ANNALEN D E R PHYSIK ~

7 . F O L G E * B A N D 19, H E F T 3 - 4 * 1967

Reflexion einer rpharischen Stobwelle an einer konrentrirchen Kugelflache

Von F. D E M W ~

Mit 4 Abbildungen

I n haltsii bersic h t Es wird die Reflexion einer sphirrisch expandierenden StoDwelle an einer konxentrischen

Kugelflkhe untereucht. Die mathematische Formulierung fiihrt auf ein quasilineares Anfangs-Randwert-Problem, dee am den Stromungsgleichnngen. den Anfangsbedingungen im Reflexionszeitpunkt und den Rendbedingungen suf der reflektierenden Kugelflliche soKie den Randbedin gen hinter der reflektierten StoDfront besteht. Die mit Hilfe einea Charakteristikenverf8~ns gewonnene numerische Liieung liefert die Weg-Zeit-Kurve der reflektierten GtoBfront sowie den Verlauf von Stri)mungsgeschwindigkeit, Dichte, Druck und Temperatur im Gebiet zwischen der reflektierten StoDfront und der Kugelflirche. Fiir das durchgerechnete Beispiel wurde die hinlaufende StoBwelle ale starke bleat wave an- genommen und, um zu deren Beschreibung die TaYLoRsche Khnlichkeitslosung verwenden zu klinnen, die Zustandsgleichung f i i r polytrope Geee benutzt. As Verhirltnis der spezi- fischen Wiirmen wurde x = 1.4 ewirhlt. Von diesen Voraussetzungen kann man sich befreien, wenn auch die hinlaufencfe SeoBwelle numerisch berechnet wird.

1. Einleitung Erzeugt man eine spharisch expandierende Stol3welle im Mittelpunkt eines

kugelfBrmigen, gasgefiillten GefkBes, dann entsteht beim Auftreffen auf die Wand eine reflektierte StoBwelle. Die Bahnkurve der reflektierten StoDfront sowie das Str6mungsfeld hinter der Front sind durch die ursprungliche Stol3- welle bestimmt.

'iTm eiiie K las se von spharischen StoDwellen zu erfassen und die mathema- tischen Methoden zur Behandlung der Reflexion sphkrischer StoBwellenl) zu- gleich auf ein ubersichtliches Beispiel anzuwenden, habe ich die hinlaufende StoDwelle G, die zur Zeit t = 0 im Kugelmittelpunkt r = 0 entstehen und zur Zeit t = t~ an der Kugelflache r = R reflektiert werden mBge, ale starke blast wave angenommen. Mit Hilfe einev Charakteristikenverfahrens IaBt sich die Weg-Zeit-Kurve der reflektierten StoDfront 8 sowie StrBmungsgeschwindig- keit u ( r , t ) , Dichte'e(r, t ) , Druck p ( r , t ) und Temperatur T ( r , t ) im r-t-Gebiet zwischen der Stol3front % und der Kugelflache r = R berechnen.

Die TAYLoRsche LBsung [ 11 der gasdynamischen Gleichungen beschreibt die starken blast waves mit sehr guter Niiherung, wenn man nur in hinreichen- der Entfernung vom Ursprung der StoDwelle vergleicht - dann sogar unttb- hLngig vom Entstehungevorgang : zum Beispiel: Funken. chemische Explosion,

I ) Durch h d e r u n g eines konstanten Koeff izienten in den gasdynarnischen Gleichungen lessen sich auch die anderen auf Grund von Symmetrien durch e i n e reumliche Koordinate beschreibbaren Geestriimungen erfassen. 8 Ann. Phgsik. 7. Folge. Bd. 10

114 Annalen der Phyeik I 7. Folge * Band 19, Heft 3/4 I 1967

Kernexplosion. - Da die Tanomche blast wave nach L. I . SEDOV [2] analy- tisch gegeben iat, vereinfacht sich im ubrigen die numerische Behandlung der reflektierten StoBwelle 8.

P

1- Abb. 1. HinlaufendeStoBwelle k3 und reflektierteStoJ3- R r welle $?

Sobald jedoch das Strtimungsfeld hinter der reflektierten StoBfront 9? in der Umgebung von r = 0 zur Zeit t = to des Eintreffens von 8 im Kugelmittel- punkt wiedergegeben werden 8011, muB auch die hinlaufende StoBwelle 6 numerisch berechnet werden, weil dann der Verlauf der Energiebefreiung zur Eneugung von 6 wesentlich eingeht. Die TanoRscbe blast wave hat zwar einen konstanten Energiehhalt E,, geht jedoch von momentaner und punkt- ftirmiger Energiebefreiung aus, was eine Singularitat der StoBwellengeschwin- digkeit, der Strtimungsgescbwindigkeit und der Temperatur im Kugelmittel- punkt zur Folge bat.

Dio TanoRsche blast wave ist eine exakte &sung der gasdynamischen Gleichungen, welche die Zustandsgleichung fur polytrope Qaee2) voraussetzt ; diem Voraussetzung muB man dann komequenterweise fur die Berechnung der Reflexion eben dieser Explosionswelle beibehalten. Die polytrope Zustands- gleichung liiBt sich allerdings bei sehr energiereichen StoBwellen 6 (im Ver- hiiltnib zur Ionisations- beziehungsweise Dissoziationaenergie) nicht mehr veri wenden, weil dann Ionisation und gegebenenfalls Dissoziation berucksicktigt werden muB. In diesem Fall hiitte man in das mathematische Verfahren ledig- lich eine andere Zustandagleichung einzufiigen. Wiederum wiire jedoch zuvor eine spezieUe hinlaufende StoBwelle aus fest vorgegebenen Anfangswerten nume- risch zu berechnen, weil &mIichkeitsltisungen vom Typ der TanoRschen blast wave wegen der vorauagesetzten Polytropie nicht in Frage kommen.

