P 6 1 y a , Qwlibtives fiber W%rmem~glaich 125 Band 13, Heft 2 April 1933

Qualitatives uber Warmeausgleich. Von G. Pdlya in Zurich.

er Mathematiker, der an eine physikalische Theorie herantritt, hat mehrere Aufgaben. D Er soll entscheiden, ob die sich aus der Theorie ergebenden mathematischen Probleme 1 ti s b a r und ob sie e i n d e u t i g 16 s b a r sind. Diese Untersuchung ist wesentlich, um den inneren Zusammenhalt der Theorie, ihre ,,Ubereinstimmung rnit sich selbst" zu beurteilen. Er soll vor allem b e s ti m m t e q u a n t i>a t i v e Folgerungen aus der Theorie ziehen. Solche Folgerungen sind unerlafilich, um die Obereinstimmung der Theorie mit den Experimenten zu beurteilen. Er soll jedocli ferner, wenn er nur vermag, auch a 11 g e m e i n e q u a1 i t a t i v e Folgerungen aus der Theorie ziehen. Solche Folgerungen sind nutzlich, um die Obereinstimmung der Theorie rnit unseren allgemeinen Eindrucken von den Erscheinungen, mit unseren so- genannten ,,instinktiven Auffassungen" zu beurteilen.

Der vorliegeiide kleine Aufsatz verfolgt die letztgenannte, qualitative Forschungsrichtung, die heutzutage m. E. neben den beiden vorgenannten zu sehr zurucktrittl). Ich beschaftige mich mi t einem Resultat von C h. S t u r m , das, obzwar es in einer vielbeachteten, klassischen Arbeit steht'), heute ziemlich in Vergessenheit geraten zu sein scheint. S t u r m untersucht die Warmebewegung in einem linearen, von beiden Seiten begrenzten Leiter, der rnit seiner Umgebung von konstanter Temperatur Null in Warmeaustausch steht; er stellt den Satz auf, dafi die A n z a h l d e r N u l l s t e l l e n d e r T e m p e r a t u r v e r t e i l u n g (d. h. der Uberein- stimmungspunkte mit der Aufientemperatur) i m L a u f e d e r Z e i t n i e zu n i m m t. Dieser Satz steht im Einklang rnit der Vorstellung, dafi die Temperaturverteilung sich rnit Fort- schreiten der Zeit vereinfacht, gllttet. Dieser S t u r m sche Satz ist als eine qualitative Be. statigung der F o u r i e r schen Warmeleitungstheorie zu bewerten : Was von vornherein als plausibel angesehen werden ktinnte, erweist sich hier als eine notwendige Folgerung der Theorie.

Das Ziel der nachfolgenden Zeilen ist, einige Spezialfalle, oder besser Grenzfalle, des erwalinten S t u r m schen Satzes auf neuem Wege zu bestatigen. Die Uberlegung von S t u r m , die man den heutigen Anforderungen an Strenge wohl angleichen ktinnte, stutzt sich direkt auf die Differentialgleichung der Warmeleitung. Meine nachfolgende Oberlegung stutzt sich auf wohlbekannte explizite Darstellungen der in Betracht kommenden Ldsungen und auf all- gemeine Satze uber reelle Nullstellen, die vielleicht an und fur sich einiges Interesse bean- spruchen konnen ').

1. Wir betrachten zuerst einen kreisf6rmig geschlossenen, homogenen, linearen Leiter vom Umfang 2 n (einen homogenen Drahtring vom Radius I), der mit seiner Umgebung, die die konstante Temperatur 0 hat, mittels Strahlung in Warmeaustausch steht. Die Tempe- ratur v genugt der Gleichung

Hierin sind k und h positive Konstanten, t ist die Zeit, x der entlang des Leiters gemessene Abstand, x = 0 und z = 2 n entsprechen demselben Punkt. Die Losung ist ')

m

(1). u = v (x, t ) = [Ao + z ( A , cos f i x + B, sin f i x ) e - k n 2 t ] e--h . . . . . n = l

Die Konstanten A, , Bn sind dadurch bestimmt, daS die Reihe rechts fur t = O sich auf die F o u r i e r sche Reihe der Anfangstemperaturverteilung v (x, 0) reduzieren mufi. Wir haben nur so vie1 (oder auch weniger) zu benutzen, dafi die A,, B, eine beschrankte Zahlenfolge bilden.

