Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.1 Vorlesung Prozessidentifikation Bestimmung von Ersatzsystemen zur Identifizierung

April 2002 / Prozessidentifikation Blatt 3.1 Prof. Dr.-Ing. Benedikt Faupel

Vorlesung Prozessidentifikation

Bestimmung von Ersatzsystemen zur Identifizierung Bestimmung von Ersatzsystemen zur Identifizierung gemessener Übergangsfunktionengemessener Übergangsfunktionen

24. April 2002

Hochschule für Technik und Wirtschaft des SaarlandesFachbereich Elektrotechnik

Goebenstr. 4066117 Saarbrücken


Ermittlung von Ersatzübertragungssystemen

Wichtige Identifikationsaufgabe

Bestimmung eines Ersatzübertragungssystem auf Basis von Messdaten (Eingangs- und Ausgangssignale).

Parametrischer Ansatz (grey box):• Struktur des Übertragungssystems wird angenommen

(PTx-Glied, Übertragungsverhalten mit Ausgleich)• Die Wahl der Struktur muß mit dem Kurvenverlauf

korrespondieren !(z.B.: Kurvenverlauf ohne Ausgleich / PTx-Glied sinnlos).

• Die Kenngrößen / Parameter des Übertragungssystem (Struktur) muß aus der vorliegenden Kurven ermittelt werden !


Beispiel Heizungsregelung

Schema:

Ein/Aus

Luft

Gas

yRegler Brenner

w uKessel

RohrleitungKörper

Raum

Messen

Wirkungsplan:

Aufgabenstellung:

Das Zeitverhaltens des Wohn-Raumes für die Heizungs-Regelung ist durch Identifikation zu bestimmen.


Beispiel Heizungsregelung

Wirkungsplan

yRegler Brenner

w u1

KesselLeitungKörper

Raum

Messen

y

Brenner

u1 Kessel

RohrleitungKörper

Raum

Pt PT1 PT1 PT1

Für Identifikation Raumverhalten Kenntnis von u4 erforderlich

u2

u3

u4


Vorgehensweise

Einfachster Fall:Suche als Ersatzsystem ein System 1. Ordnung (PT1-Glied)

Vorgehen:• Ermittlung / Einzeichnen der Anstiegstangente im Wendepunkt

des Kurvenverlaufes• Bestimmung der Verzugszeit (Tu) und Ausgleichszeit (Tg)• Bestimmung des Proportionalbeiwertes K aus y() und u0

K = y()/u0

• K, Tu und Tg bestimmen die Parameter des Ersatzsystems

Hinweise für die praktische Anwendung:• Konstruktion der Wendetangenten • Bewertung zur Modellgüte / Fehler & Unterschiede Ersatz-/

Ursprungssystem


Ersatzsystem PT1


Beispiel für Ersatzsystem PT1

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Blau: MesskurveRot: WendetangenteGrün: PT1 Ersatzsystem

Ablesen:Tu = 15 sec.Tg = 85 sec.K = 1

G(s) = e-sTu / (1+sTg)

Sprungantworth(t) = 1-e-(t-Tu)/Tg

Für t > Tu, sonst 0


Ersatzsystem höherer Ordnung

Fall 2:Ersatzsystem höherer Ordnung n > 1 (ab PT2-Glied)Ersatzsystem mit gleicher Zeitkonstanten

Vorgehen:• Ermittlung / Einzeichnen der Anstiegstangente im Wendepunkt

des Kurvenverlaufes• Bestimmung der Verzugszeit (Tu) und Ausgleichszeit (Tg)• Bestimmung des Proportionalbeiwertes K aus y() und u0

K = y()/u0

• Bestimmung der Ordnung des Systems• K, Tu und Tg bestimmen die Parameter des Ersatzsystems


Mathematische Betrachtung Wendepunkt

Definition des Wendepunktes (mathematisch)

.

Wir finden den Wendepunkt der Sprungantwort in dem Zeitpunkt,wo sich das Maximum / Minimum der Ableitungskurve (Gewichtsfunktion) befindet.

g(t) = y(t) = K / Tn · tn-1/ (n-1)! · e-t/T PTn-Glied gleiche Zeitkonst.

Wendepunkt bedeutet mathematisch:• 1. Ableitung im WP Max/Mini• 2. Ableitung O-stelle im WP


..

Bestimmung Lage Wendepunktfür PTn-Glieder gleicher Zeitkonstanten

Math. Vorschrift für WP: 0-stelle der 2. Ableitung

g(t) = y(t) = K / Tn e-t/T [-1/T tn-1/(n-1)! + 1 /(n-2)! tn-2] .

g(to) = 0 : [-1/T tn-1/(n-1)! + 1/(n-2)! tn-2] = 0

to = T (n-1)

.

