30 Heinrieh u, Desoyer: Probleme der station/iren u. instation/iren GruudwasserstrSmungen fngenleur-Arehiv

Praktische Methoden zur L/~sung yon Problemen der station/iren und instation/iren Grundwasserstr/~mungen

Von G. Heinrich und K. Desoyer

1. Einleitung. In zwei vorangegangenen Arbeiten 1 wurde die Theorie der Grundwasserstrfimun- gen einerseits auf die Behandlung yon instation~iren Fliissigkeitsbewegungen, andererseits auf den Fall anisotroper inhomogener FestkSrper erweitert. Im folgenden Soil die Anwendung der ent- wickelten Gleichungen auf praktische Aufgaben der Grundwasserstrfimungen gezeigt werden.

Um zu einer definierten Lfisung eines vorliegenden Problems der Grundwasserbewegung zu gelangen, ist eine genaue Kenntnis der Rand- und Anfangsbedingungen sowie eine quantitative Erfassung der Durchl~issigkeitseigenschaften des Festkfirpers erforderlich. Auf die praktische Er- mittlung dieser Daten soil hier nicht eingegangen werden 2. DiE in Frage kommenden Rand- und Anfangsbedingungen wurden bereits in der ersten der vorangegangenen Arbeiten besprochen. Fiir die eindeutige Lfisung einer praktischen Aufgabe benStigt man ferner die Form und Lage der undurchl~issigen Schichten sowie der Grenzfl~ichen des Grundwassertr~igers gegen Luft und gegen ruhende Fliissigkeit.

Wenn ein Problem ohne freien Grundwasserspiegel vorliegt, dann handelt es sich bei homogenen, isotropen Grundwassertr/igern im stationaren Fall um ein Potentialproblem mit festen vorgegebenen R~ndern und vorgegebenen Randbedingungen; im instation~iren Fall k~nnen die Randbedingungen vorgegebene oder aus der Problemstellung ermittelbare Funktionen der Zeit sein. Probleme dieser Art bieten meist keine besonderen Schwierigkeiten und sollen daher hier nicht weiter in Betracht gezogen werden. Sie kSnnen aber auch nach der im folgenden genauer besprochenen Relaxations- methode behandelt werden.

Mathematische Schwierigkeiten besonderer Art treten bei Vorhandensein von freien Grund- wasserspiegeln auf. Der freie Grundwasserspiegel ist als Randfl~iche des StrSmungsbereiches mit vorgegebenem Druck anzusehen, jedoch ist der Grundwasserspiegel bei station~iren StrSmungen, bei denen er iiberdies eine Stromlinienfl~iche sein muB, nicht vorgegeben, sondern muB bei der LSsung des Problems mit bestimmt werden . Zur strengen LSsung yon Aufgaben dieser Art wird vornehmlich die konforme Abbildung in Verbindung mit der Hodographenmethode verwendet ~. Als N~iherungslSsung is t i m hydraulischen Schrifttum der Dupuitsche Ansatz gebr~iuchlich, der jedoch, wie im folgenden genauer erSrtert wird, sowohl in grunds~itzlicher wie in praktischer Hin- sicht sehr bedenklich erscheint.

Bei der theoretischen Behandlung yon instation~iren Grundwasserstrfimungen mit freien Spiegelfl~ichen wurde bisher fast ausschlieBlich die Dupuitsche N~iherung verwendet 4, die in diesem Fall ebenso bedenklich erscheinen muB.

2. Die Dupuitsehe Niiherung als strenge Li~sung fiir ein anisotropes Festki~rpermodell. Im folgenden soll zun~ichst gezeigt werden, dab nut fiir ein homogenes, anisotropes FestkSrpermodell, bei dem die Durchl~issigkeit in vertikaler Richtung unendlich groB ist (,,einachsig widerstandsfreier FestkSrper"), die GrundwasserstrSmung dem Dupuitschen Ansatz streng gehorcht.

Nach Dupuit wird bekanntlich.n~iherungsweise angenommen, dab die Standrohrspiegelh~he h fiir alle Punkte des Grundwassertr~igers, die auf einer Vertikalen liegen, gleich groB ist 5. Die aus dieser N~iherung hervorgehende Gleichung fiir die Spiegelbewegung soll nun fiir allgemeinere Vor- aussetzungen als bisher (beliebige Form der undurchl~issigen Schicht, anisotroper FestkSrper)

1 G. Heinrich und K. Desoyer, Ing.-Arch. 23 (1955) S. 73; Ing.-Arch. 24 (1956) S. 81. Bei Verweis auf Gleichungen dieser Arbeiten wird den betreffenden Gleichungsnummern der I-Iinweis I bzw. II vorangestellt.

2 Siehe z. B. J. Kozeny, Hydraulik, S. 389. Wien 1953. 2 Siehe z. B. G. Hamel, Z. angew. Math. Mech. 14 (1934) S. 129; G. Hamel und E. Giinther, Z. angew.

Math. Mech. 15 (1935) S. 255; //'. 1/. Wedernikow, Z. angew. Math. Mech. 17 (1937) S. 155; G. Hamel, Z. angew. Math. Mech. 18 (1938) S. 39; H. F. Roflbach, Ing.-Arch. 12 (1941) S. 221; J. Kozeny, a. a. O. S. 329ff.

Vgl. auch E. P. Nemecek, Der Str6mungsdruck in BSschungen. Diss. T. H. Wien 1953, in der eine andere Behandlungsweise der instation/iren GrundwasserstrSmung am Beispiel der Durehstr6mung eines Dammes vorgeschlagen wird.

J. Dupuit, Etudes thfioriques et pratiques, 2.6d. (1863) S. 254; Ph. Forchheimer, Hydraulik, 3. Aufl. S. 70, Leipzig-Berlin 1930.

