Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker Goethe-Universität, Frankfurt Graphische Datenverarbeitung Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen

Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker

Goethe-Universität, FrankfurtGraphische Datenverarbeitung

Graphische Datenverarbeitung

Notationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen

SS 20022

Graphische DatenverarbeitungNotationen und Rechenregeln für Vektoren und Matrizen© Prof. Dr.-Ing. Detlef Krömker

Der Euklidische Raum

Ein n-dimensionaler Euklidischer Raum sei mit bezeichnet. Ein Vektor in diesem Raum ist ein n-Tupel, also eine geordnete Liste reeller Zahlen:

n

nKomponente oder tenKoeffizien man nennt

, mit

1

i

i

n

1

0

v

1n,0,iv

v

vv

vv n

SS 20023


Spezielle Vektoren

0vv

v

0

)-(

:dann gilt - Vektoreinen für

wirnennen Vektoreinen

1n

1

0

v

vv

Nullvektor

0

00

Ein Vektor kann sowohl als Punkt im euklidischen Raum als auch als gerichtete Linie (vom Ursprung zu diesem Punkt), also als Richtungsvektor, interpretiert werden.

SS 20024


Anmerkungen zumEuklidischen Raum

Der Euklidische Raum ist die Grundlage der klassischen euklidischen Geometrie (Geometrie der Bewegungen: Translation, Drehung, Spiegelung oder auch elementare Geometrie), erstmals systematisch beschrieben in den Elementen des Euklid (365v.Chr. – 300 v.Chr.). Insbesondere gelten hier die klassischen Gesetze der Trigonometrie (Winkelsumme, Sinussatz, Kosinussatz,..., Kongruenzsätze, Ähnlichkeitssätze) und insbesondere auch das Euklidische Parallelenaxiom:„Liegt ein Punkt P nicht auf einer Geraden g, dann gibt es zu g genau eine Parallele p durch den Punkt P.“

SS 20025


Nichteuklidische Räume

Wer die Geometrie versteht, der versteht alles in der Welt. Galileo Galilei (1564-1642)

Erst im 19. Jahrhundert gelang es, eine Reihe alternativer Geometrien wie die elliptische Geometrie oder die hyperbolische Geometrie systematisch zu beschreiben, in denen das euklidische Parallelenaxiom nicht gilt, sehr wohl aber die anderen Hilbertschen Axiome der Geometrie.

Insbesondere die Sätze zur Winkelsumme im Dreieck, zum Flächeninhalt, zum Umfang eines Kreises, der Sinus- und Kosinussatz, u.v.a.m. gelten dann nicht wie in der klassischen euklidischen Geometrie.

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Operatoren auf Vektoren im Euklidischen Raum

Addition:

Multiplikation mit einem Skalar :

n

nn

00

n

0

n

0

vu

vuvu

v

vv

u

uu

11

11

1

1

1

1

vu

1

1

n

0

au

auau

a

u

a

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Rechenregeln für Vektoroperationen im Euklidischen Raum

uuvuvuuuu

uu

0v)vvv0

uvvuwvuwvu

1vgesetzDistributi )(vgesetzDistributi (

)(

(

gesetzKommutativ ziativgeset Assoz)()(

baabab)a

a(bab)

SS 20028


Betrag eines Vektors (engl. norm)

gUngleichunSchwarzCauchy

gleichungDreiecksun

)0,,0,0(0:Regeln folgende die gelten Es

1

0

2

vuvuvuvu

uu0uu

uuu

aa

un

ii

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Skalarprodukt im Euklidischen Raum

(inneres Produkt, Punktprodukt) Im Euklidischen Raum ist ein Skalarprodukt definiert:

Es gelten folgende Regeln:

1

0

n

iiivuvu

vuvuuvvu

wuwuwvwuwvu

0uuuuu

0

)()()(

(00

aa

,0)0,0,

Die letzte Regel sagt:Zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander (sind orthogonal, engl. perpendicular)wenn ihr Skalarprodukt 0 ist.

SS 200210


Orthogonale Projektion eines Vektors

Die orthogonale Projektion w eines Vektors u auf einen Vektor v ist gleich

Eine solche Projektion liefert eine orthogonale Dekomposition von u inw und (u-w), d.h.

vuwvvvvuv

vvuw 2

mit

w)(uw

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Geometrische Interpretation des Skalarproduktes

u

v

u

v

u-w

w

Der Vektor u wird orthogonal auf den Vektor v projiziert.

