Vol. 35, 1980 79

Projektivit~iten direkter Produkte endlicher Gruppen

Von

I~OI~$.N D SCH2KIDT

H e r r n WOLFGANG GASCH'~rZ z u m 60. Geburtstag

1. Einleitung. Die vorliegende Arbeit besch~fti~ sich mit iener Frage, die mir yon W. Gaschiitz gestellt wurde:

Gibt es zu jeder Gruppe H eine Gruppe X, so dab das direkte Produkt H • X der beiden Gruppen durch seinen Untergruppenverband best immt ist ~. (Wir be- trachten hier nur endliche Gruppen; ,,Gruppe" soll also immer ,,endliche Gruppe" bedeuten. Die gestellte Frage ist natiirlich auch fiir unendliche Gruppen interessant, aber wohl nicht so leicht zu beantworten.)

Die Antwort ist relativ einfach: man bette H mit Hilfe des Satzes yon Cayley in eine alternierende Gruppe An = X ein, bei der n - - 3 r trod n - - 3 r + 1 f'fir alle natiirlichen Zahlen r ist. Dann ist die Gruppe H • X durch ihren Untergruppen- verband best immt; denn jede Projektivit~t (d. h. Isomorpkismus des Untergruppen- verbandes) ~ yon H • X auf eine Gruppe L bfldet H und X nach Suzuki [6, Theo- rem 14, S. 50] auf Normalteiler yon L ab, so dab also L = H e • Xr ~,~d, und nach [4, Satz 3, S. 74] wird ~0 auf X yon einem Gruppenisomorphismus induziert. I s t also H1 eine zu H isomorphe Untergruppe yon X, so ist H~ ~-~ Ht _~ H, und da H • HI Diagonalen (d.h. Untergruppen D mit H n D = 1 = H x n D und H D = H • H1 = H1D) enth~lt, tu t das auch (H • H1)r ---- H v • H~. Daraus folgt H~ ~- H~ ---~ H (siehe auch [6, S. 54]), und damit ist L ~ H • X. Wir erhalten also folgenden

Satz. Zu jeder endlichen Gruppe H existiert eine (alternierende) Gruppe X , so daft das direkte Produkt H • X dutch seinen UntergruIopenverband bestimmt ist.

Diese Antwort auf die gestellte Frage ist etwas unbefriedigend, da die Gruppe X im Verh~ltnis zu H recht groB ist. Man wird sich fragen, ob es nicht kleinere, der Gruppe H n~her stehende Gruppen X mit der obigen FAgenschaft gibt. Konkre t e t w a :

Gibt es zu jeder p-Gruppe H e m e p-Gruppe X, oder gibt es zu jeder auflSsbaren Gruppe H eine auflSsbare Gruppe X, so dab das direkte Produkt H • X durch seinen Untergruppenverband best immt ist ?

Auch die Antwort auf diese Fragen ist: Ja ! Die Beweisidee ist die folgende. Sei G1 eine Gruppe, die nur endiich viele nichtisomorphe projektive Bilder besitzt (nach

-~0 R. SCHMIDT ARCH. MATH.

Suzuki [6, Theorem 16, S. 51] ist das genau dann der Fall, werm G1 keinen zyklischen Hallsehen direkten Faktor hat), seien G1, . . . , Gr diese s~mtlichen nichtisomorphen projektiven Bilder yon G1 und sei G ~ G1 • "'" • Gr. I m aIlgemeinen ist die Gruppe G nicht durch ihren L'ntergruppenverband bestimmt. Wir werden aber in w 2 hin- reichende Bedingungen daf'tir angeben, dab G durch seinen UntergTuppenverband best immt ist, und in w 3 zeigen, dab wir diese Bedingungen erftillen k6nnen, wenn wit die in unserem Problem gegebene Gruppe H mit geeigneten Gruppen K direkt multiplizieren.

2. Untersuchung yon G : G1 x "-" x Gr. Sei G1 eine Gruppe, die nur endlich viele nichtisomorphe projektive Bilder besitzt - - diese seien G1 . . . . . Gr -- , sei G G1 • "'" • Gr und sei ~ eine Projektivit4t yon G auf eine Gruppe ~. ~:ir wollen untersuchen, wann ~ isomorph zu G i s t , und stellen zun~chst lest, dab dies nicht immer der Fall ist.

2.1. Beispiel. Sei p :> 2 eine Primzahl und sei G1 ~ ( a ) • (b) mit o(a)-~ p2 u n d o (b) --~ p die abelsche Gruppe vom Typ (p2, p). Dann ist r ---- 2,

G2 = (c, d I c ~2 ---- d~ ---- 1, [c, d] = cP)

die niehtabelsche Gruppe der Ordmmg p3 yore Exponenten p2, und die Gruppe G = G1 • Gz ist, wie man leicht nachrechnet, verbandsisomorph zum semidirekten Produkt G yon G1 mit Ge, bei dem ar ---- a I+p, b e -~ b sowie a a ---- a und b ~ ---- b ~ l t . Offenbar ist G nicht isomorph zu G.

Wir bemerken als ns dab unsere Frage darauf hinausl~uft zu untersuchen, warm die G~ normal in ~ sind.

2.2. Lemma. Sind alle G~ normal in G, so ist G = G~ • 2 1 5 G~r isomorph zu G.

-~ G. so ist offenbar ~ --- G~. Alle G~ sind ver- Bewei s . Sind alle G i _ . ----G~• • bandsisomorph zu G1. Wiiren zwei - - etwa G~ und G~ -- isomorph, so bes&Be die Gruppe G~ X G~---- (Gi • Gj)r Diagonalen, also auch G~ • Gi, d.h. es w~ren G~ und G i isomorph [6, S. 54], im Widerspruch zur Voraussetzung. Somit stud G[ . . . . . G~ paarweise nichtisomorphe zu G1 verbandsisomorphe Gruppen. Davon gibt es aber nur r, und es folgt, dab die G~ in irgendeiner Reihenfolge zu den G~ isomorph sind. Damit ist 0 = G~ • --- x G~ ~-- G1 • "'" • Gr ----- G, was zu zeigen war.

Um zu klb, ren, wann die G~ normal in G sind, ben6tigen wir zwei HilfssAtze, die allgemeiner gelten.

2.3. tlnlssatz. Seien X und Y Gruppen, H = X • Y, p ein Primteiler yon IX[ "and I Y Iund sei die Pro~ektivitdt a yon H au] die Gruppe B singul~ir bei lo. Dann gilt:

(a) H besitzt elementarabelsche T-Sylowgruppen und ein normales p.Komplement.

(b) In einer der GruTpen X oder Y ist die p-Sylowgruppe ein direlcter Faktor.

Bewei s . (a) zNaeh Suzuki [6, Theorem 12, S. 12] ist eine p-Sylowgruppe P yon H I IPi oder elemen I$oh. I Xi t Y] vo . v gete t

werden, ist P elementarabelsch. :4xlgenommen, die Projektivit~t a w~re singular

Vol. 35, 1980 Projektivit~iten direkter Produkte endlicher Gruppen 8t

yon zweiter Art bei p (ftir die Definition siehe [6, S. 42]). Dann ws H = S • T mit einer P a l s eehten Normalteiler enthaltenden P-Gruppe S und (1S I, IT I) = 1 [6, Proposition 2.9, S. 44]. W~re also q der kleinere Primteiler yon IS[ und Q eine q-Sylowgruppe yon S, so w~re I QI = q und Q als q-Sylowgruppe yon H = X • Y in X oder Y enthalten, etwa in X. Es folgte P n Y ~ -~(S) = 1 im Widerspruch zur Voraussetzung. Damit ist a singular yon erster Art bei p, und na.eh [6, Proposi- tion 2.8, S. 43] besitzt H ein normales p-Komplement N.

(b) Sei T ~ die p-SylowgTuppe yon pa. Dana ist T eine maximale Untergruppe yon P und nach [2, Lemma 4.2, S. 456 ] i s t T _~ ,~{H). Ist P n Y ~ T, so ist P n Y < . ~ f ( H ) , also Y = ( P n Y ) • ist abet P n Y ~ T, so ist

P = T ( P n Y ) ~ CH(X) und dann X -~ ( P n X) • ( N n X).

Damit ist der t~ilfssatz bewiesen.

Auf unsere Situation angewandt liefert er:

