ProseminarBernstein-Polynome

Einfuhrung

Verena Kircher

Inhaltsverzeichnis1 Einleitung/Geschichte 1

2 Definition 1

3 Eigenschaften 23.1 Allgemeine Eigenschaften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2 Maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.3 Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.4 Werte der ersten Ableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33.5 Rekursionsformel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43.6 Basis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1 Einleitung/GeschichteDie Bernsteinpolynome sind benannt nach dem russischen Mathematiker Sergei Natanowitsch Bernstein(5. Marz 1880-26. Oktober 1968), dem damit ein konstruktiver Beweis fur den Approximationssatz vonWeierstraß gelang.In der Anwendung spielen Bernsteinpolynome vor allem eine wichtige Rolle um Kurven und Flachen de-signen zu konnen. Ende der 50er Jahre fanden erste Versuche dazu statt. Paul de Faget de Casteljau begann1958 als Physiker bei Citroen. Ihm gelang 1959 auf Bernsteinpolynomen basierend die Entwicklung derBezierkurve. Allerdings hielt das Unternehmen die Entdeckung bis in die spaten 70er geheim. Unabhangigdavon entwickelte Pierre Bezier bei Renaut das gleiche Verfahren und so wurden die Kurven nach ihmbenannt.1974 wurde zum ersten Mal der Begriff CAGD gepragt, der fur Computer Aided Geometric Design steht.Dies bildete den Grundstein fur das heutige CAD, also dem rechnergestutzten Entwerfen und Konstruierenvon Kurven und Flachen. Seit den 80ern gibt es auch das 3D-CAD, das neben der raumlichen Gestalt auchviele weitere Eigenschaften simulieren kann.

2 DefinitionenMan will sich bei der Definition der Bernsteinpolynome auf das Einheitsintervall [0, 1] beschranken, dazunimmt man eine Umformung des allgemeinen Parameterintervalls

[a, b] = {t ∈ R | a ≤ t ≤ b}

zu[0, 1] = {λ ∈ R | 0 ≤ λ ≤ 1}

vor. Dabei ist die Transformation t 7−→ λ := t−ab−a zu verwenden.

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Bevor wir zur eigentlichen Definition der Bernsteinpolynome kommen, betrachten wir die Zerlegung derEinsfunktion mithilfe des binomischen Lehrsatzes:

1 = [λ + (1 − λ)]n =

n∑i=0

(ni

)λi(1 − λ)n−i

Wir zerlegen die Einsfunktion also in (n + 1) verschiedene Polynome vom Grad n.

2.1 Definition: Unter dem i-ten Bernstein-Polynom vom Grad n bezuglich des Intervalls [0, 1] verstehtman das Polynom

Bni (λ) B

(ni

)λi(1 − λ)n−i

fur i = 0, 1, . . . n

Die Einschrankung der Definition auf das Intervall [0, 1] ist keine wirkliche Einschrankung, da sich durchEinsetzten von λ := t−a

b−a in die Definition 2.1 die allgemeine Formel ergibt:2.2 Definition:

Bni (t, a, b) B

1(b − a)n

(ni

)(t − a)i(b − t)n−i

3 EigenschaftenBei der Auflistung der wichtigsten Eigenschaften, habe ich mich eng an H.R. Schwarz. Numerische Mathe-matik. Teubner, Stuttgart, 1996. gehalten und auch großtenteils die Formulierungen der Satze ubernommen.Die Reihenfolge habe ich teilweise verandert.

