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Regelungs- und Systemtechnik 1
Kapitel 2: Modellierung linearer Prozesse
Prof. Dr.-Ing. habil. Pu Li
Fachgebiet Prozessoptimierung
2
• Modellierung (mathematische Beschreibung) Physik, Chemie, Elektrotechnik, Mechanik, ... ...
Problemdarstellung
Wie reagiert die Ausgangsgröße, wenn die Eingangsgröße sich verändert?
• Lösung durch Versuche (Experiment)
• Lösung durch Modellierung, Analyse und Simulation
• Simulation (Lösung der Modellgleichung) Numerik, Software, ... ...
• Analyse (Charakterisierung) Mathematik, Signalverarbeitung, ... ...
Vorgehensweise:
3 Modellierung mittels Bilanzierung
Bilanzierung:
• Stoffbilanz
• Energiebilanz
• Spannungsbilanz
• Strombilanz
... ...
Bilanzgleichung:
Zufuhr (/s) – Abfuhr (/s) = Speicherung (/s)
• Wenn Zufuhr = Abfuhr, ist der Prozess stationär (Algebraische Gleichung).
• Wenn Zufuhr ≠ Abfuhr, ist der Prozess dynamisch (Differentialgleichung).
• Die Gleichung kann linear oder nichtlinear sein.
4
Beschreibung des Prozesses:
Beispiel: Temperaturregelung im Gewächshaus
AbQWärmeabfuhr:
)( AAb AUQ θθ −=
ZuQ ZuQ
Wärmezufuhr:
Energiebilanz:
AbZu QQdt
dH−=
mit θPCmH =Also
)( AZuP AUQdtdCm θθθ
−−=
5 Beispiel: Temperaturregelung im Gewächshaus
)( AZuP AUQdtdCm θθθ
−−=
s :,K :,
K)J/(kg :kg :
Tt
Cm
A
P
θθ⋅
Definition:
1,1, === zuP k
AUk
AUCmT
Dann AzZuu kQk
dtdT θθθ
+=+
Beschreibung des Prozesses:
Bedeutung des Vorzeichens?
2
2
m :
)sKJ/(m :
J/s :
A
U
QZu
⋅⋅
6
AzZuu kQkdtdT θθθ
+=+
STAz
STZuu
ST kQkdtd θθθ
+=⇒= 0
Der stationäre Zustand:
Die Änderung vom stationären Zustand:
STAAA
AzZuuSTZuZuZu
ST
kQkdt
dTQQQ
θθθ
θθθθθθ
−=∆
∆+∆=∆+∆
⇒−=∆
−=∆
Beschreibung des Prozesses: Beispiel: Temperaturregelung im Gewächshaus
7
AzZuu kQkdt
dT θθθ∆+∆=∆+
∆
Führungsstrecke ( ): θ∆→∆ ZuQ Zuu Qkdt
dT ∆=∆+∆ θθ
Störstrecke ( ): θθ ∆→∆ A Azkdt
dT θθθ∆=∆+
∆
AZu zQuy θθ ∆=∆=∆= ,,Definition:
Beschreibung des Prozesses:
zkukydtdyT zu +=+
:,:
zu kkT Zeitkonstante
Verstärkung
Beispiel: Temperaturregelung im Gewächshaus
8
Tt
ty
y
eyyTt
yy
dTy
dydtTy
dyydtdyT
−=⇒−=⇒
−=⇒−=⇒−= ∫∫
00
0
ln
11
0
τ
Lösung der Differentialgleichung:
Führungsstrecke ( ): θ∆→∆ ZuQ Zuu Qkdt
dT ∆=∆+∆ θθ
ukydtdyT u=+
Die homogene Differentialgleichung: 0=+ ydtdyT
Physikalische Bedeutung?
Beispiel: Temperaturregelung im Gewächshaus
9
Lösung der Differentialgleichung:
ukydtdyT u=+Die inhomogene Differentialgleichung:
Ansatz: Tt
etCy−
= )(
∫∫∫ +=⇒=⇒
=⇒=⇒
=+
−
−=
−
−−−
−−
tTu
tTu
tC
C
Tt
uu
Tt
uTt
Tt
Tt
Tt
Tt
dueTkCtCdue
TkdC
dtueTkdCuketCT
uketCeT
tCetCT
eT
tCetCdtdy
00
)(
)0(
)()0()()(
)(
)(1)()(
1)()(
ττττττ
Daher
Beispiel: Temperaturregelung im Gewächshaus
10
Lösung der Differentialgleichung:
ukydtdyT u=+Die inhomogene Differentialgleichung:
∫+=t
Tu dueTkCtC
0
)()0()( τττ
Ansatz: Tt
etCy−
= )(
Daher ∫−−
+=t
TTt
uTt
dueeTkeCy
0
)()0( τττ
Also
∫−−
+=t
TTt
uTt
dueeTkeyty
0
)()0()( τττ
Beispiel: Temperaturregelung im Gewächshaus
11
Lösung der Differentialgleichung:
∫−−
+=t
TTt
uTt
dueeTkeyty
0
)()0()( τττ
Wenn sich die Wärmezufuhr sprunghaft ändert, d.h.