2.4. Lemma. Die Pro]ektivitdt q~ ist regultir bei ]eder Primzahl p, die die Ordnungen yon rnindestens zwei der G~ teilt.

Beweis . Sei p ein Primteiler voa ]Gjl und IGk] (~ @ k) und sei • sing~ls bei p. zNach Hiffs~tz 2.3 enth~lt G ein normales p-Komplement N, und ist P eine p-Sylow- gruppe yon G mit [Pc [ -~ ]P l, so ist P elementarabelsch und (mit P~ = P n Gi) 1)i oder P~ ein direkter Faktor yon G 1 bzw. Gk, etwa Gj = Pj • _hTj. Da Gj nur endlich viele nichtisomorphe projektive Bilder besitzt, ist Py nicht zyklisch [6, Theo- rem 16, S. 51]. Ist G~ eine der Komponenten yon G, so existiert nach Voraussetzung eine Projektivit/it a yon Gj auf Gi. Nach [6, Theorem 4, S. 5] ist G~ = P7 • N~ mit ([/)71, ! N~'I) = 1, ferner P~ eine P-Gruppe mit p a l s ~613tem Primteiler. Da G ein normales p-Komplement besitzt, tu t das auch P~, d.h. ~ ist eine :p-Grupl~e und damit die p-Sylowgruppe yon Gi. Es ist also die p-Sylowgruppe in jedem G~ ein nicht-zyklischer direkter Faktor. W~re nun P~ eine T-Gruppe fiir alle i, so w~ren alle P~i p-Normalteiler der P-Gruppe PC und damit dann Pa ---- P~I --- P~ eben- falls eine p-Gruppe. Das ist nicht der Fall; es existiert also ein i, so dal~ P~i keine p-Gmppe ist. Da P~ nicht zyklisch ist, enth~lt darm G~ eine p-Sylowgruppe, die kein direkter Faktor ist. Das ist ein Widerspruch, da ja G~ verbandsisomorph zu Gz ist und damit zu einer der Gruppen Gz . . . . , Gr isomorph sein muB.

Der Kern ~ ( X ) einer Gruppe X ist bekanntlich die Menge aUer Elemente yon X, die jede Untergruppe yon X normalisieren.

2.5. Hilfssatz. Seien X und Y Gruppen, H ~- X • Y und sei U eine Untergruppe yon X mit U n 3s = 1. Ist dann a eine Pro~ektivit~ yon H au/ eine Gruppe t7, so wird Y~ yon U ~ normalisiert.

Beweis . Angenommen, y a wird nieht yon U ~ normalisiert. ])ann existiert ein u e U a mit (ya)u ~ ya, u n d e s ist M ---- yo,o-i eine yon Y verschiedene modulare Untergruppe yon H (siehe [1]) mit

M n X = Y~176 n X ~176 = ( Y n X) ~176 = 1.

Ardaiv der Mathematik 35 6

82 R. SCHMIDT ARCH. MATH.

Da M modular in Gis t , ~ I t ftir jede Untergruppe A yon X somit

A = A u ( M n X ) =- (A u M ) ( ~ X ~ A ~ M;

d.h. X ~ (M u Y) ist in ~ (X) enthalten. Offenbar ist M o ~ y a = yau ~ y a ~_ U ~ ~ y a und folglich M ~)Y _~ U • Y. Wegen M ~ Y ist schliel~lich

1 '-- U ~ ( M w Y ) ~ = X ~ ( M ~ Y ) ~_.~ff(X)

im Widerspruch zur Voraussetzung fiber U. Damit ist der Hilfssatz be~desen.

Um unser Hauptergebnis einfacher formulieren zu k6nnen, bezeichnen wir f'dr eine Gruppe X mit ~ (X) das Erzeugnis aller Untergruppen U yon X mit U ~ 3ff (X) ---- 1; ferner sei w-ie fiblich ~ (X) das Erzeugnis der minimalen Unter- gruppen yon X.

2.6. Satz. Sei G1 eine endliche Gruppe mit den/olgenden beiden Eigenscha/ten,

(1) G1 be~itzt nur endlich vide nichtisomorphe pro]eIdive Bilder.

(2) GI=~(G~)~(C~). Sind dann G1 . . . . , Gr diese pro]ek.tiven Bilder yon G1 und ist q~ eine Pro]ektivitdt yon G ---- GI x ... X Gr au/ eine Gruppe ~, so ist ~ = G~ x "" • G~ isomorph zu G. Die Gruppe G ist also dutch ihren Untergruppenverband bestimmt.

Beweis . Nach Lemma 2.2 ist zu zeigen, dab aUe G~ normal in ~ sind. Sei also G~ nicht normal in ~ ftir ein i. Dann existiert ein k, so dal3 G~ yon G~ nicht normali- siert ~4rd. Sei ~ eine Projektivit~t yon GI auf Gk. Nach (2) wird GI yon den Unter- gruppen U mit I U[ Primzahl oder UnPF(G1) = 1 und U zyl~li.~ch yon Primzahl- potenzordntmg erzeugt; es existiert also eine solehe Untergruppe U, so dab U o~ die Gruppe G~ nicht normalisiert.

Is t [ U o [ = p eine Primzahl, so ist p ein Tefler yon [G, [, da sonst naeh [6, Theo- rem 4, S. 5] (G~ • U6)~ = G~ • U ar ware. Nach Lemma 2.4 ist dann T regulSr bei p, trod aus [6, Proposition 2.11, S. 47] folgt doch, dal3 G~ yon Uar normalisiert wird.

