194 Frey~ag: Rechnerischer Ausgleich yon MeBkurvenseharen. Ingenieur-Archlv

Rechnerischer Ausgleich von MeBkurvenscharen.

Von H. Freytag.

1. Einfiihrung irt die Aufgabenstellung. Bei der experimentellen 15ntersuchtmg der Ab- h/ingigkeit einer physikalischen MeBgr6i3e m yon zwei yon einander unabh/inglgen EinfluB- griSBen (z. B. yon der Frecluenz f u n d der Tempera tur t) geht man gewiihnlich so vor, dab man die eine EinfluBgriJBe jeweils w/ihrend einer MeBreihe konstant h/ilt und die andere variiert. Welche :Einflul3grt~Be dabei innerhalb der Megreihe konstant gehalten, und welche variiert wird, h/ingt yon der Aufgabenstellung und der Einstellbarkeit und I leproduzierharkeit der EinfluBgrtiBen ab. Auch bei der graphischen Darstellung der Funktion in Form einer Kurven- schar ist es im allgemeinen ohne Belang, welche Einflul3griSBe man als Abszisse w/ihlt und

~rrb

j l + JZ2

j , / ~ - -o. -/'e~/er/;,e/e Karze

F

fo Z, N S Abfi. 1. Frequenzgang yon m.

welche als Parameter . Diese Freiziigig- keit ist jedoch durchaus nicht immer gegeben. Wenn sicll die zu unter- suchende Gr6i3e m in den betrachteten Bereichen relat iv zu ihrem Anfangs- weft nut wenig /indert, so wird es der meBteehniseh Erfahrene vermeiden, die J~nderungen yon m aus der Diffe- renz zweier ungef/ihr gleieh groBer MeBwerte zu erreehnen; er wird viel- mehr zur Steigerung der ?r keit ein Verfahren w/ihlen, das die unmittelbare Messung der Differenz selbst gestat tet . I~s ist dann hei ge- sehiekter Versuehsanordnung meist m6glieh, den Gang der MeBgrtige m hei Variation einer Einflui3griSl3e mit wesentlieh grSBerer absoluter Genauig- keit zu best immen als den Anfangs- weft yon msdbs t . In diesem Fall ist man in der Wahl des Parameters nieht mehr frei. Hat man heispie!sweise den Frequenzgang 1 der Meflgrt~13e bei

mehreren konstanten Tempera turen aufgenommen, so mug man auch beim Auftragen die Tempera tur als Parameter w/ihlen, weft yon jeder Kurve m = F 1 (f) die Gestalt (die dutch die Ordinaten d i f f e r e n z e n der Mel3punkte definiert ist) wesentlich genauer bekannt ist als ihre Htihenlage; denn die Ordinaten jeder Kurve sind s/imtlich um den gleichen Betrag gef/ilscht, den (nach unserer Voraussetzung wesentlich gri~Beren) Mel3fehler des Anfangswertes v0n m (vergl. hierzu Abb. 1). Dieser Fehler hat fiir jede Kurve einen anderen Weft. Es w/ire daher verfehlt, aus den MeBwerten des Frecluenzganges bei verschiedenen festen Tempera turen Kurven des Temperaturganges bei verschiedenen festen Freqttenzen hilden zu wollen, da die zur gleichen Frequenz geh~renden Megpunkte untereinander zu sehr streuen. Man muB viel- mehr den Tempera turgang yon m bei verschiedenen festen Frequenzen gesondert aufnehmen. Tr/igt man die Ergebnisse mit der Frequenz als Parameter in Kurvenform auf, so ist auch bier die Gestalt der Kurven genauer hekannt als ihre Htihenlage (vgl. Ahb. 2).

Wenn man nun derartige mittels eines Differenz-MeBverfahrens ermlttel te Kurvenscharen des Frequenzganges und Temperaturganges vorliegen hat (die zweckm/iISig unter Benutzung stets derselben Megfrequenzen und MeBtemperaturen aufgenommen werden), so sollte man annehmen, es kiinne nicht schwer fallen, aus diesen Kurvenscharen wie hei rechnerisch ermit- tel ten Kurven das Liniennetz der gesamten F1/iche m = F(f , t) mittel s gegenseitiger graphischer

1 Wir verwenden ira folgenden der Kiirze halber als Beispiele der EinfluBgri~gen Frequenz und Temperatur, ohne damit die Allgemeinheit der Gedankengange einschr~nken zn wollen.

X X I I , Band 1954 Freytag: Ilechnerischer Ausgleich yon Mei3kurvenscharen. 195

Interpolation geniigend genau zu bestinaraen und darzustellen. Ein Versueh zeigt jedoch, dab dies nicht o/ane weiteres m~glich ist, weft die MeBwerte des Frecluenzgangs und des Tempe- raturgangs einander zum Teil widersprechen. Man sieht dies am deutlichsten, wenn man die MeBpunkte des Temperaturgangs in das l)iagramm des Frecluenzgangs mit eintr/igt. Dies ist in Abb. 3 fiir 5 • 4 MeBwerte attsgefiihrt. In dieser Abbildung und im folgenden Text sind zur leiehteren Unterseheidung die aus Mes- sungen des l~requenzganges stammen- den MeBwerte yon m m i t F, die aus Messu~gen des Temperaturganges stammenden mit ~ bezeiehnet, l)er erste Index bezieht sich auf die Fre- quenz, der zweite anf die Temperatnr .

Wit stellen uns nun die Aufgabe, aus der Qberlagerung zweier offenbar fehlerbehafteter Ne tze yon je 5• 4 MeBpunkten das ansgeglichene, d .h . yon 17ehlern so gut wie mfiglich befreite Netz abzuleiten. Dies erscheint auf den ersten Blick recht einfach. Da fiir jeden Zustand f =j~, t = t/~ zwei MeBergebnisse vorliegen, liegt es nahe, jeweils deren arithmetisches Mittel als den wahrscheinlichsten Wert anzu- sehen. Bei einem derartigen u wiirde abet die h~here Genauigkeit, mit der die Differenzen zJ~0 und 'Ar ge- messen wurden, neben den grtiBeren Fehlern der Anfangswerte yon ~0 und

nicht zur Geltung kommen kgnnen ; t~re quenz- und Temperaturgang yon m warden auf diese Weise gr6blich ver- f/ilscht werden. Ein anderer nahe- liegender Gedanke w/ire der, die ein- zelnen Kurven des Frecluenzgangs und des Temperaturgangs ohne Gestalt- /inderung parallel zu sieh selbst in Richtung der Ordinatenachse solange zu verschieben, his ~v-Netz und ~-Netz in Abb. 3 zur Deckung kommen. Ein derartiger Versuch nliiBte zum Ziel fiihren, wenn die Differenzen zlq~ und A~ vollkommen fehlerfrei gemessen w/iren. I)a jedoch auch diese l)iffe- renzen gewisse (nach unserer Voraus- setzung allerdings kleine) Fehler auf- weisen, 1/il3t sich der Ausgleich nieht ohne kleine Gestalt/inderungen der Kurven durchfiihren. Es leuchtet ein, dab diejenige LiSsung die grtil~te Wahr- sche~nlichkeit far sich hat, bei der die Korrekturen an der Gestalt tier Kur-

7 g

, ~ i - . 1 7 I # ' l . I

. . - J / / l " / I "

f : X i i i i i l ~ i I t i i I "

l=Jffr t i l l 1 / i 7 - - x - - f - ~ e S f / e d e

. • - . ~ - fehlepCreie Km,ve

f=S ~.-

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A b b 2 . T e m p e r a l ; u r g a n g y o n m ,

, 77;

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1 / + t f i z z 3 2

__ ,~ ,..,.y?,,~ :~

J i i + i

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~=~1 ~ 1 t l / ; S /

i - + + F-AieSwerfe I I x r-Me#werte

I - - ~ - - feklepfre/eKupve

t=$o ~OS +

I [ . I

A b b . 3 . G e g e n l i b e r s t e l l u n g t i e r ~- u n d ~ - M e B w e r t e .

yen am kleinsten sind. Ein solcher Ausgleieh 1/iBt sich freilich durch Probieren nicht ein- wandfrei durchfiihren. I)eswegen wurde nach der G a u f l s c h e n Methode der kleinsten Quadrat- suname ein t lechenverfahren entwickelt, das den Ausgleich im obigen Sinne, frei yon Willkiir und ohne zeitraubendes Probieren ermtiglicht.