Es seien ti , t, zwei Zeitpunkte, O < t , < t , . Wir liaben miteinander zu vergleichen die Anzahl der Nullstellen der beiden Funktionen v (x, t , ) und 21 (s, t,). Setzen wir

A , e - k n 2 t ~ = a n , B,e-"'t2=bn, k ( t , - t J = t .

1) Eine ahnliche Tendenz verfolgten zwei friiher in dieser Zeitschrift ersohienene Anfsatze, Rd. 10 (1930), S. 353

2) Ch. S t u r m , Journal de Math. pures et appliqukes, Bd. 1 (1836), S. 373 bis 444; vgl. insbesondere S. 413 bis 431. 5) Der vorliegende Aufsatz bildet nur eineu Ausschnitt ans einer groBeren, gemeinsam rnit Herrn S z e g o aus-

4 ) F o n r i e r , Theorie analytique de la chalenr (Paris 1822). Vgl. S. 272.

bis 360 und Bd. 11 (1931), S. 445 bis 449.

gefiihrten Untersuchung; vgl. die Ankundigung in den Comptes Rendus, Bd. 192 (1931), S. 1340 bis 1342.

Ztschr. f . angew. Math. und Meoh. 126 P 6 1 y a , Qualibatives iiber Wflrmeaiusgleiich

Dann werden v (x, t,) eh und v (2, t,) el2 t i bzw. durch die Reihen m I

a , + ~ ( a , c o s n . x + b , s i n n x ) . . n = l

m

a,+C(a,cosfix+b,,sinnx)en27. . . . . . . . . (3 ) r 1 = l

dargestellt, es ist z > 0, und die Reihe (3 ) hat so stark abnelimende Glieder, dak mit einem passenden konstanten C

. . (4) I an 1 enzz< Ce--ntl, 1 b, I e w 2 7 < Ce-$ztl . . . . .

besteht. Ich will hieraus beweisen, dah v (x, t,) (entspricht der Reihe (3) und dem fruheren Zeitpunkt t,) n i c h t w e n i g e r Nullstellen habdn kann, als v (2, t,) (entspricht der Reihe (2) und den1 spiiteren Zeitpunkt t,). Ich habe also folgendes zu zeigen:

G i b t e s p o s i t i v e Zal i len C u n d ti , s o b e s c h a f f e n , d a h d i e U n - g l e i c h u n g e n (4) f u r u t = 1 , 2 , 3 , . . . b e s t e l i e n , u n d ist z p o s i t i v , s o i s t d i e Anza l i l d e r N u l l s t e l l e n d e r R e i h e (3) n i c h t k l e i n e r a l s d i e A n z a h l d e r N u l l s t e l l e n d e r R e i h e (2) .

Unter der Anzahl der Nullstellen einer reellen periodischen Funktion f ( x ) von der Periode '2 n wird dabei verstanden die Anzahl aller Nullstellen in einem Interval1 (a , a + 2 n), wobei f ( a ) =b0 ist; die Nullstellen sind rnit Multiplizitat zu zlhlen. Diese Definition ist, wie leicht ersichtlicli, unabhangig von der Wahl der Stelle a.

et12 7 , mit z > 0, sol1 also ein Faktor sein, der dem wten Glied einer Four ie r re i l ie an- gehiingt, die F o u r i e r reihe einer neuen Funktion mit nicht weniger Nullstellen entstehen Iiibt, kurzum ein n u l l s t e l l e n v e r m e h r e n d e r F a k t o r . Ich werde enZZ als Grenzwert ein- facherer Faktoren von derselben Natur darstellen.

Es sei f ( z ) eine (genugend regulare, etwa analytische) reelle Funktion, a eine reelle Zahl, a +0 und

B ist das Symbol des Differenzierens nach x. In der Nahe einer Nullstelle von f (2) hat f,(x) das Vorzeichen von f ' (s), und hieraus folgt (man betrachte die Kurve g = f(x)) : Wenn f ( x ) im Innern eines Intervalles von 0 verschieden ist und an den beiden Enden verschwindet, so hat f, (z) im Intervallinnern eine ungerade Anzahl von Nullstellen, also inindestens eine Nullstelle. In einein Punkte, wo f(s) mit der Multiplizitat m verschwindet, verschwindet f, (5) mit der Multiplizitat m - 1. Hieraus folgt weiter : Wenn f (z) an den beiden Endpunkten cines Intervalles von 0 verschieden ist und im Innern N Nullstellen hat, so hat daselbst f, (x) mindestens N - 1 Nullstellen (die Nullstellen mit Multiplizitat gerechnet) '). Wenn nun weiter f(x) periodisch von der Periode 2 n und f ( a ) =bO ist, so hat f(x) im Intervalle (a, a + 2n) eine g e r a d e Anzahl N = 2 ut von Nullstellen. Nun ist f, (5) auch periodisch ; soniit hat f, (x) einerseits mindestens 2 n - 1, andererseits eine gerade Anzahl von Nullstellen, also hat f, (s) n i c h t w e n i g e r N u l l s t e l l e n a l s f (x ) .

Wenden wir diesen Satz zweimal an, einnial mit a, einmal mit - a ; wir erhalten, dab auch

Hilfssatz I.

f i (4 = a f (z> + f' (4 = ( a + n> f ( 4 ;

f, (x) = (Q - B) (a + 0) f ( x ) = (a* - D') f ( x ) nicht weniger Nullstellen hat als f(x). Wenn f (z ) durch die Reihe (.2) dargestellt ist, SO wird f , (x ) durch

m

a2a, + C ( a n cos uts + b,sin n x) (a2 + .n2) n = 1

dargestellt : Der Faktor a2 + n2 ist also im vorlierbesagten Sinne ,,nullstellenvermehrend". Wenden wir diesen Satz k ma1 an, dividieren wir durch a 2 k , und setzen wir nachher k a-' = t. Wir erlralten, dab auch die Reihe

(3)

n ic l i t w e n i g e r N u l l s t e l l e n h a t a l s (2). -

9 VwI. Z. B. 0. P b l y a iind G. S z e g i i : Aiifgaben u ~ i d Lehrsatze BUS derAnalysis (Sprhprr 1925). Rd. 11, 5. 38 bis 40 und 8. %22 bis 'L24.

P 6 1 y a , Qumlibativas iiber Wameantsgleich 127

Hieraus ergibt sich der ausgesprochene Hilfssatz I fur k + 03. Zur sauberlichen Durch- fullrung des Grenziiberganges ist die Voraussetzung (4) zu benutzen. Sie hat zur Folge, dab die Reihe (5) nicht nur fur reelle Werte von' x, sondern in einem ganzen, von der reellen Achse halbierten Parallelstreifen der komplexen x-Ebene gegen die Reihe (3) strebt ; jetzt klinnen klassische Hilfssatze der Funktionentlieorie') zur vollen Erhartung des Hilfssatzes I herangezogen werden.

Wir haben somit bewiesen, daQ die Anzahl der Nullstellen der Reihe (1) mit wachsen- dem t nie zunehmen, also nur abnehmeu oder unverandert bleiben kann. Nun wird irgendein

partieller Differentialquotient -~ ak + durcli eine Reihe von derselben Form dargestellt, nur die a x k a t i Koeffizienten A,, B, werden durch andere Werte ersetzt. Wir haben also folgenden Satz bewiesen, der unsere Vorstellung von der fortschreitenden Ausgleichung oder ,,Ausglattung'L des Temperaturverlaufs in bemerkenswerter Weise prazisiert :

E s sol1 v=v(x , t ) d i e T e m p e r a t u r i n e i n e m l i n e a r e n , k r e i s f o r m i g g e - s c h l o s s e n e n , h o m o g e n e n L e i t e r d a r s t e l l e n , d e r rn i t s e i n e r U m g e b u n g v o n k o n s t a n t e r T e m p e r a t u r 0 i n W i i r m e a u s t a u s c h s t e h t . D i e A n z a h l d e r S t e l l e n d e s L e i t e r s (der nStellen), a n w e l c h e n G v e r s c h w i n d e t , k a n n rn i t f o r t s c h r e i t e n - , d e r Z e i t n u r a b n e l i m e n o d e r k o n s t a n t b l e i b e n , n i e z u n e h m e n , u n d d a s s e l b e

Band 13, Heft 2 April 193t

a v a 2 v a v g i l t f u r a l l e p a i t i e l l e n A b l e i t u n g e n v o n v, w i e z. B. f u r - -il - a x t a x a t . 2. Die Warmeleitungsgleichung im Raume wollen wir in der Gestalt

0 schreiben (fur eine Materialkonstante wurde, etwa durch passende Wahl der Einheiten, ein numerischer Wert angenommen). Wir wollen die drei einfachsten Sonderfalle betrachten, in w elchen bz w.

1. die auf die x-Achse senkrechten Ebenen,

3. die Kugeln rnit dem Mittelpunkt ( O , O , O ) i 2. die Kreiszylinder um die e.Achse,

die Niveauflachen der Temperatur v bilden. Unter der Voraussetzung, daQ die Anfangs- temperatur v (x, y, z, 0) nicht zu stark mit der Entfernung vom Koordinatenanfangspunkt an- w&chst7), kann man 2, in den drei Fallen bzw. durcli die Formeln

(I

fur t > 0 darstellen. In Formel (2) ist x2+ y2= r2; in Formel (3) ist x2 + y2 f z2 = rz gesetzt. J, ist die wohlbekannte Besse lsche Funktion. Es ist

. . . . . (5).

Die Funktion y stellt in allen drei Fallen die Anfangstemperatur dar; im Falle (I) ist y (x) fur - 00 < x < 00, in den Fallen (2), (3) ist y (r) fur r > 0 definiert.

Man kann es der Formel (1) sofort ansehen, dafi v (q t ) n i c h t m e h r N ul1 s t e 11 en h a b e n k a n n a 1 s v (2, 0) = y (x), wenn man das folgende bemerkenswerte Resultat von L a gu e r r e kennt:

6 ) Vgl. z. B, 0. P 6 l y a und G. S z e g o , a. a.O., Bd. I, Nr. I11 2111. 7) Genauer: (x' + y 2 + 22)- 1 log 1 2) I strebt mit den1 ersten Faktor gegen 0. 8 ) F,. L a g u e r r e , Oeuvres (Paris 1898), Bd. I, S . 29.

a. a. 0.. Bd. 11, Nr. V 80. Ein vollstandiger Beweis bei G. P b l y a und G . S z e g o ,

Ztschr. f . angew. Math. und Mech. 128 P 6 1 y a, Qualitatives iiber Wamemsgldch

Hilfssatz 11. Es s e i p(x) e i n e r e e l l e F u n k t i o n , u n d d a s I n t e g r a l + m 1 ern p ( ~ ) d ~ = ~ ( x ) - m

k o n v e r g i e r e i m I n t e r v a l 1 a < T < b. D i e A n z a h l d e r i m I n t e r v a l l u < x < b g e - l e g e n e n N u l l s t e l l e n von F ( z ) k a n n d i e A n z a h l d e r Z e i c h e n w e c h s e l s t e l l e n vorl p(.c) n i c h t u b e r t r e f f e n .