XXVI. Ba~d 1958 Heinrich u. Desoyer: Probleme der station/iren u. instation/iren Grundwasserstrfmungen 3 1

kurz hergeleitet werden. In Abb. 1 sei z~(x,y) eine gegebene undurchl/issige Flache und zz(x ,y , t ) der freie Grundwasserspiegel. Bezeichnen q~ bzw. qy die in der Zeiteinheit liings tier x- bzw. y-Rich- tung durch die Seitenfliichen des dargestellten Elementarquaders eintretenden Fliissigkeitsmengen, so liefert eine Volumsbilanz

~z~ vy ~ "

Dabei sei n das hier als ortsunabh/ingig vorauszusetzende relative l~orenvolumen. Fiir den Fall eines homogenen, anisotropen Grundwassertr/igers werde nun vorausgesetzt, dab

der Durchlassigkeitsaffinor (I, 8) symmetrisch ist und die vertlkale z-Achse mit einer seiner drei Hauptachsenrichtungen zusammenfalle. Als x- und y-Richtung seien seine beiden anderen Hauptachsen- richtungen gew/ihlt. Dann ist gemiiB (I, 18)

wobei die Standrohrspiegelgefiille J~ bzw. Jy nach der Dupu i t s chen I~aherung yon z unabhangig sind und dureh --~zz/~3x bzw. --~z~/~y ersetzt werden. Daraus ergeben sich fiir q~ und % die Ansdrficke

(2)

Durch Einsetzen yon (2) in (1) erh~ilt man die fo]- gende Gleichung fiir die Spiegelbewegung:

Z

L

/ i - !~! I - / - - I r ~ ' /

Abb. 1. Zur Ableitung der Bewegungsgleiehung far den Grundo was~erspiegel in elnem einaehsig widerstandsfrelen Grundwa~ger-

tr~iger.

den Sonderfall des isotropert FestkSrpers (k~----kyy = k) und horizontale undurchliissige Fiir

Schicht (z 1 -~ 0) erhiilt man daraus die Gleichung

,, ~ - V = k [ 0.~_+ + ~ / j , (3a)

die bereits in der hydraulisehen Literatur bekannt ist 1.

Wir zeigen nun, dab aus den exakten Gleiehungen (I, 16b) und (I, 30b), wenn hierin die ~-Aehse mit der vertikalen z-Aehse, die ~- bzw. ~-Aehse mit der x- bzw. y-Aehse des Koordinatensystems der Abb. 1 zusammengelegt werden, beim Grenziibergang k~,-+ ~ die soeben hergeleitete Glei- ehung (3) folgt.

Aus (I, 16b) ~Zh ~Zh k v~ kx~ ~ + kyy ~y--r + =---a~- = o, (4)

wo h die StandrohrspiegelhShe ist, folgt fiir k=--> oo die Beziehung

a~h ~h ~z ~ = 0 , also ~z - - konst. (5)

Die Komponenten eines Normalenvektors rt auf die undurchl/issige Fl/iche z I ~-zl (x ,y ) sind - - ~zl/Ox, - - ~zl/gy, 1. Da die Fl~che za(x, y) Stromlinienfliiche sein muB, gilt die Beziehung

~z 1 ~z~ D-Tt=--v ~ - - % ~ +v==0 . (6)

Aus dem verallgemeinerten Darcy-Gese tz (I, 12) ergibt sich fiir die Hauptachsenrichtungen

~h ~h ~h ~ = - - k ~ ~ ; , ~ = - - k ~ ~ , v.. = - - ko= ~ , (7)

1 Ph. Forchheimer, a. a. O. S. 104.

32 Heinrich u. Desoyer: Probleme der station/iren u. instation/iren GrundwasserstrSmungen ingenieur-Archiv

Aus (6) und (7) erhalt man

k~ ~h ~ ~h ~, k ah 0 (8) ~x ~x ~ -kyz ~y ~y ~ ~ = '

giiltig lfings der undurchl/issigen Schicht zl(x, y). Aus (8) und (5) sieht man, dab die GrSBe ~h/~z fiir den Grenzfall k~--> oc gegen Null geht. Es ist dann

h = h(x, y) (9)

yon z unabhangig, wie es der Dupultschen Annahme entspricht. Aus (4) folgt

z z z 2 /

zl z 1

Fiihrt man hierin den Grenziibergang k,~--> oo durch, dann hfiugt wegen (9) der Integrand auf der reehten Seite nur yon x und y ab, die Integration ist leicht durchfiihrbar. Man erh/ilt

~h ~ ( 82h ~- kyy ~2h t lim k ~z z ~ = - - ( z 2 - z j k** ~x~ ' (4a)

Der Weft an der unteren Grenze fiir die linke Seite kann aus (8) entnommen werden. Damit ergibt sich

) ( ~h~zl ~hSzl~ / 1 9 2 h 82h~ (10) lira (kzz ~h ~- kxx 8x 8x ~- kyy ~y -~y ] (z 2 - - zl) tkx, 8,XO " + kyy 0y2 ] k ~oo\ ~z ~=~ - - '

Ffihrt man den Grenzwert (10) in die strenge Gleichung ffir die Spiegelbewegung (I, 30b)

[ Oh ~h 8z 2 ~h ~z2] Oz z -- 1 kz~w~z__kxx kyy (11) ~t n ~x 8x 8y 8y Jl~ings d~r Spiegelfl~ich . . . .

