Seminararbeit Mathematik machtFreu(n)de

Projekttage zur Einführung in dieSpieltheorie

Andre Daxberger 01548623, Maria Hösch 01447616,David Rist 01200739, Johanna Siegl 01547426

BetreuerJoachim Hermisson

15. Mai 2018

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 31.1 Überblick Spieltheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Ziele der Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2 Grundbegriffe der Spieltheorie 52.1 Reine und gemischte Strategien . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Dominanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Das Nash-Gleichgewicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

3 Taube und Falke 73.1 Einblick in die evolutionäre Spieltheorie . . . . . . . . . . . . . 73.2 Auszahlungsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73.3 Nash-Gleichgewicht bei Taube und Falke . . . . . . . . . . . . 8

4 Anwendung in der Schule 104.1 Einführung in die Projekttage . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

4.1.1 Der Ablauf der Projekttage . . . . . . . . . . . . . . . 104.1.2 Was ist Spieltheorie? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114.1.3 Die Geschichte der Spieltheorie . . . . . . . . . . . . . 114.1.4 Die Einsatzgebiete der Spieltheorie . . . . . . . . . . . 12

4.2 Guessing Game . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124.3 WebQuest . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

4.3.1 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144.3.2 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154.3.3 Vorgehen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164.3.4 Ressourcen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174.3.5 Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184.3.6 Abschluss des ersten Tages . . . . . . . . . . . . . . . . 18

4.4 Handout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.5 WebQuest in der Praxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194.6 Zweiter Tag - Das Taube-Falke-Spiel . . . . . . . . . . . . . . 26

1

4.7 Das Turnier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

5 Abschließende Gedanken 28

Abbildungsverzeichnis 30

6 Anhang 32

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Kapitel 1

Einleitung

1.1 Überblick Spieltheorie„Wie soll ich mich in einer Konfliktsituation am besten verhalten, um den fürmich größtmöglichen Gewinn zu erzielen?“ Die Spieltheorie in ihrer Grun-didee, als Teilgebiet der Mathematik, versucht derartige Fragestellungen ingeeigneten Modellen darzustellen und Strategien zur Gewinnmaximierung zuliefern. Die Besonderheit dieser Strategien liegt in der Abhängigkeit meinerEntscheidungen und von der meines Gegenübers. [Winter, 2014]

Wichtigstes Anwendungsgebiet der Spieltheorie sind die Wirtschaftswis-senschaften, in denen zu diesem Gebiet bereits 8 Nobelpreise verliehen wur-den. Unter diesen Preisträgern befindet sich John Nash, Entwickler des Nash-Gleichgewichts, der durch den Hollywoodfilm A Beautiful Mind, der breitenMasse der wohl bekannteste Spieltheoretiker ist. [Hermisson, 2015]

1.2 Ziele der ArbeitIn dieser Arbeit wird zunächst ein kleiner Theorieblock zur Einarbeitung indie Spieltheorie gegeben und anschließend eine mögliche Aufbereitung derThematik im Unterricht in Form von Projekttagen, die aus unserer Sicht abder 7. Schulstufe Anwendung finden kann.

Ziele nach Abhaltung der Projekttage

Nach Abschluss dieser sind unsere geplanten Lernziele für SchülerInnen:Wissen

• Was ist Spieltheorie? Hierzu auch die bearbeiteten Begrifflichkeiten

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• Geschichtlicher Hintergrund

• Motivation - Warum Spieltheorie?

• Anwendungsgebiete

• Verschiedene bekannte Strategien

Können

• Bearbeitete Spiele wiedergeben

• Selbstständig einfache spieltheoretische Situationen analysieren und Stra-tegien anwenden

• Nash-Gleichgewicht bei einfachen Spielen finden

Und last but not least hatten sie hoffentlich Spaß beim Arbeiten mit diesembreiten Thema!

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Kapitel 2

Grundbegriffe der Spieltheorie

In dieser Arbeit beschränken wir uns der Einfachheit halber ausschließlichauf symmetrische Zwei-Personen Spiele, d.h., dass in einer Situation immerzwei Personen mit- bzw. gegeneinander „spielen“und dabei die selben Hand-lungsmöglichkeiten haben. In solch einem Spiel mit einer Runde existierenzwei unterschiedliche Strategien. Mit welchem Spielzug gegen eine bestimmteStrategie des Kontrahenten der bestmögliche payoff, also der größte Gewinnerzielt werden kann, wird aus folgender Auszahlungsmatrix A abgelesen.

A=(A B

A a bB c d

)(2.1)

Die Auszahlungsmatrix ist folgendermaßen zu lesen: Mit Strategie A be-kommt man gegen Strategie A des Gegenspielers den payoff a, gegen Strate-gie B, b. Spielt man mit B gegen A erhält man den payoff c, mit B gegen Bist das Ergebnis d.In unserem Fall, bei symmetrischen Spielen, haben immer beide Spieler diegleiche Auszahlungsmatrix.Wir beschäftigen uns in folgenden Punkten mit der Frage welche Strategiezu größtem Erfolg führt, wenn man die Strategie des Gegners nicht kennt.

2.1 Reine und gemischte StrategienAls reine Strategie wird eine Verhaltensweise während eines Spiels bezeichnet,die immer die gleiche Wahl trifft. Also immer ein und dieselbe Strategie spielt.Im Gegensatz dazu gibt es die gemischten Strategien. Diese wählen mit einerWahrscheinlichkeit p eine reine Strategie. Gemischte Strategien werden wir

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mit einem Wahrscheinlichkeitsvektor p = (pA, pB) angeben. Die Summe derbeiden Wahrscheinlichkeiten ergibt offensichtlich 1.Nun können wir folgendermaßen den payoff einer gemischten Strategie pgegen eine andere Strategie q mittels Skalarprodukt berechnen:

p ·Aq (2.2)

2.2 DominanzBei einigen Zwei-Personen Spielen, beispielsweise dem Gefangenen Dilemma,existiert eine dominante Strategie, die unabhängig von der Strategie desGegenspielers den höchsten payoff hat. Eine solche Strategie heißt nur danndominant, wenn sie besser als alle anderen Strategien eines Spieles ist.Das Gegenstück dazu ist die dominierte Strategie, welche die schlechtestedarstellt.

