Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.1 Mathematische Modelle zur Prozessidentikation TestsignaleZur Durchführung der PI sind experimentelle

April 2002 Blatt 2.1 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Mathematische Modelle zur Prozessidentikation

Testsignale Zur Durchführung der PI sind experimentelle Untersuchungen erforderlich, um hieraus auf das Systemverhalten zu schließen und ein

mathematisches Modell erstellen zu können.

Anforderungen einfach zu erzeugenan Signale reproduzierbar (z.B. Signalgenerator)

einfache mathematische Beschreibung anwendbar/zugeschnitten auf Prozess

anwendbar auf vorhandene Stellglieder Signalverarbeitung auf System


Identifikation / Einfluss der Stellglieder

Stellgliedy

Prozessu1

Gesucht: Übertragungsverhalten P

Alle Elemente und Glieder des Systems sind zu berücksichtigen !

u2

G = GS GP U2 = GS U1 Y = GP U2 Y = GP GS U1

Wenn u2 messbar, kann GP2 direkt aus u2 und y identifiziert werden !

Wenn u2 nicht messbar, kann GP2 direkt aus u1 , y und Kenntnis von GS identifiziert werden !

GP = Y/U2 GP = 1/GS Y/U1


Beispiel Heizungsregelung

Schema:

Ein/Aus

Luft

Gas

yRegler Brenner

w uKessel

RohrleitungKörper

Raum

Messen

Wirkungsplan:

Aufgabenstellung:

Das Zeitverhaltens des Wohn-Raumes für die Heizungs-Regelung ist durch Identifikation zu bestimmen.


Beispiel Heizungsregelung

Wirkungsplan

yRegler Brenner

w u1

KesselLeitungKörper

Raum

Messen

y

Brenner

u1 Kessel

RohrleitungKörper

Raum

Pt PT1 PT1 PT1

Für Identifikation Raumverhalten Kenntnis von u4 erforderlich

u2

u3

u4


Einfluss Verzögerungselemente

Identifikation:

Bei Wahl der Messorte Sind Verzögerungselemente (Systemkomponenten) zu berücksichtigen, welche die Dynamik des Zeitverhaltensbeeinflussen.

Fälle:a) Proportional / zeitverzögertb) Proportional / zeitverzögert

mit Rückkopplung c) unstetig / integrierend

(z.B. Stell-/Schrittmotor)


Signalarten

Kriterien für Signale: • natürlich / künstlich• deterministisch / stochastisch• periodisch / nicht periodisch• kontinuierlich / diskret

Signale: Physikalisch in Form von Spannung, Strom, Temperatur, DruckBeschreibung in Form von Amplitudenwert(Funktionswert) für definierte Zeitpunkte

Definitionen: Deterministisch:in jedem Zeitpunkt ist ein eindeutig vorher-sehbarer Wert definiert.Stochastisch:Signalverlauf ist nicht eindeutig vorhersehbarBeschreibung durch Mittelwert, Streuung, etc.


Kontinuierlich Diskret

Nicht periodisch SprungfunktionRampeDreiecksfunktion

SprungfunktionRampeDreiecksfunktion

Periodisch Sinus-/CosinusfunktionRechteckfolgeDreiecksfolge

Sinus-/CosinusfunktionRechteckfolgeDreiecksfolge

stochastisch Zufallsignal (kontinuierlich)

Binäres Rauschen(beliebige O/1-Folge)

Unterscheidungsmerkmale Signalformen


Beispiele für Signalverläufe

Nicht periodisch

Periodisch

stochastisch (Binäres Rauschen)

stochastisch(konti. Rauschen)


LTI-Systeme – Voraussetzung für unsere Betrachtungen

Ausgangspunkt für die Entwicklung von Identifikationsverfahren istdie Verwendung math. Modelle für Systeme, Prozesse und Signale.

Es werden LTI-Systeme betrachtet.• linear: Superposition• zeitinvariant: Systemreaktion unabhängig vom Zeitpunkt der

Betrachtung

Signalbeschreibungen für nichtparametrische Modelle • Kurven / Wertetabellen • System als black box • g(t), h(t), Frequenzgang

System)(tua)(tue


Beschreibungen für nicht para. Modelle

Beschreibung im Zeitbereich/Frequenzbereich:

Gewichtsfunktion g(t) = g(t) * δ(t) G(s) = G(s) 1

Sprungantwort h(t) = g(t) * ε(t) H(s) = G(s) 1/sSystemantwort y(t) = g(t) * u(t) Y(s) = G(s) U(s)

g(t) = d/dt h(t)

Frequenzgang G(s) -> G(jw) G(jw) = Y(jw)/U(jw) = |G(jw)|ejphi(w)

g(t)G(s)

)(tua)(tue


Beschreibungen für param. Modelle

Signalbeschreibungen für parametrische Modelle

• System als white/grey box

• Systemstruktur bekannt (DGL, G(s))

g(t)G(s)

)(tua)(tue

dmy/dtm + am-1dm-1y/dtm-1 + .... + a0y = bndnu/dt + bn-1dn-1u/dtn-1 + .... + b1du/dt + bou

)(

)(=

++

+=

)(

)(=)( 2

210

10

sA

sB

sasaa

sbb

sU

sUsG

e

a

Zusammenhang zwischen Eingangs- und Ausgangsgröße wird durch eine Dgl. oder Übertragungsfunktion eindeutig wiedergegeben !


Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PT1)

Verzögerungsglied 1. Ordnung (PT1-Glied)

)(

)(=

+1=

+1=

)(

)(=)(

1

0

sA

sB

sT

K

sa

b

sU

sUsG

e

a y(t) = Ku0(1-e-t/T)

0

20

40

60

80

100

120

0 25 50 75 100 125

u0

u

0

20

40

60

80

100

120

0 25 50 75 100 125

Ku0(1-e-t/Ts) Δ y

TS

Y(00) := KS *u0

y/Ku0




)()(

=)+1)(+1(

=++

=)()(

=)(21

2210

0

sAsB

sTsTK

sasaab

sUsU

sGe

a

T1 = ZeitkonstanteT2 = ZeikonstanteK = K1 K2

Fall 1: Die Zeitkonstanten sind voneinander verschieden „Wie sieht die Sprungantwort des Systems aus ?“

PT1K1 T1

)(tu PT1K2 T2

)(ty )(tu PT2K T1 T2

)(ty=

Y(s) = U(s) G(s) = K / s (1 + sT1) (1 + sT2)



Lösung / Rücktransformation in den Zeitbereich:Partialbruchzerlegung:

Y(s) = K / s (1 + sT1) (1 + sT2) = A0/s + A1/(1 + sT1) + A2/(1 + sT2)

Koeffizientenbestimmung nach (Satz nach HEAVISIDE): Ak = lim (Y(s) ( s-sk))

A0 = K

A1 = lim (K/s(1+sT2)) = -KT1 /(1-T2/T1) = -KT12/(T1 – T2)

A2 = lim (K/s(1+sT1)) = -KT2 /(1-T1/T2) = -KT22/(T1 – T2)

s->sk

s->-1/T1

s->-1/T2



Y(s) = A0/s + A1/(1 + sT1) + A2/(1 + sT2)

Y(s) = K/s - KT12/(T1 – T2) 1 /(1 + sT1) + KT2

2/(T1 – T2) 1/(1 + sT2)

Rücktransformation in den Zeitbereich ergibt:

y(t) = K [ 1 - T1/(T1 – T2) e-t/T1 + T2/(T1 – T2) e-t/T2 ]

Beipiel PT1-PT9 Glieder mit verschiedenen ZeitkonstantenExcel-Kurven (Anlage) Verdopplung der Zeitkonstanten T2 = 2 T1; T3 = 2 T2; T4 = 2 T3; .....


Verallgemeinerung PTn-Glied mit unterschiedlichen Zeitkonstanten:

Ai = 1 für i = 0

Ai = - (Ti) n / Π (Ti – Tj) für i > 0 i j und n>1j=1

n

Beispiel : PT4-Glied, d.h. n=4

A0 = 1A1 = -T1

4 / [ (T1-T2) (T1- T3) (T1-T4) ]A2 = -T2

4 / [ (T2-T1) (T2- T3) (T2-T4) ]A3 = -T3

4 / [ (T3-T1) (T3- T2) (T3-T4) ]A4 = -T4

4 / [ (T4-T1) (T4- T3) (T4-T3) ]

Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PTn)


Sprungantwort System 4. Ordnung

Beispiel : PT4-Glied, (n=4), verschiedene Zeitkonstanten

A0 = 1A1 = -T1

4 / [ (T1-T2) (T1- T3) (T1-T4) ]A2 = -T2

4 / [ (T2-T1) (T2- T3) (T2-T4) ]A3 = -T3

4 / [ (T3-T1) (T3- T2) (T3-T4) ]A4 = -T4

4 / [ (T4-T1) (T4- T3) (T4-T3) ]

y(t) = K [ 1 - T13/(T1 – T2) (T1- T3) (T1-T4) e-t/T1

- T23/(T2 – T1) (T2- T3) (T2-T4) e-t/T2

- T33 / (T3-T1) (T3- T2) (T3-T4) e-t/T3

- T43 / (T4-T1) (T4- T2) (T4-T3) e-t/T4]




)()(

=)+1(

=++

=)()(

=)( 22210

0

sAsB

sTK

sasaab

sUsU

sGe

a

T1 = T2 ZeitkonstanteK = K1 K2

Fall 2: Die Zeitkonstanten sind voneinander verschieden „Wie sieht die Sprungantwort des Systems aus ?“

PT1K1 T

)(tu PT1K2 T

)(ty )(tu PT2K T

)(ty=

Y(s) = U(s) G(s) = K / s (1 + sT)2 = K / T2/ [s (s + 1/T)2]



Lösung / Rücktransformation in den Zeitbereich:Partialbruchzerlegung:

Y(s) =K / T2/ [s (s + 1/T)2] = A0/s + A1/(s + 1/T) + A2/(s + 1/T)2

Koeffizientenbestimmung nach Ak = 1/(n-k)! lim (d(n-k)/ds(n-k)[Y(s) ( s-sk)n]) k = 1 ...n-1

An = lim (Y(s) ( s-sk)n)

A0 = K

A1 = lim (K/T2 d/ds(1/s)) = lim K/T2 (-1/s2) = -K

A2 = lim ( K/T2 /s) = -K/T

s->sk

s->-1/T

s->-1/T

s->-1/T

s->sk



Y(s) = A0/s + A1/(s+ 1/T) + A2/(s + 1/T)2

Y(s) = K/s - K 1 /(s + 1/T) + K/T 1/(s + 1/T)2

Rücktransformation in den Zeitbereich ergibt:

Y(t) = K [ 1 - e-t/T - t/T e-t/T ] = K[1-(1+t/T)e-t/T]

Herleitung nach Laplace-Korrespondenztabelle

1/s(s-a)2 <-> 1/a2 [1 + (at-1) eat]


Verallgemeinerung Sprungantwort von PTn-Gliedernmit gleicher Zeitkonstanten:

Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (PTn)

Y(t) = K (1 - e-t/T [ Σ 1/k! (t/T)k]k=0

n-1

Beispiele:

n=1: y(t) = K(1- e-t/T )n=2: y(t) = K(1- e-t/T [1+t/T])n=3: y(t) = K(1- e-t/T [1+t/T+ 1/2 t2/T2])n=4: y(t) = K(1- e-t/T [1+t/T+ 1/2 t2/T2 + 1/6 t3/T3])

Beipiel PT1-PT9 Glieder mit gleicher ZeitkonstantenExcel-Kurven (Anlage)


Kurvencharakteristik

Kurvenverlauf:• mit zunehmender Ordnung flacher• mit zunehmender Ordnung wird die Systemreaktion „langsamer“• Kurvenverlauf mit Wendepunkt

Wendepunkt bedeutet mathematisch:• 1. Ableitung weist im WP Maximum/Minimum auf• 2. Ableitung hat O-stelle im WP

Wir finden den Wendepunkt der Sprungantwort in dem Zeitpunkt,wo sich das Maximum / Minimum der Ableitungskurve (Gewichtsfunktion) befindet.

g(t) = y(t) = K / Tn · tn-1/ (n-1)! · e-t/T PTn-Glied gleiche Zeitkonst..


Kurvenzusammenstellung PTn-Glied mit gleicher Zeitkonstanten

Sprungantwort Gewichtsfunktion


Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (2)

Verzögerungsglied 2. Ordnung (PT2S-Glied)

)()(

=1+

2+1

=++

=)()(

=)(

200

2210

0

sAsB

ωωςK

sasaab

sUsU

sGe

aω0= KreisfrequenzD = DämpfungK = Verstärkungsfaktor

G(s) = K / (s-s1)(s-s2) mit s1,2 = ω0(-ζ± √(ζ 2-1)

Fall 1:ζ >1: aperiodische Dämpfung / Reihenschaltung von 2 Verzögerungs-Gliedern 1. Ordnung (wie vor; s1 = -1/T1; s2 = -1/T2)

h(t) = K(1 + 1/(T1-T2) (T2e-t/T2-T1e-t/T1)


Kennwerte einfacher linearer parametrischer Modelle (3)

Fall 2:D=1 Doppelpoliger aperiodischer Grenzfall (wie vor)

h(t) = K(1 – (1+ t/T )e-t/T)

Fall 3:0< ζ < 1 Periodische Dämpfung

h(t) = K(1 – 1/√(1- ζ 2) e- ζ ωot(sin(ω0√(1- ζ 2)t +φ)


Übersicht einfacher Übertragungsglieder


Zusammenstellung wichtiger Übertragungsglieder (1)


Zusammenstellung wichtiger Übertragungsglieder (2)


Zusammenstellung wichtiger Übertragungsglieder

© Übetragungsglieder 1- 3: Quelle: Unbehauen: Regelungstechnik I, Vieweg Verlag

Documents

Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 Blatt 2.1 Mathematische Modelle zur Prozessidentikation TestsignaleZur Durchführung der PI sind experimentelle