ein, SO ergibt sich nach einfacher Umformung fiir den Spiegel (h = z2) die Gleichung (3). Danfit ist gezeigt, dab die Dupuitsche N~iherung als strenge LSsung ffir ein FestkSrpermodell, das in vertikaler Richtung unendlich groge Durchl~issigkeit besitzt, anzusehen ist. Eine Schwierigkeit bei der Behandlung dieses einachsig widerstandsfreien FestkSrpermodells besteht darin, dab bei der Ableitung der Gleichungen fiir die Grundwasserbewegung vorausgesetzt wurde, der Widerstand, den der Festkfrper der strfmenden Fliissigkeit entgegensetzt, sei so groB, dab bereits bei sehr kleinen StrSmungsgeschwindigkeiten ein quasistation/irer Zustand erreicht wird. Diese Voraus- setzung ist abet hier fiir die vertikale Richtung nicht mehr erfiillt. Daraus ergeben sich bei Vor- handensein yon nichtvertikalen TrennfRichen zwischen Luft und Grundwassertr~iger gewisse Schwierigkeiten, auf die jedoch bier nicht weiter eingegangen werden soil. Sind diese F1/ichen ver- tikal, so treten diese Schwierigkeiten im station~iren Fall nicht auf. Da jedoch 1/ings solcher ver- tikalen Fl/ichen ~h/~z = 1 sein mul3, so kann bei dem einachsig widerstandsfreien Festk6rpermodell wegen (9) auf diesen Fl~ichen keine Hangquelle auftreten; die Einmiindung des Grundwasserspiegels erfolgt im station~iren und instation~iren Fall stets in den Spiegel der ruhenden Fliissigkeit bzw. bei vollkommener Absenkung an der undurchl/issigen Schicht. Im instationaren Fall sind demnach Anfangsbedingungen, die eine Hangquelle beinhalten, nicht zul~issig, da diese mit einer quasi- station/iren Behandlung nicht vertr~iglich ist. Aus dem Vorstehenden ersieht man, dab die Aus- bildung einer Hangquelle in einer vertikalen Trennfl/iche Luft Festk6rper nur durch den Wider- stand des Festk6rpers in vertikaler Richtung bedingt ist, und dab daher die Anwendung des Dupuitschen Ansatzes auf den isotropen Festk6rper bedenklich erscheinen mull

3. Anwendung tier Relaxationsmethode auf Probleme der station~iren und instationiiren Grund- wasserstr6mung, a) D i m e n s i o n s l o s e F o r m der G l e i c h u n g e n . Um die Relaxationsmethode anwenden zu k6nnen ist es zun~ichst zweckm~il~ig, die Ausgangsgleichungen in dimensionslose Form zu bringen. Wit beschr~inken uns hier auf einen homogenen Grundwassertr~iger, der isotrop oder anisotrop sein kann. In letzterem Falle setzen wir einen symmetrischen Durchl/issigkeitsaffinor voraus (orthotroper Festk5rper). Wir gehen aus yon den Gleichungen (I, 16b)

k ~h . 8~h ~2h

und (I, 30b)

~r - - ~ kt~ -~ - - k~ k,~ - - - - , (13) ~t n ~ ~ dgr/ ~'1 Jl~ings der Spiegelfl~iehe r = ~'~

xxvI. ]land 1958 Heinrieh u. Desoyer: Probleme tier station/iren u. instation/iren Grundwasserstr6mungen 33

die beide ffir das Hauptachseasystem (~, ~, ~) des Durchl~ssigkeitsaffiuors gelten. Wegen der vor- ausgesetzteu IIomogenitat des Grundwassertragers ist n in (13) ortsunabhaugig. Im anisotropen Fall geht (12) durch eine volumtreue Affinverzerrung des Bereiches vermittels der Transformations- gleichuugen

= ] / ~ ~, r / = ] /a k ~ ~ ~ , ~ = ] / a~k ~ ~" (14)

V]/KHIII V1/KHIH ~ t 'K I l l mit K m = kr162 k~ kr in die Laplace-Gleichung

?2h ~2h ~2h a~ ~ + a~- ~ + ~ - = 0 (15)

fiber. Um die hierin auftreteuden Grfgen dimensionslos zu reacheR, schreiben wir

h = H h * , ~- -= H ~ * , g] -= H , ] * , ~ = H ~ * , (16)

worin H eine beliebige charakteristische L/inge istk Damit geht (15) fiber in

~2 h* r h* ~2 h* a~*~ + ~ + ~ = 0 . ( 1 5 a )

Die gleichen Substitutionen fiihreu wir in (13) ein und erhalten

9r [ah* ah* at* ah* ar (13a) J der Spiegelfl~iche

Die dimensionslose Zeit t* ergibt sich hierbei zu

t* - |'KIu (13b)

In einem beliebig abgegrenzten Volumen des Strfmungsbereiches befindet sich die Fliissigkeits- merge V F = f f f n d~ dr] d~. Fiihrt man darin die Substitution (14) ein, so erh/ilt man V F = f f f n d-~ dg] d~. Dies bedeuteL dal3 alas relative Porenvolumen n bei dieser Transformation invariant bleibt.

Die auf die Zeiteinheit bezogene Fliissigkeitsmeuge Q, welche ein beliebiges Fl/icheustiick F im Innern des Grundwassertragers durchstr/imt, ist gegeben dutch 2

Q = f , . d{~ = f ve &] d~ + f % d~ d~ + f vr d~ dr]. (17) iw F~ F Fr

Sctzt man die Beziehungen

- - kr162 a~_ ah ah (18)

die aus (I, 10) und (I, 12) fiir das Hauptachsensystem folgen, unter Verwendung der Transfor- mationeu (14) und (16) in (17) ein, so erh/ilt man

Q -- - - H2 ]/KIII -~-, d~* d(* + a ~ a~ d~* q- -~w d~* d~* = H 2 ]/K m O*. (17a)

Bei Vorhandensein eines freien Grundwasserspiegels z~(x, y , t) gilt langs diesem die Rand- bedingung h---- z2, wenn die z-Achse vertikal uach oben gerichtct ist. F/ilh iiberdies eine Haupt- achse des Durchlassigkeitsaffinors im FaRe eines homogenen orthotropen Festk6rpers in die z-Rich- tung, ist es zweckmagig, statt (14) eine Affinverzerrung zu wahlen, die die z-Koordinate unver- /indert 1/igt. Wit benntzen dann die Transformationen

x = x , Y = Vk...- y ' z = z (19a) nnd

h = H h * , ~c = H x * , y~ = H y * , -~ = H z * . (19b)

Alle dimensionslosen Gr6Ben sollen durch einen Stern gekennzeichnet werden. F~, F~, Fr bedeuten die Projektionen des F1/ichenstiickes atff die drei Koordinatenebenen. Bei mehr-

faeher L~berdeckung tier projizierten Flfiehen ist die Fl/iche in Teilstiicke mit einfachen Uberdecknngen der Projektionen zu zerlegen.