2.3 Das Nash-GleichgewichtDer Leitbegriff der Spieltheorie, das Nash-Gleichgewicht, geht auf den Ma-thematiker John Forbes Nash zurück, wofür ihm 1994 der Nobelpreis fürWirtschaftswissenschaften verliehen wurde.Man stelle sich in einem Zwei-Personen Spiel eine Situation vor, in derkeiner der beiden Spieler seine Strategie verändern kann, um seinen eige-nen payoff zu verbessern. Ein Strategienpaar dieser Art nennen wir Nash-Gleichgewicht. Für zwei unterschiedliche Strategien p 6= q nennen wir pNash-Gleichgewicht wenn folgendes gilt:

p ·Ap ≥ q ·Ap (2.3)

Wenn Gleichheit ausgenommen ist, wird es auch striktes Nash-Gleichgewichtgenannt. Eine dominante Strategie ist demnach immer ein striktes Nash-Gleichgewicht.

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Kapitel 3

Taube und Falke

3.1 Einblick in die evolutionäre SpieltheorieDie Spieltheorie spielt auch eine nicht unwesentliche Rolle in den Anwen-dungsgebieten der Biologie. Hier wird beobachtet inwiefern sich Strategiendes Verhaltens innerhalb einer Population herausbilden, um den für die eige-ne Spezies beziehungsweise das eigene Individuum besten payoff zu erzielen.Diese Strategien werden über Generationen hinweg weitergegeben und evo-lutionär weiterentwickelt. [Nowak, 2006]

In der Tierwelt gibt es oftmals Konflikte und Kämpfe, bei welchen einegewisse Grenze nicht überschritten wird, sodass es nicht zu tödlichen Verlet-zungen kommt. Der davongetragene Schaden variiert jedoch von Gattung zuGattung. Auf der einen Seite gibt es die in Kämpfen eskalierende Spezies,welche ernsthafte Wunden verursacht aber diese in einem Kampf mit einemGleichgesinnten auch einstecken muss. Auf der anderen die deeskalierende,die zwar in Kauf nimmt, dass sie im Kampf nie die ganze Beute für sich hat,Wunden allerdings somit komplett vermeidet. Ein bedeutender Mathematikerder evolutionären Spieltheorie war John Maynard Smith. [Hermisson, 2017a]

3.2 AuszahlungsmatrixBeim Taube und Falke Spiel treten diese beiden Extrema gegeneinanderan. Ein Individuum kann entweder die Rolle des eskalierenden Falken oderder deeskalierende Taube einnehmen. Ein Falke wird im Kampf gegen eineTaube die gesamte Beute an sich reißen, zwei Tauben werden sich die Beutegleichmäßig aufteilen, und zwei Falken kämpfen ohne Rücksicht auf Verluste.Es wird davon ausgegangen, dass beide Falken gleich stark sind und somitist die Chance auf die Beute bei Sieg und auf eine starke Verwundung bei

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Niederlage gleich hoch.[Nowak, 2006]Die Auszahlungsmatrix sieht wie folgt aus:

(T F

T b2

0

F b (b−c)2

)(3.1)

Das Taube und Falke Spiel ist für den Fall interessant, in welchem c > bist. Das heißt der Schaden, den zwei Falken erhalten ist höher als die auf-geteilte Beute. Dadurch existiert keine dominante Strategie und für dasIndividuum selbst ist es in jedem Fall besser, nicht dieselbe Strategie wie seinGegenüber zu spielen. Daraus folgt, dass in diesem Fall für die reinen Stra-tegien kein Nash-Gleichgewicht existiert. Wählt die Mehrheit der Spieler diereine Falkenstrategie, so ist es besser Taube zu spielen. Wählen umgekehrtdie meisten die reine Taubenstrategie, so hat man als Falke den höchstenpayoff. In der Natur würde das bedeuten, dass Tauben und Falken koexistie-ren können und die Häufigkeit der Falken abhängig vom Grad der Verwun-dung c ist. Ungeachteter Dinge, dass sich Tauben in einem Käfig zu Todebekämpfen würden.

3.3 Nash-Gleichgewicht bei Taube und Falke[Hermisson, 2015] Wie bereits erwähnt existiert bei den reinen Strategien,bei welchen ein Spieler entweder nur Taube oder nur Falke spielt, kein Nash-Gleichgewicht. Sehen wir uns nun gemischte Strategien an, wobei p die Wahr-scheinlichkeit ist Falke zu wählen und 1−p die Wahrscheinlichkeit für Taube.

Nachfolgende Rechnung und Überlegungen übernommen aus [Hermisson, 2015]und[Hermisson, 2017b].

Sei p = (1 − p, p) und q = (1 − q, q). p bzw. q stellen die Wahrschein-lichkeiten, Falke zu spielen und M die zum Taube-Falke-Spiel zugehörigeAuszahlungsmatrix.

q ·Mp = (1− p)(1− q)b

2+ q(1− p)b+ pq

b− c

2

= (1− q − p+ pq)b

2+ (q − pq)b+ pq

b− c

2

=1

2((1 + q − p)b− pq · c)

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Somit auch (für q = p)

p ·Mp =1

2(b− p2 · c)

und

p ·Mp− q ·Mp =1

2(b− p2 · c− ((1 + q − p)b− pq · c))

=1

2(−p2 · c− qb+ pb+ pq · c)

=1

2(p− q)(b− p · c)

Für ein Nash-Gleichgewicht muss dieser Ausdruck für beliebige q größergleich 0 sein. Dies ist nur dann der Fall, wenn die Wahrscheinlichkeit p Falkezu wählen gleich b

cist also p = (1− b

c, b

c).

• Das Nash-Gleichgewicht ist somit offensichtlich nicht strikt (kann es,da es aus einer gemischten Strategie besteht, auch gar nicht sein). Al-lerdings kann der andere Spieler durch den Wechsel seiner Strategiekeinen Vorteil erzielen. Es lässt sich sagen: wenn ich Nash spiele, istdagegen jede andere Strategie genauso gut.