≥∆
<=
0~
00
tQ
tu
dann
)1(~)0(
)1(~)0(~
)0(
~)0()(~)0(
0
00
Tt
uTt
Tt
Tt
uTtt
TTt
uTt
tTT
tuT
ttTT
tuT
t
eQkey
eeQkeyeTeT
Qkey
deeT
QkeydQeeTkeyy
−−
−−−−
−−−−
−∆+=
−∆+=∆
+=
∆+=∆+= ∫∫
τ
ττ
τττ
Physikalische Bedeutung?
Beispiel: Temperaturregelung im Gewächshaus
12
Beschreibung des Prozesses:
Erregerkreis: dtdiLiRu 1
11 +=
Ankerkreis:
11, iRNncncui
RN
mG
m
=Φ==ΦGenerator:
2 2 22 3
Guy R i RR R
= =+
Beispiel: Gleichstromgenerator
erstand WiderMagnetisch :
ehzahlAntriebsdr :hlWindungsza:
Flusser Magnetisch :
mRnNΦ
13
Beschreibung des Prozesses:
Erregerkreis: dtidLiRu 1
11 +=
Ankerkreis:
11, iRNncncui
RN
mG
m
=Φ==ΦGenerator:
GuRR
RiRy32
222 +==
Beispiel: Gleichstromgenerator
Dann
11111
32
2
32
2
kyiiki
RNnc
RRRu
RRRy
mG =⇒=
+=
+=
Daher dtdy
kLy
kR
dtdiLiRu
11
1111 +=+=
ukydtdyTu
Rky
dtdy
RL
u=+⇒=+1
1
1
14 Beispiel: Dynamik eines Regelventils
Idealgasgleichung: nRTPV =
Dichte des Gases: dtdP
RTM
dtdM
RTPM
Vn
=⇒==ρρ
Gasstrom zum Ventil: R
PPdtdV
dtVdG e −===
ρρ )(
Daher R
PPdtdP
RTMV
dtdV e −==ρ
⇒
15 Beispiel: Dynamik eines Regelventils
Also eVe PP
dtdPTPP
dtdP
RTRVM
=+⇒=+
Es gilt PkF V∆−=∆
Dann eVVeVVVV PkFdt
FdTPkPkdt
PdTk ∆−=∆+∆
⇒∆−=∆−∆
−
(Minusvorzeichen!)
Die Zeitkonstante eines Regelventils ist kleiner als eine Sekunde.
⇒
16 Beispiel: Dynamik eines Regelventils Normierung der Variablen: Druck: 0,2 – 1,0 bar, Strom: 0 – 5 l/s
,~minmax
min
FFFFF−−
=
Dann
eVV PkFdt
FdT ∆−=∆+∆
Normierte Variablen:
Da
min,max,
min,~ee
eee PP
PPP
−−
=
,~)( minmaxmin FFFFF −+= eeeee PPPPP ~)( min,max,min, −+=
eeeVV PPPkFFFdt
FdFFT ~)(~)(~
)( min,max,minmaxminmax ∆−−=∆−+∆
−
Daher eVe
eeVV PkP
FFPP
kFdt
FdT ~~~)()(~~
minmax
min,max, ∆=∆−−
−=∆+∆
also
17 Beispiel: Füllstand eines Behälters
0)0(, hhFFdthdA auseinB =−=Bilanzgleichung:
hAcF Vaus =Korrelation:
einVB FhAcdthdA =+Daher
Das System ist nichtlinear!
: :
:ein
V
hFA
Regelgröße
Störgröße
Stellgröße
18 Linearisierung nichtlinearer Systeme
+−′′′+−′′+−′+= 300
200000 ))((
!31))((
!21))(()()( xxxfxxxfxxxfxfxf
Taylor-Entwicklung einer nichtlinearen Funktion:
Approximation mit einer linearen Beziehung:
0xGrafische Darstellung:
yxxxfxfxf =−′+≈ ))(()()( 000
ist der Arbeitspunkt.
In der Nähe von kann
man mit y
annähern.
0x)(xf
19
00 , hAV
Linearisierung der Funktion hAcF Vaus =
)(2
1)( 00
0000 hhh
cAAAhcFF VVVausaus −+−+≈Daher
Linearisierung nichtlinearer Systeme
am Arbeitspunkt
Es gilt: )()(),(),( 00
00
00 yyyfxx
xfyxfyxf −
∂∂
+−∂∂
+≈
hh
cAAhcF VVaus ∆+∆≈∆0
00 21
Also
einausB FFdt
hdA ∆=∆+∆Da
VeinV
B AhcFhh
cAdt
hdA ∆−∆=∆+∆
⇒ 00
0
2
Bedeutung des
Vorzeichens?
20 Linearisierung nichtlinearer Systeme
VeinV
B AhcFhh
cAdt
hdA ∆−∆=∆+∆
00
0
2
Dann 0 0 0
0 0 0
2 2 2Bein V
V V V
A h h hd h h F AcA dt cA A
∆+ ∆ = ∆ − ∆
D.h. Vueinz AkFkhdt
hdT ∆+∆=∆+∆
Führungsstrecke ( ): hAV ∆→∆ Vu Akhdt
hdT ∆=∆+∆
Störstrecke ( ): hFein ∆→∆
einz Fkhdt
hdT ∆=∆+∆
: :
:ein
V
hFA
Regelgröße
Störgröße
Stellgröße
21 Standardformulierung:
zkukydtdyT zu +=+
Die Antwort auf einen Einheitssprung von u:
)1()0()( Tt
u ekyty−
−+=
Physikalische Bedeutung:
Die Antwort auf einen Einheitssprung von z:
)1()0()( Tt
z ekyty−
−+=
≥
<=
01
00
t
tu
≥
<=
01
00
t
tz
22 Kennwerte von Strecken
Die Sprungantwort:
)1()0()( Tt
u ekyty−
−+= mit ukyy =∞= )(,0)0(
Da Tt
u eTkty
−=)( dann
Tky u=)0(
Wenn Tt = dann uu kekTy 632,0)1()( 1 =−= −
ukydtdyT u=+
23 Beispiel: Behälterkaskade
2022122
2
1011211
1
)0(,
)0(,
hhFFFdt
dhA
hhFFdtdhA
ausein
ein
=−+=
=−=Bilanzgleichungen:
ausFFhh ,,, 1221Variablen:
Parameter:
(Zustandsvariablen)
(Stell- bzw. Störvariablen) 21, einein FF
201021 ,,, hhAA
Stellgröße
Störgröße
Regelgröße
24 Beispiel: Behälterkaskade
Daher 11
11211
11 hR
FFFdt
hdA einein ∆−∆=∆−∆=∆
101111
121112 ,1 hhhhR
FhcF −=∆∆=∆⇒=Korrelationen:
Also
22
222
112
2
11
111
1
111
11
ein
ein
FA
hRA
hRAdt
hd
FA
hRAdt
hd
∆+∆−∆=∆
∆+∆−=∆
202222
22 ,1 hhhhR
FhcF ausaus −=∆∆=∆⇒=
22
211
2122
211 hR
FhR
FFFdt
hdA einausein ∆−∆+∆=∆−∆+∆=∆
25 Standardformulierung: Definition:
21
22211
,,,
einein FzFuxyhxhx
∆=∆==∆=∆=
Dann
zRxRRx
dtdxRA
uRxdtdxRA
211
22
222
111
11
+=+
=+
Physikalische Bedeutung:
26 Sprungantwort:
2121
2
21
12 ,1)()( 21 kkkeektytx P
tt
P =
−+
−−==
−−ττ
τττ
τττ
mit Pkyy =∞= )(,0)0(
)(
11)(
21
21
21
221
2
121
1
ττ
ττ
ττ
ττττ
ττττ
ttP
tt
P
eek
eekty
−−
−−
−−
=
−
−+
−
−−=
0)0(,
0)0(,
21222
2
1111
1
==+
==+
xxkxdt
dx
xukxdtdx
τ
τ
dann
27
011)(2121
21 =
−−
−
−=
−−
ττττττWW tt
PW eektyAm Wendepunkt:
Es folgt
1
2
12
12 lnττ
ττττ−
=Wt
−−
−
−=
−−
2121
11)( 21
ττττττtt
P eekty
Sprungantwort:
28
CRL uuuu ++=Bilanzgleichung:
Parameter: dt
duCiiRudtdiLu C
RL === ,,mit
CRL ,,
Beispiel: Elektrischer Schwingkreis
Weil 2
2
dtudLC
dtdiLu C
L ==
Eine Differentialgleichung zweiter Ordnung!
uudt
duRCdt
udLC CCC =++2
2
29
Die Antriebskraft:
Es gilt
uAF =
Beispiel: Elektropneumatischer Wandler
Daher
yUlx
xy
lU
=⇒=
Die Gegenkräfte:
xmFxCFxBF
===
3
2
1
Die Bilanz:
uAxBxCxm =++
uAyUlBy
UlCy
Ulm =++
Daher uBlAUyy
BCy
Bm
=++
Eine Differentialgleichung zweiter Ordnung!
30
Das Volumen bleibt konstant:
21 FFF +=
Beispiel: Ein Mischungsprozess
Die Komponentenbilanz:
CFFCFFCCF
FCCFCFdtdCV
)( 2111
11
2211
+−=−=
−+=
Linearisierung der Gleichung:
CFFCFFFCdt
CdV ∆+−∆+∆−∆=∆ )()( 201002111
Dann 021112010 )()( CFFFCCFFdt
CdV ∆+∆−∆=∆++∆
Stellgröße
Störgröße
Regelgröße
31 Beispiel: Ein Mischungsprozess
Die linearisierte Gleichung:
22010
01
2010
01
2010
FFF
CFFFCCC
dtCd
FFV
∆+
−∆+−
=∆+∆
+
D. h. 221 )( FkTtFkFkFkC
dtCdT ztuuzu ∆+−∆=∆+∆=∆+
∆
Die Zeitverschiebung:
vlTt =
Also
≥−∆<
=∆ttu
t
TtTtFTt
tF)(
0)(1
Totzeit! Stellgröße
Störgröße
Regelgröße
32 Beispiel: Ein Mischungsprozess
≥−∆<
=∆ttu
t
TtTtFTt
tF)(
0)(1
Grafische Darstellung:
Die Totzeit macht die Regelung instabil!
Stellgröße
Störgröße
Regelgröße
33 Beispiel: Füllstand eines Behälters
0)0(, hhFFdthdA ausein =−=Bilanzgleichung:
ein
aus
FFhRegelgröße:
Stellgröße:
Störgröße:
0)0(, =∆∆−∆=∆ hFFdt
hdA auseinDie Änderung am Arbeitspunkt:
:,, ausein FuFzhy ∆=∆=∆=mit 0)0(, =−= yuzdt
ydA
Bei einem Sprung des Eingangsstrom:
00,10,0
=∆=
≥<
=∆= ausein Futt
Fzd. h.
34 Beispiel: Füllstand eines Behälters
0)0(, == yzdt
ydADann
tA
tydzA
dydtAzdy
ty 1)(1
00
=⇒=⇒= ∫∫ τalso
Es zeigt ein Integrationsverhalten. Das System muss stabilisiert werden!
Grafische Darstellung:
35 Beispiel: Reaktor mit exothermer Reaktion
RMFPP QQFCdtdVC +−−= )( θθρθρ
Energiebilanz:
VekrVQ RE
Rθ
−== 0
wobei
VekQFCdtdVC R
E
MFPPθθθρθρ
−+−−= 0)(Daher
θ
ρρθθθ R
E
PP
MF e
FCVk
FCQ
dtd
FV −
+−−= 0
θθθθ RE
RMuF ekQkdtdT
−+−=+1
also
Der Prozess ist nichtlinear!
36 Beispiel: Reaktor mit exothermer Reaktion
θθ
θθθ θ ∆+∆−∆=∆+∆ −
020
1RE
RMuF eR
EkQkdt
dT
Linearisierung am Arbeitspunkt:
MuFR Qkkdt
dT ∆−∆=∆−+∆ θθθ )~1(1Damit
Normalerweise 1~>>Rk
D. h. MuFR Qkkdt
dT ∆−∆=∆−∆ θθθ ~
1
MR
uF
RR
Qkk
kdtd
kT
∆−∆=∆−∆
~~1
~1 θθθD. h.
MuFz Qkkdt
dT ∆−∆=∆−∆ ~~
1 θθθ Wie verhält sich die Temperatur?
37 Typische Prozessdarstellungen (Strecken):
zkukydtdyT zu +=+1PT1:
zkTtukydtdyT ztu +−=+ )(1PT1Tt (mit Totzeit):
zkukydtdyTT
dtydTT zu +=+++ )( 212
2
21PT2:
PT2Tt (mit Totzeit): zkTtukydtdyTT
dtydTT ztu +−=+++ )()( 212
2
21
I: zkukdtdy
zu +=
ITt (mit Totzeit): zkTtukdtdy
ztu +−= )(
38 Allgemeine Darstellung:
Die Sprungantwort:
zkukyadtdya
dtyda
dtyd
zunnn
n
n
n
+=++++ −−
−
11
1
1
Sehr häufig wird eine Strecke approximiert mit PT1+Totzeit:
zkTtukydtdyT ztu +−=+ )(1PT1Tt (mit Totzeit):
