1) Addiert man zu einer Zahl ihre Quadratzahl, so erhält man 56.xx2=56 | −560=x2x−56

x1,2=−12± 1

456

x1,2=−12±7 1

2x1=−8 oder x2=7

Die Zahl lautet −8 oder 7.

2) Addiert man zu einer Zahl ihre Quadratzahl, so erhält man 132.xx2=132 | −1320=x2x−132

x1,2=−12± 1

4132

x1,2=−12±11 1

2x1=−12 oder x2=11

Die Zahl ist − 12 oder 11.

3) Multipliziert man zwei aufeinander folgende Zahlen, so erhält man 812. Wie heißen die Zahlen?

x x1=812 oder x x−1=812x2x=812 | −8120=x2x−812

x1,2=−12± 1

4812

x 1,2=−12±28 1

2x 1=−29 und y1=x11=−28

oder x 2=28 und y2=x21=29

Die Zahlen heißen − 29 und − 28 oder 28 und 29.

4) Das Produkt zweier aufeinander folgender Zahlen ist 552.x x1=552 oder x x−1=552x2x=552 | −552

0=x2x−552

x1,2=−12± 1

4552

x 1,2=−12±23 1

2x 1=−24 und y1=x11=−23

oder x 2=23 und y2=x21=24

Die Zahlen lauten −24 und −23 oder 23 und 24.

5) Multipliziert man eine Zahl mit der um 5 größeren Zahl, so erhält man 374.x x5=374 oder x x−5=374x 25x=374 | −3740=x25x−374

x 1,2=−52± 25

4374

x1,2=−2 12±380 1

4

x1,2=−2 12±19 1

2x 1=−22 und y1=x15=−17

oder x 2=17 und y2=x25=22

Die Zahlen sind −22 und −17 oder 17 und 22.

6) Von zwei Zahlen ist die eine um 7 kleiner als die andere. Ihr Produkt beträgt 368.x x−7 =368 oder x x7 =368x2−7x=368 | −3680=x2−7x−368

x1,2=72± 49

4368

x1,2=3 12±380 1

4

x1,2=3 12±19 1

2x1=−16 und y1=x1−7=−23

oder x 2=23 und y2=x2−7=16

Die Zahlen heißen − 23 und − 16 oder 16 und 23.

7) Die Summe zweier Zahlen ist 15, ihr Produkt ist 56.I xy=15 und II xy=56

xy=15 | −xy=15−x y in II einsetzen

y in IIx 15−x =5615x−x2=56 | −560=−x215x−56 | ⋅−10=x2−15x56

x 1,2=152± 225

4−56

x1,2=7 12±56 1

4−56

x1,2=7 12± 1

2x1=7 und y1=15−x1=8

oder x 2=8 und y2=15−x2=7

Die Zahlen lauten 7 und 8.

8) Die Summe zweier Zahlen ist 33, ihr Produkt ist 162.I xy=33 und II xy=162

xy=33 | −xy=33−x y in II einsetzen

y in IIx 33−x=16233x−x2=162 | −1620=−x233x−162 | ⋅−10=x2−33x162

x1,2=332± 1089

4−162

x1,2=16 12±272 1

4−162

x1,2=16 12±110 1

4

x1,2=16 12±10 1

2

x1=6 und y1=33−x1=27oder x 2=27 und y2=33−x2=6

Die Zahlen sind 6 und 27.

9) Die Differenz zweier Zahlen ist 4, ihr Produkt ist 221.I x−y=4 und II xy=221

x−y=4 | yx=4y | −4y=x−4 y in II einsetzen

y in IIx x−4=221x 2−4x=221 | −2210=x2−4x−221

x 1,2=2±4221x 1,2=2±225x1,2=2±15x1=−13 und y1=x1−4=−17

oder x 2=17 und y2=x2−4=13

Die Zahlen heißen − 17 und − 13 oder 13 und 17.