• Das Beispiel erklärt auch ein in der Natur beobachtetes Muster: Beimit starken Waffen ausgestatteten Tieren (Hörner, Geweihe), die hoheKosten verursachen (hohes c) sind Konkurrenzkämpfe seltener als beiTieren ohne solche Waffen.

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Kapitel 4

Anwendung in der Schule

Das Projekt über Spieltheorie soll im Zuge von zwei Projekttagen erfolgen.Geplant wurden diese Projekttage für eine 7. Schulstufe oder höher.

4.1 Einführung in die ProjekttageZu Beginn der Projekttage wird eine kleine Einleitung in das Thema gegeben.In dieser wird zuerst der Ablauf erläutert und die Ziele der folgenden zweiTage vorgestellt. Außerdem wird das Thema eingeleitet und begründet, wiesoes von Vorteil ist zu wissen, was Spieltheorie ist. Konkret bedeutet das, dassdie Lehrperson den folgenden Ablauf vorstellt.

4.1.1 Der Ablauf der Projekttage

Am ersten Tag wird ein Spiel (Zahlenspiel) zum Kennenlernen der Spiel-theorie gespielt, in dem klar gemacht werden soll, dass es auch beim Ratenrationale Entscheidungen, die nicht nur zufällig zum Gewinnen des Spielsführen, gibt. Anschließend wird die Methode WebQuest vorgestellt. In diesergeht es darum, dass sich die Lernenden selbst mit dem Thema beschäftigenund zudem ihre Medienkompetenz verbessern. Das bedeutet, die Schüler undSchülerinnen lernen zu recherchieren und „gute Information“ von „schlechterInformation“ zu unterscheiden. Dies ist vor allem in der heutigen Zeit, in derdas Internet eine immer größere Rolle spielt, wichtig. Es soll klar werden,dass eine Qualitätskontrolle einzelner Interneteinträge selten zu finden ist.Gleichzeitig lernen sie die Grundlagen der Spieltheorie, durch ein selbstän-diges Arbeiten sowie durch Lernen in der Gruppe, kennen. Dies fördert dieTeamarbeit, Motivation sowie die Selbständigkeit der Schüler und Schülerin-nen. Genaueres zum Thema WebQuest und die mediendidaktischen Vorteile

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sind im Kapitel WebQuest zu finden.Am zweiten Tag werden Expertengruppen, die gemeinsam am WebQuestarbeiteten, kleine Präsentationen halten, in welchen die Erkenntnisse desVortages noch einmal vorgestellt werden. Der Schwerpunkt des zweiten Ta-ges liegt allerdings beim Nash-Gleichgewicht, das durch Beispiele und kurzemFrontalunterricht erklärt wird. Um sich genauer mit dem Nash-Gleichgewichtauseinander zu setzen, werden mehrere Spiele gespielt. Diese Spiele sollendann alle auf das Nash-Gleichgewicht untersucht werden. Zum Schluss wirdein Taube-Falke-Turnier veranstaltet, in dem die Lernenden, die ihrer Mei-nung nach besten Strategien anwenden, um zu gewinnen. Dabei soll auch dasNash-Gleichgewicht behandelt werden.

Nach dieser eher formalen Vorstellung werden die Schüler durch Einsatz-gebiete und eine kurze Geschichte der Spieltheorie „neugierig gemacht“.

4.1.2 Was ist Spieltheorie?

Die Spieltheorie untersucht Situationen, bei denen die Konsequenz einer Ent-scheidung nicht nur von der eigenen Entscheidung abhängt, sondern auchvon der Entscheidung anderer. Es geht hier also um soziale Interaktion. Mitihr können Entscheidungssituationen vereinfacht dargestellt werden, um mitmathematischen Prinzipien diese zu analysieren. [Wikipedia, 2018]

4.1.3 Die Geschichte der Spieltheorie

Mit dem Erscheinen des Buchs „Theory of Games and Economic Behavi-or“ 1944, wurde der wissenschaftliche Grundstein, durch eine mathematischeund systematische Aufbereitung, für die Spieltheorie gelegt. Das Buch ist vonOskar Morgenstern, einem österreichisch-amerikanischen Wirtschaftswissen-schaftler nach dem auch der Oskar-Morgenstern-Platz im 9. Bezirk in Wi-en benannt wurde, und dem ungarisch-amerikanischen Mathematiker Johnvon Neumann.[Davis, 1983, 10] Seither hat sich die Spieltheorie weiter ent-wickelt und findet nun in unterschiedlichsten Gebieten Anwendung, woraufim nächsten Unterkapitel eingegangen wird. In der Vergangenheit haben sichMenschen ihrer bedient ohne sie genau zu benennen oder zu untersuchen. Inder Antike etwa hat der griechische Philosoph Platon in seinem Werk „derLaches“ eine Situation der Schlacht von Delion, die während des pelopon-nesischen Krieges stattfand, geschildert in der die Spieltheorie zur Entschei-dungsfindung eines Soldaten beiträgt. Konkret beschreibt er die Situationeines Soldaten der Front, der mit seinen Kollegen darauf wartet einen Ge-genschlag zu vollziehen. Dieser stellt sich die Frage ob die gegnerische Vertei-digung standhält. Er nimmt an, sie hält nicht stand und sie gewinnen. Also

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überlegt er, ob es schlau wäre sich beim Gegenangriff raus zuhalten, denner allein wird am Ausgang der Schlacht nichts ändern können und damitwürde er sich quasi umsonst der Gefahr zu sterben oder sich zu verletzenaussetzen. Wenn andererseits der Gegner gewinnt, dann ist es ohnehin wahr-scheinlich, dass er umkommt und das unabhängig von seiner Entscheidung.Somit wäre für ihn persönlich das Fernbleiben des Kampfes besser. Wennsich das allerdings jeder Soldat denkt, ist die Schlacht bereits verloren, ohnesie überhaupt geschlagen zu haben. Auch, wenn dies dem wünschenswertenSzenario „Es ist Krieg und keiner geht hin“ gleicht, verlieren sie und dasist nicht ihr Ziel. Diese Frage haben sich viele Soldaten gestellt und in un-terschiedlichsten Lebensbereichen auch andere Menschen über den Lauf derZeit. Die Spieltheorie ist also die mathematische Darstellung und Modellie-rung eines Problems beziehungsweise einer Fragestellung, die sich Menschenseit Jahrtausenden stellen. [Ross, 1997]