3

34 Heinrich u. Desoyer: Probleme der station/iren u. instation/iren Grundwasserstrfmungen Ingenieur-Archiv

Ersetzt man in (12) ~, ~7, ~ dnrch x ,y , z und benutzt die Transformationen (19a) und (19b) so er- halt man

~2h* ~2h* ~'~h* _ 0 . (20)

Die Gleichung (13) geht mittels der gleichen Transformatiorien fiber in

~z* _ l~h* ~h* ~z* ~h* ~z*] . (21) ~t* ~iZ* ~X* ~X* ~Y* ~- ] l~ ings der Spiegelfl/iehe :

jedoch ergibt sich hierbei fiir die dimensionslose Zeit t*

t* ~- t kzz (22) H n

Da die Transformation (19a) nicht volumtreu ist, bleibt das relative Porenvolumen n hier nicht invariant. Man erhiilt in diesem Fall

daher ist

l / ~ kyy (23) ~ n kzz

Die Gleichung (17) ffir die auf die Zeiteinheit bezogene Flfissigkeitsmenge Q geht durch Einfiihren yon (7), (19a) und (19b) fiber in

~x* dy* dz* -~ ~ y , a dx* ~- ~:~ ax dy*

LF~ ~ F~

= H 2 ] l k ~ k y y Q * = H a n k Q * . (24)

Fiir den isotropen FestkSrper (k:o ~ -~ kyy = k~z ~ k) werden die Transformationen (14) und (19a) zu identischen Transformationen, die Gleichungen (13b) und (22) gehen beide fiber in

k t* = t H ~ ' (25)

und die Gleichungen (17a) und (24) gehen beide fiber in

rrr h*,, ff *az, Q =--H~kl t j ~,ay dz* Jr- -~y~ j j ~ z , aX dy* = H 2 k Q * . (26)

b) Die R e l a x a t i o n s m e t h o d e ffir d e n e b e n e n Fa l l . Um die Anwendung der Relaxations- methode auf ebene Probleme der Grundwasserbewegung zu erliiutern, wiihlen wir ein spezielles

z Beispiel. Es soll die instationlire Durchstr6mung ~ , eines Dammes (Abb. 2) untersucht werden. Ursprfing- ~- lich habe der Flfissigkeitsspiegel zu beiden Seiten des

Dammes die gleiche Htihe z = z 2 = H. Auf der linken ~ ' ~ Seite werde nun pliStzlich die Flfissigkeit unter das

undur'ekl&cs~eSekiek/ Niveau z ~ 0 abgesenkt und soil auch sp~iter nie Abb. 2. Ski . . . . . . gew//hlten Belsplel der instatlon/iren mehr das 51iveau z = 0 erreichen. Die Spiegelhtihe

Durchstr6mung eines Dammes. auf der rechten Seite werde konstant gehalten. Das

Damm-Material werde als homogen und isotr0p (Durchliissigkeit k) vorausgesetzt. Demnach setzen wit

x = H x* , y ~-- H y * , z = H z* , h = H h * . (27)

Zur Anwendung der Relaxationsmethode ~ ersetzt man bekanntlich die zu 18sende Differential- gleichung durch Differenzengleiehungen und iiberzieht die (x, z)-Ebene mit einem Netz yon Ge- raden z x* = / z a*, z* -~ v a* , wo/z und v ganze Zahlen sind und a = H a* die passend zu wiih- lende Maschenweite des Netzes bedeutet. Die zweiten Ableitungen yon h* an einem Knoten

1 R. V. Southwell, Relaxation Methods in Theoretical Physics, Oxford 1946; D. N. Allen, Relaxation Methods, McGraw-Hill 1954.

2 Fiir das betrachtete Beispiel wird ein quadratisches Netz verwendet.

XXVI, Band 1958 Heinrich u. Desoyer: Probleme der station/iren u. instation/~ren GrundwasserstrSmungen 35

(#, v) des Netzes werden r1/iherungsweise ersetzt dutch

/ bZh*~ 1 "h* (28)

V o /,,,,

Die Laplace-Gleichung fiir das ebene Problem geht dann bis auf einen Fehler vor1 der GrSBenol"d- nung a .4 fiber in

"" h , . , _ l + h,, , +1 - - 4 h,*~ ~ R,j*, = 0 . (29)

Wenn in (29) N/iherungswerte s ta t t der Werte der gesuehten LOsung eingesetzt werden, so wird der Rest R~.~, i. a. ungleieh Null. Geht man yon irgendwelchen N~iherungswerten in den Knoten aus, so wird (29) zun~ichst i. a. nieht in alien Knoten erfiilh sein, und es ergeben sieh gewisse Reste

, R / .... Dureh systematisches Ab~indern der ~ at1 den Knoten kOnner1 diese Reste allm~ihlich bis zur ge- wiinschten Genauigkeit abgebaut werden. Es ist zweek- ~ v m~Big, die jeweils dem Betrag nach grSi3ten Reste ab- ,~/ zubauen. Andert man den Wert h* in einem Knoten um Ah*, so/irldert sich der Rest R* an diesem Knoten um r . . . . "~ - - 4 z J h * , die R e s t e i n den vier umliegenden Knoten / ,11 ~p~/z, /z,1,~ andern sich um Ah*, wie aus (29) leicht ersichtlich ist. Wenn in grSBeren Gebieter1 des Netzes die iiberwiegende Zahl der Reste gleiches Vorzeichen aufweisen, wendet i man zur Erzielung rascherer Konvergenz die Verfahren des l:Tberrelaxierens oder der Gruppen- und Blockrela- xat ion anL ~-1

Bei Problemen der Grundwasserbewegung sind die A~b. z. R~,,~_,~ . . . . ~t ~k~t~,~ A~t~,~,,,. Werte von h* l~ings des Grundwasserspiegels und l~ings der Trennfl~iehen des FestkOrpers gegen Luft oder ruhendes Wasser vorgegeben. Am Rande kSnnen Knoten mit verkfirzten Abst~inden gem/iB Abb. 3 auftreten. In diesem Fall ist (29) zu ersetzen durch ~

2 ., , 2 . + .... 2 . "_2 __h* fit E-~ h * ~ R . ~ . ~ = 0 (29a) / ~ I ( l+ f i i ) h I - c l+ f l i h~ '+L" ]-Tt3nh~ ..... 1-~ Dn (1 +/3n ) n - - . "

Der Fehler liegt in der GrSBenordnung a *~. Ab~nderung des Wertes t,.~.~ tam zJh~.,, ~indert den Rest R;,*,, naeh (29a) um

AR,*,,, = - - (;I + ~)Ah,':;~,, �9 (29b)

L~ings einer undurchl~issigen Fl~iche muB grad h* senkrecht auf die F1/ichennormale stehen. Bei Vorhandensein von geradlinig begrenzten undurchl~issigen Schichten wahlt man zweckmaBig diese Begrenzung als Netzlinie und kann sich daran das ganze Netz mit allen Knoterlwerten und Resten gespiegeh denken, wodurch diese Begrenzung wie gefordert automatisch zur Stromlinie wird 2.

Es soll nunmehr die Anwendung der Relaxat ionsmethode auf das zu Beginn dieses Abschnittes erl~iuterte Beispiel der instation~ren Durchst r6mung eines Dammes gezeigt werden. Wit denken uns den Fliissigkeitsspiegel links vom Datum zur Zeit t = 0 plftzl ich unter das Niveau z = 0 abgesenkt. Ffir diesen Zei tpunkt e rmi t t eh man die Verteilung der StandrohrspiegelhShe a. Am zweckm/il3igsten beginnt man dabei mit einem weitmaschigen Netz, in das man, yon den gegebenen Randwerten ausgehend, gesch~tzte Werte eintr~gt und diese durch das Relaxationsverfahrer1 ans- gleicht (Abb. 4). Die Werte h* der bezogenen Standrohrspiegelh6he wurden mit 10 a muhipliziert , um Dezimalzahlen zu vermeiden. Abb. 5 zeigt ein aus Abb. 4 entwickehes feinmaschigeres Netz ~, in das auch Linien konstarlter StandrohrspiegelhShe und konstanten Drnekes eingezeichnet sind.

Allen, a. a. O. S. 67. Allen, a. a. O. S. 72. B6i krummliniger Begrenzung der undurchl/issigen Schicht siehe Allen, a. a. O.

S. 74--85. Es wird dabei angenommen, dab der Anlaufvorgang, wle er in I, S. 8l erw/ihnt wurde, bereits abgeklungen

ist und sich ein quasistation/irer StrSmungszustand ausgebildet hat. Die Anlaufzeit wird als vernachl/issigbar klein angesehen.

Allen, a. a. O. S. 61.

3*

3 6 tieinrich u. Desoyer: Probleme der station/iren u. instation/iren GrundwasserstrSmungen Ingenieur-Arch~v

In Abb. 5 sowie in den folgenden abgebildeten Netzen wurden alle Reste bis auf den Betrag < 2 herabgedrfickt. Aus der gerteilung der h*-Werte l~igt sich nun die dimensionslose Sinkgeschwin- d i g k e i t - az~/at* in den Knotenpunkten des Spiegels aus Gleichnng (13a), die fiir den ebenen, isotropen Fall die Form

~z~ [ ~h* ~h* az*] (30)

annimmt, berechnen, wobei t* mit der tats~ichlichen Zeit t dutch die Beziehung (25) zusammen- h/ingt. Da die Bestimmung der Differentialquotienten auf der rechten Seite yon (30) auf graphische Art meist zu ungenau ist, empfiehlt es sich, diese rechnerisch aus Parabeln zweiter Ordnung zu ermitteln, die durch je drei Punkte gelegt werden. Diese Sinkgeschwindigkeiten kann man nun benutzen, um die Spiegellage zu einem etwas sp~iteren Zeitpunkt zu ermitteln. Dabei wird ange- nommen, dab sich die Sinkgeschwindigkeit w~ihrend kleiner Zeitintervalle nicht wesentlich ~indert.

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Y0000 /0008

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~oSZ?I Y&7~ Abb. 4. Ausgangsnetz filr die Verteilung der Standrohrspiegelhfhen (10 4 �9 h * fiir den Anfangszustand der Sickerstriimung.

Eine Absch~itzung der Anderung der Sinkgeschwindigkeit bei Ver~inderung der Spiegelfl/iche ist yon vornherein schwer mSglich. Man wird zun/ichst ein Zeitintervall At* so w/ihlen, dab die Spiegel~inderung zJz~, die nach der Gleichung

~z*_ , AIz~' = ~-, Alt (31)

berechnet werden kann, im ganzen Bereich klein bleibt gegen die Maschenweite des Netzes. Nun wird der neue Spiegel eingezeichnet und das Netz wieder abgeglichen. Ein klein gehaltener Absenk- schritt wirkt sich hierbei auch insofern vorteilhaft aus, als das neuerliche Abgleichen des Netzes wegen der geringen Ver/inderungen der Knotenwerte am Spiegel entsprechend rasch bewerkstelligt werden kann. ?qach Abgleiehen des Netzes kSnnen die neuen Sinkgeschwindigkeiten nach (30) berechnet werden. Nun hat man auch die M6gliehkeit, diese Werte mit den vorhergegangenen zu vergleichen und gegebenenfalls, wenn unzul~issig groBe )knderungen aufgetreten sein sollten, das Verfahren mit einem kleineren Weft yon At* zu wiederholen.

Auf diese Weise kann man nun Schritt fiir Schritt den Verlauf der Spiegelabsenkung verfolgen. In Abb. 6 ist eine Reihe yon aufeinanderfolgenden Spiegellagen eingezeichnet, die auf diese Weise bestimmt wurden. Die zugehSrigen Zeitintervalle sind zwischen den Spiegellagen eingetragen 1.

Da der Ubergang zur station/iren Spiegellage asymptotisch erfolgt, kann dieses Verfahren nicht bis zur Erreichung des stationaren Zustandes fortgesetzt werden. Wenn die Sinkgeschwindigkeit nach (30) im ganzen Bereich sehr kleine Werte erreicht hat, empfiehlt es sich, yon hier aus die Lage des station/iren Spiegels nach der Bedingung aufzusuchen, dab dieser iiberall auf den Linien h* = konst, senkrecht stehen muB, well ein stationarer Spiegel Stromlinienfl/iche ist. Dabei ergibt sich auch die Lage der Hangquelle. Abb. 7 zeigt die auf diese Art gefundene stationare Spiegellage sowie die Verteilung der StandrohrspiegelhShen und Linien h*=- konst.

Man ist nun auch in der Lage, die auf die Raumeinheit bezogene Resnltante 17 �9 G der Schnitt- kr$ifte im Festkfirperskelett zu ermitteln. Diese Gr6Be ist fiir die Beurteilung der Rutschungsgefahr maBgebend. ~qach Gleichung (I1, 9) gilt:

17" ~ = 2 A p -~ ~k- -n (yk - -y~) A U ~- p AI2. (32) g

Hierin ist ~ der Spannungstensor ffir das FestkSrperskdett, ~, das Verh/iltnis des yon Fliissigkeit bedeckten Anteiles einer Schnittfl/iche zur gesamten Schnittfliiche (~ und ~ h/ingen yon der Schnitt- fiihrung ab); Yk bzw. y~ sind die spezifischen Gewichte yon Festk6rpermaterial bzw. Fliissigkeit; n ist das relative Porenvolumen und U das Potential der Massenkrafte je Masseneinheit.

' E. P. Nemecek, a. a. O., hat die instation/ire DurchstrSmung eines Dammes im Modellversuch verfolgt.

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38 Heinr lch u. Desoyer : P rob leme der s ta t ion/ i ren u. ins ta t ion/ i ren Grundwasse r s t r iSmungen Ingenieur,Archiv

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f I

XXVL Band 1958 Heinrich u. Desoyer: Probleme der station/iren u. instation/iren GrundwasserstrSmun~en 39

Bei kSrniger Struktur des FestkSrpers sind zur Beurteilung der Rutschungsgefahr Schnitte zu betrachten, die die K6rner des Festkfrperskelettes nicht schneiden. Fiir solche ist bei voraus- gesetzter Punktberi ihrung der K~rner ~. : 1. Man kann dann fiir n : konst, und U : g z die Gleichung (32) in der Form

V . ~ : V.Q (33) mit

-(2 = P ~- [7~ - - n (7~ - - y~)] z (33a)

schreiben. Um ein Bild der Verteilung yon V ~ zu gewinnen, kann man die Kurvenschar s : konst. mit konstanter Differenz des Kurvenparameters zeichnen. Mit h : p/7~ + z und (27) las t sich (33a) in dimensionslose Form bringen

- : ,Q* : h* ~- z z* (33b) H y~

mit

(7~ ) (33c) =

In Abb. 8 und 9 wurden die Linien ~ * : konst, und die zugeh~rigen orthogonalen Trajektorien ~fir den Ausgangszustand bzw. station~iren Endzustand der StrSmung eingezeichnet. Dabei wurde z : 1,1 gew/~hlt, ein Wert, der sandigem Material entspricht. Da die Linien ~Q* : konst, in gleichen

t Z

umgestbP/er ~run, ~asse/~sp/eje,

7.,

Abb. 10. Skizze zum gew/ihlten Beispiel des statlon~iren Zuflusses zu einem Brunnen.

V i I

!G P§ ~Z F

[ i ~,r Z~ ?J-!

I k "

Abb. 11. Zur Ableltung der Knotengleiehungen ffir rotation~symmetrisehe Netze.

Intervallen gestaffelt sind, ist ihr iNormalabstand ein reziprokes Ma$ ftir die auf die Raumeinheit bezogene Resultante der Schnittkr/ifte im FestkSrperskelett. Wie Abb. 8 zeigt, ist diese Resuhante zu Beginn der Absenkung in der Umgebung dee Punktes A am grSBten, w/ihrend sie nach Er- reichung des station/iren Zustandes (Abb. 9) ziemlich g!eichm/iBig tiber den StrSmungsbereich ver- teilt ist und nicht mehr so hohe Werte erreicht.