Es ist bekannt, dab der in der Industrie T/itige Ausgleichsrechnungen scheut, da sie in der Regel langwierige tlechnungen erfordern. I)eswegen sei im Voraus bemerkt, dab das im folgen-

14

196 Freytag: 1Rechnerischer Ausgleich yon MeBkurvenscha~eu. Ingenieur.Archlv

den beschriebenc Verfahren soweit durchgebildet wurde, dab es nicht mehr notwendig ist, fiir jeden Einzelfall die ~!ormalgleichungen yon neuem aufzustellen und in bekannter Weise duz�9 schrittweise Ausmerzung der Unbekannten zu liJsen. Es werden vie lmehr fiir die an jedem MeBpunkt anzubringenden Verbesserungen einfache Formeln angegeben, mit denen sich die Verbesserungen schnell berechnen lassen. Das 1Rechenverfahren ist nicht auf 5 X 4 MeBpunkte beschr/inkt, sondern ohne weiteres auf beliebig viele MefJpunkte anwendbar. Abgesehen yon der oben genannten Voraussetzung einer wesentlich hbheren MeBgenauigkeit bei der Bestim- mung des Ganges der Meggrfil~e wird an die Kurven nur die eine Beding/mg gestellt, dab sie stetig ver laufen miissen.

2. Aufstellung der Fehlergleichungen. Das yon Gaufl angegebene Verfahren zum rechne- rischen Ausgleich unsystematischer Fehler geht yon der Forderung aus, dab die Summe der Quads'ate der anzubringenden Verbesserungen ein Minimum werden soll. Da es in unserem Falle darauf ankommt , die Gestalt der Ku~ven m~glichst wenig zu /indern, haben wit a]s Verbesserungen v ina Gauflsehen Sinne die Unterschiede zwisehen den Ordinatendifferenzen der ausgeglichenen Ku, ve und der ihr entsprechenden ~o- bzw. ~-Kurve anzusetzen. Bezeich- hen wit die ausgeglichenen MeSgr5l~en m i t r und benummern die ~o-, 7- und r-Werte wie in Abb. 1 und 2, so ist demnach zu fordern, dab folgende Differenzen paarweise m5glichst genau i~bereinstimmen :

r~o--roo mit ~O~o--~Ooo ; r2o--roo mit ~O2o--~Ooo usw.,

abet auch ro~--roo mit To~--Too ; ro2--roo mit To~--~oo usw.

Wenn die ~- und ~-Messungen bei a MeBfrecluenzen und b MeBtemperaturen ausgefiihrt wurden, so lassen sich auf diese Weise an Hand der 2 a b Punkte zahlreiche Fehlergleichungen aufstellen, und zwar ergeben sich b ( a - - 1) Gleichungen aus den q-Differenzen und a (b - - 1) Gleichungen aus den T-Differenzen.

Fehlergleichungen fiir a = 4 MefJfrequenzen und b = 5 MeBtemperaturen (i = 0 . . . 3 , k =- 0 . . . 4 ) .

Veto = (r~o - - too) - - (~O~o - - ~ o o ) ,

~ o = ( ~ o - - roo) - - ( ~ o - - ~ o o ) , v~ 3o : ( r a o - - too) - - @ 3 0 - ~ o o ) , v~x~ = (rl~ - - fox ) - - (~o~ - - ~Oox) , ~ = (~2~ - - ro~) - - (~o~ - - ~ o ~ ) , ~ = ( r 3 ~ - - ~o~) - - (~o3~ - - ~ o ~ ) , ~ = ( ~ - - ro~) - - ( ~ - - ~ o ~ ) ,

~ 3 ~ = ( ~ - - ~o~) - - ( ~ 3 ~ - ~ o ~ ) ,

�9 �9

v ~ = ( r ~ - - to , ) - - (~v~a - - ~ o ~ ) ,

V~o3 = ( r o ~ - too) - ( T o 3 - Too) , ~ o ~ = (~o~ - ~oo) - (To, ~ Too),

v ~ = ( ~ 3 - r ~ o ) - ( ~ 3 - r , o ) ,

v ~ = ( r ~ ~ ~ o ) - - ( ~ - - T~o),

v~ ~ = (r24 - - r~o) - - ( ~ - - z 2 o ) , v~31 = (r81 - - r3o) - - ( T 3 1 - - T3o),

(15 Gleichungen) (16 Gleichungen)