4.1.4 Die Einsatzgebiete der Spieltheorie

Die Spieltheorie wird in der Politik als ein Probehandeln für eine reale Situati-on gesehen, bei der man durch gegebene Situationen und Handlungsoptionenmithilfe mathematischer Berechnungen eine optimale (Konflikt-)Lösung er-mitteln kann. In der Politik können somit Verhandlungssituationen geplantund analysiert werden. Hierzu lässt man zum Beispiel zwei Staaten mitein-ander spielen, um so die optimale Lösung herauszufinden. [Wehner, 2006]

Eine der wichtigsten Anwendungsgebiete der Spieltheorie ist die Wirt-schaftswissenschaft. Bisher wurden für Spieltheorie acht Wirtschaftsnobel-preise vergeben. Man kann wichtige Erkenntnisse durch sie gewinnen, wiezum Beispiel die Bestimmung der idealen Produktionsmenge.[Polak, 2007]

In den Naturwissenschaften ist die evolutionäre Spieltheorie von Bedeu-tung. Diese beschäftigt sich mit der Population und den Auswirkungen vonMutationen und anderen Einflussfaktoren auf Gruppen mit verschiedenenVerhaltensweisen.[Rieck, ] Auch findet die Spieltheorie Anwendung in derSoziologie und Psychologie.

4.2 Guessing GameDie Schüler und Schülerinnen sollen nun mit einem Spiel konfrontiert werden,bei dem es herauszufinden gilt, wie man die eigene Entscheidung wählensoll, ohne zu wissen was die anderen wählen werden. Anleitung: Dieses Spielbenötigt mindestens zwei Spieler. Jeder Spieler wählt eine Zahl zwischen 2und 100 und schreibt diese verdeckt auf ein Kärtchen. Ziel des Spieles ist es,

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eine Zahl zu wählen, die am nächsten an einem Wert k des Mittelwertes allergewählten Zahlen ist. In unserem Spiel wird k=2

3gewählt. In der ersten Runde

wählt jeder eine Zahl. Anschließend sollen alle gewählten Zahlen in einerTabelle aufgelistet werden und 2/3 des Mittelwertes berechnet werden. In derzweiten Runde haben die Schüler und Schülerinnen nun die Möglichkeit ihreZahl zu ändern oder bei ihrer zuvor gewählten Zahl zu bleiben. Die Siegerzahlder zweiten Runde wird um einiges kleiner sein als die der ersten Runde. Undgenau das soll mit den Schülern und Schülerinnen besprochen werden. Wasist nun die Lösung dieses Spieles und wie soll man seine Entscheidung treffen,ohne zu wissen, was die anderen wählen? Die rationale Lösung des Spielesist: Wenn jede Person die Zahl 100 wählt, dann ist die Lösung kleiner als67, denn 2/3 von 100 sind gerundet 67. Deshalb sollte niemand eine Zahlwählen, die größer als 67 ist. Haltet sich jede Person an das, so ist 2/3 desMittelwertes aller gewählten Zahlen kleiner 45. Deshalb sollte niemand eineZahl wählen, die größer als 45 ist. Dies wird immer so weiter geführt. Dierationale Lösung dieses Spieles ist 2 zu wählen. In der Praxis hätte man damitaber nicht gewonnen, was die Schüler und Schülerinnen aus den Tabellenerkennen sollen. Im Anschluss sollen die Schüler und Schülerinnen diesesSpiel reflektieren und kurz in eigenen Worten zusammenfassen, um was esbei diesem Spiel ging.[Ableitinger and Hauer-Typpelt, 2008]

4.3 WebQuestEine WebQuest ist eine von der Lehrperson erstellte Lernplattform, die so-wohl ein konstruktivistisches als auch ein konnektivistisches Lernen ermög-licht. Der Konstruktivismus wird vor allem durch die autodidaktischen Ten-denzen und damit dem subjektiven Empfinden und der persönlichen Sicht-weise jedes und jeder Lernenden verfolgt. Dazu kommt, dass die oder derLehrende als Coach mit Erfahrungsvorsprung angesehen wird, was ebensodem Konstruktivismus entspricht. Die "Lernphilosophie"des Konnektivismusnach Steven Downes und George Siemens wird simultan angesprochen. Auf-grund der Lernplattform im Internet, die von der Lehrperson koordiniert wirdsowie durch die Breite am im Internet verfügbaren Informationen, die vonverschiedenen Organisationen, Institutionen oder Privatpersonen veröffent-licht wurden, spiegelt sich hier der Konnektivismus wieder. Zum Lösen einesWebQuests steht der Schülerin und dem Schüler ein methodisches Gerüst zurSeite. Dieses besteht normalerweise aus sechs verschiedenen Stationen:

- Einführung: In der Einführung wird das Problem oder die Fragestellunggeschildert, was zu Interesse und Motivation bei den Lernenden führen kann.

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- Aufgaben: In dieser Station werden die Aufgaben vorgestellt. Die Schülerund Schülerinnen erfahren ihre Ziele. Diese Aufgaben sollten so gewählt sein,dass die Lernenden genau wissen was sie zu tun haben. Um keine Einwort-lösungen zu bekommen und um eine Vielzahl an unterschiedlichen Lösungenzu erhalten, bietet sich eine eher „offene“Fragestellung an.

- Vorgehen: Die Lernenden bekommen konkrete Handlungshilfen und Un-terstützung sowie einen sprichwörtlichen Ariadnefaden, der sie durch das La-byrinth des Internets zu den benötigten Informationen führt.

- Ressourcen: Im Punkt Ressourcen sind die vorgegebenen Informationsquel-len zu finden. Diese bestehen zum Großteil aus Internetlinks, jedoch sindauch Bücher (analog sowie online) dabei, die von der Lehrperson zur Verfü-gung gestellt werden.

