau-igkeit ausreichend, um die Abhängigkeit der Schwingungsdauer von der Dämpfung zubestimmen?

Nein, denn um die Abhängigkeit sichtbar zu machen, müsste man die Dämpfung durchgroße Widerstände erhöhen. Wird dies aber getan, so ist die Amplitude der Schwingungnicht mehr auf dem Oszilloskop zu erkennen oder ist wegen Störsignalen nicht mehrerkennbar.

Schwingkreis 2 Beweisen Sie, dass das sog. Spannungsresonanzmaximum für die Span-nung UC am Kondensator bei ωerr =

√ω20 − β2 liegt.

In Gleichung 58 suchen wir das Maximum in Abhängigkeit von ω:

0!

=∂UC,0∂ωerr

(87)

0!

= Uerr,0 ·2ω20ωerr (ω

20 − 2β2 − ω2err)√

(ω20 − ω2err)2 + 4β2ω2err3 (88)

=⇒ ωerr,1 = 1 (89)& 0 = ω20 − ω2err + 2β (90)

=⇒ ωerr,2;3 = ±√ω20 − β2 (91)

Physikalisch relevant ist nun, dass das Maximum entweder bei ωerr =√ω20 − β2 liegt,

da die negative Lösung nur mathematisch Sinn macht, oder bei ωerr = 0, wenn β großgenug ist.

Schwingkreis 3 Beweisen Sie, dass im Gegensatz zur vorhergehenden Aufgabe dasStromresonanzmaximum bei ωres = ω0 liegt.

Für den Strom gilt nach Gleichung 51 und 50:

I(t) = C · ˙Uerr(t) = C · Uerr,0ωerr cos (ωerrt− ϕ) (92)

=⇒ I(ω) = Cωerr · Uerr,0 ·ω20√

(ω20 − ω2err)2 + 4β2ω2err(93)

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4 FRAGEN & AUFGABEN

Sucht man die Maxima:

0!

=∂I

∂ωerr(94)

0 = Uerr,0 ·Cω20 (ω

40 − ω4err)√

(ω20 − ω2err)2 + 4β2ω2err3 (95)

=⇒ 0 = ω40 − ω4err (96)=⇒ ωerr = ±ω0 (97)

Wobei die negative Lösung nur mathematische Bedeutung hat und physikalisch irrelevantist.

Schwingkreis 4 Warum muss bei der induktiven Ankopplung des Erregerkreises an denSchwingkreis die gegenseitige Induktivität der Spulen klein gegen die Selbstinduktivitätder Spule im Schwingkreis sein?

Um eine Rückkopplung zu vermeiden, denn wäre die gegenseitige Induktivität groß,so würde der Schwingkreis einen nicht vernachlässigbaren Teil der Energie an den Sinus-generator abgeben, welche beim eigentlichen Schwingvorgang dann fehlt.

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Literatur

5 Anhang

Abbildungsverzeichnis

1 Abmessungen des Leiters . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Schaltplan zum Laden eines Kondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 (Ent-)Ladekurve eines Kondensators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 Skizze eines Schwingkreises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 erzwungene Schwingung am Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 RC-Schaltpläne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 LC-Schaltpläne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138 Schaltplan für Versuchsteil 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149 Schaltplan für Versuchsteil 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1410 Schaltplan für Versuchsteil 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1511 Resonanzkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1712 Phasenverschiebung bei verschiedenen Erregerfrequenzen . . . . . . . . . 1713 Durchlasskurve der RC-Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2014 Durchlasskurve der LC-Kombinationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

Tabellenverzeichnis

1 Dämpfungsverhältnis und Frequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 Dämpfungskonstante und Gesamtwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Dämpfungskonstante und Gesamtwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . 164 Theoretische und experimentell Zeitkonstanten . . . . . . . . . . . . . . . 195 Gemessene Phasenverschiebung bei RC-Hoch- und RC-Tiefpass . . . . . 206 Gemessene Phasenverschiebung bei LC-Hoch- und LC-Tiefpass . . . . . . 21

Literatur

Anfängerpraktikum: Versuchsanleitung. Universität Konstanz, 2012, Abbildung (3)

Bronstein: Taschenbuch der Mathematik. Harrri Deutsch Verlag, 2008

Dekorsy, Thomas/Nowak, Ulrich: Mitschrift des IK 2. Markus Gruber, 2010

Demtröder, Wolfgang: Experimentalphysik. Springer, 2008

Internet: www..elektroniktutor.de.

Internet: www.wikipedia.de.

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EinführungGrundlagenGleichstromwiderstandWechselstromwiderstandEin Ohmscher Widerstand im WechselstromEin Kondensator im WechselstromEine Spule im Wechselstrom

Ladevorgang eines KondensatorsEnergieelektrische Feldenergie eines Kondensatorsmagnetische Feldenergie einer Spule

SchwingkreisSchwingungsgleichungErzwungene Schwingung

induktive KopplungRC-Hochpass/TiefpassLC-Hochpass/Tiefpass

VersuchAufbau & Durchführung SchwingkreisVersuchsteil 1: langsame angestoßene gedämpfte SchwingungenVersuchsteil 2: angestoßene gedämpfte SchwingungenVersuchsteil 3: erzwungene Schwingungen, Resonanzkurven und Phasenverschiebung

AuswertungVersuchsteil 1Versuchsteil 2Versuchsteil 3

Aufbau & Durchführung SchwingungssiebeVersuchsteil 1: Zeitkonstante eines RC-GliedesVersuchsteil 2: RC-Hoch- und -TiefpassVersuchsteil 3:LC-Hoch- und -Tiefpass

AuswertungBerechnung der Zeitkonstanten Durchlasskurven der RC- / LC-Kombinationen

Fehlerbetrachtung

Fragen & AufgabenAnhangLiteraturverzeichnis