4. Die Relaxationsmethode fiir den zylindersymmetrischen Fall. Als Beispiel fiir eine zylinder- symmetrische StrOmung w/ihlen wir den stationfiren ZufluB zu einem vollkommenen Brunnen mit begrenzter l~eichweite R (Abb. 10). Wir setzen voraus, dab die Durchl~ssigkeiten ortsunabh/ingig sind und fiir alle horizontalen Richtungen denselben Wert besitzen. In vertikaler Richtung kann die Durchlfissigkeit einen anderen Wef t haben. DemgemfiB setzen wir in (12)

= x , ~ = y , ~ = z , ~ (34) k~ -- k~ = krr , k~ = kz=. J

Durch Transformation auf Zylinderkoordinaten wird dann aus (12)

krr ( ~r~2~h2 ~- r ~r ] k~= -~z~ : 0 " (35)

Da die z-Achse ausgezeichnet ist, wenden wir eine Transformation analog zu (19a) an:

r : |j i~ r , z : ~ (36)

40 I-Ieinrieh u. Desoyer: Probleme der station/iron u. instation/iren GrundwasserstrSmungen Ingenieur-Archiv

und fiihren dimensionslose GrSgen h*, r*, z* nach den Gleichungen

h = H h * , ~ = H r * , ~ ----- H z * (37)

ein. Mit (36) nnd (37) wird aus (35):

02h * 1 0h* 02h * 0r.2 ~ r-~ 0r-~- -k 0z.~ - - 0 . (38)

Zur Anwendung der Relaxat ionsmethode iiberziehen wir den Meridianschnitt mi t einem Netz yon �9 -= I z a*, z~ = v a*, wobei a = H a* die Maschenweite bedeutet . /iqnidistanten Geraden r~

U m in einheitlicher Weise die Knotenpunktsgleichungen sowohl fiir Sterne mit gleichen als auch ungleichen Abst~nden abzuleiten 1, entwickeln wir die Funkt ion h*(r*, z*) im Kno tenpunk t (/z, ~) in eine Taylor-Reihe (Abb, 11). Wenn wir nach dem dri t ten Glied abbrechen, erhalten wir fiir die Werte h* in den Nachbarknoten die folgenden Darstellungen:

[Oh*\ , 1 / 0 2 h * \ ,~ h i + 1,~ ~ h:~,~ + ~T~r,)p,a ~- ~ ~--~w)m.a ~ + . . . , (39)

, __{~h*~ a* 1 {02h*~ h ~ _ } , ~ - h . , , k-ff~r*/~,~ ~-yk~--~}~ , , a . . . . . , (40)

/Oh*\ . 1 /02h*\ h~ ,~+l=h,*~ + ~ z . ) m a +-flO--~-~-)ma*Z + . . . , (41)

/Oh*\ . I /OZh *\ h~,~_l --~ h*,~ - - k ~ . ) ~ a q- ~-(~-~w)\ /~,. a*2 . . . . . (42)

Aus (39) und (40) erhalt man bis auf Glieder vierter, bzw. dri t ter Ordnung in a*

(~h * ~ 1 . . ~ - } . = ~ (hi, + 1,~ ~- h . _ l , . - - 2 h~,~) (43)

und

(0h *] __ 1 , Or* ]t,,v 2 a * (ht' + 1,v - - h* _ 1, v) ; (44)

aus (41) und (42) ergibt sich bis auf Glieder vierter Ordnung in a*

(02h*~ 1 , h* Oz*Z~]~,.-~ ~ ( h ~ , , ~ + l q- h ~ , ~ - 1 - - 2 ~,,~) . (45)

Setzt man (43), (44), (45) in die Differentialgleichung (38) ein, so erh/ilt man nach Multiplikation m i t a .2 his auf Grfgen dri t ter Ordnung in a*

( ( , , , - - h ~ t , v _ 1 -}- h#,. + 1 - - 4 h~,,. = 0 (46) 1 hg_ 1,.. q- 1 q- 2 r~)"g + 1.. q- =- Rt . . . .

Gleichung (46) muB fiir alle regularen Knoten erfiillt werden. Wird im Zuge des Relaxationsverfahrens der Wer t h~,~ um Ah~,,. abgeandert , so andert sieh

der Rest R * . um A R~,~ = - - 4 Ah~ , . . (47)

Durch Anschreiben der der Gleichung (46) entsprechenden Knotengleichungen ffir die vier umliegenden Knotenpunkte erkennt man, dab die obige ~nderung yon h~,~ um A h * . folgende Abanderung der Reste in diesen Nachbarknoten erfordert:

R* ( a* ) Ah* (48) A #-1 , . = 1 q - 2 r . t ~ ~,~' /z--1]

, ( a * ) AR~+~,~ = 1 2 ~+~ . ( 4 9 )

R * (50) A ~,~_~ Ah~,,..

Am Rand des Bereiches ktinnen Sterne mit hi~ehstens zwei verkiirzten oder verliingerten Abst/inden auft re ten (Abb. 12). In diesem Fall bleiben (39) und (42) unverandert , w/ihrend (40) bzw. (41) zu

Fiir Sterne mit ungleiehen Abst/ inden f indet sieh beim zylindersymmetrisehen Fall im Sehrif t tum keine Knotengleiehung, die an Genauigkeit der Formel fiir norrnale Sterne entsprieht.

xxvI. Band 1958 Heinrich u. Desoyer: Probleme der station/iren u. instation/iren GrundwasserstrSmungen 41

ersetzen sind dutch . , [ ~ h * \ 1 / 8 2 h * \ a,)2

b Z W .

h . = + + -r i + . . . .

/ e'h* ) . Berechnet man aus (39) u nd (40a) die Werte ~ er*~] , , u n d , \|~-~J/z,, sow,e aus (41a) und (42) den

! ~ 2 h , x Weft { ~-~-) und setzt diese in (38) ein, so ergibt sich nach Multiplikation mit a .2 bis auf GrSBen

\ IIX,?v drit ter Ordnung in a*

a* 2 . (1 -t- 2fli)fli ( 1 - a* ~ h * 2 r~] I -}- l ~ - ~ i ( l ~ - ~ r ~ f i I ) ht*+l,~+i-+-fl~iihm "-1

~- (1 ~- flII) flII hlI ~- flII 2 r~ h~,, ~ Rz, ~ = 0 . (46a)

Ab/inderung des Wertes h~*,~ um Ah$,,/indert den Rest R$,, um

(-~I 1 a* i - ~ i ) A h , . (47a) AR~,. = - - 2 1 _}_ flII 2 r~

Die Reste in den anliegenden Knoten im Inneren des Bereiches findern sich dabei gem/iB (49) und (50), wenn diese Knoten Mittelpunkte yon regul/iren. Sternen sind.