BeispielSystem 5. Ordnung T = 40 sec-> Lage des Wendepunkte bei 4 T = 160 s


Wert der Gewichtsfunktion im Zeitpunkt to (Wendepunkt)

g(t) = y(t) = K / Tn · tn-1/ (n-1)! · e-t/T

mit to = T (n-1) und Einsetzen ergibt

g(to) = y(to) = K / Tn · ton-1/ (n-1)! · e-to/T

g(to) = y(to) = K / Tn · Tn-1 (n-1)n-1/ (n-1)! · e-T(n-1)/T

g(to) = y(to) = K / T · (n-1)n-1 / (n-1)! · e-(n-1)

Ergebnis:• mit zunehmender Ordnungszahl wird das Maximum kleiner• Anstieg der Sprungantwort wird im Wendepunkt daher flacher• für n = 1 (PT1-Glied) existiert kein Wendepunkt• Maximum g(to) befindet sich im O-punkt (PT1-Glied)


Kurvenverläufe Sprung- und Gewichtsfunktion PTn-Glieder mit gleicher Zeitkonstanten


Kennpunkte der Sprungantwort PTn-Glieder mit gleicher Zeit T

Kennwerte:• Tu Verzugszeit• Tg Ausgleichszeit• yq Wert der Sprungantwort im Wendepunkt• tq Zeitpunkt des Wendepunktes

yq


Relationen / Math. Beziehungen

to = T (n-1)

yq/y() = 1 – e-(n-1) Σ (n-1)k/k!Einsetzen von to in y(t)

Tg/T = (n-2)! /(n-1)n-2 en-1 Anstieg im Wendepunkt = y()/Tg

Tu/T = n – 1 – (n-2)! / (n-1)n-2 [en-1 - Σ (n-1)k/k!]

Zusammenstellung der Kennwerte für PTn mitGleicher Zeitkonstante:


Fazit

Tu / Tg ist nicht von T abhängig, sondern von der Ordnung n !Es gilt näherungsweise für 1 <= n <= 7:

n 10 Tu /Tg + 1

Mit Bestimmung der Kennwerte Tg, Tu, und y() können unmittelbarDie Werte für K, T und n bestimmt werden und damit ein Ersatz-System PTn für gleiche Zeitkonstanten angegeben werden

G(s) = K / (1 + sT)n


Blau: MesskurveRot: WendetangenteGrün: PT1 ErsatzsystemPink: PT3-Ersatzsystem

Ablesen:Tu = 15 sec.Tg = 85 sec.K = 1

n = 1O Tu/Tg +1n = 3T = to/2 = 20 sec

G(s) = 1 / (1+sT)3 Sprungantwort: h(t) = 1 – e-t/T[1 + t/T + ½ t2/T2]

Beispiel für Ersatzsystem (höherer Ordnung)

-0,4

-0,2

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1,6

0 50 100 150 200 250 300 350 400


Alternative Verfahren zur Findung Ersatzsysteme (1)

Strategie:• Feststellen von Totzeiten• Bei Totzeit Verschieben um Tt• Konstruktion der Wende-

tangenten• Bestimmung der Ordnung über

Verhältnis yWT(o)/y()• Ansatz für n=2 mit PT2-Glied

und 2 verschiedenen Zeit-konstanten

• Ansatz für n>= 2 mit PTn-Gliedmit gleicher oder harmonischgestaffelter Zeitkonstanten


Alternative Verfahren zur Findung von Ersatzsystemen

Lösungsansatz: PT2-Glied mit unterschiedlichen Zeit-konstanten Aus dem Verhältnis der Werte y(t70/4)

undy() ermittelt man q und damit T1 & T2


Alternative Verfahren zur Findung von Ersatzsystemen (2)

Bestimmung des PTx-Gliedesfür gleiche und verschiedeneZeitkonstanten:Aus dem Verhältnis der Sprung-Antwortwerte y(t63/2) und y() ist n und D(n) festlegt.


Verfahren nach Radtke


Verfahren nach Sponer


Anwendungsbeispiel

Kurvenverlauf: PT3-Ersatzsystem

Excel-Beispiel :PTx-KurvePTx-Kurve mit 1. und 2. AbleitungPTx-Kurve mit WendetangentePTx-Kurve mit Bestimmung der Verzugszeit (Tu)PTx-Kurve mit Bestimmung der Ausgleichszeit (Tg)PTx-Kurve mit Ersatzsystem als PT1-GliedPTx-Kurve mit Ersatzsystem nach n = 10Tu/Tg + 1


Erfahrungswerte zur Reglerein-stellung für technische Prozesse

Quelle: Samal

Über die Regelbarkeit von Prozessen gibt das Zeitverhältnis Tu/Tg Aufschluss:

110

16

13

u

g

u

g

u

g

TT

TT

TT

gut regelbar

noch regelbar

schwer regelbar

Aus der Sprungantwort eines Systems mit Ausgleich kann direkt auf die Regelbarkeit geschlossen werden (Faustformel).

19

u

g

TT

13.5

u

g

TT


Einstellungsregeln für Regelstrecken und Regler

Wenn gilt: Tg/Tu > 3 können die Regeln nach Chien, Hrones und Rewickangewendet werden.

Führungsverhalten

Reglerart Aperiodischer Verlaufü=0

Regelverlauf mit 20% Überschwingen

P-Regler KR

PI-Regler KR

TN

PID-Regler KR

TN

TV

0.3 g

u S

T

T K

0.35 g

u S

T

T K

0.6 g

u S

T

T K

1.2 gT

1.0 gT

0.5 uT

0.7 g

u S

T

T K

0.6 g

u S

T

T K

0.95 g

u S

T

T K

1.0 gT

1.35 gT

0.47 uT


Beispiel für Regelkreis

Messkurve zur Regelstrecke:Gesucht: Einstellung eines PI-Reglersnach Chien, Hrones und Rewick fürminimales Überschwingen!


Beispiel für Regelkreis

Messkurve zur Regelstrecke:Gesucht: Einstellung eines PI-Reglersnach Chien, Hrones und Rewick fürÜberschwingen von 20%!

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