3.1 Allgemeine EigenschaftenSatz 3.1 Fur die Bernsteinpolynome Bn

i (λ) gilt:

1. λ = 0 ist i-fache Nullstelle von Bni (λ)

2. λ = 1 ist (n − i)-fache Nullstelle von Bni (λ)

3. Bni (λ) = Bn

n−1(1 − λ) (Symmetrie)

4. (1 − λ)Bn0(λ) = Bn+1

0 (λ), Bnn(λ) = Bn+1

n+1(λ)

5. 0 ≤ Bni (λ) ≤ 1 fur λ ∈ [0, 1], i = 0, 1, . . . n

Beweis: Durch Einsetzten in Definition 2.1 sind 3.1.1 und 3.1.2 sofort ersichtlich. Erinnert man sich an dieIdentitat

(ni

)=

(n

n−i

)aus Analysis I, so folgt auch 3.1.3 in trivialer Weise aus der Definition 2.1.

Auch bei 3.1.4 arbeitet man direkt mit der Definition und erhalt:

(1 − λ)Bn0(λ) = (1 − λ)

(n0

)(1 − λ)n−0 =

(n + 1

0

)(1 − λ)n+1 = Bn+1

0 (λ)

Die zweite Aussage in 3.1.4 beweist man analog.Zu 3.1.5: Da λ ∈ [0, 1], gilt λi ≥ 0 und (1 − λ)n−i ≥ 0. Zudem ist auch der Binomialkoeffizient nachDefinition immer positiv. Somit ist auch das Produkt

(ni

)λi(1 − λ)n−i ≥ 0 und somit Bn

i (λ) ≥ 0.

Aus der obigen Zerlegung der Einsfunktion erhalten wir, dass die Summe der Bernsteinpolynome genau 1ergibt, somit kann jedes einzelne Polynom also nur kleinergleich 1 sein, womit der Satz bewiesen ware.

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3.2 MaximumSatz 3.2 Das Bernsteinpolynom Bn

i (λ) (i = 0, 1, . . . n) hat in [0, 1] genau ein Maximum an der Stelle λ = in

Beweis: Der Beweis ist etwas komplexer und wird in 3 Schritte aufgeteilt.

1. Fur i = 0 ist λ = 0 das Randmaximum (namlich 1), λ = in =

0n = 0 ist also erfullt.

2. Fur i = n istλ = 1 das Randmaximum (namlich 1), λ = in =

nn = 1 ist also erfullt.

3. Fur 1 ≤ i ≤ n − 1 benotigen wir die 1. Ableitung, die wir mithilfe der Produkt- und Kettenregelgewinnen.

Es gilt ddλBn

i (λ) =(

ni

)[iλi−1(1 − λ)n−i + λi(n − i)(1 − λ)n−i−1(−1). Durch Umformung ergibt sich:

2.2.1 Definition: ddλBn

i (λ) =(

ni

)λi−1(1 − λ)n−i−1(i − λn)

Nun betrachtet man die Nullstellen der 1. Ableitung. Diese sind λ = 0 fur i ≥ 2 und λ = 1 fur i ≤ n − 2.Da fur λ = 0 und λ = 1 Bn

i (λ) = 0 ist, wir nach 3.1.5 aber wissen, dass 0 ≤ Bni (λ) gilt, handelt es sich

hierbei um Minimalstellen. Als weitere Nullstelle ergibt sich λ = in Somit ist also gezeigt, dass λ = i

n furalle Bernsteinpolynome im Intervall [0, 1] das einzige Maximum ist.

3.3 AbleitungDa wir eben fur das Maximum schon die 1. Ableitung benotigt haben, arbeiten wir jetzt mit einem Satzuber Ableitungen weiter:

Satz 3.3 Die Ableitung der Bernsteinpolynome ist gegeben durch:

ddλ

Bni (λ) :=

−nBn−1

0 (λ) fur i = 0n[Bn−1

i−1 (λ) − Bn−1i (λ)] fur i = 1, 2 . . . n − 1

nBn−1n−1(λ) fur i = n

Beweis: Fur die Falle i = 0 und i = n ergeben sich die Losungen trivial durch Einsetzten in die 1. Ableitung.Fur i = 1, 2 . . . n − 1 muss man zusatzlich zeigen, dass n

(n−1i−1

)= i

(ni

)und n

(n−1

i

)= (n − i)

(ni

)gilt. Dies zeigt

man mithilfe der Definition des Binomialkoeffizienten:

i(ni

)=

in!i!(n − i)!

= ni(n − 1)!

i(i − 1)!(n − i)!= n

(n − 1i − 1

)n(

n−1i

)= (n − i)

(ni

)ist analog zu zeigen.

3.4 Werte der ersten AbleitungDer nachste Satz bezieht sich ebenfalls auf die erste Ableitung:

Satz 3.4 Fur die Werte der ersten Ableitung der Bernstein-Polynome gelte:

ddλ

Bni (0) =

−n fur i = 0n fur i = 10 fur i = 2, 3 . . . n

ddλ

Bni (1) =

0 fur i = 0, 1, . . . n − 2−n fur i = n − 1n fur i = n

Beweis: Der Beweis folgt trivial durch Einsetzen in die Formeln aus Satz 3.3.

3

3.5 RekursionsformelSatz 3.5 Die Bernsteinpolynome genugen der Rekursionsformel

Bni (λ) = λBn−1

i−1 (λ) + (1 − λ)Bn−1i (λ) , λ ∈ R (i = 1, 2 . . . n)

Beweis: Erinnert man sich an die Formel(

n−1i−1

)+

(n−1

i

)=

(ni

), so folgt der Beweis trivial durch Einsetzten in

die Definitionsformel 2.1.

3.6 Basis3.5 Satz: Fur festes n ∈ N0 bilden die Bernstein-Polynome Bn

i (λ) (i = 0, 1, . . . n) eine BasisB = {Bn0, B

n1, . . . B

nn}

im Vektorraum Pn der reellen Polynome vom Grad kleiner gleich n.Beweis: Um zu zeigen, dass es sich bei den Bernstein-Polynomen um eine Basis handelt, ist die lineareUnabhangigkeit zu zeigen und B als Erzeugendensystem nachzuweisen.Fur die lineare Unabhangigkeit mussen wir zeigen:

n∑i=0

ciBni (λ) = 0⇔ ci = 0, i = 0, 1, . . . n

Wir betrachten λ = 1. Dann gilt:

Bni (1) =

0 fur i = 0, 1, . . . n − 11 fur i = n

Folglich muss cn = 0 gelten. Als nachstes betrachten wir die 1. Ableitung. Es muss gelten:

0 =d

dλ

n∑i=0

ciBni (λ)

An der Stelle λ = 1 gilt:d

dλBn

i (1) =

0 fur i = 0, 1, . . . n − 21 fur i = n − 1

Folglich muss cn−1 = 0 gelten. Dies setzt man analog fort und erhalt cn = cn−1 = · · · = c0, die lineareUnabhangigkeit ist somit erfullt.Um zu zeigen, dass es sich bei B auch um ein Erzeugendensystem handelt, argumentiert man mit den Di-mensionen der Raume, also der Anzahl ihrer Basisvektoren. Es gilt: dim Pn = n + 1. Da {Bn

0, Bn1, . . . B

nn}

genau n + 1 linear unabhangige Vektoren sind, handelt es sich somit bei B um eine Basis.

Quellen: Neben der Hauptquelle H.R. Schwarz. Numerische Mathematik. Teubner, Stuttgart, 1996.(S. 162-165), habe ich auch folgende Quellen zu Rate gezogen:http://www.mathi.uni-heidelberg.de/ theiders/PS-Analysis/Bernstein-Polynome.pdfwww.mathematik.uni-mainz.de/lehre/.../Ausarbeitung.dochttp://www.stefan-koegler.de/studienarbeit online-tutorium/node20.htmlhttp://goessner.net/download/learn/mwt/ws2005/presentations/BezierSplines.pdfhttp://www.macside.net/v2/fileadmin/templates/main/studium/grafik/documentation.pdfhttp://de.wikipedia.org/wiki/Sergei Natanowitsch Bernstein

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