- Evaluation: Dabei geht es um die kritische Reflexion und Bewertung derErgebnisse am Ende der WebQuest. Es soll dargestellt werden, wie die Arbeitder Schüler und Schülerinnen beurteilt wird.

- Abschluss: Die Ergebnisse werden präsentiert und die erarbeiteten Lösun-gen werden ausgetauscht. Dabei ist es jeder Lehrperson selbst überlassen wiedieser Austausch oder die Präsentation aussehen soll.

Unsere WebQuest ist hauptsächlich für das Unterrichtsfach Mathematik ge-dacht, beschäftigt sich dabei aber auch mit Einsatzgebieten der Spieltheoriein Biologie, Wirtschaft und Politik. Die Arbeitsdauer beträgt in etwa 8 Stun-den. Ursprünglich ist diese WebQuest im Zusammenhang mit der Planungvon Projekttagen zum Thema Spieltheorie entstanden. Diese WebQuest istunter folgendem Link zu finden und wurde zuletzt am 20.02.2018 aufgerufen.http://www.webquests.ch/spieltheorie.html

4.3.1 Einführung

Die Spieltheorie wurde 1944 durch den Mathematiker John von Neumannund den Wirtschaftswissenschaftler Oskar Morgenstern begründet. Seitherhat sich die Spieltheorie weiter entwickelt und findet nun in den unterschied-lichsten Gebieten Anwendung. Sie untersucht Situationen, bei denen die Kon-sequenz einer Entscheidung nicht nur von der eigenen Entscheidung abhängt,sondern auch von der Entscheidung anderer. In der Vergangenheit haben sichMenschen ihrer bedient, ohne sie genau zu benennen oder zu untersuchen.

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Sie findet Anwendung in Bereichen der Biologie, Wirtschaft, Mathematik,Politik und Soziologie sowie der Psychologie.Im folgenden siehst du einen Chatverlauf zwischen Cosmo und Wanda!

Cosmo: Hallo Wanda, hast du kurz Zeit?Wanda: Hey Cosmo, ja klar! Was ist los?Cosmo: Ich spielte heute gegen meinen Onkel Schere-Stein-Papier und habeschon wieder verloren!Wanda:Ach Mensch! Du hast in diesem Spiel ja wirklich kein Glück!Cosmo: Ich sage dir, es kann nicht nur am Glück liegen!Wanda: Meinst du etwa, dass man das Spiel beeinflussen kann? Du denkstdoch etwa nicht an Schummeln oder Magie?Cosmo: Sei nicht albern :PMein Onkel hat gesagt, dass er eine bestimmte Strategie verfolgt hat, aberer hat sie mir nicht verraten ...Wanda: Das würde ja bedeuten es hat nicht mit Glück zu tun! Wie schönwäre es, wenn uns jemand dabei helfen könnte ...

Nun liegt es an dir den Beiden zu helfen, damit Cosmo seinen Onkel beimSchere-Stein-Papier-Spiel besiegen kann.

4.3.2 Aufgaben

Wie du der Einführung entnehmen konntest, haben Cosmo und Wanda einProblem. Hier stehen nun Aufgaben für dich bereit, mit denen du das nötigeWissen erlangen kannst, um den beiden helfen zu können. Lass dich von denunbekannten Wörtern nicht abschrecken, diese werden im Lauf der Recher-che klarer und damit wirst du zum/zur Spieltheorie-Experten/Expertin.

Was hat der Onkel mit: “Ich habe eine Strategie.“gemeint?Gibt es unterschiedliche Strategien (Handlungsmöglichkeiten)? Wenn ja, nen-ne oder kreiere welche!Wodurch unterscheiden sich reine von gemischten Strategien?

Was ist eine Auszahlungsmatrix und welche Darstellungsformen von Spie-len gibt es noch? Versuche diese zu erklären und gib jeweils ein Beispiel an.Beschreibe, was es bedeutet, wenn eine Strategie dominiert! Erkläre dies an-hand eines Beispiels.

Wie würde eine Auszahlungsmatrix im Spiel Schere-Stein-Papier aussehen?Berechne den „Payoff“einer gemischten Strategie gegen eine andere (gemisch-

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te oder reine) Strategie im Spiel Schere-Stein-Papier.

Fasse kurz in eigenen Worten zusammen, womit sich die Spieltheorie be-schäftigt.

Fernsehreferat: Schließe dich mit interessierten Kollegen und Kolleginnenzusammen. Arbeitet gemeinsam das ausgewählte Anwendungsgebiet eurerGruppe, mithilfe der im Punkt Ressourcen angeführten Informationsquellenunter Änwendungen in den verschiedenen Wissenschaften", aus. Die Aufga-be ist es eine/n Sprecher/in zu bestimmen der/die als Experte/Expertin imFernsehen auftritt und über die Anwendung der Spieltheorie in der jeweiligenWissenschaft redet.

4.3.3 Vorgehen

Arbeitsform:In dieser WebQuest wird sowohl alleine als auch im Team gearbeitet. Begon-nen wird mit einer Partnerarbeit. Anschließend wird in Einzelarbeit allgemeinüber das Thema recherchiert. Zum Abschluss wird in Gruppen genauer überein Anwendungsgebiet der Spieltheorie recherchiert. Die dadurch erhaltenenInformationen werden dann durch ein "Fernsehreferat"vorgestellt.

Allgemeines Vorgehen:Zum Beantworten/Erledigen der Aufgaben sollen nur die angegebenen In-ternetquellen und Literaturangaben im Quellenverzeichnis (Menüpunkt Res-sourcen) verwendet werden.Sei dir bewusst, dass du ein „besonderes Referat“ zu den hier ausgearbeite-ten Themen halten sollst - mache dir also Notizen dazu. Zu Anfang bearbeitedie Seite http://ncase.me/trust// mit einem Kollegen oder einer Kollegin(Partnerarbeit), indem ihr euch die Texte durchlest und die neun Aufgaben-punkte durcharbeitet. Dafür habt ihr 45 Minuten Zeit.Anschließend sollst du in Einzelarbeit mit der Recherche beginnen! Für dieRecherche und damit dem Beantworten/Erledigen der Aufgaben hast du vierStunden Zeit. Arbeite dabei gewissenhaft, denn dieses Vorwissen wirst du inder Gruppe und dem speziellen Einsatzgebiet benötigen.Der letzte Punkt wird sein, dass du dich mit einer Gruppe interessierter Kol-legen und Kolleginnen zusammenschließt. Es stehen die Einsatzgebiete derSpieltheorie, Biologie, Politik, Wirtschaft sowie die innermathematische Aus-einandersetzung mit der Spieltheorie zur Auswahl. Dementsprechend werdenvier Gruppen gebildet, welchen du dich anschließen kannst. Dafür habt ihrzwei Stunden Zeit.