10) Die Quadrate zweier Zahlen ergeben 164. Dabei unterscheiden sich die beiden Zahlen um 2.

x 2x−22=164 oder x2x22=164x2x2−4x4=164 | −1640=2x2−4x−160 | :20=x2−2x−80

x1,2=1±180x1,2=1±9x1=−8 und y1=x1−2=−10

oder x 2=10 und y2=x2−2=8

Die Zahlen lauten − 10 und − 8 oder 8 und 10.

11) Zwei Zahlen unterscheiden sich um 5. Die Summe ihrer Quadrate ist 625.x 2x−52=625 oder x2x52=625x2x2−10x25=625 | −6250=2x2−10x25−625 | :2

0=x2−5x−300

x1,2=52± 25

4300

x1,2=2 12±6 1

4300

x1,2=2 12±306 1

4

x 1,2=2 12±17 1

2x1=−15 und y1=x1−5=−20

oder x 2=20 und y2=x2−5=15

Die Zahlen sind − 20 und − 15 oder 15 und 20.

12) Wenn man in dem Produkt aus 13 und 17 jeden Faktor um die gleiche Zahl vergrößert, so erhält man als Ergebnis 396.13x17x =39622113x17xx 2=39622130xx2=396 | −3960=x230x221−3960=x230x−175

x1,2=−15±225175x1,2=−15±400x1,2=−15±20x1=−35 oder x 2=5

Die Zahl heißt − 35 oder 5.

13) Verkleinert man in dem Produkt aus 23 und 35 jeden Faktor um die gleiche Zahl, so erhält man als Ergebnis 589.23−x35−x=589805−23x−35xx 2=589 | −5890=x2−23x−35x805−5890=x2−58x216

x1,2=582±−58

2 2

−216

x 1,2=29±841−216x 1,2=29±625

x 1,2=29±25x 1=4 oder x2=54

Die Zahl lautet 4 oder 54.

14) Das Produkt zweier Zahlen ist 1596. Die eine Zahl liegt genauso weit über 40 wie die andere unter 40.40−x40x =15961600−x2=1596 | −15960=−x24 | ⋅−10=x2−4

x1,2=±4x1,2=±2x 1=−2x2=2

x1=40−x1=42 und y1=40−x2=38oder x2=38 und y2=42

Die Zahlen sind 38 und 42.

15) Das Produkt zweier Zahlen ist 899. Die eine Zahl liegt genauso weit über 30 wie die andere unter 30.30−x30x=899900−x2=899 | −8990=−x21 | ⋅−10=x2−1

x 1,2=±1x1,2=±1x1=−1x2=1

x 1=30−x1=31 und y1=30−x2=29oder x 2=29 und y2=31

Die Zahlen heißen 29 und 31.

16) Zwei Zahlen verhalten sich wie 8 : 9. Die Summe ihrer Quadrate ist 580.

I xy=8

9 und II x2y2=580

xy=8

9 | ⋅y

x=89

y | : 89

y=98

x y einsetzen

y in II

x2 98

x2

=580

x28164

x 2=580

648164

x 2=580

14564

x2=580 | : 14564

x 2=580⋅64145

x 2=256 | x1,2=±16

x1=−16 und y1=98

x1=9⋅−16

8=−144

8=−18

oder x 2=16 und y2=98

x 2=9⋅16

8=144

8=18

Die Zahlen lauten −18 und −16 oder 16 und 18.

17) Zerlege die Zahl 106 so in zwei Summanden, dass die Summe aus den Quadratwurzeln aus diesen Zahlen 14 ergibt.I xy=106 und II xy=14

xy=106 | −xy=106−x y in II einsetzen

y in IIx106−x=14 | 2

x106−x2=196x2x106−x106−x=196 | −1062x106−x=90 | :2x106−x=45106x−x2=45 | 2

106x−x 2=2025 | −20250=−x2106x−2025 | ⋅−1

0=x2−106x2025

x1,2=1062

±−1062

2

−2025

x1,2=53±532−2025x 1,2=53±2809−2025x1,2=53±784x1,2=53±28x1=25 und x 2=81

Die Zahlen sind 25 und 81.