Bei den Klamraerausdri icken in den obigen Fehlergleichungen handelt es sich tt~n I)ifferen- zen nahezu gleich groBer Zahlen. Um bei den sp~iteren Zahlenrechnungen rait einer geringen Stellenzahl auskommen zu k~nnen, fiihren wit andere, kleinere GrSBen ein. Wit gehen dabei yon der halben Summe und der halben })ifferenz der Werte T~ und ~o~ aus, n/imlich yon

s~ = 0,5 (~k q- ~v~) und d~ = 0,5 (T~ - - ~ik) ,

und erhalten, indem wir r~ ~-~ slk ~- ulk ,

setzen, die Beziehungen

xxTI. B~.,I ]954 Freytag: Rechnerlscher Ausgleich yon Mef]kurvenscharen. 197

Dann bekommen die Fehlergleichungen folgende Form:

%~o = (~o - - %0) + (d~o- aoo), V~o = ( ~ o - ~oo) + (d.~o- doo), %~o = (%o-- ~oo) + (d~o-- doo),

v ~ = ( ~ - ~o,) + ( a ~ ~ - d~o),

V~o~ = ( % ~ - %0) - (do~-- doo),

~ = ( ~ - - ~ o ) - (d~o-- ~,o)- Die Koeffizienten-Matrizen fiir u~ und dlk der Fehlergleichungen sind in den Tabellen 1 und 2 wiedergegeben.

Tabelle 1. K o e f f i z i e n t e n - M a t r i x (g) in den Fehlergleichungen (v) = (g) �9 (u) + (h) . (d) .

t t I r t ! t t u /~o~ ~ l l 4 l o I 11 [ 12 13

!

--11 1

V~21 VV22 VV28 Vv24

VV31 VV32 VV33 V~34

Vr Vq~20 Vq93D

u ~ 1 7 6 , u ~ uo~.

Vvol

VvO3 VV04 - -

V~'11 VVl2 VV13 VVl4

--1

V~921 Vc~31

Vq~12 Vq~22 V(p32

I 1 I - - i--1 i--1

1

Vq~18 V~023 Vq033

V~o14 V9924 V~934

U]4 u2~ [ u~'1

i

1

U~3 U24 ~ UaZ tt~

1 1

1 1

I 1

i--1

Wir haben nun nach G a u f l zu fordern, dab Zv 2 ein Minimum wird. Wenn die Mel3genauig- keit bei der Best immung der Differenzen LJ 9 und Ar verschieden grol3 ist, muB man den Yer- besserungen v~ und v~ verschiedenes , ,Gewicht" beilegen. Das Gewicht eines Fehlers ist dem Quadrat des mitt leren Fehlers (der aus Messungen ermit tel t oder auch gesch/itzt werden kann) umgekehrt proportional. Ordnen ~,ir den v~-Werten das Gewicht 1 zu und sind #~ und #3 die mittleren Fehter bei tier Messung yon zJ~ bzw./1% so ergibt sich als Gewicht der %-Werte

~2 2 p = [ ~ : #~ �9

Wit haben demnach zu fordern

S = Z p v~ + Zv~ = Minimum .

3. Aufstellung tier Normalgleichungen. Die Fehlergleichungen enthal ten einerseits die zu ermit telnden Zuschl/ige u, die an den mit t leren Ordinaten s anzubringen sind~ andererseits die bekannten halben Differenzen d zwischen je zwel zum gleichen Zustand gehsrenden ~v- und v- Werten. Xls Ver/inderliche der ~ in imumsaufgabe haben wir die u anzusehen. Aus der Be-

14"

198 Freytag: Rechnerischer Ausgleich yon MeBkurvenscharen. Ingenicur-Archiv

Tabelle 2. Koeffizienten-Matrix (h) in den Fehlerglelchungen.

doo do~ do~ do~ do~

Y~O1 Vr02 VvO3 V~'04

VV.ll VVl2 Vrl8 VT14

Vv21 Vv22 V~'23

V V 2 4

VV31 VV32 VV83 V~'34

VrP20 v~a 0 --I

V~21 V~ 31

Vq~12

V~o32

VCPX3 V~o23 Vq~33

Vq~14 Vq~24 V~o84 I

1 --I 1 --i 1 --i 1 --i

I

--1

--1

--1 --1 - 1 t

-~1

--1

dlo dn

11 I-

- -1 - -1

- -1

I 1

- -1

1 1 1

d21

I

1

1

1

I

d~

- -1

1 I

d~ d~4

--] - -1

d3o daz

1 - -1 1 - -1 1 1

1

1

ds2 da8 da,

--1 --1

dingung, dab die partiellen Ableitungen der Quadra tsumme S nach allen ui~ gleich Null werden miissen, erhalten wit a �9 b sog. , ,Normalgleichungen" fiir die a �9 b Unbekannten u~.