Man beachte, dab v -~ c (c konstant), G, 3 2 , . . . sich ebenso durch y - c , =, zpl . . . ausdriicken lassen, wie v durch y ; man sieht dies entweder durch Zuruckformen des Inte- grals (1) in die ublichere Form

a u azv , dyJ c12 ?/I

- m

oder direkt aus der Gestalt der Warmeleitungsgleichung. Ersetzt man noch 0 und t , t > 0 durcli irgend zwei verschiedene Zeitpunkte, und deutet man den Vorgang ein wenig um, so gelangt man sclilielilich zur folgenden Aussage :

Es b e z e i c h n e v=u(x , t ) d i e T e m p e r a t u r i n e i n e m u n e n d l i c h a u s g e d e h n t e n , l i n e a r e n , h o m o g e n e n , i s o l i e r t e n L e i t e r . D i e A n z a h l d e r j e n i g e n S t e l l e n d e s L e i t e r s , i n d e n e n d i e T e m p e r a t u r e i n e n v o r g e g e b e n e n W e r t a n n i m m t , k a n n m i t f o r t s e h r e i t e n d e r Z e i t n u r a b n e h m e n o d e r k o n s t a n t b l e i b e n , n i e z u n e h - men. D a s s e l b e g i l t von d e r Anza l i l d e r j e n i g e n S t e l l e n , i n d e n e n i r g e n d e i n e

e i n e n v o r g e l e g t e n w e r t c a n - d u a Z q J a v 1 a2v - p a r t i e l l e D e r i v i e r t e , w i e z. B. - ~ - - - ~

33.7' d z ? ' a t 2 a 2 2

n immt . Also nimmt die Anzahl der Maxima und Minima. die der Wendeaunkte usw. nie zu:

man beachte jedoch, dab dies alles nur unter der in FuQnote 'J auf < 127 genannten Be: schrankung bewiesen wurde.

3. Um ahnliches von den Formeln (2) und (3) der vorangehenden Nr. 2 ablesen zu konnen, braucht man den folgenden

Hilfssatz 111. E s s e i

G (2) = a , + a,z + a,z' t . . . e i n e g a n z e F u n k t i o n n i i t r e e l l e n , n i c h t n e g a t i v e n K o e f f i z i e n t e n u,, a, , a,, . . ., p(z) eir ie r e e l l w e r t i g e F u n k t i o n , u n d d a s I n t e g r a l

m

j G ( x I ) p ( l ) c l l = F ( z ) 0

f a r O < x < a k o n v e r g e n t . D a n n h a t F ( x ) i m I n t e r v a l l e O < x< a h d c h s t e n s s o v i e l e N u l l s t e l l e n , w i e q ( x ) i m I n t e r v a l l e 0 < z< w Z e i c h e n w e c h s e l s t e l l e n .

Zur Anwendung auf Nr. 2 mu& man nur beachten, dab die dortigen Reihen (4), (5) stets konvergieren und nichtnegative Koeffizienten haben ; bei dieser Anwendung ist a = W.

Ziim Beweis des Hilfssatzes I11 mu& man nur den Fall betrachten, in dem p(x) eine endliche Anzahl von Zeichenwechseln aufweist. In diesem Falle ist es besonders leicht, aus den Voraussetzungen zu zeigen (ich gehe aber darauf hier nicht ein), daQ fur 0 < x < a die Darstellung

00 m

P(J.:)=Cxn.u,jAnp,(A)clI n=O O

gilt. Nun ist bekannt8), m

1. dak die Folge der Momente 1 An p (A) d l (n. = 0,1,2, . . .) uicht mehr Zeichenwechsel auf-

weist, als die Funktion p (A) selbst; 2. dak die Funktion F ( x ) - dies ist die erweiterte D e s c a r t e s s c h e Zeichenregel -

nicht mehr Nullstellen fur 0 < 5 < a hat, als die Folge ihrer Koeffizienten a,, \ An p (A) d I ,

(n = 0,1,2, . . .) Zeichenwechsel aufweist. M 7

0

m

0

Da die a, nichtnegativ sind, folgt der Hilfssatz 111 unniittelbar.

9) Vgl. G . P b l y a und G . S z e g B , a. a .O. , Bd. 11, Nr. V 81 und Nr. V 38.