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Jetzt könnt ihr euch eine Stunde auf das Referat vorbereiten. Hier sollt ihrauch einen Gruppensprecher beziehungsweise eine Gruppensprecherin wäh-len, der oder die als Fernsehsprecher/in auftritt.

Wenn während der Bearbeitung Fragen oder Probleme auftauchen, wendedich an die Lehrperson.

4.3.4 Ressourcen

Strategie:http://ncase.me/trust//http://www.spieltheorie.de/glossar/#Strategie (reine Strategie)https://wwz.unibas.ch/fileadmin/wwz/redaktion/witheo/personen/aleks/Teaching/HS10/Einfuehrung_Spieltheorie/KAPITEL7u8_HS10_6on1.pdfJoachim, Behnke: Entscheidungs- und Spieltheorie. Böhlau Verlag 2013. 80.

Dominant:http://www.spieltheorie.de/spieltheorie-grundlagen/dominante-strategie/https://www.preissetzung.de/dominante-strategie-schwach-dominante-strategie-aequivalente-strategie/Joachim, Behnke: Entscheidungs- und Spieltheorie. Böhlau Verlag 2013. 61.

Auszahlung und Darstellungsformen:http://www.spieltheorie.de/glossar/http://www.krgho.de/pdf/facharbeit/spiel.pdf

Allgemeine Ressourcen zur Hilfehttps://www.oemg.ac.at/Mathe-Brief/fba2014/Spieltheorie_Einsiedler.pdfhttp://www.mabs.at/teaching/files/Spieltheorie%202016.pdfhttps://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2007%20Band%2040/VortragAbleitingerHauerTyppelt.pdf

Schere-Stein-Papier Spiel:http://www.nytimes.com/interactive/science/rock-paper-scissors.html(NYT Rock-Paper-Scissors gegen einen Computer, Interessant ist hierbei dieNotiz, Menschen treffen keine zufälligen Entscheidungen, auch wenn sie esversuchen!)

Anwendungen in den verschiedenen Wissenschaften:

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Mathematikhttp://www.mabs.at/teaching/files/Spieltheorie%202016.pdfFür die innermathematische Gruppe bietet sich ein genaueres durchsehen deroben angegebenen Links sowie der Literatur.

Wirtschafthttp://www.spiegel.de/wirtschaft/spieltheorie-verstehen-winkelzuege-fuer-profis-a-408327.html (Spieltheorie anhand von Gefangenendilem-ma, Wirtschaft und der Preiskampf zwischen der NY Times und den DailyNews aus einer Übersetzung eines Artikels in der Harvard Business Review)http://wirtschaftslexikon.gabler.de/Definition/spieltheorie.html

Biologiehttp://sciencev1.orf.at/news/103861.html (Evolutionstheoretischer Zu-gang vorallem auf Grundlage des Artikels Ëvolutionary Dynamics of Biologi-cal Games"von Martin Nowak und Karl Sigmund in ßcienceBd. 303, Seiten793 - 799, Ausgabe vom 6. Februar 2004).Martin A. Nowak, Evolutionary Dynamics - Exploring the Equations of Life.The Belknap Press of Harvard University Press 2006.

Politikhttp://www.zeit.de/2004/44/N-SpieltheorieJunne Gerd, Spieltheorie in der internationalen Politik: die beschränkte Ra-tionalität strategischen Denkens. Düsseldorf 1972.

4.3.5 Evaluation

Diese Arbeit wird aufgrund der ausschließlichen Verwendung im Projektun-terricht mit einem + in Mathematik oder keinem + in Mathematik bewertet.Ein + ist durch die Teilnahme an den Inhalten zu erreichen. Das bedeutetgewissenhaft zu recherchieren und engagiert im Team mit zu arbeiten.

4.3.6 Abschluss des ersten Tages

Das Ziel ist es, dass sich die Schüler und Schülerinnen in Gruppen zusam-menschließen und anschließend über die jeweiligen Anwendungsgebiete derSpieltheorie erzählen. Gruppen können sich gerne selbst Namen geben undauch selbst zusammenschließen. Dabei soll es eine Gruppe zur Wirtschaft,eine Gruppe zur Biologie, eine Gruppe, die sich vor allem auf das innerma-thematische konzentriert und eine, die sich auf Politik spezialisiert, geben.Jeder der Gruppen soll ein Beispiel aus ihrem Gebiet vortragen. Dies ge-

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schieht mithilfe einer „Fernsehpräsentation“. Dabei handelt es sich um einelockere Art zu referieren, bei der etwas schauspielerisches Können gefragt ist!Jede Gruppe bestimmt eine Fernsehsprecherin oder einen Fernsehsprecherder oder die sich in einen imaginären Fernseher begibt. Bei diesem werdenlaufend Sender gewechselt, wobei jeder Sender einer Gruppe entspricht. Isteine Gruppe im Fernseher zu sehen, spielt der Sprecher oder die Sprecherineinen Experten oder eine Expertin auf ihrem Gebiet welche oder welcher überdie Anwendung der Spieltheorie auf die jeweilige Disziplin spricht.

4.4 HandoutDas sich im Anhang befindliche Handout erhalten die Schüler und Schülerin-nen am Ende des ersten Projekttages, damit sie die wichtigsten behandeltenInformationen zu Spieltheorie nochmals auf einer Seite zusammengefasst ha-ben und so eine bessere Ergebnissicherung erfolgt.

4.5 WebQuest in der PraxisIn diesem Kapitel sind Bilder unserer WebQuest zu finden. Die folgendenBilder sind von der bereits im Kapitel 3.3 erwähnten Website http://www.webquests.ch/spieltheorie.html. Diese wurde mithilfe der Internetseitehttp://www.webquests.ch von uns erstellt.

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Abbildung 4.1: Startseite

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Abbildung 4.2: Einführung

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Abbildung 4.3: Aufgaben

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Abbildung 4.4: Prozess

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Abbildung 4.5: Ressourcen

Abbildung 4.6: Evaluation

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Abbildung 4.7: Abschluss

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4.6 Zweiter Tag - Das Taube-Falke-SpielAm zweiten Tag liegt der Fokus auf dem sogenannten „Taube-Falke-Spiel“.Hierbei geht es um ein in der Natur beobachtbares Phänomen, nämlich dasKampfverhalten (z.B. zwischen Hirschen untereinander zur Bestimmung derRangordnung) innerhalb einer Population. Meist gibt es zwei verschiedeneVerhaltensweisen: das defensive Tauben- und das aggressive Falkenverhal-ten.Zunächst soll am Beginn des Tages nochmal ein kleiner Theorie-Input zumTaube-Falke-Spiel und dem Nash-Gleichgewicht stattfinden, wo der Hinter-grund und die Auszahlungsmatrix dieses Spiels besprochen werden soll. Auchdas zugehörige Nash-Gleichgewicht soll gemeinsam mit den SchülerInnen, wieoben im Theorieteil dargestellt, erarbeitet werden.Nach diesem Input wird ein Turnier unter den SchülerInnen im Taube-Falke-Stil veranstaltet.

4.7 Das TurnierNach den zwei Computercode Turnieren von Rober Axelrod aus den Jahren1978 und 1980 zum Spiel „wiederholtes Gefangenen Dilemma“ ist auch derWettbewerb in Zwei-Personen Spielen in die Anwendungsgebiete der Spiel-theorie gerückt. Ausgetüftelte Strategien sind bei diesen Turnieren gegen-einander angetreten, jedoch hat beide Male die simple Strategie „Tit forTat“gewonnen. Erstaunlicherweise sogar als man beim zweiten Turnier ver-sucht hatte gezielt diese zu besiegen.Als letzte Aktivität der Projekttage soll mit den Schülerinnen und Schülernebenfalls ein Turnier zum Spiel Taube und Falke durchgeführt werden. Zurbesseren Durchführung dieser Übung soll das Klassenzimmer zunächst soumgestellt werden, dass die Tische zu 4er Gruppen zusammengestellt wer-den. Anschließend dürfen sich die SchülerInnen frei auf die Tische aufteilen,sodass 4er Gruppen entstehen. Jedem Schüler, jeder Schülerin wird das, sichim Anhang befindliche Taube-Falke-Arbeitsblatt, ausgeteilt.Die erste Aufgabe für die SchülerInnen ist es, sich eine Strategie auszusuchen.Diese kann entweder eine, der am Vortag besprochenen oder eine selbst aus-gedachte sein, sie muss allerdings fix gewählt und bis zum Ende des Turniersbeibehalten werden.Das Ziel jedes Einzelnen ist es die meisten Punkte zu erreichen, wobei diePunktevergabe auf dem Arbeitsblatt fest gesetzt ist. Für den Gewinner gibtes einen kleinen Preis in Form von Süßigkeiten, zur Steigerung der Motivati-on.

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Jedem Platz an den Tischen wird eine Farbe (farbiges Postit) zugeordnetsein, wodurch die anschließende Rotation stattfinden kann. Haben sich al-le SchülerInnen an ihren Tischen eingefunden beginnt die Turnierphase. Andiesen 4er-Tischen spielt zunächst jeder gegen jeden mit seiner zuvor gewähl-ten Strategie. Die Ergebnisse werden zunächst alle zusammen gerechnet undanschließend für alle auf der Tafel festgehalten. In diesen neuen Konstella-tionen spielt wieder jeder gegen jeden, wobei die Punkte anschließend wiederauf der Tafel notiert werden.Danach findet eine Rotation statt. Jeder Farbe wird eine Rotationsnummerzugeordnet, um wieviele Tische sich die Person weiter bewegt. Dann findetwieder ein Durchgang statt, wo jeder gegen jeden spielt. Danach finden 4-5 weitere Rotations- und anschließende Spieldurchgänge statt, wobei nachjeder Runde wieder die Ergebnisse notiert und Arbeitsblätter ausgeteilt wer-den.Nach dem letzten Durchgang werden die Ergebnisse notiert und alle erzieltenErgebnisse, die auf der Tafel notiert wurden, addiert und die drei Bestplat-zierten bestimmt. Zum Abschluss findet eine Analyse der gewählten Strate-gien statt.

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Kapitel 5

Abschließende Gedanken

Ein großes Anliegen wäre uns, dass wir mit unseren geplanten Projekttagen,die in der Einleitung formulierten Ziele erreichen. Uns persönlich hat, dasArbeiten mit diesem Thema große Freude bereitet, da wir einen weiterenspannenden Aspekt der Mathematik kennenlernen durften. Andererseits istdie Aufbereitung eines solchen Themas für die Schule eine interessante Her-ausforderung, die mit Sicherheit unsere Entwicklung zu guten Lehrpersonenfördert.

Weiterführende IdeenDa die Spieltheorie ein soweit verbreitetes Themengebiet ist gibt es einigeÜberschneidungen mit anderen Fächern, wie der Biologie, Geschichte undPolitische Bildung, Philosophie und Psychologie sowie in Schulen mit Wirt-schaftsschwerpunkt in den wirtschaftlichen Fächern. In diesen kann eine wei-tere Bearbeitung des Themas stattfinden mit dem jeweiligen Schwerpunktdes bestimmten Fachs.Eine andere Weiterführung der Projekttage besteht in der Bearbeitung desFilms A Beautiful Mind, in dem es um den Spieltheoretiker John Nash (Nash-Gleichgewicht) und vorallem um seine Erkrankung der Schizophrenie geht,wodurch eine Behandlung des Themas Psychische Krankheiten mit Biologie-bzw. Psychologie-Lehrkräften stattfinden kann.