Bei der partiellen Ableitung benutzt man zweckm~iBig die Umformung

au - - Ou ~ Ou ~u ~,a -~u - - 2 p v~ au/ Ou]] �9

In den Tabellen 3 und 4 sind die Koeffizienten-Matrizen der Unbekannten ulk und tier Konstanten di~ fiir alle a . b Normalgleichungen wiedergegeben. Das Bildungsgesetz in Ab- hlingigkeit yon a und b ist deutlich zu erkennen. AuBerdem ist zu ersehen, dab die Summe aller Koeffizienten in jeder Spalte u~ und d~ gleicll Null ist. Das bedeutet aber, dab nut (a b - - 1) Gleichungen yon einander unabhiingig sin& Denn wit kSnnen jede der a �9 b Gleichungen auch dadurch erhalten, dab wir alle anderen addieren. Wit haben somit gerade eine Gleichung zu wenig. Dies ist nicht verwunderlich, wenn man die u-Koeffizienten-Matrix der Fehlergleichun- gen betrachtet . In allen Fehlergleichungen kommen die Unbekannten u immer nu t in Form yon Differenzen vor, niemals in anderer Kombination. Da die Normalgleichungen lineare Kombinat ionen der Fehlergleichungen sind (die partiellen Ableitungen liefern nut Konstante) , liefern auch die Normalgleichungen nur Bedingungen fiix die Differenzen je zweier Unbekann- tea, niemal s fiir die Unbekannten selbst. Wir miissen daher noch eine Bedingung hinzufiigen, dutch die die ttShenlage des ausgeglichenen Punkthaufens festgelegt wird. Wir wiihlen die Bedingung 2: u = 0, die besagt, dab der Schwerpunkt des ausgeglichenen Punkthaufens ri~ mit dem Schwerpunkt der Mittelwerte si~ der ~- und v-Werte zusammenfallen soll. Damit schaffen wir gleichzeitig die Voraussetzung dafiir, dab allch 2: u 2 ein Minimum wird.

XXII. Band 195~ Freytag: Rechnerischer Ausgleich yon MeBkurvenscharen. 199

+ 7

'~.

i

~- i

I I == ~

~§

7

7

r~ ? §

§

? +

I

~ l l l t

7

7

7

i

~ 7

m t

t

I

- = I -

v

~i 7

i

I ! I . . . . . . . . I

I r - r

! , , ~,

- I I I

200 Freytag: Rechnerischer Ausgleich yon MeBkurvenscharen. Ingenieur-Arehiv

4. Allgemeine Aufliisung tier Normalgleiehungen. Bei Ausgleichsrechnungen ist es iiblich, das System der Normalgleichungen nach dem Einsetzen der Zahlenwerte fiir p und alle d yon Fall zu Fall numerisch aufzult~sen. Da man es bei nu t drei 9- und drei z -Kurven schon mit 9 Gleiehungen, bei fiinf 9- und vier z-Kurveil abet mit 20 Gleichungen zu tun hat , ist dies eine ziemlich langwierige und ~bung voraussetzende Arbeit. Um diese immer wiederkehrenden Rechnungen zu vermeiden, wurde das System yon a . b Gleichungen generell a]gelbraisch auf- gelSst. I m folgenden werden die Ergebnisse mitgeteih . Voa einer auch nut auszugsweisen Wiedergabe der durchaus elementaren, abet ziemlich umfangreichen Berechnungen muB aus Raumgriinden abgesehen werden.

Die an den Mittelwerten s~ anzubringenden Zuschlage u~, durch die das Netz entsprechend unseren Forderungen ausgeglichea wird, sirtd, wie zu erwarten war, lineare Funktionen der halben Differenzen d~, und zwar tr/igt im allgemeinstert Fall jede dieser halben Differenzen nach MaBgabe eines Koeffizienten c zu jedem Zuschlag u etwas bei. An dem Mittelwert s~,t, der der Frecluenz f u n d der Tempera tur t zugeordnet ist, ist ein Zuschlag

a--1 ; b - - I

= 2 ; i = 0 ; k = 0

anzubringen. Die Koeffizienten c~ t) sind algebraische Funktionen yon a, b, und p. Das

zweite Indexpaar f, t weist darauf lain, dab sich c nicht nur nach der jeweiligen Differenz di~ richtet , sondern auch nach der Verbesserung uf, t, fiir die es gelten sell. Die Mannigfaltigkeit ist jedoch keineswegs so groB, wie es zun/ichst scheint. Unter den a �9 b Koeffizientea c gibt es im HSchstfall 16 der Formel und dem Zahlenwert nach verschiedene. Die Formeln fiir die 16 Koefflzienten, die zur leichteren Unterscheidung m~t Buchstaben des groBea A1phabetes (A his R, unter Auslassung yon 0) bezeichnet werden, sind ia Tabelle 5 zusammeagestelh. Die Zahlenwerte yon A . �9 �9 R sind fiir einige Werte yon a, b, und p der Tabelle 6 zu entnehmen.

V A = - - ( p +

V B = ~ ( p +

V C = - - ( p +

V D = ~ ( p +

V E = + ( p +

V F = - - (p v G = + ( p

V H = ~ ( p

V J =

V K =

V L -=

V M =

Tabelle 5. Formeln fiir die Koeffizienten A . . . R .

1) (b p + l) (a + p) [(1 + a b) (a - - b p) + 2 a b (p - - 1)],

1)(bp + 1)(a + p ) ( 2 a b p - 4 - a J b p ) ,

1) (bp + 1) [a b (a .+ bp) (a ~ p - - 2) -1- 2 a bp (p + l) -t- (a -[- p) (a - - bp)],

1)(bp + 1 ) [ 2 a b p ( p + 1) + (a + p ) ( a - - b p ) ] ,

1)(bp + ])(a + p ) ( 2 a b ~ a + b p ) ,

-4- 1) (b p + 1) (a + p) (a ~ b p) ,

+ 1)(bp + 1) [ 2 a b ( a + b p ) - - b p ( a - - p ) ~ a ( a + p ) ] ,

+ 1)(bp + ]) [(a -}-p) (a - - b p ) -}- 2 a b p ] ,

-}- (p + 1 ) ( a . + p ) [ a b ( a + b p ) ( b p - - 1 ) ~ b p ( a - 4 - b p ) ( 2 a - - 1 ) + 2 a b ~ a + bp],

--(p-]-l)(a.+p)[bp(a-+bp)(2a--1) + a - - b p ] ,

+ (b p -4-1) [a b (p ~ l) (a -+ p) (a + b p) - - (p + 1) (a - - b p) (a + p ) - 4 - 2 a b ( a . - [ -bp~p) ] ~ 2 a b p 2 ( a + p)(a + b p ~ l ) ,

2 a b p [bp + 1 + p(a.-t- p)(a + b p - - 1 ) ] - - ( p + l ) ( b p + 1)(a + p ) ( a - - b p ) ,

v N = + (v + l ) (a + p ) [ 2 a ( b - - 1 ) + ( b p + l)(a +bP)] ,

V P = ~ ( p + 1) (a -+ p) [(b p -]- 1) (a - - b p) - - 2 a b p],

VQ ------4- 2 a b [ ( b p + l ) ( a + b p - - p ) + p~ (a + p)] - - (p + l ) ( b p + 1)(a + p) (a - - b p),

V R = J 2 a b p [ b p + l - - p ( a + p ) ] - - ( p + l ) ( b p - [ - ! ) ( a - } - P ) ( a - - b P ) .

V = a b ( p + 1) (bp -4- 1)(a -{-p)(a -[- bp).

5. Die Struktur der d~k-Koeffizienten-Matrix. Die Zuordnung der 16 Koeffizienten A . . . R zu den halben Differenzen di~ und den zu berechnenden Zuschl/igen u zeigt die Tabelle 7, die fiir den Fall yon a ~ 5 MeBfrequenzen urid b ~ 6 MeBtemperaturen aufgestellt ist. Die Koeffi- zienteu-Matrix ist quadratisch und symmetrisch zur Hauptdiagonale. Sie weist auBerdem

xxH. ~=a ~954 Freytag: Rechnerischer Ausgleich yon Mef~kurvenscharen. 201

einige Gesetzm~f~igkeiten des Aufbaus auf, deren Kenntnis fiir die Umstellung auf andere Werte yon a und b yon Wichtigkeit ist. Sie zer- f/illt n~imlich in a 2 zum Tell gleiche Teil quadrate yon der Seitenl/inge b, die ebenfalls symmetr isch zur I-Iauptdiagonale aufgebaut sind. Bei tier ge sanaten Matrix wie bei den Tell qua draten kann man einige Teilfl~chen unterscheiden, die in ihrern Koeffizienten-Inhalt einheitlich auf- gebaut sind. Diese sind: ein quadratisches Eckfeld (links oben), ein Streifen in der I ' iaupt- diagonale, zwei Randleisten (oben und links) sowie zwei Dreieckfl/ichen. Dabei hat man als Struktureinheit ein Quadrat anzusehen, das bei der gesamten Matrix die Kantenl/inge b, beim Tei lquadrat die Kantenl~nge 1 hat .

6 . P r a k t i s c h e D u r c h f i i h r u n g t i e r A u s g l e i c h s - r e c h n u n g . Gegeben seien aus Messungen ~ der Frequenzgang der Mel~gr5l~e m ~-F~ (f) bei b konstanten Tempera turen t o . . . ts_~ (b Kurven des q-Diagramnas, aus denen bei den Absz~ssen f 0 . . . f~-~ insgesamt a . b Megwerte ~ ent- nommen werden), der Tempera turgang der Mel~grSBe m = F 2 (t) bei a konstanten Fre- quenzen f 0 ' ' . fa -x (a Kurven des v-Dia- gramms, aus denen bei den Abszissen t o . . . ta_x insgesamt a . b MeSwerte v~ entnommen werden).

Ferner sei (ans Messungen oder Sch/itzun- gen) die mit t leren Fehler #~ und #~ bei der Ermi t t lung des Frequenzganges und des Temperaturgangs bekannt , woraus p =/z~ : #~ errechnet werden kann. Man geht dann wie folgt vor: Aus den 2 • a . b Mel3werten q~ und ~ werden die a �9 b Mittelwerte

s~ = 0,5 ( ~ q- ~ )

und ebensoviele Differenzen

d~ = 0,5 ( ~ - - ~ )

berechnet.

Dann stellt man an Hand der Regeln des Abschnittes 5 und der Beispielmatrix Tabelle 7 die d-Koeffizienten-Matrix fiir die betreffenden Werte yon a und b auf, und zwar zun~ichst nut mit Buchstaben (A " " R). Nunmehr berechnet man diese Koeffizienten A . . . R entweder aus der Tabelle 7 (aus den Zahlenwerten

~. ( A . . . ~) und tY)

oder aus der Formelzusammenstel lung Tabelle 5.

Die einzelnen Summanden, aus denen sich die uf, t zusanamensetzen, ergeben sich dann aus der Multiplikation der Zahlenwerte der in

Entsprechend dem oben gew~ihlten Beispiel sind als EinfluBgrfBen wieder Frequenz und Tempe- ratur gew~ihlt.

I ~ ' ' ' ' I .

~ [ [ [ I I I [111

. . . . . . I I I I I l l L l i

i m , ,

1 ~ " I ~ ~ ~ I ~ " I -~

1 I I i [ i I I I 1

I1 I I I

~ e q r ~ r " t - - ~ u ~ e q

[ [I I I O~ I w ]

I E

t ~ t t ~

i I l l l I 1 I I I ~

. . . . . . . ~ 7 I l l I I I 1

"~ 1 7 , E I ET, 1

I I ~ 1 ~ 1 ~

I1 [ J

m

202 l~reytag: Reehnerischer Ausgleich yon Mel3kurvenscharen. Ingenleur-Archiv

der Zeile ui, t stehenden Koeffizienten A . . . R und des dariiber im Kopf tier Tabelle ge- nannten d~. Die Summanden sind dann unter Beachtung ihres u zu addieren.

Als Kontrolle fiir die richtige Berechnung der Koeffizienten A . . . R kann dienen, dab ffir lauter gleiche d (z. B. = 1) s~imtliche Zuschl/ige u verschwinden ~niissen.

Tabelle 7.

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(Eingegangen am 3. September 1953.)

Anschrift des Verfassers: Dipl.-Ing. Heinz Freytag, Forsbach bei K61n, Feldstr. 31.