Quasiteilchen: Cooper-Paare und Majorana-Fermionen

Sommersemester 2015 Dr. T.J.K. Brenner

Programm heute/nächste Woche

1 Einleitung

1.1 Elektronen: Teilchen und Quasiteilchen 1.2 Elektron-Löcher: Quasiteilchen in Halbleitern 1.3 Cooper-Elektronenpaare: Quasiteilchen in konventionellen Supraleitern 1.4 Majorana-Fermionen: Halb-Elektron/Halb-Loch – Quasiteilchen 2 Cooper-Paare in konventionellen Supraleitern

2.1 Elektronenpaar-Bildung durch Elektron-Phonon-WW 2.2 Quasiteilchen: Bosonisches Elektronenpaar an der Fermi-Oberfläche 2.3 QM: Energielücke 2.4 Supraleitung durch CP 2.5 Experimenteller Nachweis von CP 2.6 CP in Quantenbits 3 Majorana-Fermionen in Halbleiter/Supraleiter-Hybridstrukturen 3.1 Elektron-Loch-Superposition 3.2 Ettore Majorana – (Anti)Teilchen 3.3 Suche im Supraleiter 3.4 Experimenteller Nachweis von MFs 3.5 MFs für Quantenbits?

Programm heute/nächste Woche

Übung am Fr., 12.06.2015, 12:15-13:45 (2.080) • 4 (kürzere) Aufgaben zu Cooper-Paaren und Majorana-Fermionen • Aufgaben werden in der Übungsstunde gemeinsam gelöst und besprochen • Bitte Taschenrechner und Festkörperphysikbuch (z.B. Kittel, Ibach, Ashcroft/Mermin, etc.) mitbringen • Übung wird vorher per email verteilt

Elektronen: Teilchen und Quasiteilchen

• Quasielektron im Festkörper (Coulomb-WW der Leitungselektronen): Freies Quasiteilchen (Fermion)

• Nahezu freies Leitungselektron im Festkörper (WW mit dem Kristallgitter): Freies Quasiteilchen (Fermion)

• Gebundenes Valenzelektron in (freien) Atomen oder Molekülen und im Festkörper: Gebundenes Teilchen (Fermion)

Masse: me = 9,109 382 91(40)* 10-31 kg

Elektrische Ladung: e = 1,602 176 565 (35) * 10-19C

Masse: me Elektrische Ladung: e

Effektive Masse: meff=meff(k), z.B. 0,066me (GaAs), 0,015me (InSb)

Quasimasse: m*, z.B. 1,25 meff in Alkali-Metallen, 0,015me (InSb)

• Freies Elektron im Vakuum oder in Gasen, Leitungselektronen in Metallen

(Elektronengas): Freies Teilchen (Fermion)

Elektrische Ladung: e

Elektrische Ladung: e

Elektron-Löcher in Halbleitern: Freies Quasiteilchen

„Gestörtes“ Gitter:

Anregung: Valenzelektron wird

Leitungselektron

Interpretation: „Loch“, „Defektelektron“

Positive Elektrische Ladung: e

„Loch“: Freies (fiktives) Teilchen • mit Berücksichtigung der Coulomb-WW zum Atomkern • ohne WW zu anderen Elektron-Löchern

Elektron-Loch: Quasiteilchen mit Energie E, Impuls -ℏk und Spin s = -½ ℏ (Fermion):

Negative Effektive Masse: m*(k)

Cooper-Paare: Quasiteilchen in konventionellen Supraleitern

Cooper-Paar: Freies Quasiteilchen • mit Berücksichtigung der Coulomb-WW zu Gitterschwingungen (Elektron-Phonon-WW) • ohne WW zu anderen Cooper-Paaren

Elektrische Ladung: 2e = 3,204 * 10-19C

Cooper-Paar: Elektronenpaar Quasiteilchen mit Energie E, Impuls ℏk=0 und Spin s=0 (,1) (Boson)

Elektrischer Widerstand verschwindet Konventionelle Supraleitung bei extrem tiefen Temperaturen, z.B. in Quecksilber bei 4.2 K - H.K. Onnes (1911)

Masse: M≈2me (M < 2me)

Die beiden Elektronen haben • entgegengesetzten Spin s= ±½ • entgegengesetzten Impuls ±kF

Äußeres elektrisches oder magnetisches Feld setzt das Cooper-Paar in widerstandsfreie Bewegung: Elektrischer „Super-Strom“!

1. Elektronenpaar-Bildung durch Elektron-Phonon-WW 2. Quasiteilchen: Bosonisches Elektronen-Paar an der Fermi-Oberfläche 3. QM: Energielücke 4. Supraleitung durch Cooper-Paare 5. Experimenteller Nachweis von Cooper-Paaren 6. CPs in Quantenbits

Cooper-Paare in konventionellen Supraleitern

Elektron Gitter/Phonon WW

Coulomb-WW Gitter Elektronen: Nahezu freie Leitungselektronen ( Impuls ℏk≠0, Effektive Masse meff(k) )

Coulomb-WW Leitungselektron Gitterion Kraftstoß: F · Δt ̴ 1/v Phononen Phonon-Energie ℏωDebye : ̴ 10 meV

Langsame Leitungselektronen Sehr niedrige Temperaturen Erheblicher Kraftstoss

Elektronenpaar-Bildung: Elektron-Phonon WW

Gitterschwingung/Phonon Elektron: Zweites Elektron wird von den Ionen auf die „alte“ Position des ersten Elektrons gezogen

Elektron Gitterschwingung/Phonon: • Erstes Elektron zieht positive Ionen an • Ionen bewegen sich (rot blau) Gitterschwingung • Erstes Elektron verschwindet (wegen k≠0)

Phononen vermitteln eine retardierte anziehende Elektron-Elektron WW Stärker als Coulomb-Abstossung

Cooper-Paar: Elektronenpaar nahe an der Fermi-Oberfläche

Sehr niedrige Temperaturen (T ≈ 0 K):

• T=0 K: Pauli-Prinzip für Leitungselektronen: Elektronenzustände füllen die Fermi-Kugel Elektronen-Energie an der Fermi-Oberfläche: EF=ℏ

2kF2/2meff ( ̴ eV)

• Elektron-Phonon WW: ℏωD << EF Δk << kF Impulsänderungen der beiden Elektronen innerhalb der Kugelschale kF ≤ k ≤ kF + Δk

• Phonon-Energie E = ℏωD ( ̴10 meV) << EF ( ̴eV)

Cooper-Paar: Elektronenpaar mit Impuls K=0

• Großes Rotationsvolumen viele Möglichkeiten

für Elektron-Phonon WW-Prozesse Elektron-Elektron-Anziehung Elektronenpaar-Bildung

• Einzelne Elektron-Phonon WW: Die Impulse k1 und –k2 enden im blauen Rotationsvolumen (Drehachse K)

Rotationsvolumen ist maximal bei konzentrischen Kugeln Gesamtimpuls K = 0 k1 + k2 = 0 k2 = -k1

Elektronenpaar-Bildung durch Elektron-Phonon WW ist optimal bei Elektronen mit entgegengesetztem Impuls

Darstellung der beiden Elektronenimpulse: In getrennten Fermi-Kugeln: Der Gesamtimpuls K=k1+k2 erscheint:

Cooper-Paar: Wellenbild

Wellenbild: • Elektron 1: Welle mit Wellenvektor k • Elektron 2: Welle mit Wellenvektor –k Cooper-Paar: Stehende Welle

Gesamtimpuls K=k1+k2 = 0 k1 =: k und k2 = -k

Cooper-Paar: Regeneration

Auseinanderdriftende Elektronen Begrenzte Lebensdauer des Cooper-Paares ( Übung)

Cooper-Paare „regenerieren“: Laufend zerfallen und entstehen Cooper-Paare

Paarbildung: Elektron-Phonon-Stoss und “Austausch virtueller Phononen“

• Elektron 1 „schickt“ ein fiktives Phonon zu Elektron 2 Elektron 2 wird abgelenkt • Elektron 2 „schickt“ dasselbe Phonon zurück zu Elektron 1 Elektron 1 wird abgelenkt

Die beiden Elektronen haben vor der WW mit dem Phonon entgegengesetzten Impuls:

Die beiden Elektronen haben nach der WW mit dem Phonon entgegengesetzten Impuls

Cooper-Paar: Elektronenpaar mit ganzzahligem Spin

Die beiden halbzahligen Elektronenspins im Cooper-Paar sind • antiparallel:

oder • parallel:

Gesamtspin: S=0 Singulett-Cooper-Paar

Gesamtspin: S=1 Triplett-Cooper-Paar (selten!)

Cooper-Paar: Boson

Cooper-Paar: Bosonisches Quasiteilchen

Die abstossende Coulomb-WW wird durch die anziehende Elektron-Phonon WW überkompensiert

Bosonisches Quasiteilchen

Cooper-Paar: Freies (fiktives) Teilchen • mit Berücksichtigung der Coulomb-WW zu Gitterschwingungen (Elektron-Phonon WW) • ohne WW zu anderen Cooper-Paaren

Leon Neil Cooper Sheldon Cooper

Einzelnes Cooper-Paar als Quasiteilchen im Leitungsband: Operator-Darstellung I

QM (2.Quantisierung): Besetzungszahldarstellung von Vielteilchensystemen:

• Es gibt einen Zustand ohne jedes Teilchen, das absolute Vakuum: |vac > • Es gibt für jede Teilchenart einen Erzeugungsoperator ap†, der das Teilchen

aus dem Nichts erzeugt und in den Zustand p versetzt: |p>= ap† |vac>

• Zweiteilchen-Zustände:

• gleiche Teilchen: |q>|p> = aq†ap

†|vac> • verschiedene Teilchen: |q>|p> = bq

† ap† |vac>

• Vernichtungsoperatoren ap= (ap†)† [ap† und ap sind zueinander adjungiert]

apap†|vac> =|vac> und aqap†|p> =|q> (Zustandsänderung)

• Teilchenzahloperator: ap

†ap

Einzelnes Cooper-Paar als Quasiteilchen im Leitungsband: Operator-Darstellung II

Einzelnes Cooper-Paar als Quasiteilchen: Erzeugung mit Erzeugungs- und Vernichtungs-Operatoren von Elektronen: c†

k,s bzw. ck,s

• Grundzustand des Leiters: Komplett gefülltes Valenzband, teilweise gefülltes Leitungsband: |Ф0> =

• Elementar angeregter Zustand durch Erzeugung eines Cooper-Paares: c†

L,k,s c†

L,-k,-s |Ф0> = |Фexc>

vaccc s','k

†

s','kV,s','k

†

s','kL,

Erzeugungsoperator eines Cooper-Paares: g† = c†k,sc

†-k.-s

Vernichtungsoperator: g = (g†)† = (c†k,sc

†-k.-s)

† = c-k,sck,s

Cooper-Paare als Bosonen im Supraleiter

• Grundzustand des Supraleiters (ohne Valenzelektronen): Teilweise mit Cooper-Paaren gefülltes Leitungsband: Bardeen/Cooper/Shrieffer (BCS-Theorie): |Ф0> = (|uk|

2+|vk|2=1)

• Elementar angeregter Zustand durch Hinzufügen eines einzelnen Elektrons im Leitungsband: c†

k,s |Ф0> = |Фexc>

vac)ccv (u k

†

,-sk-

†

s,kkk

Cooper-Paare als Bosonen unterliegen nicht dem Pauli-Prinzip: Cooper-Paare können alle zusammen einen quantenmechanischen Zustand einnehmen

Im BCS-Grundzustand sind die Cooper-Paare vollkommen delokalisiert und miteinander korreliert: • N ist die konstante Dichte aller Cooper-Paare • φ (x) ist die ortsabhängige Phase der Cooper-Paare

))(exp(0 xiN

Der gesamte Supraleiter wird durch eine einzige Wellenfunktion beschrieben

Cooper-Paar: Energielücke Δ

QM: Schrödingergleichung für ein Cooper-Paar

),(),()),()(2

( 212121021

2

rrrrrrVm

• Ψ ist die Zweiteilchen-Wellenfunktion • V0 ist das attraktive Potential der Elektron-Phonon WW

Energie: ε= 2EF – Δ

mit Δ>0 und Δ ̴ ℏωD

Cooper-Paar: Berechnung der Energielücke Δ

• SG: ),()(),(),()),()(2

( 2110212121021

2

rrHHrrrrrrVm

• Ansatz: Ebene Wellen ),,,())(exp()exp()exp(),( 21212211221121 rrkkrkrkirkirkirr

• Schwerpunkts- und Relativkoordinaten: 2/)();(;;2/)( 21212121 kkkkkKrrrrrR

• Zweiteilchen-Wellenfunktion mit E = ℏ2/2m(K2/4+k2) = K + Ek

)exp()exp(),,,,(),,,( 22121 rkiRKirRkkKrrkk

K=0 Wellenfunktion in Relativ-Koordinaten: mit Ek = ℏ2k2/2m

)exp(),( rkirk

kk

rkigrrr

)exp()(),( 21

Cooper-Paar: Berechnung der Energielücke Δ

• Einsetzen in SG und einige Umformungen:

N(E‘)≈N(EF): Anzahl von Zweielektronenzuständen mit K=0 im Intervall dE‘ bei E‘ H1(E;E‘): Matrixelemente <k|H1| k‘ >= - V (innerhalb dE‘, mit V>0)

0)(),()()()(

)(2

2

1 DF

F

ENEEHEgEdEgE

• Mit 2F: 1)/1exp(

2

VNF

D

Supraleitung durch Cooper-Paare

Die Leitfähigkeit eines Normalleiters wird begrenzt durch Streuprozesse der Elektronen an Gitteratomen oder Störstellen des Gitters Ohmscher Widerstand

Supraleiter: Ladungsträger sind • Cooper-Paare (2e) • Elektronen (e)

Streuprozesse • können kurzfristig ein Cooper-Paar zerstören, das sich sofort „regeneriert“ Ohmscher Widerstand: 0 • der Elektronen erzeugen den Restwiderstand

Hg: Steiler Widerstandsabfall bei 4.2 K um etwa 4 Größenordnungen

Heike Kamerlingh Onnes (Leiden),1911:

Strom der Cooper-Paare:

Cooper-Paare: Experimenteller Nachweis

Cooper-Paare in supraleitenden Quantenpunkten:

Quantenpunkt enthält einzelne Elektronen

Quantenpunkt enthält Cooper-Paare

Messung von Coulomb-Oszillationen in einem supraleitenden Quantenpunkt bei verschiedenen Temperaturen:

Mit abnehmender Temperatur erfolgt ein Übergang der Oszillationsperiode von einer e- zu einer 2e-Abhängigkeit

Tunnelnde Cooper-Paare: Josephson-Effekt

))(exp( 111 xiN

))(exp( 222 xiN

)()()( 12 txx htTrennschichtTrennschic Phasendifferenz

an der dünnen Trennschicht:

Josephson (1962): Cooper-Paare tunneln durch die Trennschicht • Ständig wechselnder Suprastrom: IJ(t) = Ic sinΔφ(t) „Josephson-Strom“ • mit (magnetisches Flussquantum) Cooper-Paar-Ladung

Ut 0

2

e

h

20

Der Josephson-Strom ist ein Wechselstrom: IJ = Icsin ωJt mit ωJ = fJ /2π = 2eU/ℏ

Definition des Volt: fJ(1V)=483597,9GHz „Josephson-Konstante“ Die Frequenz des Josephson-Stroms ist materialunabhängig

Josephson-Kontakt:

Tunnelnde Cooper-Paare realisieren SQUIDs zur hochpräzisen Messung von Magnetfeldern

SQUID: QM: Der magnetische Fluss durch einen supraleitenden Ring ist quantisiert: Φ = n * Φ0

Φ0 = 2,07*10-15Vs = h/2e

Änderung des externen magnetischen Flusses Φ induzieren im supraleitenden Ring mit 2 Josephson-Kontakten einen ständig wechselnden Josephson-Strom bzw. eine Schwingung der entsprechenden Induktionsspannung. Aus der Periode der Induktionsspannung lassen sich kleinste Flussänderungen ablesen.

Anwendungen: • Medizin: Magnetoenzephalogie (MEG), Magnetokardiographie (MKG) • Geologie und Archäologie: Messung des Erdfeldes

Quantenbits und Quantencomputer versprechen effiziente Lösungen für Probleme wie

• Datenbank-Suche • Fourier-Transformation • Datenverschlüsselung

Warum Qubits?

2005- Gordon Moore: "It can't continue forever. The nature of

exponentials is that you push them out and eventually disaster happens. [...]

In terms of size [of transistors] you can see that we're approaching the size of atoms which is a fundamental barrier”

Cooper-Paare realisieren Quantenbits

• Supraleitender Ring erlaubt Cooper-Paar-Strom in 2 Richtungen Es entstehen genau 2 Drehimpulse der Cooper-Paare: ↑ und ↓ und damit ein klassisches TLS (two-level-system): 0 und 1

• Josephson-Tunnel-Kontakte erzeugen mit quantenmechanischen Superpositionen der

beiden Zustände ↓ und ↑ ein QM- TLS (two-level-system) von Energiezuständen:

•|0> und |1>

Ein QM-TLS kann auch in beiden Zuständen gleichzeitig existieren:

Superpositions-Zustände: z.B.: (|0>+|1>) , (|1> -|0>), (|1>+|1>, ... a*|0> + b*|1> |a|2+|b|2=1

Quasiteilchen Cooper-Paar?

• Elektronenpaar begrenzter Lebensdauer im Festkörper

bei extrem niedrigen Temperaturen: 0 K bis ~ 10 K

• entstehen durch WW der Leitungselektronen mit den Gitterschwingungen: Elektron-Phonon WW

• Ladung: 2e Masse: 2mel Impuls: 0 Spin: 0 (1) BOSON

• „regenerieren“ nach Zusammenstössen mit dem Gitter und Gitterfehlern und ermöglichen so Supraleitung

• tunneln durch Josephson-Kontakte und ermöglichen so SQUIDs und Qubits

Teilchenbild: Wellenbild: