Schallstreuung in der atmosph¨arischen

Grenzschicht

Physikalische Grundlagen der akustischen

Fernerkundung mit SODAR

Vom Fachbereich Physik der

Carl von Ossietzky Universit¨at Oldenburg

zur Erlangung des Grades einer

Doktorin der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)angenommene Dissertation

Annette Schomburg

geboren am 15. September 1958

in Buhren Krs. Nienburg/Weser

Erstreferent: Prof. Dr. Volker Mellert

Korreferent: Prof. Dr. Hans-Georg Beyer

Tag der Disputation: 11. 12. 1998

Fachbereich Physik, Carl von Ossietzky Universit¨at Oldenburg

1998

Schallstreuung in der atmosph¨arischen

Grenzschicht

Physikalische Grundlagen der akustischen

Fernerkundung mit SODAR

Vom Fachbereich Physik der

Carl von Ossietzky Universit¨at Oldenburg

zur Erlangung des Grades einer

Doktorin der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.)angenommene Dissertation

Annette Schomburg

geboren am 15. September 1958

in Buhren Krs. Nienburg/Weser

Erstreferent: Prof. Dr. Volker Mellert

Korreferent: Prof. Dr. Hans-Georg Beyer

Tag der Disputation: 11. 12. 1998

Fachbereich Physik, Carl von Ossietzky Universit¨at Oldenburg

1998

INHALTSVERZEICHNIS i

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

2 Statistik der Inhomogenitaten 4

2.1 Statistisch homogene und isotrope Turbulenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.1 Windfluktuationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

2.1.2 Temperaturfluktuationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2.2 Das Kolmogorov-Modell vollausgebildeter Turbulenz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1 Lokale Homogenit¨at und Isotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.2 Strukturfunktion und Spektrum der Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2.3 Strukturfunktion und Spektrum der Temperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Reale Turbulenzspektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3.1 Bestimmung der spektralen Dichte der kinetischen EnergieE(K) und des Struktur-parametersC2

v aus gemessenen Windzeitreihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

3 Streuung von Schall an Inhomogenit¨aten 24

3.1 Wellengleichungen . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3.1.1 Wellengleichung f¨ur inhomogene Temperatur- und Geschwindigkeitsfelder . . . . . 25

3.1.2 Inhomogenit¨aten der Dichte und der Kompressibilit¨at . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.3 Eine universelle Wellengleichung . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Diskussion der Streuterme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Losung der Wellengleichung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.1 Naherungen . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.3.2 Die gestreute Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3.3.3 Interpretation des Streumechanismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.4 Statistik der Streuung . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.4.1 Der effektive Streuquerschnitt in Bornscher N¨aherung . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 Beruhrungslose Bestimmung turbulenter Parameter 40

4.1 Meßkonfigurationen . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4.2 Meßgroßen und Probleme ihrer Erfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.3 Beschreibung der verwendeten Sende- und Empfangsantennen . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3.1 Kenngr¨oßen der Richtwirkung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.3.2 Akustische Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.4 Bestimmung der StrukturparameterC2v undC2

T . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4.1 Radargleichung .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

ii INHALTSVERZEICHNIS

5 Einfluß des akustischen Brechungsindexes 50

5.1 Klassische Dopplermethode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.2 Erweiterte Dopplermethode. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.3 Korrekturverfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3.1 Horizontale Schichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3.2 Verschiebung des Streuvolumens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.3.3 Monostatische Korrekturen.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.4 Simulation der zu erwartenden Dopplerverschiebung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.4.1 Fehleranalyse im Vergleich zur gradlinigen Ausbreitung . . . . . . . . . . . . . . . 62

5.4.2 Lineare Profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.4.3 Reale Profile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.5 Vergleich mit den Literaturbeispielen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

5.6 Abschatzung des Temperaturprofils aus der Sodarsimulation . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6 Signalverarbeitung von Sodarsignalen 80

6.1 Einzelpulsdetektion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.1.1 Eigenschaften des Zeitsignals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

6.1.2 Filterung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6.1.3 Berechnung der Momentanamplitude und-frequenz . . .. . . . . . . . . . . . . . 85

6.1.4 Kurzzeitspektren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.2 Amplitudenverteilung des gestreuten Signals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.3 Bestimmung der Windgeschwindigkeit aus R¨uckstreusignalen . . . . . . . . . . . . . . . . 93

6.3.1 Bestimmung der Dopplerfrequenz aus dem Leistungsspektrum. . . . . . . . . . . . 93

6.3.2 Mittelungen . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

6.3.3 Raumliche Auflosung und Analysel¨ange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6.4 Meßwertstreuung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.4.1 Einfluß einer Amplitudenwichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

6.4.2 Variation des Signal-Rausch-Abstands (SNR) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.5 Abschatzung des Geschwindigkeitsfehlers bei Sodarmessungen . .. . . . . . . . . . . . . . 110

7 Freifeldmessungen im JADE-Windpark 119

7.1 Experimentelle Konfiguration im Windpark .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119

7.2 Profile der Nachlaufstr¨omung des AEOLUS II . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

7.3 Temperaturstrukturen und Streubedingungen .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

8 Zusammenfassung 133

A Liste der wichtigsten Symbole 135

Literaturverzeichnis 137

1

1 Einleitung

Die Dynamik der bodennahen atmosph¨arischen Grenzschicht, in der sich die f¨ur die Meteorologie wichtigenAustauschprozesse von Impuls, W¨arme, Wasserdampf usw. abspielen [83], verursacht vielerlei Auswirkun-gen auf technische Einrichtungen und Anwendungen am Boden. So bedeutet z. B. das Auftreten von Scher-winden auf Flugh¨afen eine direkte Gefahr f¨ur die startenden und landenden Flugzeuge, die nur durch einekontinuierliche Messung des Windprofils minimiert werden kann. Auch der Bau immer h¨oherer Schornstei-ne mit dem Ziel, die dort ausgestossenen Schadstoffe m¨oglichst großr¨aumig zu verteilen, befreit nicht voneiner permanentenUberwachung des Windfeldes, da nur so unzul¨assig hohe Konzentrationen an andererStelle vermieden werden k¨onnen. Wirtschaftliche Risiken bei der Standortwahl von Windenergiekonverternsind es, deren Minimierung nur durch eine m¨oglichst genaue Vorhersage des zu erwartenden Windangebotsmoglich ist. Als letztes Beispiel sei hier schließlich die infolge wachsender Bebauungsdichte an Bedeutungzunehmende Problematik der L¨armausbreitung genannt. Luftschall breitet sich gem¨aß dem Fermat’schenPrinzip so aus, daß die Laufzeit zwischen Schallquelle und Immissionsort minimal wird. Daher kommtes abh¨angig von Wind- und Temperaturprofil zu großen tageszeitlichen Schwankungen des gemessenenSchallpegels und auch eine L¨armschutzwand zwischen Quelle und Empfangsort garantiert nicht unbedingteine Verminderung der St¨orwirkung. Messungen im Schallschatten einer solchen Wand zeigen n¨amlich, daßdie dort auftretenden Schallpegel ¨uber das durch Beugung an der Wand berechnete Maß hinaus anwach-sen konnen [33]. Dieser als Streuung in die Schattenzone bekannte Effekt beruht auf der Wechselwirkungzwischen Schall und Turbulenz.

Beim Sodar (Sound Detection and Ranging) Meßverfahren macht man sich diesen Einfluß der Turbulenzauf eine einlaufende Schallwelle zunutze. Der zur¨uckgestreute Teil der Schallwelle, der Information ¨uber dasturbulente Feld im Streuvolumen enth¨alt, wird analysiert. Zun¨achst einmal f¨uhrt das auf den winkelabh¨angi-gen Ruckstreuquerschnitt, aus dem sich unter der Annahme eines Kolmogorov-Spektrums f¨ur die Turbulenzdie Strukturkonstanten als Maß f¨ur Turbulenzst¨arke bestimmen lassen [143]. Aufgrund des mittleren Win-des mit dem die Temperatur- und Geschwindigkeitsfluktuationen durch das Streuvolumen getragen werden,tritt zusatzlich der Dopplereffekt in Erscheinung, der eine Verschiebung der Frequenz des R¨uckstreusignalsproportional zur mittleren Windgeschwindigkeit bewirkt. Praktisch erfolgt eine Sodarmessung, indem star-ke monofrequente Schallimpulse gerichtet in die Atmosph¨are abgestrahlt werden und das R¨uckstreusignalnach einer vorgegebenen Laufzeit ausgewertet wird. Durch eine kontinuierliche Bestimmung der mittle-ren Dopplerfrequenz des Streusignals erh¨alt man vertikale Profile der Windgeschwindigkeit, der von Pulszu Puls schwankende Anteil der Frequenzverschiebung enth¨alt Informationen ¨uber die Windfluktuationen.Darstellungen der Streuintensit¨at als Funktion der H¨ohe, sogenannte Echogramme, geben Aufschluß ¨uberraumliche Temperatur- und Windstrukturen und deren zeitliche Entwicklung in der planetarischen Grenz-schicht.

Die Messung atmosph¨arischer Eigenschaften mit Sodar wird seit dem Ende der sechziger Jahre beginnendmit MCALLISTER [81, 82] und LITTLE [76, 77, 12] erprobt. Die Liste der damit in der atmosph¨arischenGrenzschicht beobachteten Ph¨anomene umfaßt Konvektion (thermal plumes), Temperaturinversionen, lami-nare Schichtungen, Grenzschichth¨ohen, Windscherungen [2, 6, 15, 35, 50, 65, 74, 82, 94, 112] aber auchSchwerewellen [51] und Nebelfronten [128]. Zahlreiche Sodarkonfigurationen kamen bei diesen Messun-gen zum Einsatz, die mit einer ver¨anderlichen Zahl von Sende- und Empfangsantennen in verschiedenstenAufstellungsgeometrien vor allem das Ziel einer m¨oglichst großen Meßh¨ohe verfolgten [46, 50, 51, 52, 85].

Im Vergleich zu anderen in der Atmosph¨are eingesetzten ber¨uhrungslosen Meßverfahren wie Lidar (LightDetection and Ranging) und Radar ist die Empfindlichkeit des Sodar um Gr¨oßenordnungen h¨oher. Fluktua-tionen des akustischen Brechungsindex werden durch Temperatur- und Windgeschwindigkeitsfluktuationen

2 KAPITEL 1. EINLEITUNG

dominiert. Der Einfluß von Feuchteinhomogenit¨aten ist geringf¨ugig. Elektromagnetische Wellen im sicht-baren Bereich wechselwirken nur mit Temperaturfluktuationen, f¨ur Radiowellen spielen auch Fluktuationender Feuchte eine Rolle. Die St¨arke der Schallstreuung an Turbulenz ¨ubertrifft die elektromagnetischer Wel-len um einen Faktor von 106 [20]. Allerdings ist die atmosph¨arische Dampfung akustischer Wellen weitausgroßer gegen¨uber der elektromagnetischer Wellen. Die D¨ampfung einer Schallwelle mit einer Wellenl¨angevon 3 cm liegt in der Gr¨oßenordnung von 100 dB/km in der unteren Atmosph¨are, bei Radiowellen der-selben Wellenl¨ange hingegen ist eine D¨ampfung von 0.01 dB/km zu beobachten [76]. Aus diesem Grundwerden die genannten Fernerkundungsverfahren in der Atmosph¨arenforschung auch oft kombiniert, umkomplexe Vorgange von der bodennahen Grenzschicht bis in die oberen Atmosph¨arenschichten zu erfassen[4, 37, 45, 107].

Die nicht-akustischen Fernerkundungsverfahren besitzen allerdings den Nachteil einer nicht unerheblichenunteren Meßgrenze. So liegt die untere Meßh¨ohe beim Radar nicht unter 200 m, die vertikale Aufl¨osung zwi-schen 50 und 250 m. In diese Gr¨oßenordnung ist auch die untere Meßh¨ohe und die vertikale Aufl¨osung beimLidar einzuordnen. Eine h¨ohere raumliche Auflosung wird mit dem Sodar erzielt. Mit typischen Puls¨angenvon 100 bis 200 ms ergibt sich eine H¨ohenaufl¨osung von ca. 15 bis 30 m. Bisherige Sodarentwicklungenhatten eine große Reichweite zum Ziel, so liegt die Sondierungsh¨ohe von bisher in der Meteorologie einge-setzten Sodarger¨aten zwischen 200 und 1000 m.

Zur Erfassung kleinskaliger Strukturen der bodennahen Grenzschicht und kurzzeitiger Schwankungen vonLuftbewegungen, die z. B. gerade im Bereich der Windenergie von großem Interesse sind, ist jedoch ei-ne hohere raumliche und zeitliche Aufl¨osung erforderlich. Dieses Ziel kann nur mit k¨urzeren akustischenWellenlangen und k¨urzeren Signalpulsen, allerdings nur auf Kosten der Reichweite, erreicht werden. F¨urviele technische Anwendungen reicht jedoch eine Einsatzh¨ohe von einigen Hundert Metern aus und z. B.fur Hohen bis 300 m w¨urde ein Sodar eine mobile kosteng¨unstige Alternative zu Meßmasten, die mit einemhohen Installations- und Wartungsaufwand betrieben werden, darstellen.

Fur diesen H¨ohenbereich der atmosph¨arischen Grenzschicht wurde in den vergangenen Jahren in der Ar-beitsgruppe Akustik der C.-v.-O.-Universit¨at ein portables Sodar mit einer H¨ohenaufl¨osung im Meterbe-reich entwickelt. Fragen zur erreichbaren Meßgenauigkeit dieser Prototypen bilden die Motivation f¨ur dievorliegende Arbeit. Es wird diskutiert, ob und wie sich die zeitliche und r¨aumliche Auflosung eines Sodarverbessern l¨aßt und welchen Einfluß das Rauschen auf die Genauigkeit der Dopplerfrequenzmessung zurWindgeschwindigkeitsbestimmung aus¨ubt. Daruberhinaus wird ein Verfahren vorgestellt, mit dessen Hilfedie aus der Strahlverbiegung und dem Streuvolumenversatz resultierenden Fehler nahezu eliminiert wer-den konnen. In Kombination mit dem Einsatz einesray tracing-Programms (Strahlverfolgung) er¨offnet diessogar die Perspektive der Vermessung von Temperaturprofilen mit einem Sodar.

Das an die Einleitung anschließende Kapitel enth¨alt eine Beschreibung der statistischen Eigenschaften tur-bulenter Wind- und Temperaturfelder. An einem Meßbeispiel wird dargestellt, wie sich die statistischenStrukturparameter aus dem dreidimensionalen Energiedichtespektrum ableiten lassen. Auf die Beschrei-bung der Turbulenz folgt im dritten Kapitel eine knappe Darstellung der klassischen Theorie der Wellen-ausbreitung in einem turbulenten Medium. Dar¨uberhinaus wird die L¨osung der Wellengleichung diskutiert,um den Zusammenhang von Meßfrequenz und Abmessung der streuenden Strukturen zu verdeutlichen. InKapitel vier wird auf die Sodarmessungen beeinflussenden Effekte, die die Meßgenauigkeit beeintr¨achti-gen eingegangen. Dar¨uberhinaus werden die Kenngr¨oßen, die zur Beschreibung der Antenneneigenschaftenerforderlich sind, definiert. Eine Untersuchung des Einflusses des akustischen Brechungsindexes auf dieDopplerverschiebung erfolgt in Kapitel f¨unf. Anhand einer Simulation werden die zu erwartenden Feh-ler, die aufgrund von Wind- und Temperaturprofilen bei der Bestimmung der Windgeschwindigkeit auf-treten, berechnet. Kapitel sechs enth¨alt eine Beschreibung der Signalverarbeitung von R¨uckstreusignalen.

3

Insbesondere wird der Einfluß des Rauschens bei der Bestimmung der Signalfrequenz in Abh¨angigkeit vonder Mittelungsdauer f¨ur verschiedene Signal-Rausch-Abst¨ande untersucht. Kapitel sieben gibt ein Anwen-dungsbeispiel. Es werden gemessene Windprofile und Temperaturechogramme aus der Nachlaufstr¨omungeiner Großwindkraftanlage vorgestellt.

LITERATURVERZEICHNIS 137

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[140] H. PichlerDynamik der Atmosph¨areBibliographisches Institut Mannheim/Wien/Z¨urich B. I.-Wissenschaftsverlag

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Eigene Tagungsbeitrage zum Thema

[144] H. Harms, V. Mellert, U. Radek, A. SchomburgUntersuchung zur Verbesserung der Richtwirkung akustischer Antennen (Lautsprecherarray undScheibenleitung)17. Deutsche Jahrestagung f¨ur Akustik – DAGA ‘91, 725-728, Bochum 1991

[145] A. Schomburg, H. Klug, V. MellertAkustische Vermessung der Nachlaufstr¨omungeines Windenergiekonverters mit einem Mini-SODAR18. Deutsche Jahrestagung f¨ur Akustik – DAGA ‘92, 489-492, Berlin 1992

[146] A. Schomburg, H. Klug, U. de Witt, H. -P. WaldlEinsatz eines Mini-SODARS zur Untersuchung von Turbulenz in einem Windpark1. Deutsche Windenergie-Konferenz – DEWEK ‘92, 125-129, Wilhelmshaven 1992

[147] A. Albers, H. -G. Beyer, T. Pahlke, M. Schild, W. Schlez, W. Schmidt, A. Schomburg, H. -P. Waldl,U. de WittMessungen von Windgeschwindigkeitsprofilen und Turbulenz in der Nachlaustr¨omung eines 55 kWWindenergiekonverters mit variabler Drehzahl1. Deutsche Windenergie-Konferenz – DEWEK ‘92, 307-311, Wilhelmshaven 1992

[148] A. Albers, H. -G. Beyer, M. Schild, A. Schomburg, W. Schlez, H. -P. Waldl, U. de WittMeasurement and Modelling of the Wind Field Structure in Wind FarmsEuropean Community Wind Energy Conference – ECWEC ‘93, 380-382, Travem¨unde 1993

[149] A. Schomburg, V. Mellert, H. -P. Waldl, H. Klug, U. de WittUse of a Mini-SODAR for Investigations of Turbulence in a Wind FarmEuropean Community Wind Energy Conference – ECWEC ‘93, 461-464, Travem¨unde 1993

[150] A. Schomburg, V. Mellert, R. WandeltAnalyse der spektralen Verbreiterung von an atmosph¨arischen Inhomogenit¨aten gestreuten Schal-limpulsen19. Deutsche Jahrestagung f¨ur Akustik – DAGA ‘93, 287-290, Frankfurt 1993

150 LITERATURVERZEICHNIS

[151] J. Handwerker, R. Keller, H. Klug, V. Mellert, M. Ningler, A. SchomburgSodar hoher Aufl¨osung zur Vermessung von bodennahen Windprofilen2. Deutsche Windenergie-Konferenz – DEWEK ‘94, 445-449, Wilhelmshaven 1994

[152] F. Beyrich, H. Klug, A. Schomburg, D. Kalaß, U. Weisensee, A. AlbersMessung des Wind– und Turbulenzfeldes im JADE-Windpark mittels Sodar2. Deutsche Windenergie-Konferenz – DEWEK ‘94, 229-234, Wilhelmshaven 1994

[153] F. Beyrich, H. Klug, A. Schomburg, A. Albers, D. Kalaß, U. WeisenseeMeasurements of the Wind– and Turbulence Fields in the JADE-Windpark with SodarEuropean Community Wind Energy Conference – ECWEC ‘94, 251-255, Tessaloniki, Greece 1994

[154] A. Schomburg, J. Handwerker, V. Mellert, H. KlugMessungen bodennaher Windprofile mit einem r¨aumlich hochaufl¨osenden SODAR im Jade-Windpark21. Deutsche Jahrestagung f¨ur Akustik – DAGA ‘95, 719-722, Saarbr¨ucken 1995

[155] J. Handwerker, R. Keller, V. Mellert, M. Ningler, A. SchomburgAkustische Antennen hoher Richtwirkung f¨ur SODAR-Anwendungen21. Jahrestagung f¨ur Akustik – DAGA ‘95, 715-718, Saarbr¨ucken 1995

[156] A. Schomburg, D. Englich;Analysis of the Effect of Acoustic Refraction on Doppler Measurementscaused by Wind and TemperatureProceedings of the 9th international Symposium on Acoustic Remote Sensing and associated Tech-niqes of the Atmosphere and Oceans – ISARS ‘98, 8-11, Wien 1998

4 KAPITEL 2. STATISTIK DER INHOMOGENITATEN

2 Statistische Beschreibung atmosph¨arischer Inhomogenitaten

In die Losung der Wellengleichung, die die Ausbreitung von Schall durch ein inhomogenes Medium be-schreibt, gehen turbulente Wind- und Temperaturfelder in Form ihrer r¨aumlichen Korrelationsfunktion bzw.ihrer dreidimensionalen spektralen Leistungsdichte1 ein. Bei der Beschreibung dieser Funktionen wird dieVorraussetzung gemacht, daß die turbulenten Felder statistisch homogen und isotrop sind. Was diese Annah-men fur skalare Felder und Vektorfelder bedeuten, wird im Folgenden am Beispiel des Temperatur- und desGeschwindigkeitsfeldes verdeutlicht. Die Darstellung basiert auf TATARSKII [143], TENNEKES& L UMLEY

[137], BATCHELOR [130], LANDAU & L IFSCHITZ [135] und HINZE [133].

2.1 Statistisch homogene und isotrope Turbulenz

Turbulente Felder wie z. B. Temperatur- oder Geschwindigkeitsfelder zeichnen sich durch unregelm¨aßigezeitliche und raumlicheAnderungen der Str¨omung aus. Die exakte Bestimmung des zeitlichen Str¨omungs-verlaufs setzt die Kenntnis aller Anfangswerte f¨ur die Koordinaten und Geschwindigkeiten der Fluidteilchenin der gesamten Str¨omung voraus, da sie zur L¨osung der hydrodynamischen Bewegungsgleichung (Navier-Stokes-Gleichung) ben¨otigt werden. Aufgrund der hohen Anzahl von Freiheitsgraden ist jedoch weder dieAngabe aller Anfangsbedingungen noch die L¨osung der Bewegungsgleichung m¨oglich. Daher erfolgt dieCharakterisierung turbulenter Felder durch die Angabe der Momente, also statistischer Gr¨oßen, wobei mansich i. allg. auf Erwartungswerte und Korrelationsfunktionen der Feldgr¨oßen beschr¨ankt.

2.1.1 Windfluktuationen

2.1.1.1 Der Korrelationstensor

Der Zusammenhang zwischen den Str¨omungen in zwei Punkten eines Vektorfeldes, z. B. eines turbulentenWindgeschwindigkeitsfeldes, wird durch einen TensorBik(r1; r2), der die Korrelationen aller Komponentendes Vektorfeldes f¨ur alle Kombinationen der Orter1 undr2 enthalt, angegeben:

Bik(r1; r2) = hvi(r1)vk(r2)i: (2.1)

vi(r1) undvk(r2) bezeichnen diei-te undk-te Komponente der Geschwindigkeitsvektoren an zwei Punktenr1 und r2, wobeihvi = 0. Die spitzen Klammern bedeuten Ensemblemittelung. Dieser Korrelationstensorenthalt fur jeden ‘Ort’(r1; r2) neun unabh¨angige Komponenten. Im Folgenden wird gezeigt, wie man durchAnnahmen ¨uber Homogenit¨at, Isotropie und Inkompressibilit¨at des Feldes zu einer wesentlichen Verein-fachung dieses Tensors gelangt, so daß er am Ende nur noch von einer einzigen skalaren Funktion einerskalaren Variablen abh¨angt.

Homogenitat eines Feldes bedeutet, daß dessen Momente invariant gegen¨uber Translationen sind, d. h.Bik hangt nur noch vom Abstandr = r1 r2 ab. Unter dieser Voraussetzung ist der Korrelationstensorsymmetrisch (Bik = Bki). Daraus folgt, daß er nur sechs unabh¨angige Komponenten besitzt:

Bik(r) = hvi(r1)vk(r1+ r)i: (2.2)

1Gemaß dem Wiener-Khintchin-Theorem bilden Korrelationsfunktion und Leistungsspektrum ein Fouriertransformationspaar,dies gilt auch f¨ur den dreidimensionalen Fall.

2.1. STATISTISCH HOMOGENE UND ISOTROPE TURBULENZ 5

Isotropie eines turbulenten Feldes bedeutet, daß der gesamte TensorBik(r) invariant gegen¨uber Rotatio-nen ist. Unter dieser Voraussetzung darfBik(r) nur vom Betragr = jr j des Ortsvektorsr abhangen. Dieallgemeinste Form eines Tensors zweiter Stufe mit dieser Eigenschaft lautet

Bik(r) = P(r)δik +Q(r)eiek: (2.3)

Er enthalt zwei skalare FunktionenP(r) undQ(r) des Betrages vonr , den Einheitstensorδik und den Ein-heitsvektore in Richtungr , e= r=r . Zur Bestimmung der FunktionenP(r) undQ(r) wird das Koordinaten-system so gelegt, daß eine Achse in Richtungebzw. r zeigt,e= (e1;0;0) undr = (x1;0;0), (Abb. 2.1).

v1 v1

r = (x , 0, 0)

v v2 2

1r = (x , 0, 0)1Abbildung 2.1: Geometrie zur Bestimmungder FunktionenP(r) und Q(r). Der Ortsvek-tor r liegt auf der Achsex1. Die Korrela-tionen der Geschwindigkeitskomponentenv1

und der dazu senkrechtenv2 bilden die radia-len und transversalen KomponentenBrr (x1)

undBtt(x1).

Die Korrelation der Geschwindigkeitskomponenten derr -Richtung wird mit radialer oder longitudinalerKorrelation bezeichnet:B11(x1) = h v1(x1;1)v1(x1;1+x1) i= Brr (x1) (im Index1;1 bezeichnet die erste Zahldie Komponente, die zweite den Ort). Sie enth¨alt die Komponenten der Geschwindigkeiten benachbarterTeilchen bei ihrer Relativbewegung gegeneinander. Die Korrelation dazu senkrechter Geschwindigkeits-komponenten wird transversale oder laterale Korrelation genannt:B22(x1) = B33(x1) = Btt(x1). Ihre Kom-ponenten beschreiben eine Rotationsbewegung der Teilchen umeinander. Dae1 = 1 unde2 = 0 ist, ergibtsich aus (2.3)Brr (x1) = P(x1)+Q(x1) undBtt(x1) = Q(x1). Allgemein gilt:

P(r) = Btt(r) und Q(r) = Brr (r)Btt(r): (2.4)

Setzt man diese Beziehungen in (2.3) ein, so erh¨alt man den Korrelationstensor mit den radialen und trans-versalen Korrelationsfunktionen in der Form

Bik(r) = Brr (r)eiek+Btt (r)(δikeiek): (2.5)

Isotropie reduziert die Anzahl der unabh¨angigen Funktionen auf zwei. Isotropie bedeutet jedoch nicht, daßdie einzelnen Komponenten rotationsinvariant sind. Wie (2.3) und (2.5) zeigen, h¨angen alle Komponentenvon Bik(r) von der Richtung vonr ab, die KomponenteB11(r) variiert z. B. gegen¨uber einer Drehung vonr : B11(x1;0;0) 6= B11(0;x2;0).

Inkompressibilit at eines Geschwindigkeitsfeldes hat zur Folge, daß die radialen und transversalen Kor-relationsfunktion nicht unabh¨angig voneinander sind. Bewegen sich Fluidelemente gegeneinander, m¨us-sen gleichzeitig Bewegungen senkrecht dazu stattfinden, um das Medium nicht zu verdichten. Radiale undtransversale Bewegungen sind daher gekoppelt. Die Divergenz f¨ur ein inkompressibles Medium ist null:∂vi=∂xi = 0. Diese Bedingung f¨uhrt auf∂Bik=∂xi = 0 und auf Gl. (2.5) angewendet ergibt die Differentiation:

6 KAPITEL 2. STATISTIK DER INHOMOGENITATEN

∂Bik(r)∂xi

=∂

∂xi[Brr (r)eiek+Btt (r)(δikeiek)] = 0; (2.6)

Btt (r) =12r

ddr

r2Brr (r)

: (2.7)

Inkompressibilitat reduziert die Abh¨angigkeit des Korrelationstensors auf nur eine skalare Funktion, die diegesamte Information des Feldes enth¨alt.

Die Form vonBrr (r) undBtt(r) unterscheidet sich. Messungen haben gezeigt [133, 61] (s. auch Abb. 2.3),daßBrr (r) nie negativ wird, obwohl es daf¨ur keinen unmittelbar einsichtigen Grund gibt! Angenommen,das Ergebnis einer Messung vonBrr (r) laßt sich durch eine Gaußfunktion, mit der Varianzσ2

v und derKorrelationslangel , anpassen, dann ergibt sich damit aus (2.7), (Abb. 2.2):

Brr (r) = σ2ve

r2

l2r und Btt(r) =

1 r2

l2

σ2

ver2

l2t :

lr und lt bezeichnen die radialen und transversalen Korrelationsl¨angen. Die transversale Funktion wird f¨urr >p

l negativ. Eine Erkl¨arung hierfur liefert der Vektorcharakter der Geschwindigkeit. Betrachtet mandie transversale Korrelation derv2-Komponente, so liegt der Ortsvektor in einer Ebene senkrecht dazu,r = (x1;0;x3). Die transversale Korrelation zeichnet also zwei orthogonale Vektoren aus. Da der Mittelwertvonv2 null ist, muß im Mittel der Nettofluß durch diex1x3-Ebene verschwinden. Das Integral der Korrelati-onsfunktionuber diex1x3-Ebene sollte daher null sein, d. h. die Korrelationsfunktion muß irgendwo negativwerden.

0 50 100 150 200 250

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r[mm]

Brr(r)

0 50 100 150 200 250

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r[mm]

Btt(r)

Abbildung 2.2: Beispiel fur einelongitudinale und zugeh¨orige trans-versale Korrelationsfunktion.Brr (r)wurde als gaußf¨ormig angenommen.

0 50 100 150 200 250

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r[mm]

Brr(r)

0 50 100 150 200 250

-0.2

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

r[mm]

Btt(r)

Abbildung 2.3: Beispiel einer ge-messenen Korrelation der longitu-dinalen und transversalen Wind-komponente. Die Daten entstammenMeßreihen zur Untersuchung turbu-lenter Stromungsfelder am Windka-nal der Universit¨at Oldenburg [61].

2.1. STATISTISCH HOMOGENE UND ISOTROPE TURBULENZ 7

Abb. 2.3 zeigt ein Beispiel gemessener Korrelationsfunktionen, die im Rahmen einer Untersuchung tur-bulenter Str¨omungsfelder im Windkanal der Universit¨at Oldenburg entstanden sind [61]. Das turbulenteFeld wurde durch ein Holzgitter erzeugt. Die mit zwei Hitzdrahtsonden aufgenommene longitudinale undtransversale Korrelation wurde in Str¨omungsrichtung gemessen. Das erzeugte Turbulenzfeld ist ann¨aherndhomogen und isotrop, da die dort angegebenen Korrelationsl¨angen nahezu gleich groß sind: Die radiale Kor-relationslange betr¨agt lr = 77 mm und die longitudinalelt = 73 mm. Im Gegensatz zu den in der Literaturoft vorkommenden Angaben ¨uber die Form der Korrelationsfunktion [138] in turbulenten Windfeldern las-sen sich die hier vorgestellten Messungen eher durch eine Exponentialfunktion als durch eine Gaußfunktionannahern.

Abbildung 2.4:Messung der Korrela-tionsfunktion in Abhangigkeit von derRichtung in einer horizontalen Ebeneeiner Hohe von 4 m mit interpoliertenIsolinien, a) der Longitudinalkompo-nente der Windgeschwindigkeit in ei-ner konvektiven Grenzschicht (Korrela-tionslange in Windrichtung ca. 30 m)und b) in einer stabilen Grenzschicht.Die Korrelationslange betr¨agt 15 m.c): Gemessene Transversalkomponentein einer konvektiven Grenzschicht. ImVergleich zur Longitudinalkomponenteist die Korrelationsl¨ange in Hauptwind-richtung wesentlich l¨anger, sie betr¨agt90 m.

Abb. 2.4 enth¨alt Meßbeispiele inhomogener und anisotroper Korrelationsfunktionen r¨aumlicher Strukturender bodennahen atmosph¨arischen Turbulenz in einer horizontalen Ebene in 4 m H¨ohe [24]. An den interpo-lierten Isolinien ist zu erkennen, daß die Korrelationen in Richtung des mittleren Windes langsamer abfal-len. Die langen Seiten der Rechtecke bzw. der Ellipse zeigen in Hauptwindrichtung. Im Gegensatz zu demrechteckigen Verlauf der Isolinien longitudinaler Korrelation in Abb. 2.4 a und b (konvektive und stabileGrenzschicht) beschreiben die Isolinien der transversalen Korrelation (Abb. 2.4 c) eine Ellipse (konvektiveGrenzschicht).

2.1.1.2 Dreidimensionales Energiespektrum

Mit (2.5) konnen alle Matrixelemente des Korrelationstensors berechnet werden. Um die spektrale Dichte-matrix zu erhalten, muß jedes Element der Korrelationsmatrix transformiert werden. Die spektrale DichteΦik(K) ist durch die dreidimensionale Fouriertransformation

8 KAPITEL 2. STATISTIK DER INHOMOGENITATEN

Bik(r) =

∞Z

∞

d3K eiKr Φik(K); Φik(K) =1

(2π)3

∞Z

∞

d3r eiKr Bik(r) (2.8)

definiert.K ist die Raumfrequenz der r¨aumlichen Struktur des turbulenten Feldes. Wie beim Korrelations-tensor fuhrt die Isotropiebedingung auf die allgemeine Form

Φik(K) = F(K)δik +G(K)KiKk: (2.9)

Aufgrund der Inkompressibilit¨at gilt die Bedingung

∂Bik(r)∂xi

=

∞Z

∞

d3K KieiKr Φik(K) = 0: (2.10)

Daraus folgt, daßKiΦik(K) = 0 sein muß. Diese Bedingung in (2.9) eingesetzt ergibt

KkF(K)+G(K)K2Kk = 0: (2.11)

G(K) in Termen vonF(K) ausgedr¨uckt, fuhrt auf die spektrale Dichtematrix eines inkompressiblen Ge-schwindigkeitsfeldes, die nur noch die skalare FunktionF(K) enthalt:

Φik(K) =

δik KiKk

K2

F(K): (2.12)

Φik(K) stellt die dreidimensionale spektrale Dichte dar und hat die Einheit m5s2. Die Richtungsabh¨angig-keit der einzelnen Komponenten resultiert aus der Eigenschaft des Klammerausdrucks als Projektionsope-rator. In Form von Gl. (2.12) geht der TensorΦik(K) in den statistischen Streuquerschnitt ein (s. Abschnitt3.4), da auch bei der Beschreibung der Wechselwirkung von Schall mit Turbulenz die Annahme der Ko-pressibilitat gemacht wird. F¨ur isotrope Beziehungen k¨onnen die FunktionenΦik(K) und Bik(r) in denFourierintegralen (Gl. (2.8)) durch deren Spur, die nur eine Funktion des Betrages vonK bzw. r ist, ersetztwerden. Die Anwendung der Summenkonvention bei Gl. (2.5) und (2.12) ergibt:

Φii (K) = 2F(K); (2.13)

Bii (r) = Brr (r)+2Btt(r): (2.14)

Durch die Einfuhrung von Polarkoordinaten wird aus (2.8) dann

Bii (r) = 4π∞Z

0

dK K2sin(Kr)Kr

Φii (K); Φii (K) =1

2π2

∞Z

0

dr r2sin(Kr)Kr

Bii (r): (2.15)

Die Beziehung zwischenΦii (K) und der auf die Fluiddichte bzw. Masse normierten kinetischen EnergieEkin des Geschwindigkeitsfeldes ergibt sich durch die Korrelationsfunktion an der Steller = 0. Bii (0) ist jagerade gleichhv2i, also dem Doppelten der auf die Masse bezogenen kinetischen EnergieEkin. Gl. (2.15)fur r = 0 ergibt somit:

2.1. STATISTISCH HOMOGENE UND ISOTROPE TURBULENZ 9

Ekin =12

Bii (0) =12

4π∞Z

0

dK K2Φii (K): (2.16)

Fordert man, daß sich die kinetische EnergieEkin als Integraluber die DichteE(K) darstellen laßt,Ekin =R ∞0 dKE(K), so ergibt sich schließlich

E(K) = 2πK2Φii (K): (2.17)

E(K) ist die spektrale Dichte der kinetischen Energie und hat die Einheit m3s2. Mit (2.17) ist auch dieFunktionF(K) in Gl. (2.12) und (2.13) bestimmt:F(K) = E(K)=4πK2.

2.1.1.3 Beziehung zwischen ein- und dreidimensionalem Spektrum

Zur Beschreibung r¨aumlicher Strukturen von Vektorfeldern statistischer Natur ist ein Korrelationstensor, deralle Raumrichtungen erfaßt, notwendig. Eine Korrelationsmessung m¨ußte daher in alle Raumrichtungen f¨urjede Komponente erfolgen. Da jedoch die Spektral- und Korrelationstensoren im Fall statistisch homoge-ner, isotroper und inkompressibler Turbulenz invariant bez¨uglich beliebiger Drehungen sind und nur voneiner skalaren Funktion abh¨angen, ist die Bestimmung der Komponenten des Korrelationstensors durch dieMessung entweder der radialen KorrelationBrr (r) oder der transversalenBtt(r) moglich.

K

K’

2π/Κ

K’2π/

Abbildung 2.5:Aliasingeffekt im eindimensionalenSpektrum. Beitrag der RaumfrequenzK0 zur Raum-frequenzenK eines eindimensionalen Spektrums. Inder Spektralkomponente vonK sind die Projektionenaller von der Meßrichtung abweichenden Kompo-nenten vonK0 > K enthalten. Eindimensionale Spek-tren besitzen daher auch f¨ur beliebig kleineK einenendlichen Wert.

Das dreidimensionale Energiespektrum wird mit dieser Messung nicht erfaßt. Die korrespondierendeneindi-mensionalen Leistungsspektren,φrr undφtt , der radialen und transversalen Korrelationsfunktionen enthaltenBeitrage von Strukturen, deren Ausbreitungsrichtungennicht mit der der Messung ¨ubereinstimmen. Die Pro-jektionen dieser Strukturen auf die Meßrichtung lassen sich nicht von denen, die entlang der Meßrichtungorientiert sind, unterscheiden. Dieser Effekt wird als r¨aumlichesaliasingbezeichnet (Abb. 2.5).

Formal laßt sich dieser Zusammenhang ausdr¨ucken, indem das r¨aumliche Fourierintegral (2.8) auf eineDimension reduziert wird. Zugrunde liegt die Geometrie aus Abb. 2.1: Seir = (x1;0;0) und B11(r) =Brr (x1;0;0), dann gilt:

10 KAPITEL 2. STATISTIK DER INHOMOGENITATEN

Brr (x1;0;0) =

∞Z

∞

dK1 eiK1x1

" ∞x

∞dK2dK3 Φ11(K)

#| z

φrr (K1)

: (2.18)

φrr (K1) ist das eindimensionale Leistungsdichtespektrum vonBrr (x1). Φ11(K) ist eine Komponente desdreidimensionalen spektralen DichtetensorsΦik(K), der die skalare FunktionE(K) enthalt. Die Integrationder KomponenteΦ11(K) uber die zuK1 senkrechteK2K3-Ebene demonstriert den Aliasingeffekt. Die phy-sikalisch interessierende Information liegt in der spektralen DichteE(K), die kein Aliasing enth¨alt. Unterisotropen Bedingungen lassen sich die sonst komplizierten Zusammenh¨ange zwischenφrr (K), φtt(K) undE(K) einfach herstellen. Mit den in diesem Kapitel angef¨uhrten Beziehungen l¨aßt sich aus den durch eindi-mensionale Messungen gewonnenen Korrelationen und Spektren die dreidimensionale EnergiedichteE(K)

ableiten. Formal folgt mit Gl. (2.12) und (2.17) aus Gl. (2.18):

φrr (K1) =

∞x

∞dK2dK3 Φ11(K) (2.19)

=12

∞Z

K1

dKE(K)

K

1 K2

1

K2

:

Die untere Integrationsgrenze gibt den Integrationsbereich derjenigen RaumfrequenzenK > K1 des drei-dimensionalen Spektrums an, die f¨ur ein bestimmtesK1 zum eindimensionalen Spektrum beitragen. DieIntegration ergibt einen Ausdruck f¨ur E(K) als Funktion der meßbaren Funktionφrr (K1):

E(K) = K3 ddK

1K

dφrr (K)

dK

: (2.20)

Den funktionalen Zusammenhang der radialen und transversalen Spektren liefert Gl. (2.7). Die radialenund transversalen Korrelationsfunktionen unterscheiden sich, ihre Spektraldarstellung ist daher ebenfallsverschieden. Fouriertransformation von (2.7) ergibtφtt(K1) in Termen vonφrr (K1):

φtt(K1) =12

φrr (K1)K1

dφrr (K1)

dK1

: (2.21)

2.1.2 Temperaturfluktuationen

Die im letzten Abschnitt beschriebenen isotropen Beziehungen gestalten sich bei der Temperatur einfacher,da sie eine skalare Gr¨oße ist. Die Korrelationsfunktioneines turbulenten TemperaturfeldesT(r) =T0+T 0(r)ist durch das Ensemblemittel

BT(r) = hT(r1)T(r1+ r)i (2.22)

definiert.BT(r) gibt den Zusammenhang zwischen Temperaturschwankungen benachbarter Punkte des Ab-standesr an, womit Homogenit¨at der Statistik vorausgesetzt wird. F¨ur den Mittelwert gilt:hTi = 0. DieFouriertransformierte der Korrelationsfunktion ist das r¨aumliche SpektrumΦT(K):

2.2. DAS KOLMOGOROV-MODELL VOLLAUSGEBILDETER TURBULENZ 11

BT(r) =

∞Z

∞

d3K eiKr ΦT(K); ΦT(K) =1

(2π)3

∞Z

∞

d3r eiKr BT(r): (2.23)

ΦT(K) ist die spektrale Energiedichte bezogen aufK . Analog zu der Definition der spektralen EnergiedichteE(K) fur das Geschwindigkeitsfeld wird auch f¨ur das turbulente Temperaturfeld der Begriff einer spektralenEnergiedichteET(K) verwendet. ObwohlhT2i nicht die Dimension einer Energie hat, f¨uhrt man auch hierden Faktor 1=2 ein:

12

BT(0) =12hT2i= 1

24π

∞Z

0

dK K2ΦT(K); (2.24)

ET(K) = 2πK2ΦT(K): (2.25)

Wie im Fall eines Vektorfeldes l¨aßt sich fur skalare Gr¨oßen eine Beziehung zwischen r¨aumlichem und ein-dimensionalem Spektrum herleiten. Diese Beziehung ist vergleichsweise einfach, da die skalaren Korrela-tionen und spektralen Dichten nur von einer richtungsunabh¨angigen Komponente abh¨angen:BT(r) = BT(r)undΦT(K)=ΦT(K). Das eindimensionale SpektrumφT(K1) ist durch Integration ¨uber die zuK1 senkrechteEbene definiert, und mit (2.25) ergibt sich:

BT(x1) =

∞Z

∞

dK1 eiK1x1

" ∞x

∞dK2dK3 ΦT(K)

#| z

φT (K1)

; (2.26)

φT(K1) =

∞Z

K1

dKET(K)

K; (2.27)

ET(K) =Kd

dKφT(K): (2.28)

2.2 Das Kolmogorov-Modell vollausgebildeter Turbulenz

2.2.1 Lokale Homogenitat und Isotropie

In der Atmosph¨are treten aufgrund der Rauhigkeit der Erdoberfl¨ache turbulente Bewegungen in der boden-nahen Grenzschicht auf. Mit zunehmender H¨ohe wird die Turbulenzintensit¨at geringer und ab einer meteo-rologieabhangigen H¨ohe von rd. 1000 m [140] sind die Bodeneinfl¨usse vernachl¨assigbar, die Luftstr¨omungwird nahezu laminar (geostrophischer Wind).

Statistisch homogene und isotrope Felder, die durch die im letzten Abschnitt hergeleiteten Korrelationsfunk-tionen charakterisiert werden k¨onnen, beschreiben turbulente Strukturen der atmosph¨arischen Grenzschichtnur annahernd. F¨ur reale meteorologische Bedingungen treffen die dort gemachten Annahmen nicht zu,da den kurzzeitigen bzw. kleinr¨aumigen Schwankungen zeitlich und r¨aumlich großskalige Schwankungenuberlagert sind, deren Mittelwert stark vom Beobachtungszeitraum abh¨angt. Nur im inneren Bereich ei-ner Stromung sind die Fluktuationen unabh¨angig von der i. allg. anisotropen antreibenden Str¨omung. Nach

12 KAPITEL 2. STATISTIK DER INHOMOGENITATEN

[140] erstreckt sich der Bereich kleinr¨aumiger Turbulenz ¨uber Großenordnungen von 0.01 bis 100 m mitmittleren Lebensdauern von 1 bis 100 s. Ein Maß f¨ur die Ausbildung von Turbulenz in Scherstr¨omun-gen ist die Reynoldszahl:Re= vL=ν. An ihr laßt sich die Wirkung der Tr¨agheitskraft im Verh¨altnis zurReibungskraft ablesen. Hier istv die Stromungsgeschwindigkeit,L eine charakteristische L¨ange undν diekinematische Z¨ahigkeit. Wird die Str¨omung nachUberschreiten eines kritischen Wertes vonRe instabil,ubertragen die entstehenden großskaligen Turbulenzstrukturen ihre kinetische Energie auf immer kleinereWirbel (Energiekaskade), wobei es ¨uber einen großen Skalenbereich zur Ausbildung selbst¨ahnlicher Struk-turen kommt. Hier macht sich die Inkompressibilit¨at ausgebildeter Turbulenz bemerkbar. Die turbulenteBewegung erf¨ahrt keinen Verlust an kinetischer Energie durchUberfuhrung in Warme. Erst im Bereich sehrkleiner Skalen (molekularer Bereich) wird die Energie aufgrund der st¨arker ins Gewicht fallenden Visko-sitat (bei lokalen Reynoldszahlen im Bereich 1) dissipiert. Dieser Bewegungsablauf befindet sich in einemFließgleichgewicht: Die Bewegung einer turbulenten Str¨omung wird allein durch die bei großen Reynolds-zahlen eingespeiste kinetische EnergieEkin und die Zahigkeitν bestimmt. Zum Erhalt der Turbulenz bedarfes einer st¨andigen Zufuhr der mittleren kinetischen Energie der antreibenden Str¨omung um die Dissipationder Energie im viskosen Bereich zu kompensieren. Die Energiedissipationε ist daher eine charakteristischeGroße inkompressibler Turbulenz. Sie ist der Betrag der Energierate, der aufgrund der Viskosit¨at in Warmeumgewandelt wird.

Die Langenskala, auf der das oben beschriebene Fließgleichgewicht besteht, die Wirbelabmessungen al-so zwischen der f¨ur den nicht n¨aher beschrieben, weil individuell verschiedenen, Antrieb der Turbulenzund dem kleinskaligen viskosit¨atsdominierten Bereich liegen, wird alsinertial subrangebezeichnet. KOL-MOGOROV und OBUKHOV (1941) sowie unabh¨angig davon HEISENBERG [57] und WEIZSACKER [126]haben ausgehend von dem oben beschriebenen Bild einer Energiekaskade durch Wirbelzerfall, mit Hilfevon Dimensions¨uberlegungen eine Beschreibung der Turbulenz f¨ur den inertial subrangegegeben. Die-ses Turbulenzmodell, bei dem lokale Isotropie und Homogenit¨at vorausgesetzt wird, bezeichnet man alsKolmogorov-Modell oder auch Kolmogorov-Turbulenz.

Die statistische Charakterisierung der Geschwindigkeitsfluktuationen geschieht dabei mit Hilfe der Struk-turfunktion:

Dik(r1; r2) = h[vi(r1)vk(r2)]2i: (2.29)

Da hier nur die Differenz der Geschwindigkeiten zweier Raumpunkte eingeht, hat die Strukturfunktion dieWirkung eines r¨aumlichen Hochpasses, denn es tragen nur Fluktuationen, deren r¨aumliche Abmessungenkleiner als der Abstand der Raumpunkte sind, zur Berechnung bei.Dik(r1; r2) filtert tieffrequente Anteileder antreibenden Str¨omung heraus. Unter der Annahme der Homogenit¨at kann die Strukturfunktion durchdie Korrelationsfunktion ausgedr¨uckt werden:

Dik(r) = 2[Bik(0)Bik(r)] : (2.30)

2.2.2 Strukturfunktion und Spektrum der Geschwindigkeit

Die konkrete Herleitung der Strukturfunktion und des Spektrums der Geschwindigkeit iminertial subran-ge folgt der in [143] gegebenen Zusammenfassung der Kolmogorov-Turbulenz. Die Voraussetzung f¨ur dieangestellten Dimensions¨uberlegungen ist, daß die gesamte in der Turbulenz enthaltene mittlere kinetischeEnergie konstant ist. Die Turbulenz befindet sich in einem station¨aren Zustand. Ein Maß f¨ur die in der Tur-bulenz transportierte Energie ist die Energiedissipationsrateε. Obwohl die Dissipation von der Viskosit¨at

2.2. DAS KOLMOGOROV-MODELL VOLLAUSGEBILDETER TURBULENZ 13

verursacht wird, kann die Gr¨oßenordnung vonε allein durch die charakteristischen Gr¨oßen im Entstehungs-bereich der Turbulenz bestimmt werden. Solche Gr¨oßen sind die charakteristische L¨angeL0 (outer scale),die den Abmessungen der gr¨oßten Geschwindigkeitsfluktuationen imenergy subrange(r > L0) entspricht,die GeschwindigkeitvL0 dieser Fluktuationen und die Fluiddichteρ. Diese Großen bieten nur eine M¨oglich-keit die Dimension der Energiedissipationsrateε zu bilden:

ε =∂∂t

Ekin =(vL0)

3

L0

J

kgs

=

m2

s3

: (2.31)

NebenL0 gibt es eine weitere charakteristische Abmessungl0, die die untere L¨angenskala in dem Bereichzunehmenden viskosen Einflusses angibt. Turbulente Energie von Wirbeln mit Abmessungen unterhalb vonl0 wird in Warme umgewandelt (dissipation subrange).

Aufgrund der Voraussetzung, daß die kinetische Energie von großen Wirbeln verlustlos auf kleine ¨ubergeht,konnen die Eigenschaften lokaler Turbulenz f¨ur L0 > r > l0 nicht von der Zahigkeitν abhangen. Auf dieserAnnahme basiert das Turbulenzmodell von Kolmogorov und Obukov. Die Geschwindigkeitv(r) und damitdie Strukturfunktion h¨angt nur vonr und ε ab. Die einzig m¨ogliche Kombination vonr und ε mit derDimension einer Geschwindigkeit ist

v(r) ∝ (εr)13 : (2.32)

Die Geschwindigkeit ist der dritten Wurzel aus dem Abstandr proportional. Quadrieren von (2.32) ergibtdie Dimension des Geschwindigkeitsquadrates der Strukturfunktion, die mit

Drr (r) = (εr)23 ; ε

23 = C2

v

"m

43

s2

#; (2.33)

das 2/3-Gesetz lokaler Turbulenz ausdr¨uckt. Die dimensionsbehaftete Gr¨oßeε2=3 ist in der Literatur auchals Strukturkonstante oder StrukturparameterC2

v der Geschwindigkeit bekannt. Die in Abschnitt (2.1) her-geleiteten Beziehungen f¨ur die Korrelationsfunktion gelten wegen (2.30) ebenso f¨ur die Strukturfunktion.So konnenDtt(r) undDii (r) nach (2.7) und (2.14) berechnet werden:

Dtt(r) =43

C2vr

23 ; Dii (r) =

113

C2vr

23 : (2.34)

Fur das korrespondierende Spektrum ergibt sich

E(K) = 0:76C2vK

53 (2.35)

und damit fur die in den Ausdruck der dreidimensionalen spektralen DichteΦii (K) = 2F(K) eingehendeFunktion

F(K) = 0:061C2vK

113 : (2.36)

Der Beginn des dissipativen Bereichs wird durch die Gr¨oßenl0 und vl0 angegeben. Sie entsprechen denkleinsten Abmessungen und Geschwindigkeiten der turbulenten Str¨omung. Durch geeignete Kombinationder beteiligten Gr¨oßenε undν [m2s1] konnen die Gr¨oßen mit der Dimension L¨ange und Geschwindigkeitgebildet werden:

14 KAPITEL 2. STATISTIK DER INHOMOGENITATEN

l0 =4

rν3

ε; vl0 =

4p

εν: (2.37)

Mit ε nach (2.31) durchvL0 und L0 ausgedr¨uckt, lassen sich (2.37) durch die Reynoldszahl der ¨außerenStromung angeben:

l0 =L0

Re34

; vl0 =vL0

Re14

; mit Re=vL0L0

ν: (2.38)

2.2.3 Strukturfunktion und Spektrum der Temperatur

Fluktuationen von Skalaren wie der Temperatur, der Feuchte oder des Druckes entstehen, wenn Gradien-ten der jeweiligen Gr¨oße existieren, aufgrund turbulenter Durchmischung bei kleinen Diffusionskonstanten(konvektiver Transport). Da diese Gr¨oßen der turbulenten Bewegung folgen, werden sie in dieser Eigen-schaft auch als ‘passive Additive’ bezeichnet.

Wie beim Geschwindigkeitsfeld l¨aßt sich die Form der StrukturfunktionDT(r) der Temperaturfluktuatio-nen mit Hilfe der Dimensionsanalyse herleiten. Bei der Berechnung vonDT(r) gehen zus¨atzliche fur dieBewegung verantwortliche Gr¨oßen ein: der ParameterN in der antreibenden Str¨omung undχ im visko-sitatsdominierten Bereich. In Analogie zuε und ν beim Geschwindigkeitsfeld istN die Dissipation derTemperaturvarianz,N = ∂=∂t(hT2i=2) [K2s1], wahrendχ [m2s1] ein Maß fur die Dampfung dieser Fluk-tuationen ist (W¨armediffusionskoeffizient):N = χh(∂T=∂xi)

2i. Im BereichL0 > r > l0 hangtDT(r) nur vonr;ε undN ab und die einzig m¨oglichen Kombinationen aus diesen Gr¨oßen fur T(r) undDT(r) sind:

T(r) ∝

Nε13

12r

13 ; (2.39)

DT(r) = Nε13 r

23 ; Nε

13 = C2

T

K2

m23

; (2.40)

wobeiC2T der Strukturparameter der Temperatur ist. Er gibt die Turbulenzintensit¨at der Temperaturfluktua-

tionen an. Im Vergleich zuC2v tritt in diesem Parameter nebenε nochN als weitere die Turbulenz kennzeich-

nende Gr¨oßen auf. Die dreidimensionale spektrale Leistungsdichte ergibt sich zu

ΦT(K) = 0:033C2TK

113 : (2.41)

Die Großenordnung der kleinsten FluktuationenTl0 mit den entsprechenden Abmessungenl0 hangt vonr;ε;N undχ ab. Die Kombinationen ergeben:

l0 =4

rχ3

ε; Tl0 =

4

rχN2

ε: (2.42)

2.3 Reale Turbulenzspektren

Die Entstehung lokal isotroper Turbulenz h¨angt von der Reynoldszahl der ¨außeren Str¨omung ab. Ist dieReynoldszahl gen¨ugend groß, wird derdissipation subrangevom energy subrangedurch deninertial sub-rangesepariert. Die alsouter scaleeingefuhrte charakteristische L¨angeL0 ist in der Großenordnung der

2.3. REALE TURBULENZSPEKTREN 15

großten imenergy subrangedes Spektrums auftretenden Geschwindigkeitsfluktuationen. Sie entspricht denraumlichen Abmessungen auf denen sich die antreibende Str¨omung wesentlich ¨andert. In diesem Bereichgroßer Skalen wird das Maximum der spektralen Dichte der kinetischen EnergieE(K) durchL0 angezeigt.

Die Bewegungsvorg¨ange der atmosph¨arischen Turbulenz sind im wesentlichen eine Funktion der H¨ohe. Ob-wohl die Strukturparameter innerer Turbulenz in der theoretischen Beschreibung Konstanten sind, gilt diesnaherungsweise nur f¨ur eine Hohenschicht. Die StrukturparameterC2

v undC2T werden somit zu h¨ohenabh¨an-

gigen Parametern der atmosph¨arischen Grenzschicht, die sich aus der Messung des Turbulenzspektrumsbestimmen lassen. Die Absch¨atzung der L¨angenskalenL0 erfolgt aus dem Maximum beiKL0 am tieffre-quenten Ende des Spektrums. Das so f¨ur eine Hohe bestimmteL0 kann jedoch nicht gr¨oßer als die H¨oheselber sein, da sich eine Wirbelkaskade erst bei Wirbelgr¨oßen kleiner als der Bodenabstand einstellen kann.

Ein Modell fur das gesamte Spektrum atmosph¨arischer Turbulenz stellt das Von-K´arman-Spektrum dar. Esumfaßt alle angef¨uhrten Spektralbereiche:

E(K) = E(KL0)2176

K

KL0

4"

1+

K

KL0

2#

176

e

K2Kl0 : (2.43)

KL0 = 2π=L0 bezeichnet denUbergang vominertial subrangezum energy subrange. Am hochfrequentenEnde wird derUbergang zumdissipation subrangedurchKl0 = 2π=l0 gekennzeichnet.

2.3.1 Bestimmung der spektralen Dichte der kinetischen EnergieE(K) und des StrukturparametersC2

v aus gemessenen Windzeitreihen

Die statistischen StrukturparameterC2v undC2

T sind freie Parameter des Kolmogorov-Spektrums, sie sindein Maß fur die Starke der Turbulenz. Der Verlauf dieses Spektrums ist durch den charakteristischenK5=3

Abfall im inertial subrangegekennzeichnet. Es beschreibt raumf¨ullende intermittenzfreie Turbulenz. Manerhalt die Strukturparameter ¨uber dieubliche doppeltlogarithmische Darstellung als Schnittpunkt des asym-ptotisch verlangerten Spektrums mit der Ordinate (Abb. 2.6).

K

E(K)

inertialsubrange

energysubrange

dissipationsubrange

K K ln

ln

E(K)~K -5/3

L0 l0

Abbildung 2.6:In einer doppeltlogarithmischenDarstellung erh¨alt man die Strukturparameter alsOrdinatenabschnitt. Die Messung des Streuquer-schnitts ergibt ebenfalls die Strukturparameter,wenn die Skalen der streuenden Wirbel innerhalbvonKL0 undKl0 liegen (s. Abschnitt 3.4).

16 KAPITEL 2. STATISTIK DER INHOMOGENITATEN

In diesem Abschnitt wird gezeigt, wie sich der TurbulenzstrukturparameterC2v aus gemesssenen Windzeit-

zeihen ergibt. Die hier vorgestellten Windgeschwindigkeitszeitreihen entstammen Messungen, die w¨ahrendeines Schallausbreitungsexperimentes an der Universit¨at Oldenburg zur Erstellung von Referenzdaten auf-genommen wurden. Die Zeitsignaleder Windgeschwindigkeitskomponentenwurden mit einem Ultraschalla-nemometer in einer H¨ohe von 10 m aufgezeichnet.

Den theoretischen Hintergrund liefern Abschnitt 2.1.1 und 2.2.2. Aus eindimensionalen Spektren kann diespektrale Dichte berechnet werden. Liegt ein Kolmogorov-Spektrum vor, ist die Bestimmung des Struktur-parameters m¨oglich.

2.3.1.1 Radiale und transversale Geschwindigkeitskomponenten

Das Ziel ist zun¨achst die Berechnung der eindimensionalen Spektrenφrr undφtt . Die Statistik basiert aufEnsemblemittelungen, d. h. es wird ¨uber alle raumlich realisierten Zust¨ande gemittelt. Die Vermessung vonWindfeldern erfolgt jedoch meist mit station¨aren Meßf¨uhlern, die das an einem festen Ort vorbeigetrageneWindfeld als Funktion der Zeit aufzeichnen. Unter der, in der Literatur unter Taylor-Hypothese bekanntenVoraussetzung, daß sich die Feldstruktur zeitlich nicht ¨andert, gibt es einen linearen Zusammenhang zwi-schen dem dargestellten Zeitraum und dem entsprechenden Laufweg: Befindet sich ein Meßpunkt innerhalbeines mit einer konstanten mittleren Geschwindigkeitv bewegten Feldes, werden Geschwindigkeits¨ande-rungen auf dem Wegr entlang einer Linie in Richtung des mittleren Windes gemessen. Mit der Substitutionr = vt ergibt sich die Windgeschwindigkeit als Funktion des Ortes:

v(t) = v r

v

! v(r): (2.44)

Das raumliche Spektrum ist entsprechend gegeben durch

V( f ) =v

2πV

Kv2π

!V(K): (2.45)

Ausgehend von einer bewegten, zeitlich konstanten r¨aumlichen Struktur, kann die Ensemblemittelung durcheine Einpunkt-Zeitmittelung ersetzt werden. Es gelten die Beziehungen (2.44) und (2.45). Aus dieser ein-dimensionalen Funktion des Ortes k¨onnen Korrelationsfunktion und spektrale Leistungsdichte bestimmtwerden:

v(r)AKF! B(r)

F!= φ(K): (2.46)

Unter der Annahme, daß der Windgeschwindigkeitsvektor in Form des Betrages des horizontalen Windvek-torsvhor, der vertikalen Windkomponentevz und der horizontalen WindrichtungWRals Zeitreihe vorliegt,ist zunachst die Bestimmung der mittleren WindrichtungWRnotwendig. Die Festlegung der Koordinatenradialer und transversaler Windkomponenten erfolgt dann bez¨uglich dieser ¨uber den Meßzeitraum gemit-telten horizontalen Windrichtung entlang des Wegesr . Gemaß der Geometrie zur Messung radialer Kor-relationsfunktionen (Abb. 2.1) wird die radiale Windkomponentevr durch die Projektion des horizontalenWindvektorsvhor auf die mittlere Windrichtung, die der Meßrichtung entspricht, gebildet. Die transversa-len Geschwindigkeitskomponenten sind demnach durch die horizontale Komponente des Windvektorsvt

senkrecht zu dieser Richtung und die vertikale Kommponentevz gegeben (s. Abb. 2.7). Die Komponentenberechnen sich daher wie folgt:

2.3. REALE TURBULENZSPEKTREN 17

x

y

vr

v t

mittlere Windrichtungv

vr = radiale Windkomponente

= transversale Windkomponente

v = aktueller Windvektor

Windgeschwindigkeits-messung mit Ultraschall-anemometer vt

hor

horWR

Abbildung 2.7:Skizze zur Bestimmung der radialen und transversalen Windkomponentenaus den Meßdatendes Ultraschallanemometers, des Betrages des horizontalen Windvektorsvhor und der WindrichtungWR.Die radiale Windkomponente zeigt in Richtung des mittleren Windes.

WR = arctan

∑vyi

∑vxi

vri (r) = jvhori jcos

WRi WR

vti (r) = jvhori jsin

WRiWR

(2.47)

vzi (r) = vzi

vr =1N

N

∑i=1

vri :

Die aus einer Messung der Windgeschwindigkeit mit einem Ultraschallanemometer berechneten Windkom-ponenten nach Gl. (2.47) sind in Abb. 2.10 auf Seite 21 abgebildet. Die Dauer des dargestellten Zeitinter-valls von 23 Minuten entspricht bei der Abtastfrequenz des Ultraschallanemometers von 1.04 HzN = 1409Werten mit∆t = 0:96 s bzw.∆s= 0:77 m. An der Ortskoordinate, in Abb. 2.10 oben, sind die Abst¨andeabzulesen, auf denen sich die Geschwindigkeit ¨andert. Die mittlere Ausbreitungsgeschwindigkeitvr be-tragt 0.8 m/s, die Mittelwerte der transversalen Geschwindigkeiten sind nahezu null. Die Schwankungender Windrichtung um die mittlere Richtung gibt Abb. 2.10 (unten) wieder, die Standardabweichung betr¨agt31:34.

2.3.1.2 Eindimensionale Spektren

Die Berechnung der radialen und transveralen Spektren wird mit der zu (2.46) ¨aquivalenten Methode ¨uberdas Amplitudenspektrum durchgef¨uhrt:

18 KAPITEL 2. STATISTIK DER INHOMOGENITATEN

K3

K1

K2

φrr

φ tt

φzz

Abbildung 2.8:Raum orthogonaler eindi-mensionaler Spektren berechnet aus denGeschwindigkeitskomponentenvr , vt undvz entlang des Wegesr . Die Orientierungdes Koordinatensystems ist so gew¨ahlt, daßdieK1-Koordinate mit der mittleren Wind-richtungubereinstimmt.

v(r)F!V(K)! V(K)V?(K)

∆K= φ(K): (2.48)

Das aus dem Amplitudenspektrum ermittelte Leistungsspektrum ergibt bezogen auf den Linienabstand∆Kdas eindimensionale Leistungsdichtespektrumφ(K). Auf diese Weise werden alle Komponenten berechnet:

vr(r) ! φrr (K) = φ11(K1)

vt(r) ! φtt(K) = φ22(K1) (2.49)

vr(r) ! φzz(K) = φ33(K1):

Eineubliche Festlegung der Koordinaten erfolgt mit (2.49) imK-Raum so, daß dieK1-Komponente mit derRichtung des Abstandsvektors, hier konkret mit der mittleren Windrichtung, ¨ubereinstimmt (Abb. 2.8). Sowird das radiale Spektrum mitφrr (K) = φ11(K1) bezeichnet, die orthogonalen Spektren entspechend wie in(2.49). Die aus 12 linearen Mittelungen berechneten eindimensionalen Spektren sind in Abb. 2.11 (unten)und Abb. 2.12 dargestellt. Aus einer linearen Regression ¨uber den Frequenzbereich iminertial subrangeergibt sich fur φrr eine Steigung vonα = 1:64, womit der typischeK5=3 Abfall eines Kolmogorov-Spektrums gut angen¨ahert ist. Die Berechnungen der Steigungen der transversalen Spektren ergeben etwasgroßere Werte: f¨ur φtt ergibt sich eine Steigung vonα = 1:74 und fur φzz eine noch etwas gr¨oßere vonα = 1:83. Die Abweichungen der Steigungen von5=3 deuten darauf hin, daß die gemachten Vorausset-zungen nicht vollst¨andig gegeben sind. Eine Ursache w¨are z. B. nicht voll ausgebildete Turbulenz aufgrundvon Bodeneinfl¨ussen. Weiterhin kann die Anzahl der f¨ur die Spektren vorgenommenen Mittelungen infol-ge zu kurzer Zeitintervalle eine Rolle spielen, da der zeitliche Mittelwert nur bei gen¨ugend langen Mitte-lungszeiten gegen den Ensemblemittelwert konvergiert. Die L¨ange der gemittelten Abschnitte betr¨agt hier1:54 Minuten und der resultierende Linienabstand∆K = 0:071 m1.

2.3.1.3 Spektrale DichteE(K) undC2v

Die Zeitreihen in Abb. 2.10 geben einen eindimensionalen Schnitt durch eine r¨aumliche Struktur wieder.Ihre Spektren enthalten daher wie in Abschnitt 2.1.1 beschrieben r¨aumliches Aliasing. Von diesem Effekt

2.3. REALE TURBULENZSPEKTREN 19

befreit ist die auf die Fl¨ache einer Kugel des RadiusK bezogene EnergiedichteE(K), die meßtechnischnicht zuganglich ist. Ihre Berechnung ist mit der in Abschnitt 2.1.1 hergeleiteten Beziehung (2.20) zwischenφrr (K) undE(K)moglich, wobei fur das gemessene eindimensionale Spektrum der durch lineare Regressionangepaßte analytische Ausdruckφrr (K) = ebKα eingesetzt wird. Hier istb der Achsenabschnitt undα dieSteigung. Graphisch repr¨asentiert istE(K) in Abb. 2.11 (unten).

Neben dieser Methode kannE(K) auchuber die Beziehung

Bii (x1;0;0) =

∞Z

∞

dK1 eiK1x1

( ∞x

∞dK2dK3 [Φ11(K)+Φ22(K)+Φ33(K)]

)| z

φii (K1)=φ11(K1)+φ22(K1)+φ33(K1)

(2.50)

bestimmmt werden. Hier istφii (K1) die Summe der orthogonalen eindimensionalen Spektren entlang einerRaumrichtung. Sie sind aus der Messung bekannt und entsprechen den aus den Radial- und Transversal-komponenten der Geschwindigkeit berechneten Spektren in (2.49). Die Richtungsabh¨angigkeit der Diago-nalfunktionen vonΦik(K) hebt sich in der Spur als Konsequenz der geforderten Symmetriebedingung auf(s. Abschnitt 2.1.1). Mit Gl. (2.17) ergibt sich:

Φii (K) = Φ11(K)+Φ22(K)+Φ33(K) =E(K)

2πK2 :

Die Summe der Diagonalelemente stellt die kinetische Energie bei einem WellenvektorK dar und geht alsskalare Gr¨oße in (2.50) ein. Die Berechnung des Integrals ergibt:

E(K) =Kd

dKφii (K1): (2.51)

Die Summe der eindimensionalen Funktionenφii (K1) ist gemeinsam mit der durch (2.51) berechneten Funk-tion E(K) im oberen Bild von Abb. 2.11 dargestellt. Die zuletzt zur Bestimmung vonE(K) angefuhrte Me-thode kann als Nachweis der hier angenommenen Isotropie- und Inkompressibilit¨atsbedingungen benutztwerden. Daφii = φrr +2φtt und weiterhin die Beziehung (2.21) gilt, muß die Messung die Bedingung

E(K) =Kd

dKφii (K1) = K3 d

dK

1K

dφrr (K)

dK

erfullen. Liegt die FunktionE(K) vor, kann daraus der Strukturparameter der WindgeschwindigkeitC2v

bestimmt werden. Mit den hier angef¨uhrten Methoden ergibt sich:

φrr (K1) ! E(K) = 0:76C2vK1:64!C2

v = 0:060m

43

s2 ;

φii (K1) ! E(K) = 0:76C2vK1:73!C2

v = 0:053m

43

s2 :

Bei der Berechnung vonC2v ergeben sich Unterschiede von 11.6%, die sich prim¨ar aus der bereits erw¨ahnten

Abweichung der Steigungen der transversalen Spektren vom theoretischen Wert von -5/3 erkl¨aren lassen.Fur φii (K1) ergibt sich eine etwas gr¨oßere Steigung vonα =1:74 im Vergleich zum radialen Spektrum mitα = 1:64. Literaturvergleichswerte aus Messungen vonC2

v sind bei BROWN & H ALL [20] zu finden. Alstypischen Tageswert f¨urC2

v in einer Hohe von 12.5 m geben sie 0.1 m4=3s2 an. Damit ist dieser Literaturwert

20 KAPITEL 2. STATISTIK DER INHOMOGENITATEN

ca. doppelt so groß wie der gemessene, was durchaus plausibel ist, da die mittlere Windgeschwindigkeitwahrend der Messung mit 0.8 m/s außerordentlich gering war.

Eine abschließendeUbersichtuber dieses Kapitel gibt Abb. 2.9. Unter der Voraussetzung von Homoge-nitat und Isotropie lassen sich die resultierenden Beziehungen anwenden, um aus gemessenen eindimen-sionalen Spektren die Strukturparameter r¨aumlicher Turbulenz zu gewinnen. In den Kapiteln 3 und 4 wirdbeschrieben, wie diese Strukturparameter ¨uber die Intensit¨at von an Turbulenz gestreuten Schallimpulsenbestimmbar sind.

Messung 1-dim: v2(r1) v2(r1+ r) v1(r1) v1(r1+ r) vi(r1) vi(r1+ r)

6 6

- -

6 6

3

3

- --

r-

r-

r

? ? ?

Korrelationsfunktionen Btt(r) Brr (r) Bii (r)

? ? ?

1-dim spektraleDichte [m3/s2]

φtt(K) = φtt(φrr) ! φrr (K) φii (K)

? ?

3-dim Dichte der kin.Energie [m3/s2]

E(K) = K3 ddK

h1K

dφrr (K)dK

iE(K) =K d

dK φii (K)

? ?

3-dim Energiedichtebezogen auf Kugel-schale [m5/s2]

Φii (K) = E(K)2πK2

Abbildung 2.9:Uberblickuber die in diesem Kapitel hergeleiteten Relationen im Zusammenhang mit ver-schiedenen Meßkonfigurationen. Nur im Fall isotroper und homogener Turbulenz lassen sich einfache Re-lationen zwischen r¨aumlichen Spektren und eindimensionalen Korrelationsmessungen herleiten.

2.3. REALE TURBULENZSPEKTREN 21

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

0 200 400 600 800 1000v r

[m/s

]

t [s]

r [m]

Mittelwert vr = 0.8 m/s

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

v t [m

/s]

t [s]

Mittelwert vt = 0.0 m/s

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

v z [m

/s]

t [s]

Mittelwert vz = 0.04 m/s

150

200

250

300

350

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

Win

dric

htun

g [G

rad]

t [s]

mittl. Windrichtung = 256 Grad

Abbildung 2.10:Mit einem Ultraschallanemometer gemessene Windkomponenten f¨ur einen Zeitraum von23 Minuten, von oben: Radialkomponentevr bezuglich mittlerer Windrichtung in der horizontalen Ebe-ne, Transversalkomponentevt dieser Richtung und die vertikale Komponentevz. Im unteren Bild ist dieSchwankung der Windrichtung dargestellt.

22 KAPITEL 2. STATISTIK DER INHOMOGENITATEN

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.1 1 10

PS

D [m

3 /s2 ]

K [1/m]

∝ K-1.74

φii(K) 1-dim

φii(K) -fit

spektrale Dichte E(K)

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.1 1 10

PS

D [m

3 /s2 ]

K [1/m]

∝ K-1.64

φrr(K) 1-dim

φrr(K) -fit

spektrale Dichte E(K)

Abbildung 2.11:Aus 12 linearen Mittelungen berechnete Spektren (Linienabstand∆K = 0:071m1). Oben:φii = φ11+ φ22+ φ33, unten:φrr = φ11. Dargestellt ist auch jeweils die aus diesen Funktionen berechne-te FunktionE(K) nach (2.51) bzw. (2.20). PSD bezeichnet die spektrale Leistungsdichte(Power SpectralDensity).

2.3. REALE TURBULENZSPEKTREN 23

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.1 1 10

PS

D [m

3 /s2 ]

K [1/m]

∝ K-1.74

φtt(K) 1-dim

φtt(K) -fit

0.0001

0.001

0.01

0.1

1

10

0.1 1 10

PS

D [m

3 /s2 ]

K [1/m]

∝ K-1.83

φzz(K) 1-dim

φzz(K) -fit

Abbildung 2.12:Eindimensionale Spektren, oben:φtt = φ22, unten:φzz= φ33.

24 KAPITEL 3. STREUUNG VON SCHALL AN INHOMOGENITATEN

3 Streuung von Schall an Inhomogenit¨aten

Die klassische Beschreibung von Schallwellen in einem inhomogenen Medium basiert auf zwei grundle-genden N¨aherungen. Erstens, die Dichte¨anderungen im Schall repr¨asentieren einen adiabatischen Prozeß, d.h. die Entropie jedes Fluidelementes bleibt konstant. Zweitens, die Turbulenz ist inkompressibel.

Diese Naherungen implizieren weitere Annahmen. Die Zustands¨anderungen in der Schallwelle verlaufenso schnell, daß die Dynamik und der thermodynamische Zustand des Fluids w¨ahrend des Schalldurchgangsals zeitlich ‘eingefroren’ betrachtet werden kann, was bedeutet, daß die totalen Zeitableitungen der turbu-lenten Felder verschwinden. Diese bereits als Taylor-Hypothese eingef¨uhrte Voraussetzung erm¨oglicht dieSeparation der turbulenten von der akustischen Geschwindigkeit. Es findet keine Kopplung statt, da sowohlturbulente Schallerzeugung als auch eine St¨orung der turbulenten Str¨omung durch den Schall ausgeschlos-sen wird.

Die adiabatische Beschreibung des Schalls ist in der Regel g¨ultig, jedoch im unteren und oberen Spektrumnicht mehr anwendbar. Sie wird bei Infraschall durch den zunehmenden Einfluß der W¨armeleitfahigkeitbegrenzt, im Ultraschallbereich wird eine Grenze der Ausbreitung durch molekulare Absorbtion erreicht.

Schallausbreitung in der turbulenten Atmosph¨are wird durch Gr¨oßen wie Inhomogenit¨aten der Schallge-schwindigkeit bzw. der Temperatur, der Dichte und der Geschwindigkeit beeinflußt. Eine der wichtigstenin der Literatur vorkommenden theoretischen Beschreibungen der Effekte von Temperatur und Windge-schwindigkeit ist durch die von TATARSKII [143] angegebene Gleichung gegeben. Die Streuung von Schallan Inhomogenit¨aten der Dichte und der Kompressibilit¨at ist in den Monographien von MORSE& I NGARD

[139] und SKUDRZYK [142] beschrieben. Eine allgemeinere, derzeit aktuellste Formulierung der Theoriewird von OSTASHEV [99] prasentiert. Mit einer beliebigen Zustandsgleichungwird die Streuung an Inhomo-genitaten der Schallgeschwindigkeit, der Dichte, der Mediumgeschwindigkeit und erstmals an der Feuchteberechnet.

Die hier angef¨uhrten Gleichungen und deren L¨osungen werden kurz dargestellt, wobei insbesondere dieWirkung der am Streuprozeß beteiligten Gr¨oßen unterschiedlichen tensoriellen Charakters auf die Richtcha-rakteristik am Beispiel der Tatarskii-Gleichung verdeutlicht wird. Die Richtungsabh¨angigkeit der Streuungresultiert zum einen aus der Ordnung der Ableitung, mit der die inhomogenen Terme in die Wellengleichun-gen eingehen, zum anderen aus den statistischen Eigenschaften, da die Komponenten der tensorwertigenKorrelations- und Spektraldichtefunktionen rotationsvariant sind.

3.1 Wellengleichungen

Ausgangspunkt f¨ur die Herleitung der Wellengleichung, die die Ausbreitung von Schall in einem inhomo-genen Medium beschreibt, ist ein System hydrodynamischer Gleichungen:

∂w∂t

= (w ∇)w1ρ

∇p (3.1)

∂ρ∂t

=∇ (ρw) (3.2)

p= RρT (3.3)

dSdt

=∂S∂t

+(w ∇)S= 0 (3.4)

S= cv ln pcp lnρ+S0: (3.5)

3.1. WELLENGLEICHUNGEN 25

Die Impulsbilanz wird durch die Euler-Gleichung (3.1) beschrieben, da f¨ur die Beschreibung der Schallaus-breitung die Viskosit¨at vernachl¨assigbar ist. Die Massenbilanz wird durch die Kontinuit¨atsgleichung (3.2)beschrieben.w ist das Geschwindigkeitsfeld,ρ die Dichte undp der Druck. Fur ein ideales Gas, das imweiteren vorausgesetzt wird, gibt Gl. (3.3) den Zusammenhang zwischen Druck und Dichte an. Da in einemidealen Gas (Luft) im Vergleich zur W¨armeleitung die Ausbreitung der Dichteschwankungen beim Schallsehr schnell abl¨auft, handelt es sich um eine adiabatische Zustands¨anderung. Diese zeitliche Konstanz derEntropie ist in Gl. (3.4) ausgedr¨uckt. Gl. (3.5) ist ein Ausdruck f¨ur die Entropie eines idealen Gases. Wieschon bei der Bewegungsgleichung wird auch hier die Z¨ahigkeit und dar¨uberhinaus auch die W¨armeleitungvernachlassigt.

Die Gl. (3.1) bis (3.5) bilden ein vollst¨andiges Gleichungssystem. Die EntropieS und die Dichteρ wer-den mit Hilfe der Zustandsgleichungen (3.3) und (3.5) eliminiert. Gl. (3.5) in (3.4) eingesetzt ergibt denZusammenhang zwischen Druck und Dichte bei adiabatischen Zustands¨anderungen:

γρ

dρdt

=1p

dpdt

; mit γ =cp

cv: (3.6)

cp und cv sind die spezifischen W¨armekapazit¨aten, die in diesem Fall als konstant angenommen werden.Indem man das Adiabatengesetz auf das ideale Gas anwendet, ergibt sich

∂p∂ρ

S= γ

∂p∂ρ

T= γRT=

γpρ: (3.7)

(∂p=∂ρ)S ist aber definitionsgem¨aß das Quadrat der Schallgeschwindigkeitc, d. h. mit Gl. (3.3) gilt:

c2 def=

∂p∂ρ

S=

γpρ: (3.8)

Mit Gl. (3.8) und (3.6) gehen die Euler- und die Kontinuit¨atsgleichung ¨uber in

∂w∂t

=(w ∇)wc2

γp∇p; (3.9)

∇ w =1ρ

∂ρ∂t

+(w ∇)ρ=

1γp

∂p∂t

+(w ∇)p

; (3.10)

womit sich ein vollstandiges System f¨ur die Variablenp undw ergibt.

3.1.1 Wellengleichung f¨ur inhomogene Temperatur- und Geschwindigkeitsfelder

Die Grundgleichungen (3.9) und (3.10) sind nichtlinear und erfassen auch Schallwellen mit großen Am-plituden. Da Schall als kleine St¨orung mit gegen¨uber dem Medium kleinen Wechselgr¨oßen aufgefaßt wird,wird eine Storungsrechnung, bei der alle Felder als Summe eines akustischen und eines turbulenten Anteilsauftreten, durchgef¨uhrt. Dazu wird in den Gl. (3.9) und (3.10) die Variablep geschrieben alsp= pt + p. Hierist pt der turbulente Druck und ˜p der akustische Wechselanteil. Entsprechend wird das Geschwindigkeits-feld w aufgespalten:w= v+u, wobeiv das turbulente Geschwindigkeitsfeld undu die Schnelle bezeichnet.In der Form

∂∂t(v+u) = [(v+u) ∇] (v+u)

c2

γ1

pt + p∇(pt + p) (3.11)

26 KAPITEL 3. STREUUNG VON SCHALL AN INHOMOGENITATEN

und

∇ (v+u) =1γ

1pt + p

∂∂t(pt + p)+ [(v+u) ∇] (pt + p)

(3.12)

konnen diese Gleichungen linearisiert werden. Da der Schalldruck klein gegen den turbulenten Druck ist,werden die kleinen akustischen Gr¨oßen h¨oherer Ordnung vernachl¨assigt. Diese N¨aherung f¨uhrt auf 1=(pt +

p) 1=pt(1 p=pt). Wird weiterhin turbulente Schallerzeugung ausgeschlossen(dv=dt= 0), der turbulenteDruck pt naherungsweise konstant gesetzt und f¨ur das turbulente Geschwindigkeitsfeld die Annahme derInkompressibilitat gemacht(∇ v = 0), ergibt sich folgendes linearisiertes Gleichungssystem:

∂u∂t

= c2∇p

γpt (v ∇)u (u ∇)v (3.13)

∇ u =∂∂t

pγpt

+(v ∇)p

γpt: (3.14)

Die Forderung einer station¨aren Str¨omung ergibt f¨ur eine akustische Welle mit der Frequenzω=2π eineZeitabhangigkeit in der Formeiωt . Dahinter steckt die Annahme, daß sich das Geschwindigkeitsfeld f¨ur dieZeit des Schalldurchgangs nicht ¨andert. Wird die Temperatur in einen Gleich- und einen SchwankungsanteilT = T0+T 0 aufgespalten, l¨aßt sich die Schallgeschwindigkeit zu

c2 = γRT0

1+

T 0

T0

= c2

0

1+

T 0

T0

(3.15)

umformen. Eliminierung der Schnelleu mit Hilfe der linearisierten Euler-Gleichung aus der Kontinuit¨ats-gleichung fuhrt auf

1iω

∇ c2

0∇p

γpt+c2

0T 0

T0∇

pγpt

+(v ∇)u+(u ∇)v= iω

pγpt

+(v ∇)p

γpt: (3.16)

Mit der Naherungu (c0=iω)(∇p=γpt) ergibt sich nach Multiplikationmitk2 = ω2=c20 die aus der Literatur

bekannte Tatarskii-Gleichung:

∇2 pγpt

+k2 pγpt

= ∇

T 0

T0∇

pγpt

2iω

∇

v ∇

∇p

γpt

: (3.17)

3.1.2 Inhomogenitaten der Dichte und der Kompressibilitat

Bei der Herleitung der Tatarskii-Gleichung wurde der turbulente Druckpt als konstant angenommen, alsoauch die durch

κ =1ρ

∂ρ∂p

S=

1ρc2 )

1γpt

= const (3.18)

definierte adiabatische Kompressibilit¨at, dort angewandt auf ein ideales Gas. Um die Effekte von Inho-mogenitaten der Kompressibilit¨at und der Dichte auf die Schallstreuung zu untersuchen, wird wieder vonden linearisierten Gl. (3.13) und (3.14) ausgegangen. F¨ur v = 0 ergibt die Kombination der Divergenz anGl. (3.13) und der zeitlichen Ableitung von (3.14) die Wellengleichung

3.1. WELLENGLEICHUNGEN 27

∇ c2∇

p

γpt

∂2

∂t2

p

γpt

= 0: (3.19)

Bei der Herleitung der Tatarskii-Gleichung gingen in die Euler- und Kontinuit¨atsgleichung sowohl adiaba-tische Zustands¨anderungen als auch die adiabatische Schallgeschwindigkeit eines idealen Gases ein: Dieadiabatische Zustandsgleichung eines idealen Gases (3.6) wurde benutzt, um die Dichte¨anderungen in (3.2)zu eliminieren, die Gl. (3.8) ersetzt den Ausdruck 1=ρ in (3.2).

Fuhrt man den ¨uber die Beziehung (3.7) gewonnenen Ausdruckc2=γpt im ersten Term von (3.19) zur¨uck aufρt und den Ausdruck 1=γpt des zweiten Terms, so folgt daraus eine allgemeinere Form der Wellengleichung:

∇

1ρt

∇p

1ρtc2

∂2 p∂t2 = 0: (3.20)

Diese Gleichung enh¨alt Terme der Inhomogenit¨aten der Dichte und der Kompressibilit¨at. Im Fall kleinerSchwankungen k¨onnen auf beiden Seiten die entsprechenden Terme f¨ur das homogene Medium, 1=ρ0∇2pκ0(∂2p=∂t2), addiert werden. Multipliziert man noch mitρ0, ergibt sich in zeitunabh¨angiger Form:

∇2pk2p= k2

κt κ0

κ0

p+∇

ρt ρ0

ρt

∇p

: (3.21)

Fur v = 0 unterscheidet sich diese Gleichung von der Tatarskii-Gleichung formal um einen weiteren Term.

3.1.3 Eine universelle Wellengleichung

Die von Ostashev hergeleitete Wellengleichung enth¨alt Inhomogenit¨aten der Schallgeschwindigkeit, derDichte und der Mediumgeschwindigkeit:

∇2p+k2 p = k2

c20c2

c2

p+

∇ ln

ρt

ρ0

∇p (3.22)

+2iω

∂∂xj

vi∂2

∂xi∂xjp

2ikc0

v ∇p+ρt(iωv ∇)Q:

Der Ausdruck(c20 c2)=c2 ist die Abweichung des Quadrats des Brechungsindex von 1 im unbewegten

Medium.ρ0 ist der Mittelwert der turbulenten Dichteρt undQ ist eine Massenquelle. ˜p undQ hangen nichtvon der Zeit ab. Diese Gleichung soll einen erweiterten Anwendungsbereich haben, als die bis dahin in derTheorie der Schallausbreitung in einem turbulenten Medium gebr¨auchlichen. Sie erlaubt die Beschreibungder Schallstreuung durch Feuchteinhomogenit¨aten in der Atmosph¨are. Inhomogenit¨aten der Temperatur undder Wasserdampfkonzentration im Medium sind im Schallgeschwindigkeits- und Dichteterm enthalten. Mitc= c0+c0, ρt = ρ0+ρ0, T = T0+T 0 undC= C0+C0 werden die Ausdr¨ucke

2c0

c0= βc

T 0

T0ηcC0; (3.23)

ln

ρt

ρ0

=

ρ0

ρ0= βρ

T 0

T0ηρC0 (3.24)

28 KAPITEL 3. STREUUNG VON SCHALL AN INHOMOGENITATEN

eingefuhrt, wobei fur die Koeffizienten

βc = 2T0

c0

∂c∂T

; βρ =T0

ρ0

∂ρt

∂T; (3.25)

ηc =2c0

∂c∂C

; ηρ =1ρ0

∂ρt

∂C(3.26)

gilt. C gibt die Konzentration einer Komponente, also das Verh¨altnis der Dichte dieser Komponente zu derdes reinen Mediums an. F¨ur Wasserdampf giltC = ρv=ρa, wobeiρv undρa die Dichten von Wasserdampfbzw. trockener Luft sind.

3.2 Diskussion der Streuterme

Die Terme auf der rechten Seite der hier angef¨uhrten Wellengleichungen enthalten r¨aumliche Inhomoge-nitaten und deren r¨aumliche Ableitungen. Es treten Ableitungen bis maximal zweiter Ordnung auf. H¨ohereAbleitungen fallen weg, da — aufgrund der in den akustischen Variablen vorgenommenen Linearisierung —in den Grundgleichungen, der Euler- und der Kontinuit¨atsgleichung, keine Abh¨angigkeiten mit Ableitungenhoher als erster Ordnung auftreten:

∇2 pγpt

+k2 pγpt

= ∇

T 0

T0∇

pγpt

| z

B

2iω

∇

v ∇

∇p

γpt

| z

C

∇2pk2p = k2

κt κ0

κ0

p| z

A

+∇

ρt ρ0

ρt

∇p

| z

B

∇2p+k2p = k2

c20c2

c2

p| z

A

+

∇ ln

ρt

ρ0

∇p| z

B

+2iω

∂∂xj

vi∂2

∂xi∂xjp

2ikc0

v ∇p| z C

+ ρt(iωv ∇)Q:

Die Abstrahlcharakteristiken, die sich durch Streuung an Inhomogenit¨aten inT, ρt, c, κt und v ergeben,sind verschieden. Die mitA gekennzeichneten Terme bezeichnen die Monopolstreuung, formal zu erken-nen an der Tatsache, daß sowohl die jeweilige Inhomogenit¨at als auch der Druck ˜p in diesen Termen alsreine Skalare auftreten. Angenommen, es handele sich um eine pure Schallgeschwindigkeitsinhomogenit¨atin einem kugelf¨ormigen Gebiet, wegenκ = 1=ρc2 besitzt diese Kugel daher eine gegen¨uber der Umgebungverschiedene Kompressibilit¨at. Die Volumen¨anderung dieser Kugel, hervorgerufen durch eine einfallendeebene Welle unterscheidet sich daher von der des umgebenden Mediums, wobei jedoch aufgrund der vor-ausgesetzten konstanten Dichte der Schwerpunkt der Kugel keine Bewegung ausf¨uhrt. Diese ‘atmende’Kugel strahlt daher wie ein Monopol.

Die mit B bezeichneten Terme enthalten die Temperatur bzw. die Dichte und gehen in die Gleichungenmit Ableitungen bis zu erster Ordnung ein. Diese Inhomogenit¨aten streuen das Schallfeld wie eine Kombi-nation aus Monopolen und Dipolen. Die Richtungsabh¨angigkeit ergibt sich formal aus dem Skalarprodukt

3.3. LOSUNG DER WELLENGLEICHUNG 29

reprasentiert durch Terme wie∇(T 0=T0) ∇p = ∇(T 0=T0) k eikr . Eine einfallende ebene Welle wirddaher von Temperaturgradienten senkrecht zur Ausbreitungsrichtung nicht beeinflußt. Anschaulicher l¨aßtsich die Richtungsabh¨angigkeit am Beispiel einer Dichteinhomogenit¨at erklaren, wobei die Kompressibi-lit at als homogen angenommen werden soll: Regionen mit unterschiedlicher Dichte erfahren aufgrund ihreranderen Massentr¨agheit beim Einfall einer ebenen Welle eine andere Beschleunigung, bewegen sich dem-zufolge mit einer gegen¨uber dem umgebenden Medium verschiedenen Geschwindigkeit in Richtung desDruckgradienten. Dies hat eine dipolf¨ormige Abstrahlung zur Folge. Aus den Gl. (3.23) und (3.24) folgt,daß sich die Schallgeschwindigkeits- und Dichteinhomogenit¨aten in Gl. (3.22) durch Linearkombinationender FunktionenT 0 undC0 ergeben, deren Streuamplituden proportional zuβc undβρ bzw. ηc undηρ sind.Daraus folgt, daß sowohl Temperatur- als auch Feuchteinhomogenit¨aten eine Kombination von Monopol-und Dipolstreuung bewirken, mit jeweils unterschiedlichen Amplitudenβc;ρ bzw.ηc;ρ.

Schließlich gehen die Geschwindigkeiten in die mitC bezeichneten Terme mit Ableitungen bis hin zuzweiter Ordnung ein und streuen das Feld wie eine Kombination aus Monopolen, Dipolen und Quadrupolen.

3.3 Losung der Wellengleichung

3.3.1 Naherungen

Bei dem nun dargestellten L¨osungsverfahren gehen folgende Annahmen ein:

Bornsche N¨aherung:Diese Naherung wird unter der Voraussetzung, daß beim Streuprozeß nur Ein-fachstreuung stattfindet, angewendet. Die in Abschnitt 3.1 eingef¨uhrten Wellengleichungen sind ho-mogene Differentialgleichungen mit ortsabh¨angigen statistischen Koeffizientenf (r) der Form:

∇2p(r) f (r)k2p(r) = 0: (3.27)

Es wird ein St¨orungsansatz der Form

p= p0+ p1+ p2+ :::+ pn (3.28)

vorgenommen, wobeijp(n+1)j jpnj. Der Term nullter Ordnung repr¨asentiert die ungest¨orte Welle,der erster Ordnung die einfache Streuung usw.. Einsetzen dieser Reihe in die Wellengleichung liefertdie Gleichungen

(∇2+k2)p0(r) = 0

(∇2+k2)p1(r) = k2 f (r)p0(r)... (3.29)

(∇2+k2)pn(r) = k2 f (r)pn1(r):

Der Vorteil dieser St¨orungsrechnung ist, daß eine homogene partielle Differentialgleichungmit zuf¨alli-gem, ortsabh¨angigem Koeffizienten in eine inhomogene partielle Differentialgleichung mit konstan-tem Koeffizienten transformiert wird. Unter Verwendung der Greenschen FunktionG(r ; r 0) habendiese Gleichungen L¨osungen der Form

30 KAPITEL 3. STREUUNG VON SCHALL AN INHOMOGENITATEN

pn(r) = k2Z

d3r 0 G(r ; r 0) f (r)pn1(r 0): (3.30)

Da die Annahme der Einfachstreuung gilt: ˜p = p0+ p1, wird die Reihe nach dem ersten St¨ortermabgebrochen.

Fernfeld:Diese Bedingung ist dann erf¨ullt, wenn der Abstand eines Aufpunktes zum Streuvolumenim Vergleich zu dessen Abmessungen sehr groß ist, wenn also gilt:D r;D2 λr , mit D gleichdem Durchmesser des Streuvolumens undr dem Abstand zum Streuvolumens. F¨ur einen Ortr 0 imStreuvolumen gilt:jr r 0j r(1 rr 0=r2), (Abb. 3.1).

Ebene Welle:Die in das Streuvolumen einfallende Welle hat die Form ˜p0(r 0) = A0eikr 0

.

r

r’ r - r’Θ

kr’ip = A e

0 0

k

Abbildung 3.1:In ein Streu-volumen einlaufende ebeneWelle mit dem Wellenvektork, gestreut am Ortr 0 unterdem Winkel Θ in Richtungr r 0. Im Fall r 0 r ist dieFernfeldbedingung erf¨ullt.

3.3.2 Die gestreute Welle

Ausgangspunkt f¨ur die Berechnung der gestreuten Welle ist die Tatarskii-Gleichung (3.17). Nach dem inAbschnitt 3.3.1 beschriebenen L¨osungsweg ergibt die Bornsche N¨aherung:

(∇2+k2)Π1 =∇

T 0

T0∇Π0

2iω

∇ [(v ∇)∇Π0] : (3.31)

Fur den Quotienten aus Schalldruck und turbulentem Druck wurde die VariableΠ = p=γpt eingefuhrt. Mitder Greenschen Funktion

G(r ; r 0) =eikjrr 0j

4πjr r 0 j(3.32)

nimmt die Losung der Wellengleichung die Form eines Faltungsintegrals an. Die inhomogenen Terme wer-den mit einer Kugelwelle gefaltet:

Π1(r) =Z

d3r 0 G(r ; r 0)∇

T 0

T0(r 0)∇Π0(r 0)

2iω

∇ (v(r 0) ∇)∇Π0(r 0)

: (3.33)

Die Greensche Funktion nimmt bei großen Entfernungen (Fernfeldn¨aherung) die Form

3.3. LOSUNG DER WELLENGLEICHUNG 31

G(r ; r 0) eikr

4πreik rr 0

r (3.34)

an, wobeir=r der Einheitsvektorer in Richtung gestreuter Welle ist. Mit Gl. (3.34) undΠ0(r 0) = A0eikr 0

ergibt sich:

Π1(r) =iA0eikr

4πr

Zd3r 0 eikerr 0

∇ k

T 0

T0(r 0)+

2iω

∇ v(r 0) ∇

k

eikr 0

: (3.35)

An dieser Gleichung l¨aßt sich zeigen, daß das gestreute Feld gemessen inr aus Kugelwellen entsandt vonallen Ortenr 0 im Streuvolumen resultiert. Die Amplitude ist proportional zum Produkt der lokalen Inhomo-genitaten der Temperatur und der Geschwindigkeit und der Amplitude der einfallenden Welle. Die Integra-tion der Beitrage aller Punkter 0 uber das Streuvolumen liefert das gesamte Streusignal. Partielle Integrationdieser Gleichung ergibt:

Π1(r) = k2A0eikr

4πr(ek er)

Zd3r 0 eiKr 0

T 0

T0(r 0)+

2vr(r 0)c0

: (3.36)

K = k ker ist die Differenz der Wellenvektoren von einfallender und gestreuter Welle in Richtung Meß-punkt undvr = v er bezeichnet Geschwindigkeitskomponente in Richtungr . Die Einheitsvektorenek under

schließen den StreuwinkelΘ ein. Die durch das Skalarprodukt(ek er) = cosΘ gegebene Winkelabh¨angig-keit vonΠ1(r) resultiert aus den r¨aumlichen Ableitungen erster Ordnung der in die Differentialgleichungeingehenden inhomogenen Terme.

3.3.3 Interpretation des Streumechanismus

Gl. (3.36) entpuppt sich als r¨aumliches Fourierintegral. Um die gesamte Richtcharakteristik eines Streupro-zesses zu erfassen, m¨ußten alle RichtungenΘ detektiert werden. Abb. 3.2 stellt einen zweidimensionalenSchnitt in dere1e2-Ebene solch einer Meßgeometrie dar. Bei konstanter Einfallsrichtungek und variablerDetektionsrichtunger konnen s¨amtliche DifferenzvektorenK , die den raumlichen Strukturen der Inhomo-genitaten im Streuvolumen entsprechen, gemessen werden. Diese Meßanordnung hat jedoch bez¨uglich desexperimentellen Aufwandes eher einen theoretischen Charakter. Vielmehr ist die Geometrie bei Streuex-perimenten insbesondere bei Freifeldmessungen durch die starre Anordnung von Sender und Empf¨angerfestgelegt. Die physikalische Bedeutung von Gl. (3.36) im Zusammenhang mit einem festen Detektionswin-kel Θ kann anhand eines Modells verdeutlicht werden. Zugrunde liegt ein zeitlich konstantes, r¨aumlichessinusformiges Temperaturfeld. Diese Vereinfachung soll verdeutlichen, daß nur r¨aumliche Strukturen miteiner bestimmten Ausrichtung und Gr¨oße die Streubedingung bei einem WinkelΘ erfullen. Das Tempera-turfeld geht in Form von

τ(r 0) = τcos

2πl

eτr 0

(3.37)

als sinusf¨ormiges Beugungsgitter mit der Amplitudeτ, dem Gitterabstandl und einer Orientierung in Rich-tung des Einheitsvektorseτ in Gl. (3.36) ein:

32 KAPITEL 3. STREUUNG VON SCHALL AN INHOMOGENITATEN

e1

k

-ee

e e

-

e2

r

r

e

Θk

k

k

Abbildung 3.2:Konstruktion des Differenzvek-torser ek bei konstanter Einfallsrichtungek undvariabler Detektionsrichtunger fur alle Streuwin-kel Θ bezogen auf die Ursprungsrichtung dereinfallenden WelleΘ = 0, in der e1e2-Ebene.Die gestrichelte Linie trennt die Vorw¨artsstreuungvon der Ruckstreuung.

Π1(r) = τk2A0eikr

4πr(ek er)

Zd3r 0 eiKr 0

cos

2πl

eτr 0

| z F (K)

: (3.38)

Das Geschwindigkeitsfeld wird in diesem Beispiel nicht ber¨ucksichtigt. Der Betrag des StreuvektorsK =

kker ist

K = 2ksinΘ2; (3.39)

die effektive Wellenzahl, bei der Streuung stattfindet. Das bedeutet, daß bei einem gegebenen WinkelΘ nurraumliche Spektralkomponenten mit der WellenzahlK = 2ksin(Θ=2) am Streuprozeß beteiligt sind. DieStreubedingungen sind durch das FourierintegralF (K) in (3.38) bestimmmt. Die Berechnung des Integralsin [143] (S.115) ergibt:

F (K) =L1L2L3

2

sinKL1

2 sinϕ

KL12 sinϕ| z

Kollinearitat

"sin

KL32 cosϕ+ πL3

l

KL3

2 cosϕ+ πL3l

+sin

KL32 cosϕ πL3

l

KL3

2 cosϕ πL3l

#| z

Braggbedingung

: (3.40)

Die LangenL1, L2 undL3 bezeichnen die Kantenl¨angen des Streuvolumens. Zur Berechnung des Integralswird das Koordinatensystem so gew¨ahlt, daß die Dimensionen des Streuvolumens auf den Achsenx1;x2;x3

liegen. Der Einheitsvektoreτ, der die Orientierung des Beugungsgitters angibt, ist entlang derx3-Achsegerichtet. Die Vektoreneτ undK schließen den Winkelϕ ein und liegen in derx1x3-Ebene,eτ = (0;0;e3)

und K = (K1;0;K3). Der Ausdruck (3.40) enth¨alt zwei Bedingungen daf¨ur daß eine Streuung stattfindet.Der erste Term dieser Gleichung ist f¨ur alleϕ, bis auf den Grenzfall kleinerϕ (ϕ 0), sehr klein, wenn dieBedingungKL1 = kL1sin(Θ=2) 1 gegeben ist. Diese Bedingung tritt nahezu immer auf, da das Streu-volumen sehr viel gr¨oßer ist als die Wellenl¨ange der einfallenden Welle. Die Brechung an einer r¨aumlich

3.3. LOSUNG DER WELLENGLEICHUNG 33

x

L x

L

e τ

1

3

1

3

l

Kϕ

Abbildung 3.3:Raumlich sinusf¨ormiges Tempe-raturfeldτ(r 0) mit dem Gitterabstandl und einerOrientierung in Richtung des Einheitsvektorseτ.Die Dimensionen des StreuvolumensL1;L2 undL3 liegen auf den Achsenx1;x2;x3. Die VektorenK undeτ liegen in derx1x3-Ebene und schließenden Winkelϕ ein.

periodischen Struktur kann also nur im Fall kleiner Winkeljϕj< 1=kL1 beobachtet werden, wenn die Vek-torenK undeτ parallel sind. Da die Betr¨age der einfallenden und reflektierten Welle gleich sind,jkj= jkerj,zeigt der DifferenzvektorK immer in Richtung Winkelhalbierender bez¨uglich der Antennenachsen. Darausfolgt, daß die fur die Brechung notwendige Bedingung der Kollinearit¨at der Vektoren bedeutet, daß Einfalls-und Ausfallswinkel relativ zu den Ebenen gleicherτ(r 0) gleich groß sein m¨ussen. Bei der realen Messungim Freifeld ist der WinkelΘ durch die feste Anordnung von Sender und Empf¨anger immer vorgegeben.Es muß also in der Atmosph¨are bei einem DetektionswinkelΘ eine Spektralkomponente existieren, derenkorrespondierende r¨aumliche Struktur mit seiner Ausrichtungeτ diese Bedingung erf¨ullt.

Die Bedingungϕ 0 ist jedoch nicht ausreichend, da im Klammerausdruck von (3.40) eine zweite Bedin-gung enthalten ist. Dieser Ausdruck ist ¨uberall sehr klein bis auf den Fall, wo das Argument verschwindet.Angenommen, die Bedingung der Kollinearit¨at ist erfullt, cosϕ = 1, dann erh¨alt man eine zweite Bedingungder Form

KL3

2cosϕ

πL3

l

=kL3sin

Θ2

πL3

l

1: (3.41)

Brechung tritt also nur f¨ur Werte vonΘ auf, wenn die folgende Bedingung erf¨ullt ist:

2sinΘ2

λl= 0: (3.42)

Diese elementare Modellrechnung zeigt deutlich, daß Reflexionen an einem sinusf¨ormigen Beugungsgitternur dann auftreten, wenn zwei Bedingungen erf¨ullt sind:

Die raumliche Orientierungeτ der Inhomogenit¨at und der StreuvektorK mussen die Kollinearit¨atsbe-dingung erfullen.

34 KAPITEL 3. STREUUNG VON SCHALL AN INHOMOGENITATEN

0.01

0.1

1

10

100

1000

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180

Gitt

erab

stan

d l(Θ

) [m

]

Streuwinkel Θ

500 Hz1000 Hz2000 Hz3000 Hz4000 Hz5000 Hz6000 Hz7000 Hz8000 Hz

Frequenz Gitterabstandl(Θ) [m]

[Hz] l(135) l(180)500 0.372 0.344

1000 0.184 0.1702000 0.092 0.0823000 0.059 0.0554000 0.046 0.0435000 0.037 0.0346000 0.031 0.0267000 0.026 0.0248000 0.023 0.021

Abbildung 3.4:Die Braggbedingung erf¨ullender Gitter-abstandl in Abhangigkeit vom StreuwinkelΘ fur ty-pische Meßfrequenzen akustischer Streuexperimente imFreifeld. Die Kollinearitatsbedingung ist f¨ur jeden Win-kel erfullt.

Tabelle 3.1:Werte fur l aus Abb. 3.4 f¨ur Θ=

180 undΘ = 135.

Die Braggbedingung muß erf¨ullt sein. Daraus folgt, daß eine Welle, die bei dem StreuwinkelΘ re-flektiert wird, durch eine Spektralkomponente, korrespondierend zu der r¨aumlichen Periodel(Θ),bestimmt wird.

In Abb. 3.4 ist der die jeweilige Braggbedingung erf¨ullende Gitterabstandl in Abhangigkeit vonΘ furverschiedene Frequenzen dargestellt. Der Bereich von 500–8000 Hz deckt die in akustischen Freifeld-Streuexperimenten verwendeten Sendefrequenzen ab und entspricht bei typischen Meßgeometrien im R¨uck-streuverfahren (Tab. 3.1) beiΘ = 180 (totale Ruckstreuung) undΘ = 135 (Maximum des statistischenStreuquerschnitts in der R¨uckstreuung, s. Abschnitt 3.4) r¨aumlichen Strukturen von 0.02–0.4 m.

In der Realitat ist das Temperaturfeld nicht regul¨ar, sondern fluktuiert. Es kann in seine r¨aumlich periodi-schen Gitteranteile verschiedener Ausrichtung und Gitterabst¨ande zerlegt werden. Im Fall eines unendlichausgedehnten Streuvolumens w¨urde ein unendlich schmaler Strahl in die RichtungΘ, die die Braggbedin-gung erfullt, gestreut werden. Die Streubedingung ist dann genau f¨ur eine SpektralkomponenteK erfullt.

Da aufgrund der endlichen Dimensionen des Streuvolumens nur ein r¨aumlicher Ausschnitt betrachtet wird,hat der gestreute Strahl infolge der Unsch¨arferelation eine Breite der Gr¨oßenordnungλ=L. Die unter demWinkel Θ beobachtete Streuung wird nicht nur durch das Gitter bestimmt, das die Braggbedingung erf¨ullt,benachbarte Spektralkomponenten tragen ebenso zur Streuung bei. Wird dieselbe einfallende Welle in zweiRichtungΘ1 undΘ2 gestreut, so sind die gestreuten Schallstrahlen nur unter der Bedingung

jKΘ1KΘ2j<2πL

(3.43)

voneinander unabh¨angig. Der Einfluß der Gr¨oße des Streuvolumens auf die FunktionF (K) ist in Abb. 3.5fur verschiedene Kantenl¨angenL dargestellt. Die Berechnung erfolgte f¨ur ein sinusf¨ormiges Temperaturfeldmit der Amplitudeτ = 1 und dem Gitterabstandl = 0:051 m. Damit ist die Braggbedingung bei einemWinkel von Θ = 114 erfullt (cosϕ = 1), wenn die einlaufende Welle eine Frequenz von 4000 Hz (λ =

0:086 m) besitzt.

3.3. LOSUNG DER WELLENGLEICHUNG 35

0

5

10

15

20

25

5 10 15 20 25

30

60120

150

210

240 300

330

L=3.5m

30

60120

150

210

240 300

330

L=3.5m 0 dB

-10

-20

-30

-40

-500 dB-10-20-30-40

30

60120

150

210

240 300

330

L=3.5m

0

1

2

3

4

5

1 2 3 4 5

30

60120

150

210

240 300

330

L=2.0m 0 dB

-10

-20

-30

-40

-500 dB-10-20-30-40

30

60120

150

210

240 300

330

L=2.0m

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

30

60120

150

210

240 300

330

L=1.0m 0 dB

-10

-20

-30

-40

-500 dB-10-20-30-40

30

60120

150

210

240 300

330

L=1.0m

Abbildung 3.5:Modellrechnung f¨ur die Streuung an einem r¨aumlich sinusf¨ormigen Temperaturfeldτ(r 0)mit der Amplitudeτ = 1 und dem Gitterabstandl = 0:051 m: Die FunktionF (K) nach Gl. 3.40 (links)sowie20log[ F (K)= F max] (rechts) in Abhangigkeit vom StreuwinkelΘ (Θ = 0 entspricht der Einfalls-richtung undΘ = 180 der totalen R¨uckstreuung). Die Frequenz der einfallenden Welle betr¨agt 4000 Hz(λ = 0:086 m). Damit ist die Braggbedingung bei einem Winkel vonΘ = 114 gegeben. Deutlich wirdder Einfluß der Gr¨oße des Streuvolumens auf die Streucharakteristik. Die Kantenl¨angenL wurden variiert:3.5 m, 2.0 m und 1.0 m.

36 KAPITEL 3. STREUUNG VON SCHALL AN INHOMOGENITATEN

3.4 Statistik der Streuung

In Erweiterung des Modells eines sinusf¨ormigen Feldes l¨aßt sich raumliche Turbulenz durch eineUberla-gerung periodischer Felder beschreiben. Die Turbulenz ist jedoch nicht statisch. Die Inhomogenit¨aten vonTemperatur und Wind ¨andern sich fließend und sind ¨uber einen bestimmten Abstand korreliert. Die Vor-stellung ist, obwohl es sich bei der Turbulenz um einen zuf¨alligen Prozeß handelt, impliziert die innerhalbder Korrelationsl¨ange stattfindende Streuung eine andere Art von Streuung, als die eines Feldes statistischverteilter Punktstreuer. Gestreute Wellen benachbarter Regionen k¨onnen konstruktiv und destruktiv ¨uber-lagern und so eine koh¨arent gestreute Welle erzeugen [20]. Im Gegensatz zur koh¨arenten Streuung ist f¨urinkoharente Streuung die Rayleigh-Streuung anzuf¨uhren.

Der in diesem Abschnitt eingef¨uhrte effektive Streuquerschnitt enth¨alt die speziellen Kolmogorov-Spektren.Solange die Skalen der Turbulenz iminertial subrangeliegen, wird immer eine r¨aumliche Fourierkompo-nente gefunden, die eine koh¨arent gestreute Welle erzeugt.

3.4.1 Der effektive Streuquerschnitt in Bornscher N¨aherung

Die mittlere Intensit¨at (Energieflußdichte) der gestreuten Welle ist proportional zuhΠ1(r)Π?1(r)i. In Born-

scher Naherung unterscheidet sie sich von der Intensit¨at der einfallenden WellehΠ0(r)Π?0(r)i= A2

0 durch:

hΠ1(r)Π?1(r)i=

A20k

4cos2 Θ16π2r2

ZV

d3r1

ZV

d3r2 eiK(r1r2)B(r1; r2): (3.44)

B(r1; r2) ist die Korrelationsfunktion des Ausdrucks, der die Temperatur- und Geschwindigkeitsfluktuatio-nen enth¨alt. Die Terme, die die Kreuzkorrelationen enthalten, verschwinden aufgrund der Annahme isotro-per Turbulenz [143]:

B(r1; r2) =

T 0

T0(r1)+

2c0[er v(r1)]

T 0

T0(r2)+

2c0[er v(r2)]

=

1T0

BT(r1; r2)+4

c20eiekBik(r1; r2); (3.45)

BT(r1; r2) = hT(r1)T(r2)i;

Bik(r1; r2) = hvi(r1)vk(r2)i:

Durch die Variablentransformation auf Schwerpunkt- und Relativkoordinaten,rs = 1=2(r1+ r2) undrd =

(r1 r2), ergibt sich:

hjΠ1(r)j2i=A2

0k4cos2 Θ16π2r2

ZV

d3rs

ZV

d3rd eiKr dB(rd): (3.46)

Da Homogenit¨at der Statistik vorausgesetzt wird, h¨angtB nur vonrd ab. Die Integration ¨uberdrs liefert dasStreuvolumenV. Mit Hilfe der durch die Fouriertransformation in (2.8) und (2.23) definierten spektralenLeistungsdichtenΦT(K) undΦik(K) kann (3.46) in

hjΠ1(r)j2i=πVA2

0k4cos2 Θ

2r2

1

T20

ΦT(K)+4

c20

eiekΦik(K)

(3.47)

3.4. STATISTIK DER STREUUNG 37

umgeformt werden. Da Isotropie eines skalaren Temperaturfeld zur Folge hat, daß Korrelationsfunktionund Spektrum nur vom Betrag des Abstandes bzw. des r¨aumlichen Wellenvektors abh¨angen, gilt:ΦT(K) =

ΦT(K). Im Gegensatz dazu sind die Tensorkomponenten der entsprechenden Gr¨oßen des Geschwindigkeits-feldes richtungsabh¨angig (s. Abschnitt 2.1). Der spektrale DichtetensorΦik(K) geht in Form von (2.12) inGl. (3.47) ein. In Abb. 3.7 ist der inΦik(K) enthaltene Projektionsoperator f¨ur die KomponenteΦ11(K)

fur K = 1 in derK1K2-Ebene dargestellt:(1K21=K2). Der Projektionsoperator ist bez¨uglich derK1-Achse

rotationssymmetrisch und wird null, sobaldK parallel zuK1 liegt (0 entspricht der Richtung vonK1). DieseTatsache ist eine direkte Folge der Imkompressibilit¨at (vgl. dazu Gl. 2.9 f¨ur den allgemeinen Fall), die schonder Tatarskii-Gleichung zugrunde liegt.

Die Losung dieser Gleichung enth¨alt das Skalarprodukter v, womit das ProdukteiekBik(rd) die Korrelationder Windgeschwindigkeitskomponente in Richtung der gestreuten Weller darstellt. Aufgrund der Invarianzdes Skalarproduktes gegen¨uber Transformationen enth¨alt der AusdruckeiekΦik(K) in (3.47) die Spektral-komponenten der Geschwindigkeit in Richtungr :

eiekΦik(K) = Φvr (K) =1 (er eK)

2 E(K)

4πK2 : (3.48)

eK ist der Einheitsvektor in Richtung des StreuvektorsK . Mit er eK = sin(Θ=2) und K = 2ksin(Θ=2)ergibt sich fur Gl. (3.48)

Φvr (K) =cot2 Θ

2

4πk2 E

2ksin

Θ2

(3.49)

und fur Gl. (3.47)

hjΠ1(r)j2i=πVA2

0k4cos2 Θ

2r2

"1

T20

ΦT

2ksin

Θ2

+

cot2 Θ2

c204πk2

E

2ksin

Θ2

#: (3.50)

Diese Gleichung zeigt, daß, unabh¨angig von der konkreten Form der spektralen Funktionen der Temperatur-und Geschwindigkeitsfluktuationen, keine Streuung beiΘ = π=2 stattfindet. Diese Eigenschaft l¨aßt sich an-hand des Reflexionsgesetzes am Beispiel von Temperaturschichten erkl¨aren. Wird eine Grenzfl¨ache durchzwei Medien mit unterschiedlichen Wellenwiderst¨andenZ1 = ρ1c1 undZ2 = ρ2c2 gebildet, so ist der Refle-xionsfaktorR bei schragem Einfall mitα1 als Einfallswinkel undα2 als Ausfallswinkel gegeben durch

R=Z2cosα1Z1 cosα2

Z2cosα1+Z1 cosα2=

Z2cosα1

r1

c2c1

sinα1

2

Z2cosα1+

r1

c2c1

sinα1

2: (3.51)

Es findet keine Reflexion statt, wennZ2cosα1 = Z1cosα2 (Spuranpassung), wobei

cos2 α1 =ρ2

1(c21c2

2)

c22(ρ

22ρ2

1): (3.52)

Wird fur c die Beziehung f¨ur ein ideales Gas (3.8) eingesetzt, ergibt sich

cos2 α1 =ρ1

ρ1+ρ2: (3.53)

38 KAPITEL 3. STREUUNG VON SCHALL AN INHOMOGENITATEN

Z = cρ1 1 1

α1

α2

α1

Θ = π − 2α

k kr

1

Z = cρ2 2 2

Abbildung 3.6:Geometrie der einfallenden und re-flektierten Schallstrahlen.

Fur kleine Temperaturschwankungen (ρ1 ρ2) ist cos2 α1= 1=2 mit α1= π=4 und der StreuwinkelΘ= π=2(Abb.3.6). Es findet also keine Streuung beiπ=2 statt. Der Windterm enth¨alt ein weiteres Minimum wegencot2(Θ=2). Diese Form der Winkelabh¨angigkeit ist auf den spektralen Dichtetensor der Geschwindigkeitzuruckzufuhren, da er f¨ur ein inkompressibles Medium die Form (2.12) besitzt (s. auch Abb. 3.7).

Um eine von der Intensit¨at der Quelle unabh¨angige Angabe ¨uber die St¨arke der Streuung zu erhalten, wirdder effektive Streuquerschnitt eingef¨uhrt. Die gesamte durch ein Streuvolumen gestreute Leistung (zur De-finition der akustischen Leistung s. Abschnitt 4.3), das Integral der gestreuten Intensit¨at I1(Θ) uber eineKugeloberflache des Radiusr , auf die Intensit¨at I0 des Schallstrahls am Streuvolumen normiert, hat dieDimension einer Fl¨ache:

Σ =Z

dΩr2I1(Θ)

I0: (3.54)

Ω ist der Einheitsraumwinkel in RichtungΘ. Diese Flache wird auch effektive oder Ersatzfl¨ache genannt;das Produkt mitI0 entspricht der Leistung, die durch das Streuobjekt in alle Richtungen verteilt wird. Dadas Streuvolumen r¨aumlich ausgedehnt ist, wird die effektive Fl¨ache auf das Volumen bezogen:ΣV = Σ=V.In differentieller Form ist diese Gr¨oße in der Literatur als effektiver Streuquerschnitt bekannt:

dΣV(Θ)

dΩ= σ(Θ) =

I1(Θ)r2

I0V=hjΠ1(r)j2ir2

hjΠ0(r)j2iV: (3.55)

σ(Θ) ist die unter dem WinkelΘ gestreute Energieflußdichte bezogen auf die Intensit¨at der einfallendenWelle pro Volumeneinheit und hat die Einheit m1. Mit (3.50) ergibt sich folglich:

σ(Θ) =π2

k4cos2 Θ

"1

T20

ΦT

2ksin

Θ2

+

cot2 Θ2

c204πk2

E

2ksin

Θ2

#: (3.56)

Liegen die durch die Dimensionen des Streuvolumens begrenzten Raumfrequenzen der Temperatur- undGeschwindigkeitsinhomogenit¨aten iminertial subrangedes turbulenten Spektrums,

2πL0

< K <2πl0;

konnen die Kolmogorov-Spektren (Gl. (2.35) und (2.41))

3.4. STATISTIK DER STREUUNG 39

0

0.5

1

0.5 1

0

90

180

270

Φ11(K)

Abbildung 3.7:Die Richtungsabh¨angigkeit der Kom-ponenten des spektralen Dichtetensors der Windfluk-tuationen ergibt sich durch den Operator(1K2

1=K2),hier fur die KomponenteΦ11(K) in der K1K2-Ebene(K = 1). 0 entspricht der Richtung vonK1 und90 dervon K2. Φ11(K) ist bezuglich derK1-Achse rotations-symmetrisch.

0 dB

-20

-40

90

180

270 90

180

270 90

180

270

σ(Θ) mit γ = 3

σ(Θ,C2v )

σ(Θ,C2T )

Abbildung 3.8: Inertial subrangeStreuquerschnittσ(Θ) normiert aufσ(π) fur C2

v = 0:06 m4=3s2 undC2

T = 0:013K2m2=3 (durchgezogene Kurve). Die f¨urdie Strukturparameter angegebenen Werte stammenaus [20] und sind f¨ur typische Tagesprofile einer H¨ohevon 62 m zuzuordnen. Das Verh¨altnisγ = C2

vT20 =C

2Tc2

0(c0 = 336:67m/s undT0 = 281:67K) hangt von meteo-rologischen Bedingungen ab. Die getrennnte Darstel-lung der Beitrage des Windes (getrichelt) und der Tem-peratur (gepunktet) verdeutlicht den Unterschied in derRuckstreuung. Das Minimum der Windkurve beiΘ= πist durch Abb. 3.7 erkl¨art.

E(K) = 0:76C2vK 5

3 ; ΦT(K) = 0:033C2TK 11

3

in (3.56) eingesetzt werden:

σ(Θ) = 0:38k13 cos2Θ

C2

v

c20

cos2Θ2+0:13

C2T

T20

2sin

Θ2

113

: (3.57)

Die Intensitat der Streuung h¨angt von den in die Kolmogorov-Spektren eingehenden Strukturparameternab. In der unteren atmosph¨arischen Grenzschicht h¨angt das Verh¨altnisγ = C2

vT20 =C

2Tc2

0 von den jeweiligenmeteorologischen Bedingungen ab. In Abb. 3.8 ist ein Beispiel f¨ur Durchschnittswerte aus einer H¨ohe von62 m mitγ= 3 berechnet. Abγ> 1 ist die seitliche R¨uckstreuung gr¨oßer bezogen auf die totale R¨uckstreuungbei Θ = π, die nur durch Temperaturfluktuationen entsteht.

40 KAPITEL 4. BERUHRUNGSLOSE BESTIMMUNG TURBULENTER PARAMETER

4 Beruhrungslose Bestimmung turbulenter Parameter der atmosph¨arischenGrenzschicht mit Sodar

Die Messung gestreuter Schallwellen mit Sodar erm¨oglicht die ber¨uhrungslose kontinuierliche Sondierungder unteren Grenzschicht, wobei die Reichweite von der akustischen Sendeleistung, der Pulsl¨ange, denjeweiligen meteorologischen Ausbreitungsbedingungen (z. B. Nebel und Regen) und, aufgrund der fre-quenzabh¨angigen atmosph¨arischen D¨ampfung, der jeweiligen Sendefrequenz bestimmt wird. Die Auswer-tung der in den Sodarsignalen enthaltenen Informationen setzt die genaue Kenntnis der Eigenschaften vonSende- und Empfangsanntennen sowie ihrer Konfiguration voraus. Eine m¨oglichst genaue Bestimmung derim Ruckstreusignal enthaltenen Informationen erfordert dar¨uberhinaus eine Analyse der aus dem Zustandder Atmosph¨are resultierenden Einfl¨usse auf den Schallstrahl und das Streuvolumen.

4.1 Meßkonfigurationen

Im Prinzip besteht ein Sodar aus einer Sende- und Empfangseinheit, wobei die Schallleistung nur inner-halb eines kleinen Winkelbereichs entsandt wird. Zur Ortung der entlang des Schallstrahls stattgefundenenStreuung besitzt die Empfangsantenne ebenfalls eine schmal geb¨undelte Richtcharakteristik. Die Separationdes gestreuten Signals vom Sendesignal erfolgt durch kurze Pulse, die in konstanten Zeitintervallen entsandtwerden.

SenderEmpfänger

Streuvolumen

v

a)

Sender Empfänger

Streuvolumen

v

b)

Sender

Empfänger

v

c)

Empfänger

Empfänger

Abbildung 4.1:Klassische Sodarkonfigurationen: a) Mo-nostatische Anordnung bei der Sender und Empf¨angeridentisch sind. b) Getrennter Aufbau von Sender undEmpfanger. Das Streuvolumen wird durch die Schnittmen-ge der Schallstrahlen lokalisiert. c) Empf¨anger mit aufge-weiteter Richtcharakteristik zur Erh¨ohung des auswertbarenBereichs.

Dieses Meßprinzip er¨offnet verschiedene Kombinationsm¨oglichkeitenvon Sendern und Empf¨angern. Einigeklassische Konfigurationen sind in Abb. 4.1 dargestellt. Bei monostatischen Anordnungen (Abb. 4.1 a) sind

4.2. MESSGROSSEN UND PROBLEME IHRER ERFASSUNG 41

Sender und Empf¨anger identisch oder kollinear ausgerichtet. Die Streuung wird entlang der Antennenachsedetektiert. In diesem Modus, d. h. bei einem Streuwinkel von 180 konnen aufgrund des Streuquerschnitts(Gl. 3.57) nur Beitrage von Temperaturfluktuationen gemessen werden. Monostatische Sodaranordnungenwerden daher h¨aufig vertikal zur Aufnahme von Echogrammen, die Temperatufluktuationen repr¨asentieren,betrieben.

Bei bistatischen Konfigurationen (Abb. 4.1 b) werden Sender und Empf¨anger getrennt in einer bestimmtenEntfernung aufgebaut und so ausgerichtet, daß das Streuvolumen durch die Schnittmenge der Schallstrah-len lokalisiert wird. Die Verwendung zweier weiterer Empf¨anger erm¨oglicht die Messung des Windvektors,wobei der Sender meist senkrecht gerichtet und die Empf¨anger in Abst¨anden von 120 Grad ein Dreibein auf-spannen. Empf¨anger mit aufgeweiteter Richtcharakteristik (Abb. 4.1 c) erh¨ohen den auswertbaren Bereichentlang der Hauptabstrahlachse der Sendeantenne.

4.2 Meßgroßen und Probleme ihrer Erfassung

Im Streusignal sind zwei wesentliche Informationen enthalten. Zum einen ist die St¨arke der R¨uckstreu-amplitude und deren Schwankung proportional zu den im Streuvolumen enthaltenen Schwankungen derTemperatur und der Windgeschwindigkeit. Zum anderen enth¨alt das Signal eine Frequenzverschiebung. Dasich die streuenden Strukturen mit der mittleren Windgeschwindigkeit bewegen, ist das Streusignal propor-tional dazu frequenzverschoben. Aus diesen Informationen resultieren folgende Meßgr¨oßen:

I1(r) ∝ hjΠ1(r)j2i ∝ C2v ;C

2T,

∆ f (r ; t) ∝ vm.

Die Messung der mittleren Intensit¨at des Streusignals f¨uhrt auf die statistischen StrukturparameterC2T und

C2v . Die Auswertung der Dopplerverschiebung ergibt die jeweilige Komponente der Windgeschwindigkeit

in Meßrichtungvm. Bevor auf die Messung dieser Gr¨oßen eingegangen wird, werden an dieser Stelle diewesentlichen mit der Auswertung von Sodarsignalen verbundenen Probleme angef¨uhrt. Neben dem Vor-teil beruhrungsloser Messungen beinhaltet diese Meßmethode aufgrund der im Vergleich zu elektroma-gnetischen Wellen geringen Ausbreitungsgeschwindigkeit des Schalls und der die r¨aumliche und zeitlicheAuflosung bestimmenden Systemparameter der Meßapparatur grundlegende Begrenzungen, da durch Volu-menmittelung und die ben¨otigten Pulsintervalle nur ein geringer Teil des Turbulenzspektrums erfaßt wird.Weiterhin treten Schallstrahlkr¨ummung infolge von Brechungseffekten und turbulente Strahlaufweitung inErscheinung. Eine wesentliche Begrenzung liegt in der Natur der Sache selbst: Die Entstehung von In-formationslucken, wenn keine streuenden Strukturen in der Atmosph¨are vorhanden sind. Messungen derRuckstreuamplitude haben gezeigt (s. Kapitel 6 und 7), daß die der Theorie zugrundeliegende Annahmeraumfullender Turbulenz nicht zu jedem Zeitpunkt gegeben ist.

Die Sodarmessungen beeinflussenden Effekte lassen sich in den folgenden Punkten zusammenfassen:

1. Brechungseffekte:Wind- und Temperaturprofile verursachen eine Ablenkung der Schallstrahlen vonder durch die Ausrichtung der Sende- und Empfangsantennen vorgegebenen Richtung, was zu Fehlernbei der Bestimmung der Dopplerverschiebung und der Lokalisierung des Streuortes f¨uhrt.

2. Geometrische Effekte:Das Zentrum des Streuvolumens wird durch die Richtcharakteristiken derSende- und Empfangsantennen bestimmt und weicht daher wie im ersten Fall vom geometrischenOrt ab.

42 KAPITEL 4. BERUHRUNGSLOSE BESTIMMUNG TURBULENTER PARAMETER

3. Excess attenuation:Dieser Ausdruck steht f¨ur die um die geometrische und atmosph¨arische Ab-schwachung bereinigte D¨ampfung. Bei Sodarmessungen wird dieser Begriff benutzt im Zusammen-hang mit der durch Mehrfachstreuung verursachten Strahlaufweitung [93, 25]. Der Beitrag der da-durch verminderten R¨uckstreuung ist im Zusammenhang mit quantitativen Messungen zur Bestim-mung vonC2

T undC2v wichtig.

4. Spectral broadening:Dieser Begriff beinhaltet die Summe aller die spektrale Verbreiterung verursa-chenden Beitr¨age. Dazu geh¨ort die eigentlich interessierende Gr¨oße, atmosph¨arische Turbulenz. Eineweitere nat¨urliche Ursache sind Querwinde. Dieser Einfluß ist von BROWN [19] untersucht worden,er ist fur Strahlbreiten< 10 zu vernachl¨assigen. Zuletzt unter der Kategorie nat¨urlichen Ursprungsanzufuhren ist der durch Umgebungsger¨ausche verursachte additive Rauschuntergrund. Systembe-dingt ist die aus der endlichen Dauer des Sendepulses, als auch die bei der Spektralanalyse kurzerZeitabschnitte resultierende spektrale Breite aufgrund der Unsch¨arferelation.

5. Pulse volume filtering:Diese Bezeichnung r¨uhrt von der raumlichen Begrenzung des Streuvolumensoder auch Pulsvolumens durch Pulsl¨ange und Strahlbreite der gesendeten Schallimpulse. Die streuen-den Strukturen werden von der mittleren Luftstr¨omung getragen, f¨uhren jedoch eine Eigenbewegungaus. Zum Dopplerspektrum tragen im wesentlichen Wirbel, deren Abmessungen so groß sind, daßsie das gesamte Pulsvolumen enthalten, bei. Dieser Effekt wird mit Volumenmittelung bezeichnet.Kleinere im Volumen enthaltene Wirbel bewirken um die mittlere Dopplerfrequenz herum positiveund negative Frequenzverschiebungen, resultieren in einer spektralen Verbreiterung. Das Spektrumdes Echos repr¨asentiert eine Verteilung der radialen (f¨ur monostatische Messungen) Windgeschwin-digkeit im Streuvolumen. Eine Analyse der spektralen Verbreiterung des Dopplerspektrums wurdevon SRIVASTAVA & A LTAS [119] fur Radarpulse durchgef¨uhrt. Sie bestimmen ein ¨uber das Puls-volumen gemitteltes r¨aumliches Spektrum der Windgeschwindigkeit in Termen des realen Windge-schwindigkeitsspektrums. In [45] wird diese Methode beim Dopplerradar zur Bestimmung der Ener-giedissipationsrate angewandt. F¨ur Sodarmessungen finden sich Anwendungen bei QUINTARELLI

[108, 109, 110] f¨ur Volumina mit Ausdehnungen bis 140 m entlang der Strahlachse.

6. Das Abstastintervall:Die turbulenten Fluktuationen der unteren Grenzschicht erstrecken sich ¨ubereinen Bereich von 0:001 bis 10 Hz. Um Reichweiten von bis zu 150 m zu erzielen sind Puls-intervalle von 1 s notwendig. Aufgrund des Abtasttheorems w¨are die maximal darstellbare Frequenz0.5 Hz. Ein großer Bereich des Turbulenzspektrums ist nicht abgedeckt.

Inwieweit diese Effekte Sodarmessungen beeinflussen, h¨angt von der jeweiligen Anwendung ab: Pulsinter-vall, Pulslange und die erforderliche akustische Leistung werden von der angestrebten Meßh¨oße bestimmt.Dadurch ist die r¨aumliche und zeitliche Aufl¨osung festgelegt. Die zu detektierenden Meßgr¨oßen bestimmendie Wahl der Geometrie von Sende- und Empfangseinheiten. In der Literatur werden die hier angef¨uhr-ten Probleme haupts¨achlich im Zusammenhang mit großen Reichweiten (lange Pulsintervalle) und großenStreuvolumina (großeOffnungswinkel der Antennen und lange Pulse) angef¨uhrt.

Die in dieser Arbeit vorgestellten Untersuchungen sind Bestandteil der in dieser Arbeitsgruppe fortgef¨uhr-ten Entwicklung eines Sodars hoher Aufl¨osung zur Untersuchung bodennaher Turbulenz f¨ur die unteren300 m [69, 97, 115, 144, 150, 155, 156]. Das Ziel ist, die oben angef¨uhrten Fehlerquellen mit optimiertenakustischen Antennen und neuen Korrekturverfahren zu minimieren. Ein Gesamt¨uberblickuber die an denverschiedenen Sende- und Empfangseinheiten durchgef¨uhrten Entwicklungsarbeiten ist in der Dissertationvon HANDWERKER [55] gegeben. Gegenstand der dort vorgenommenen Untersuchungen sind die unterPunkt 2 angef¨uhrten geometrischen Effekte. Es werden die Fehler, die bei der Bestimmung des Streuortes

4.3. BESCHREIBUNG DER VERWENDETEN SENDE- UND EMPFANGSANTENNEN 43

aufgrund der Antenneneigenschaften auftreten, im Vergleich zu einerδ-formigen Richtcharakteristik unter-sucht. Mit Hilfe einer allgemeinen Radargleichung [89], in die die genaue Form der Richtcharakteristik vonSende- und Empfangsantenne eingeht, wird das Zentrum des Streuvolumens f¨ur bistatische Konfigurationenberechnet. Es ergibt sich, daß Empfangsantennen mit aufgeweiteter Richtcharakteristik (s. Abb. 4.1 c), so-genanntefan beam-Antennen [63], eine wesentlich genauere Ortbestimmung zulassen als schmal b¨undelndeAntennen (Abb. 4.1 b).

In dieser Arbeit haben sich zwei Schwerpunkte herauskristallisiert:

1. Der Einfluß von Brechungseffekten auf die Dopplerverschiebung: Die bei der Bestimmung des Ortesund der Windgeschwindigkeit auftretenden Fehler werden anhand eines simulierten Sodarexperimen-tes fur bistatische Konfiguration berechnet (Kapitel 5).

2. Entwicklung von Analysealgorithmen zur Windgeschwindigkeitsbestimmung und Erstellung zeitlichhochaufgel¨oster Echogramme zum Studium von Streubedingungen im Streuvolumen am Beispiel mo-nostatisch gemessener Sodarsignale (Kapitel 6).

In den folgenden Abschnitten erfolgt eine Beschreibung der akustischen Eigenschaften der im Rahmendieser Arbeit verwendeten Sende- und Empfangsantennen. Sind alle Kenngr¨oßen des Meßsystems bekannt,liefert eine geeichte Sodarmessung direkt die StrukturparameterC2

v undC2T aus der Empfangsleistung. Am

Ende dieses Kapitels wird mit Hilfe der Radargleichung eine Beispielrechnung zur Absch¨atzung der zuerwartenden Empfangsleistung f¨ur den monostatischen Fall durchgef¨uhrt.

4.3 Beschreibung der verwendeten Sende- und Empfangsantennen

Eine Spezifizierung des Meßsystems erfordert die Kenntnis der frequenzabh¨angigen Eigenschaften derSende- und Empfangsantennen. Dazu ist eine Messung der Richtcharakteristik notwendig, aus der sich derGewinn, die wirksame Fl¨ache des Empf¨angers und die akustische Leistung des Senders berechnen lassen.

4.3.1 Kenngroßen der Richtwirkung

Zur Charakterisierung der Richtwirkung eines Schallfeldes werden ¨ublicherweise genormte Gr¨oßen ver-wendet. Die Richtungsabh¨angigkeit der Schallabstrahlung wird durch den auf den maximalen Schalldruckpmax normierten Richtungsfaktor beschrieben:

D(ϑ;ϕ; f ) =p(ϑ;ϕ; f )

pmax(0;ϕ; f ): (4.1)

Die Hauptstrahlrichtung zeigt in Richtung des maximalen Schalldrucks f¨ur die gilt: ϑ = 0. Aus dem Rich-tungsfaktor berechnet sich ¨uber den Logarithmus das sogenannte Richtungsmaß:

RD(ϑ; f ) = 20logD(ϑ; f ): (4.2)

Eine weitere Kenngr¨oße ist der Gewinn, der wie folgt definiert ist:

G( f ) =IRIi: (4.3)

44 KAPITEL 4. BERUHRUNGSLOSE BESTIMMUNG TURBULENTER PARAMETER

-90 90-50

-40

-30

-20

-10

0

-90 90-50

-40

-30

-20

-10

0

-90 90-50

-40

-30

-20

-10

0

-90 90-50

-40

-30

-20

-10

0

-90 90-50

-40

-30

-20

-10

0

-90 90-50

-40

-30

-20

-10

0

-90 90-50

-40

-30

-20

-10

0 dB

-90 90-50

-40

-30

-20

-10

0

-90 90-50

-40

-30

-20

-10

0

-90 90-50

-40

-30

-20

-10

0

-90 90-50

-40

-30

-20

-10

0

-90 90-50

-40

-30

-20

-10

0

-90 90-50

-40

-30

-20

-10

0

-90 90-50

-40

-30

-20

-10

0 dB

Abbildung 4.2:Richtdiagramme der verwendeten Empfangsantennen. Links: Parabolsegmentantenne mitkurzem Exponentialhorn-Empf¨anger gemessen bei einer Frequenz von 3000 Hz, rechts: Trichterantennegemessen bei einer Frequenz von 4368 Hz.

IR ist die Intensitat einer Richtantenne undIi die eines isotropen Strahlers unter der Voraussetzung gleicherStrahlungsleistung und gleichen Abstandesr eines Meßpunktes. Bei reziproken Antennen ist die Richtcha-rakteristik im Sende- und Empfangsfall identisch. Das gleiche gilt auch f¨ur den Gewinn.

Die wirksame FlacheAe eines Empf¨angers ist proportional zu ihrem Gewinn und stellt eine senkrecht zurAusbreitungsrichtung angenommene Fl¨ache dar. Sie berechnet sich durch das Verh¨altnis von maximalerEmpfangsleistungPr zu der Intensit¨at einer einfallenden ebenen WelleI :

Ae( f ) =Pr

I=

λ2

4πG( f ): (4.4)

Gemessene Richtcharakteristiken der in dieser Arbeit verwendeten Sende- und Empfangsantennen sindin den Polardiagrammen der Abb. 4.2 und 4.3 dargestellt. F¨ur die Sendeseite wurde eine aus 37 Piezo-Elementen bestehende Arrayantenne und ein Exponentialhorn eigesetzt. Die Streusignale wurden mit aufFrequenzen von 3000 bis 4000 Hz dimensionierten Konustrichtern und einer Parabolsegmentantenne mitkurzem Exponentialhorn-Empf¨anger aufgenommen. Eine ausf¨uhrliche Beschreibung der Entwicklung undBerechnung dieser Antennen befindet sich in [115, 97, 69].

4.3.2 Akustische Leistung

Die akustische Leistung ist durch das Skalarprodukt aus Intensit¨at und durchstr¨omter Flache,

P= puS= IS; (4.5)

definiert und wird hier als Effektivwert angegeben. F¨ur ebene Wellen gilt die Beziehung

I =p2

Z0: (4.6)

Dabei istZ0 = ρc der Wellenwiderstand ebener Wellen in Luft (Z0 = 414 Ns/m3). Bei Richtschallquellen istder Schalldruck eine Funktion der Winkelϑ undϕ und der Frequenzf : p= p(ϑ;ϕ; f ). Ist die Abstrahlungum die Hauptstrahlachse rotationssymmetrisch, ergibt sich f¨ur die gesamte in den Halbraum abgestrahlteLeistung in sph¨arischen Koordinaten:

4.3. BESCHREIBUNG DER VERWENDETEN SENDE- UND EMPFANGSANTENNEN 45

-90 90-50

-40

-30

-20

-10

0

-90 90-50

-40

-30

-20

-10

0

-90 90-50

-40

-30

-20

-10

0

-90 90-50

-40

-30

-20

-10

0

-90 90-50

-40

-30

-20

-10

0

-90 90-50

-40

-30

-20

-10

0

-90 90-50

-40

-30

-20

-10

0 dB

-90 90-50

-40

-30

-20

-10

0

-90 90-50

-40

-30

-20

-10

0

-90 90-50

-40

-30

-20

-10

0

-90 90-50

-40

-30

-20

-10

0

-90 90-50

-40

-30

-20

-10

0

-90 90-50

-40

-30

-20

-10

0

-90 90-50

-40

-30

-20

-10

0 dB

0 4 8 12 16 20 24 280

25

50

75

100 ak. Leistung [%]

ϑ [Grad]

0 4 8 12 16 20 24 280

25

50

75

100 ak. Leistung [%]

ϑ [Grad]

Abbildung 4.3:Richtcharakteristik der verwendeten Sendeantennen und akustische Leistung als Funktiondes Integrationswinkels f¨ur die Frequenz 4368 Hz, links f¨ur eine Arrayantenne mit 37 Elementen, rechtsfur das Exponentialhorn. Bei der Arrayantenne befinden sich 95% der abgestrahlten Leistung innerhalb desBereichs von 0 bis6 (Strahlbreite12), beim Exponentialhorn wird diese Leistung innerhalb von 0 bis10

(Strahlbreite20) abgestrahlt.

Pt = 2πr2

π=2Z

ϑ=0

I(ϑ; f ) sinϑdϑ: (4.7)

Die interessierende Gr¨oße ist die in der Hauptkeule enthaltene Leistung, da durch sie das Streuvolumenlokalisiert ist. Die Integration wird daher nur bis zum ersten Minimum durchgef¨uhrt. Mit den gemessenenSchallpegelnL(ϑ;ϕ) ergibt sich:

I(ϑ; f ) =p2

0

Z010

L(ϑ; f )10 ; (4.8)

Pt =p2

02πr2

Z0

ϑminZ

ϑ=0

10L(ϑ; f )

10 sinϑdϑ; (4.9)

46 KAPITEL 4. BERUHRUNGSLOSE BESTIMMUNG TURBULENTER PARAMETER

mit p0 als Bezugsschalldruck (p0 = 2105 N/m2). Mit den genannten Definitionen l¨aßt sich das Schallfeldals Produkt eines richtungsabh¨angigen Anteils und des im Abstandr gemessenen maximalen Schalldrucksformulieren:

p2(ϑ; f ) = p20

h10

Lmax(0; f )10 10

RD(ϑ; f )10

i: (4.10)

Damit ergibt sich aus (4.9) f¨ur diskrete Meßpunkteϑi:

Pt =p2

02πr2

Z010

Lmax10 ∆ϑ

ϑmin

∑ϑ=0

10RDϑi

10 sinϑi: (4.11)

In Abb. 4.3 ist die akustische Leistung als Funktion des Integrationswinkels aufgetragen. Bereits bei ei-ner Keulenbreite von 12 werden im Fall der Arrayantenne 95% der Gesamtleistung abgestrahlt, bei demExponentialhorn ist dies bei 20 der Fall.

Eine Zusammenstellung der aus den gemessen Richtcharakteristiken berechneten Kenngr¨oßen befindet sichin Tab. 4.2.

4.4 Bestimmung der StrukturparameterC2v und C2

T aus Streusignalen

Der Streuquerschnitt (Gl. (3.57)) hat gezeigt, daß die aus einem Kolmogorov-Spektrum resultierende ge-streute Leistung nur schwach von der Wellenl¨ange abh¨angt (σ ∝ λ1=3). Die gestreute Leistung ist die Sum-me zweier Terme, die von den Geschwindigkeitsfluktuationen bzw. den Temperaturfluktuationen herr¨uhren.Qualitativ unterscheiden sich die Beitr¨age nur in der R¨uckstreuung: Aufgrund der angenommenen Inkom-pressibilitat des Mediums erzeugen Windfluktuationen keine R¨uckstreuung beiΘ = 180.

Eine quantitative Messung der gestreuten akustischen Leistung in Abh¨angigkeit von dem Streuwinkel undder Wellenlange ergibt die Intensit¨at der TemperaturfluktuationenΦT(K) und der Windgeschwindigkeitsf-luktuationenE(K) bei der dreidimensionalen RaumfrequenzK als Funktion der Richtung, der Wellenl¨angeund der Hohe. In der folgenden Beispielrechnung werden nur die Beitr¨age der Temperaturfluktuationenbetrachtet.

4.4.1 Radargleichung

Mit den bekannten System- und Meßparametern des Sodarsystems kann mit Hilfe der Radargleichung diezu erwartende Empfangsleistung berechnet werden. Mit der Definition des in Abschnitt 3.4 eingef¨uhrtendifferentiellen Streuquerschnitts

σ(Θ) =I1(Θ)r2

I0V

kann die in diesem Ausdruck schon implizierte Radargleichung angegeben werden:

I1(Θ) =I0Vσ(Θ)

r2 Da: (4.12)

Dieser Ausdruck ist nichts anderes als die Umschreibung des Streuquerschnitts durch die Beziehung zwi-schen der Intensit¨at am Streuvolumen und der am Empf¨anger.Da ist ein Dampfungsfaktor, der die atmo-spharische Abschw¨achung von Schallwellen mitDa = e0:1151ar berucksichtigt, wobeia der Mittelwert des

4.4. BESTIMMUNG DER STRUKTURPARAMETERC2V UND C2

T 47

-13

10-12

10-11

10-10

10-9

10-8

10

0

10

1

10

2

10

3

10

-13

10-12

10-11

10-10

10-9

10-8

10

0

10

1

10

2

10

3

10

Hoehe [m]

Pr [W]

Abbildung 4.4: Empfangsleistung desStreusignals in Abh¨angigkeit von der H¨ohedes Streuvolumens f¨ur den monostati-schen Fall (Θ = 180), berechnet mit denSende- und Empfangseigenschaften derArrayantenne und des Trichterempf¨angers.

-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

20

40

60

80

100

120

140

-5 0 5 10 15 20 25 30 35 40 450

20

40

60

80

100

120

140Hoehe [m]

L [dB]

Abbildung 4.5:Erwarteter Schallpegel ent-sprechend Abb. 4.4 in Abh¨angigkeit vonder Hohe.

frequenzabh¨angigen Absorptionskoeffizienten l¨angs des Ausbreitungswegesr ist. In dem AusdruckI0V sinddie Systemparameter verborgen. Im monostatischen Fall gilt:

I0V = I0Sc0τ2

= Ptc0τ2

: (4.13)

Pt ist die akustische Leistung des Sendepulses. Das StreuvolumenV wird durchS, der hohenabh¨angigendurch die Richtcharakteristik des Senders senkrecht zur Abstrahlrichtung aufgespannten Fl¨acheS, und derdurchc0τ=2 gegebenen Schichtdicke, die auch gleichzeitig die r¨aumliche Auflosung festlegt, bestimmt.τist die Signaldauer. Hier sind zwei N¨aherungen enthalten: Erstens, die Strahlbreite des Senders ist klein unddie Richtcharakteristik innerhalb des durch den RaumwinkelΩ eingeschlossenenKegels konstant.Zweitens,die Entfernungr des StreuvolumensV ist groß im Verhaltnis zu seiner Dickels.

Ublicherweise erfolgt die Formulierung der Radargleichung in Termen der Leistung. Die durch den Empf¨an-ger aufgenommene akustische LeistungPr ist proportional zu seiner wirksamen Fl¨acheAe und zur Intensit¨atder gestreuten WelleI1(Θ):

Pr = AeI1(Θ): (4.14)

48 KAPITEL 4. BERUHRUNGSLOSE BESTIMMUNG TURBULENTER PARAMETER

Fur die Antennenkombination Arrayantenne und Trichterempf¨anger wurde eine Beispielrechnung f¨ur denmonostatischen Fall, d. h. f¨ur einen Streuwinkel vonΘ = 180, durchgefuhrt. Sende- und Empfangsan-tennen sind vertikal ausgerichtet. Die verwendeten Parameter sind in Tab. 4.1 angegeben. Der Wert f¨ur denAbsorptionskoeffizientena bei der Frequenz 4368 Hz wurde einer Tabelle nach ISO 9613 entnommen [127],dort angegeben f¨ur T0 = 20C bei einer relativen Luftfeuchte von 60%.

f Lmax Pt T0 c0 τ C2v C2

T σ(π) a

[Hz] [dB] [W] [K] [m/s] [s] [m4=3s2] [K2m2=3] [m1] [dBm1]

4368 122 1.3 293.15 343.5 0.02 0.06 0.013 2.5e9 0.027bei 20:0C

Tabelle 4.1:Parameter zur Berechnung der akustischen Empfangsleistung von Streusignalen: Der Absorp-tionskoeffizienta wurde einer Tabelle entnommen und entspricht einer relativen Luftfeuchte von 60% bei20C.

Die mit diesen Werten berechnete EmpfangsleistungPr ist in Abb. 4.4 als Funktion der H¨ohe dargestellt,ebenso der entsprechende Schallpegel in Abb. 4.5. Die M¨oglichkeitC2

T zu bestimmen, ergibt sich direkt ausder Empfangsleistung des R¨uckstreusignals beiΘ = 180. Die Bestimmung vonC2

v erfordert eine simultaneMessung unter einem anderen Winkel, der typischerweise, das Maximum der R¨uckstreuung ausnutzend, bei135 liegt.

Bei der Sendefrequenz von 4368 Hz und dem Streuwinkel von 180 laßt sich die stattgefundene Streuungan Temperaturfluktuationen der Wirbelgr¨oßel = 3:9 cm mit einer Orientierung in Richtung Antennenachsezuruckfuhren.

4.4.B

ES

TIM

MU

NG

DE

RS

TR

UK

TU

RP

AR

AM

ET

ERC

2VU

ND

C2T

49

Typ der rel. AbstandEmpfangs- bzw. Dimension der 3-dB zu den akustische effektiveSendeantenne Frequenz Wellenlange turbulenten Wirbel Strahlbreite Nebenkeulen Gewinn Leistung Flache

f λ l G Pak Ar

[Hz] [m] [m] [Grad] [dB] [dB] [W] [m2]

180 135

Sendeseite:

Arrayantenne, 37

Piezo-Elemente 4368 0.0789 0.0394 0.0427 3.8 43 27 1.30

Exponentialhorn 4368 6.5 40 26 1.703000 0.1145 0.0572 0.0619 10.0 30 23 3.65

Empfangsseite:

Konustrichter 4368 9.5 40 20 0.65(Ø = 24 cm) 3000 14.0 25 19 0.49

Parabolsegment 3000 3.0 35 27 4.82(Ø = 0.9 m) mit Expo-nentialhorn

Tabelle 4.2:Spezifikationen der verwendeten Antennen: Angegeben sind die in die Radargleichung eingehenden Systemparameter und die die Ab-strahlung charakterisierenden Gr¨oßen sowie die Skalen der turbulenten Wirbel, die bei typischen Meßwinkeln von 180 und 135 und den verwendetenSendefrequenzen Streuung produzieren, d. h. die Braggbedingung erf¨ullen (berechnet mitc0 = 343:5 m/s).

50 KAPITEL 5. EINFLUSS DES AKUSTISCHEN BRECHUNGSINDEXES

5 Analyse des Einflusses des akustischen Brechungsindexes auf die Dopp-lerverschiebung

Wind- und Temperaturprofile verursachen eine Ablenkung der Schallstrahlen von der durch die Ausrichtungder Sende- und Empfangsantennen vorgegebenen Richtung. Gegenstand der in diesem Kapitel durchgef¨uhr-ten Untersuchung sind die Fehler, die dadurch bei der Messung der Dopplerfrequenz auftreten.

Normalerweise wird die Windgeschwindigkeit aus der Dopplerverschiebung unter der Annahme gradlini-ger Ausbreitung berechnet. In dieser Untersuchung werden Simulationen durchgef¨uhrt, bei denen der exakteOrt des Streuvolumens als auch die Schallstrahlkr¨ummung ber¨ucksichtigt wird. Die Berechnung der erwar-teten Dopplerverschiebung erfolgt mit der Kenntnis der ortabh¨angigen Schallstrahlparameter, die in einemsimulierten Sodarexperiment mit Hilfe eines Strahlverfolgungsprogramms (ray tracing) bestimmt werden.

Die resultierende Dopplerverschiebung wird mit der klassischen Dopplermethode, die auf gradliniger Aus-breitung basiert, f¨ur den Bereich der unteren Grenzschicht der Atmosph¨are bis zu einer H¨ohe von 300 mverglichen.

5.1 Klassische Dopplermethode

K

Θv

a

b

c

Streuvolumen

2k

-k1

k1

ζ

Abbildung 5.1: Klassische Doppler-methode veranschaulicht an einer bi-statischen Meßkonfiguration in einerMitwindsituation. Eingezeichnet sinddie gradlinigen Laufwege entlang derHauptstrahlachsen von Sender (a) undEmpfanger (c). k1 bezeichnet denWellenvektor der einfallenden Welleund k2 den der unter dem WinkelΘ gestreuten Welle.b gibt den Ortdes Streuvolumens an. Die Doppler-verschiebung ergibt sich aus der Pro-jektion des Geschwindigkeitsvektorsvauf den DifferenzvektorK = k2k1.

Die Bestimmung der Windgeschwindigkeit erfolgt durch die im Streusignal enthaltene Dopplerfrequenz.In dem zunachst einfachsten Fall wird das Streuvolumen mit der umgebenden mittleren Str¨omung bewegt,Sender und Empf¨anger befinden sich außerhalb des bewegten Mediums station¨ar im ruhenden System anden Ortena undc (Abb. 5.1). Der entsandte Schallstrahl durchl¨auft bis zum Streuvolumen ein unbewegtesMedium. Die zugrundeliegende Geometrie gradliniger Schallstrahlen f¨uhrtuber eine Galilei-Transformationauf die einfachen Beziehungen

5.2. ERWEITERTE DOPPLERMETHODE 51

ωa = ω0+v k1 und ωc = ω0+v k2; (5.1)

wobeiωa die Winkelfrequenz der entsandten Welle am Orta undωc die Empfangsfrequenz am Ortc be-zeichnet. Die Wellenvektoren der einfallenden und gestreuten Welle,k1 bzw. k2, zeigen in Richtung derSchallwege vom Sender a zum Streuvolumen b bzw. von dort zum Empf¨anger c.ω0 ist die Kreisfrequenzder Welle innerhalb des mitv bewegten Mediums. Mit der Differenz vonωa undωc,

∆ω = (ω0+v k2) (ω0+v k1) = v (k2k1)

() ∆ f =1

2πv (k2k1); (5.2)

ergibt sich die Dopplerfrequenz∆ω bzw. ∆ f aus der Projektion des Windgeschwindigkeitsvektors auf denDifferenzvektorK = k2 k1. Die gemessene Windkomponente zeigt in Richtung der Winkelhalbieren-den des durch die Antennenachsen aufgespannten Winkels. MitΘ als Streuwinkel,K = 2ksinΘ=2 undKvcosζ = v K ergibt sich aus Gl. (5.2) f¨ur die gemessene Windgeschwindigkeitskomponente:

vcosζ =∆ f λ

2sinΘ2

: (5.3)

Diese Beziehung gilt nur, wenn Brechungseffekte aufgrund von Windgeschwindigkeits-und Temperaturpro-filen nicht berucksichtigt werden. In diesem Fall werden die Vektorenk2 undk1 als parallel zu den Haupt-achsen von Sende- und Empfangsantennen angenommen (s. Abb. 5.1). Die Vereinfachung von Gl. (5.3) imFall Θ = 180 fuhrt fur die radiale Windkomponentevr auf

vr = vcosζ =∆ f λ

2: (5.4)

5.2 Erweiterte Dopplermethode unter Berucksichtigung des Einflusses von Brechungsef-fekten auf die Dopplerverschiebung

In der Realitat ist das Medium zwischen Sender und Streuvolumen nicht homogen. Die in der bodenna-hen Grenzschicht auftretenden Wind- und Temperaturprofile verursachen eine fortlaufende Ablenkung desSchallstrahls durch Brechungseffekte.

In der folgenden Darstellung wird ein Ausdruck f¨ur die Dopplerverschiebung hergeleitet, der ber¨ucksichtigt,daß die Temperatur und die Windgeschwindigkeit vom Ortr = (x;y;z) abhangen:v(x;y;z) und T(x;y;z).Durchlauft ein Schallstrahl solch ein Medium, ergibt sich die StrahlgeschwindigkeitC durch Vektoradditionaus der lokalen Schallgeschwindigkeitc in Richtungn und dem Windgeschwindigkeitsvektorv:

C = cn+v: (5.5)

Der Normalenvektorn steht senkrecht auf der Wellenfront parallel zum Wellenvektork. Es wird zwischender Schallgeschwindigkeitc in Richtungk und dem StrahlgeschwindigkeitsvektorC, auf dem sich die Ener-gie ausbreitet, unterschieden (Abb. 5.2). Offensichtlich sind der Wellenvektor und der Strahlgeschwindig-keitsvektor parallel, wenn kein Windfeld existiert. Die Schallgeschwindigkeit ist gem¨aß der Definition deradiabatischen Schallgeschwindigkeit (Gl. (3.8)) nur eine Funktion der Temperatur:

52 KAPITEL 5. EINFLUSS DES AKUSTISCHEN BRECHUNGSINDEXES

v

v =

k

0

T

C

0

v1

T1

c n

k

c n c = c (z ,T)0 = (z ,T, )kk

1

1

1

11

0

0

0

v

Abbildung 5.2:Geschichtetes Medium mitv0;v1

undT0;T1. Bewegt sich das Medium mit der Ge-schwindigkeitv, ergibt sich die Strahlgeschwin-digkeit an einem Punkt der Wellenfront ausder Vektorsummev und nc. c ist die lokaleSchallgeschwindigkeit undn der Normalenvektorder Wellenfront. Sobald ein Geschwindigkeits-feld existiert, sind der Wellenvektork und derStrahlgeschwindigkeitsvektorC, auf dem sich dieEnergie ausbreitet, nicht mehr parallel.

c def=p

(∂p=∂ρ)S=p

γp=ρ =p

γRT(z):

Korrekte Berechnungen des Einflusses von Brechungseffekten auf die Dopplerverschiebung wurden vonGEORGES& CLIFFORD [48] durchgefuhrt. Betrachtet werden die Schallwege von einem station¨aren Sen-der a zu einer Hohe b(t) und vonb(t) zu einem station¨aren Empfangerc (Abb. 5.3).b(t) ist der lauf-zeitabhangige Ort des Streuvolumens. Die momentane Dopplerverschiebung ergibt sich aus der Integrationder Komponente des Wellenvektorsk in Richtungdr (Tangente des Strahlenweges) ¨uber den Laufweg mitb(t) als variabler Integrationsgrenze:

∆ f =1

2π

0B@ d

dt

b(t)Z

a

k1 dr1+ddt

cZ

b(t)

k2 dr2

1CA : (5.6)

Ausfuhrung der Integration ergibt:

2π∆ f =

b(t)Z

a

ddt

k1 dr1+

cZ

b(t)

ddt

k2 dr2 (5.7)

+k1(b) e1(b)db1dt k2(b) e2(b)

db2dt :

Die Einheitsvektorene1 unde2 zeigen in Richtung des einlaufenden und gestreuten Schallstrahls am Ortb,db1=dt unddb2=dt sind die Komponenten der Bewegung des Streuvolumens in diese Richtungen:

db1

dt= v e1; (5.8)

db2

dt= v e2: (5.9)

5.2. ERWEITERTE DOPPLERMETHODE 53

k

Θ k

v

a

b

c

1

2

e1

e 2virtuelles Streuvolumen

eigentliches Streuvolumen

Abbildung 5.3:Skizze zur Veranschau-lichung des Einflusses von Brechungs-effekten fur eine bistatische Sender-Empfangeranordnung in einer Mit-windsituation. Die Vektorene1 unde2 bezeichnen die Einheitsvektoren inRichtung einfallender bzw. gestreuterWelle (Richtung des Strahlgeschwin-digkeitsvektorsC). Existiert ein Wind-gradient, sind Wellenvektor und Strahl-ausbreitungsvektor nicht mehr parallel.

Die Integrale in Gl. (5.7) tragen der Zeitabh¨angigkeit des Mediums w¨ahrend des Schalldurchgangs Rech-nung. Da jedochc v ist, werden die zeitlichenAnderungen des Brechungsindex entlang des Ausbrei-tungsweges als vernachl¨assigbar klein eingesch¨atzt. In diesem Fall verschwinden die Integrale. Mit demdurch

N =c0k2π f0

(5.10)

definierten Brechungsindexvektor in Richtungk lassen sich die restlichen Terme in Gl. (5.7) zu

∆ f =f0c0

h(N2 e2)(v e2) (N1 e1)(v e1)

i(5.11)

umformen.c0 ist die Referenzschallgeschwindigkeit an den station¨aren Sende- und Empfangspunktenaundb und f0 ist die Sendefrequenz.N1 undN2 beziehen sich auf die Wellenvektoren der einfallenden undgestreuten Welle inb. In der Form

∆ f =f0vc0

h(N2 e2)e2 (N1 e1)e1

i(5.12)

stellt sich Gl. (5.11) als Projektion des Windvektors auf den geklammerten Differenzvektor dar und f¨urden FalljNj= 1 reduziert sich dieser Ausdruck auf (5.2). Mit Gl. (5.12) kann eine Fehlerabsch¨atzung fur∆ f bezuglich gradliniger Ausbreitung durchgef¨uhrt werden, wenn Betrag und Richtung von Wellenvekto-ren und Strahlgeschwindigkeit der einfallenden und gestreuten Welle f¨ur jede Hohe bekannt sind. DieseGleichung ist Ausgangspunkt f¨ur die in Abschnitt 5.4 durchgef¨uhrte Fehlerrechnung f¨ur lineare und realeProfile der Temperatur und der Windgeschwindigkeit mit Hilfe eines Strahlverfolgungsprogramms [39, 40].

54 KAPITEL 5. EINFLUSS DES AKUSTISCHEN BRECHUNGSINDEXES

Zunachst soll jedoch eineUbersichtuber in der Literatur vorkommende Brechungsindexkorrekturen gege-ben werden.

5.3 Korrekturverfahren

Die durch Wind und Temperatur auftretenden Effekte bei Sodarmessungen lassen sich wie folgt zusammen-fassen:

1. Lokalisierung:Die Dopplerverschiebung wird aus dem Leistungsspektrum eines bestimmten Zeitab-schnitts des Empfangssignals bestimmt. Die Laufzeit, aus der man die H¨ohe bestimmt, ist ein Zeit-punkt innerhalb des Auswerteintervalls aufeinanderfolgender Pulse. Die H¨ohenbestimmung erfolgtmit einer Schallgeschwindigkeit, die sich aus einer Messung der Temperatur in Bodenn¨ahe ergibt. Dadie Schallstrahlen infolge von Wind und Temperatur gekr¨ummt sind und die Strahlgeschwindigkeitvom Laufweg abh¨angt, wachst die Abweichung des Streuortes gegen¨uber gradliniger Ausbreitung mitder Hohe (virtuelles Streuvolumen).

2. Dopplerverschiebung:Der Betrag der Dopplerverschiebung ¨andert sich aufgrund zweier Effekte: Er-stens fuhrenAnderungen der Strahlgeschwindigkeitsvektoren und Richtung der Wellenvektoren zuAnderungen von Richtung und Betrag des Streuvektors. Zweitens verursacht die Existenz eines Tem-peraturprofils zus¨atzlich Anderungen von Betrag und Richtung der Wellenvektoren und somit desStreuvektors.

3. Streuwinkel:Die lokalen Einfalls- und Streuwinkel der Schallstrahlen ¨andern ihre Richtung und somitandert sich auch der Streuwinkel.

4. Fluktuationen:Zeitliche Variationen des Brechungsindexes entlang des Schallstrahls tragen zur Dopp-lerverschiebung bei, die jedoch unter der Annahme der Taylor-Hypothese vernachl¨assigbar sind.

In dem Artikel von GEORGES & CLIFFORD [48] ist die korrekte Bestimmung der Dopplerverschiebungabgehandelt. Mit dem dort angegebenen Ausdruck, Gl. (5.12), werden bis auf die zeitlichenAnderungenwahrend des Schalldurchgangs alle hier angef¨uhrten Effekte fur beliebige Wind- und Temperaturprofileerfaßt. Die in der Literatur vorkommenden Angaben ¨uber Korrekturverfahren st¨utzen sich bis heute aufdiesen Artikel [43, 134, 106, 49].

Gl. (5.12) ist analytisch nicht l¨osbar. Zu ihrer Berechnung ist die Kenntnis der ¨ortlichen Strahlparameternotwendig, die sich nur mit numerischen Methoden (Strahlverfolgung) simulieren lassen. Das Problem ist,von der Meßgr¨oße∆ f auf das wahre Windprofil zu schließen. Die Bestimmung vonv aus gemessenenDopplerprofilen vom Boden aus ist auf N¨aherungen angewiesen, die auf analytische Ausdr¨ucke fuhren.

5.3.1 Horizontale Schichtung

Von GEORGES& CLIFFORD [48] wird eine Gleichung angegeben, mit der es m¨oglich ist, Wind- und Tem-peraturprofile zu trennen. Dazu wird eine horizontale Schichtung zugrundegelegt, bei der Wind- und Tem-peratur nur von der H¨ohezabhangen. In diesem Modell k¨onnen die Winkel am Streuer durch das Snell’scheGesetz mit den Winkeln am Boden in Beziehung gesetzt werden:N1sinφ1 = sinφa, N2sinφ2 = sinφc. DerWinkelφa bezeichnet den Start- undφc den Empfangswinkel, am Streuer istφ1 der Einfallswinkelundφ2 derStreuwinkel. Der Windvektor liegt in der vertikalen Sender- Empf¨angerebene,v = (vx;0;vz), und schließtmit der Horizontalen den Winkelβ ein (s. Abb. 5.4).

5.3. KORREKTURVERFAHREN 55

k

φ1

k

v

a

b

c

1

2

virtuelles Streuvolumen

eigentliches Streuvolumen

φ

φ

φ

2

a

c

βAbbildung 5.4:Bezeichnung von Start- undAnkunftswinkel und der Einfalls- und Streu-winkel am Streuer.β ist der Azimuthwinkeldes Windvektors, so daß gilt:tanβ = vz=vx.

Weitere Naherungen sind, daß die Abweichungen der Gr¨oßen am Streuer klein gegen die am Boden sind.Es gilt:v c0, φ1 = φa+∆φ1 wobei∆φ1 φa undc= c0+∆c mit ∆c c0. Diese Annahmen f¨uhren auf:

∆ f =12π

(k2k1) v+ f0

v2

c20

(FxcosβFzsinβ)vc0

∆cc0

sinβ(secφcsecφa)

; (5.13)

wobeiFx cos(β+φc)cosφccos(β+φa)cosφa

undFz cos(β+φc)sinφccos(β+φa)cosφa+cosβ(tanφc tanφa):

Der erste Term auf der rechten Seite von Gl. (5.13) entspricht der einfachen Dopplerverschiebung bei gradli-niger Ausbreitung. Im letzten Term dieser Gleichung taucht neben der Windgeschwindigkeit auch die Tem-peratur in Form von∆c explizit auf. Die Voraussetzung daf¨ur ist allerdings, daß es einen mittleren vertikalenWind gibt (sinβ > 0). Vertikale Windkomponenten sind jedoch in der Regel sehr klein und verschwindenim allgemeinen Meßfehler. In einer sp¨ateren Arbeit von GEORGES& CLIFFORD [49] wird diese Gleichungals Spezialfall (φa = φc) fur monostatische Messungen angef¨uhrt:

∆ f =1

2π(k2k1) v+

2vc0

∆cc0

sinβsecφa: (5.14)

Liefert die vertikale Windgeschwindigkeit einen nicht vernachl¨assigbaren Anteil zum Windvektor, deutetsich mit Gl. (5.13) und (5.14) eine M¨oglichkeit an,∆c zu messen.

5.3.2 Verschiebung des Streuvolumens

In der Literatur gibt es verschiedene Korrekturverfahren f¨ur die Bestimmung des Streuortes. Erstes Beispielstammt aus GEORGES& CLIFFORD [48]. Fur die Verschiebung des Streuortes werden analytische Glei-

56 KAPITEL 5. EINFLUSS DES AKUSTISCHEN BRECHUNGSINDEXES

chungen erster Ordnung angegeben, wobei von konstanten Schallgeschwindigkeits- und Windgradientenausgegangen wird. Der Ort des virtuellen Streuvolumens ist durch

x0 =d tanφa

tanφa tanφc(5.15)

und

z0 =d

tanφa tanφc(5.16)

gegeben. Die Notation entspricht wieder der in Abb. 5.4. Der wahre Streuort seix= x0+∆x undz= z0+

∆z. Positive∆x bezeichnen eine Verschiebung in Richtung Empf¨anger, positive∆z eine Verschiebung inRichtung positiverz-Achse.d bezeichnet den Abstand zwischen Sender und Empf¨anger oder in h¨oherenSchichten den der Eintritts- und Austrittspunkte der Strahlen. Die Effekte von Temperatur und Wind sind inkomplizierter Weise miteinander gekoppelt. Sie werden daher dort getrennt behandelt:

5.3.2.1 Windstiller Fall

Wird von einem linearen Schallgeschwindigkeitsprofil ausgegangen, lassen sich∆x und∆z folgendermaßenbestimmen. Mit dem Snell’schen Brechungsgesetz l¨aßt sich die Kr¨ummung durch

κ = sinφa

1c0

dcdz

Gsinφa =) G=

1c0

dcdz

(5.17)

beschreiben. Die Strahlen sind Kreisb¨ogen, deren Zentren in einer H¨ohe liegen, bei der die Schallgeschwin-digkeit den Wert null annehmen w¨urde. Diese Form der Strahlkr¨ummung ist bekannt f¨ur Schallausbrei-tung in einer horizontal geschichteten Atmosph¨are mit konstantem Schallgeschwindigkeitsgradienten. DieSchnittpunkte der daraus berechneten Strahlen definieren das Streuvolumen. F¨ur diex-Verschiebung gilt:

∆x=GSd2

2D(D+Gd); (5.18)

mit S= cotφc+cotφa, D = cotφccotφa. Fur diez-Verschiebung gilt mit der Voraussetzungz 1=G:

∆z' ∆xcotφaGx2

2: (5.19)

5.3.2.2 Fall mit konstantem Windgradienten und isothermer Atmosph¨are

Die Strahlen werden wieder durch Kreisb¨ogen gen¨ahert. Fur den Fall, daßvx c, gilt mit dem Snell’schesBrechungsgesetz f¨ur den Krummungsradius:

κ =

1

2vx

csinφa

1c

dvx

dz'

1c

dvx

dz H: (5.20)

Wird vernachlassigt, daß der Wellenvektork und der Tangentialvektordr=dt an den Strahlenweg nichtgenau in die gleiche Richtung weisen, k¨onnen∆x und ∆z uber den Schnittpunkt zweier Kreise bestimmtwerden. Bei konstanter Temperatur bzw. konstanter Schallgeschwindigkeit und linearem Windprofil ist diegraphische Konstruktion der Kreise wie folgt m¨oglich: Der Radius des Kreisstahls entspricht der H¨ohe,uber

5.3. KORREKTURVERFAHREN 57

der die Windgeschwindigkeit den Wert von null bis zur Schallgeschwindigkeit annehmen w¨urde. Der Ur-sprung liegt entlang einer Linie durch die Quelle senkrecht zur Senderichtung. Ebenso wird der Kreisstrahlin Richtung Empfanger konstruiert. Das Zentrum liegt entlang einer Linie durch den Empf¨anger senkrechtzur Einfallsrichtung. F¨ur ∆x ergibt sich in erster Ordnung inH∆x:

∆x=

H2

sin(φcφa)

f(x2

0+z20)sinφc [(x0d)2+z2

0]sinφag: (5.21)

Fur die vertikale Verschiebung ergibt sich in erster Ordnung inH∆z:

∆z=

H2

sin(φcφa)

f(x2

0+z20)cosφc [(x0d)2+z2

0]cosφag: (5.22)

Ist die Sendeantenne vertikal (φa = 0) gerichtet, gilt:

∆x=Hd2

2tan2φc (5.23)

und

∆z=Hd2

2tan3 φc: (5.24)

Auff allig bei der hier vorgeschlagenen Korrektur der Dopplerverschiebung ¨uber die Ortsbestimmung desStreuvolumens ist, daß es beim Empfangswinkelφc keinen Unterschied zwischen dem virtuellen und demtatsachlichen Fall gibt, da das virtuelle Streuvolumen offensichtlich durch die Schnittpunkteder Strahlen, dieaus den Start- und Einfallswinkelnder Strahlkreise berechnet werden, bestimmt wird. Ist diese Konstruktionrichtig, liegt der virtuelle Streuort bei Mitwindbedingungen ¨uber dem tats¨achlichen. Die Vorstellung istjedoch, daß aufgrund der mit der H¨ohe zunehmenden Strahlgeschwindigkeit der tats¨achlche Streuort, wie inAbb. 5.3,uber dem virtuellen liegt.

5.3.3 Monostatische Korrekturen.

Die oben angegebenen Korrekturen werden von GEORGES& CLIFFORD in [49] auf monostatische Messun-genubertragen. In diesem Beispiel erfolgt die Berechnung des Streuortes nicht ¨uber die Schnittpunkte dergradlinigen Ausbreitung sondern ¨uber die Laufzeit. Es wird wiederum zwischen konstantem Schallgeschwin-digkeits- und konstantem Windgradienten unterschieden. F¨ur das lineare Schallgeschwindigkeitsprofil wirddie Form

c(z) = c0(1+az) (5.25)

angenommen. Die reale Ort wird durch

z= z0az2

0

2(tan2 φa1); (5.26)

x= z0 tanφa+az20 tanφa

az20

2tan3 φa (5.27)

angegeben. Hier istz0 = (c0t=2)cosφa die scheinbare H¨ohe, die sich aus der Laufzeitt ergibt. Fur dieAbschatzung des Einflusses durch den Wind werden wieder lineare Windprofile angenommen:

58 KAPITEL 5. EINFLUSS DES AKUSTISCHEN BRECHUNGSINDEXES

vx(z) = gz: (5.28)

Daraus ergibt sich f¨ur den realen Ort

z= z0gz2

0

2sinφa; (5.29)

x= z0 tanφa+gz2

0

2cosφa: (5.30)

Liegen sowohl Wind- als auch Temperaturgradienten vor, sollen die Abweichungen einfach addiert werden.Mit den letzten drei Gleichungen bieten sich zwei M¨oglichkeiten an, ein gemessenes Sodarwindprofil zukorrigieren:

Fur jede virtuelle H¨ohe wird einvx(z0) gemessen um daraus eing bestimmen. Damit k¨onnen wieder-um x undzberechnet werden.

Es wird in Schichten gerechnet, d. h. in festen Zeitschritten∆t. Fur jede Schicht wird eing berechnetund daraus ein∆zund∆x, die aufsummiert werden m¨ussen. Die Sendeh¨ohe wird immer bis zur wahrenStreuerh¨ohe der vorherigen Schicht angehoben.

PHILLIPS, RICHNER & N ATER [106] berechnen ihre Korrekturen ¨uber den Ort des Streuvolumens zur Er-mittlung der Winkel und vergleichen ihre Methode mit der von GEORGES& CLIFFORD. Die Konstruktiondes Strahlenweges erfolgt auch hier in einer horizontal geschichteten Atmosph¨are mit einem Windv(z) undeinem Schallgeschwindigkeitsprofilc(z). Dabei wird davon ausgegangen, daß innerhalb der Schichten diejeweiligen Gradienten konstant sind. Der eigentliche Fortschritt bei den dort vorgenommenen Korrekturensei die Ber¨ucksichtigung des Richtungsunterschiedes von Wellenvektor und Strahlgeschwindigkeit. In demvon GEORGES& CLIFFORD angefuhrten Modell fur konstante Windgradienten (Abschnitt 5.3.2.2) wirddies vernachl¨assigt. Das Verfahren ist leider nicht so nachvollziehbar, wie die von GEORGES& CLIFFORD

angefuhrten und am Ende sind auch Zweifel der Anwendbarkeit beschrieben. Ausgangspunkt der Berech-nungen bildet wiederum das Snell’sche Brechungsgesetz:

sinφa

c0+vx;a sinφa=

sinφ(z)c(z)+vx(z)sinφ(z)

; (5.31)

womit

φ(z) = arcsin

c(z)sinφa

c0vx(z)sinφa

(5.32)

berechnet werden kann.φ(z) ist der hohenabh¨angige Winkel, denk mit der Senkrechten einschließt (s.Abb. 5.5). Der Indexa bezieht sich auf die Sendeantenne. Dort giltvx;a = 0 m/s. Wird davon ausgegangen,daßc(z) undvx(z) als Meßgr¨oße vorliegen, l¨aßt sich einφ(z) berechnen und mit

α(z) = arctan

vx(z)cosφ(z)

c(z)+vx(z)sinφ(z)

(5.33)

der Winkel zwischen Wellen- und Strahlgeschwindigkeitsvektor, womit sich der gesamte Winkel f¨ur dieAusbreitungsrichtung des Strahls mitθ(z) = φ(z)+α(z) ergibt. Mit dem arithmetischen Mittel ¨uber dieWerte an den Grenzen der Schicht der Dicke∆z,

5.3. KORREKTURVERFAHREN 59

φ k

v

eigentliches Streuvolumen

φa

(z)

α

θ

(z) C

Abbildung 5.5:φ undθ als Funktion der H¨ohe. Wellen- undStrahlgeschwindigkeitsvektor schließen den Winkelα einund sind am Ort der Sendeantenne parallel.

θ(z) =12

hθ(z)+θ(z+∆z)

i; (5.34)

laßt sich die horizontale Verschiebung

∆x= ∆ztanθ (5.35)

abschatzen. In Antennenh¨ohe gilt:α(za) = 0 undθ(za) = φa. Damit laßt sich eine horizontale Abweichunguber mehrerer Schichten vom gradlinigen Verlauf angeben:

δx=∑∆x

ztanφa: (5.36)

Bis hierhin geht die Rechnung nur vom steigenden Strahl aus. F¨ur die Abschatzung der vertikalen Verschie-bung wird jodoch die gesamte Laufzeit zum Streuer hin und zur¨uck benotigt. Dazu wird der fallende Strahldurch Variation des Streuwinkelsθd(zs) (der Indexd bezieht sich auf den fallenden Strahl) am Streuortzs

bestimmt, bis der Empfangsort bis auf eine tolerierbare Ungenauigkeit getroffen ist. Mitθd(zs) ist auchφd(zs) bekannt und damit f¨ur jede Schicht ein mittleresφd(z) und einc(z) berechenbar. Mit diesen Gr¨oßenkonnen fur jede Schicht die Laufzeiten f¨ur den steigenden und den fallenden Strahl berechnet werden:

∆tu =∆z

c(z)cosφ(z); (5.37)

∆td =∆z

c(z)cosφd(z): (5.38)

Damit ergeben sich die Gesamtlaufzeiten zu:

ttot = tup+ tdown= ∑∆tu+∑∆td: (5.39)

Fur die zu erwartende Laufzeittexp, die Brechungseffekte unber¨ucksichtigt laßt, wird eine Gleichung ange-geben, die sich aus Signallaufzeit und Schallgeschwindigkeitc0 am Boden ergibt:

60 KAPITEL 5. EINFLUSS DES AKUSTISCHEN BRECHUNGSINDEXES

texp= 2zs

c0cosφa: (5.40)

Dieser Ausdruck gilt jedoch nur f¨ur monostatische Anordnungen und f¨ur bistatische im Fall eines gleich-schenkligen Dreiecks. F¨ur den allgemeinen bistatischen Fall gilt:

texp=zs

c0

1

cosφa+

1cosφ0

: (5.41)

Der Unterschied beider Zeiten (mit Gl. (5.40)) ist dann:

∆t = texp ttot: (5.42)

Der Streuer wird l¨angs des aufsteigenden Strahls verschoben, also ist∆tup der entscheidende Summand zurBestimmung der vertikalen Verschiebung. In erster Ordnung gilt:

∆tup=tup

ttot∆t: (5.43)

Damit laßt sich eine vertikale Verschiebung angeben:

δz= ∆tupc(zs)cosφ(zs): (5.44)

Dabei wird vorausgesetzt, daßc(z), φ(z), θ(z) undvx(z), wobei die ersten drei explizit und letztere nicht imText erwahnt werden, sich ¨uber die Verschiebungsh¨oheδz nicht wesentlich ¨andern. Man kann sogar einezusatzliche horizontale Verschiebung angeben:

ξ = δztanφ(zs); (5.45)

so daß sich die horizontale Gesamtverschiebung durch

ξ0 = δxξ (5.46)

angeben l¨aßt. Aus den hier angef¨uhrten Gleichungen geht nicht hervor, wie sich aus gemessenen Sodardatenein korrigiertes Windprofil erzeugen l¨aßt, es bleibt auch offen, wie die Schallgeschwindigkeitc(z) bestimmtwird. Denkbar ware eine iterative M¨oglichkeit indem einfachc(z) = const: gesetzt wird. F¨ur die Hohez1,die aus der Laufzeit bestimmt wird, wird einvx(z1) gemessen. Eingesetzt in die Gleichungen erh¨alt manein δz(z1). Damit hat man einvx(δz1) gewonnen. F¨ur vx(z2) setzt manz1 = δz1 und berucksichtigt bei derBestimmung vonz2 die Laufzeitt1 undvx(δz1).

5.4. SIMULATION DER ZU ERWARTENDEN DOPPLERVERSCHIEBUNG 61

5.4 Simulation der zu erwartenden Dopplerverschiebung mit Strahlverfolgung

EmpfängerMitwind

EmpfängerGegenwind

Wind

Sender

Streuer

Abbildung 5.6:Aufgrund des Windes wird dieRichtkeule des Senders verbogen. Die Streuerwerden auf das Mitwindmikrofon zugescho-ben.

Es werden Sodarmessungen f¨ur Mit- und Gegenwindrichtung simuliert. Dazu werden die in Gl. (5.12) einge-henden lokalen Schallstrahlparameter unter simulierten meteorologischen Bedingungen ermittelt. Die Be-rechnung der Schallstrahlen erfolgt unter der Voraussetzung einer horizontal geschichteten Atmosph¨are.Mit Strahlverfolgung sind die Wege der unter einem bestimmten Winkel entsandten Strahlen und die An-kunftsorte (reale Streuvolumina) auf den Zielebenen vorgegebener H¨ohen bei bekanntem Schallgeschwin-digkeitsprofil bestimmbar. Die gefundenen Orte an diesen H¨ohen, die das Streuvolumen darstellen, dienenals neue Quelle f¨ur die Berechnung der Eigenstrahlen in Richtung Empf¨anger. Die berechneten Parame-ter der Eigenstrahlen sind Vergleichsgr¨oßen hinsichtlich linearer Strahlen. In der Realit¨at wird der Schalleiner Sodarantenne nicht nur in Hauptachsenrichtung, sondern innerhalb des durch die Richtcharakteristikbegrenzten Bereichs abgestrahlt. Vereinfachend werden die hier berechneten Schallwege interpretiert alsWege, auf denen sich die insgesamt abgestrahlte mittlere Energie ausbreitet (s. Abb. 5.6).

Abbildung 5.7: Geometrie zur simuliertenDopplermessung. Es werden Schallstrahlenfur Mit- und Gegenwindsituationenberechnet.Eingezeichnet sind die linearen Laufwege.

hQuelle

Empfänger Empfänger-d dx-x

z

vzvir

a c

Die der Simulation zugrundeliegende Geometrie von Quelle und Empf¨anger ist symmetrisch, so daß Mit-und Gegenwindsituationen vergleichbar sind (s. Abb. 5.7). Das Koordinatensystem wird so festgelegt, daßdie xy-Ebene auf der Erdoberfl¨ache liegt und diez-Achse die H¨ohe angibt. Der Sender befindet sich imUrsprung. Die Empf¨anger liegen entlang derx-Achse den Ortena undc in einem Abstand vond = 150 m

62 KAPITEL 5. EINFLUSS DES AKUSTISCHEN BRECHUNGSINDEXES

zum Sender. F¨ur die Hoheh der Quelle und der Empf¨anger wird 1 m festgelegt. Das ist auch gleichzeitig dieHohe fur die die Bezugsschallgeschwindigkeitc0 angegeben wird. Das Medium ist horizontal geschichtet, d.h., der Windvektor hat keine vertikalen Komponenten, er zeigt in Richtung positiverx-Achse:v = (vx;0;0).Mit einem Startwinkel von 0 gegen diez-Achse werden Eigenstrahlen f¨ur Hohen von 25 bis 300 m inSchritten von 25 m berechnet. Die Startwinkel f¨ur die Berechnung der Eigenstrahlen, die an den Empf¨angernankommen, werden durch die Orte der Streuvolumina bestimmt.

5.4.1 Fehleranalyse im Vergleich zur gradlinigen Ausbreitung

5.4.1.1 Berechnung von∆ f aus Strahlenparametern

Mit vorgegebenen Wind- und Temperaturprofilenv(z) und c(z) werden Fehlerrechnungen im Vergleichzur gradlinigen Ausbreitung durchgef¨uhrt. Mit den aus der Simulation gegebenen Schallstrahlparametern,dem Ankunftswinkelγ1, dem Startwinkelγ2 und dem Betrag der Strahlgeschwindigkeit einlaufender undgestreuter WelleC1 undC2 konnen alle weiteren Gr¨oßen, die zur Berechnung von Gl. (5.12) notwendigsind, fur jeden Ortr = (x;0;z) entlang des Schallstrahls berechnet werden (s. Abb. 5.8). F¨ur die Berechnungder Terme in Gl. (5.12), intuitiver durch

∆ f =1

2πvh(k2 e2)e2 (k1 e1)e1

i| z

K

ausgedr¨uckt, sind Betrag und die Richtung des lokalen Wellenvektorsk notwendig. Sein Betragk = jk1j=

jk2j hangt nur von dem Schallgeschwindigkeitsprofil ab (in unserem speziellen Fall beh¨alt k1 seine ur-sprungliche Richtung bei, da am Startort keinex-Komponente vorliegt):k = 2π=λ! λ = c(T;z)= f0. Da kparallel zum Schallgeschwindigkeitsvektorcn = (cnx;0;cnz) ist, ergibt sich die Richtung gem¨aß Gl. (5.5)aus der Vektordifferenz der Gruppengeschwindigkeit und der Windgeschwindigkeitv = (vx;0;0):

0@ cnx

0cnz

1A=

0@ Cx

0Cz

1A

0@ vx

00

1A : (5.47)

γ

α

β1

1

1

γ

α

β2

2

2

α2

α1

x

zv

v

v

ζ

kC

cn2

1

C2

1

k2

1k’

2k’

K -

1k’

cn11) 2) 3)

e 2

e 1 Abbildung 5.8: Lokale Strahlparame-ter: 1) GeschwindigkeitsvektorC =

cn+v an einem Punkt des Schallwegesfur ein- und ausfallenden Strahl mitγ1

undγ2 als Einfalls- und Ausfallswinkel.2) und 3) veranschaulichen Gl. (5.12).Der StreuvektorK ergibt sich aus denProjektionen vonk1 bzw. k2 auf dieAusbreitungsrichtungene1 unde2.

5.4. SIMULATION DER ZU ERWARTENDEN DOPPLERVERSCHIEBUNG 63

Mit β = arctan(cnz=cnx) undα = β γ lassen sich die Projektionen auf die Richtung der Schallausbreitungberechnen. Die neuen Vektoren heißen:

k01 = (kcosα1)e1 und k0

2 = (kcosα2)e2: (5.48)

Der Klammerausdruck in Gl. (5.12) nimmt somit die Form

0@ Kx

0Kz

1A=

0@ k0x;2

0k0z;2

1A

0@ k0x;1

0k0z;1

1A (5.49)

an. Mit ζ = arctan(Kz=Kx) als Projektionswinkel der Windgeschwindigkeit auf den StreuvektorK erhalt derAusdruck fur die Dopplerverschiebung∆ f die Form

∆ f =1

2πvKcosζ: (5.50)

5.4.1.2 Definition der virtuellen Gr¨oßen

Alle mit Strahlverfolgung berechneten Gr¨oßenubernehmen die Rolle realer Gr¨oßen.∆ f wurde bei entspre-chenden realen Schallausbreitungssituationen die tats¨achliche Meßgr¨oße darstellen. Zur Berechnung desFehlers bei der Bestimmung der Windgeschwindigkeit geht∆ f als simulierte Meßgr¨oße in Gl. (5.3) ein undliefert den Wert der Geschwindigkeit, die sich unter linearen Ausbreitungsbedingungen mit der Bezugs-schallgeschwindigkeitc0 in Bodennahe ergeben w¨urde:

vvir =∆ f λ0

2sinΘvir2 cosζvir

:

(Alle die Brechungseffekte nicht ber¨ucksichtigenden Vergleichsgr¨oßen werden ab jetzt als virtuell bezeich-net und mit dem Indexvir versehen, die aus der Simulation hervorgehenden mit dem Indexreal.) DieseGleichung enth¨alt den Betrag des Streuvektors

Kvir = 2k0sinΘvir

2:

Gradlinige Laufwege entsprechen den Wegen, wie sie sich ¨ublicherweise aus einer gew¨ahlten Laufzeit undder Bezugsschallgeschwindigkeitc0 ergeben. In diesem Fall ¨ubernehmen die mit dem Strahlverfolgungspro-gramm berechneten Laufzeitent die Rolle der bei Sodarexperimenten durch das Transientenfenster gew¨ahl-ten Laufzeit zur Bestimmung der virtuellen Laufwege und somit der H¨ohe des Streuvolumens. Ohne Kennt-nis der lokalen Strahlgeschwindigkeit w¨urden sich die den Geschwindigkeitenvvir zuzuordnenden H¨ohenaus dem berechneten GesamtlaufwegSvir = c0t zu

zvir =(d2S2

vir)

2Svir(5.51)

ergeben. Die f¨ur die Berechnung von Gl. (5.3) notwendigen Winkel resultieren aus dieser H¨ohe. Fur denStreuwinkelΘvir und den Projektionswinkelζvir des Windgeschwindigkeitsvektors ergibt sich dann:

Θvir = πarctan(d=zvir) und ζvir =π2

arctan(d=zvir)

2: (5.52)

64 KAPITEL 5. EINFLUSS DES AKUSTISCHEN BRECHUNGSINDEXES

5.4.2 Lineare Profile

Die Simulation wird zun¨achst fur lineare Wind- und Temperaturprofile durchgef¨uhrt. Um die Effekte vonTemperatur und Wind zu trennen, wird jeweils f¨ur drei Windprofile (Gradient: 0.05, 0.1 und 0.15 s1) dasTemperaturprofil (Gradient:0:1, 0:05, 0, 0.05 und 0.1Cm1) variiert. Die in denUberschriften derAbb. 5.10 bis 5.15 angegebenen Windgeschwindigkeiten und Temperaturen beziehen sich immer auf 100 mHohe. In 0 m Hohe betragt der Wind 0 m/s und die Temperatur 0C.

5.4.2.1 Vergleich Mit- und Gegenwind

Die oberen Reihen der Abb. 5.10, 5.12 und 5.14 (S. 67, 69 und 71) enthalten jeweils die unter gradlinigenAusbreitungsbedingungen zu erwartenden Profile f¨ur Mit- und Gegenwind im Vergleich zum realen Wind.Es zeigt sich in allen F¨allen, daß der gemessene Mitwind von der wahren Geschwindigkeit zu kleinerenWerten abweicht w¨ahrend der Gegenwind zu große Werte aufweist. Wird eine mittlere Windgeschwindigkeitbestimmt, erh¨alt man ein Windprofil, das wesentlich n¨aher am realen Wind liegt. Die Windmittel sind einmittlerer Wind, gebildet aus dem gemessenen Mit- und Gegenwind bez¨uglich der virtuellen H¨ohezvir:

Windmittel(zvir) =12[Mitwind(zvir)+Gegenwind(zvir)] : (5.53)

Betrachtet man die Windfehler (jeweils mittlere Reihe), so zeigt sich, daß die auftretenden Fehler f¨ur Mit-und Gegenwind nahezu symmetrisch um null liegen. Inwieweit es zu einer Aufhebung der Mit- und Ge-genwindfehler kommt, wird offenbar von dem Temperaturprofil beeinflußt. EineAnderung in Richtungzunehmender Temperaturgradienten bewirkt eine Verschiebung der Fehler des Windmittels von positiven zunegativen Fehlern. Die unteren Reihen enthalten neben den Windfehlern auch die korrespondierenden Feh-lerbeitrage der in die Dopplerformel eingehenden Gr¨oßenδK undδcosζ. Fur alle hier angegebenen FehlerδX gilt immer:

δX = XvirXreal: (5.54)

Die relativen Fehler sind auf die reale Gr¨oße bezogen:δX=Xreal.

Profile ohne Temperaturgradient: Reine Windeffekte (jeweils mittlere Spalte der Abb. 5.10, 5.12 und5.14) bewirken beiK durch die ver¨anderten Schallwege nur geometrisch bedingte Fehler, da der Betrag derWellenvektoren konstant bleibt. Die Unterschiede der geometrischen Fehler, die bei Mit- und Gegenwindauftreten, verdeutlicht Abb. 5.9. Rot eingezeichnet ist die Geometrie, die nicht die Kr¨ummung der Strahlenund die damit verbundenen ver¨anderten Ein- und Ausfallswinkel ber¨ucksichtigt.

Beim Mitwind wird K real relativ zu Kvir kurzer, da aufgrund der gekr¨ummten Strahlen der Streuwinkelgestaucht wird. Dieser Effekt wird durch positive Temperaturgradienten unterst¨utzt. Der Winkelζreal wirdrelativ zuζvir großer und damit dessen Kosinus kleiner. Beide Fehler f¨uhren dazu, daß das Produktv K real

kleiner wird. Die tats¨achliche Meßgr¨oße∆ f ist kleiner als unter gradlinigen Bedingungen. Daraus folgt, daßder Wind untersch¨atzt wird. Das gleiche gilt f¨ur die Hohe. Im Vergleich zur Ausbreitung in Bodenn¨ahe istder tatsachlich zuruckgelegte Weg des Strahls nach der Laufzeitt langer, die H¨ohe wird daher untersch¨atzt,was durch positive Temperaturgradienten verst¨arkt wird.

Die genannten Effekte wirken sich bei Gegenwind gegenteilig aus. Der VektorK real ist langer, dae1 unde2 gestreckt werden. Der Winkelζreal wird relativ zuζvir wiederum gr¨oßer, sein Kosinus ist negativ, w¨achstvom Betrag jedoch an. Aufgrund beider Fehler wird∆ f großer und der Wind ¨ubersch¨atzt. Die tats¨achliche

5.4. SIMULATION DER ZU ERWARTENDEN DOPPLERVERSCHIEBUNG 65

e

k1,vir

k2

e2

v

K

ζ

1k1

ζvir

Kvir

k2,vir

e

k1,vir

k2 e2

v

K

ζ

1k1

ζvir

k2,vir

MitwindGegenwind

Kvir

Abbildung 5.9:Veranschaulichung der unterschiedlichen Effekte bei Mit- und Gegenwindsituationen, diebei bistatischen Konfigurationen auftreten. Rot eingezeichnet ist die Geometrie gradliniger Strahlen.

Laufzeit des Strahls ist l¨anger, woraus folgt, daß die H¨oheubersch¨atzt wird. Im Gegenwindfall werden dieFehler durch negative Temperaturgradienten verst¨arkt.

Fazit: Der Fehler der Windgeschwindigkeit sieht immer folgendermaßen aus. Bei Mitwind wirdv un-terschatzt und bei Gegenwind ¨ubersch¨atzt (s. Tab. 5.1).

In Abb. 5.10 liegt ein geringer Windgradient von 0.05 s1 vor. Die Mit- und Gegenwindfehler weichenerst uber 150 m mehr als 2% ab, in 300 m H¨ohe ist ein Fehler von 7 bis 8% erreicht. Auffallend ist dieReduktion des Windfehlers durch Bildung des mittleren Windes, der nahezu auf dem realen Wind liegt: DerFehler bleibt unter 1%! Die Mit- und Gegenwindfehler werden dominant durch den Kosinus vonζ bestimmt.Die Fehler vonK sind fur Mit- und Gegenwind nahezu konstant, da es keinen Temperaturgradienten gibt,uber der H¨ohe aber mit verschiedenem Vorzeichen und ungleichen Betr¨agen.

Bei den Modellrechnungen in Abb. 5.12 und 5.14 wurde der Windgradient um jeweils 0.05 s1 erhoht. DieAsymmetrie der Windfehler wird dadurch verst¨arkt. Die Windmittel liegen nicht mehr auf dem realen Wind,wie im ersten Fall. In 300 m H¨ohe entstehen im zweiten Fall Mit- und Gegenwindfehler von 15 bis 18%und im dritten Fall von 20 bis 30%. Immerhin k¨onnen diese Fehler durch das Windmittel auf 2 und 5%vermindert werden. Eine Ver¨anderung des Windgradienten wirkt sich vor allem auf die Kosinusfehler aus,die fur die Asymmetrie verantwortlich sind. DieK-Fehler nehmen zu, am prinzipiellen Verlauf der Kurvenandert sich jedoch nichts.

Profile mit Temperaturgradient: Diese Berechnungen zeigen, daß sich die Existenz von Temperaturgradi-enten insbesondere auf dieK-Fehler auswirkt. Sind die Temperaturgradienten negativ (beide linken Spaltender Abb. 5.10, 5.12 und 5.14), werden dieK-Fehler sowohl bei Gegen- als auch bei Mitwind negativ undnehmen im Betrag mit der H¨ohe zu. Dies ist auf die abnehmende Schallgeschwindigkeit zur¨uckzufuhren.Entsprechend nehmen sie bei positiven Temperaturgradienten (beide rechte Spalten) positive Werte an undnehmen mit der H¨ohe zu.

66 KAPITEL 5. EINFLUSS DES AKUSTISCHEN BRECHUNGSINDEXES

Mitwind Gegenwind

Fehler im BetragvonKvir undKreal

Kvir > Kreal Kvir < Kreal

; δK > 0 ; δK < 0

0< ζvir < ζreal<π2

π2 < ζvir < ζreal< π

cosζvir und cosζreal

Fehler1> cosζvir > cosζreal> 0 0< jcosζvirj< jcosζrealj< 1

; δcosζ > 0 ; δcosζ < 0

∆ f = 12πvKrealjcosζrealj ergibt die reale Meßgr¨oße. Mit ihrer Hilfe erhalt

man durchvvir =2π∆ f

Kvir jcosζvir jden virtuellen Wind:

Windfehler

Kvir cosζvir > Krealcosζreal Kvirjcosζvir j< Krealjcosζrealj

; vvir < v ; vvir > v

Unterschatzungdes wahren Windes

Uberschatzungdes wahren Windes

Tabelle 5.1:Zusammenfassung der Effekte, die zu Windfehlern bei einer symmetrischen Meßgeometriefuhren .

Insgesamt zeigen diese Berechnungen, daß sich an denK-Fehlern der Temperaturverlauf ablesen l¨aßt. Furnegative Temperaturgradienten nehmen dieK-Fehler mit der H¨ohe ab und f¨ur positive mit der H¨ohe zu. AmFehler des Windmittels ist zu erkennen, daß der Grad der Symmetrie der Windfehler offensichtlich vomTemperaturprofil beeinflußt wird. Abb. 5.11 zeigt, daß eineAnderung von positiven zu negativen Tempe-raturgradienten beim Fehler des Windmittels zu einer Verschiebung in Richtung positiver Fehler f¨uhrt. DieAbstande benachbarter Kurven sind konstant. Im Fall des Mitwindes ergeben sich die gr¨oßten Fehlerbe-trage bei positiven Temperaturgradienten, bei Gegenwind treten die gr¨oßten Fehler bei negativen auf. BeimWindmittel liegen sie nahezu symmetrisch um 0 m/s bzw. 0%.

In Abb. 5.13 liegen die Mit- und Gegenwindfehler bei gr¨oßeren H¨ohen (250 m) ¨uber 10%. Das Windmittelliegt nicht mehr symmetrisch um 0%, sondern ist leicht zu negativen Fehlern verschoben, d. h., die Feh-ler des Mitwindes ¨uberwiegen. Der Grund daf¨ur ist, daß der Winkelζreal gegen¨uberζvir sehr viel großerwird, nahezuπ=2, und damit der Kosinusζ fast null ist, das Produktv K real also sehr klein wird. In 300 mHohe liegt der Windmittelfehler zwischen4 und 0%. Das trifft auch f¨ur die jeweiligen Abst¨ande der Kur-ven untereinander zu. In Abb. 5.15 werden die Fehler der Windmittel wiederum vom Mitwind beherrscht.Auff allig ist, daß die Breite der Kurvenschar f¨ur alle Windgradienten um die 5 bis 6% liegt, wenn auch leichtverschoben.

050100

150

200

250

300

05

1015

20

Höhe in m

Win

d in

m/s

Win

dfit,

5m

/s u

nd −

10 °

C

wah

rer

Win

dM

itwin

dG

egen

win

dW

indm

ittel

050100

150

200

250

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−2

−1.

5−

1−

0.5

00.

51

1.5

2

Höhe in m

Feh

ler

in m

/s

Abs

olut

er W

indf

ehle

r, 5

m/s

und

−10

°C

Mitw

ind

Geg

enw

ind

Win

dmitt

el

050100

150

200

250

300 −

10−

50

510

Höhe in m

Feh

ler

in %

Rel

ativ

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ind

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050100

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win

d

68 KAPITEL 5. EINFLUSS DES AKUSTISCHEN BRECHUNGSINDEXES

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−10 °C−5 °C0 °C5 °C10 °C

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−10 °C−5 °C0 °C5 °C10 °C

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300

−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

Hö

he in

m

Fehler in m/s

Absoluter Windfehler, 5m/s Windmittel

−10 °C−5 °C0 °C5 °C10 °C

0

50

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−2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2H

öhe

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Fehler in m/s

Absoluter Windfehler, 5m/s Gegenwind

−10 °C−5 °C0 °C5 °C10 °C

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Relativer Windfehler, 5m/s Gegenwind

−10 °C−5 °C0 °C5 °C10 °C

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Relativer Windfehler, 5m/s Windmittel

−10 °C−5 °C0 °C5 °C10 °C

Abbildung 5.11: Gegen-uberstellung der absoluten(oben) und relativen (Mitte)Mit- und Gegenwindfeh-ler aus Abb. 5.10 in Formeiner Kurvenschar f¨ur dieverschiedenen Temperatur-gradienten. In Richtung ne-gativer Temperaturgradientennimmt der Mitwindfehler ab,wahrend der Gegenwindfehlerzunimmt. Die Fehler derWindmittel (unten) liegensymmetrisch um 0 m/s bzw.0%.

Abbildung 5.10:Auf Seite 67 sind Ergebnisse der Fehlerrechnung f¨ur ein lineares Windprofil (Gradient:0.05 s1) und funf lineare Temperaturprofile dargestellt. Die Profilrechnungen (oben) zeigen, daß eine Mit-windmessung zu einer Untersch¨atzung und eine Gegenwindmessung zu einerUberschatzung des Windesfuhrt. Das Windmittel liegt nahezu auf dem realen. Die symmetrischen Eigenschaften bleiben auch dann be-stehen, wenn zus¨atzlich Temperaturprofile in die Simulationsrechnung eingehen. Die Fehler von Mit- undGegenwind (Mitte) heben sich nahezu auf, wie am Windmittel deutlich zu erkennen ist. Die Windfehlerwerden dominant durch den Beitrag der Kosinusfehler bestimmt (unten). Am Verlauf derK-Fehler ist derTemperaturverlauf ablesbar.

050100

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KG

egen

win

d

70 KAPITEL 5. EINFLUSS DES AKUSTISCHEN BRECHUNGSINDEXES

0

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m

Fehler in m/s

Absoluter Windfehler, 10m/s Mitwind

−10 °C−5 °C0 °C5 °C10 °C

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Relativer Windfehler, 10m/s Mitwind

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−4 −2 0 2 4

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Fehler in m/s

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−10 °C−5 °C0 °C5 °C10 °C

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öhe

in m

Fehler in m/s

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−10 °C−5 °C0 °C5 °C10 °C

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200

250

300

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

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m

Fehler in %

Relativer Windfehler, 10m/s Gegenwind

−10 °C−5 °C0 °C5 °C10 °C

0

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300

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

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m

Fehler in %

Relativer Windfehler, 10m/s Windmittel

−10 °C−5 °C0 °C5 °C10 °C

Abbildung 5.13: Vergleichder Mit- und Gegenwind-fehler (oben und Mitte) ausAbb. 5.12. Die Fehler derWindmittel (unten) liegennicht mehr symmetrisch um0%. Sie sind zu negativenFehlern verschoben.

Abbildung 5.12:Den Berechnungen auf Seite 69 liegt ein Windprofil mit dem Gradienten 0.10 s1 zu-grunde. Die Temperaturgradienten entsprechen denen aus Abb. 5.10. Am Fall ohne Temperaturgradientenist zu erkennen, daß sich gr¨oßere Windgradienten offenbar ung¨unstig auf die Symmetrieeigenschaften derWindfehler auswirken. Die Fehler beim Mitwind ¨uberwiegen hier, was jedoch durch negative Temperatur-gradienten ausgeglichen wird. Im Fall eines Temperaturgradienten von0:1Cm1 liegt der mittlere Windperfekt auf dem realen. Wie auch im vorherigen Beispiel werden die Windfehler durch die Kosinusfehlerbestimmt, an dem prizipiellen Verlauf derK-Fehlerandert sich nichts.

050100

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1015

2025

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Höhe in m

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2025

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win

d

72 KAPITEL 5. EINFLUSS DES AKUSTISCHEN BRECHUNGSINDEXES

0

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Absoluter Windfehler, 15m/s Mitwind

−10 °C−5 °C0 °C5 °C10 °C

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m

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Relativer Windfehler, 15m/s Mitwind

−10 °C−5 °C0 °C5 °C10 °C

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100

150

200

250

300

−10 −5 0 5 10

Hö

he in

m

Fehler in m/s

Absoluter Windfehler, 15m/s Windmittel

−10 °C−5 °C0 °C5 °C10 °C

0

50

100

150

200

250

300

−10 −5 0 5 10H

öhe

in m

Fehler in m/s

Absoluter Windfehler, 15m/s Gegenwind

−10 °C−5 °C0 °C5 °C10 °C

0

50

100

150

200

250

300

−30 −20 −10 0 10 20 30

Hö

he in

m

Fehler in %

Relativer Windfehler, 15m/s Gegenwind

−10 °C−5 °C0 °C5 °C10 °C

0

50

100

150

200

250

300

−30 −20 −10 0 10 20 30

Hö

he in

m

Fehler in %

Relativer Windfehler, 15m/s Windmittel

−10 °C−5 °C0 °C5 °C10 °C

Abbildung 5.15: Vergleichder Mit- und Gegenwind-fehler (oben und Mitte) ausAbb. 5.14. Die Fehler derWindmittel werden mit zu-nehmenden Windgradientenweiter zu negativen Fehlernverschoben.

Abbildung 5.14:In der Abbildung auf Seite 71 wurde der Windgradient auf 0.15 s1 erhoht. EineAnderungvon positiven zu negativen Temperaturgradienten f¨uhrt beim Fehler des Windmittels zu einer Verschiebungin Richtung positiver Fehler. Die bei gr¨oßeren Windgeschwindigkeiten auftretende Asymmetrie der Wind-fehler wird durch negative Temperaturgradienten ausgeglichen.

5.4. SIMULATION DER ZU ERWARTENDEN DOPPLERVERSCHIEBUNG 73

5.4.3 Reale Profile

Dasselbe Verfahren wird auf realistische Profile, die sich aus der meteorologischen Monin-ObukovAhn-lichkeitstheorie [140, 39] ergeben, angewendet. Die in Tab. 5.2 angef¨uhrten Großen dienen als Eingangspa-rameter fur die Berechnung der Temperatur- und Windgeschwindigkeitsprofile. Die Schubspannungsge-schwindigkeitu und der TemperaturskalierungsfaktorT sind hohenunabh¨angige Kenngr¨oßen des unterenBereichs der turbulenten Grenzschicht, der sogenannten Prandtl-Schicht. Diese Gr¨oßen bestimmen im we-sentlichen die Form des Temperatur- und Windgeschwindigkeitsprofils. Sie gehen in die Obukhov L¨angeLein. Diese Lange ist ein Normierungsmaß, deren Wert eine bestimmte Schichtung angibt. Der Zustand derunteren turbulenten Grenzschicht l¨aßt sich durch drei Schichtungen charakterisieren: die stabile (L > 0), dielabile (L < 0) und die neutrale Schichtung (L !∞). T ist die mittlere Grenzschichttemperatur. Sie gehtebenfalls in die Obukhov L¨ange ein.z0 undT0 liefern die Randbedingungen. Die H¨ohez0 ist die Rauhig-keitslange, sie h¨angt von der jeweiligen Beschaffenheit der Oberfl¨ache ab und gibt das Niveau an, bei derdie horizontale Windgeschwindigkeit verschwindet. Die resultierenden Profile sind in Abb. 5.16 dargestellt.

Schub-spannungs-

geschwindigkeit

Temperatur-skalierungs-

faktor

ObukhovLange

mittlereTemperatur

Rauhigkeits-lange

Temperatur inz0

u T L T z0 T0

[m/s] [C] [m] [C] [m] [C]

0.149 5.04 e3 364.0 10.0 0.01 10.00.105 1.6 e2 56.3 10.1 0.001 10.00.172 4.92 e2 49.5 10.5 0.001 10.00.235 5.23 e2 87.2 10.2 0.01 10.30.419 0.126 116.0 11.2 0.1 11.20.678 0.251 153.0 12.5 1.03 13.7

Tabelle 5.2:Meteorologische Eingangsgr¨oßen zur Berechnung der Schallgeschwindigkeitsprofile und derSchallwege.

0

20

40

60

80

100

120

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

Hö

he in

m

Temperatur in °C

T* in °C0.0050.0160.0490.0050.1260.251

0

20

40

60

80

100

120

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Hö

he in

m

Wind in m/s

u* in m/s0.1490.1050.1720.2350.4190.678

Abbildung 5.16:Nach den in Tab. 5.2 angegebenen Gr¨oßen berechnete Wind- und Temperaturprofile. DieForm der Profile wird haupts¨achlich durch die Schubspannungsgeschwindigkeitu und den Temperaturska-lierungsfaktorT bestimmt.

74 KAPITEL 5. EINFLUSS DES AKUSTISCHEN BRECHUNGSINDEXES

0

50

100

150

200

250

300

3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

Hö

he in

m

Wind in m/s

Windfit, 0.149m/s und 0.005 °C

wahrer WindMitwindGegenwindWindmittel

0

50

100

150

200

250

300

−0.2 −0.15 −0.1 −0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25

Hö

he in

m

Fehler in m/s

Absoluter Windfehler, 0.149m/s und 0.005 °C

MitwindGegenwindWindmittel

0

50

100

150

200

250

300

−3 −2 −1 0 1 2 3 4

Hö

he in

m

Fehler in %

Relativer Windfehler, 0.149m/s und 0.005 °C

MitwindGegenwindWindmittelMitwind−cosGegenwind−cosMitwind−KGegenwind−K

0

50

100

150

200

250

300

3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13H

öhe

in m

Wind in m/s

Windfit, 0.105m/s und 0.016 °C

wahrer WindMitwindGegenwindWindmittel

0

50

100

150

200

250

300

−0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8

Hö

he in

m

Fehler in m/s

Absoluter Windfehler, 0.105m/s und 0.016 °C

MitwindGegenwindWindmittel

0

50

100

150

200

250

300

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6 8

Hö

he in

m

Fehler in %

Relativer Windfehler, 0.105m/s und 0.016 °C

MitwindGegenwindWindmittelMitwind−cosGegenwind−cosMitwind−KGegenwind−K

0

50

100

150

200

250

300

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24

Hö

he in

m

Wind in m/s

Windfit, 0.172m/s und 0.050 °C

wahrer WindMitwindGegenwindWindmittel

0

50

100

150

200

250

300

−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5H

öhe

in m

Fehler in m/s

Absoluter Windfehler, 0.172m/s und 0.050 °C

MitwindGegenwindWindmittel

0

50

100

150

200

250

300

−15 −10 −5 0 5 10 15

Hö

he in

m

Fehler in %

Relativer Windfehler, 0.172m/s und 0.050 °C

MitwindGegenwindWindmittelMitwind−cosGegenwind−cosMitwind−KGegenwind−K

Abbildung 5.17:Fehleranalyse f¨ur die realen Wind- und Temperaturprofile aus Abb. 5.16 entsprechend derMonin-ObukovAhnlichkeitstheorie. Die Kenngr¨oßenu undT aus Tab. 5.2 sind jeweils in denUberschrif-ten angegeben.

Auch fur realistische Profile sind die berechneten Mit- und Gegenwindfehler symmetrisch (Abb. 5.17 und5.18). Durch Bildung des Windmittels l¨aßt sich der Fehler erheblich reduzieren, er liegt bei den erstenvier Beispielen unter 1%, w¨ahrend die Mit- und Gegenwindprofile Fehler bis zu 11% aufweisen. Erst beiextremen Geschwindigkeiten (Abb. 5.18, zweite und dritte Spalte) steigt der Fehler des Windmittels in300 m Hohe auf 2 bis 3%, was im Vergleich zu den Mit- und Gegenwindfehlern, die in dieser H¨ohe bis zu23% anwachsen, immer noch gering ist.

5.4. SIMULATION DER ZU ERWARTENDEN DOPPLERVERSCHIEBUNG 75

0

50

100

150

200

250

300

4 6 8 10 12 14 16 18 20 22

Hö

he in

m

Wind in m/s

Windfit, 0.235m/s und 0.052 °C

wahrer WindMitwindGegenwindWindmittel

0

50

100

150

200

250

300

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2

Hö

he in

m

Fehler in m/s

Absoluter Windfehler, 0.235m/s und 0.052 °C

MitwindGegenwindWindmittel

0

50

100

150

200

250

300

−15 −10 −5 0 5 10 15

Hö

he in

m

Fehler in %

Relativer Windfehler, 0.235m/s und 0.052 °C

MitwindGegenwindWindmittelMitwind−cosGegenwind−cosMitwind−KGegenwind−K

0

50

100

150

200

250

300

5 10 15 20 25 30H

öhe

in m

Wind in m/s

Windfit, 0.419m/s und 0.126 °C

wahrer WindMitwindGegenwindWindmittel

0

50

100

150

200

250

300

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

Hö

he in

m

Fehler in m/s

Absoluter Windfehler, 0.419m/s und 0.126 °C

MitwindGegenwindWindmittel

0

50

100

150

200

250

300

−20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20

Hö

he in

m

Fehler in %

Relativer Windfehler, 0.419m/s und 0.126 °C

MitwindGegenwindWindmittelMitwind−cosGegenwind−cosMitwind−KGegenwind−K

0

50

100

150

200

250

300

5 10 15 20 25 30 35

Hö

he in

m

Wind in m/s

Windfit, 0.678m/s und 0.251 °C

wahrer WindMitwindGegenwindWindmittel

0

50

100

150

200

250

300

−8 −6 −4 −2 0 2 4 6H

öhe

in m

Fehler in m/s

Absoluter Windfehler, 0.678m/s und 0.251 °C

MitwindGegenwindWindmittel

0

50

100

150

200

250

300

−25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15 20 25

Hö

he in

m

Fehler in %

Relativer Windfehler, 0.678m/s und 0.251 °C

MitwindGegenwindWindmittelMitwind−cosGegenwind−cosMitwind−KGegenwind−K

Abbildung 5.18:Fehleranalyse f¨ur die realen Wind- und Temperaturprofile aus Abb. 5.16.

Die Beitrage vonK und cosζ zeigen ein ¨ahnliches Verhalten wie bei den Berechnungen der linearen Wind-und Temperaturprofilen. Die Windfehler werden ab einer bestimmten H¨ohe von den Fehlern im cosζ be-herrscht. DieK-Fehler weisen auch hier bis auf die unteren H¨ohen einen nahezu parallelen Verlauf auf.

76 KAPITEL 5. EINFLUSS DES AKUSTISCHEN BRECHUNGSINDEXES

5.5 Vergleich mit den Literaturbeispielen

In Abschnitt 5.3 wurden in der Literatur vorkommende Korrekturverfahren angef¨uhrt, mit denen der tats¨achli-che Ort des Streuvolumens abgesch¨atzt wird. Da die dort angef¨uhrten analytischen Verfahren auf einfachemeteorologische Modelle begr¨undet sind, wird f¨ur eine Vergleichsrechnung der Strahlenverlauf aus demSatz der linearen Profile genommen (Abb. 5.19). Als Beispiel dient der Fall aus Abb. 5.10 in der mittlerenSpalte:

Der Windgradient betr¨agt 0.05 s1 und die Windgeschwindigkeit am Boden 0 m/s.

Es existiert kein Temperaturgradient, die Temperatur betr¨agtuberall 0C.

Es wird nur die Mitwindrichtung berechnet.

-40 -32 -24 -16 -8 0 8 16 24 32 40

0

50

100

150

200

250

300

350

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

-40 -32 -24 -16 -8 0 8 16 24 32 40

0

50

100

150

200

250

300

350

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

-40 -32 -24 -16 -8 0 8 16 24 32 40

0

50

100

150

200

250

300

350

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

z [m]

x [m]

z [m]

x [m]

z [m]

x [m]

Abbildung 5.19:Fur den Vergleich verwen-deter Schallstrahlenverlauf aus dem simu-lierten Sodarexperiment (aus Abb. 5.10): li-neares Windprofil (Gradient: 0.05 s1), iso-therm. Blau eingezeichnet ist der Strahlen-verlauf unter der Voraussetzung gradlinigerAusbreitung, die markieren die wahrenStreuorte.

Fur diese meteorologischen Bedingungen wird die Verschiebung des Streuortes∆xund∆zmit den Gl. (5.21)und (5.22) nach GEORGES& CLIFFORD [48] berechnet. Entsprechend der Geometrie des Simulationsex-prerimentes strahlt der Sender senkrecht nach oben (φa = 0) und die Entfernung zum Empf¨anger betr¨agtd = 150 m.

Das Ergebnis ist in Abb. 5.20 (links) dargestellt. Die Verschiebungen∆zund∆x sind gegen die anhand vonGl. (5.16) geometrisch ermittelte virtuelle H¨ohez0 bzw. den Ankunftswinkelφc dargestellt. Im rechten Bildsind der virtuelle Streuort (x0;z0, die durchgezogene Linie) und der abgesch¨atzte reale Ort (x= x0+∆x;z=z0+∆z) abgebildet. Der reale Streuer bewegt sich auf das Mikrofon zu, wie es f¨ur eine Mitwindbedingungzu erwarten ist, liegt jedoch bezogen auf die geometrisch ermittelte H¨ohez0 niedriger.

Ein Vergleich der Absch¨atzungen von GEORGES& CLIFFORD mit den Ergebnissen der Sodarsimulationist in Abb. 5.21 (links) dargestellt. Die realen aus dem Strahlverfolgungsprogramm gewonnenen Streuorteaus Abb. 5.19 sind durch+ gekennzeichnet. Die nach GEORGES& CLIFFORD korrigierten Streuorte ((x;z),markiert durch2) wurden mit den Einfallswinkelnφc berechnet, die sich aus der Sodarsimulation ergeben.Diese Korrektur untersch¨atzt die reale H¨ohezreal undubersch¨atzt die tats¨achlichex-Verschiebung. Beix= 0sind die virtuellen Streuorte angegeben. Die mit gekennzeichneten Ortezvir ergeben sich aus der Laufzeitnach Gl. (5.51), diemarkieren die nach GEORGES& CLIFFORD aus der Geometrie berechneten virtuellenHohenz0 nach Gl. (5.16).

5.5. VERGLEICH MIT DEN LITERATURBEISPIELEN 77

0

50

100

150

200

250

300

-50 -40 -30 -20 -10 0 1090

108

124

135

143

149

153

z 0 in

m

φ c in

Gra

d

∆z und ∆x in m

0

50

100

150

200

250

300

-2 0 2 4 6 8 10

z in

m

x in m

Abbildung 5.20:Korrekturen nachGEORGES& CLIFFORD [48] des Streuortes. Links sind∆zund∆x gegendie virtuelle Hohez0 bzw. den Ankunftswinkelφc am Empfanger aufgetragen. Daß∆znicht null wird, liegtan der Konstruktion der Strahlen mit Schallkreisen, die tangentiell an den Geraden, die Quelle-Streuer-Mikrofon verbinden, anliegen. Im rechten Bild sind der virtuelle Streuort ((x0;z0), die durchgezogene Liniebeix= 0) und der abgesch¨atzte reale Ort (x= x0+∆x;z= z0+∆z) abgebildet. Der reale Streuer liegt etwasniedriger und bewegt sich auf das Mikrofon zu.

0

50

100

150

200

250

300

-2 0 2 4 6 8 10

z in

m

x in m

0

2

4

6

8

10

0 50 100 150 200 250 300

Bet

rag

des

Hoe

henf

ehle

rs in

m

Reale Hoehe in m

Abbildung 5.21:Vergleich der simulierten Sodarmessung mit den Korrekturen vonGEORGES& CLIFFORD

bzuglich des Streuortes. In der Darstellung links sind die Orte nachGEORGES& CLIFFORD durch2, diemit Strahlverfolgung ermittelten durch+ markiert. Auf der Liniex= 0 markieren die die aus der Laufzeitberechneten Streuorte, die die der Geometrie ermittelten. Rechts, der Betrag der vertikalen Abweichungenvom wahren Streuortzreal berechnet f¨ur δzgeometrisch(2) undδz ().

Da der Wind, wie vorausgesetzt, nur von der vertikalen Koordinatez abhangen soll, spielt die horizontaleAbweichung∆xbei der Windbestimmung eigentlich keine Rolle. In der Abb. 5.21 (rechts) sind daher nur dievertikalen Abweichungen vom realen Streuortzreal fur die korrigierten Streuorte nach GEORGES& CLIF-FORD, δzgeometrisch= (z0+∆z) zreal (2), und fur die virtuellen Streuorte, die ¨uber die Laufzeit berechnetwurden,δz= zvir zreal (), dargestellt. Bemerkenswert ist, daß die N¨aherung ¨uber die Laufzeit besser ist,als die Absch¨atzungen von GEORGES& CLIFFORD fur den realen Streuort.

78 KAPITEL 5. EINFLUSS DES AKUSTISCHEN BRECHUNGSINDEXES

5.6 Abschatzung des Temperaturprofils aus der Sodarsimulation

Die Simulation hat gezeigt, daß mit Hilfe einer Mit- und Gegenwindmessung durch Bildung eines Windmit-tels das wahre Windprofil gen¨ahert werden kann. Die Fehler der Windmittel, die f¨ur die realistischen Profileaus Abb. 5.16 berechnet worden sind, zeigen, daß dieser bis zu einer H¨ohe von 300 m unter 1% bleibt.Lediglich bei den extrem hohen Windgeschwindigkeiten, wie im letzten Beipiel der Abb. 5.18, treten Fehlerbis zu 3% auf.

Vernachlassigt man diese Fehler, kann mit Strahlverfolgung das Temperaturprofil abgesch¨atzt werden: Dasaus den gemessenen Mit- und Gegenwindkurven gewonnene Windmittel wird als wahr angenommen undgeht in dieray tracingSimulation ein. Mit dem wahren Windprofil sind auch die wahren H¨ohen bekannt,die gemessenen Laufzeiten f¨ur Mit- und Gegenwind bez¨uglich gradliniger Ausbreitung entsprechen. Bei derSimulation ist das Temperaturprofil frei und wird solange variiert, bis die aus der Simulation resultierendenvirtuellen Laufzeiten f¨ur Mit- und Gegenwind mit denen der gemessenen ¨ubereistimmen. Es l¨aßt sich alsoein Temperaturprofil rekonstruieren, wenn die Summe

∆t = j∆tgegen+∆tmitj (5.55)

minimiert wird, wobei∆tgegenund∆tmit sich aus der DifferenztSimulation tMessungergeben. Dieses Verfahrenerfordert jedoch eine nicht ohne großen Programmieraufwand durchf¨uhrbare Erweiterung des Programmsauf der Basis kleinster Fehlerquadrate.

Es wurde daher f¨ur das erste Windprofil in Abb. 5.16 (durchgezogen) eine Beispielrechnung f¨ur vier Tempe-raturprofile durchgerechnet, dargestellt in Abb. 5.22: F¨ur das reale Temperaturprofil (punktgestichelt, zwei-tes von links) wurde ein gefittetes Temperaturprofil (durchgezogen) bestimmt. Beide Kurven liegen fastubereinander. Die anderen drei Profile dienen zur Demonstration der Laufzeiteffekte. Das zweite Profil, inder Abbildung zweites von rechts, besitzt keinen Temperaturgradienten, das Profil links wurde durch Mul-tiplikation des wahren mit 2 und das Profil rechts mit Multiplikation des wahren mit1 berechnet.

Die Laufzeiten zum Mit- und Gegenwindmikrofon, die bei der simulierten Messung zur Bestimmung dervirtuellen Hohen dienten, wurden durch Variation des Temperaturprofils angepaßt. In Abb. 5.23 ist jeweilsdie Differenz∆tgegenund ∆tmit dargestellt. Es zeigt sich, daß die auftretenden Laufzeitdifferenzen f¨ur dasnahezu richtige Temperaturprofil nicht ¨uber die gesamte H¨ohe null ergeben, was darauf hindeuted, daß dasWindmittel doch nicht ganz mit dem wahren ¨ubereinstimmt. F¨ur den zu negativen und den konstanten Gra-dienten ergeben sich asymmetrische positive Fehler, f¨ur den positiven Gradienten asymmetrische negativeFehler.

0

50

100

150

200

−6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3

Hö

he [m

]

Temperatur in °C

nahezu gutzu positivkonstant

zu negativOrginal

Abbildung 5.22:Variation von Temperaturprofi-len zur Minimierung von Laufzeitdifferenzen: F¨urdas reale Temperaturprofil (punktgestichelt) ausAbb. 5.16 wurde ein Profil angefittet (durchgezo-gen), beide Kurven liegen fast ¨ubereinander. Dieanderen drei Beispiele, das zu positive, das zu ne-gative und das konstante, dienen zur Demonstra-tion der auftretenden Laufzeitdifferenzen, darge-stellt in Abb. 5.23.

5.6. ABSCHATZUNG DES TEMPERATURPROFILS AUS DER SODARSIMULATION 79

0

50

100

150

200

−6 −4 −2 0 2 4

Hö

he [m

]

Zeitdifferenz [ms]

Mitwind

nahezu gutzu positivkonstant

zu negativ0

50

100

150

200

−6 −4 −2 0 2 4

Hö

he [m

]

Zeitdifferenz [ms]

Gegenwind

nahezu gutzu positivkonstant

zu negativ

Abbildung 5.23:Dargestellt sind jeweils die LaufzeitdifferenzentSimulationtMessungfur Mit- und Gegenwindfur das korrekte, das zu negative, das konstante und das zu positive Temperaturprofil.

80 KAPITEL 6. SIGNALVERARBEITUNG VON SODARSIGNALEN

6 Signalverarbeitung von Sodarsignalen

Dieses Kapitel enth¨alt eine theoretische Formulierung der Signalverarbeitung. Als Anwendungsbeispiel lie-gen monostatisch gemessene Sodarsignale zugrunde, die w¨ahrend des von der DLR in Oberpfaffenhofenorganisierten Feldexperimentes CLEOPATRA (Cloud and Cloud Transports Experiment) gemessen wurden[83, 84]. Dabei bestand die experimentelle Konfiguration aus der in Kapitel 4 beschriebenen Arrayantenneauf der Sendeseite und dem Konustrichter auf der Empfangsseite. Mit einem Neigungswinkel von 30 undparalleler Ausrichtung der Antennen in Hauptwindrichtung konnten kontinuierliche H¨ohenprofile der hori-zontalen Windgeschwindigkeitskomponente erstellt werden. Als Sendesignal wurden monofrequente kurzePulse verwendet.

Um Qualitatsverluste beimUberspielen der Meßdaten zu vermeiden, wurden die R¨uckstreusignale direktauf DAT-Bandern gespeichert und anschließend im Labor mit derTriple-DAT-Software digital ausgelesenund auf eine Festplatte ¨ubertragen. Die mit der Samplingfrequenz des DAT-Rekorders von 48000 Hz ab-getasteten Signale liegen im WAVE-Format vor und stehen der digitalen Verarbeitung als 16 Bit Werte zurVerfugung. Die Implementierung der Signalverarbeitungsalgorithmen erfolgt mit dem Signalverarbeitungs-SoftwarepaketΨlab1.

Die oft gestellte Frage nach der Verwendung codierter Sendesignale wie z. B. Chirps, die in der RadartechnikAnwendung finden, ist in [18] untersucht worden: In der Radartechnik wird die Pulskompressionsmethode(matched filter) zur Erhohung des Signal-Rausch-Abstandes und damit zur Erh¨ohung der Reichweite bzw.Verringerung der Sendeleistung eingesetzt. Unter der Annahme eines konstanten Rauschhintergrundes istdie maximale Reichweite eines Radar bei deltaf¨ormigen Sendepulsen einzig von der maximal m¨oglichenSendeleistung abh¨angig. Die Entfernungsmessung geschieht dabei als reine Laufzeitmessung ohne jegli-che Mittelung. Die Pulskompressionsmethode ist im Grunde eine Korrelationsmeßmethode, die sich immerdann anbietet, wenn das St¨orsignal zeitlich unkorreliert ist, das Nutzsignal jedoch phasenstarr ¨ubertragenwird. Als Sendesignal werden Chirps oder auch Maximalfolgen verwendet. Am Empf¨anger wird der vomZielobjekt reflektierte Radarpuls mit dem Sendepuls korreliert. Das Maximum der Korrelationsfunktion ent-spricht dann der Laufzeit und damit der Entfernung zum Ziel. Anstelle einer einzigen Laufzeitmessung gehtbei diesem Verfahren jeder Abtastwert des Empfangssignales mit der gleichen Wichtung in die Bestimmungder Zeit ein. Im Idealfall einer rauschfreien Messung wird der Peak in der Korrelationsfunktiongenausohochwie es der Anzahl der Samples im Sende- bzw. Empfangssignal entspricht. Diematched filterMethode ist imGrunde dasselbe, nur das hierbei die Interpretation aus der Filtertechnik verwendet wird. Wird n¨amlich dasEmpfangssignal mit einem exakt auf das Sendesignal angepaßten inversen Filter verarbeitet, so erh¨alt manauch hier am Filterausgang einen kurzen Puls, dessen H¨ohe von der Impulsantwort des Filters und damit derDauer des Sendesignals abh¨angt. Entscheidende Voraussetzung f¨ur den Einsatz dieser Methode ist jedoch,daß keine zus¨atzliche Modulation des Sendesignals am Reflektor/Streuer erfolgt. In diesem Fall ist n¨amlichdie Anpassung desmatched filtersnicht mehr exakt m¨oglich. Aufgrund des enormen Unterschieds zwischender Lichtgeschwindigkeit und der ¨ublicher Radarziele ist jedoch die relative Frequenzverschiebung durchden Dopplereffekt proportional zuvZiel=c und damitaußerst gering. Beim Sodar mit der um den Faktor 106

geringeren Ausbreitungsgeschwindigkeit m¨ußte das verwendete ‘angepaßte’ Filter jedoch wesentlich breit-bandiger sein, da die Dopplerverschiebung im Prozentbereich liegt. Dar¨uberhinaus wird beim SODAR dieHohe des Streuers ¨uber die Laufzeit vorgegeben, eine genaue Bestimmung wie im Fall des Radar ist dahergar nicht erforderlich. Damit ist auch der Einsatz einer Korrelationsmethode ¨uberflussig, denn die eigentli-che Meßgr¨oße ist ja die Dopplerverschiebung in einer vorgegebenen H¨ohe. Diese mag zwar f¨ur die Dauerdes Sendesignals konstant sein, eine Modulation des Sendesignals f¨uhrt jedoch zu einem Empfangssignal,

1http://www.inria-rocq.fr/scilab

81

f (t)

H(f)

f

f(t)

t

g(t)

t

t

B(t)

g(t)

t

P(f)

f

Momentanfrequenz

Momentanamplitude

Leistungsspektrum

fs =Dopplerfrequenz

Transient

Pulsintervall

Nutzsignal

t

m

Abbildung 6.1:Skizze zur Signalverarbeitung von Sodarsignalen.

das aufwendig untersucht werden muß, da ja nur die relative Frequenzverschiebung konstant w¨are, absolutgesehen werden die hohen Frequenzanteile des Sendesignals st¨arker frequenzverschoben als die niedrigen.Aus einem derartig verformten Empfangssignal die Dopplerverschiebung zu extrahieren bedeutet eine Kor-relation mit allen m¨oglichen im voraus berechneten Pulsformen durchzuf¨uhren, was nicht praktikabel ist.Die Anwendung der Pulskompression auf die Sodartechnik hat sich daher als nicht geeignet herausgestellt.

Die Detektion von Sodarsignalen erfolgt nach dem in Abb. 6.1 dargestellten Schema. Das Sendesignal be-steht aus monofrequenten Schwingungspulsen, deren L¨ange und Frequenz variabel ist. Bei allen in dieserArbeit vorgestellten Messungen wurden immer zwei Sendepulse verschiedener L¨ange und Frequenz an-einandergeh¨angt. Da Pulse verschiedener Frequenz an verschiedenen Strukturen gestreut werden, k¨onnenmit mehreren Sendefrequenzen Untersuchungen ¨uber die Streubedingungen im Streuvolumen durchgef¨uhrtwerden. Die Detektion des Streusignals findet innerhalb des Zeitintervalls aufeinanderfolgender Sendepul-se statt. Der f¨ur die Auswertung relevante Teil des Intervalls, das Nutzsignal, wird herausgefenstert. Die

82 KAPITEL 6. SIGNALVERARBEITUNG VON SODARSIGNALEN

untere Grenze dieses auswertbaren Bereichs gibt die Laufzeit bzw. die H¨ohe an, ab der keine Bodenechos(ground clutter) mehr zu erwarten sind, w¨ahrend die obere Grenze der Reichweite des Sodars entspricht.Diese hangtuber die geometrische und atmosph¨arische Abschw¨achung des Signals hinaus von den jeweili-gen meteorologischen Bedingungen ab. Die St¨orgerauschbefreiung erfolgt durch ein Bandpassfilter, dessenMittenfrequenz durch die im voraus aus Aufstellungsgeometrieund Windverh¨altnissengrob abgesch¨atzte zuerwartende Dopplerfrequenz gegeben ist. Anschließend wird aus dem gefilterten Zeitsignal das analytischeSignal zur Berechnung der Momentanamplituden (Betrag des analytischen Signals) und Momentanfrequen-zen gebildet. Die Modulation der Momentanamplituden bildet die St¨arke der Temperaturinhomogenit¨atenab, da es sich um eine monostatische Messung handelt. Mit einer geeigneten h¨ohen- und zeitabh¨angigen Dar-stellung der Momentanamplitude aufeinanderfolgender Pulse k¨onnen turbulente Strukturen und ihre zeitli-che Entwicklung sichtbar gemacht werden. Die Momentanfrequenzen stehen als Vergleichsdaten f¨ur die ausdem Schwerpunkt von Leistungsspektren gewonnenen Dopplerfrequenzen zur Verf¨ugung. Die Berechnungder Leistungsspektren erfolgt aus kurzen Zeitabschnitten, die aus dem gefilterten Zeitsignal mit Hilfe ei-nes variablen Laufzeitfensters (Transientenfenster) herausgefenstert werden. Unter der Vorraussetzung derKenntnis der Ausbreitungsbedingungen des Schalls aufgrund von Temperatur und Windgeschwindigkeit(Schallstrahlkr¨ummung, s. Kapitel 5) k¨onnen die Laufzeiten einer H¨ohe zugeordnet werden. Die vorliegen-den Leistungsspektren gehen in die anschließende statistische Auswertung zur Bestimmung der Momenteder Windgeschwindigkeit ein. Mittelwert und Varianz k¨onnen sowohl aus dem ¨uber mehrere Pulse gemit-telten Leistungsspektrum als auch aus der Mittelung ¨uber Pulse nach der Auswertung jedes einzelnen Spek-trums berechnet werden. Der Unterschied der beiden Methoden in der Meßgenauigkeit wird in Abh¨angigkeitvom Signal-Rausch-Verh¨altnis untersucht.

6.1 Einzelpulsdetektion

6.1.1 Eigenschaften des Zeitsignals

Das Problem besteht darin, aus einem sehr kleinen verrauschten Streusignal die wesentlichen Informationen,die Frequenzverschiebung und die zur St¨arke der Inhomogenit¨aten proportionale Amplitude zu extrahieren.Das reelle Empfangssignal einer Messung wird folgendermaßen geschrieben:

f (t) = s(t)+ r(t); (6.1)

wobeir(t) den additiven Rauschuntergrund unds(t) das ungest¨orte Streusignal darstellt, ¨uber dessen Formfolgende Annahme gemacht wird:

s(t) = ℜn

A(t)ei(ωt+ϕs(t))o: (6.2)

Hierin stehtA(t) fur Amplitudenschwankungen, hervorgerufen durchAnderungen der Streuintensit¨at imStreuvolumen,ω fur die Tragerfrequenz undϕs(t) enthalt die Schwankungen der Phasen, die sich auf zeitli-cheAnderungen der streuenden Strukturen zur¨uckfuhren lassen. Ein Beispiel eines gemessenen Streusignalsenthalt Abb. 6.2 (oben). Dargestellt ist das verrauschte Empfangssignal w¨ahrend eines Sendeintervalls von1 s Dauer. Die Information ¨uber den elektrischen Triggerzeitpunkt, den Zeitnullpunkt f¨ur die Laufzeitberech-nung, wurde bei der Messung parallel aufgezeichnet. Der Empfangskanal ist zu Beginn jeden Pulses durchdas von dem Mikrofon empfangene Direktsignal gekennzeichnet. Um besser aussteuern zu k¨onnen, wurde

6.1. EINZELPULSDETEKTION 83

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0-2400

-1200

0

1200

2400 f(t)

t [s]

0.080 0.135 0.190 0.245 0.300-100

-50

0

50

100 f(t)

t [s]

Abbildung 6.2: GemessenesZeitsignal eines Pulsintervalls(oben) dessen Anfang durchdas von dem Richtmikro-fon empfangene Direktsignalgekennzeichnet ist. Das Sende-signal besteht aus zwei Pulsen:ein 20 ms langer Puls mit einerFrequenz von 4368 Hz gefolgtvon einem 10 ms Puls einer Fre-quenz von 7000 Hz. Innerhalbdes Sendeintervalls markiert dasRechteckfenster das Nutzsignalvon in diesem Fall 80 bis 300 ms(als Ausschnittvergr¨oßerung imunteren Bild).

0 2400 4800 7200 9600 12000 14400 16800 19200 21600 240000

4

8

12

16 |F(f)|

f [Hz]

4000 4100 4200 4300 4400 4500 4600 4700 4800 4900 50000.0

0.6

1.2

1.8

2.4 |F(f)|

f [Hz]

Abbildung 6.3: Aus obigemZeitabschnitt berechnete Fou-riertransformierte. Außer demRauschen sind in dem Sig-nal auch tonale St¨orsignale bei21600 und 15600 Hz enthal-ten. Im Vergleich dazu sind dieStreusignale als kleine Peaksin der Nahe der Tr¨agerfrequen-zen erkennbar. Das untere Bildzeigt den Ausschnitt des Emp-fangsspektrums um die Tr¨ager-frequenz 4368 Hz, die mit durch-gezogener Linie markiert ist.

dieser Kanal bei sp¨ateren Messungen f¨ur die Dauer des Direktsignals durch eine Torschaltung ausgeschaltet.Innerhalb der Sendeintervalle wird nur der Zeitraum, in dem Streusignale zu erwarten sind, ausgewertet. Beider hier vorliegenden Messung ergaben sich auswertbare Streusignale im Intervall zwischen 80 und 300 ms.

Die Zeitfunktion f (t) liegt nicht als analytischer Ausdruck, sondern als abgetastete Zeitreihef (tn) der Meß-zeitT und dem diskreten Zeitschritt∆t vor. Bei gegebener AbtastfrequenzFs wird die Funktion aufN = TFs

aquidistanten St¨utzstellen dargestellt, woraus sich mit der Abtastfrequenz von 48 kHz des DAT-Rekordersund dem durch das Rechteckfenster markierten Zeitraum von 220 ms Dauer die Anzahl vonN = 10560Meßwerten ergibt. Das Amplitudenspektrum einer abgetasteten Zeitreihe erh¨alt man durch Anwendung derdiskreten Fouriertransformation, die durch

84 KAPITEL 6. SIGNALVERARBEITUNG VON SODARSIGNALEN

f (tn) =N1

∑k=0

F( fk)ei2π fktn

N ; n= 0: : :N1; (6.3)

F( fk) =1N

N1

∑n=0

f (tn)e

i2π fktnN ; k= 0: : :N1 (6.4)

definiert ist. Hier isttn = n∆t und fk = kFs=N mit ∆t = 1=Fs. Die Frequenzaufl¨osung∆ f = Fs=N= 1=T wirddurch die Lange des ZeitsignalsT = N∆t bestimmt und betr¨agt hier 4.55 Hz. Das Amplitudenspektrumdes auswertbaren Zeitabschnittsf (tn) ist in Abb. 6.3 dargestellt. Neben den jeweiligen dopplerverschobe-nen Streusignalspektren bei den Frequenzen 4368 und 7000 Hz sind zus¨atzlich zum umgebungsbedingtenRauschuntergrund auch tonale St¨orsignale bei 15600 und 21000 Hz enthalten, die durch die elektrischeUbertragungsstrecke entstanden sein k¨onnen. Erwartungsgem¨aß ist das Dopplerspektrum des 7000 Hz Sen-designals aufgrund der k¨urzeren Pulsl¨ange und der frequenzabh¨angigen Dampfung kleiner als das Signal-spektrum bei 4368 Hz. Das untere Bild der Abb. 6.3 zeigt den Ausschnitt, der das frequenzverschobeneSpektrum bei 4368 Hz enth¨alt. Die Breite des Signalspektrums weist auf eine nicht konstante Windge-schwindigkeit hin. Der schmale Peak bei der durch eine Linie markierten Tr¨agerfrequenz deutet auf einFestecho hin.

6.1.2 Filterung

Zur Berechnung der Momentanfrequenzen, Momentanamplituden und deren Verteilung ist eine schmal-bandige Filterung erforderlich. Das Filter wird in Form eines FIR-Filters (finite impulse response filter)realisiert, das eine einfache Faltung verrichtet. Die das Filter charakterisierende Impulsantworth(tn) erlaubtdie Bestimmung des Ausgangssignalsg(tn) fur jedes gegebene Eingangssignalf (tn). Liegen zwei endlicheSequenzen vor,

f (tn); n= 0: : :N1;

h(tn); n= 0: : :M1;

dann ist die lineare oder aperiodische Faltung beider Sequenzen durch die Operation

g(tn) = f (tn)?h(tn) =n

∑m=0

h(tm) f (tn tm) (6.5)

definiert, wobeig(tn) von der LangeN+M 1 ist. Die Multiplikation der Fouriertransformierten zweierendlichen Sequenzen gleicher L¨ange und anschließende R¨ucktransformation des Produkts entspricht einerperiodischen Faltung dieser Sequenzen. Werden zwei periodische Signale miteinander gefaltet, ist das Re-sultat ebenfalls periodisch und von derselben Periode. Um also die Faltungsoperation im Frequenzbereichdurchzufuhren, muß daher die Anzahl der Samples der Sequenzenf (tn) und h(tn) gleich oder gr¨oßer dervong(tn) sein. Dazu werden sie aufL N+M1 Werte mit Nullen aufgef¨ullt2. Es gilt also mit

2Das Anhangen von Nullen an eine Zeitreihe wird alszero paddingbezeichnet. Diese Methode wird h¨aufig zur Interpolationvon Spektren benutzt, da durch die k¨unstliche Verlangerung der Zeitreihe der Linienabstand des diskreten Spektrums verringertwird (s. Abschnitt 6.1.4). Hierbei ist die Wahl einer Zweierpotenz f¨ur L gemaß des bei der Berechnung der FFT angewendetenAlgorithmus naheliegend.

6.1. EINZELPULSDETEKTION 85

0

101

102

103

104

105

10

-250

-200

-150

-100

-50

0

50 |H(f)| [dB]

f [Hz]

Uebertragungsfunktion

0

101

102

103

104

105

10

-1620

-1380

-1140

-900

-660

-420

-180 Grad

f [Hz]

Phase

0 125 250 375 500 625 750 875 1000-0.010

-0.005

0.000

0.005

0.010 h(n)

n

Impulsantwort

0 125 250 375 500 625 750 875 1000-0.010

-0.005

0.000

0.005

0.010

0.0 2.6 5.2 7.8 10.4 13.0 15.6 18.2 20.8 t [ms]

2863 3238 3613 3988 4363 4738 5113 5488 5863-100

-80

-60

-40

-20

0

20 |H(f)| [dB]

f [Hz]

Uebertragungsfunktion

2863 3238 3613 3988 4363 4738 5113 5488 5863-100

-80

-60

-40

-20

0

20

Abbildung 6.4: Ubertragungsfunktion, Phase und Impulsantwort des in Abb. 6.5 verwendeten FIR-Bandpaßfilters mit einer Bandbreite von 200 Hz. Die Grenzfrequenzen liegen bei 4308 Hz und 4508 Hz. DieAnzahl der Koeffizienten der Impulsantwort betr¨agt M = 1000, mit dem Abstastintervall der gesampeltenZeitreihe∆t = 2:08105 s ergibt sich eine L¨ange von 20.8 ms f¨ur die Impulsantwort.

f (tn)F ! F( fk) (6.6)

undh(tn)

F ! H( fk) (6.7)

nach dem Faltungstheorem

g(tn) = f (tn)?h(tn)F ! G( fk) = F( fk)H( fk); (6.8)

n= 0: : :L1:

Ausgangspunkt sind Zeitreihenf (tn) der SignallangeT = 220 ms mitN = 10560 Samples (s. Abb. 6.2).Die Impulsantworth(tn) des FIR-Filters ist in Abb. 6.4 dargstellt. Die Anzahl ihrer Koeffizienten betr¨agtM = 1000. In Zeitschritten des Eingangssignals entspricht die Filterl¨ange einer Dauer von 20.8 ms. BeideSignale werden aufL = 214 Werte mit Nullen aufgef¨ullt, womit obige Bedingung erf¨ullt ist.

Der Filtervorgang ist in Abb. 6.5 dargestellt. Die Bildfolge entspricht den Gleichungen (6.6) bis (6.8). Ausden Signalenf (tn) undh(tn) wird jeweils eine 214-Punkte-FFT berechnet. Multiplikation der Fouriertrans-formierten und inverse Transformation des Produkts ergibtg(tn).

6.1.3 Berechnung der Momentanamplitude und -frequenz

Die Signalanteile des schmalbandgefilterten Zeitsignals werden mit0 gekennzeichnet:

g(tn) = s0(tn)+ r 0(tn): (6.9)

86 KAPITEL 6. SIGNALVERARBEITUNG VON SODARSIGNALEN

0.08 0.15 0.22 0.29 0.36 0.43-100

-50

0

50

100

0.08 0.15 0.22 0.29 0.36 0.43-100

-50

0

50

100 f(t)

t [s]

0.08 0.15 0.22 0.29 0.36 0.43-0.010

-0.005

0.000

0.005

0.010

0.08 0.15 0.22 0.29 0.36 0.43-0.010

-0.005

0.000

0.005

0.010 h(t)

t [s]

3900 4000 4100 4200 4300 4400 4500 4600 4700 4800 49000.0

0.6

1.2

1.8

2.4

3900 4000 4100 4200 4300 4400 4500 4600 4700 4800 49000.0

0.6

1.2

1.8

2.4 |F(f)|

f [Hz]

3900 4000 4100 4200 4300 4400 4500 4600 4700 4800 49000.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25

3900 4000 4100 4200 4300 4400 4500 4600 4700 4800 49000.00

0.25

0.50

0.75

1.00

1.25 |H(f)|

f [Hz]

0.08 0.15 0.22 0.29 0.36 0.43-100

-50

0

50

100

0.08 0.15 0.22 0.29 0.36 0.43-100

-50

0

50

100 g(t)

t [s]

3900 4000 4100 4200 4300 4400 4500 4600 4700 4800 49000.0

0.6

1.2

1.8

2.4

3900 4000 4100 4200 4300 4400 4500 4600 4700 4800 49000.0

0.6

1.2

1.8

2.4 |G(f)|

f [Hz]

Abbildung 6.5:Mit der Filterfunktion aus Abb. 6.4 vorgenommene Bandpaßfilterung zur Bestimmung derMomentanamplitude und der Momentanfrequenz dargestellt im Zeit- und Frequenzbereich. Das um dieGruppenlaufzeit des Filters verschobene gefilterte Zeitsignal unten links ist durch inverse Transformationdes Dopplerspektrums gewonnen.

Da sich das Streusignal durch den Filtervorgang jedoch nicht ¨andern soll, wirds0(tn) = s(tn) angenommen.Die Momentanamplitude oder auch Einh¨ullende des gefilterten Zeitsignals, die auch die Rauschanteile imDurchlaßbereich enth¨alt, kann aus dem analytischen Signal gewonnen werden. Das analytische oder auchkomplexe Zeitsignal ist durch

z(tn) = g(tn)+ iH fg(tn)g (6.10)

definiert, wobei der Imagin¨arteil aus der HilberttransformiertenH von g(tn) berechnet wird. Im Fourier-raum ergibt sich eine einfache Vorschrift zur Bildung des analytischen Signals. Dazu werden alle Anteilebei negativen Frequenzen im komplexen AmplitudenspektrumG( fk) vong(tn) auf null gesetzt und die Spek-tralanteile bei positiven Frequenzen verdoppelt. Die Fourierr¨ucktransformierte dieses einseitigen Spektrumsist das analytische Signalz(tn):

G( fk) =

8<:G( fk); k= 0 b= f = 02G( fk); k= 1: : : L

21 b= f > 00; k= L

2 : : :L1 b= f < 0;(6.11)

z(tn)F ! G( fk): (6.12)

Mit (6.9) ergibt sich fur das analytische Signal

6.1. EINZELPULSDETEKTION 87

0.080 0.135 0.190 0.245 0.3004300

4350

4400

4450

4500 fm(t) [Hz]

t [s]

0.080 0.135 0.190 0.245 0.3000

25

50

75

100

0.080 0.135 0.190 0.245 0.3000

25

50

75

100 B(t)

t [s]

Abbildung 6.6: Momentanfre-quenz (oben) und Einh¨ullende(unten) des gefilterten Zeitsig-nals aus Abb. 6.5. Die Tr¨ager-frequenz ist durch eine Liniebei 4368 Hz gekennzeichnet.Die Stellen, an denen die Mo-mentanfrequenz Einbr¨uche auf-weist, korrelieren mit Bereichensehr kleiner Amplitudenwerte derEinhullenden.

z(tn) = A(tn)ei(ωtn+ϕs(tn))+ r 0(tn)+ iH fr 0(tn)g= B(tn)e

iψ(tn); (6.13)

womit die Momentanamplitude durch

B(tn) =p

z(tn)z?(tn) (6.14)

und die Momentanphase durch

ψ(tn) = tan1 ℑfz(tn)gℜfz(tn)g (6.15)

gegeben ist. Schließlich ergibt sich die Momentanfrequenz aus der zeitlichen Ableitung der Phase, wobeivorher durchphase unwrappingdie 2π-Periodizitat der Phase aufgehoben wurde:

fm(tn) =12π

dψ(tn)dt

: (6.16)

In Abb. 6.6 ist die Momentanfrequenz und die Momentanamplitude des gefilterten Nutzsignalsg(tn) ausdem Beispiel in Abb. 6.5 dargestellt. Die Einbr¨uche bei der Momentanfrequenz weisen auf schlechte Signal-Rausch-Verh¨altnisse bzw. kleine Amplitudenwerte des Streusignals hin.

6.1.4 Kurzzeitspektren

Neben der Bestimmung der im Signal enthaltenen laufzeitabh¨angigen Dopplerfrequenz ¨uber die Momen-tanfrequenz kann die Frequenz auch bestimmt werden, indem das Nutzsignal in kurze Zeitabschnitte zerlegtwird, aus denen Leistungsspektren berechnet werden. Der Zeitpunkt des innerhalb des Pulsintervalls gesetz-ten Transientenfensters entspricht der Laufzeit, also einer H¨ohe.

88 KAPITEL 6. SIGNALVERARBEITUNG VON SODARSIGNALEN

0.06 0.09 0.12 0.15 0.18 0.21-150

-75

0

75

150

0.06 0.09 0.12 0.15 0.18 0.21-150

-75

0

75

150 g(t)

t [s]

0.060 0.064 0.068 0.072 0.076 0.080-150

-75

0

75

150

0.060 0.064 0.068 0.072 0.076 0.080-150

-75

0

75

150 g(t)

t [s]

Abbildung 6.7: GefiltertesZeitsignal eines Zeitraums von150 ms (oben) mit Transi-entenfenster. Der gefensterteAbschnitt hat eine L¨ange von20 ms, was zu einer Frequenz-auflosung 50 Hz im Spektrumfuhrt.

4100 4150 4200 4250 4300 4350 4400 4450 4500 4550 4600

0

128

256

384

512

640

768

896

1024P(f)

f [Hz]

4100 4150 4200 4250 4300 4350 4400 4450 4500 4550 4600

128

256

384

512

640

768

896

1024

Trägerfrequenz

Schwelle

Abbildung 6.8: UrsprunglichesLeistungsspektrum (gestrichelt)berechnet aus dem 20 ms langenZeitsignal der Darstellung oben.Durch Verlangerung des Signalsmit Nullen auf N = 214 ergibtsich das interpolierte Spektrum(durchgezogen). Die Tr¨agerfre-quenz von 4368 Hz ist durch ei-ne Linie gekennzeichnet, eben-so eine Schwelle, ab der derSchwerpunkt des Spektrums be-rechnet werden kann.

Aufgrund der geringen L¨ange der gefensterten Zeitsignalegw(tn) hat das Spektrum eine geringe Frequenz-auflosung. F¨ur typische Zeitintervalle von 10 und 20 ms ergibt sich ein∆ f von 100 bzw. 50 Hz. Wird dieZeitreihe dagegen vonM auf N Werte mit Nullen verlangert, so l¨aßt sich das Spektrum auf einen kleine-ren Frequenzabstand abbilden. Formal entspricht eine Zerlegung in Zeitabschnitte der Multiplikation desZeitsignals mit einem jeweils verschobenen Rechteckfenster, mit dem verl¨angerten Zeitintervall gilt:

gw(tn) = g(tn) w(tn); n= 0: : :N1; (6.17)

w(tn) =

1; n< M0; nM:

(6.18)

Was ist nun der Vorteil dieser Methode? Durch die k¨unstliche Erh¨ohung der Frequenzaufl¨osung wird nichtder Informationsgehalt des Signals erh¨oht, da das Spektrum durch die Anzahl vonM Abtastwerten eindeu-

6.2. AMPLITUDENVERTEILUNG DES GESTREUTEN SIGNALS 89

tig festgelegt ist. Signalanteile mit dem Frequenzabstandf1 f2 < ∆ f , bezogen auf den urspr¨unglichenLinienabstand, lassen sich nicht unterscheiden.

Die erhohte Frequenzaufl¨osung bewirkt jedoch eine Interpolation des Spektrums. Durch das Auff¨ullen mitNullen wird das Spektrum nicht durchM Spektrallinien sondern durchN dargestellt. Je gr¨oßerN gewahltwird, desto n¨aher rucken die Spektrallinien zusammen. So l¨aßt sich das Maximum bzw. der Schwerpunkteines Spektrums auch dann bestimmen, wenn die Signalfrequenz zwischen zwei der urspr¨unglichen Linienliegt. Die Fouriertransformierte des gefensterten Zeitsignals lautet:

Gw( fk) =k

∑l=0

G( fl)W( fk fl ); k= 0: : :N1; (6.19)

mit G( fk) = S( fk)+R( fk): (6.20)

Aufgrund der zeitlichen Fensterung des Nutzsignals handelt es sich bei dem gewonnenen Spektrum umeine Faltung des eigentlichen Streusignalspektrums mit der Fouriertransformierten der Fensterfunktion. JedeSpektralkomponente des Meßsignals, das auch Rauschen enth¨alt, wird mit dem Fensterspektrum gefaltet.Exemplarisch ist in Abb. 6.8 das Leistungsspektrum (gestrichelt) eines 20 ms langen Zeitabschnitts derZeitreihe aus Abb. 6.7 mit dem resultierenden Linienabstand von 50 Hz dargestellt. Durch eine Verl¨angerungder Zeitreihe aufN = 214 Werte erhalt das Leistungsspektrum (durchgezogen) einen Linienabstand von2.93 Hz.

6.2 Amplitudenverteilung des gestreuten Signals

Wie die turbulente Bewegung der Atmosph¨are, so ist auch die Schallstreuung an Turbulenz ein statistischerProzeß. In Abh¨angigkeit von der r¨aumlichen Verteilung streuender Strukturen ¨andert sich auch die Am-plitude des Streusignals. Die Momentanamplitude in Abb. 6.6 repr¨asentiert eine zeitliche Realisierung derraumlichen Verteilung der Inhomogenit¨aten im Streuvolumen, an denen eine Bragg-Reflexion stattgefundenhat.

Nach [136] ist die Amplitude des Empfangssignals rayleighverteilt, wenn die Streuung an vielen voneinan-der unabh¨angigen Streuern stattfindet und die lineare Abmessung des Streuvolumens mehrere Wellenl¨angenumfaßt. In diesem Fall kann man n¨amlich die Phase des R¨uckstreusignals als gleichverteilt zwischen 0 und2π annehmen. In [103] wird dies durch eine Messung belegt, wobei die dort vorgenommene Anpassung dergemessenen Amplitudenverteilungdurch eine Rayleigh-Verteilung nur qualitativ an einem einzigen Beispieldargestellt ist. ZurUberprufung, ob diese Verteilung auch bei den eigenen Sodarmessungen auftritt, wurdedie Amplitudenverteilung wie im folgenden beschrieben aus den R¨uckstreusignalen berechnet.

Zunachst wurde das aufgezeichnete R¨uckstreusignal schmalbandig mit einer Bandbreite von 100 Hz gefil-tert, um die Momentanamplituden zu erhalten. Aus Zeitintervallen von 220 ms Dauer, entsprechend einerLange von ca. 38 m, wurde dann die Amplitudenverteilung ¨uber 128 aufeinanderfolgende Pulse aufgemittelt.Dieses Verfahren wurde f¨ur 8 verschiedene H¨ohenschichten durchgef¨uhrt, wobei die niedrigste die Laufzei-ten zwischen 80 und 300 ms umfaßt (Abb. 6.9). Die Amplitudenverteilung f¨ur Laufzeiten zwischen 700und 920 ms f¨ur die großte Hohe kann als Verteilung der Rauschamplituden aufgefaßt werden, da in diesemIntervall keine auswertbaren R¨uckstreusignale zu erwarten sind.

90 KAPITEL 6. SIGNALVERARBEITUNG VON SODARSIGNALEN

0 16 32 48 64 800.000

0.025

0.050

0.075

0.100p(A)

A

0 16 32 48 64 800.000

0.025

0.050

0.075

0.100

0 16 32 48 64 800.000

0.025

0.050

0.075

0.100p(A)

A

to = 80 ms

0 16 32 48 64 800.000

0.025

0.050

0.075

0.100p(A)

A

0 16 32 48 64 800.000

0.025

0.050

0.075

0.100

0 16 32 48 64 800.000

0.025

0.050

0.075

0.100p(A)

A

to = 100 ms

0 16 32 48 64 800.0000

0.0275

0.0550

0.0825

0.1100p(A)

A

0 16 32 48 64 800.0000

0.0275

0.0550

0.0825

0.1100

0 16 32 48 64 800.0000

0.0275

0.0550

0.0825

0.1100p(A)

A

to = 150 ms

0 16 32 48 64 800.000

0.087

0.175

0.262

0.350p(A)

A

0 16 32 48 64 800.000

0.087

0.175

0.262

0.350

0 16 32 48 64 800.000

0.087

0.175

0.262

0.350p(A)

A

to = 200 ms

0 16 32 48 64 800.000

0.125

0.250

0.375

0.500p(A)

A

0 16 32 48 64 800.000

0.125

0.250

0.375

0.500

0 16 32 48 64 800.000

0.125

0.250

0.375

0.500p(A)

A

to = 300 ms

0 16 32 48 64 800.000

0.125

0.250

0.375

0.500p(A)

A

0 16 32 48 64 800.000

0.125

0.250

0.375

0.500

0 16 32 48 64 800.000

0.125

0.250

0.375

0.500p(A)

A

to = 400 ms

0 16 32 48 64 800.000

0.125

0.250

0.375

0.500p(A)

A

0 16 32 48 64 800.000

0.125

0.250

0.375

0.500

0 16 32 48 64 800.000

0.125

0.250

0.375

0.500p(A)

A

to = 550 ms

0 16 32 48 64 800.000

0.125

0.250

0.375

0.500p(A)

A

0 16 32 48 64 800.000

0.125

0.250

0.375

0.500

0 16 32 48 64 800.000

0.125

0.250

0.375

0.500p(A)

A

to = 700 ms

Abbildung 6.9:Gemessene Wahrscheinlichkeitsdichte der R¨ucksteuamplituden in Abh¨angigkeit vom Start-zeitpunktt0. Eingezeichnet sind auch jeweils die beiden Rayleigh-Verteilungen, deren Parameterα = α1 ausdem Mittelwert (durchgezogen) undα = α2 aus der Varianz (gestrichelt) bestimmt wurde.

6.2. AMPLITUDENVERTEILUNG DES GESTREUTEN SIGNALS 91

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

3

6

9

12

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

3

6

9

12

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕ ⊕ ⊕ ⊕

<A>

t [ms]

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

5

10

15

20

0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 10000

5

10

15

20

⊕

⊕

⊕⊕

⊕ ⊕ ⊕ ⊕

◊

◊

◊

◊

◊ ◊ ◊ ◊

⊕⊕

◊◊

α1

α2

t [ms]

α

Abbildung 6.10:Links: Mittelwert deruber 128 Pulse gemittelten R¨uckstreuamplitude als Funktion derLaufzeit. Rechts: Die aus den Amplitudendichtenunter der Annahme einer Rayleigh-Verteilung berechnetenParameterα1 undα2 in Abhangigkeit von der Laufzeitt.

Die in Abb. 6.9 neben den gemessenen Amplitudendichtenp(A) ebenfalls eingezeichneten Kurven stellenden Versuch einer Anpassung der Meßwerte durch eine Rayleigh-Verteilung nach Gl. (6.21) dar,

p(A) =Aα2eA2=2α2

: (6.21)

Die Rayleigh-Verteilung ist durch einen Parameterα bestimmt, der sich z. B. aus Mittelwert oder auchStandardabweichung der ZufallsvariablenA berechnen l¨aßt:

α1 =hAip π

2

; (6.22)

α2 =

shA2i2 π

2

: (6.23)

Falls die gemessenen Amplituden tats¨achlich gem¨aß Gl. (6.21) verteilt w¨aren, mußte der aus dem Mittelwertberechnete Paramterα1 mit dem aus der Standardabweichung ermitteltenα2 ubereinstimmen. Dar¨uberhin-aus sollten die so angepaßten Rayleigh-Verteilungen nat¨urlich auf den gemessenen Amplitudenverteilungenliegen. Abb. 6.9 zeigt deutlich, daß f¨ur niedrige Hohen keine der beiden Annahmen zutrifft. Die Anpas-sung der Daten mit dem aus dem Mittelwert ermitteltenα1 liegt dabei zwar etwas n¨aher an der gemessenenAmplitudendichte, zeigt jedoch qualitativ deutliche Unterschiede zu den Meßwerten. Offensichtlich tretenbei den Messungen in geringen H¨ohen viel mehr hohe R¨uckstreuamplituden auf, als nach einer Rayleigh-Verteilung auftreten d¨urfen. Aus diesem Grund ist die Anpassung ¨uber das aus der Standardabweichunggefitteteα2 noch schlechter. Mit zunehmender H¨ohe, ab ca. 300 ms Laufzeit, nehmen die großen R¨uckstreu-amplituden ¨uberproportional ab und ihre Verteilung nimmt tats¨achlich die Form einer Rayleigh-Verteilungan. Dies trifft generell f¨ur die Amplitudenverteilung von schmalbandig gefiltertem Rauschen zu (s. z. B.[136]) und deutet daraufhin, daß die Annahmen ¨uber die Verteilung der Streuer und ihre St¨arke, die zu einerRayleigh-Verteilung f¨uhren, im Fall der vorliegenden Messung offensichtlich nicht erf¨ullt sind. Abgesehendavon ist die Korrektheit der Auswertung durch die Ergebnisse f¨ur große H¨ohen verifiziert.

92 KAPITEL 6. SIGNALVERARBEITUNG VON SODARSIGNALEN

-6

-4

-2

0

2

4

6

-1 0 1 2 3 4 5

Y

X

MesswerteRayleigh-Verteilung

Abbildung 6.11:Konstruktion zur Bestimmung der Weibull-Parameter B und C aus der gemessenen Am-plitudendichte. Zum Vergleich eingezeichnet ist die f¨ur den Fall einer Rayleigh-Verteilung zu erwartendeGerade mit C=2. Jeder Geraden mit positiver Steigung C und AchsenabschnittC lnBentspricht eine m¨ogli-che Weibull-Verteilung nach Gl. (6.24).

Beim Studium der Radarliteratur zeigt sich, daß zur Anpassung der gemessenen R¨uckstreuamplituden nichtimmer die Rayleigh-Verteilung herangezogen werden kann. Im Fall der R¨uckstreuung von einer rauhenMeeresoberfl¨ache oder auch von Regenwolken ergibt eine Anpassung durch die Weibull-Verteilung wesent-lich bessere Resultate. Die Weibull-Verteilung ist eine zweiparametrige Funktion, die f¨ur die Ruckstreuam-plitudeA folgende Form hat:

p(A) =CB

AB

C1

e(A=B)C; wobeiA;B;C> 0: (6.24)

Die Weibull-Verteilung enth¨alt als Spezialfall die Rayleigh-Verteilung f¨ur den Fall, daßC = 2 undB =p2α sind. Zur Bestimmung der ParamterB undC aus gemessenen Amplitudendichten kann man sich des

folgenden Zusammenhangs der Parameter und der Amplitude bedienen:

Y = CXC lnB; (6.25)

X = lnA; (6.26)

Y = ln

ln

1

Z A

0p(A)dA

; (6.27)

wobei das Integral als Summe ¨uber die tats¨achlich gemessene Amplitudendichte berechnet wird.

Abb. 6.11 zeigt, daß auch die Annahme einer Weibull-Verteilung der Amplitudendichte nicht zutrifft, daY(X) fur 1:5 < X < 2:5 gekrummt ist. Damit kann nat¨urlich auch die Anpassung durch eine Rayleigh-Verteilung nicht gelingen, die ja eine Gerade mit den oben angegebenen Werten f¨ur Steigung und Achsen-abschnitt ergeben sollte. Auf¨allig ist jedoch, daßY(X) fur Amplituden kleiner als etwaX = 2 entsprechend

6.3. BESTIMMUNG DER WINDGESCHWINDIGKEIT AUS RUCKSTREUSIGNALEN 93

A= 7:4 ziemlich gut durch eine Gerade angepaßt werden kann. Eine Anpassung in diesem Bereich f¨uhrt aufC = 1:9, B= 8:3, also fast einer Rayleigh-Verteilung mit einemα von 5.9. Dieser Wert ergab sich auch f¨urdas in Abb. 6.10 dargestellteα1 fur diesen H¨ohenbereich aus der direkten Anpassung der Meßwerte durcheine Rayleigh-Verteilung. Die Anpassung einer Geraden ¨uber den Bereich vonX = 0:5 bis 3.0 ergibtC = 1:5;B= 10:7, wobei die willkurliche Wahl des oberen Amplitudenwertes f¨ur die Geradenanpassungeine vorsichtige Interpretation der erhaltenen Parameter erfordert. Nichtsdestotrotz deckt sich dieser Befundmit den oben schon angesprochenen Radardaten im Fall von Regenwolken, deren Weibull-ParameterC fureine gute Anpassung zwischen 1.2 und 2 liegen kann.

6.3 Bestimmung der Windgeschwindigkeit aus R¨uckstreusignalen

Falls sich das Streuvolumen homogen mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegte und zus¨atzlich so et-was wie eine rauschfreie Messung m¨oglich ware, ware das R¨uckstreusignal ein Sinus konstanter Amplitudemit einer nach der Dopplerformel nach Gl. (5.4) entsprechend der Radialkomponente der Geschwindigkeitgegebenen Frequenz:

f = vr2λ+ f0; (6.28)

mit f0 als Tragerfrequenz. In diesem Fall w¨are es z. B. m¨oglich eine PLL (phase locked loop) zur Frequenz-bestimmung einzusetzen oder auch die Momentanfrequenz als Dopplerfrequenz anzusehen. Da es sich beimSodar jedoch um eine Volumenmessung handelt und das Windgeschwindigkeitsfeld eine statistisch schwan-kende Gr¨oße, sowohl im Raum als auch in der Zeit, darstellt, ist das R¨uckstreusignal leider nicht monofre-quent. Zudem bekommt man aufgrund des kleinen R¨uckstreuquerschnitts schon ab wenigen Metern Entfer-nung zum Streuvolumen erhebliche Probleme mit dem Umgebungsrauschen, haupts¨achlich verursacht durchWindgerausche am Empfangsmikrofon. Zur Bestimmung des Erwartungswertes der Windgeschwindigkeitim Meßvolumen wird also ein Verfahren ben¨otigt, daß es erlaubt, den Erwartungswert (erstes Moment) derDopplerfrequenz aus dem Empfangssignal zu extrahieren.

6.3.1 Bestimmung der Dopplerfrequenz aus dem Leistungsspektrum

Die Schatzung des Leistungsspektrums erfolgt durch Mittelung der Betragsquadrate vonN Amplituden-spektrenGn

w( fk), die aus dem R¨uckstreusignal aufeinanderfolgender Zeitintervalle berechnet werden:

P( fk) =1N

N

∑n=1

Gnw( fk)G

nw( fk) (6.29)

=1N

N

∑n=1

k

∑l=0

Gn( fl)W( fk fl )k

∑m=0

Gn( fm)W( fk fm):

Gn( fk) = Sn( fk)+Rn( fk) bezeichnet das verrauschte Amplitudenspektrum dern-ten Messung. Bei der wei-teren Behandlung dieser Gleichung gehen zwei Annahmen ein: Erstens sind die Rausch- und Signalanteileunkorreliert, so daß es aufgrund der fluktuierenden Phasen zu destruktiver Interferenz kommt, und zweitensseihRi= 0. Das heißt,jGnj2 = jSn+Rnj2 jSnj2+ jRnj2, und es gilt:

P( fk) =1N

N

∑n=1

k

∑l=0

jGn( fl)j2jW( fk fl )j2: (6.30)

94 KAPITEL 6. SIGNALVERARBEITUNG VON SODARSIGNALEN

Daraus folgt fur das LeistungsspektrumP( fk) = PS+PR, es ist also einfach die Summe des (unbekannten)Signalleistungsspektrums und des Rauschleistungsspektrums. F¨ur die Messung bedeutet das konkret, daßz. B. zur Bestimmung des Signal-Rausch-Verh¨altnisses das Rauschspektrum separat aber mit gleicher Fen-sterfunktion gemessen und dann von dem Leistungsspektrum, welches das Streusignal enth¨alt, abgezogenwerden kann.

Wie geht nun die Fensterfunktion bei der Bestimmung des ersten Momentes aus Leistungsspektren ein? Daserste Moment ist ein Maß f¨ur das Zentrum einer Verteilung, die hier in Form der Faltung des eigentlichenStreusignalspektrums mit der Fouriertransformierten der Fensterfunktion vorliegt. F¨ur das erste Momentgilt:

h fsPi= ∑ fkP( fk)

∑P( fk)=

∑ fk ∑∑G2( fk fl )W2( fl)

∑∑∑G2( fk fl )W2( fl): (6.31)

Dieser Ausdruck l¨aßt sich umformen zu:

h fsPi= ∑W2( fl) [h fG2i+ fl ]

∑W2( fl); (6.32)

mit h fG2i= ∑ fkG2( fk)

∑G2( fk);

d. h., der Mittelwert ergibt sich additiv aus dem Mittelwert des Signalspektrums und dem der Fenster-funktion: h fsPi = h fG2i+ h fW2i. Da das Spektrum der Fensterfunktion symmetrisch ist, ist der Mittelwerth fW2i = 0. Der Mittelwert des Signalspektrums wird durch die Faltung mit der Fensterfunktion nicht ver-schoben.

Analog ergibt sich f¨ur die Berechnung des zweiten Momentes:

h f 2sPi =

∑W2( fl ) [h f 2G2i+2h fG2i fl + f 2

l ]

∑W2( fl)(6.33)

= h f 2G2i+2h fG2ih fW2i+ h f 2

W2i:

Da h fW2i = 0, laßt sich die Varianz des gefalteten Spektrums als Summe der Einzelvarianzen schreiben:h f 2

sPi= h f 2W2i+ h f 2

G2i. Die Berechnung von Mittelwert und Schwankung vonf erfolgt also durch:

h fG2i = h fsPi;h f 2

G2i = h f 2sPih f 2

W2i; (6.34)

h f 2Gi =

p2h f 2

G2i:

Da die Varianz aus dem quadratischen Signalspektrum berechnet worden ist, wird die gemessene Varianzh f 2

G2i unter der Annahme, daß die Geschwindigkeitsverteilung im Streuvolumen gaußverteilt ist, mitp

2multipliziert.

6.3.2 Mittelungen

Einzelspektren von Streusignalen sind zum Teil nicht auswertbar, da die spektrale Dichte des Umgebungs-rauschens in diesen F¨allen großer ist, als die des Streusignals. Eine Verbesserung des Signal-Rausch-Verh¨alt-

6.3. BESTIMMUNG DER WINDGESCHWINDIGKEIT AUS RUCKSTREUSIGNALEN 95

nisses kann durch Mittelung der Leistungsspektren ¨uber mehrere Pulse erreicht werden. Bei diesem Verfah-ren gehen nat¨urlich Streusignale hoher R¨uckstreuamplitude st¨arker ein als andere. Dieses Verfahren ist abernicht ganz unproblematisch, da ja der Streuvorgang an sich ¨uberhaupt nichts mit der mittleren Windge-schwindigkeit zu tun hat, die R¨uckstreuamplitude und die mittlere Frequenz des r¨uckgestreuten Signalssomit unkorreliert sind. Gerade bei monostatischer Meßanordnung, bei der die Streuung nur an Tempera-turfluktuationen erfolgt, wird klar, daß aus Pulsen mit starken R¨uckstreuamplituden nicht notwendigerweise‘bessere’ Meßwerte f¨ur die Dopplerverschiebung folgen.

Es bieten sich daher zwei Wege an, eine Mittelung durchzuf¨uhren:

1. Energetische Mittelung, d. h. Mittelung von Leistungsspektren ¨uber mehrere Pulse und anschließendeBerechnung vonh f i nach Gl. (6.32) aus dem Schwerpunkt.

2. Frequenzmittelung, d. h. Mittelung der aus Einzelpulsauswertunggewonnenen Frequenzen ¨uber meh-rere Pulse.

Im Fall der zweiten Methode zur Bestimmung der mittleren Windgeschwindigkeitwird die Dopplerfrequenzfs aus dem Schwerpunkt des Leistungsspektrums jeder einzelnen Messung bestimmt und anschließend derMittelwert uberN Messungen gebildet:

h fsei= 1N

N

∑n=1

fsn: (6.35)

Die Varianz berechnet sich aus

h f 2sei=

1N1

N

∑n=1

( fsnh fsei)2: (6.36)

Im Gegensatz zur energetischen Mittelung gehen hier die Amplituden nicht gewichtet in die Mittelung ein.Jeder gemessene Geschwindigkeitswert wird gleichberechtigt behandelt.

Im Grunde handelt es sich hierbei nicht um konkurrierende sondern um einander erg¨anzende Methoden,die im Fall großer Streuvolumina angewandt werden. Bei der ersten Methode kann neben der mittlerenGeschwindigkeit auch deren Verteilung im Streuvolumen ¨uber die spektrale Verbreiterung ausgewertet wer-den: Angenommen, ein Streusignal stammt aus einem Streuvolumen großer Ausdehnung, entsprechend ei-ner Pulslange von z. B. 150 ms. Dann entspricht, da es sich um eine Volumenmessung handelt, die mittlereSignalfrequenz der Geschwindigkeit großskaliger Fluktuationen in der Gr¨oßenordnung des Streuvolumens.Die Bewegung kleinerer im Streuvolumen enthaltenen Strukturen wird durch das Auftreten von Frequen-zen um die mittlere Frequenz herum abgebildet. Die Form des Spektrums enth¨alt also Information ¨uber dieGeschwindigkeitsverteilung im Streuvolumen. Mittelung von Leistungsspektren ¨uber mehrere Pulse stellteine Ensemblemittelung ¨uber einen r¨aumlich begrenzten Bereich dar und die durch turbulente Bewegungverursachte spektrale Verbreiterung des Spektrums ist eine Gr¨oße fur die Varianz der Windgeschwindigkeitim Streuvolumen. Die Statistik des Windfeldes innerhalb eines Streuvolumens wird erfaßt, das betrifft alleSkalen, die kleiner als die Abmessungen des Streuvolumens sind. Das ist die mitpulse volume filteringinAbschnitt 4.2 beschriebene Eigenschaft einer Volumenmessung.

Eine Voraussetzung daf¨ur, daß eine spektrale Verbreiterung meßbar ist, ist jedoch, daß das betrachtete Streu-volumen groß genug ist, um viele Streuzentren zu enthalten, die meßbar zu Streuung beitragen.

96 KAPITEL 6. SIGNALVERARBEITUNG VON SODARSIGNALEN

Bei Anwendung der Frequenzmittelung bleiben nur Informationen ¨uber großerskalige Fluktuationen erhal-ten, da jede Einzelauswertung eines Leistungsspektrums die Geschwindigkeit des von der mittleren Luft-stromung getragenen Streuvolumens ergibt. Eine Kombination beider Methoden w¨urde einen hochfrequen-ten Teil des Windleistungsspektrums ab Skalen kleiner als das Meßvolumen und einen tieffrequenten Teil,dessen obere Skala durch die halbe Pulsfrequenz begrenzt wird, erfassen.

6.3.3 Raumliche Auflosung und Analyselange

Abb. 6.12 zeigt den Verlauf der Momentanfrequenz (durchgezogen) eines gemessenen Streusignals f¨ur einIntervall von 60 bis 210 ms. Die Sendefrequenz bei 4368 Hz ist durch eine Linie gekennzeichnet. JederPunkt auf der Zeitskala w¨urde bei einem Deltapuls einer Entfernung bzw. einem Ort, bei dem Streuungstattgefunden hat, entsprechen. Die r¨aumliche Auflosung hangt jedoch von der Pulsl¨ange ab und betr¨agtim monostatischen Fall entlang des Schallstrahls∆r = c0τ=2, d. h. zu jedem Zeitpunkt nach Entsenden desSchallimpulses werden Signale aus einer Schicht der Dicke∆r empfangen. Jeder gemessene Wert einesZeitpunktes enth¨alt also schon ein Volumenmittel.

0.06 0.09 0.12 0.15 0.18 0.21

4300

4350

4400

4450

4500

0.06 0.09 0.12 0.15 0.18 0.21

4300

4350

4400

4450

4500

⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕

⊕

⊕⊕⊕

⊕

⊕

⊕

⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕

⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕

⊕

⊕

⊕

⊕⊕⊕⊕

⊕

⊕⊕⊕⊕⊕⊕

⊕

⊕

⊕⊕

⊕

⊕

⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕

⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕

⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕

⊕⊕⊕⊕⊕⊕

⊕⊕⊕⊕

⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕

⊕⊕⊕⊕⊕⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕⊕⊕⊕

⊕

⊕⊕⊕⊕⊕

⊕⊕⊕⊕⊕

⊕⊕⊕⊕⊕

fm(t) [Hz]

t [s]

Abbildung 6.12:Momentanfre-quenz eines gemessenen Zeit-signals (durchgezogen) im Ver-gleich zu aus Leistungsspek-tren berechneten Schwerpunkt-frequenzen (). Der zeitlicheVersatz des Analysefensters be-tragt 1 ms. Die Sendefrequenz istdurch eine Linie bei 4368 Hz ge-kennzeichnet.

0.06 0.09 0.12 0.15 0.18 0.210.0

37.5

75.0

112.5

150.0

0.06 0.09 0.12 0.15 0.18 0.210.0

37.5

75.0

112.5

150.0 A(t)

t [s]

Abbildung6.13:An der Momen-tanamplitude des entsprechen-den Zeitsignals sind die Berei-che mit kleinem Signal-Rausch-Verhaltnis zu erkennen.

Zugleich sind in Abb. 6.12 auch die Frequenzen dargestellt (gekennzeichnet mit), die aus Leistungspek-tren berechnet wurden. Das Analysefenster der L¨ange von 10 ms, was der halben Pulsl¨ange entspricht,wurde in Abstanden von 1 ms entlang der Zeitachse verschoben. Die Wahl der L¨ange des Analysefenstersvon 10 ms ist ein Kompromiß aus Rechenaufwand und Aufl¨osung. Tests, bei denen die L¨ange des Analy-

6.3. BESTIMMUNG DER WINDGESCHWINDIGKEIT AUS RUCKSTREUSIGNALEN 97

sefensters variiert wurde, haben gezeigt, daß l¨angere Analysefenster eine gr¨oßere Glattung verursachen, diebereits bei 20 ms nicht mehr akzeptabel ist.

Die aus Leistungsspektren berechneten Frequenzen folgen der Kurve der Momentanfrequenz im wesent-lichen, wenn fur das Analysefenster die halbe L¨ange des Sendepulses gew¨ahlt wird. Bei allen Messungenliegen daher den Leistungsspektren immer Fenster der L¨angeτ=2 zugrunde.

Erstaunlich ist der Befund, daß die Momentanfrequenz so gut mit der aus den Leistungsspektrenbestimmtenmittleren Frequenz ¨ubereinstimmt, obwohl bei der Berechnung der Momentanfrequenz keinerlei zeitlicheMittelung stattfindet und somit jeder Wert die gleiche statistische Unsicherheit aufweist, wie der des gemes-senen R¨uckstreusignals zu diesem Zeitpunkt. Dies kann nur damit erkl¨art werden, daß das R¨uckstreusignalzu jedem Zeitpunkt schon ein r¨aumliches Mittel der R¨uckstreuung aus einer H¨ohenschicht der Dicke∆rdarstellt.

An der Momentanamplitude dieser Messung in Abb. 6.13 ist erkennbar, daß das Signal nicht zu jeder Zeitauswertbar ist. Beide Frequenzkurven zeigen deutliche Einbr¨uche an den Stellen, wo die Momentanamplitu-de sehr klein wird. Es ist daher nicht immer m¨oglich, aus einem einzelnen Puls ein momentanes Windprofilzu erstellen.Uber mehrere Pulse gemittelt kann ein mittlerer Windgeschwindigkeitswert angen¨ahert werden.Dies wird im nachsten Abschnitt mit generierten Signalen in Abh¨angigkeit vom Signal-Rausch-Verh¨altnisuntersucht.

98 KAPITEL 6. SIGNALVERARBEITUNG VON SODARSIGNALEN

6.4 Meßwertstreuung

In diesem Abschnitt wird der Einfluß von Amplitudenschwankungen und additivem Rauschen auf die Ge-nauigkeit bei der Frequenzbestimmung analysiert. Neben der grunds¨atzlich bei der Spektralanalyse gege-benen endlichen Genauigkeit der Frequenzbestimmung aufgrund der Unsch¨arferelation, die immer besteht,wenn zwei Variablen ¨uber eine Fouriertransformation zusammenh¨angen, wird die Frequenzbestimmungdurch die stochastische Natur des Temperatur- und Windfeldes, sowie durch das in jeder Messung auftre-tende Rauschen weiter eingeschr¨ankt. Schwankungen der R¨uckstreuamplitude f¨uhren bei der Bestimmungder mittleren Dopplerfrequenz zu einer Bevorzugung derjenigen Frequenzen mit den h¨ochsten Streuam-plituden. Ist dem Nutzsignal zus¨atzlich Rauschen ¨uberlagert, wird der Schwerpunkt des Signalspektrumsauch durch die Rauschanteile verschoben. Der Fehler, der dadurch bei der Bestimmung der Signalfrequenzauftritt, wird mit zunehmender Anzahl aufgemittelter Pulse reduziert, da die Signal- und Rauschanteile un-korreliert sind. Im Folgenden wird nun untersucht, wie sicher eine gemessene Dopplerfrequenz und damitdie daraus bestimmte Windgeschwindigkeit nach dern-ten Pulsmittelung (n-Sekundenmittel) ist und welcheSchwankungen zu erwarten sind.

Die Durchfuhrung eines solchen Tests w¨are theoretisch m¨oglich, indem die Messung der Windgeschwin-digkeit uber einen bestimmten Zeitraum f¨ur verschiedene Realisierungen des Rauschens wiederholt durch-gefuhrt wurde. Dazu m¨ußten jedoch jeder Realisierung identische Windgeschwindigkeitszeitreihen zugrun-deliegen. Da eine Messung in dieser Weise nicht realisierbar ist, werden Simulationen mit synthetisiertenZeitsignalen durchgef¨uhrt.

Zu diesem Zweck werden Sinussignale ¨uberlagert mit weißem Rauschen erzeugt, deren Leistungsspek-tren zur Bestimmung der mittleren Frequenz berechnet werden. Unter dem Aspekt einer hohen zeitlichenAuflosung wird eine Absch¨atzung des Fehlers in Abh¨angigkeit von der Anzahl durchgef¨uhrter Mittelun-gen vorgenommen. Um dar¨uberhinaus eine Aussage ¨uber die Schwankung dern-ten Mittelung zu treffen,werden die f¨ur jede Realisierung des Rauschens berechnetenn-Sekundenmittel ¨uber alle Realisierungengemittelt.

Dabei stellen die aus aufeinanderfolgenden Mittelungen gewonnenen Schwerpunktfrequenzenfn(i) mit n=

1: : :N die i-te Realisierung des Ensembles dar und f¨ur dasn-Sekundenmittel ergibt sich der ErwartungswertuberK unabhangige Realisierungen durch

h fni= 1K

K

∑i=1

fn(i) (6.37)

mit der Standardabweichung von

σn =qh f 2

ni=s

1K1

K

∑i=1

(h fni fn(i))2: (6.38)

Die Standardabweichung f¨ur einn-Sekundenmittel und der Verlauf ihrer Abnahme mit zunehmender Mit-telungsdauer h¨angen vom Signal-Rausch-Verh¨altnis (SNR, fur signal to noise ratio) ab, welches durch dasVerhaltnis von Signal- zu Rauschleistung definiert ist:

SNR=PS

PR=hs2(t)ihr2(t)i; (6.39)

mit P = ∑k P( fk). Die Auswertung der synthetisierten Signale erfolgt mit der Sodarsignalverarbeitungsrou-tine und wird an verschiedenen Signalen durchgef¨uhrt:

6.4. MESSWERTSTREUUNG 99

1. Zunachst wird der Einfluß einer Amplitudenwichtung bei rauschfreien Signalen untersucht. Jedes indie Mittelung eingehende Leistungsspektrum erh¨alt eine zufallig schwankende Amplitude und Fre-quenz.

2. Die Signale enthalten weißes Rauschen. Frequenz und Amplitude des Sinusanteils am Signal bleibenwahrend der Mittelung konstant.

3. Zusatzlich zu dem Rauschanteil schwankt die Amplitude der Sinuskomponente des Signals.

4. In der abschließenden Simulationsrechnung werden Signale untersucht, die denen gemessener Sodar-signale am ¨ahnlichsten sind. Sie enthalten eine schwankende Amplitude und Frequenz und sind mitRauschen ¨uberlagert.

6.4.1 Einfluß einer Amplitudenwichtung

Da die Signalamplitude der R¨uckstreusignale von Puls zu Puls schwankt, gehen die einzelnen Leistungs-spektren gewichtet in die energetische Mittelung ein; schwache Signale liefern einen geringeren Beitrag. Soware der Schwerpunkt zweier gemittelter Spektren verschiedener Amplitude und Frequenz dominiert durchdas Spektrum mit der gr¨oßeren Signalamplitude. Eine gleichgewichtete Mittelung, bei der die Spektren aufihr Maximum normiert werden, ist nur bei rauschfreien Signalen sinnvoll, da eine Normierung bei realenSignalen eine unterschiedliche Wichtung des Rauschuntergrundes bewirken w¨urde. Eine Normierung beienergetischer Mittelung ist daher nicht sinnvoll.

Um den Einfluß von Amplitudenschwankungen auf die Meßgenauigkeit zu untersuchen, wird ein Mitte-lungsprozeß simuliert, bei dem Leistungsspektren von Sinuspulsen variierender Amplitude fortlaufend ge-mittelt werden. Jedes Leistungsspektrum steht f¨ur eine Messung und enth¨alt eine Frequenzverschiebungbezuglich der Tragerfrequenz von 4000 Hz. Die zur Berechnung der Spektren verwendete L¨ange des Analy-sefensters betr¨agt wie auch bei den Sodarmessungen 10 ms. Den Frequenzverschiebungen liegen gemesseneWinddaten zugrunde. Jeder Geschwindigkeitswert der Zeitreihen3 in Abb. 6.15 (oben) wird mit Gl. (5.4) ineine Dopplerfrequenz umgerechnet. Die zeitliche Auflosung betr¨agt 1 Hz, das entspricht einer typischenPulswiederholfrequenz von Sodarsignalen. Die Amplitudenwichtung der frequenzverschobenen Amplitu-denspektren erfolgt durch Multiplikation mit rayleighverteilten Zufallszahlen (Abb. 6.14). Die gemesseneAmplitudenverteilung aus Abschnitt 6.2 ließ sich durch eine Rayleigh-Verteilung zwar nicht ¨uber den ge-samten Amplitudenbereich, zumindest jedoch f¨ur den kleiner Amplituden sehr gut anpassen. Aufgrund dereinfachen analytischen Form und weil die Anpassung durch eine zweiparametrige Weibull-Verteilung eben-falls nichtuber den gesamten Amplitudenbereich m¨oglich ist, wurde die Rayleigh-Verteilung gew¨ahlt. EineFilterung der synthetisierten Signale erfolgte nicht, da bei dieser Simulation allein der Einfluß der Amplitu-denschwankungen untersucht werden sollte und daher unverrauschte Signale untersucht wurden.

Nach jeder Mittelung erfolgt die Berechnung des Schwerpunktes nach Gl. (6.32), um daraus das entspre-chenden-Sekundenmittel der Geschwindigkeit zu ermitteln. Entsprechend des in Abb. 6.15 dargestelltenZeitraums von 10 Minuten werden maximal 600 Mittelungen durchgef¨uhrt. Die Darstellungen unten in die-ser Abbildung enthalten die Leistungsspektren nach der letzten Mittelung (10-Minutenmittel), bei denen diedurchgezogene Linie die jeweilige Lage des Schwerpunkts kennzeichnet. Die Form der Windgeschwindig-keitsverteilung (Abb. 6.15, Mitte) der Windzeitreihen bildet sich auch in den Spektren ab (Abb. 6.15, unten).

3Die Winddaten wurden vom Deutschen Windenergieinstitut (DEWI) im Rahmen eines EG-Projektes aufbereitet. Es handeltsich umUberwachungsdaten des JADE-Windparks. Der dort installierte Meteorologiemast stellt Winddaten f¨ur die Hohen 10, 30,60, 90 und 130 m zur Verf¨ugung, die Windrichtung wird in einer H¨ohe von 130 m gemessen.

100 KAPITEL 6. SIGNALVERARBEITUNG VON SODARSIGNALEN

0 2 4 6 8 100.0

0.2

0.4

0.6

0.8

0 2 4 6 8 100.0

0.2

0.4

0.6

0.8p(A)

A

Abbildung 6.14: Wahrscheinlichkeitsdichte derkunstlich erzeugten Zufallsfolge, die bei der Mit-telung von Leistungsspektren zur Wichtung derSignalamplituden dient. Die durchgezogene Kur-ve markiert die angepaßte Rayleigh-Verteilung.

So zeigt die Windgeschwindigkeitsverteilung aus 130 m H¨ohe eine relativ symmetrische Form, weshalb diedurch eine Linie markierte Schwerpunktfrequenz nahezu mit dem Maximum des Spektrums zusammenf¨allt.In 30 m Hohe dagegen zeigt die Windgeschwindigkeit ein mehr b¨oiges Verhalten, zu erkennen an der nurlangsam zu hohen Windgeschwindigkeiten abfallenden Geschwindigkeitsverteilung. Aus diesem Grund istder Schwerpunkt des gemittelten Leistungsspektrums zu h¨oheren Frequenzen, die ja bis auf einen FaktorGeschwindigkeiten entsprechen, verschoben.

Die Mittelungsprozedur wurde mit beiden Windzeitreihen jeweils f¨ur K = 16 verschiedene Realisierungenvon zeitabh¨angigen R¨uckstreuamplituden durchgef¨uhrt. Es ergeben sich so 16 Kurven der Geschwindigkeit,gewonnen aus ¨uber eine fortlaufende Anzahl von Pulsen gemittelten Spektren. Die zeitliche Entwicklungdes mittlerenn-Sekundenmittels (durchgezogen) ist f¨ur beide Hohen in Abb. 6.16 in Abh¨angigkeit von derMittelungsdauer bisN = 600, entsprechend einem 10-Minutenmittel dargestellt. Die Standardabweichung(gestrichelt) fallt ab 200 Mittelungen nur noch geringf¨ugig ab. Die punktgestrichelte Kurve beschreibt dentatsachlichen Verlauf der zeitlichen Entwicklung des Mittelwertes, der parallel zur spektralen Geschwin-digkeitsbestimmung aus den Originaldaten berechnet wurde. Ein Ausschnitt der ersten 60 Mittelungen inAbb. 6.17 zeigt, daß die Standardabweichung (durch gekennzeichnet) zun¨achst klein ist, bis 10 Mitte-lungen schnell anw¨achst und im Bereich von 10 bis 30 Mittelungen maximale Werte bis 0.3 m/s annimmt.Danach ist eine langsame Abnahme ablesbar. Dieses Verhalten tritt bei beiden Zeitreihen auf. Nach 600 Mit-telungen scheint sich die Standardabweichung auf einen konstanten Wert eingepegelt zu haben. Das mittleren-Sekundenmittel l¨auft nur im zweiten Beispiel (Windzeitreihe aus 130 m) gegen den wahren Mittelwert.

Die Abweichungen der in Geschwindigkeiten umgerechneten Schwerpunktfrequenzen von den Originalda-ten hangen nur von der Amplitudenvariation ab, da die Spektren rauschfrei sind. Ein Test mit konstanterAmplitudenbelegung f¨uhrt bei den energetischen Mittelungen ebenso auf den Mittelwert der tats¨achlichenWindzeitreihe wie eine Frequenzmittelung nach Gl. (6.35).

6.4. MESSWERTSTREUUNG 101

0 100 200 300 400 500 6000

2

4

6

8

10

Hoehe = 30 m

v [m/s]

t [s]

0.0 2.4 4.8 7.2 9.6 12.00.00

1.25

2.50

3.75

5.00p(v)

v [m/s]

-400 -200 0 200 4000.0

0.5

1.0

1.5

2.0P(f)

f [Hz]

0 100 200 300 400 500 6000

2

4

6

8

10

Hoehe = 130 m

v [m/s]

t [s]

0.0 2.4 4.8 7.2 9.6 12.00.00

1.25

2.50

3.75

5.00p(v)

v [m/s]

-400 -200 0 200 4000.0

0.5

1.0

1.5

2.0P(f)

f [Hz]

Abbildung 6.15:Windzeitreihe aus 30 und 130 m H¨ohe (oben) einer L¨ange von 10 Minuten. Die zugeh¨origenGeschwindigkeitsverteilungen sind in der Mitte abgebildet. Die Darstellungen unten zeigen Leistungsspek-tren nach der 600. Mittelung als Ergebnis der Sodarsimulation auf Basis der vorliegenden Windgeschwin-digkeit unter der Annahme einer schwankenden R¨uckstreuamplitude.

102 KAPITEL 6. SIGNALVERARBEITUNG VON SODARSIGNALEN

0 100 200 300 400 500 6002.9

3.4

3.9

4.4

4.9

5.4

0 100 200 300 400 500 6002.9

3.4

3.9

4.4

4.9

5.4

0 100 200 300 400 500 6002.9

3.4

3.9

4.4

4.9

5.4

0 100 200 300 400 500 6002.9

3.4

3.9

4.4

4.9

5.4

Hoehe = 30 m

<v> [m/s]

n

0 100 200 300 400 500 6005.3

5.7

6.1

6.5

6.9

7.3

0 100 200 300 400 500 6005.3

5.7

6.1

6.5

6.9

7.3

0 100 200 300 400 500 6005.3

5.7

6.1

6.5

6.9

7.3

0 100 200 300 400 500 6005.3

5.7

6.1

6.5

6.9

7.3

Hoehe = 130 m

<v> [m/s]

n

0 100 200 300 400 500 6005.3

5.7

6.1

6.5

6.9

7.3

0 100 200 300 400 500 6005.3

5.7

6.1

6.5

6.9

7.3

0 100 200 300 400 500 6005.3

5.7

6.1

6.5

6.9

7.3

0 100 200 300 400 500 6005.3

5.7

6.1

6.5

6.9

7.3

Hoehe = 130 m

<v> [m/s]

n

Abbildung 6.16:Einfluß von Amplitudenschwankungen auf dasn-Sekundenmittel. Aus generierten Kurz-eitspektren variabler Frequenz (berechnet aus den Windzeitreihen der Abb. 6.15) und variabler Amplitudewurden energetische Mittel in steigender Anzahl erzeugt, aus denen Geschwindigkeiten berechnet wurden.Das Geschwindigkeitsmittel (durchgezogene Kurve) ¨uberK = 16Realisierungen von R¨uckstreuamplitudenund die Standardabweichung (gestrichelte Kurven) sind in Abh¨angigkeit von der Anzahl der Mittelungen bisN = 600dargestellt. In den Darstellungen ist auch die tats¨achliche zeitliche Entwicklung des Mittelwertes(punktgestrichelt), der sich direkt aus den Winddaten ergibt, eingezeichnet.

6.4. MESSWERTSTREUUNG 103

0 10 20 30 40 50 602.9

3.4

3.9

4.4

4.9

5.4

0 10 20 30 40 50 602.9

3.4

3.9

4.4

4.9

5.4

◊◊

◊

◊◊

◊

◊

◊

◊

◊

◊◊

◊

◊◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊

◊◊

◊◊ ◊ ◊

◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊◊ ◊ ◊

0 10 20 30 40 50 602.9

3.4

3.9

4.4

4.9

5.4

◊

◊

◊

◊ ◊

◊

◊

◊

◊

◊◊

◊◊

◊◊ ◊

◊

◊◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊

◊◊

◊ ◊◊ ◊

◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊◊ ◊ ◊

Hoehe = 30 m

<v> [m/s]

n

0 10 20 30 40 50 605.3

5.7

6.1

6.5

6.9

7.3

0 10 20 30 40 50 605.3

5.7

6.1

6.5

6.9

7.3 ◊◊

◊

◊

◊

◊

◊

◊

◊

◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊◊

◊

◊◊ ◊ ◊ ◊

◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊

◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊◊ ◊ ◊

0 10 20 30 40 50 605.3

5.7

6.1

6.5

6.9

7.3 ◊

◊

◊

◊

◊

◊

◊

◊

◊

◊ ◊◊

◊◊

◊ ◊◊

◊◊ ◊ ◊ ◊

◊◊ ◊ ◊

◊ ◊ ◊ ◊◊

◊◊

◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊◊

◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊

Hoehe = 130 m

<v> [m/s]

n

Abbildung 6.17:Ausschnittvergr¨oßerung f¨ur das Mittel (durchgezogene Kurve) ¨uberK = 16Realisierungenvon Ruckstreuamplituden und die Standardabweichung () aus Abb. 6.16 bisN = 60.

6.4.2 Variation des Signal-Rausch-Abstands (SNR)

Dasselbe Verfahren wird auf verrauschte Sinussignale angewandt. In allen Beispielen der folgenden Un-tersuchung betr¨agt die Bandbreite des Filters 400 Hz und die Analysel¨ange des Zeitfensters 10 ms. DieAbtastfrequenz von 48000 Hz entspricht der der Sodarsignale. Wie im ersten Beispiel und auch in den fol-genden betr¨agt die Tragerfrequenz 4000 Hz. Es wird wiederum Mittelwert und Standardabweichung ¨ubereine Anzahl von Mittelungsprozessen in Abh¨angigkeit von der Mittelungsanzahl berechnet. Diese Prozedurwird fur verschiedene SNR durchgef¨uhrt. Mit den dann vorliegenden Daten soll es m¨oglich sein, die bei derBestimmung der Dopplerfrequenz aus Sodarsignalen zu erwartende Standardabweichung f¨ur eine beliebigeAnzahl durchgef¨uhrter Mittelungen in Abh¨angigkeit vom SNR anzugeben.

Sinus mit konstanter Frequenz und konstanter Amplitude:Zunachst wird die Untersuchung an einem bis auf additives Rauschen als ideal anzusehendem Sodarsignaldurchgefuhrt. Ausgangssignale sind Sinuspulse konstanter Amplitude und Frequenz ¨uberlagert mit weißemRauschen. Es werden wieder Leistungsspektren berechnet, aus deren Mittel der Schwerpunkt bestimmtwird. Die Abstande der Mittelungen werden auf die realen Pulsintervalle von 1 s bezogen. BeiN = 600Mittelungen entspricht das einem Zeitraum von 10 Minuten. Die zur Bestimmung des SNR notwendigenRauschleistungsspektren werden ermittelt, indem die erzeugten Rauschsignale, die das Sinussignal nichtenthalten, auf die gleiche Weise analysiert werden. Bildung der Differenz von verrauschtem Signal- undreinem Rauschleistungsspektrum am Ende der Mittelung liefert das unverrauschte Signalspektrum mit demes nun m¨oglich ist das SNR mit Gl. (6.39) zu bestimmen.

Parallel zu dieser Auswertung wird der Schwerpunkt jedes einzelnen Leistungsspektrums berechnet undfortlaufend aufgemittelt. Das entspricht der Frequenzmittelungsmethode aus Abschnitt 6.3.2. Auf identischeSignale angewendet, ergibt sich damit die M¨oglichkeit eines Vergleichs dieser beiden Mittelungsmethoden.

Expemplarisch ist in Abb. 6.18 (a) die zeitliche Entwicklung der mittleren Frequenz und der Standardab-weichung, gebildet ausK = 50 Satzen von Mittelungsprozessen, bisN = 60 dargestellt. Die bezeichnendie energetischen Mittel, die die aus Einzelspektren gewonnenen Ergebnisse. In Abb. 6.18 (b) sind dasverrauschte Signal- und das reine Rauschleistungsspektrum nach der 600. Mittelung dargestellt, f¨ur die hierein SNR von5 dB berechnet wurde. Da das Signal-Rausch-Verh¨altnis aus dem Verh¨altnis der Flachen,

104 KAPITEL 6. SIGNALVERARBEITUNG VON SODARSIGNALEN

0 20 40 603960

3970

3980

3990

4000

4010

4020

4030

0 20 40 603960

3970

3980

3990

4000

4010

4020

4030 ⊕

⊕⊕

⊕⊕

⊕⊕

⊕ ⊕⊕ ⊕⊕⊕ ⊕⊕ ⊕⊕ ⊕⊕⊕⊕ ⊕⊕ ⊕⊕ ⊕⊕⊕ ⊕⊕ ⊕⊕⊕ ⊕⊕⊕ ⊕ ⊕⊕⊕⊕ ⊕⊕ ⊕⊕ ⊕⊕⊕⊕ ⊕ ⊕⊕⊕ ⊕⊕⊕ ⊕⊕ ⊕⊕

0 20 40 603960

3970

3980

3990

4000

4010

4020

4030

⊕

⊕

⊕⊕⊕ ⊕⊕⊕ ⊕⊕ ⊕⊕⊕ ⊕⊕ ⊕⊕ ⊕⊕⊕⊕ ⊕⊕ ⊕⊕ ⊕⊕⊕ ⊕⊕ ⊕⊕⊕ ⊕⊕⊕ ⊕ ⊕⊕⊕⊕ ⊕⊕ ⊕⊕ ⊕⊕⊕⊕ ⊕ ⊕⊕⊕ ⊕⊕⊕ ⊕⊕ ⊕⊕

<f> [Hz]

n

(a)

0 20 40 603960

3970

3980

3990

4000

4010

4020

4030

0 20 40 603960

3970

3980

3990

4000

4010

4020

4030 ◊

◊◊

◊◊ ◊

◊◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊

0 20 40 603960

3970

3980

3990

4000

4010

4020

4030

◊

◊

◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊ ◊

<f> [Hz]

n

0.00e+00

3.50e-05

7.00e-05

1.05e-04

1.40e-04P(f)

(b)

f [Hz]

RS

S + R

3700 3900 4100 43003700 3900 4100 4300

Abbildung 6.18:Vergleich der aus energetischen Mittelungen berechneten Dopplerfrequenzen (oben links)mit den aus Frequenzmittelung gewonnenen (unten links) f¨ur simulierte verrauschte Sodarsignale. Darge-stellt sind die erstenn-Sekundenmittel der ¨uber 50 verschiedene Realisierungen des Rauschens gemitteltenFrequenzen (durchgezogen) sowie ihre Standardabweichungen. Rechts ist das LeistungsspektrumS+Rdesverrauschten Signals nach der 600. Mittelung mit einer dicken Linie markiert. Das Rauschleistungsspek-trum R des dem Signal zugef¨ugten Rauschens, sowie das aus der Differenz vonS+R und R berechneteSignalleistungspektrumSsind grau hinterlegt. Das SNR betr¨agt5 dB.

die ja Leistungen darstellen, ermittelt wurde, wird verst¨andlich, warum sich ein negativer Wert f¨ur den SNRergibt. Eine grobe Absch¨atzung des SNR aus dem Verh¨altnis des Maximums des Leistungsspektrums vonSignal plus Rauschen zum Rauschuntergrund erg¨abe 1 dB (wenn man nicht ber¨ucksichtigt, daß der Peak imSpektrum die Summe von Signal- und Rauschleistung darstellt, sogar+3:5 dB).

Die Mittelungsprozedurwird f¨ur verschiedene SNR durchgef¨uhrt indem die mittlere Rauschamplitude schritt-weise herabgesetzt wird. In Abb. 6.19 sind die Standardabweichungen der ermittelten Dopplerfrequenz alsFunktion des Signal-Rausch-Abstandes aufgetragen. Parameter ist hierbei die Anzahl der aufgemitteltenPulse, die von 2 bis 256 (entsprechend einem ca. 4-Minutenmittelwert) reicht. Eine Standardabweichungder Dopplerfrequenz von 10 Hz entspricht einer Standardabweichung von 0.86 m/s f¨ur die daraus berechne-te Windgeschwindigkeit.

Die Tatsache, daß ¨uberhaupt eine Schwankung in den berechneten Frequenzen auftritt, l¨aßt sich damit be-grunden, daß das als Betragsquadrat der Fouriertransformierten des Rauschens berechnete Leistungsspek-trum nicht konstant ¨uber der Frequenz ist, sondern von Puls zu Puls schwankt. Erst ab einer gen¨ugend großenAnzahl von Mittelungen dieser Kurzzeitspektren erkennt man, daß das Leistungsspektrum des Rauschenstatsachlich weiß ist (s. Abb. 6.18).

Wie zu erwarten, sinkt die Standardabweichung mit zunehmendem SNR, wobei jedoch f¨ur Mittelungsdauernvon einer Minute und l¨anger kaum noch eine Abnahme der Frequenzunsicherheit bei einer Zunahme desSNR zu beobachten ist. Bei Signal-Rausch-Abst¨anden von 10 dB und mehr zeigt sich, daß schon ein 4-Sekundenmittel nur noch einσ von ca. 0.2 m/s aufweist. Bei derartig hohen Signal-Rausch-Verh¨altnissensind die Ergebnisse der energetischen Mittelung und die aus der Frequenzmittelung fast identisch.

6.4. MESSWERTSTREUUNG 105

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

⊕⊕⊕

⊕

⊕

⊕

⊕⊕ N = 2

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

♦♦♦

♦

♦

♦

♦♦ N = 4

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

◊◊◊

◊

◊

◊

◊◊N = 8

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

∆∆∆∆

∆

∆

∆∆ N = 16

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

∇∇∇∇∇

∇

∇∇ N = 32

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

♣♣♣♣♣

♣

♣♣ N = 64

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

⊕⊕⊕⊕⊕⊕

⊕⊕ N = 128

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

♦♦♦♦♦

♦

♦♦ N = 256

SNR [dB]

(a) σ [Hz]

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

⊕⊕⊕

⊕

⊕

⊕

⊕⊕ N = 2

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

♦♦♦

♦

♦

♦

♦♦ N = 4

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

◊◊◊

◊

◊

◊

◊◊N = 8

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

∆∆∆∆

∆

∆

∆∆ N = 16

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

∇∇∇∇

∇

∇

∇∇ N = 32

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

♣♣♣♣♣

♣

♣♣ N = 64

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

⊕⊕⊕⊕⊕

⊕

⊕⊕ N = 128

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

♦♦♦♦♦

♦

♦♦ N = 256

SNR [dB]

(b) σ [Hz]

Abbildung 6.19:In (a): Standardabweichung bei der Frequenzbestimmung aus gemittelten Spektren inAbhangigkeit vom SNR f¨ur verschiedene Mittelungsdauern (2- bis 256-Sekundenmittelwerte). In (b): Stan-dardabweichung der Frequenzen, die aus jedem Einzelspektrum berechnet wurden. Beide Methoden wurdenparallel auf dieselben synthetisch erzeugten Signale angewendet. Eine Standardabweichung von 10 Hz beider Dopplerfrequenz entspricht einer Standardabweichung von 0.86 m/s f¨ur die daraus berechnete Windge-schwindigkeit.

Sinus konstanter Frequenz und variabler Amplitude:Im nachsten Schritt wurde eine Verfeinerung in der Modellierung der R¨uckstreusignale vorgenommen, in-dem eine von Puls zu Puls schwankende R¨uckstreuamplitude simuliert wurde. Dazu wurde die schon inAbschnitt 6.4.1 beschriebene rayleighverteilte Zufallsreihe als Amplitudenwichtung eingesetzt. Die Angabedes Signal-Rausch-Abstandes als dessen Funktion die Standardabweichung der ermittelten Dopplerfrequenzberechnet wurde, ist dabei nat¨urlich im statistischen Mittel zu verstehen. Ansonsten liefe eine Variation dersimulierten R¨uckstreuamplitude bei vorgegebenem SNR auf eine reine Umskalierung der analysierten Pulsehinaus, die keinerlei Auswirkung auf die Schwerpunkte der einzelnen Leistungsspektren und damit auch aufdie mittlere Ruckstreufrequenz aus der Frequenzmittelungsmethode haben kann.

Die Ergebnisse der Simulation in Abb. 6.20 zeigen, daß im Gegensatz zur reinen Rauschsimulation die Am-plitudenschwankung unterschiedliche Standardabweichungen f¨ur die beiden Frequenzmittelungsmethodenhervorbringt. Generell zeigt sich unabh¨angig von der Art der Mittelung eine gegen¨uber der ersten Simula-tion vergroßerte Standardabweichung, wobei die Fehler aus der Frequenzbestimmung durch energetischeMittelung jedoch stets etwas geringer sind und zudem mit zunehmendem SNR auch rascher abfallen, alsdie durch Frequenzmittelung berechneten. So betr¨agt die Standardabweichung der Geschwindigkeit f¨ur ein4-Sekundenmittel bei einem SNR von 10 dB im Fall der energetischen Mittelung ca. 0.3 m/s bei der Fre-quenzmittelung jedoch ca. 0.5 m/s.

Das Zustandekommen dieser Differenz ist erkl¨arbar, wenn man sich vor Augen f¨uhrt, wie die Bestimmungdes Schwerpunktes eines Leistungsspektrums, egal ob Einzelpulsspektrum oder gemitteltes Spektrum, er-

106 KAPITEL 6. SIGNALVERARBEITUNG VON SODARSIGNALEN

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

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⊕⊕⊕

⊕

⊕

⊕

⊕⊕ N = 2

-5 0 5 10 15 20

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-5 0 5 10 15 20

0

10

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♦♦♦♦

♦

♦

♦♦ N = 4

-5 0 5 10 15 20

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-5 0 5 10 15 20

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◊◊◊◊

◊

◊

◊◊N = 8

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

∆∆∆∆∆

∆

∆∆ N = 16

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

∇∇∇∇∇

∇

∇∇ N = 32

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

♣♣♣♣♣

♣

♣♣ N = 64

-5 0 5 10 15 20

0

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30

-5 0 5 10 15 20

0

10

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30

⊕⊕⊕⊕⊕⊕

⊕⊕ N = 128

-5 0 5 10 15 20

0

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20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

♦♦♦♦♦♦

♦♦ N = 256

SNR [dB]

(a) σ [Hz]

-5 0 5 10 15 20

0

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-5 0 5 10 15 20

0

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⊕⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕⊕ N = 2

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

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30

♦♦♦

♦

♦

♦

♦♦ N = 4

-5 0 5 10 15 20

0

10

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30

-5 0 5 10 15 20

0

10

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30

◊◊◊

◊

◊

◊

◊◊N = 8

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

∆∆∆

∆∆

∆

∆∆ N = 16

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

∇∇∇∇∇

∇

∇∇ N = 32

-5 0 5 10 15 20

0

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30

-5 0 5 10 15 20

0

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30

♣♣♣♣♣♣

♣♣ N = 64

-5 0 5 10 15 20

0

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30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

⊕⊕⊕⊕⊕⊕

⊕⊕ N = 128

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

♦♦♦♦♦♦

♦♦ N = 256

SNR [dB]

(b) σ [Hz]

Abbildung 6.20:Vergleich der Standardabweichungen in der berechneten Dopplerfrequenz f¨ur verrauschteSignale mit variabler R¨uckstreuamplitude. Die Ergebnisse der energetischen Mittelung sind in (a) und dieder Einzelspektrenauswertung in (b) dargestellt.

folgt. Angenommen, die RauschleistungR eines Einzelpulses besitzt den Schwerpunkt bei einer FrequenzfR und der Schwerpunkt der SignalleistungS liegt bei f , so ergibt sich der Schwerpunktf des Gesamtspek-trums zu:

f =f S+ fRR

S+R: (6.40)

Dies laßt sich auch ausdr¨ucken als:

f =

SNR

1+SNR

f +

1 SNR

1+SNR

fR: (6.41)

Als relativen Fehler f¨ur die daraus bestimmte Schwerpunktfrequenz erh¨alt man:

f f

f=

1 SNR

1+SNR

fRf1

: (6.42)

Die Abweichung vom wahren Wert verschwindet also nur, wenn das Signal rauschfrei ist oder wenn derSchwerpunkt des Rauschleistungsspektrums gleich der zu messenden Signalfrequenzf ist.

Bei der energetischen Mittelung zweier Pulse, deren Amplituden und damit auch Signalleistungen sich un-terscheiden, wird das Signal-Rausch-Verh¨altnis immer kleiner als das des gr¨oßeren der beiden Pulse sein,wenn, wie hier vorausgesetzt, die Rauschleistung in jedem Puls gleich ist. Im Extremfall halbiert sich dasSNR, namlich genau dann, wenn einer der beiden Pulse gar kein Signal enth¨alt. Dies fuhrt naturlich zu einemFehler in der Sch¨atzung der Signalfrequenz, da der Schwerpunkt des gemittelten Leistungsspektrums sichnach Gl. (6.41) mit abnehmenden SNR von der wahren Frequenz entfernt. Allerdings h¨angt die Gr¨oße dieser

6.4. MESSWERTSTREUUNG 107

Abweichung vom Absolutwert des gemittelten SNR ab. Unterschreitet das Gesamt-SNR allerdings 0 dB, sowird der Wichtungsfaktor vorf in Gl. (6.41) kleiner als 0.5. In diesem Fall bietet die Berechnung der Fre-quenz aus dem gemittelten Spektrum keinen Vorteil mehr vor der Frequenzmittelungsmethode, bei der dieSchwerpunktfrequenzen der Einzelspektren linear gemittelt werden. Sinnbildlichausgedr¨uckt enthalt die auseiner energetischen Mittelung der Leistungsspektren berechnete Schwerpunktfrequenz eine Art Ged¨achtnisin Form des SNR, der als Gewichtsfaktor eingeht. Die Frequenzmittelung der Einzelschwerpunkte dagegenberucksichtigt in keiner Weise, daß unterschiedliche Signal-Rausch-Abst¨ande den Einzelfrequenzen auchverschiedene statistische Signifikanz geben.

Gl. (6.41) enth¨alt daruberhinaus eine Aussage ¨uber den Einfluß des Rauschens auf die Frequenzsch¨atzungfur lange Mittelungsdauern. Mit ‘lange’ ist hier die Zeit gemeint, die es braucht, bis das mittlere Rauschlei-stungsspektrum hinreichend konstant ¨uber die gesamte Filterbandbreite ist. Der SchwerpunktfR wird dannbei der Mittenfrequenz des Bandpaßfilters liegen, was zu einem systematischen Fehler in der Bestimmungder Dopplerfrequenz f¨uhrt, denn nur, falls die Mittenfrequenz gleich der zu messenden unbekannten Dopp-lerfrequenz ist, erh¨alt man das gew¨unschte Ergebnis. Dieser Bias in der Frequenzbestimmung h¨angt aberwie beschrieben vom SNR ab, der ja durch das l¨angere Mitteln gerade angehoben werden soll. In der durch-gefuhrten Simulation spielt dieser systematische Sch¨atzfehler allerdings keine Rolle, da zum einen Mitten-frequenz und Dopplerfrequenz ¨ubereinstimmen und zum anderen ein eventuell vorhandener Bias sich durcheine Analyse der Standardabweichungen gar nicht ermitteln l¨aßt und auf sie auch keinen Einfluß aus¨ubt.

Sinus variabler Frequenz und variabler Amplitude:Wenn neben der R¨uckstreuamplitude auch die Dopplerfrequenz selbst von Puls zu Puls schwankt, wie esbei realistischen R¨uckstreusignalen der Fall ist, so ergeben sich die in Abb. 6.21 dargestellten Abh¨angigkei-ten der Standardabweichung in der Frequenzbestimmung als Funktion der Mittelungsdauer und des SNR.Fur die Frequenzvariation wurde die mit einem Anemometer in 30 m H¨ohe gemessene Windgeschwindig-keitszeitreihe aus Abb. 6.15 in entsprechende Frequenzen umgerechnet. Dasn-Sekundenmittel der Dopp-lerfrequenz wurde durch energetische Mittelung und Frequenzmittelung der aus den erstenn Punkten derWindzeitreihe erzeugten Sodarpulse gebildet. Bei den Standardabweichungen f¨ur die energetische Mitte-lung fallt auf, daß die Kurven f¨ur die Kurzzeitmittel von 4 bis 16 Sekunden ab einem SNR von ca. 10 dBkeinen monotonen Abfall bei Zunahme des SNR zeigen. Das 2-Sekundenmittel zeigt f¨ur einen SNR vonca. 16 dB sogar eine kleinere Standardabweichung als das 32-Sekundenmittel. Die aus der Frequenzmit-telung berechneten Kurven dagegen zeigen den erwartet monoton fallenden Verlauf, n¨amlich sowohl mitsteigendem SNR als auch mit zunehmender Mittelungsdauer abnehmende Standardabweichungen.

Die Ursache f¨ur das uneinheitliche Verhalten der Standardabweichung aus energetisch gemittelten Spektrenliegt in der der Frequenzvariation der Pulse zugrundeliegenden Zeitreihe. Der Verlauf der n-Sekundenmittelder Windgeschwindigkeit (s. Abb. 6.16) zeigt einen starken Abfall innerhalb der ersten 16 Sekunden vonuber 5 m/s auf ca. 3.6 m/s, von da ab schwankt der Mittelwert nur noch gering. Die ersten beiden Wertefur die Windgeschwindigkeit selbst unterscheiden sich allerdings kaum voneinander. F¨ur hohe SNR f¨alltdie Standardabweichung daher f¨ur das 2-Sekundenmittel fast auf den gleichen Wert, wie im Fall des Test-signals ohne Frequenzvariation (s. Abb. 6.20 (a)). F¨ur die 4- bis 16-Sekundenmittel dagegen, bei denensich die in die Simulation eingehende Frequenz von Puls zu Puls verringert, bewirkt die zuf¨allig verteil-te Ruckstreuamplitude eine ungenauere Sch¨atzung des wahren Mittelwerts, der sich in der Zunahme derStandardabweichung ausdr¨uckt. Schnelle Schwankungen der Windgeschwindigkeit und damit der Doppler-frequenz bewirken aufgrund ihrer zuf¨alligen Ruckstreuamplituden eine ungenauere Frequenzbestimmung,da der Schwerpunkt durch den Puls mit der h¨ochsten Amplitude dominiert wird. Bei einer Mittelung der ausden Einzelspektren ermittelten Dopplerfrequenzen dagegen hat die Amplitudenwichtungmit zunehmendemSNR immer weniger Einfluß auf das Ergebnis, da ja die einzelnen in die Mittelung eingehenden Frequenzen

108 KAPITEL 6. SIGNALVERARBEITUNG VON SODARSIGNALEN

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

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⊕⊕

⊕⊕

⊕

⊕

⊕⊕ N = 2

-5 0 5 10 15 20

0

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20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

♦♦♦♦

♦

♦

♦♦ N = 4

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

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◊◊◊◊

◊

◊

◊◊N = 8

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

∆∆∆∆∆

∆

∆∆ N = 16

-5 0 5 10 15 20

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10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

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∇∇∇∇∇

∇

∇∇ N = 32

-5 0 5 10 15 20

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10

20

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-5 0 5 10 15 20

0

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30

♣♣♣♣♣♣

♣♣ N = 64

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

⊕⊕⊕⊕⊕⊕

⊕⊕ N = 128

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

♦♦♦♦♦♦

♦♦ N = 256

SNR [dB]

(a) σ [Hz]

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

⊕⊕

⊕⊕

⊕

⊕ ⊕⊕ N = 2

-5 0 5 10 15 20

0

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20

30

-5 0 5 10 15 20

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♦♦

♦♦

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♦♦ N = 4

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-5 0 5 10 15 20

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◊◊

◊◊

◊

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◊◊N = 8

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30

-5 0 5 10 15 20

0

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30

∆∆∆∆

∆

∆

∆∆ N = 16

-5 0 5 10 15 20

0

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30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

∇∇∇∇

∇∇

∇∇ N = 32

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

♣♣♣♣♣

♣

♣♣ N = 64

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

⊕⊕⊕⊕⊕⊕

⊕⊕ N = 128

-5 0 5 10 15 20

0

10

20

30

-5 0 5 10 15 20

0

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30

♦♦♦♦♦♦

♦♦ N = 256

SNR [dB]

(b) σ [Hz]

Abbildung 6.21:Vergleich der Standardabweichungen in der berechneten Dopplerfrequenz f¨ur verrauschteSignale mit variabler R¨uckstreuamplitude und variabler Frequenz. Links sind die Ergebnisse der energeti-schen Mittelung, rechts die der Einzelspektrenauswertung dargestellt.

immer genauer den tats¨achlichen Wert annehmen. So betr¨agt die Standardabweichung der Frequenz bei ei-nem SNR von 17 dB ab der 64. Mittelung nur noch ca. 1 Hz, wohingegen sich dieser Wert bei energetischerMittelung erst nach einer 4-Minutenmittelung einstellt. Abb. 6.22 enth¨alt zusammenfassend die Ergebnis-se zum Einfluß des Signal-Rausch-Abstandes auf die Standardabweichung der aus der Dopplerfrequenzbestimmten Windgeschwindigkeit.

6.4. MESSWERTSTREUUNG 109

Energetische Mittelung Frequenzmittelung

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

⊕⊕⊕

⊕

⊕

⊕

⊕⊕ N = 2

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

♦♦♦

♦

♦

♦

♦♦ N = 4

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

◊◊◊

◊

◊

◊

◊◊N = 8

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

∆∆∆∆

∆

∆

∆∆ N = 16

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

∇∇∇∇∇

∇

∇∇ N = 32

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

♣♣♣♣♣

♣

♣♣ N = 64

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

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1.0

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2.5

⊕⊕⊕⊕⊕⊕

⊕⊕ N = 128

-5 0 5 10 15 20

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1.0

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2.5

♦♦♦♦♦

♦

♦♦ N = 256

SNR [dB]

σ [m/s]

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

⊕⊕⊕

⊕

⊕

⊕

⊕⊕ N = 2

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

♦♦♦

♦

♦

♦

♦♦ N = 4

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

◊◊◊

◊

◊

◊

◊◊N = 8

-5 0 5 10 15 20

0.0

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2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

∆∆∆∆

∆

∆

∆∆ N = 16

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

∇∇∇∇

∇

∇

∇∇ N = 32

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

♣♣♣♣♣

♣

♣♣ N = 64

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

⊕⊕⊕⊕⊕

⊕

⊕⊕ N = 128

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

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2.0

2.5

♦♦♦♦♦

♦

♦♦ N = 256

SNR [dB]

σ [m/s]

-5 0 5 10 15 20

0.0

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2.5

-5 0 5 10 15 20

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2.5

⊕⊕⊕

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⊕⊕ N = 2

-5 0 5 10 15 20

0.0

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2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

♦♦♦♦

♦

♦

♦♦ N = 4

-5 0 5 10 15 20

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0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

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1.5

2.0

2.5

◊◊◊◊

◊

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◊◊N = 8

-5 0 5 10 15 20

0.0

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2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

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2.0

2.5

∆∆∆∆∆

∆

∆∆ N = 16

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

∇∇∇∇∇

∇

∇∇ N = 32

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

♣♣♣♣♣

♣

♣♣ N = 64

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

⊕⊕⊕⊕⊕⊕

⊕⊕ N = 128

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

♦♦♦♦♦

♦

♦♦ N = 256

SNR [dB]

σ [m/s]

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

⊕⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕⊕ N = 2

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

♦♦♦

♦

♦

♦

♦♦ N = 4

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

◊◊◊

◊

◊

◊

◊◊N = 8

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

∆∆∆

∆∆

∆

∆∆ N = 16

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

∇∇∇∇∇

∇

∇∇ N = 32

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

♣♣♣♣♣♣

♣♣ N = 64

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

⊕⊕⊕⊕⊕⊕

⊕⊕ N = 128

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

♦♦♦♦♦♦

♦♦ N = 256

SNR [dB]

σ [m/s]

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

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2.5

⊕⊕

⊕⊕

⊕

⊕⊕⊕ N = 2

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

♦♦♦♦

♦

♦

♦♦ N = 4

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

◊◊◊◊

◊

◊

◊◊N = 8

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

∆∆∆∆∆

∆

∆∆ N = 16

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

∇∇∇∇∇

∇

∇∇ N = 32

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

♣♣♣♣♣♣

♣♣ N = 64

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

⊕⊕⊕⊕⊕⊕

⊕⊕ N = 128

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

♦♦♦♦♦♦

♦♦ N = 256

SNR [dB]

σ [m/s]

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

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1.0

1.5

2.0

2.5

⊕⊕

⊕⊕

⊕

⊕⊕⊕ N = 2

-5 0 5 10 15 20

0.0

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2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

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1.5

2.0

2.5

♦♦

♦♦

♦

♦

♦♦ N = 4

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

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2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

◊◊

◊◊

◊

◊

◊◊N = 8

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

∆∆∆∆

∆

∆

∆∆ N = 16

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

∇∇∇∇

∇∇

∇∇ N = 32

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

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2.5

♣♣♣♣♣

♣

♣♣ N = 64

-5 0 5 10 15 20

0.0

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2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

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1.0

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2.5

⊕⊕⊕⊕⊕⊕

⊕⊕ N = 128

-5 0 5 10 15 20

0.0

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1.0

1.5

2.0

2.5

-5 0 5 10 15 20

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

♦♦♦♦♦♦

♦♦ N = 256

SNR [dB]

σ [m/s]

Abbildung 6.22:Vergleich der Standardabweichungen in der berechneten Windgeschwindigkeitskomponen-te fur verrauschte Signale als Funktion des Signal-Rausch-Abstandes SNR.Obere Reihe: Amplitude und Frequenz konstantMittlere Reihe: Amplitude rayleighverteilt und Frequenz konstantUntere Reihe: Amplitude rayleighverteilt und Frequenz aus gemessener Windgeschwindigkeitszeitreihe

110 KAPITEL 6. SIGNALVERARBEITUNG VON SODARSIGNALEN

6.5 Abschatzung des Geschwindigkeitsfehlers bei Sodarmessungen

Die im vorhergehenden Abschnitt durch Simulation gewonnenen Ergebnisse in Bezug auf die Abh¨angig-keit der Standardabweichung der Geschwindigkeitskomponente vom Signal-Rausch-Abstand und der Mit-telungsdauer sollen nun auf eine reale Sodarmessung angewendet werden. Dabei ist zu beachten, daß dieBestimmung des SNR f¨ur jede Meßh¨ohe zu erfolgen hat, da das empfangene R¨uckstreusignal aufgrund dergeometrischen Abschw¨achung mit zunehmender H¨ohe immer schw¨acher wird, wohingegen der Rausch-pegel im wesentlichen durch Windger¨ausche und das Rauschen der Empfangselektronik gegeben ist. EineBestimmung des Rauschleistungsspektrums kann unter dieser Voraussetzung durch eine Leermessung er-folgen. Mit dem daraus f¨ur jede Hohe bestimmten SNR wird der gemessenen Windgeschwindigkeit durchInterpolation der in Abb. 6.22 dargestellten Werte eine Standardabweichung zugeordnet. Als Grundlage die-nen dabei die aus der Simulation mit schwankender Amplitude und Frequenz resultierenden Standardabwei-chungen. Die Bestimmung der Dopplerfrequenz aus den R¨uckstreuechos erfolgt sowohl durch energetischeMittelung wie auch durch Frequenzmittelung.

Um die Simulationsergebnisse direkt auf die Messung ¨ubertragen zu k¨onnen, betr¨agt auch hier die Filter-bandbreite 400 Hz und die L¨ange des Analysefensters 10 ms (τ = 20 ms). Bei einer Pulsfolgefrequenz von1 Hz enthalt der untersuchte ZeitabschnittN = 128 Pulse. Innerhalb der Pulsintervalle wird das Analysefen-ster von 80 bis 260 ms in Schritten von 5 ms verschoben. Bei einem Neigungswinkel der Antenne von 30

und mitc0 = 343:5 m/s ergibt sich die erste H¨ohe zu 11.9 m und die maximale H¨ohe zu 38.7 m.

Fortlaufend fur jede Hohe werden die Leistungsspektren und die Einzelpulsfrequenzen gemittelt. Die an-gesprochene Leermessung zur Bestimmung der im Signal enthaltenen Rauschleistung erfolgt, indem dasAnalysefenster auf einen Zeitpunkt innerhalb des Pulsintervalls gesetzt wird, an dem sicher kein Nutzsignalmehr zu erwarten ist, in diesem Fall bei 700 ms. Aus den so bis zum Ende der Meßdauer aufgemittel-ten Rausch- und Signalleistungspektren wird dann das h¨ohenabh¨angige SNR berechnet, wobei wie im Fallder Simulation fur das unverrauschte Signalspektrum die Differenz zwischen Signal- und Rauschspektrumeingesetzt wurde.

-5 0 5 10 15 20 25

10

20

30

40

-5 0 5 10 15 20 25

10

20

30

40

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⊕⊕

⊕⊕

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⊕⊕

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⊕⊕

⊕⊕

⊕⊕

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⊕⊕

SNR [dB]

Hoehe [m]

Abbildung 6.23:Aus einer Mittelung ¨uber 128 Pul-se berechnetes SNR in Abh¨angigkeit von der H¨ohe.Das zur Berechnung des SNR notwendige Rauschlei-stungsspektrum wurde einem Zeitpunkt innerhalb desPulsintervalls kurz vor Entsendung des Folgepulsesentnommen.

6.5. ABSCHATZUNG DES GESCHWINDIGKEITSFEHLERS BEI SODARMESSUNGEN 111

Die auf diese Weise aus der Messung bestimmten SNR sind in Abb. 6.23 in Abh¨angigkeit von der H¨ohedargestellt. Der Dynamikbereich liegt zwischen1 dB fur die großte Meßh¨ohe und 20 dB an der unterenMeßgrenze. Aus einer linearen Regressionsanalyse zwischen dem SNR und der logarithmierten H¨ohe wurdeein Abfall des SNR von 11.9 dB pro H¨ohenverdopplung (Oktave) ermittelt. Dies entspricht der erwartetengeometrischen Abschw¨achung, die ja sowohl auf dem Laufweg vom Sender zum Streuort als auch vomStreuvolumen zum Empf¨anger mit jeweils 6 dB pro Entfernungsverdopplung auftritt. Aus dieser Tatsachekann man schließen, daß das Rauschen tats¨achlich konstant ist.

In den Abb. 6.24 und 6.25 sind fortlaufend aufgemittelte Windgeschwindigkeitsprofile f¨ur verschiedene Mit-telungsdauern dargestellt. Ein direkter Vergleich zwischen den durch energetische Mittelung () und Fre-quenzmittelung (durchgezogen) bestimmten Windprofilen findet sich in der jeweils oberen Bildh¨alfte. AusGrunden derUbersichtlichkeit wurden dabei die in H¨ohenschritten von 0.7 m berechneten Geschwindigkei-ten mit einer Linie verbunden. Im unteren Bild ist jeweils das mittlere Windprofil aus der energetischen Mit-telung mit der zugeh¨origen Standardabweichung dargestellt. Diese Standardabweichungen wurden durchInterpolation der in Abb. 6.22 gezeigten Simulationsergebnisse f¨ur die jeweiligen Signal-Rausch-Abst¨andeund Mittelungsdauern bestimmt.

Ein Vergleich der mit den beiden verschiedenen Mittelungsmethoden bestimmten Windprofile zeigt bis zur16. Mittelung große Unterschiede in den Windgeschwindigkeiten, wobei jedoch trotz des schlechten Signal-Rausch-Verh¨altnisses in den oberen Meßh¨ohen die Abweichungen der berechneten Geschwindigkeiten dortnicht systematisch gr¨oßer scheinen. Insgesamt zeigt sich, daß eine Bestimmung der Windgeschwindigkeitaus Kurzzeitmitteln bis 8 Sekunden wenig sinnvoll ist, denn schon aufgrund der Standardabweichung desenergetischen Mittels, die nur knapp unter 1 m/s liegt und bei schlechtem SNR ca. 2 m/s betr¨agt wirddeutlich, daß damit Meßfehler von 50% und mehr in Kauf genommen werden m¨ussen. Erst ab einer Mitte-lungsdauer von 2 Minuten stimmen energetisches Mittel und Frequenzmittel bis zu einer H¨ohe von ca. 30 mnahezu ¨uberein.

In Abb. 6.26 oben sind ungemittelte H¨ohenprofile der normierten R¨uckstreuamplitude des untersuchtenZeitabschnitts dargestellt. Die farbcodierte R¨uckstreuamplitude wurde aus der Momentanamplitude jedeseinzelnen Pulses in Abh¨angigkeit von der H¨ohe berechnet. Da bei monostatischen Messungen nur Inho-mogenitaten der Temperatur zur R¨uckstreuung beitragen, entspricht diese Darstellung einem Abbild derTemperaturfluktuationen in der Atmosph¨are. Hierbei ist jedoch zu beachten, daß bei monostatischen Mes-sungen aufgrund der Braggbedingung nur Fluktuationen einer einzigen Wellenzahl parallel zum Schallstrahldetektiert werden k¨onnen. Bei einer Sendefrequenz von 4368 Hz und einem Meßwinkel von 180 mussendie Temperaturinhomogenit¨aten eine Gitterkonstante von 3.9 cm aufweisen. Auf den ersten Blick scheinensich die Gebiete großen R¨uckstreuquerschnitts als schmale senkrecht ¨uber den Boden stehende Strukturendarzustellen. Dies trifft jedoch nicht zu, da die Meßwerte aufgrund des Neigungswinkels des Sodars voneinem schr¨agen Schnitt durch die Atmosph¨are stammen.

Im unteren Teil der Abb. 6.26 wurden die ebenfalls aus dieser Messung stammenden normierten Leistungs-spektren aus einer H¨ohe von 14.13 m farbcodiert aufgetragen. Jedes Spektrum wurde ¨uber 16 Sekundengemittelt, aufeinanderfolgende Mittel sind jedoch nicht unabh¨angig voneinander, da sie durch ein gleitendesMittel uber die 128 Pulse erzeugt wurden. Diese Form der Darstellung stellt einen Schnitt durch eine H¨ohen-schicht dar und erm¨oglicht Aussagen ¨uber einen eventuellen Zusammenhang zwischen der Streuintensit¨atund der Windgeschwindigkeit bzw. Dopplerfrequenz. Die aus dem Schwerpunkt der Spektren berechneteDopplerfrequenz ist weiß eingezeichnet, ebenso die Tr¨agerfrequenz bei 4368 Hz. Die St¨arke der R¨uckstreu-amplitude ist nicht mit der Dopplerfrequenz gekoppelt. Dies wird auch deutlich an den in Abb. 6.27 dar-gestellten farbcodierten 16-Sekundenmitteln der Windgeschwindigkeit. Die Wahl des Mittelungsintervallsvon 16 Sekunden stellt einen Kompromiß zwischen m¨oglichst hoher zeitlicher Aufl¨osung einerseits und

112 KAPITEL 6. SIGNALVERARBEITUNG VON SODARSIGNALEN

zuverlassigen Windgeschwindigkeitswerten andererseits dar. Die Darstellung unten entspricht der oberen,hier stellt die Zeitachse gleichzeitig die Geschwindigkeit dar, 1 s entspricht 1 m/s. Auch in dieser Form derDarstellung ist erkennbar, daß sich die Temperaturstrukturen nicht in der Windgeschwindigkeit abbilden.

6.5. ABSCHATZUNG DES GESCHWINDIGKEITSFEHLERS BEI SODARMESSUNGEN 113

0 105

10

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0 3 5

N = 2

0 105

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0 3 5

N = 4

0 105

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0 3 5

N = 8

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0 3 5

N = 16

Hoehe [m]

v [m/s]

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N = 4

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0 3 5

N = 16

Hoehe [m]

v [m/s]

Abbildung 6.24:Zeitliche Entwicklung von Profilen der Windgeschwindigkeit bis zur 16. Mittelung. In obi-ger Darstellung sind zugleich Ergebnisse der energetischen Mittel () und der Einzelspektrenauswertung(durchgezogen) dargestellt. Unten sind den energetisch gemittelten Geschwindigkeiten die aus den synthe-tischen Signalen berechneten Standardabweichungen f¨ur die jeweilige Mittelung zugeordnet. Sie sind eineFunktion des f¨ur jede Hohe gemessenen SNR.

114 KAPITEL 6. SIGNALVERARBEITUNG VON SODARSIGNALEN

0 105

10

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40

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0 105

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0 3 5

N = 16

0 105

10

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0 105

10

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0 3 5

N = 32

0 105

10

15

20

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35

40

45

0 105

10

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45

0 105

10

15

20

25

30

35

40

45

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0 3 5

N = 64

0 105

10

15

20

25

30

35

40

45

0 105

10

15

20

25

30

35

40

45

0 105

10

15

20

25

30

35

40

45

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0 3 5

N = 128

Hoehe [m]

v [m/s]

0 105

10

15

20

25

30

35

40

45

0 105

10

15

20

25

30

35

40

45

0 105

10

15

20

25

30

35

40

45

0 3 5

N = 16

0 105

10

15

20

25

30

35

40

45

0 105

10

15

20

25

30

35

40

45

0 105

10

15

20

25

30

35

40

45

0 3 5

N = 32

0 105

10

15

20

25

30

35

40

45

0 105

10

15

20

25

30

35

40

45

0 105

10

15

20

25

30

35

40

45

0 3 5

N = 64

0 105

10

15

20

25

30

35

40

45

0 105

10

15

20

25

30

35

40

45

0 105

10

15

20

25

30

35

40

45

0 3 5

N = 128

Hoehe [m]

v [m/s]

Abbildung 6.25:Zeitliche Entwicklung von Profilen der Windgeschwindigkeit und ihrer Standardabwei-chung bis zur 128. Mittelung als Fortsetzung von Abb. 6.24.

6.5. ABSCHATZUNG DES GESCHWINDIGKEITSFEHLERS BEI SODARMESSUNGEN 115

0 1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0 16 32 48 64 80 96 112 128

9

13

17

21

25

29

33

37

41

Zeit [s]

Hoehe [m]

0 10.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0 16 32 48 64 80 96 112 1284300

4400

4500

4600

0 16 32 48 64 80 96 112 1284300

4400

4500

4600

0 16 32 48 64 80 96 112 1284300

4400

4500

4600f [Hz]

Zeit [s]

Abbildung 6.26:Oben: Farbcodierte R¨uckstreuamplituden des untersuchten Zeitabschnitts in Abh¨angig-keit von der Hohe und der Zeit. Unten: Leistungsspektren aus einer H¨ohe von 14.13 m als gleitende 16-Sekundenmittel ¨uber 128 Pulse bzw. Sekunden. Die Amplitude der Spektren ist farbcodiert dargestellt undsuggeriert so einen Schnitt durch eine H¨ohenschicht. Weiß eingezeichnet ist die Tr¨agerfrequenz von 4368 Hzund die Dopplerfrequenz.

6.5. ABSCHATZUNG DES GESCHWINDIGKEITSFEHLERS BEI SODARMESSUNGEN 117

0 1

3.0

3.5

4.0

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

0 16 32 48 64 80 96 112 128

9

13

17

21

25

29

33

37

41

Zeit [s]

Hoehe [m]

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

40

45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

15

20

25

30

35

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45

0 16 32 48 64 80 96 112 1285

10

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0 16 32 48 64 80 96 112 1285

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0 16 32 48 64 80 96 112 1285

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0 16 32 48 64 80 96 112 1285

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35

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0 16 32 48 64 80 96 112 1285

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0 16 32 48 64 80 96 112 1285

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0 16 32 48 64 80 96 112 1285

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0 16 32 48 64 80 96 112 1285

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35

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45Hoehe [m]

Zeit [s]

Abbildung 6.27:Profile der Windgeschwindigkeit: Gleitende 16-Sekundenmittel der Windgeschwindigkei-ten uber 128 Pulse bzw. Sekunden. Die Darstellung oben ist farbcodiert und entspricht der Darstellungunten, bei der 1 s auf der Zeitachse einer Geschwindigkeit von 1 m/s entspricht.

119

7 Freifeldmessungen im JADE-Windpark

Die vorliegenden Messungen wurden im Rahmen des von der EG gef¨orderten JOULE II Projektes SO-SOWEC (Sodar for Siting and Operating of Wind Energy Converters) durchgefuhrt. Ziel des SOSOWEC-Projektes war, die Eignung der Sodartechnik im Bereich der Windenergie zu demonstrieren. M¨ogliche An-wendungen bilden dabei zum einen die Standortwahl zur Optimierung des Windangebots, zum anderendie Untersuchung des Einflusses von Windenergiekonvertern auf das Windfeld selber. Gerade bei der Auf-stellung mehrerer Anlagen in einem Windpark, f¨uhrt die verminderte Windgeschwindigkeit im Nachlaufder Rotoren bei gleichzeitiger Erh¨ohung der Turbulenzintensit¨at zu einer gegenseitigen Beeinflussung derAnlagen, so daß diese beiden Fragen nicht mehr unabh¨angig voneinander gesehen werden k¨onnen.

7.1 Experimentelle Konfiguration im Windpark

Abbildung 7.1: Karte desJADE-Windparks. Eingezeich-net sind die Positionen derMONOPTEROS-Anlagenmit WKA 1-3, der AEO-LUS II-Anlage sowie des130 m Meteorologiemastes. DiePosition des Sodar w¨ahrendder Nachlaufmessung ist mitPosition (d) gekennzeichnet.

Meßort war der JADE-Windpark in der N¨ahe von Wilhelmshaven. Er besteht aus drei Windkraftanlagen desTyps MONOPTEROS (56 m Rotordurchmesser, 60 m Nabenh¨ohe, 640 kW Leistung), positioniert auf einerNord-Sud-Linie mit einem Abstand von jeweils vier Rotordurchmessern, und einer Großwindkraftanlage

120 KAPITEL 7. FREIFELDMESSUNGEN IM JADE-WINDPARK

des Typs AEOLOS II (85 m Rotordurchmesser, 90 m Nabenh¨ohe, 3 MW Leistung) in einer Entfernung von400 m sudlich der MONOPTEROS-Anlagen (Abb. 7.1).

Wahrend der Meßkampagne vom 10.5.1994 bis 13.5.1994 wurden eine Vielzahl von Messungen durch-gefuhrt, wobei das in Kapitel 4 beschriebene Exponentialhorn als Sender und auf der Empfangsseite sowohlKonustrichter- als auch Parabolsegmentantennen getestet wurden. Eine ausf¨uhrliche Beschreibung der Meß-kampagne mit den dort getesteten experimentellen Aufbauten ist in [3, 55] nachzulesen. Es wurden Kombi-nationen mit monostatischen und bistatischen Anordnungen erprobt und Vergleiche mit den Meßdaten desMeteorologiemastes angestellt.

Im folgenden wird eine monostatische Messung in der Nachlaufstr¨omung des AEOLUS II, der zu demZeitpunkt großten Windkraftanlage, vorgestellt, bei der eindimensionale Profile der Windgeschwindigkeituber die gesamte H¨ohe der Anlage erstellt wurden. Dar¨uberhinaus erfolgt die Auswertung der Sodarechos imHinblick auf die Ruckstreuamplituden, die dem Studium von Temperaturstrukturen und Streubedingungenim Streuvolumen dienen.

Die hier im einzelnen diskutierte Sodarmessung fand am 12.5.1994 in der Zeit von 12:15 bis 12:35 Uhrstatt. Abb. 7.2 stellt die experimentelle Anordnung w¨ahrend dieser Messung dar. Um Profile der Nachlauf-stromung aufzunehmen, wurde das Sodar in Hauptwindrichtung hinter der Anlage aufgestellt, wobei zurVermeidung von Festechos stromabw¨arts in Richtung Westen unter einem Neigungswinkel von 30 gemes-sen wurde. Der gew¨ahlte Abstand von 100 m zur Anlage entspricht ca. einem Rotordurchmesser.

W

N

100 m

132.5 m

90 m85 m

30°

100 m

Abbildung 7.2:Anordnung des Sodar im Nachlauf des AEOLUS II.

Als Empfangsantenne kam der Konustrichter mit einem 100-Meßmikrofon vom Typ B&K 4179 zum Einsatz.Mit einer Wiederholfrequenz von 1 Hz wurden als Sendesignale zwei Schwingungspulse von 30 ms Dauerund einer Tragerfrequenz von 3000 bzw. 4368 Hz aufeinanderfolgend im Abstand von 3 ms gesendet. Mit

7.2. PROFILE DER NACHLAUFSTROMUNG DES AEOLUS II 121

dieser Pulsdauer ergibt sich f¨ur die raumliche Auflosung entlang des Schallstrahls 5.15 m, projiziert auf dieSenkrechte entspricht dies einer H¨ohenaufl¨osung von 4.46 m (mitc0= 343:5 m/s).

7.2 Profile der Nachlaufstromung des AEOLUS II

Die Signalverarbeitungsparameter wurden wie in Abschnitt 6.3 bis 6.5 gew¨ahlt: Die Filterbandbreite betr¨agt400 Hz und die L¨ange des Analysefenstersτ=2= 15 ms. Innerhalb der Pulsintervalle wird das Analyse-fenster von 115 bis 880 ms in Schritten von 7.5 ms entlang der Zeitachse verschoben. Damit ergibt sichdie erste H¨ohe zu 17.1 m und die maximale H¨ohe zu 135.4 m. Um eine m¨oglichst große Reichweite zuerzielen, wurden f¨ur die Profilberechnungen nur Streusignale der Tr¨agerfrequenz 3000 Hz ausgewertet. DieBerechnung des SNR erfolgt f¨ur jede Hohe durch Mittelung der Leistungsspektren ¨uber alle im analysiertenZeitraum enthaltenen Pulse, wobei f¨ur das Analysefenster zur Berechnung des Rauschleistungsspektrum dieLaufzeit auf 940 ms gesetzt wurde. Ein Vergleich zur Sodarmessung des vorherigen Kapitels zeigt auch hierden gleichen Abfall des SNR von 12 dB pro H¨ohenverdopplung (Abb. 7.3).

-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

10

30

50

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110

130

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-15 -10 -5 0 5 10 15 20 25

10

30

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⊕⊕

SNR [dB]

Hoehe [m]

Abbildung 7.3:Gemessenes SNR in Abh¨angigkeit vonder Hohe wahrend der Nachlaufmessung. Das zur Be-rechnung des SNR notwendige Rauschleistungsspek-trum wurde einem sp¨ateren Zeitpunkt innerhalb desPulsintervalls kurz vor Entsendung des Folgepulses bei940 ms analysiert.

Allerdings betragt der Signal-Rausch-Abstand bei der niedrigsten Meßh¨ohe in diesem Fall ca. 25 dB und istdamit mehr als 10 dB h¨oher. Der Wert von 0 dB wird hier erst in einer H¨ohe von ca. 73 m erreicht, bei derersten Messung bereits in ca. 38 m H¨ohe. Das liegt zum einen an der h¨oheren Sendeleistung, zum anderenan der um den Faktor 1.5 gr¨oßeren Pulsl¨ange. Der uneinheitliche Verlauf der Kurve zwischen 85 und 115 mkann durch kurzzeitig auftretende starke St¨orsignalen bewirkt worden sein, deren Spektren sich stark vomRauschen unterscheiden und sich daher w¨ahrend des Mittelungszeitraums nicht mehr wegmitteln.

Abb. 7.4 zeigt die zeitliche Entwicklung des mittleren Windprofils in Abh¨angigkeit von der Mittelungs-dauer. Aus der fortlaufenden energetischen Mittelung sind die Profile von der 8. bis 1024. Mittelung mitjeweils verdoppelter Mittelungsdauer dargestellt. Durch waagerechte Linien ist dabei der Rotorbereich derWindkraftanlage, d. h. Nabenh¨ohe und Rotorradius hier, wie auch in allen folgenden Windprofildarstellun-gen, gekennzeichnet. Mit zunehmender Mittelungszahl nehmen die Profile einen glatteren Verlauf an. Dieauftretenden starken Schwankungen im H¨ohenbereich der Rotornabe nach der 128. Mittelung sind vermut-

122 KAPITEL 7. FREIFELDMESSUNGEN IM JADE-WINDPARK

lich auf ein vorubergehend aufgetretenes starkes St¨orsignal innerhalb der 2. Meßminute zur¨uckzufuhren,da das Profil nach der 64. Mittelung in diesem H¨ohenbereich keine Unregelm¨aßigkeiten aufweist. DiesesStorsignal kann auch die Ursache f¨ur den unregelm¨aßigen Verlauf des SNR in dieser H¨ohe gewesen sein.Bis auf den Ausreißer bei der H¨ohe von 120 m, der sich durch die gesamte Messung zieht, kann das Pro-fil nachN = 1024 Mittelungen als stabil bezeichnet werden. Nach der 512. Mittelung beginnt sich das f¨urden Nachlauf von Windkraftanlagen typische Windgeschwindigkeitsdefizit in den von den Rotorbl¨atterndurchstrichenen H¨ohen abzuzeichnen. Die Struktur in 120 m H¨ohe in Form eines starken Geschwindig-keitseinbruchs ist allerdings auf ein Festecho zur¨uckzufuhren und unabh¨angig von der Nachlaufstr¨omung.Ein Festecho besitzt immer die Frequenz des Sendepulses, wodurch das Signalspektrum in Richtung Tr¨ager-frequenz, also zu kleinen Geschwindigkeiten, verschoben wird.

Bei den in Abb. 7.5 oben dargestellten Windprofilen handelt es sich um eine Auswahl der zuvor gezeigtenProfile, wobei die aus der Signal-Rausch-Untersuchung bestimmten Standardabweichungen abh¨angig vonder jeweiligen Mittelungsdauer und dem SNR eingezeichnet sind. Die Standardabweichung des ersten Pro-fils nimmt von der unteren H¨ohe bis zur oberen Werte von 0.39 bis 0.66 m/s an. Im Vergleich dazu liegendie Werte beim letzten Profil, also nachN= 256 Mittelungen, zwischen 0.14 und 0.24 m/s. Die letzte Kurveist bis zu einer H¨ohe von ca. 85 m zwar glatter gegen¨uber der ersten, jedoch lassen sich die auftretendenSchwankungen im Profil ab dieser H¨ohe nicht mit der Standardabweichung erkl¨aren. Wie schon angef¨uhrt,liegt die Ursache dieser Schwankungen in Festechos und St¨orsignalen, also deterministischen Signalen, diesich einer statistischen Beschreibung entziehen.

Abb. 7.5 unten zeigt die Windprofile der Sodarmessung im Nachlauf () im Vergleich zu dem ungest¨ortenWindprofil (), das am Meteorologiemast in ca. 700 m Entfernung von der Windkraftanlage aufgezeichnetwurde. Dabei wurden die Mittelungszeiten f¨ur die Sodarauswertung den 5-min¨utigen Mittelungsinterval-len, zu denen die Meßmastdaten vorliegen, angepaßt. F¨ur die Zeit von 12:20 bis 12:35 Uhr konnten diedargestellten Profile berechnet werden. Die ersten 5 der insgesamt 20 Minuten wurden aufgrund der indiesem Zeitraum aufgetretenen St¨orsignale nicht zum Vergleich mit den Mastdaten herangezogen. DieseProfile lassen sich mit denen aus Abb. 7.4 nicht vergleichen, da es sich hier um zeitlich nicht ¨uberlappende5-Minutenmittel handelt. Im Gegensatz dazu enthalten die fortlaufend aufgemittelten Daten die gesamteInformation der zur¨uckliegenden Meßzeit. Die f¨ur einen Nachlauf typische Profilstruktur, das Winddefizitim Rotorbereich, l¨aßt sich nur am ersten Sodarwindprofil ablesen. Bei den beiden folgenden Profilen ver-schwindet diese Struktur in der unteren Rotorh¨alfte. Das konnte daran liegen, daß sich durch eine Drehungder Windrichtung im H¨ohenbereich unter 100 m der Nachlauf aus der Meßrichtung des Sodar herausgedrehthat. Diese Vermutung l¨aßt sich jedoch nicht nachpr¨ufen, da der Meteorologiemast nur einen Windrichtungs-geber in 130 m H¨ohe besitzt. Die dort gemessene Windrichtung blieb w¨ahrend dieses Zeitraums nahezukonstant. Sie betrug f¨ur die drei 5-minutigen Mittelungszeitr¨aume 60, 58 und 58. Fur das stromabw¨artsauf 255 ausgerichtete Sodar ergeben sich damit die Richtungskosinusse der Differenzwinkel zu 0.96, 0.95und 0.95.

7.2. PROFILE DER NACHLAUFSTROMUNG DES AEOLUS II 123

0 100

50

100

150

0 100

50

100

150

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0 3 5

N = 8

0 100

50

100

150

0 100

50

100

150

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0 3 5

N = 16

0 100

50

100

150

0 100

50

100

150

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0 3 5

N = 32

0 100

50

100

150

0 100

50

100

150

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0 3 5

N = 64

Hoehe [m]

v [m/s]

0 100

50

100

150

0 100

50

100

150

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0 3 5

N = 128

0 100

50

100

150

0 100

50

100

150

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0 3 5

N = 256

0 100

50

100

150

0 100

50

100

150

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0 3 5

N = 512

0 100

50

100

150

0 100

50

100

150

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0 3 5

N = 1024

Hoehe [m]

v [m/s]

Abbildung 7.4:Zeitliche Entwicklung von Profilen der Windgeschwindigkeit in der Nachlaufstr¨omung desAEOLUS II bis zur 1024. Mittelung. Die Windgeschwindigkeiten sind aus energetischer Mittelung gewon-nen. Nabenh¨ohe und Rotordurchmesser sind durch Linien gekennzeichnet.

124 KAPITEL 7. FREIFELDMESSUNGEN IM JADE-WINDPARK

0 100

50

100

150

0 100

50

100

150

0 100

50

100

150

0 3 5

N = 32

0 100

50

100

150

0 100

50

100

150

0 100

50

100

150

0 3 5

N = 64

0 100

50

100

150

0 100

50

100

150

0 100

50

100

150

0 3 5

N = 128

0 100

50

100

150

0 100

50

100

150

0 100

50

100

150

0 3 5

N = 256

Hoehe [m]

v [m/s]

0 80

50

100

150

0 80

50

100

150

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0 80

50

100

150

0 80

50

100

150

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

3 5 7

12:20

0 80

50

100

150

0 80

50

100

150

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0 80

50

100

150

0 80

50

100

150

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

0 3 5 7

12:25

0 80

50

100

150

0 80

50

100

150

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◊

0 80

50

100

150

0 80

50

100

150

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

0 3 5 7

12:30

Hoehe [m]

v [m/s]

Abbildung 7.5:Oben: Gemittelte Windgeschwindigkeitsprofile (durchgezogen) aus Abb. 7.4 mit den ausder Simulation gwonnenen Standardabweichungen (rot) in Abh¨angigkeit vom SNR. Unten: Aufeinander-folgende 5-Minutenmittel der Windgeschwindigkeit (). Die Referenzdaten des Meteorologiemastes sindmit angegeben.

7.3. TEMPERATURSTRUKTUREN UND STREUBEDINGUNGEN 125

7.3 Temperaturstrukturen und Streubedingungen

Wie eingangs dieses Kapitels erw¨ahnt, bewirkt der Rotor eines Windenergiekonverters eine vermindertemittlere Windgeschwindigkeit im Nachlauf, auf die aus der Dopplerfrequenz geschlossen werden kann,daruberhinaus ist im Nachlauf eine erh¨ohte Turbulenzintensit¨at zu erwarten. Diese Erh¨ohung der Turbu-lenz hat eine gegen¨uber dem anstr¨omenden Windfeld verst¨arkte Durchmischung von Temperaturinhomo-genitaten zur Folge, die sich in der St¨arke der R¨uckstreuamplitude abbilden sollte. Werden die R¨uckstreu-amplituden jeden Pulses, wie schon im vorhergehenden Abschnitt beschrieben, ¨uber der Zeit farbcodiertaufgetragen, erh¨alt man das Echogramm in Abb. 7.7 (oben).

Die Temperaturstrukturen weisen eine ¨ahnliche Charakteristik auf wie sie schon in dem kurzen zweimin¨uti-gen Zeitabschnitt in Abb. 6.26 zu beobachten war. Bei der Frequenz von 3000 Hz m¨ussen die streuendenStrukturen eine r¨aumliche Periodizit¨at von 5.9 cm aufweisen. R¨aumlich ausgedehnte Gebiete von Tempera-turinhomogenit¨aten, die genau diese Bedingung erf¨ullen, scheinen sich f¨ur Dauern von 5 bis 20 Sekundenuber die gesamte Meßh¨ohe zu erhalten. Phasen hoher R¨uckstreuamplitude wechseln sich mit solchen, in de-nen nahezu kein Echo auftritt, ab. Die Temperaturturbulenz ist offensichtlich r¨aumlich inhomogen. Eigent-lich wurde man im Rotorbereich eine Vermischung dieser Strukturen aufgrund einer h¨oheren Turbulenzin-tensitat erwarten. Da im Nachlauf selbst jedoch keine Temperaturinhomogenit¨at erzeugt wird, m¨ussen dieseGebiete schon in der anstr¨omenden Luft vorhanden sein oder im Nachlauf vom Boden abgel¨ost werden.Korrespondierend zu den Windgeschwindigkeitsprofilen ist in 120 m H¨ohe eine zeitlich konstante Strukturzu erkennen, die eindeutig auf ein Festecho zur¨uckzufuhren ist.

Die untere Halfte der Darstellung in Abb. 7.7 zeigt Profile der farbcodierten Windgeschwindigkeit des glei-chen Zeitabschnitts. Es handelt sich um gleitende Minutenmittel der Windgeschwindigkeitenberechnet ¨uber1198 Pulse bzw. Sekunden. Das Geschwindigkeitsdefizit im Rotornachlauf zeigt sich hier in den blau gef¨arb-ten Bildteilen im wesentlichen in der unteren Rotorh¨alfte. Am ausgepr¨agtesten und l¨angsten zeigt sich diesesGeschwindigkeitsprofil zwischen der 280. und 580. Sekunde, also der Zeit, zu der auch das erste Windprofilder Abb. 7.5 diese charakteristische Form annahm.

Neben der Untersuchung der r¨aumlichen Homogenit¨at der Temperaturturbulenz k¨onnen Sodarmessungenauch Aufschluß ¨uber die Homogenit¨at im Wellenzahlraum geben. Das Bild einer Wirbelkaskade, das demKolmogorov-Spektrum zugrundeliegt, impliziert das gleichzeitige Vorhandensein von Temperaturinhomo-genitaten auf jeder Skala innerhalb desinertial subrange. Eine monofrequente R¨uckstreumessung liefertnur Aufschlußuber denjenigen schmalen Wellenzahlbereich des Turbulenzspektrums, der die Braggbedin-gung erfullt. Eine Sodarmessung, bei der gleichzeitig mit zwei oder mehr verschiedenen Tr¨agerfrequenzengearbeitet wird, erm¨oglicht es daher mehr Information ¨uber das Spektrum der Turbulenz zu erhalten.

Die folgenden Abbildungen zeigen die Ergebnisse einer derartigen Messung mit zwei Tr¨agerfrequenzen(4368 und 3000 Hz), die jedoch wegen der endlichen Aussteuerbarkeit des Senders nicht gleichzeitig, son-dern in einem Abstand von 3 ms mit einer Pulsdauer von jeweils 30 ms gesendet wurden. Die gleitendgemittelten Leistungsspektren der R¨uckstreusignale aus einer H¨ohe von 64 m sind farbcodiert ¨uber der Zeitaufgetragen. Diese Art der Darstellung erm¨oglicht es, neben der R¨uckstreust¨arke auch den zeitlichen Verlaufder Dopplerfrequenz zu verfolgen.

Abb. 7.8 zeigt einen 80 Sekunden langen Ausschnitt dieser 2-Frequenzmessung, wobei die Mittelung derLeistungsspektren gleitend ¨uber drei Sekunden erfolgte. Die aus der energetischen Mittelung berechne-ten Dopplerfrequenzen sind ebenso wie die jeweilige Tragerfrequenz durch eine weiße Linie markiert. Dadas Maximum der R¨uckstreuleistung f¨ur die Frequenz von 4368 Hz weniger als ein f¨unftel derjenigen des3000 Hz Pulses betr¨agt und somit bei gleicher Farbcodierung keinerlei Information sichtbar w¨urde, sind die

126 KAPITEL 7. FREIFELDMESSUNGEN IM JADE-WINDPARK

in der Abbildung unten dargestellten R¨uckstreuleistungsspektren ebenfalls auf ihr Maximum normiert. Dadie gestreute Leistung proportional zur Intensit¨at im Streuvolumen und damit zur abgestrahlten Leistungist, muß weiterhin ber¨ucksichtigt werden, daß die Sendeantenne bei der Frequenz von 3000 Hz 2.14 malmehr Leistung als bei 4368 Hz abstrahlt. Die untere Farbskala ist daher mit 0.36 zu multiplizieren, umdie Ruckstreuleistungen direkt miteinander zu vergleichen. Aufgrund der bei h¨oheren Frequenzen st¨arke-ren atmosph¨arischen Absorption ist bei einer Frequenz von 4368 Hz eine um den Faktor 2.25 schw¨ache-re Ruckstreuleistung als im Fall der 3000 Hz Pulse zu erwarten. Der R¨uckstreuquerschnitt im Fall einesKolmogorov-Spektrums steigt mit der Frequenz wief 1=3, daher sollte bei der h¨oheren Meßfrequenz die1.12-fache Leistung im Vergleich zur 3000 Hz Messung empfangen werden. Zum direkten Vergleich derstreuenden Strukturen ist die R¨uckstreuleistung um die atmosph¨arische Dampfung und den Streuquerschnittzu bereinigen, indem die untere Farbskala mit 0.72 multipliziert wird (Rot unten wird zu Gelb oben). DieRuckstreuleistungen in den Strukturen, die um die 760. Sekunde und nach der 775. Sekunde in beidenRuckstreuechos auftreten, sind unter der Annahme einer Kolmogorov-Turbulenz zu erwarten, da die Turbu-lenz, an der die Streuung stattgefunden hat, fast gleich groß ist. Die starken 3000 Hz R¨uckstreusignale inder Mitte des dargestellten Meßzeitraums finden jedoch im h¨oherfrequenten Echo keine Entsprechung. Dieszeigt, daß im Streuvolumen nicht zu jedem Zeitpunkt Turbulenz auf allen Skalen herrscht.

Ebenso wie die St¨arke der R¨uckstreusignale zeigt auch die aus ihnen berechnete Dopplerfrequenz starkeFluktuationen und nur tendenzielleUbereinstimmung f¨ur die beiden Tr¨agerfrquenzen. Entsprechend nied-rig fallt dementsprechend die ¨uber den gesamten Zeitraum von 20 Minuten berechnete Korrelation der 3-Sekundenmittel der Dopplerfrequenzen mit einem Wert von 0.53 aus.

Bildet man gleitende 1-Minutenmittel, so ergeben sich die in Abb. 7.9 dargestellten R¨uckstreuspektrogram-me. Zu beachten ist, daß im Gegensatz zur vorherigen Abbildung hier der gesamte 20-min¨utige Meßzeit-raum betrachtet wird. Die obigen Anmerkungen bzgl. der Normierung und der Farbtabelle treffen auchhier zu. Durch die l¨angere Mittelungsdauer kommt es zu einer deutlichenUbereinstimmung sowohl in derRuckstreuamplitude als auch in der Frequenz. Dies spiegelt sich in der mit 0.89 relativ hohen Korrelationder mittleren Dopplerfrequenzen wider.

Der Vergleich der beiden Meßfrequenzen in dem Streudiagramm in Abb. 7.6 zeigt deutlich, daß durchlangere Mittelungsdauern eine konsistente Dopplerfrequenz ermittelt werden kann.

4200

4220

4240

4260

4280

4300

4320

4340

4360

4380

2860 2880 2900 2920 2940 2960 2980 3000

f[H

z]

f[Hz]

3-Sekundenmittel1-Minutenmittel

Abbildung 7.6: Streudiagramm zwischen denDopplerfrequenzen der 3000 und 4368 HzPulsechos aus einer H¨ohe von 64 m f¨ur unter-schiedliche Mittelungsdauern. Die Korrelationbetragt 0.53 fur die 3-Sekundenmittel und 0.89fur die einminutige Mittelung.

7.3. TEMPERATURSTRUKTUREN UND STREUBEDINGUNGEN 127

0 1

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0 150 300 449 599 749 898 1048 1198

17

34

51

68

85

102

119

136

Zeit [s]

Hoehe [m]

0 11.0

2.1

3.2

4.3

5.4

6.5

7.6

8.7

9.8

10.9

12.0

0 150 300 449 599 749 898 1048 119817

34

51

68

85

102

119

136

Zeit [s]

Hoehe [m]

Abbildung 7.7:Oben: Temperaturstrukturen, farbcodierte R¨uckstreuamplituden des untersuchten Zeitab-schnitts von 20 Minuten in Abh¨angigkeit von der H¨ohe und der Zeit. Unten: Profile der Windgeschwin-digkeit des gleichen Zeitabschnitts farbcodiert dargestellt. Es handelt sich um gleitende Minutenmittel derWindgeschwindigkeiten berechnet ¨uber 1198 Pulse bzw. Sekunden. Nabenh¨ohe und Rotordurchmesser sinddurch weiße Linien markiert.

7.3. TEMPERATURSTRUKTUREN UND STREUBEDINGUNGEN 129

0 10.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

700 710 720 730 740 750 760 770 7802850

2900

2950

3000

3050

700 710 720 730 740 750 760 770 7802850

2900

2950

3000

3050

700 710 720 730 740 750 760 770 7802850

2900

2950

3000

3050f [Hz]

Zeit [s]

0 10.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

700 710 720 730 740 750 760 770 7804210

4260

4310

4360

4410

4460

700 710 720 730 740 750 760 770 7804210

4260

4310

4360

4410

4460

700 710 720 730 740 750 760 770 7804210

4260

4310

4360

4410

4460f [Hz]

Zeit [s]

Abbildung 7.8:Gleitende 3-Sekundenmittel von Leistungsspektren aus der 20 min¨utigen Nachlaufmessungdargestellt von der 700. bis zur 780. Sekunde aus einer H¨ohe von 64 m. Die Amplitude der Spektren istfarbcodiert. Weiß eingezeichnet ist die jeweilige Tragerfrequenz und Dopplerfrequenz (Schwerpunkt derSpektren). Oben: Messung mit einer Tr¨agerfrequenz von 3000 Hz. Unten: Messung mit einer Tr¨agerfrequenzvon 4368 Hz.

7.3. TEMPERATURSTRUKTUREN UND STREUBEDINGUNGEN 131

0 10.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0 150 300 449 599 749 898 1048 11982850

2900

2950

3000

3050

0 150 300 449 599 749 898 1048 11982850

2900

2950

3000

3050

0 150 300 449 599 749 898 1048 11982850

2900

2950

3000

3050f [Hz]

Zeit [s]

0 10.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1.0

0 150 300 449 599 749 898 1048 11984210

4260

4310

4360

4410

4460

0 150 300 449 599 749 898 1048 11984210

4260

4310

4360

4410

4460

0 150 300 449 599 749 898 1048 11984210

4260

4310

4360

4410

4460f [Hz]

Zeit [s]

Abbildung 7.9:Gleitendes Minutenmittel von Leistungsspektren ¨uber den gesamten Meßzeitraum von 20Minuten aus einer H¨ohe von 64 m. Weiß eingezeichnet sind die Tr¨agerfrequenzen und die Dopplerfrequen-zen. Oben: Messung mit einer Tr¨agerfrequenz von 3000 Hz. Unten: Messung mit einer Tr¨agerfrequenz von4368 Hz.

133

8 Zusammenfassung

Die vorliegende Arbeit ist Bestandteil der Entwicklung eines Sodarsystems, das zur Vermessung turbulenterStromungen im unteren Grenzschichtbereich universell eingesetzt werden soll. Das Ziel war die Optimie-rung eines Systems zur Anpassung an spezifische Einzatzbedingungen. Besonderes Interesse galt dabei derEinfuhrung des Sodars als ber¨uhrungsloses Fernerkundungssystem in den Bereich der Windenergie. Diedaran gekn¨upften Anforderungen sind eine hohe zeitliche und r¨aumliche Auflosung und eine hohe Meßge-nauigkeit zur Messung von Windgeschwindigkeit und Turbulenzgrad. Insbesondere gibt auch die Auswer-tung der Amplitude des R¨uckstreusignals Informationen ¨uber die Turbulenz, da ihre Modulation direkt dieFluktuationen des Mediums abbildet und die mittlere Intensit¨at auf die Strukturparameter eines turbulentenFeldes fuhrt.

Die Auswertung und Interpretation von Sodarsignalen erfordert ein tiefes Verst¨andnis des Wechselwirkungs-mechanismus von Schall mit Turbulenz. Die Streuung von Schall an Turbulenz wird als dreidimensionaleGitterreflexion aufgefaßt. Man betrachtet das turbulente Medium als einen gesamten Satz von Gittern, derin seine raumlich periodischen Gitteranteile verschiedener Ausrichtung und Gitterabst¨ande zerlegt werdenkann. Wichtig ist die Erkenntnis, daß eine monofrequente Welle nur an Strukturen gestreut wird, die dieBraggbedingung erf¨ullen, d. h. Streuung unter einem bestimmten Winkel h¨angt nur von einer einzigen Spek-tralkomponente eines turbulenten Feldes ab. Diese Tatsache ist wichtig bei der Verwendung mehrerer Sen-defrequenzen, denn, wie die Messungen gezeigt haben, ist gerade bei Kurzzeitmitteln das R¨uckstreusignalbei einer der beiden Sendefrequenzen nicht vollst¨andig korreliert mit dem an einer anderen Strukturgr¨oßegestreuten Signal. Dies ist Ausdruck des intermittierenden Charakters der Turbulenz.

Kann das turbulente Medium durch ein Kolmogorov-Spektrum angen¨ahert werden, so f¨uhrt eine geeichteMessung der Intensit¨at des Streusignals ¨uber den Streuquerschnitt auf die statistischen StrukturparameterC2

v undC2T , die die Turbulenzintensit¨at einer turbulenten Str¨omung angeben.

Ein Schwerpunkt dieser Arbeit war die Analyse des Einflusses des akustischen Brechungsindex auf dieDopplerverschiebung.Ublicherweise erfolgt die Bestimmung einer Geschwindigkeitskomponente aus dergemessenen Dopplerfrequenz entsprechend der Meßgeometrie unter der Annahme gradliniger Ausbreitung.Da der genaue Strahlenverlauf nicht bekannt ist, sind Windprofilkorrekturen vom Boden aus auf N¨aherungenangewiesen.

Um die wahren Fehler, die aufgrund von Wind und Temperatur bei der Messung der Dopplerverschiebungauftreten abzusch¨atzen, wurde mit Hilfe eines Strahlverfolgungsprogramms ein Sodarexperiment simuliert,bei dem gleichzeitig Mit- und Gegenwindsituatioen erfaßt wurden. Wesentliches Ergebnis dieser Simulationist, daß die Mit- und Gegenwindfehler klassisch gemessener Sodarwindprofile, d. h. unter der Voraussetzunggradliniger Ausbreitung, symmetrisch sind. Mit der Bildung eines Windmittels aus Mit- und Gegenwind-profil ergibt sich ein Windprofil, das dem wahren sehr nahe kommt. Die Fehler, die bei der Bestimmung desWindprofils auftreten, k¨onnen bis auf 1% reduziert werden.

Daruberhinaus er¨offnet dieses Korrekturverfahren eine neue Sodarmeßkonfiguration. Normalerweise erfolgtdie Messung des Windvektors durch vier Sodarkomponenten, einem Sender und drei Empf¨angern. Mit vierEmpfangern und einem Sender in der Mitte k¨onnen zwei Ebenen zur Messung von Mit- und Gegenwind-komponenten gebildet werden, aus denen die Horizontalkomponente des Windes bestimmt wird. Durcheine monostatische Messung in Richtung Sender f¨ur die Vertikalkomponente kann der komplette Wind-vektor bestimmt werden. Diese Konfiguration ist bisher noch nicht erprobt worden, genausowenig wie dieangedeutete M¨oglichkeit, aus dem gemessenen Windmittel mit Hilfe von Strahlverfolgung ¨uber eine Lauf-zeitanpassung ein Temperaturprofil anzupassen.

134 KAPITEL 8. ZUSAMMENFASSUNG

Ein weiterer Gegenstand dieser Arbeit war die Entwicklung von Algorithmen zur Signalverarbeitung, dieeine automatisierte Auswertung von Sodar-Rohdaten erm¨oglichen. Die erstellten Programme berechnen ne-ben den obligatorischen Leistungsspektren und ihren Schwerpunkten auch Momentanfrequenzen, -amplitu-den und den Signal-Rausch-Abstand, wodurch Aussagen ¨uber die Fehler in der Windgeschwindigkeits-bestimmung erm¨oglicht werden. Die Untersuchung des Einflusses von Signal-Rausch-Abstand, Amplitu-denschwankungen, additivem Rauschen und Frequenz¨anderungen auf die ermittelte Dopplerfrequenz istdamit ebenso m¨oglich, wie die Erstellung der unterschiedlichen Darstellungen von R¨uckstreufrequenz und-amplitude, die in dieser Arbeit enthalten sind.

Mit den in der Arbeitsgruppe Akustik der Carl von Ossietzky Universit¨at Oldenburg bis jetzt entwickeltenund seit kurzer Zeit zur Verf¨ugung stehenden Sende- und Empfangsantennen ist es m¨oglich, die vorgeschla-gene neue Konfiguration zu erproben, wobei das Signalverarbeitungsprogramm einer Erweiterung um einray tracingModul bedarf.

135

A Liste der wichtigsten Symbole

BT(r) [K2] Korrelationsfunktion der TemperaturfluktuationenBik(r) [m2/s2] Korrelationstensor der GeschwindigkeitsfluktuationenBii (r) [m2/s2] Spur vonBik(r)Brr (r) [m2/s2] radiale KorrelationsfunktionBtt (r) [m2/s2] transversale KorrelationsfunktionC [m/s] Strahlgeschwindigkeitc0 [m/s] Bezugsschallgeschwindigkeitc [m/s] Schallgeschwindigkeit im turbulenten Mediumcp;cv spez. Warmekapazit¨at beip=konst.,V =konst.C2

T [K2m2=3] Strukturparameter der WindgeschwindigkeitC2

v [m4=3s2] Strukturparameter der TemperaturDT(r) [K2] Strukturfunktion der TemperaturfluktuationenDik(r) [m2/s2] Strukturfunktion der GeschwindigkeitsfluktuationenDii (r) [m2/s2] Spur vonDik(r)Drr (r) [m2/s2] radiale StrukturfunktionDtt (r) [m2/s2] transversale StrukturfunktionE(K) [m3/s2] spektrale Dichte der kinetischen EnergieET(K) [K2m] spektrale Energiedichte der TemperaturEkin [J/kg]=[m2/s2] auf die Masse bezogene kinetische Energiee Einheitsvektor,e= (e1;e2;e3)

F(K) [m5/s2] dreidimensionale spektrale Dichtef [1/s] Frequenz∆ f [1/s] DopplerverschiebungI [W/m2=N/ms] Intensitatk [1/m] Wellenzahlk [1/m] Wellenvektor,k = (k1;k2;k3)

K [1/m] Wellenvektor in raumlicher Fouriertransformation,K = (K1;K2;K3)

l [m] Korrelationslangel0 [m] innere Turbulenzl¨ange (inner scale)L0 [m] außere Turbulenzl¨ange (outer scale)L [m] charakteristische L¨ange einer Str¨omungN [K2/s] Dissipation der TemperaturvarianzP [W=Nm/s] akustische Leistungp [N/m2] Druckp0 [N/m2] Gleichdruckpt [N/m2] turbulenter Druckp [N/m2] akustischer Wechseldruckr [m] Ortsvektor,r = (x1;x2;x3)

Re ReynoldszahlT [K] Temperatur,T = T0+T 0

T0 [K] mittlere TemperaturT 0 [K] Temperaturfluktuation,hT0i= 0u [m/s] Schallschnelle,u = (u1;u2;u3)

v0 [m/s] kleinste Geschwindigkeit einer turbulenten Str¨omung

136 ANHANG A. LISTE DER WICHTIGSTEN SYMBOLE

V0 [m/s] großte Geschwindigkeit der Turbulenzv [m/s] Windgeschwindigkeitsfluktuationen,v = (v1;v2;v3), hvi= 0w [m/s] turbulentes Windgeschwindigkeitsfeld mit ¨uberlagerter Schnelle,w = v+uZ0 [Ns/m3] Wellenwiderstand ebener Wellen in Luft

γ Adiabatenkoeffizientcp=cv

ε [J/kg s]=[m2/s3] Energiedissipationsrateκ0 Kompressibilitatκt Kompressibilitat des turbulenten Mediumsν [m2/s] kinematische Z¨ahigkeitρ [kg/m3] Dichteρ0 [kg/m3] Gleichdichteρt [kg/m3] turbulente Dichteσ(Θ) [m1] differentieller Streuquerschnittσv [m/s] Standardabweichung der Windgeschwindigkeitσ2

v [m2/s2] Varianz der WindgeschwindigkeitΘ [rad] Streuwinkelρ [kg/m3] akustische WechseldichteΦik(K) [m5/s2] spektraler Dichtetensor der GeschwindigkeitsfluktuationenΦii (K) [m5/s2] Spur vonΦik(K)φrr (K) [m3/s2] radiale spektrale Dichteφtt (K) [m3/s2] transversale spektrale DichteΦT(K) [K2m3] dreidimensionale spektrale Dichte der TemperaturfluktuationenφT(K) [K2m] eindimensionale spektrale Dichte der Temperaturfluktuationenχ [m2/s] Warmediffusionskoeffizient

LEBENSLAUF

Annette Schomburg

geboren am: 15. September 1958in Buhren, Krs. Nienburg/W.

Schulischer und beruflicher Werdegang

1968 – 1974 Besuch der Realschule in Liebenau

1974 – 1975 Einj¨ahrige Handelsschule in Nienburg/Weser

1975 – 1978 Ausbildung zur Industriekauffrau bei der Isar-Rakoll Chemie GmbH,Nienburg/Weser

1978 – 1981 Erwerb der Hochschulreife am Oldenburg-Kolleg

1981 – 1991 Physikstudium (Diplom) an der Carl von Ossietzky Universit¨at

seit 1991 wissenschaftliche Mitarbeiterin an der Carl von Ossietzky Universit¨at imFachbereich Physik, Arbeitsgruppe Akustik