In den folgenden Abschnitten werden zuniichst die Anfangsbedingungen nach der senkrechten Reflexion einer aphiiriachen StoBwelle 6 angegeben und die TanoRsche blast wave in einer Form dargestellt, wie sie im Abschn. 4 zur Formulierung des Mange-Randwert-Problems fiir die Reflexion dieser blast wave und zu dessen numerischer Ltkung bentitigt wird. Abschn. 5 beschreibt eine Transformation des Anfangs-Randwert-Problems, welche die ursprunglich fiir r = 0 singuliiren Ranckwerte regulk macht und die numerische Rechnung bia'r = 0 durchzufiihren gestattet. Die Lijsung des Reflexionsproblems fur ein Gas mit dem Verhiiltnis x = 1,4 der spezifischen Wiirmen ist im Abschn. 6

8 ) Ein polytropee Gas i R t ein ideoles Gas mit konstanten epezifiechen Wiirmen.

DEMM 10: Reflexion einer sphkischen StoBwelle an einer konzentriechen Kugelfkhe 115

grafisch dargestellt, und zwar in den dimensionsloeen Variablen F und t (vgl. (27)), so daD die Ergebniese unabhangig vom Radius R der reflektierenden Kugelfliiche, der Ausgangsdichte eI und der freigesetzten Energie E, angewandt werden kiinnen.

2. Die Anlangsbedingungen liir die GasstrSmung nach der Reflexion Fur das Folgende werden die Str6mungsgrBBen im Vorland der hinlaufenden

StoDwelle 6 mit dem Index I, im Hinterland von 6 mit 11, im Vorland der reflektierten StoBfront '$I mit 111 und im Hinterland von % rnit IV bezeichnet (vgl. Abb. 1).

I m Fall des polytropen Gases rnit dem Verhaltnis x der spezifischen Warmen gilt f i i r die Schallgeschwindigkeit a und den mit der spezifischen Entropie 9 verknfipften, dimeneionslosen Parameter

df 1 CW

s=-s (der von nun an kurz wiederum Entropie genannt wird) :

a2 = x p e - 1 , s = In ( p e - " ) . (2) Die Strbmungsgeschwindigkeit u( r , t ) sowie u ( r , t ) und s ( r , 1 ) sind fur die nume- rische L6sung des Reflexionsproblems mit einem Charakteristikenverfahren die angepaBten Variablen.

Bei senkrechter Reflexion an einer ruhenden, undurchliissigen Wand hat man als Reflexionsbedingung :

u ~ ~ ( W a n d ) = 0 = ur(Wand). (3) Analog dem F ~ l l der senkrechten Reflexion einer planen StoBwelle lassen sich daraus die Anfangswerte a ~ v (P) und sm (P) sowie die Anfangsgeschwindigkeit % (P) der reflsktierten StoBwelle berechnen. In den dazu folgenden Formeln ist der Kiirze halber nicht gesondert zum Ausdruck gebracht, daB eiimtliche GrBBen im Reflexionspunkt P zu nehmen sind; uc ibt die Qeschwindigkeit der hinlaufenden StoBfront G, MG deren Machzahl :

(4) ((3% - 1) M& + 2(1 - %)}{3 - x + 2 ( x - 1) M b }

QI ( x + 1) Me UIV =

3% - 1) Mk + 2(1 - x )

( x - 1)M& + 2

3 - x + 2(x - 1) arb ( x + I)&

4 2 % M & + l - x 1 J + Q % = - U6.

( 5 )

3. Die TAYLoBscbe blast wit10 als Vorland der rellektierten StoUwelle 8. Dimen- slonslose Variable des Rellexionsproblems.

Die TaYLoRsche blast wave, deren Reflexion bei r = R hier betrachtet werden sou, ist eine exakte L6sung der gaedynamischen Gleichungen f i i r ein plytropes Gas mit einem starken StoD in ruhendes Vorland. Sie beschreibt 8*

116 Annalen der Phyeik * 7. Folge * Band 19, Heft 3/4 * 1967

physikalisch die Ausbreitung einer Explosionswelle G in ein ruhendes Gas der Dichte eI, wobei 6 durch F’reisetzung der Energie E, zum Zeitpunkt t = 0 im Punkt r = 0 entsteht.

G. I. TAYLOR [l] hat diese Lbsung urspriinglich durch einen Gsungsansatz gefunden, der die quasilinearen partiellen Differentialgleichungen der Gas- dynamik auf gewbhnliche Differentialgleichugen/reduziert, die er numerisch gelbst hat. Spiiter haben L. I. SEDOV und auch andere Verfasser [2, 3, 41 dafiir geschlossene Lbsungen angeben kbnnen, was die Weiterverarbeitung der TAY- Loaschen Gsung - etwa in der Wechselwirkung mit einer: anderen StoI3welle - sehr erleichtert. Die folgende kune Darstellung der TaYLoRschen Lbsung weicht formal etwas von der SEDovschen ab, weil sie so der numerischen Behandlung angepaBter ist. Dazu wird mit Hilfe der bei SEDOV eingefiihrten Konstanten a der Energieparameter

definiert und abkiirzend gesetzt :

Die Bahn rs ( t ) der StoBfront 63 in der r-t-Ebene ist durch

rs = t2/6 (9)

(W gegeben, ihre Geschwindigkeit ergibt sich also zu

2 5

.u6 = - o1161-W.

Die StrbmungsgrbBen laasen sich hinter der StoBfront G mit den drci Funk- tionen f , g und h der dimensionslosen Variablen

AsL ,-1/bt-215r (11) r 6

daretellen :

Die dimensionslosen Funktionen 1, g und h kbnnen nach SEDOV in geschlos- sener Form als Funktionen eines Parameters z angegeben werden (vgl. [2],

z G - ( x + 1) V ) , der sich als Umkehrfunktion z(A) aus dem folgenden Aus- drnck gewinnen liiBt :

6 4

l(z) 2-2/5f;%fp%, (15)

df 3 2 ~ 8 ) a berechnet man mit (18) aue a(%) = J (fpg + h) 10 dA. Bei SEDOV [2] 26 (x* - 1) 0

findet sich eine grafiache Darstellung von a(%). Es ist a (1,4) = 0,861.

DEMMIG: Reflexion einer sphtirischen StoDwelle an einer konzentrischen KugelflPche 117

worin f, (5) und f2 (2) durch

(16) df S ( X + 1) - 2 ( 3 x - 1)2 df 2x2 - x - 1

7 f,(4= -- f i (4 = 7 - % x - 1

gegeben sind. Mit den weiteren Abkiir~ungen~) 3 0, X

(17) A(1;x)qx2/5A)x-1, h,(x)- df fp, - h , ( 5 ) - [ ( 2 L df - f 2 ) h , ] x - 2

sind die Funktionen / ( A ) , g(1) und h(A) definiert durch 2

f (1) 2!! x A , g (1) d' Ah," h ( A ) 22 X 6 / 5 h , h, . (18) Ferner werden spater die Funktionen g* (1) und h* (A) gebraucht :

(19) df 6 h* (1) = In hg -" = - x In A + In x + In h, - In h, .

Nun noch einige Worte zur praktiechen Berechnung von f , g, h, g* und h*, deren Genauigkeit und mijglichst geringer Aufwand fiir die Lijsung des Re- flexionsproblems von entscheidender Bedeutung ist. Fiir eine Obersichtszeich- nung dieser Funktionen geniigt es, ein paar Parameterwerte x in (16) und (18) bzw. (19) einzusetzen und so zu ZusammengehBrenden Werten von 1 und g(1) usw. zu gelangen6). Im allgemeinen wird jedoch die TaYLomche Lijsung fur vorgeschriebene Werte von 1 benijtigt. Dann braucht man die Werte der Umkehrfunktion z(A), die man am besten iterativ aus der folgenden, mit (15) irquivalenten Gleichung bestimmt :

1

( x - 1)AZh-2 1 + x + l]d'B(z;A). (20)

Man kann die Iteration durchweg mit xA = 1 beginnen; sehr vie1 gunstigere Ausgangswerte liefert jedoch die Funktion

worin die Konstanten xl, /I1, B, und /15 die folgenden Werte haben:

u 3% - 1 3 x + 1 df - 5 2 + 90x2 + 27% - 4 ( X + 2) (2% + 1) - p2=,,is;-?i=i' f93= 2(% - l ) ( x + l)'bl ( x - 1)2

(23)

Die Funktion ~ ( 1 ) besitzt dasselbe asymptotische Verhalten fiir A +- 0 wie die zu bestimmende Umkehrfunktion x(1), und bei 1 = 1 stimmt ~ ( 1 ) b' 1s zur

') Fur die Rachnung a d elektronischen Anlagen arbeitet man besser rnit den Log-

5, Siehe [2]; SEDOV gibt dort Kurven und Tabellen der Funktionen 1, g und h fur arithmen dieeer Ausdriicke.

sphiirische. zylindrische und plane blast wave8 mit z = 1,4 wieder.

118 Annalen der Physik * 7. Folge * Band 19, Heft 3/4 * 1967

zweiten Ableitung einschliel3lich mit x(A) iiberein. x A = q ( A ) ist wegen dieaer Eigemchaften e k e sehr gute Niiherung fiir z(A) (fiir x = 1,4 z. B. ist die relative Abweichung fi i r 0 2 1 5 1 kleiner als zwei Promille), so dal3 wenige Itera- tionen geniigen, M sehr genaue Werte fiir x(A) und damit f , g, h usw. zu er- halten; die Tramformation y = F ( x ; A) geniigt niimlich in dem physikalisch

bedingung mit eher LrPsoRITzkonstanten relevanten Bereich 0 A 2 1, x1 5 z. 1, 1 < x 5 einer LIPSOEIITZ-

1

< 0,3. K < ( x - 1) (3% - 1) - 0. < ( x - 1) (3% - 1) x ( 7 - x ) - - x(7 - x ) 1 -

K ist demnach in allen Fiillen kleiner ale 0,3, in Teilbereichen jedoch wesentlich kleiner.

Die Anwendung des allgemeinen F’ixpunktsatzee auf die Iteratiomglei- chung (20) liefert uberdiee Fehlerabschiitzungen ffir die iterierten Werte x [A] . Die Qenauigkeit der erzeugenden Funktionen f , g, h usw. liiDt sieh also vor- schrei ben .