Es ist also lU l l keine Prlmzahl, d.h. es ist Un,Vl(G1) ---- 1 und U zyl~!isch der Ordnung p~ mit n > 1. Naeh ttilfssatz 2.5 ist U'~t3J~(Gk) ~ 1; ist also V =- ~ (U) , so existiert eine Untergruppe A yon G1, die yon V nieht normalisiert wird, w~ihrend V ~ im Normalisator yon A ~ enthalten ist. Emeu t nach [6, Proposition 2.11, S. 47] ist o ~-1 singular bei p. Da n > 1 ist, sind die p-Sylowgruppen yon Gk zyklisch, und es existiert ein normales p-Komplement N in Gk mit N~ G1 [5, Theorem 5, S. 354]. Es folgt A ~ V ~ n N ---- A~ und damn A .= (A u V) (~ N~ ~ A w V, ein Widerspruch. Damit ist Satz 2.6 bewiesen.

Wit vermerken als einfache Folgerung:

2.7. Korollar. Ist G1 eine G r u ~ e mit-@r = 1, so ist die (wie in 2.6 gebildete) Gruppe G durch ihren Untergruppenverband bestimmt.

Bewei s . Nach Baer [6, Proposition 2.16, S. 52] ist auch ~f(G1) = 1, mad G1 erffillt dann offenbar die beiden Voraussetzungen yon Satz 2.6.

Vol. 35, 1980 Projektivit~iten direkter Produkte endlicher Gruppen 83

3. Anwendungen. Wir wollen Satz 2.6 dazu benutzen, unsere eingangs gestellten l~ragen zu beantworten. Dazu ~ndern wir die gegebene Gruppe H durch Hinzuftigen eines geeigneten direkten Faktors K so ab, dab das Produkt die Voraussetzungen yon Satz 2.6 erftillt. Grundlage dafiir ist die folgende Bemerkung.

3.1. Lemma. Sei H eine Gruppe und sei K eine Gruppe mit K = . Q ( K ) ~ ( K ) , die keinen zyldischen Hallschen dire~en Faktor besitzt. EntNilt JK zu jedem Element x e H yon Primzahlpoten~rdnung 1~a~ 1 ein Element y der Ordnung pa+i mit (y) (~ 3~'(K) ---- 1, so er]iillt die Gruppe Gi ---- H • .K die Voraussetzungen yon Satz 2.6.

Beweis . ]qach Voraussetzung besitzt K keinen zyklischen Hallschen direkten ]Faktor, und jeder Primteiler yon [HI teilt auch [El . Somit kann Gi----H • K keinen zyklischen tIallsehen direkten Faktor besitzen, hat also nach [6, Theorem 16, S. 51] nur endlich viele nichtisomorphe projektive Bflder. Ferner ist K ~ Q(Gi) ~(Gi) , und ist x e H yon Primzahlpotenzordnung pa, so existiert ein y e K mit o (y) = pa+l und (y) n ~ ( K ) = 1. Dann ist auch (y) r ~ ( G i ) = 1, und aus (xy) ~' = y ~ folgt ( x y ) n 3g" (Gi) = 1, also schlieBlich x �9 (xy , y ) ~_ ~,~ (Gi). Damit ist Gi = ~ (Gi) J7 (Gi) und 3.1 beu4esen.

Wir geben einige Gruppen K an, die die in 3.1 geforderten Eigenschaften haben; dabei sei Zg die zyklische Gruppe der Ordnung/r

3.2. Satz. Sei H e i n e Gruppe mit Exp H ---- 1~ I ... T, a', sei n = p~1+1 ... p~,+l. Sei K eine der/olgenden GruTpen.

(a) Das Kranzprodukt K ---- Zq ~ Zn /i~r beliebige Primzahl q.

(b) Das Kranzprodu~t K = Zn ~ Zq ]~r beliebige Primzahl q.

(c) Das 8emidirekJe ProduIct K----Zq" Zn ]i~r eine PrimzaM q mit n lq'-- 1 zura Automorphismus der Ordnung n der Zq.

Ist dann Gi ---- H • K, so besitzt Gi nur endlich vide nichtisomorphe pro~el:tive Bil- der G1 . . . . . Gr. Das dire~e Produld G ~ Gi x "" • Grist durch seinen Untergruppen- verband bestimmt.

Beweis . AUe angegebenen Gruppen K enthalten offenbar keinen zyklischen direk- ten Faktor. Ferner werden alle erzeugt durch ein Element der Ordnung q und ein Element y der Ordmmg n mit (y) n 3/~(K) = 1. Damit ist K = Q ( K ) ~ ( K ) und auBerdem die weitere BeAingung in 3.1 erfiillt. Aus 3.1 und 2.6 folgt die Behauptung.