An Hand des eingangs erw/ihnten Beispiels (Abb, 10) soll nun kurz gezeigt werden, wie die Lage des statio- n/iren Grundwasserspiegels beim Zuflu$ zu einem Brun- nen ermittelt werden kann. Der station/ire Zustand kann immer als jener Grenzzustand aufgefaBt werden, dem eine beliebige instation/ire Ausgangsstrfmung asymp- totisch zustrebt. Man wird daher am einfachsten yon einer auf irgendeinem Wege gewonnenen N/iherungs- 15sung fiir die station/ire Spiegellage ausgehen. Fiir diese wird das Netz ausrelaxiert und daraus analog wie im vorigen Beispiel die noch vorhandene Geschwindigkeit des Spiegels aus der Beziehung

[_ a * (51) ~t --~- = [ ~z* -J- ~ ~-~-I. = ~

.Z ~

t~112-!

Abb. 12. l~andstern mit verkiirzten Abst~inden im rotationssymmetrlschen Netz.

1-

ermittelt. Gleichung (51) folgt aus (21) dutch Transformation auf Zylinderkoordinaten. t* ist dabei durch (22) definiert. Analog wie im vorigen Beispiel kann die Ann/iherung des Spiegels an die stationare Endlage in einigen Schritten verfo|gt werden. Die endgiiltige Festlegung des statio- naren Spiegels kann schliel31ich wieder mit Hilfe der Bedingung erfolgen, dab dieser auf den Linien h* -- konst, senkrecht stellen mu$. Abb. 13 zeigt einen auf diese Art ermittel ten stationaren Spiegel 1. Es sind die Linien h* = konst, eingezeichnet. Die in der Zeiteinheit dem Brunnen zu- flieSende Wassermenge kann nun leicht ermittelt werden. Die Fliissigkeitsmenge Q, die in der Zeiteinheit durch eine Zylinderfl/iche mit dem Halbmesser r hindurchtri t t , ist

z~

Q = 2 7~ r krr -~r dz. (52)

dz*. (53)

-Mit (36) und (37) ergibt sich daraus ~2

Q -- Q* = 2 Jr r* f 0h* H 2 krr z * ~ 0

Fiir ffinf verschiedene Absenkungen des Wasserspiegels im Brunnenschacht hat H. Schmidt nach der hier entwickelten Methode die station/ire Lage des Grundwasserspiegels und die zugeh5rigen Entnahmemengen ermittelt. (l)ber eine Anwendung der Relaxationsmethode zur Behandlung yon Grundwasserstrfimnngen, Diss. T. tI. Wien, 1956.)

42 Heinrich u. Desoyer : Probleme der station/iren u. instation/iren GrundwasserstrSmungen Ingenieur-Arehiv

Die Gr51~e Q* muB, im station~iren Fall, yon r* unabhangig sein. Dies kann als Kontrolle beniitzt werden. Das obige Integral kann, etwa nach der Simpsonschen Regel, leicht ausgewertet werden. Fiir das durchgefiihrte Beispiel ergab sich Q* = 0,864.

Die numerischen Berechnungen zu den angegebenen Beispielen wurden mit einer vollauto- matischen Rechenmaschine durchgeffihrt. Es ware jedoch empfehlenswert, ftir Aufgaben dieser Art elektronische Rechengerate einzusetzen. Man kSnnte in diesem Fall entweder die Differenzen- gleichungen ffir die einzelnen Knoten als lineares Gleichungssystem einer LSsung zufiihren oder man benutzt zur LiJsung der Potentialgleichung die sog. Monte-Carlo-Methode 1. Diese hat den Vorteil, dab man mit ihrer Hilfe den Weft der Potentialfunktion in einem beliebig vorgegebenen Knoten des Bereiches ermitteln kann, ohne dab es nStig ist, die Potentialwerte in den iibrigen Knoten zu berechnen. Da fiir die Ermitt.lung der Absinkgeschwindigkeit des Spiegels nur die Ab- leitung der Potentialfunktion am Spiegel selbst benStigt wird, kSnnte man auf diese Weise die Berechnung der Werte im Inneren des Bereiches vermeiden, sofern sie nicht aus anderen Griinden yon Interesse sind.

5. Zusammenfassnng. Im AnschluB an zwei vorangegangene Arbeiten, in denen Grundlagen fiir die Behandlung yon stationaren und instation/iren GrundwasserstrSmungen entwickelt wurden, wird hier die Anwendung auf praktische Probleme der GrundwasserstrSmungen gezeigt. Nach einer kritischen Betrachtung der Dupuitschen NaherungslSsung werden die Grundgleichungen der instationaren Grundwasserbewegung zur Anwendung der Relaxationsmethode auf dimensions- lose Form gebracht. Am Beispiel der instationaren DurchstrSmung eines Dammes wird die An- wendung der Relaxationsmethode auf ebene Probleme erlautert und zugleich gezeigt, wie man sich ein Bild yon der Beanspruchung des FestkSrperskelettes verschaffen kann. Als Beispiel fiir die LSsung eines zylindersymmetrischen Problems mittels der Relaxationsmethode wird der stationare ZufluB zu einem Brunnen als Grenzfall, dem eine instationare StrSmung asymptotisch zustrebt, behandelt.

(Eingegangen am 25. M/irz 1957.)

Anschrift der Verfasser: Prof. Dr. G. Heinrich und Dr. K. Desoyer, Wien IV, Karlsplatz 13, Technische Hoch- schule

1 Siehe z. B. Ed. F. Beckenbach, Modern Mathematics for the Engineer, S. 293ff., McGraw-Hill 1956 (dort weitere Literaturangaben).