Um die weitmen Rechnungen unabhiingig vom Radius R der reflektierenden Kugelfliiche und dem Zeitpunkt

(26) t i ,-,,-1/2R5/2

der Reflexion zu machen, werden statt r und t die dimemionslosen Variablen

- (27)

eingefiihrt, so daB der Reflexionspunkt P in der f-t-Ebene die Koordinaten (1,l) bekommt. Ferner werden etatt der Str6mungsgr6I3en u, e und p ebenfalls dimensiondose Griil3en benutzt :

R-

- d f t - r--8 df ‘ und f - - = , - , ,1/2R-5/2t :. a(?, - t ) = ~ - 1 / 2 R 3 / ~ 2 1 ( r , dt t ) , @(F, I ) g e ; l e ( r , t ) ,

(28) p ( F , I ) g E - l R s p ( r , t ) = er1w- lR3p.

Die Tanomche L6sung lautet dann in diesen Variablen : - - 1 = t - W p

Durch die Relationen (2), $ g x i j @ - l E ,-,,-1Rsa2, z g l n p @ - x E s - ln e l -xm-1f l , (33) 1

werden zusatzlich die zur Schallgeschwindigkeit a und Entropie s gehiirenden dimensionslosen Gr6iDen eingefiihrt, die in der TaYLoRschen blast wave die folgenden Werte besitzen :

(34)

(35)

DEMKIO: Reflexion einer sphhischen StoDwelle an einer konzentriechen KugelflAche 119

An Stelle der Temperatur T wird die dimensionslose Gr6Be

ist. Im

4. Das Die

benutzt, wobei R , die Gaskonstante und m das Molekulargewicht des Gases Str6mungsfeld der TaYLoRschen blast wave hat man also

(37)

Anf6ngs-Randwert-Problem fur die reflektlerte GtoSwelle ' beiden vorangegangenen Abschnitte enthalten alle physikalischen Aus-

sagen, die n6tig sind, urn die Reflexion der TaYLoaachen blast wave methema- tisch zu formulieren. Der Sprung der Str6mungsgrBDen uber einer StoBfront wird durch die StoBbedingungen (55). (56) und (57) beschrieben. In der Str6- m u g hinter der Front gelten die gdynambchen (hydrodynamischen) Qlei- chungen, die fk eine kugelsymmetriache, reibungsfreie Str6mung die folgende Gestalt haben :

u: + UU, + e- 'p , = 0 (38)

(39) et+ (ue), + T e u = 0

8: + us, = 0. (40)

2

Dies quasilineare partielle Differentialgleichungssyetem ist best immt, wenn noch eine kalorbche Zustandsgleichung p = f ( e , s) hinzukomrnt - im Fall des polytropen Gases also mit (1) :

p = e"h. (41) Fur das Charakteristikenverfahren. mit dem ich das zu formulierende

Mange-Randwert-Problem numerisch ge16st habe, sind die Str6mungs- geschwindigkeit u, die Schallgeschwindigkeit Q und die Entropie s die ange- messenen Variablen, weil darin die charakterietische Normelform des Systems (38), (39), (40) und die Differentialgleichungen f iir die Charakteristiken beson- ders einfaoh auasehen. Mit (41) bzw. (2) erhfilt das gasdynamische System die gewiinschten Variablen.

Die Transformation (27), (28) und (33) auf dimensionslose Variable und GroLlen andert daa Differentialgleichungssystem sowie auch die StoSbedin- gungen nicht, wie man naohrechnet ; das transformierte System besteht aus den Gln. (50), (51) und (52). Die Machzahl ibt zahlenmiioig invariant, hingegen findern sich die Relationen (4) und (5) fiir die Anfangswerte der reflektierten StoBwelle W im Anfangypunkt (1 , l ) zum Teil. Sie lauten, zugleich spezialisiert fur den Fall der Tanomwhen (starken) blaat wave als hinlaufender StoS- welle (5 (vgl. (3) bis (6), MG + 00) :

df - x - 1 - Cgl-uw(1) = -2-2&(1) = - 1 X + l

I

- d? - m- 1) ( X - 1) a = a r v (1 , 1) = 1 x + l

4 x - 1 6 x f l --

(44) x + l b

120 Annelen der Physik * 7. Folge * Band 19, Heft 3/4 * 1967

- df - 1 8 - - n ( l , l ) = l n

(8 3% - l[ ( X - I)']") = I n ---___ 26 X' - 1 X ( X 4- 1) '

(45)

Als Randbedingungen treten zunlichst lings des Randes ? = 1 (Kugel- fliiche) die Reflexionsbedingung ii = 0 und die Konstanz der Entropie 8 = S auf ; letzteres muB erfiillt sein, weil p = 1 wegen ii = 0 Teilchenbahn iet und die GI. (40) Konstanz der Entropie lings der Teilchenbahnen bedeutet :

1

a(t, 1) = 0 Z ( 5 , l ) = 5 . 1

Die reflektierte StoBfront !J? bildet in der ?-t-Ebene eine Grenzlinie

r = ?R((c) (47) zwischen der in unserem Fall bekannten TanoRschen Lijsung der gasdynami- schen Gleichungen und der gesuchten Gsung irn Gebiet IV, dem Hinterland der reflektierten StoBwelle W. Sie fungiert hier also als Randkurve, auf der die Randwerte mit Hilfe der StoBbedingungen (55), (56) und (57) aus den gegebenen Funktionen (30), (34) und (35) berechnet werden, wobei f i i r den Parameter )3. gemlB (29) und (47)

Iff? = t--*&R (t) (48) einzusetzen ist, sowie fiir die Qeschwindigkeit i i ~ der reflektierten StoBfront W :

Llige der Verlauf der reflektierten StoBfront W von vornherein fest, 80

diirften liings % nur zwei unabhlngige Daten als Randwerte vorgesohrieben werden, weil in einen Punkt Q von % stets eine vom rechten Rand 7 = 1 kom- mende Charakteristik - f i i r das System (50), (51), (52) ist dies gerade die Bahn einer in Richtung der Striimung laufenden Schallwelle - einlluft. Nun ist aber die Bahp (47) der reflektierten StoBfront selbst Teil der zu suchenden L6sung des Reflexionsproblema, so daB nunmehr d r e i unabhlingige Daten EN, &, ZIV die StoBlinie 7 = t~ (i) zugleich mit festlegen. Verwendet man zur numerischen LBsung das Charakteristikenverfahren, so erhlilt man, ausgehend von einem bereits berechneten Punkt der StoBfront W, in der Tat eine Bestimmungs- gleichung fur die Geschwindigkeit iia des nachsten StoBfrontpunktes.

Die Gasstriimung im Gebiet IV hinter der reflektierten StoBfront !J? wird demnach durch die Liisung des folgenden quasilinearen hyperbolisohen Anfangs- Randwert-Problems beschrieben.

1. Differentialgleichungssptem f iir die StrBmungsgeschwindigkeit ii (7, p), Schallgeschwindigkeit ii (;, 5) und Entropie S (7,;) :

DENMI@: Reflexion einer spharischen StoBwelIe an einer konzentrischen Kuge:fIache 121

2. Anfangswerte im Punkt (1, 1): B ( 1 , 1) = 0, G(1, 1) = a, S(1, 1) = .s. (53)

1 1 3. Randwerte langs F = I :

- a ( 1 , t ) = 0, s ( 1 , t ) = s

1 (54)

4. Randwerte liings der Stoalinie FR, F = 7% (t) , die selbst erst durch diese Rttndbedingungen mitbestimmt wird :

-2

(56)

(57)

V{(% - 1) 5; + 2){2% Mw + 1 - %} - a111 -- UIV = -~

( x + 1) .Mw -2 -

sIv = ZIII + In 2 x MR + 1 - ( x - 1)

BIII = .ii (i, AN) 9 a111 = u ( F , Aw), 8111 = 2 ( I , 28) 7

+ "1'). I x + l [ ( x + 1) dl; worin nach (30), (34), (35), (48) und (49)

a - - d f

(58)

(59)

-

~8 = i -2/5 FW (t), ~8 = - '8 ( t ) sowie

- (60

einzusetzen ist. Da es fur ein solches quasilineares Anfangs-Randwert.-Problem keinen

analytischen Lijsungsweg gibt, kann man auBer der numerischen Behandlung hijchstens noch versuchen, die L6sung durch Probieren herauszufinden. Die einzig erfolgveraprechenden Mijglichkeiten dazu bieten die sogenannten Ahn- lichkeitslosungen'). Es handelt sich hier urn exakte Lijsungen der gasdyna- mischen Gleichungen mit StoOwellen, die wesentlich von nur einem Parameter abhiingen, der eine Funktion von r und t ist. Lijsungsansiitze dieser Art fuhren zu einer Reduktion des partiellen Systems auf ein gewijhnliches Differential- gleichungssystem und ergeben zuweilen, wie etwa die TaYLoRsche blast wave zeigt, geschlossen darstellbare Losungen. Welche physikalische Situation sie beschreiben kijnnen, zeigt erst die Diskussion der fertigen Lijsung. Abgesehen davon, daB diese Ahnlichkeitslijsungen nur auf starke StoBwellen anwendbar sind, findet man zudem, d a s slimtliche nach E. A. M~JLLER und K. MATSCHAT~) bestimmbaren kugelsymmetrischen ,&hnlichkeitdosungen der gasdynamischen Gleichungen fur polytrope Gase auch nicht geeignet sind, die Reflexion der TAYLoRschen blast wave naherungsweise wiederzugeben.

Ich habe deshalb das oben formulierte Anfangs-Randwert-Problem nume- risch mit einem Charakteristikenverfahren gelijst, das auf die Besonderheiten der gasdynamischen Gleichungen zugeschnitten ist7). Die Charakteristiken-

Mw = %n - '8

Izm

6, uber Khnlichkeitslosungen partieller Differentidgleichungssysteme siehe 2 . B. IS]. ') Dies explizite Rechenverfehren 2. Ordnung werde ich en anderer Stelle eusfiihrlicher

beachreiben.

122 Annalen der Phpik * 7. Folge * Band 19, Heft 3/4 * 1967

verfahren gestatten, die mathematische Darstellung der StoBfront als Sprung- linie direkt zu iibernehmen. Das wirkt sich besonders in der Umgebung des Reflexionspunktes Bus, in der ja starke hderungen der StriimungsgriiDen auf- treten, die bei anderen Verfahren - etwa dem NEIJMANN-RICHTMYER- oder dem Lax-Verfahren - iiber mehrere Maschenweiten ,,verschmiert" werden und somit eine extrem kleine Schrittweite bedingen wiirden. Natiirlich ist die Darstellung der StoBfront als Untstetigkeitsfliiche eine Idealisierung, weil die Gradienten der StriimungsgriiBen innerhalb eines Bereiches von gewiihnlich wenigen freien Wegliingen Ausdehnung zwar sehr grol3, aber nicht unendlich sind, doch ist diese Approximation definiert und uberschaubar und sieht aus- driicklich von einer detailliert physikalisch zu begriindenden Beriicksichtignng der StoBfront-Struktur ab. - I m iibrigen stellte sich heraus, da0 das Charak- teristikenverfahren dem Lax-Verfahren (bei gleicher Rechengenauigkeit) an Rechengeschwindigkeit uberlegen ist, wenn im zu berechnenden Striimungs- feld nur eine StoBwelle vorhanden ist.

5, Das transtormierte Antangs-~ndwert-Problem Es zeigt sich, daB auf Grund des singuliiren Charakters der Tanomchen

Liisung fiir 7 = 0 auch die Randwerte der reflektierten StoDwelle singuliir werden. Deshalb ergeben sich schon bei 7 = 0,6 groBe hde rungen der Funk- tionen E , ii und S liings der Charakteristiken unmittelbar hb te r der StoBfront %. Dort wird dann die numerische Rechnung ungenau, so da0 man dazu gefiihrt wird, durch eine Transformation des Anfangs-Randwert-Problems die Singu- laritiit zu beheben. Es ist aber auch unabhiingig davon wiinschenswert, die mathematische Liisung des Reflexionsproblems bis 5: = 0 auszudehnen, um darauf nach phys ika l i s chen Gesichtspunkten zu priifen, bei welchem Radius 1 > 7 > 0 der mangelnde Grad an Approximation einer bestimmten blast wave durch die TaYLoRsche Losung welche Aussagen der hier bestimmten G s u n g der reflektierten Tanomchen blast wave physikalisch fragwiirdig macht.

Mit den asymptotischen Werten der Funktionen in (18) und (19) erhiilt man nach (30), (34) und (35) die folgende asymptotische Darstellung der TAY- Loaachen Liisung fur T: --+ 0:

Darin ist gesetzt : df k5 = In ( k , k f " ) ,

mit den bei SEDOV [2] eingefiihrten Funktionen k , (x ) und k , (x ) . Mit den asym- ptotischen Ausdriicken (61), ( t2) und (63) findet man, daB iim fiir F+ 0 mit

1nFw beeitzt. Von der Transformation 3% <(x-l) geht und &v einen Anteil - - x - 1 der Koordinaten und Funktionen, die diese Randwerte regular machen 0011, fordere ich der Einfachheit halber noch, daB sie die StoBbedingungen invariant

-3 __

DEMBU~: Reflexion einer sphhrischen StoDwelle an einer konzentrischen Kugelflhhe 123

lassen sowie den Hauptteil der charakteristischen Normalform des Differential- gleichungssystems und damit einen wesentlichen Teil des mathematiachen Apparats des Charakteristikenverfahrens ungeandert und einfach laasen 8011. Durch diese Forderungen und die zusiitzliche Bedingung, da13 7 = 1 auf 7 = 1 abgebildet werden 8011, gelangt man mit der Abkiirzung

df 1 - 2 x f l a 0 = - - - - -

2a, 2 ( x - 1) (65)

zu der Transformation ?: (66)

(67)

- df -u A df T = f * ) t = t , - A df i l ( r , t ) = a,,+-1 ii (7, t ) , ~( ‘ . , i )$22x(a , - 1 ) 1 n r + i i ( ~ , i ; )

ci (F, i) 2 a. +*-I a (T, t ) ,

Das transformierte Anfangs-Randwert-Problem lautet dann :

(69)

(70)

- 2 + (4% - 31% && - x - 1 2 2P dt + -- bzi; + id;

1 + 2% 6 ; + iii; = 2% ~

s t i

ii(1, I ) = 0, b(1, 1) = aof , f(1, 1) = S ; (71)

2211, i) = 0, 1

i (1, i) = z; 1 (72)

Die restliohen Randbedingungea sind durch dieselben StoDbedingungen f iir f, ci, i , gegeben wie in (55) bis (57) f i i r %,&TI; statt iim, &u, ist jetzt zu setzen

(73)

= 1 2 / 5 3 - 2 % . (74)

= a o ~ 1 + 2 a 1 ii (i, A&), = aoc*+2a*a (i , A&),

iIIr = 2 x ( 1 + 2a2) In i + ~ ( i , A$) , mit

Fur die Rechnung ist es bequemer, die Produkte P1+%* ii (i, A$) usw.zusammen- zufassen und A - Alla* = A-251 sowie weitere Funktionen von 2 zur Beschreibung der transformierten TAYLoE-L6sung zu wiihlen, was ich hier jedoch nicht weiter ausfiihren will.

A

- d f

6. Die Wsung far die reflektierte blast wave Die Abb. 2 bis 4 zeigen eine grafische Darstellung der Liisung des Reflexions-

problems f iir die sphiirische TAnoRsche blast wave bei einem Verhaltnis x = 1,4 der spezifkchen Warmen. Stromungsgeschwindigkeit, Druck, Dichte und Temperatur sind gemaB (28) und (36) durch dimensionslose Gr6Den ii, p , g, pdargestellt, so daB die Ergebniese fur beliebige Werte des Radius R der reflektierenden Kugelfliiche, der Ausgangsdichte er und der freigesetzten Ener- gie E, verwandt werden konnen. Diese Str6mungsgroDen hangen von den dimensionslosen Variablen r und 1 ab, die nach (27) denRadius r bzw. die Zeit t

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vertreten. Zum Vergleich ist in die Abbildungen zusiitzlich noch der Verlauf der Str6mungsgr68en in der hinlaufenden StoBwelle 6 (t 5 1) eingezeichnet.

Der Zeitpunkt, in dem die reflektierte StoBfront 8 (vgl. Abb. 2) den Mittel- punkt der Kugel erreicht, ergibt sich ausder numerkchenRechnung zu & = 1,636. Die reflektierte StoSwelle ist schwach, die Machzahl nimmt von M = 1/7 bis auf hi = 1,l ab. Aus der Abb. 4 erkennt man, daB irn betrachteten Zeitinter- vall (1,1,) die Hauptgasmasse praktisch an der Kugelwand verharrt. Da die

f A r f IRJ VI 2 --

16 %I $5 --

- Abb. 2. Weg-Zeit-Kurvederhinlaufenden StoBfront 6 (nach [l] und [2]) undder numerischberechneten reflektierten StoBfront 8. f i r 6 gilt die rechte, fur W die linke Zeitachse. t und 5 sinddiedimen-

- a7 -- -41

9 7 I F sionslosen Variablen nech (27).

Abb. 3. Radieler Verleuf der Strbrnungsgeachwindigkeit ii eo wie des Drucke p in der hin- leufenden' StoDwelle 63 (TI 1; nech [l] und [2]) und in der numerisch berechneten reflek- tierten StoDwelle 8 (t> 1) zu verschiedenen Zeitpunkten r. ii und p sind die dimensions- loeen QroDen nach (28). Der ubersichtlichkeit halber sind einige Kurven nicht bis F = 0 bzw. r = 1 durchgezogen, wenn sich ihr Verleuf nahezu mit dem einer Nachberkurve deckt.

DEW@: Reflexion einer sphiirischen StoBwelle an einer konzentrischen Kugelflache 125

Temperatur und damit die Schallgeschwindigkeit vor der reflektierten StoB- front 8 fiir ? + 0 uber alle Grenzen wachst (dies ist eine Eigenschaft der TAY- Lomchen blast wave G, die auf die momentane und punktfiirmige Energie- befreiung zuruckgeht), wird auch die Geschwindigkeit der reflektierten StoB- front 8 bei ? = 0 unendlich. Demzufolge sind ferner die Stromungsgeschwindig- keit 4, Dichte 6 und Temperatur T bei 7 = 0, i. = &, singultir.

7

2w-20,1 W-’ :: 1 I

03

Abb. 4. &dialer Verlauf der Dichte e sowie der Ternperatur in der hideufenden StoB- welle B ( t 2 1; nech [l] und [ a ] ) und in der numerisch berechneten reflektierten StoB- welle 01 (r > 1) zu verschiedenen Zeitpunkten f. p und sind die dimensionsloeen GrZiBen nech (28) und (36). Der Obersichtlichkeit halber sind einige Kurven nicht bis F = 0 bzw. F = 1 durcligezogen. wenn sich ihr Verleuf nehezu mit dem einer Nechberkurre deokt.

Es stellt sich also die Frage, bis zu welchem kleinsten Radius 7, die Lijsung des Reflexionsproblems physikalisch noch etwas aussagt. Nach den hier getrof- fenen Voraussetzungen miindet sie in die Frage, wie weit die TaYLoRsche Liisung die Ausbreitung einer starken blast wave beschreiben kann. Wie aus der Abb. 4 ersichtlich ist, fiillt die Dichte ij hinter der hinlaufenden StoBfront G stark ab; bei 7 = 0 ist sie null. In jedem Fall gibt es also eine Kugel, deren Durchmesser, sagen wir, fiinf freie Wegliingen des in ihr befindlichen Restgases betriigt. Inncrhalb dieser Kugel liiBt sich die TaYLoRsche Liisung sicher nicht verwenden, weil dort die gasdynamischen Gleichungen nicht mehr giiltig sind, die aus der Kontinuumsmechanik stammen.

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Die eigentliche physikalische Idealisierung liegt aber, wie eingangs bereits erwiihnt, in der momentanen und punktfdrmigen Energiebefreiung, die der TAYLoRschen Losung zugrunde liegt. Die starken blast waves kdnnen jedoch in hinreichender Entfernung von der , ,Quelle", dem Entstehungsort, durch die T a n o m c h e Losung beschrieben werden. Zu einer groben Abschiitzung des Einflusses, den der Entstehungsvorgang einer blast wave auf die reflektierte StoDwelle Dt hat, gelangt man, indem man die Ausbreitung der Gasmasse unter- sucht, die urspriinglich den Raum der Quelle eingenommen hat. Spiitestens d a m , wenn die reflektierte StoBfront % in das (aich ausbreitende) Gebiet der Quellenmasse lLuft, ist das Vorland von '8 nicht mehr nach TAYLOR beschreib- bar und demnach der weitere Verlauf der unter Verwendung des TAYLOR-Vor- landes berechneten reflektierten StoBfront 8 nicht mehr relevant. Um ein Bei- spiel zu nennen : Wenn der Radius der Quelle 'Iwo des Radius R der reflektieren- den Kugelfliiche betriigt, erreicht die reflektierte StoBfront '8 die Quellenmasse zum Zeitpunkt t = 1,62 im Radius ?, = 0,44. Das noch verwertbare Hinter- land der reflektierten StoBfront ist durch die von diesem Punkt ausgehende Charakteristik begrenzt.

Zu einer numerischen Rechnung sollte eine Fehlerabschiitzung gehdren, die bei dem gewahlten Verfahren und einer bestimmten Schrittweite angibt, um wieviel die gewonnene Niiherungslosung von der tatsachlichen L6sung abweicht. Bedauerlicherweise gibt es fur die meisten der heute in der Physik verwandten mathematischen Naherungsverfahren keine Fehlerabschitzungen. Dies ist auch der Fall bei dem Charakteristikenverfahren in der Form, in der ich es hier zur Lijsung des quasilinearen Anfangs-Randwert-Problems fur drei Funktionen zweier Varibalen benutzt habe. In dieser Situation behilft man sich bekanntlich damit, die Rechnung mit von Ma1 zu Ma1 verkleinerter Schrittweite so lange zu wiederholen, bis sich korrespondierende Werte im Rahmen der Anforderun- gen nicht mehr wesentlich andern. Die kleinste im vorliegenden Fall zur Kon- trolle gewiihlten Schrittweite betriigt 0,001. Gegeniiber der Rechnung mit der doppelten Schrittweite ergab sich eine maximale Abweiohung (fur slle Gr6Den ii, p, @, F ) von drei Prozeut in der Umgebung des Kugelmittelpunktes. Fiir ?a > 0,7 ist die maximtile Abweichung unmittelbar hinter der reflektierten StODfront Dt geringer als ein Prozent und nimmt in der Umgebung des Reflexi- onspunktes (1,l) bis auf eine Promille ab. Im Hinterland von Dt sind die Abweichungen jeweils kleiner. Die entsprechenden hderungen im t-t-Verlauf der StoBfront % sind uberall geringer als im Punkt (O,&), wo eine h d e r u n g von 0,3 Promille eintrat. - Wenngleich es zur Zeit nichts Besseres gibt, kann jedoch I kein Zweifel dariiber bestehen, daD diese MaBnahmen eine rigorose Fehlerabschiitzung nicht ersetzen kcinnen ; fiir sich genommen verhindern sie lediglich, daD das Niiherungsverfahren unangemessen benutzt wird, also etwa die Schrittweite zu grob gewlihlt wird.

Die gewonnenen numerischen Ergebnisse iiber die Reflexion der TAYLOR schen blast wave erlauben noch einen Vergleich mit uberlegungen von T. S. CHANG und 0. LAPOBTE [6]. Diese Verfasser behandeln die Reflexion ebener, zylindrischer und sphtirischer blast waves - ebenfalls in der SEDOVschen For- mulierung - fur ein polytropes Gas mit beliebigem Verhiiltnis x der spezi- fischen Wiirmen. Sie bestimmen aus vergrcberten Annahmen iiber den Verlauf der Str6mungsgeschwindigkeit hinter der reflektierten StoSfront Dt und dea

DEMMIG: Reflexion einer sphiirischen StoBwelle an einer konzentrischen Kugelfliiche 127

Kompressionsverhiiltnisses eine obere und eine untere Grenzkurve fur 8. Fener geben sie im Fall der ebenen blast wave obere und untere Grenzen fur die Str6- mungsgr6Ben unmittelbar hinter der reflektierten StoBfront 8 an. Von diesen Resultaten la& die TaYLORentwicklung der oberen Grenzkurve f i i r 8 in der Umgebung des Reflexionapunktes, spezialisiert auf den Fall der sphgrischen blast wave, einen Vergleich zu. Fiir x = 1,4 erhalt man nach CHUG und LA- POBTE f i i r die genannte Tanomntwicklung bis einschlieolich dem quadra- tischen Cflied :

- 2 - 1 - r ( 1 ) = 1 - - ( t - 1) + - ( t - 15 5 1)2. (75)

Hingegen IaBt sioh die aus der numerischen Lijsung des vollen Anfangs-Rand- wed-Problems stammende Weg-Zeitkurve der reflektierten StoBfront % in der Umgebung des Punktes (1,l) durch

- r ( t ) = 1 - 2 (I - 1) - 0,56 (t - 1)2 16 (76)

approximieren. Dabei ist zu bedenken, daB der Koeffizient - 2/15 des linearen Terms wegen des Werts iZw = - 2/15 der Anfangsgeschwindigkeit von '8 nach

(42) selbstverstandlich ist. Die Anfangabeschleunigung aber wird durch die Formel (75) nicht einmal dem Vorzeichen nach richtig wiedergegeben. Vermut- lich handelt es sich urn einen Vorzeichenfehler in der (75) zugrunde liegenden Formel (42) der zitierten Arbeit. Selbst unter dieser Annahme were die Ab- schiitzung des Verlaufs der reflektierten StoBfront % durch die CHANG-LAPORTE- sche Grenzkurve nur sehr grob.

1

Herrn Professor Dr. LOCHTE-HOLTOREVEN danke ich fur die Anregung zu der vorliegenden Untersuchung. Den Mitarbeitern des Hamburger Rechen- zentrums bin ich fur das Entgegenkommen bei der Abwicklung der numerischen Rechnungen dankbar.

Diese Arbeit entstand im Rahmen einer Schwerpunktmaflnahme des Bundes- ministers fur Wisseilschaftliche Forschung.

Literaturverzeiebnis [l] TAYLOR, G . I., Roc. Roy. SOC. A 201 (1950) 159 ( 8 . 8 . Ministry of Home Security,

[2] SEDOV, L. I., Similarity and Dimensional Methods in Mechanic8 (Id. 1969). Ch IV,

[3] TAYLOR, J. L., Phil. M8g. 46 (1956) 317. 141 LATTEB, R.: Journ. Appl. Phys. $26 (1965) 954. [5] MiiLLm, E. A., u. K. MATSCHAT, Miszellmeen der Angewandten Mechanik 1962,

[S] CHANO, T. S., u. 0. LAPORTE, Phys. of Fluids 7 (1964) 1225.

R. C. 210 (11-5-153), 1941).

8 11 (1946 schon in der UdSSR verbffentlicht, vgl. References to Ch. IV).

8. 190ff.

K i el, Institut fur Experimentalphysik der Universitat.

Bei der Redaktion eingegangen am 27. Dezember 1965.