Die in der Einleitung angekiindigten Ergebnisse sind einfache l~olgerungen aus Satz 3.2.

3.3. Satz. Zu ~eder p.Gruppe H existiert eine p.Gruppe X , so daft das direlde Pro- dukt I-I • X durch seinez~ Untergruppenverband bestimmt ist.

Beweis . Ist E x p H ~ - p a und K----Z~Zr,+~ , so besitzt G i ~ - H x K nach Satz 3.2 nur endlich viele projektive Bflder G1 . . . . . Gr, und G----Gi • "'" • durch seinen Untergruppenverband bestimmt. Damit ist X ---- K • G2 • --- • Gr eine p-Gruppe [6, Theorem 12, S. 12], die die verlangte Eigenschaft hat.

6*

84 R. SCHMIDT ARCH. MATH.

3.4. Satz. Zu ~eder endlichen au]lgsbaren (iiberauflgsbaren) Gruppe H existiert eine au/16sbare (iiberau/lgsbare) Gruppe X, so daf das direkte Produkt H • X dutch seinen Untergruppenverband bestimmt ist.

Beweis . Ist H iiberauflSsbar, so w~hlen ~dr eine Primzahl q mit n [ q - 1 und dann K nach 3.2, (c); im auflSsbaren Fail kSnnen ~Sr K be]iebig nach 3.2 w~hlen. Fiir G1 = H • K ist dann wieder G ----- G1 • "'" • Gr dutch seinen Untergruppen- verband bestimmt und X = K • Gz • "" • Gr iiberauf]Ssbar [6, Theorem 9, S. 9] bzw. auflSsbar [6, Theorem 10, S. 46].

In [3] zei~en wir, dab gewisse Formationen aufl~Ssbarer Gruppen invariant unter ProjektivitAten sind. Es ist leicht zu sehen, dab unsere Methode auch fiir diese Gruppenklassen das gewiinschte Ergebnis liefert.

3.5. Satz. Fiir ]ede Primzahl p sei ~ eine Formation endlicher au/l~sbarer Gruppen mit den [olgenden beiden Eigenscha[ten.

(1) ~ enthiilt eine Gruppe F ~ i.

(2) Ist A e Up mit zyldischem Zentrum und izt B verbandsisomorph zu A, so ist

Ist dann ~ die dutch { ~ } lokal erkMrte gesgttigte Formation, so gilt: Zu #der Gruppe H e ~ existiert eine Gruppe X e 5, so daft dos direNe Produkt H • X dutch seinen Untergruppenverband bestimmZ izt.

Beweis . Wir w/ihlen diesmal (mit den Bezeichnungen yon Satz 3.2) die Gruppe K wie in 3.2, (b). Nach (1) und (2) ist Zq e ~ f'tir jede Primzahl p, so dag also K = Zn ~ Ze in ~ liegt. Ist somit Gt = H • K, so ist G1 e ~ und naeh [3, Theorem, S. 605] dann auch X = K • G2 • "'" • ar �9 ~. Damit hat X die gewiinschte Eigenschaft.

Bekannte Formationen, die man in der angegebenen Form erh~lt, sind die Klasse ~k der k-stufig nilpotenten Gruppen (/r ~ 2) oder die Klasse 92~9~ der Gruppen, deren Kommutatorgruppe k-stufig nilpotent ist (k --> 1).

Literaturverzeiclmis

[1] R. SCHMIDT, Modulare Untergruppen endlicher Gruppen. Illinois J. Math. 13, 358--377 (1969). [2] R. SCmflDT, Verbandsisomorphismen endlicher auflSzbarer Gruppen..4xch. Math. 23, 449

--458 {1972). [3] R. Scs~ra)T, Lattice isomorphisms and saturated formations of finite soluble groups. Proc.

Second Internat. Conf. Theory of Groups, Canberra, 1973. Lh.rM 372, 605--610 (1974). [4] R. SCHMmT, Verbandsautomorphismen der alternierenden Gruppen. Math. Z. 154, 71--78

(1977). [5] M. SUZUKI, On the lattice of subgroups of finite groups. Trans. Amer. Math. Sec. 70, 345--371

(1951). [6] M. SUZI~KI, Structure of a group and the structure of its lattice of subgroups. Berlin-G6t-

tingen-Heidelberg 1956.

Eingegangen am 20. ll. 1979

Anschrift des Autors: Roland Schrnidt Mathematisehes Seminar der Universitiit D-2300 Kiel