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Vektorprodukt(Kreuzprodukt)

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren u,v im R3

ist definiert als ein Vektor mit folgenden Eigenschaften:

vuw

emRechtssyst ein bilden )3( und (2)

und zwischen Winkelkleinste der ist mit

,sin)1(

wv,u,vwuw

vuvuvuw

v

û

w

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Eigenschaften des Vektorprodukts

xyyx

zxxz

yzzy

z

y

x

vuvuvuvuvuvu

www

baba

vuw

v)w(uw)v(uwvuvwuuvwwuv

vuwuwvwvuwvwuwvu

uvvuvuvu0vu

zu ktKreuzprodu das sich berechnet Basis lenorthonorma einer In

)()()()(

)()()()()()(

parallel) sind und (

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Lineare Unabhängigkeit von Vektoren und Basis eines Vektorraumes

Die Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn gilt:

Andernfalls nennt man die Vektoren linear abhängig.

Wenn ein Satz von Vektoren linear unabhängig ist, dann nennt man diese Vektoren eine Basis des durch sie aufgespannten Euklidischen Raums. Jeder Vektor v dieses Raumes kann dann als Linear-kombination der Basisvektoren geschrieben werden:

110 ,,, nuuu

0110111100 nnn vvvvvv 0uuu

nn 110 ,,, uuu

1

0

n

iiiv uv

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Spezielle Basen

Eine Basis für deren Basisvektoren paarweise gilt

heißt orthogonal.Gilt zusätzlich

dann heißt diese Basis orthonormal.

jiji uuuu 0

1,1,0

iji jiji

uuu

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Weitere Regeln

Für eine orthonormale Basisund einen beliebigen Vektor p=(p0,p1, ...,pn-1)gilt:

Sehr häufig genutzt wird die Standardbasis e, bei

welcher der i-te Basisvektor ei in jeder Komponente Null ist, mit Ausnahme der i-ten Komponente, die gleich Eins ist – im dreidimensionalen:

110 ,,, nuuu

iip up

,100

,010

,001

210

eeeeee zyx

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MatrizenUnter einer Matrix vom Typ (m,n) oder mxn-Matrix versteht

man ein rechteckiges Schema von Zahlen

mit m Zeilen und n Spalten. Dabei sind die Elemente mjk reelle (oder auch komplexe) Zahlen.

M heißt quadratisch, wenn m=n gilt.Vektoren sind spezielle Matrizen vom Typ

(m,1), genannt Spaltenvektoren oder (1,n), genannt Zeilenvektoren.

1,11,10,1

1,11110

1,00100

nmmm

n

n

mmm

mmmmmm

M

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Spezielle Matrizen

1,1

1,111

1,00100

1,11,10,1

1110

00

00

0000

trix.Dreiecksma man nennt sind, null gleich nalenHauptdiago deroberhalb oder unterhalb Elemente alle der beiMatrix Eine

heißt

100

010001

Matrix-(nxn) Die

heißt

000

000000

Matrix-(mxn) Die

nm

n

n

nmmm m

mmmmm

mmm

mmm

trixEinheitsma

Nullmatrix

E

O

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Transponierte(transpose) adjungierte und adjunkte (adjoint)

Matrizen

Mij

)(ij

Mij

kj

Tkj

T

d)1(a

)(Matrix der Elemente die sind dann streicht, von Spalte te-j die und Reihe te-i die man wenn

erhält man die ),( nanteSubdetermi die Matrix -(nxn) einer d Sei

m,1,j n,,1,k alle fürm

Matrix die man erhält so

über, Wertenkomplexen konjugiert den zu zusätzlich man Geht

m,1,j n,,1,k alle fürm

gilt der beiMatrix -(nxm) eine ist Matrix einer die ,

ji

jk

jk

adjadjunkten

cofactor

m

eadjungiert

scht"ind vertauvektoren snd Spalten"Zeilen- u

mrtetransponie

MAM

M

M

MM

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Weitere spezielle Matrizen

Sei M eine (nxn)-Matrix. M* bezeichne die adjungierte Matrix (für reelle Matrizen gilt MT=M*):

(i) A heißt genau dann selbstadjungiert, wenn M = M*(ii) A heißt genau dann schiefadjungiert, wenn M = -M*(iii) A heißt genau dann unitär (orthogonal),

wenn MM* = M*M = E(iv) A heißt genau dann normal, wenn MM* = M*NDie Matrizen (i)-(iii) sind normal.

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Eigenschaften unitärer (orthogonaler) Matrizen

Wenn M eine unitäre (orthogonale) Matrix ist, dann gilt:

l)(orthogona unitär auch ist so sind, l)(orthogona unitär und wenn

l)(orthogona unitär auch ist

11

MNNM

vuMvMuuMu

MMM

M

T

T

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Orthonormale und orthogonale Matrizen

Matrix. eorthogonal eine erzeugt (Basis) Vektorenvon Satz erorthogonal jeder Nicht

(Basis). Vektorenvon Satz erorthogonal ein als anderes etwas istMatrix eorthogonal eine :Beachte

.orthogonal ist Matrix die l,orthonorma ist sisStandardba Die E)ee(eE zyx

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Operationen auf MatrizenAddition

Für zwei (mxn)-Matrizen M und N gilt

Rechenregeln:

Addition)enweise(komponent

n,0,j m,,0,i für mit ij ijij nmaNMA

0MMM0M

MNNMN)(MLNM)(L

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Operationen auf MatrizenMultiplikation Skalar-Matrix

Ein Skalar a und eine Matrix M können multipliziert werden, so daß das Produkt

Rechenregeln:ijij amta mitMT

NMNMMMM

00MM

MM0M

aaababa

aabba

)()(

)()(10

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Operationen auf MatrizenMatrix-Matrix

Für die (pxq)-Matrix M und die (qxr)-Matrix N (also für verkettete Matrizen) ist das Produktmatrix T eine (pxr)-Matrix mit

1

01,,1

1

00,1

1

01,0

1

000

1,10,1

1,000

1,10,1

1,000

ij ,,0,,,0t mit

q

iriip

q

iiip

q

irii

q

iii

rqq

r

qpp

q

ji

nmnm

nmnm

mm

mn

mm

mm

rjpi

MNT

nmMNT

Rechenregeln:

allgemein nicht gilt NMMNMEMME

MNLNM)N(LL(MN)(LM)N

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Determinanten einer Matrix

Für quadratische Matrizen sind Determinanten definiert:

211200221001201102

211002201201221100

10011100

n21

221

detist 3n für

detist 2n für

nPermutatio ndenentspreche der n Vorzeichedas sgn und n,1,2, Zahlen der nenPermutatio die sind m,m,m

mitsgn

det

1

mmmmmmmmm

mmmmmmmmmD

mmmmD

aaa

D

nmnmm

MM

MM

MM

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Spur (Trace) einer Matrix

Unter der Spur tr M der (nxn)-Matrix versteht man die Summe der Hauptdiagonalelemente:

nnaaatr 2211M

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Weitere Eigenschaften der Determinante

Für (3x3)-Matrizen existiert ein interessanter Weg die Determinante zu berechnen. Bezeichnen wir die Spalten-vektoren mit

Eine Basis ist genau dann rechtshändig (right-handed), wenn ihre Determinante positiv ist

Ist die Determinante negativ nennen wir das die Basis linkshändig (left-handed)

zyzy

zy

mmmmmmM

mmm

xx

x

)(,,

:gilt dann ),,,(

0zyx bbb

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Rechenregeln für Determinanten

emente.Diagonalel der Produkt dem gleich isttrix Dreiecksma einer teDeterminan Diebesitzt. Spalten oder Zeilen gleiche zwei sie wennnull, gleich ist teDeterminan Eine

addiert. anderen einer Vielfachedas (Spalte) Zeile einer zu man wenn nicht, sich verändert teDeterminan Eine

.vertauscht rmiteinande Zeilen zwei oder Spalten zwei man wenn n, Vorzeicheihr verändert teDeterminan Eine

1giltMatrix (nxn) eine Für

MM

MM

NMMNM

M 1

T

naa

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Inverse einer Matrix

M-1 existiert nur für quadratische Matrizen M, deren Determinante ist. Dann gilt M-1 M = M M-1 = E

Rechenregeln

0M

MMM

MM

M )(oder)( 11 adjkjjk

111

11

)

MN(MN(M(M )) TT

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Eigenwerte und Eigenvektoren

Gleichung) istische(charakterwenn,Matrix der , und man nennt

Skalar. ein, Matrix,-(nxn) eine sei Es

xAxAx

0xA

EigenwertEigenvekor

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