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Literaturverzeichnis

[Ableitinger and Hauer-Typpelt, 2008] Ableitinger, M. D. C.and Hauer-Typpelt, D. P. (2008). Spieltheorie im Schul-unterricht - kann es das spielen? Online einzusehen unterhttps://www.oemg.ac.at/DK/Didaktikhefte/2007%20Band%2040/VortragAbleitingerHauerTyppelt.pdf;Zuletzt aufgerufen am 17. Februar 2018.

[Davis, 1983] Davis, M. D. (1983). Game Theory, A Nontechnical Instructi-on. Basic Books, New York/London.

[Hermisson, 2015] Hermisson, J. (2015). Spieltheorie und Biomathema-tik. Online einzusehen unter http://www.mabs.at/teaching/files/Vorlesung_12_1_2015_Spieltheorie.pdf;Zuletzt aufgerufen am 27. Februar 2018.

[Hermisson, 2017a] Hermisson, J. (2017a). Einführung in die Spieltheorie.

[Hermisson, 2017b] Hermisson, J. (2017b). Nash Gleichgewicht für Taubenund Falken. Dokument für uns zur Klärung des Nash-Gleichgewichts beimTaube-Falke-Spiel.

[Nowak, 2006] Nowak, M. A. (2006). Evolutionary Dynamics: Exploring theEquations of Life. Harvard University Press.

[Polak, 2007] Polak, B. (2007). 6. nash equilibrium: dating and cournot. On-line einzusehen unter https://www.youtube.com/watch?v=7oASpaBdDMs;Zuletzt aufgerufen am 17. Februar 2018.

[Rieck, ] Rieck, C. Spieltheorie: Eine Einführung, PUBLISHER = ChristianRieck Verlag, YEAR = 2015,.

[Ross, 1997] Ross, D. (1997). Game theory. Online einzusehen unter https://plato.stanford.edu/archives/win2016/entries/game-theory/;Zuletzt aufgerufen am 17. Februar 2018.

29

[Wehner, 2006] Wehner, M. (2006). Gesellschaftliche Aspekte politischerSpieltheorie. Online einzusehen unter http://strategiespielen.de/wordpress/wp-content/uploads/wehner_gesellschaftliche_aspekte_politischer_spieltheorie.pdf;Zuletzt aufgerufen am 17. Februar 2018.

[Wikipedia, 2018] Wikipedia (2018). Spieltheorie.

[Winter, 2014] Winter, S. (2014). Grundzüge der Spieltheorie. SpringerGabler.

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Abbildungsverzeichnis

4.1 Startseite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204.2 Einführung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214.3 Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224.4 Prozess . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234.5 Ressourcen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.6 Evaluation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244.7 Abschluss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

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Kapitel 6

Anhang

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Snapshot zur SpieltheorieDie Spieltheorie untersucht Situationen, bei denen die Konsequenz einer Ent-scheidung nicht nur von der eigenen Entscheidung abhängt, sondern auch vonder Entscheidung anderer.[Wikipedia, 2018]

Folgende Strategien (Handlungsoptionen) stehen dem Spieler oder derSpielerin zur Verfügung:

Tit for tat / Copycat: Zu Beginn kooperiert der Spieler oder die Spielerinund kopiert ab der zweiten Runde den Zug des Gegenspielers oder der Ge-genspielerin aus der vorherigen Runde.[Case, 2017]

All cheat: Der Spieler oder die Spielerin defektiert immer.[Case, 2017]

All cooperate: Der Spieler oder die Spielerin kooperiert immer.[Case, 2017]

Beleidigte/r: Zu Beginn kooperiert der Spieler oder die Spielerin, und so-bald der Gegner oder die Gegnerin defektiert, defektiert der Spieler oder dieSpielerin ab diesem Zeitpunkt immer.[Case, 2017]

Pavlov: Zu Beginn wird kooperiert, ab der zweiten Runde wird nur dannkooperiert, wenn der Gegenspieler oder die Gegenspielerin dieselbe Hand-lungsoption gewählt hat wie der Spieler oder die Spielerin.[Thelen, 1997]

Münzwurf: Kopf oder Zahl steht für kooperieren bzw. defektieren.

Im Allgemeinen unterscheidet man zwischen zwei Strategien. Wird eine be-stimmte Handlung mit Sicherheit gewählt, so spricht man von reiner Stra-tegie. Wird jedoch die Handlung zufällig gewählt, so spricht man von ge-mischter Strategie.[Berentsen and Thöni, 2013]

Man kann die Situation eines Spieles in einer extensiven Form oder in derMatrixform darstellen. In einer extensiven Form werden alle relevanten In-

1

formationen und Spielregeln in einer grafischen Darstellung (z.B. Spielbaum)visualisiert. In der Matrixdarstellung werden Spielzüge der Spieler und de-ren Auszahlungen visualisiert.[Rathmann, 2009]

Ist eine Strategie nie schlechter als eine andere und manchmal sogar bes-ser, so bezeichnet man sie als dominante Strategie. [Rieck, 2006]

Abbildung 1: Darstellungsformen

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Andre Daxberger, Maria Hösch, David Rist & Johanna Siegl

Bild Taube: http://boombob.ru/img/picture/May/15/b005eac0fc6ac4df83f2289a64b65e51/mini_4.jpg Bild Falke: http://www.kostenlose-ausmalbilder.de/Tiere/Voegel/1/Adler-1.jpg

Taube-Falke-Turnier In dieser Tabelle kannst du deinen eigenen Gewinn/Verlust ablesen:

Taube Falke

Taube 𝑏

2 0

Falke 𝑏 𝑏 − 𝑐

2

Beute 𝑏 = 50

Schaden (Kosten) 𝑐 = −50

Ich Du Punkte

Runde 1

Runde 2

Runde 3

Runde 4

Runde 5

Runde 6

Runde 7

Runde 8

Runde 9

Runde 10

Gesamtpunkte:

Ich Du Punkte Runde 1

Runde 2

Runde 3

Runde 4

Runde 5

Runde 6

Runde 7

Runde 8

Runde 9

Runde 10

Gesamtpunkte: