SS--Faktor Faktor und und

NiederenergieNiederenergie--AstrophysikAstrophysik

Form der Funktion Form der Funktion f(Ef(E))

3 / 21~ exp EEkT kT

⎞ ⎞⎛ ⎛−⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎝⎠ ⎠

( )~ exp 2γ−

01( ) E SE

σ =

MaxwellMaxwell--BoltzmannBoltzmann

GamowGamow--FaktorFaktor

AbhAbhäängigkeit des WQngigkeit des WQBei kleinen EnergienBei kleinen EnergienSS00 nuklnukl. S. S--FaktorFaktor

111

222

333

( ) ( ) ( )0

( ) 1 2 3 dEσ∞

= × ×∫E v

Wirkungsquerschnittklassisch:

quant. mech.(für E klein)

= + 2( )p Tr rσ π

= = ∼22 1

Ekπσ πRR

für den -Zerfallα

rR0 RC

Eα

V(r)

21 2

00

2 124

2

~

~

RC

R

Z Z em E drr

G

T e

e e

απεα

γ

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

− −

∫

=

21 2

00

2 124

2

~

~

RC

R

Z Z em E drr

G

T e

e e

απεα

γ

⎛ ⎞− −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠

− −

∫

= Gamov FaktorGγ ⎫

−⎬⎭ Gamov Faktor

Gγ ⎫

−⎬⎭

wichtigwichtig

( )0

2 21 21

0

2

0

2 1 2 4

2 2 4

CR

R

Z Z emG xE

Z Z em E drr α

α γπεπε

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝= ⋅

⎠∫ ( )0

2 21 21

0

2

0

2 1 2 4

2 2 4

CR

R

Z Z emG xE

Z Z em E drr α

α γπεπε

⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝= ⋅

⎠∫

( )0 0

arccos (1 )

C

x x x xx R R E Vα

γ = − −

= =

( )0 0

arccos (1 )

C

x x x xx R R E Vα

γ = − −

= =ErinnereErinnere

12

21log ~ log ~ ~

GT e

t GZE

α α

α

λ λ λ

λ

−= ⋅ =

12

21log ~ log ~ ~

GT e

t GZE

α α

α

λ λ λ

λ

−= ⋅ =

RR

ResonanterZustandResonanterZustand

γγ

3 3 aa 1212C + 7.275 MeVC + 7.275 MeV

288 288 keVkeV

RRIst der Ist der

mysterimysteriööseste seste und und

faszinierendste faszinierendste Prozess in der Prozess in der

gesamten Physik!!gesamten Physik!!

Mit zweiMit zwei„„prprääzise getuntenzise getunten““Resonanzen gelingt Resonanzen gelingt der Sprung der Sprung üüber ber

MasseMasse--55und Masseund Masse--88

Gamow-Faktor & S-FaktorGamow-Faktor & S-Faktor

für niedrige Energien E << EC kann T-Koeffizient genähert werden:

Wirkungsquerschnitt proportional zur Tunnelwahrscheinlichkeit

zusammen:

S-Faktor enthält die übrigen reinen Kern-Effektefür nicht-resonante Reaktionen: S-Faktor langsam veränderliche Funktion der Energie, im Gegensatz zu WQdaher S-Faktor viel besser geeignet für Extrapolation von gemessenen WQ in den astrophysikalischen Energiebereich

für niedrige Energien E << EC kann T-Koeffizient genähert werden:

Wirkungsquerschnitt proportional zur Tunnelwahrscheinlichkeit

zusammen:

S-Faktor enthält die übrigen reinen Kern-Effektefür nicht-resonante Reaktionen: S-Faktor langsam veränderliche Funktion der Energie, im Gegensatz zu WQdaher S-Faktor viel besser geeignet für Extrapolation von gemessenen WQ in den astrophysikalischen Energiebereich

πη= −exp( 2 )T ηπε

=2

1 2

04Z Z e

vGamow-Faktor

( )σ πη= − ⋅1 exp( 2 ) ( )EE

S E

( )σ πη∝ −exp( 2 )E ( )σ π∝ ∝2 1EE

Sommerfeld-Parameter η

aber auch (s.o.)

nuklearer oder astrophysikalischer S-Faktor

bitte nachrechnen !!bitte nachrechnen !!bitte nachrechnen !!

S-FaktorS-Faktor

ansteigend, da 1) Näherungsformel2) elektronisches Screening

00 300300

Der Gamow PeakDer Gamow PeakNormierte Reaktionsrate mit dieser Näherung:

b2: Gamow-Energie EG

S(E) = S(E0) = const

Normierte Reaktionsrate mit dieser Näherung:

b2: Gamow-Energie EG

S(E) = S(E0) = const

∞⎞⎛ ⎡ ⎤⎞⎛= − −⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎝ ⎠∫

1 2 3 2

1 20

8 1 ( )exp E bv S E dEkT kT E

σπµ

( )1 2 21 22 /b e Z Z= µ π

1

1 20

0

2 3 2(8 1 exp) E bv dE

kT kT ES E

∞⎛ ⎞ ⎡ ⎤⎛ ⎞= − −⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎣ ⎦∫σπµ

Gamow-PeakGamow-Peak

Der Gamow PeakDer Gamow PeakMaximum bei

Beispiel: T6 = 15 (Sonne) effektive Brennenergie:p + p: E0 = 5,9 keV (3/2kT = 1,3 keV)p + 14N: E0 = 26,5 keV16O + 16O: E0 = 237 keV

maximaler Wert des Integranden Einsetzen von E0

Reaktionsrate proportional zur Intensitätstarke Abhängigkeit von der Coulombbarriere

Maximum bei

Beispiel: T6 = 15 (Sonne) effektive Brennenergie:p + p: E0 = 5,9 keV (3/2kT = 1,3 keV)p + 14N: E0 = 26,5 keV16O + 16O: E0 = 237 keV

maximaler Wert des Integranden Einsetzen von E0

Reaktionsrate proportional zur Intensitätstarke Abhängigkeit von der Coulombbarriere

2 32 2 2 1 3

0 1 2 61.22 ( )2bkTE Z Z T keV⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

µ

03exp exp( )maxE

IkT

⎛ ⎞= − = −⎜ ⎟⎝ ⎠τ 03E

kT=τ

bitte nachrechnen !!bitte nachrechnen !!bitte nachrechnen !!

Problem bei Messung unter LaborbedingungenProblem bei Messung unter LaborbedingungenE0, ist die Brennenergie und liegt i.a. immer noch weit

entfernt von Energien, bei denen direkte Messung des WQ oder auch des S-Faktors bei Laborbedingungen möglich ist (WQ zu klein!!)

Standardlösung: S(E) über weiten Energienereichmessen, dann in Niederenergiebereich extrapolieren

WQ dann erschließbar

E0, ist die Brennenergie und liegt i.a. immer noch weit entfernt von Energien, bei denen direkte Messung des WQ oder auch des S-Faktors bei Laborbedingungen möglich ist (WQ zu klein!!)

Standardlösung: S(E) über weiten Energienereichmessen, dann in Niederenergiebereich extrapolieren

WQ dann erschließbar

( ) 1 exp ( )( 2 )E SE

E= − ⋅σ πη

Beispiel: SonneBeispiel: Sonnep-p Zyklus: p + p d + e+ + ν

Sonnentemperatur: ca. 15 x 106 K kT = 0.83 keV = EP

Coulombwall: EC ~ 0,5 MeV

Typische Werte:

für p+p:

Dichte :

Reaktionsrate p+p:

Lebenserwartung der Sonne:

p-p Zyklus: p + p d + e+ + ν

Sonnentemperatur: ca. 15 x 106 K kT = 0.83 keV = EP

Coulombwall: EC ~ 0,5 MeV

Typische Werte:

für p+p:

Dichte :

Reaktionsrate p+p:

Lebenserwartung der Sonne:

Gamow PeakMaxwell-Verteilung

σ(E)

kT = 0.83 keV ~5--15 keV

~10 keV

Energie

Rela

tive W

ah

rsch

ein

lich

keit

350~ 10 secmv −σ

3~ 100 gcm

ρ

2 1331~ 3,6 10sec

R N vm

= ⋅σ

10~ 10 a

Reaktionen ohne!! Resonanzen:Reaktionen ohne!! Resonanzen:

relevanter Energierelevanter Energie--bereich der Sonnebereich der Sonne

Einfluss von ResonanzenEinfluss von ResonanzenReaktionen mit Resonanzen bilden einen angeregtenZwischenzustand mit der Energie Er

Wellenfunktion hat komplexen Energieeigenwert, da Zustand instabil

Zustand zerfällt

Wellenfunktion wird entwickelt nach ebenen Wellen

Amplitude a(E) ist die Fouriertransformation von Ψ(t):

Reaktionen mit Resonanzen bilden einen angeregtenZwischenzustand mit der Energie Er

Wellenfunktion hat komplexen Energieeigenwert, da Zustand instabil

Zustand zerfällt

Wellenfunktion wird entwickelt nach ebenen Wellen

Amplitude a(E) ist die Fouriertransformation von Ψ(t):

( ) exp2r

i it E tΓ⎡ ⎤⎛ ⎞Ψ = +⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦

2( ) exp tt Γ⎛ ⎞Ψ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

( )1( ) exp2

iEtt a E dE∞

−∞

⎛ ⎞Ψ = ⎜ ⎟⎝ ⎠∫π

( ) 1 ( )exp2

iEta E t dt∞

−∞

−⎛ ⎞= Ψ ⎜ ⎟⎝ ⎠∫π

Einfluss von ResonanzenEinfluss von ResonanzenEinsetzen von Ψ(t) liefert dann:

schmale Resonanzen im WQ ändern die Brenntemperatur massiv

das Brennen findet bei der Resonanzenergie statt

Wirkungsquerschnitte in der Nähe von Er können sehr hoch sein

Einsetzen von Ψ(t) liefert dann:

schmale Resonanzen im WQ ändern die Brenntemperatur massiv

das Brennen findet bei der Resonanzenergie statt

Wirkungsquerschnitte in der Nähe von Er können sehr hoch sein

( )2

221( )

4r

a EE E

∝Γ− + Breit-Wigner FormelBreit-Wigner Formel

Einfluss von Resonanzen (unterhalb und oberhalb der Reaktionsschwelle)Einfluss von Resonanzen (unterhalb und oberhalb der Reaktionsschwelle)

Reaktionen mit ResonanzenReaktionen mit Resonanzen1515N(p,N(p,γγ))1616OO

Ausbruch aus dem Ausbruch aus dem CNOCNO--ZyklusZyklus

15N

13C 15O

14N

13N

12C α4.96 MeV

2.75 MeV

e+,ν

p

pγ

7.3 MeV

p

γ7.55 MeV

p

γ1.94 MeV

2.22 MeV

e+,ν

CNO-Zyklus

Energie26.7 MeV

Ausbruch aus Ausbruch aus dem dem

CNOCNO--ZyklusZyklus

((p,p,αα))

((p,p,γγ))

Reaktionen mit ResonanzenReaktionen mit Resonanzen