Rechnen auf der Liniemit dem „Abakus“

© Th. Frenz, Passau 2003

Inhalt

• Was ist ein Abakus?

• Addieren

• „Elevatio“

• Subtrahieren

• „Resolutio“

• Multiplizieren

• Schluß

Was ist ein Abakus?

Der Abakus ist ein Rechenbrett, auf dem mit Hilfe von Steinen („Rechenpfennigen“) die Rechenoperationen durchgeführt werden.

Es gibt verschiedene Formen des Abakus; die wichtigste verwendet waagerechte Linien für die Darstellung der Zehner-potenzen:

I

X

C

M

I

X

C

M

Auf diesen Linien können mit Hilfe der Steine die Zahlen dargestellt werden.

Z. B. 132:

I

X

C

M

Auf diesen Linien können mit Hilfe der Steine die Zahlen dargestellt werden.

Oder 1014:

Eine Darstellung der Null ist, wie allgemein bei den römischen Zahlen, also nicht erforderlich.

I

X

C

M

Die Fünfer-Stellen werden zwischen die Linien gelegt.

Z.B. 1508:

I

X

C

M

Man kann die Beschriftung also im Geiste so ergänzen:

D

L

V

I

X

C

MGemäß der Schreibweise der römischen Zahlen dürfen auf der Linie höchstens 4 Steine liegen, zwischen den Linien immer nur einer.

D

L

V

Die Rechenmeister unterscheiden sechs Grundrechenarten:

AddierenSubtrahierenMultiplizierenDividierenVerdoppelnHalbieren

In diesem Programm werden nur die ersten drei davon vorgeführt.

I

X

C

M

Beim Addieren werden die Summanden einzeln auf dem Abakus aufgelegt.

Z.B. 25 + 104:

I

X

C

M

Das Ergebnis 129 kann unmittelbar abgelesen werden:

I

X

C

M

Oder 61 + 54:

I

X

C

M

Das Ergebnis (61 + 54 = 115) kann jetzt nicht sofort abgelesen werden, weil im 50er-Raum zwei Steine liegen (statt ma- ximal 1) und auf der 1er-Linie fünf Steine (statt maximal 4).

I

X

C

M

Den Ausweg bildet die „Elevatio“: fünf Steine auf der Linie werden durch einen Stein im darüberliegenden Zwischenraum ersetzt, zwei Steine im Zwischenraum durch einen auf der darüberliegenden Linie:

I

X

C

M

Mitunter muß die Elevatio wiederholt werden, manchmal auch mehrmals:

Die zweite Grundrechenart, das Subtrahieren, ist fast

genauso leicht:

I

X

C

M

Beim Subtrahieren wird der Minuend ausgelegt und der Subtrahend einfach weggenommen. Z.B. 128 – 16:

Das Ergebnis 112 kann unmittelbar abgelesen werden.

Man kann auch Minuend und Subtrahend nebeneinander auslegen und dann die Steine des Subtrahenden parallel bei beiden Zahlen wegnehmen. Dieses Verfahren ist weniger fehleranfällig.

I

X

C

M

Z.B. 1028 – 15:

Das Ergebnis 1013 kann unmittelbar abgelesen werden.

I

X

C

MZ.B. 1023 - 16:

Manchmal können die Steine nicht parallel von beiden Zahlen weggenommen werden.

Für diese 5 gibt es links keine Entsprechung.

I

X

C

MZ.B. 1023 - 16:

In diesem Fall hilft die „Resolutio“, d.h. ein Stein auf der Linie wird in zwei Steine im darunterliegenden Zwischenraum aufgelöst bzw. ein Stein im Zwischenraum in fünf Steine auf der darunterliegenden Linie.

I

X

C

M

Nunmehr ist die Subtraktion durch paralleles Wegnehmen möglich:

I

X

C

M

Mitunter muß die Resolutio mehrmals erfolgen, z.B.

Nun folgt das Multiplizieren.

Es erfordert deutlich mehr Zeit und Aufmerksamkeit

und ist bereits recht fehleranfällig.

I

X

C

M

1. Schritt: Multiplikand und Multiplika-tor werden nebeneinander ausgelegt:

Für jeden Stein des Multipli-kators muß nun der Multi-plikand rechts einzeln aus-gelegt werden.

I

X

C

M

2. Schritt: Auslegen des Multiplikanden für den ersten Stein des Multiplikators:

Dieser Stein ist verbraucht und kann weggenommen werden.

I

X

C

M

3. Schritt: Auslegen des Multiplikanden für den zweiten Stein des Multiplikators:

Dieser Stein ist verbraucht und kann weggenommen werden.

I

X

C

M

4. Schritt: Auslegen des Multiplikanden für den drittten Stein des Multiplikators:

Dieser Stein ist verbraucht und kann weggenommen werden.

Vorsicht: da der Multiplikatorstein eine Linie höher liegt, müssen auch die Ergebnissteine eine Linie höher ausgelegt werden !

I

X

C

M

5. Schritt: Vereinfachung des Ergebnisses durch die Elevatio:

15 x 12 = 180

So einfach geht das aber nur, wenn der Multiplikator ausschließlich aus

Einerstellen, d.h. aus Steinen auf der Linie, besteht.

Schwieriger ist die Multiplikation mit 5: hier gibt es zwei Möglichkeiten.

Die erste ist langwierig, aber zuverlässig: die 5 wird durch eine Resolutio in fünf Einer aufgelöst.

I

X

C

M

Resulutio des Multiplikators, Auslegen des Ergebnisses, Elevatio im Ergebnis:

150 x 5 = 750

Die zweite Methode arbeitet mit einer „Multiplikationstabelle“:• ein Stein auf der Linie wird in einen Stein im darüberliegenden Zwischenraum verwandelt (1 x 5 = 5).• ein Stein im Zwischenraum wird in einen Stein im Zwischenraum plus zwei Steine auf der Linie darüber verwandelt (5 x 5 = 25).Dieses Verfahren ist schneller, aber auch fehleranfälliger.

I

X

C

M

Auslegen des Ergebnisses gemäß „Multiplikationstabelle“:

1 x 5 = 5

5 x 5 = 25

Mit dem Abakus lassen sich auch Dezimalbrüche sowie Zahlen darstellen, die nicht dem Dezimal-schmema folgen, z.B. Währungsangaben.

1/10IXC

Dezimalbrüche

1/1001/1000

1 d.

1 s.

10 s.

1 l.

1 Pfund (libra) = 20 Schillinge (solidi); 1 solidus = 12 Pfennige (denarii)

Hier sind die Zwischenräume anders besetzt, und die Elevatio bzw. Resolutio wird anders vorgenommen.

Zwischenraum = 6 d.

Hier darf nur ein Stein liegen, da 20 s. = 1 l.

Zwischenraum bliebt frei.

Da das Rechnen „auf der Linie“ weitgehend mechanisch erfolgen kann, ist es dem Rechnen „mit der Feder“, d.h. mit arabischen Ziffern, an Geschwindigkeit oft überlegen.

Außerdem bietet es den Vorteil, die Rechenvorgänge anschaulich darzustellen – im Gegensatz zum „Einmaleins“ der arabischen Ziffern, das auswendig gelernt werden muß.

Es ist also durchaus offen, wer in dem folgenden Wettstreit den Sieg davonträgt: