Scriptum zur P1-Vorlesung - Fakultät für Physik · Die Richtung wird durch den Einheitsvektor, einen Vektor der L ange Eins angegeben. 2.3. VEKTORRECHNUNG 9 a^ = ~a j~aj Darstellung

Nabla=

Blabla?

Heureka(deutsch: ichHABÔS)!

Daswiederholenwir in P I !

Jetzt brauchensie schon

wieder einenªBergerÒ !

Scriptum zur P1-Vorlesung

theoretischer Teil

Prof. Dr. Harald Lesch1

Universitats-Sternwarte Munchen

LMU

geTEX-t von

Johannes Buttner2

[email protected]@gmx.de

2

Inhaltsverzeichnis

1 Einleitung 1

1.1 Das Verhaltnis Theorie – Experiment . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Der Rand der physikalischen Erkenntnis . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Vereinheitlichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 Wirklichkeit und naturwissenschaftliche Erkenntnis . . . . . . . 4

1.4 Das Verhaltnis Physik – Mathematik . . . . . . . . . . . . . . . 5

2 Vektoren 7

2.1 Physikalische Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Vektoralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.3.1 Vektoren in einer Ebene – Vektorkomponenten . . . . . 11

2.3.2 Skalarprodukt zweier Vektoren – inneres Produkt . . . . 13

2.3.3 Vektorrechnung im Dreidimensionalen . . . . . . . . . . 15

2.3.4 Vektorprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.5 Determinanten-Schreibweise . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.3.6 Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.3.7 Division von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.4 Differentiation und Integration von Vektoren . . . . . . . . . 22

2.4.1 Differentiation einer skalaren Funktion einer Veranderlichen 23

2.4.2 Differentiation eines Vektors nach einem Parameter . . . 23

3 Kinematik eines Massenpunktes 27

3.1 Bahnkurve eines Massenpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2 Anderung der Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.3 Bogenlange einer Kurve S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4 Tangenten- und Hauptnormaleneinheitsvektor . . . . . . . . 29

3.4.1 Krummung einer Kurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.4.2 Krummung und Krummungsradius . . . . . . . . . . . . 30

3.5 Integration von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5.1 Integrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.5.2 Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.5.3 Komponenten und Koordinaten . . . . . . . . . . . . . . 36

i

ii INHALTSVERZEICHNIS

4 Koordinatensysteme und was dazugehort 414.1 Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.1.1 Koordinatentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.1.2 Darstellung eines Vektors in Polarkoordinaten . . . . . . 424.2 Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.2.1 Koordinatentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.2 Koordinatenflachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.2.3 Koordinatenlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.2.4 Linien- Flachen- und Volumenelemente . . . . . . . . . . 474.2.5 Useful Stuff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.3 Kugelkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3.1 Koordinatentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4.3.2 Koordinatenflachen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 484.3.3 Koordinatenlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.3.4 Flachen-, Linien- und Volumenelement . . . . . . . . . . 494.3.5 Useful Stuff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5 Skalar- und Vektorfelder 515.1 Motivation und Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

5.1.1 Skalarfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.1.2 Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515.1.3 Feldlinien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2 Spezielle Vektorfelder aus der Physik . . . . . . . . . . . . . 535.2.1 Homogenes Vektorfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2.2 Kugelsymmetrisches Vektorfeld . . . . . . . . . . . . . . 535.3 Linien- oder Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3.1 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

5.4 Konservative Krafte und Gradienten . . . . . . . . . . . . . . 605.4.1 Partielle Differentiation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

5.4.2 Produktregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.4.3 Kettenregel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5.5 Das totale Differential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 625.5.1 Gradient eines skalaren Feldes . . . . . . . . . . . . . . 625.5.2 Rechenregeln fur Gradienten . . . . . . . . . . . . . . . 64

5.5.3 Richtungsableitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645.5.4 Kurvenintegral eines konservativen Kraftfeldes . . . . . . 65

5.5.5 Die Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 665.6 Zusammenfassung: konservative Kraftfelder . . . . . . . . . . 67

5.6.1 Physikalische Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . 675.7 Divergenz und Rotation von Vektorfeldern . . . . . . . . . . 74

5.7.1 Die Divergenz – Quellen und Senken . . . . . . . . . . . 74

5.7.2 Rotation eines Vektorfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . 765.7.3 Mehr Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.7.4 Anwendungsbeispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

INHALTSVERZEICHNIS iii

5.7.5 Spezielle Vektorfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5.7.6 Laplace- und Poisson-Gleichung . . . . . . . . . . . . . 81

5.7.7 Differentialoperatoren und verschiedene Koordinatensy-

steme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.8 Oberflachen- und Volumenintegrale . . . . . . . . . . . . . . 85

5.8.1 Das Oberflachenintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

5.8.2 Das Volumenintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

5.9 Integralsatze von Gauss und Stokes . . . . . . . . . . . . . . 94

5.9.1 Gausscher Integralsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94

5.9.2 Integralsatz von Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97

6 Mechanik in bewegten Bezugssystemen 99

6.1 Inertialsysteme, Galilei-Transformationen . . . . . . . . . . . 100

6.1.1 Probleme der Interpretation . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.1.2 Beziehungen zwischen Bezugssystemen . . . . . . . . . . 102

6.1.3 Krafte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

6.2 Foucaultsches Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

6.3 Das Foucault-Pendel am Nordpol . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.4 Sanfte mathematische Hinfuhrung . . . . . . . . . . . . . . . 107

6.5 Scheinkrafte in rotierenden Systemen . . . . . . . . . . . . . 108

6.5.1 Rotation eines (v′, y′, z′) Koordinatensystems um den

Ursprung des Inertialsystems (x, y, z) . . . . . . . . . . . 108

6.5.2 Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

6.5.3 Formulierung der Newtonschen Gleichungen in rotieren-

den Koordinatensystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

6.6 Beliebig gegeneinander bewegte Systeme . . . . . . . . . . . 113

6.6.1 Der freie Fall auf der Erde . . . . . . . . . . . . . . . . 114

6.6.2 Methode der Storungsrechnung . . . . . . . . . . . . . . 116

6.6.3 Exakte Losung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

6.6.4 Das Foucaultsche Pendel . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

6.7 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

6.7.1 Gaussche Zahlenebene . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

6.7.2 Exponentialfunktion einer komplexen Zahl . . . . . . . . 126

6.7.3 Diskussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

7 Hydrodynamik 131

7.1 Ruhende Flussigkeiten und Gase . . . . . . . . . . . . . . . . 131

7.1.1 Gestalt von Flussigkeitsoberflachen . . . . . . . . . . . . 132

7.1.2 Der Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

7.1.3 Druckkraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

7.1.4 Druckarbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.1.5 Schweredruck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.1.6 Kommunizierende Rohren . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

7.1.7 Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

iv INHALTSVERZEICHNIS

7.1.8 Schwimmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1367.1.9 Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1377.1.10 Oberflachenspannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

7.2 Stromungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.2.1 Grundbegriffe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1397.2.2 Die Bernoulli-Gleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1427.2.3 Laminare Stromungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1447.2.4 Allgemeines zur Reibung in Flussigkeiten . . . . . . . . . 1467.2.5 Krafte in Flussigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1477.2.6 Laminare Stromung durch ein Rohr . . . . . . . . . . . . 1487.2.7 Laminare Stromungen um Kugeln – Stokes-Gesetz . . . 1527.2.8 Stromungstypen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1537.2.9 Wirbel und Zirkulation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

8 Relativitatstheorie 1618.1 Historisches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1618.2 Das Michelson-Morley-Experiment . . . . . . . . . . . . . . . 1628.3 Die Lorentz-Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1678.4 Zeitdehnung – Dilatation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1718.5 Die Langenkontraktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1728.6 Uhrzeitsynchronisation und Gleichzeitigkeit . . . . . . . . . . 1748.7 Der relativistische Doppler-Effekt . . . . . . . . . . . . . . . 1748.8 Das Zwillingsparadoxon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1768.9 Geschwindigkeitstransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1798.10 Relativistischer Impuls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1808.11 Relativistische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1808.12 Nutzliche Gleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

Auch die Besteigung des

hochsten Berges beginnt mit

dem ersten Schritt.Laotse

Kapitel 1

Einleitung

1.1 Das Verhaltnis Theorie – Experiment

Experiment ←→ TheorieInduktion Deduktion

Experiment 2

Experiment 1

Hypothese

Theorie 1

Gesetzmaessigkeit(Induktion)

Gesetzmaessigkeit(Induktion)

neu Groesse/Ordnung

Thoerie 2

Die naturwissenschaftliche Methodik wurde von Bacon (∼ 1200) und Galilei(∼ 1560) begrundet. Der wissenschaftliche Ablauf ist folgender:

Theorie Hypothese, die widerspruchsfrei eine Klasse von Experimenten er-klart. Der Gultigkeitsbereich entspricht dieser Klasse von Experimen-ten.

1

2 KAPITEL 1. EINLEITUNG

Betrachtung anderer Klassen kleiner, grosser, genauer,. . . . Dadurch kannes notig werden, die erste Theorie zu erweitern.

Neue Theorie Sie umfasst fruhere. Die fruheren Theorien sind Spezialfalleder Neuen.

Eine Theorie ist also nicht “falsch”, sondern nur beschrankt gultig, namlichgenau solange, wie sie nicht im Gegensatz zur Beobachtung steht. Das Ex-periment ist also der letzte Prufstein oder die letzte Instanz.

Beispiel Mechanik:Die menschliche Erfahrungswelt umfasst folgende Grossen:

- Entfernung ∼ 1Meter

- Masse ∼ 1Kilogramm

- Geschwindigkeit ∼ 1 MeterSekunde

Eine Erweiterung in andere Grossenordnungen erfordert neueTheorien

1. Mikrokosmos mit Grossen um ∼ 10−10 Meter (∼ 1 A), alsoden Grossen im Bereich eines Atoms oder eines Atomkernsund damit mit Massen, beispielsweise vom Elektron von∼ 10−30kg. Die Erweiterung ist die Quantenmechanik, mitden beiden Hauptaussagen:

– nicht beliebige Teilbarkeit physikalischer Grossen– Existenz einer charakteristischen Naturkonstante,

(Arbeit × Zeit); dem Wirkungsquantum h ' 10−34Jsec

2. Hohe Geschwindigkeiten, mit der Erweiterung durch diespezielle Relativitatstheorie und der Lichtgeschwindigkeitals obere feste Grenze fur Geschwindigkeiten mit c ' 3 ·108 m

s.

3. Makrokosmos mit folgenden Grossenordnungen

– Sonnenmasse 1030kg– Lichtjahr ' 1016m– Gravitationskonstante G ' 6 · 10−11m3s−2kg−1

Die Erweiterung hier ist die allgemeine Relativitatstheorie.

1.2. DER RAND DER PHYSIKALISCHEN ERKENNTNIS 3

1.2 Der Rand der physikalischen Erkenntnis

Aufgrund von theoretischen Uberlegungen kam Max Planck (1906) zu derErkenntnis, dass unterhalb der folgenden Grossenordnungen keine Beobach-tungen mehr moglich sind.

Planck-Lange lP =(

Ghc3

) 1

2 ∼ 10−35m

Planck-Zeit tP =(

Ghc5

) 1

2 ∼ 5 · 10−44sec

Planck-Masse mP =(

chG

) 1

2 ∼ 10−8kg

Die Quantengravitation beschreibt die Grenze unseres Wissens.

1.2.1 Vereinheitlichung

tivitaetstheorieSpezielle Rela−

KlassischeMechanik

Supergravitation

Theorie von Allem

Quantenmechanik

Quantenfeldthorie

Gravitationstheorie

Die Anschaulichkeit ist eine Frage der Gewohnung. Eine erweiterte Anschau-ung ist zu entwickeln.


1.3 Wirklichkeit und naturwissenschaftliche Erkennt-

nis

Die Parabel vom Fischforscher– Von Sir A. Eddington, The philosophy of science 1939

Ein Fischer wirft Netze aus und pruft den Fang. Daraus leitet er folgen-de Grundgesetze ab (Theorie):

1. Alle Fische sind grosser als funf Zentimeter

2. Alle Fische haben Kiemen

Der Kritiker (Metaphysiker) sagt:“Dass alle Fische grosser als funf Zentimeter sind ist kein Grundgesetz, son-dern durch die Netzgrosse bestimmt.”

Dagegen sagt der Fischer:“Was ich in meinem Netz nicht fangen kann, ist kein Fisch und damit auchnicht Objekt meiner Forschung.”

Der Metaphysiker nimmt eine “ei-gentliche” Wirklichkeit an, uber dieer aber keine scharfen Aussagen ma-chen kann.

Der Fischer/Physiker betrachtet Pro-jektionen der Wirklichkeit, uber dieer objektive Aussagen machen kann.– Und er kann naturlich sein Netz ver-feinern.

1.4. DAS VERHALTNIS PHYSIK – MATHEMATIK 5

Naturwissen−schaftlichesAbbild derWirklichkeit("Projektion")

"Objektive"Wirklichkeit("Modell")

MathematischeStrukturen

? ?

"Stab" "Elektron"

?

"Fisch"

?

Eigentliche Wirklichkeit

"Netze"des Physikers

1.4 Das Verhaltnis Physik – Mathematik

• Die Mathematik ist die “Sprache” der Physik:Sie ist notwendig, eine Theorie mathematisch korrekt formulieren zukonnen, also

– moglichst allgemein

– kompakt

– elegant

• Physik ist nicht Mathematik!Die Mathematik hat eine eigene Fragestellung, die logische Struktur,deshalb fehlt das Experiment als Teil der Methodik.


• Die Beweisfuhrung ist in der Physik oft weniger strengPhysikalische Objekte verhalten sich meist wohldefiniert; aber eine ma-thematisch “korrekte” Beweisfuhrung ist im Prinzip moglich und unterUmstanden wichtig.

• Die Physik hat durch neuere, laxere Begriffsbildungen oft mathemati-sche Begriffsbildungen gefordert.

Problem der PhysikMathematische Methoden mussen bekannt sein und verwendet werden,bevor sie in einer Mathematik-Vorlesung begrundet werden.

Alles sollte so einfach wie

moglich gemacht werden,

aber nicht einfacher.

A. Einstein

Kapitel 2

Vektoren

2.1 Physikalische Beispiele

• Beschreibung eines Massenpunktes (MP) in Raum und Zeit relativ zueinem Bezugspunkt, auch Kinematik genannt.

0

~r Ortsvektor

~r(t) Bahnkurve

Der Ortsvektor gibt die Richtung und den Abstand relativ zu einemBezugspunkt an. Die mittlere Geschwindigkeit ist definiert als

~v =~r2 − ~r1

t2 − t1=

∆~r

∆t

Hinweis:Die Bahnkurve mit der Geschwindigkeit ist ein klassischesKonzept. Es ist nicht mehr im Mikrokosmos gultig.

7

8 KAPITEL 2. VEKTOREN

Die Anwendung finden Vektoren bei~a Beschleunigung~p Impuls~F Kraft~M Drehmoment

• Hydrodynamik stromender Flussikeiten.

RohrFluessigkeit

~v(~r, t) VektorfeldDie Anwendung:

~E elektrisches Feld~B Magnetische Flussdichte

2.2 Vektoralgebra

SkalareDie Grosse wird nur durch eine Zahl charakterisiert, beispielsweise:

• Masse M

• Ladung Q

• Temperatur T

VektorenViele physikalische Grossen sind aber nicht nur durch eine Zahl, sondernauch durch ihre Richtung bestimmt: Geschwindigkeit, Kraft, Impuls, Be-schleunigung. . . Die Grosse von Vektoren ist durch Betrag und Richtunggegeben.Die Darstellung erfolgt durch einen Pfeil:

~a Deutsche Konvention

a Angelsachsische Nomenklatura Buchdruck

• Betrag oder Lange von ~a, ist ein Skalar, laut Def. immer positiv.

|~a|

• Die Richtung wird durch den Einheitsvektor, einen Vektor der LangeEins angegeben

2.3. VEKTORRECHNUNG 9

a = ~a|~a|

• Darstellung

~a = |~a|a

• GleichheitZwei Vektoren ~A und ~B sind gleich ( ~A = ~B), wenn Betrag | ~A| = | ~B|und Richtung A ↑↑ B ubereinstimmen. Sie sind ebenfalls gleich, wennsie durch Parallelverschiebung ineinander uberfuhrbar sind.

A ↑↑ B parallele Vektoren und

A ↓↑ B antiparallele Vektoren.

• BemerkungBei einer physikalisch-technischen Grosse gehort zur vollstandigen Be-schreibung noch die Angabe der Maßeinheit! Das heißt also, daß sichder Betrag eines physikalischen Vektors aus Betrag mal Maßeinheitergibt:

Kraft~F1

| ~F1|= 100N · ~F1

2.3 Vektorrechnung

1. Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar

~B = λ · ~A

| ~B| = λ · | ~A|

λ > 0 ~B ↑↑ ~A

λ < 0 ~B ↓↑ ~A

λ = 0 0 · ~A = ~0 Nullvektor

Ein Skalar multipliziert mit einem Vektor ergibt also wieder einenVektor.

2. Addition von VektorenZwei Krafte ~F1 und ~F2 greifen an einem Massenpunkt an. Die resul-tierende Kraft ist ~FR.

~A + ( ~B + ~C) = ( ~A + ~B) + ~CAssoziativitat


Parallelogramm

Zwei Vektoren werden also addiert, indemein Vektor parallel zu sich selber verscho-ben wird, bis sein Anfangspunkt in denEndpunkt des zweiten Vektors fallt.

Es gilt fur den Summenvek-tor:

~S = ~A + ~B~S = ~B + ~A

Kommutativitat

Interessant:Wenn das Vektorpolygon geschlossen ist, dann ist der Summenvektorder Nullvektor. Physikalisch bedeutet das, dass sich alle Krafte gegen-seitig aufheben; auf den Korper wirkt keine resultierende Kraft.

3. Subtraktion von VektorenDie Subtraktion ist die Umkehrung der Addition. Fur den Differenz-vektor gilt: ~D = ~A− ~B ist der Summenvektor aus ~A und − ~B. − ~B istder antiparallele Vektor zu ~B:

!

"#− $%& $')( $*

+,

-.

~D ist die Summe aus ~A und dem Gegenvektor von ~B:

~D = ~A− ~B = ~A + (− ~B)

4. Konstruktion der Differenz ~A− ~B = ~D

(a) ~B wird in der Richtung umgekehrt: − ~B

(b) − ~B wird parallel zu sich selbst verschoben, bis sein Anfangspunktin den Endpunkt von ~A fallt.

(c) Der vom Anfangspunkt von ~A zum Endpunkt von − ~B gerichteteVektor ist ~D = ~A− ~B


5. Parallelogrammregel

~S = ~A + ~B Summe~D = ~A− ~B Differenz

Beispiel:

Schwerpunktsvektor furN Massenpunkte.

• Fur N = 2 Massenpunkte gilt:

~R := m1 ~r1+m2 ~r2

m1+m2= 1

2(~r1 + ~r2), wenn m1 = m2!

~R liegt immer auf der Verbindungslinie von m1 und m2:

~R = 1m1+m2

[

(m1 + m2 −m2)~r1 + m2 ~r2

]

= ~r1 +m2

M(~r2 − ~r1)

• Fur N Korper gilt dann:

~R =

N∑

i=1

mi~ri

N∑

i=1

mi

=1

M

N∑

i=1

mi~ri

2.3.1 Vektoren in einer Ebene – Vektorkomponenten

x

yDefinition 1 (Koordinatensystem)Zwei aufeinander senkrecht stehen-de Einheitsvektoren ~ex und ~ey ≡orthonormale Basisvektoren.


x

y

Beispiel:Vektor ~A, im Nullpunkt beginnend laßt sichdarstellen als:

~A = ~Ax + ~Ay

Dabei sind ~Ax und ~Ay die Vektorkomponenten von ~A.

~Ax = Ax ~ex~Ay = Ay ~ey

~Ax ∧ ~ex

~Ay ∧ ~ey

sind kollinear

~A = ~Ax + ~Ay = Ax ~ex + Ay ~ey

~A =

(

Ax

Ay

)

Spaltenvektor

~A = (Ax, Ay) Zeilenvektor

Die Vektorkoordinaten sind positiv, wenn die Projektion von ~A auf die ent-sprechende Koordinatenachse in die positive Richtung dieser Achse zeigt.Ansonsten sind sie negativ.

Komponentendarstellung spezieller Vektoren

• Ortsvektor

x

y

x

y

y

xP(x,y)

~r(P ) = x~ex+y ~ey =

(

x

y

)

• Basisvektoren

~ex = 1~ex + 0~ey =

(

1

0

)

~ey = 0~ex + 1~ey =

(

0

1

)


• Nullvektor

~0 = 0~ex + 0~ey =

(

0

0

)

Betrag eines Vektors:

x

y

| ~A| = A =

√

~Ax2+ ~Ay

2

Zwei Vektoren sind genau dann gleich, wenn ihre Vektorkoordinaten uber-einstimmen:

~A = ~B ⇐⇒ Ax = Bx ∧Ay = By

λ ~A = λ

(

Ax

Ay

)

=

(

λAx

λAy

)

~A± ~B =

(

Ax

Ay

)

±(

Bx

By

)

=

(

Ax ±Bx

Ay ±By

)

2.3.2 Skalarprodukt zweier Vektoren – inneres Produkt

MP

Beispiel:Arbeit einer Kraft beim Verschiebeneiner Masse in Richtung des Weges.

W = ~F · ~s

~A · ~B =

| ~A| · | ~B| · cos φ =AB cos φ0≤φ≤180

~A · ~A = | ~A|2

Projektion von ~A auf ~B beziehungsweise umgekehrt, das heißt Komponentevon ~A in Richtung ~B. Das Skalarprodukt ist eine skalare Große (inneres


Produkt). φ ist stets der kleinere Winkel, den ~A und ~B bilden.

Rechengesetze

~A · ~B = ~B · ~A Kommutativitat~A · ( ~B + ~C) = ~A · ~B + ~A · ~C Distributivitat

Achtung!

Die Assoziativitat gilt nicht: ( ~A · ~B) · ~C 6= ~A · ( ~B · ~C)~A · ~B = 0 mit | ~A| 6= 0 und | ~B| 6= 0 genau dann, wenn φ = π

2 , 32π, · · ·:

Orthogonalitat

~A · ~B = 0 =⇒ ~A⊥ ~B

Fur die Einheitsvektoren bedeutet dies:

~ex · ~ey = 0

~ex · ~ex = ~ex2 = 1

~ey · ~ey = ~ey2 = 1

und ausformuliert fur zwei beliebige Vektoren eines orthogonalen Koordina-tensystems:

~A · ~B = (Ax ~ex + Ay ~ey) · (Bx ~ex + By ~ey)

= AxBx(~ex · ~ex) + AxBy(~ex · ~ey)

+ AyBx(~ey · ~ex) + AyBy(~ey · ~ey)

= AxBx + AyBy

~A · ~B = AxBx + AyBy

~A · ~B =

(

Ax

By

)

·(

Bx

By

)

= AxBx + AyBy

~A · ~B = | ~A| · | ~B| · cos Φ = AxBx + AyBy

Winkel zwischen zwei Vektoren

cos φ =~A· ~B

| ~A|·|~B| =AxBx+AyBy√

A2x+A2

y ·√

B2x+B2

y

φ = arccos

(~A· ~B

| ~A|| ~B|

)


~A · ~B > 0 =⇒ φ < 90

~A · ~B = 0 =⇒ φ = 90

~A · ~B < 0 =⇒ φ > 90

2.3.3 Vektorrechnung im Dreidimensionalen

Die Welt ist 3-D!

y

x

z

P

Zerlegung eines Vektors in drei Komponenten:

~A = ~Ax + ~Ay + ~Az

~Ax = Ax ~ex

~Ay = Ay ~ey

~Az = Az ~ez

~A = Ax ~ex + Ay ~ey + Az ~ez Vektorkomponenten

~A =

Ax

Ay

Az

Spaltenvektor

Ortsvektor

~r(P ) =−→0P= x~ex + y ~ey + z ~ez =

xyz

~ex =

100

~ey =

010

~ez =

001

Der Betrag eines Vektors ist dann im Dreidimensionalen:

| ~A| =√

A2x + A2

y + A2z


Multiplikation mit einem Skalar

λ ~A = λ

Ax

Ay

Az

=

λAx

λAy

λAz

Normierung eines Vektors

~eA =~A

| ~A|Einheitsvektor in Richtung ~A

~A± ~B =

Ax

Ay

Az

±

Bx

By

Bz

=

Ax ±Bx

Ay ±By

Az ±Bz

Skalarprodukt im DreidimensionalenBeachte: ~ex · ~ey = ~ex · ~ez = ~ey · ~ez = 0!Fur eine orthonormierte Basis bedeutet das: Die Basisvektoren stehen senk-recht aufeinander!

⇒ Das Skalarprodukt der Einheitsvektoren verschwindet.Sonst berechnet man das Skalarprodukt wie folgt:

~A · ~B =

Ax

Ay

Az

·

Bx

By

Bz

= AxBx + AyBy + AzBz

Richtungswinkel zwischen Vektor und Koordinatenachse

cos α =Ax

| ~A|, cos β =

Ay

| ~A|, cos γ =

Az

| ~A|

Zwischen den einzelnen Richtungswinkeln besteht folgenderZusammenhang:

cos2 α + cos2 β + cos2 γ = 1

Ax = | ~A| cos α

Ay = | ~A| cos β

Az = | ~A| cos γ


Projektion eines Vektors auf einen zweiten Vektor

Der durch die Projektion erhaltene Vektor ~BA ist

| ~BA| = | ~B| · cos φ

~A · ~B = | ~A| · | ~B| · cosφ = | ~A| · | ~BA|

| ~BA| = | ~B| cos φ =~A · ~B| ~A|

~BA hat also die gleiche Richtung wie ~A. Die Komponente von ~B in Richtungvon ~A ist dann

~BA = | ~BA| · ~eA = | ~BA| · ~eA = | ~BA|~A

| ~A|=| ~BA|| ~A|· ~A

~BA =

(~A· ~B| ~A|2

)

· ~A

2.3.4 Vektorprodukt

Drehmoment ~M , Drehimpuls ~L, Lorentz-Kraft (Kraft auf stromdurchfloße-nen Leiter), usw. lassen sich kaum ohne Vektorprodukt darstellen.

~C = ~A× ~B

| ~C| = | ~A| · | ~B| · sinφ0≤φ≤180

~C ist orthogonal zu ~A und zu ~B. Das heißt, hier kommt die Rechte-Hand-Regel zum Einsatz! ~A, ~B und ~C spannen ein rechtshandiges Dreibein auf.


Das Vektorprodukt ist eine vektorielle Große; es heißt auch ausseres Pro-dukt. Der Betrag des Vektorproduktes entspricht gleich der von ~A und ~Baufgespannten Flache und steht senkrecht auf dieser.

Rechenregeln

~A× ( ~B + ~C) = ~A× ~B + ~A× ~C Distributivitat

( ~A + ~B)× ~C = ~A× ~C + ~B × ~C dito~A× ~B = −( ~B × ~A) Anti-Kommutativitat

λ( ~A× ~B) = (λ ~A)× ~B = ~A× (λ ~B)

Zu beachten:~A× ~B = ~0 fur | ~A| 6= 0 und | ~B| 6= 0 gilt, wenn φ = 0, π, 2π, . . .⇐⇒ ~A oder ~B parallel oder antiparallel. Insbesondere ist:

~A× ~A = ~0

( ~A× ~B)× ~C︸︷︷︸

⊥ ~C

6= ~A× ( ~B × ~C)︸︷︷︸

⊥ ~A

Das Vektorprodukt ist eine potentielle Falle: Es ist nicht assozia-tiv!

1. Berechnung eines Vektorproduktes aus Komponenten

~A× ~B = (Ax ~ex + Ay ~ey + Az ~ez)× (Bx ~ex + By ~ey + Bz ~ez)

= AxBx (~ex × ~ex)︸︷︷︸

0

+AxBy (~ex × ~ey)︸︷︷︸

~ez

+AxBz (~ex × ~ez)︸︷︷︸

− ~ey

= (AyBz −AzBy)~ex + (AzBx −AxBz)~ey + (AxBy −AyBx)~ez

Definition des Vektorproduktes!

~A× ~B =

Ax

Ay

Az

×

Bx

By

Bz

=

AyBz −AzBy

AzBx −AxBz

AxBy −AyBx

2. Anwendungsbeispiele des Vektorprodukts

• Drehmoment (Moment einer Kraft)


P

0

Wir betrachten einen starrenKorper in Form einer Kreisschei-be, der um seine Symmetrieachsedrehbar gelagert ist.

Eine im Punkt P angreifende, in der Scheibenebene liegende Kraft~F erzeugt ein Drehmoment ~M , das als Vektorprodukt aus demOrtsvektor ~r und der Kraft ~F :

| ~M | = |~r × ~F | = |~r| · | ~F | · sinφ

~M liegt in der Drehachse und ist so definiert, daß die drei Vek-toren ein Rechtsystem bilden. Die Wirkung von ~M ist die einerDrehung um die Achse.

• Bewegung von Ladungen im Magnetfeld (Lorentz-Kraft)Bewegt sich ein geladenes Teilchen der Ladung q mit der Ge-schwindigkeit ~v durch ein homogenes Magnetfeld mit der magne-tischen Flußdichte ~B, so erfahrt es die Kraft

~FL = q(~v × ~B)

Dies ist die sogenannte Lorentz-Kraft.~FL ist sowohl senkrecht zur Bewegungsrichtung des Teilchens, alsauch senkrecht zur Richtung des Magnetfeldes gerichtet. Mit derLadung q = −e eines Elektrons (e ist Elementarladung) ist ~FL:

~FL = −e(~v × ~B)

Spezielle Einschusswinkel:

- ~v ↑↑ ~B =⇒ ~FL = −e (~v × ~B)︸︷︷︸

0

= ~0

Das Teilchen fliegt also ungehin-dert entlang des Magnetfeldes, so-genannte Translation.

- ~v ⊥ ~B

~FL wirkt als Zentralkraft undzwingt das Teilchen auf eine Kreis-bahn.


- Fur alle Winkel (0 < α < 180, α 6= 90) setzt sich die Be-wegung zusammen aus

1. Translation2. Kreisbahn oder Spiralbahn

2.3.5 Determinanten-Schreibweise

Definition 2 (Matrix) Unter einer reellen Matrix vom Typ (m,n) verstehtman ein aus m · n reellen Zahlen bestehendes rechteckiges Schema mit mwaagerecht angeordneten Zeilen und n senkrecht angeordneten Spalten.

Beispiel:

A =

A11 A12 . . . A1n

A21 A22 . . . A2n

......

. . ....

Am1 . . . . . . Amn

← Zeilen

↑Spalten

Definition 3 (Rang) Der Rang einer Matrix ist m× n.

Die Elemente der Matrix sind Aij .Eine Besonderheit ist die quadratische Matrix mit m = n.

Spezielle Operationen

• Determinante einer quadratischen (2× 2) Matrix

Det

(

A11 A12

A21 A22

)

=

∣∣∣∣∣

A11 A12

A21 A22

∣∣∣∣∣= A11A22 −A12A21

• Determinante einer (3× 3)-Matrix

A11 A12 A13 A11 A12

A21 A22 A23 A21 A22

A31 A32 A33 A31 A32

↓

= A11A22A33 + A12A23A31 + A13A21A32

−A13A22A31 −A11A23A32 −A12A21A33


Und durch Umordnen erhalt man:

A11(A22A33−A23A32)−A12(A21A33−A23A31)+A13(A21A32−A22A31)

Dies entspricht der Entwicklung nach Unterdeterminanten und fuhrtzur nachfolgenden Darstellung des Vektorproduktes.

• Darstellung des Vektorproduktes

~A× ~B =~e1 ~e2 ~e3

A1 A2 A3

B1 B2 B3

=A2 A3

B2 B3· ~e1 − A1 A3

B1 B3· ~e2 − A1 A2

B1 B2· ~e3

MerkeSkalarprodukt → parallele Komponenten

Vektorprodukt → senkrechte Komponenten

Bemerkung

1. Das Vektorprodukt ist kein normaler Vektor. Dies wird klar, sobaldsein Verhalten bei Spiegelung am Ursprung betrachtet wird:

Ein normaler Vektor andert seinVorzeichen:

~A = − ~A

Das Kreuzprodukt hingegen nicht:

~C = ( ~A× ~B)

= ~A× ~B = (− ~A)× (− ~B) = ~C

Das Vektorprodukt ist ein soge-nannter Axialvektor.

2. Das Vektorprodukt kann nur im R3 als Vektor dargestellt werden (ge-nauer als Axialvektor), nicht in anderen Dimensionen.

2.3.6 Spatprodukt

H


Das Spatprodukt ist ein gemischtes Produkt aus Skalar- und Vektorprodukt:

V = ~A · ( ~B × ~C) = | ~A| · | ~B × ~C| · cos ϕ

Dabei ist V das Volumen des aufgespannten Korpers, das sogenannte Par-allelepiped oder auch nur Spat. Es ist zyklisch vertauschbar:

V = ~A · ( ~B × ~C) = ~B · ( ~C × ~A) = ~C · ( ~A× ~B) = − ~B · ( ~A× ~C) = . . .

Ist das Volumen Null, so folgt, dass mindestens zwei Vektoren parallel oderantiparallel sind.

2.3.7 Division von Vektoren

Es ist nicht sinnvoll eine Division zu definieren, wie der Vergleich zwischenSklaren und Vektoren zeigt:

• Skalare

A ·B = 1⇒ B =1

A= A−1

d.h. A−1AC = C

• Vektoren~A · ~B = 1 ist nicht eindeutig wegen der Nicht-Assoziativitat und aus-serdem auch nicht weiter interessant.

2.4 Differentiation und Integration von Vektoren

In vielen physikalischen Problemen muss die Veranderung von vektoriellenGroßen berechnet werden, deshalb. . .

2.4. DIFFERENTIATION UND INTEGRATION VON VEKTOREN 23

2.4.1 Differentiation einer skalaren Funktion einer Veranderli-

chen

y

xxDie mittlere Steigung ist:

m =∆f

∆xW. eiterhin ist sie Ableitung oder auch Tangentensteigung, falls sie definiertist, d.h. die Funktion an dieser Stelle differenzierbar ist:

lim∆x→0

∆f

∆x=:

df

dx= f ′(x)

Die Differenzierbarkeit wird in der Physik meistensimplizit angenommen, man sollte sie jedoch im Auge behalten.

2.4.2 Differentiation eines Vektors nach einem Parameter

Sei ~A(t) ein zeitabhangiger Vektor (i.a. ist ~A(s), wobei s der Parameterist). Die Ableitung ist in Analogie zur Ableitung von skalaren Funktionendefiniert:

∆ ~A = ~A(t2)− ~A(t1)

lim∆t→0

∆ ~A

∆t=:

d ~A

dt= ~A

Ableitung von Produkten

~B(t) = λ(t) · ~A(t)

∆ ~B

∆t=

(λ + ∆λ)(A + ∆A)− λ ~A

∆t


=λ∆ ~A + ∆λ ~A + ∆λ∆ ~A

∆t

lim∆t→0

∆ ~B

∆t= lim

∆t→0λ

∆ ~A

∆t+ lim

∆t→0~A

∆λ

∆t+

lim∆t→0

∆λ∆ ~A

∆t︸︷︷︸

→0

Produktregel

~B = λ ~A + λ ~Ad

dt( ~A · ~B) = ~A · ~B + ~A · ~B

d

dt( ~A× ~B) = ~A× ~B + ~A× ~B

Beispiele:

1. Klassische PhysikDie Kraft ist die zeitliche Anderung des Impulses

~F =d~p

dt

Und der Impuls ist das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit

~p = m · ~v

~F =d

dt(m~v) = m~v + m~v = m~v + m~a

~v = ~a ist die Beschleunigung.Bei zeitlich konstanter Masse ist m = 0 und es ergibt sich:

~F = m · ~a (Newton)

Spater wichtig:Bei relativistischen Teilchen und naturlich auch bei Raketen ist m 6= 0!

2. Berechnung einer Bogenlange

y

x2Pi R

2R

~r(t) = R

(

t− sin t1− cos t

)

0 ≤ t ≤ 2π

Wie lang ist der Bogen?

~r(t) = R

(

1− cos tsin t

)

2.4. DIFFERENTIATION UND INTEGRATION VON VEKTOREN 25

|~r| = R√

(1− cos t)2 + sin2 t

= R√

1− 2 cos t + cos2 t + sin2 t︸︷︷︸

1

= R√

2− 2 cos t

= R√

2(1− cos t)

= R

√

2 · 2 sin2

(t

2

)

= 2 · R sin

(t

2

)

Die Integration von 0 bis 2π ergibt dann die Lange des Bogens:

S =

2π∫

0

|~r|dt = 2R

2π∫

0

sin

(t

2

)

dt

= 2R

[

−2 cos

(t

2

)]2π

0

= −4R

[

cost

2

]2π

0

= −4R(cos π − cos 0)

= −4R(−1− 1) = 8R

3. Elektron im Magnetfeld

x

y

z

x(t) = R cos(ωt)y(t) = R sin(ωt)z(t) = ct

R,ω,c=const.

Insgesamt ergibt sich also fur die Bewegung des Elektrons im Magnet-


feld folgende Bewegungsgleichung:

~r(t) = R cos(ωt)~ex + R sin(ωt)~ey + ct · ~ez

Wie lang ist die Bogenlange eines vollen Umlaufs?

|~r(t)| =√

[−Rω sin(ωt)]2 + [Rω cos(ωt)]2 + c2

=√

R2ω2 [sin2(ωt) + cos2(ωt)]︸︷︷︸

1

+c2 =√

R2ω2 + c2

Die Bogenlange ergibt sich dann durch Integration zwischen 0 undP = 2π

ω, einer vollen Periode:

S =

2πω∫

0

|~r|dt =

2πω∫

0

√

R2ω2 + c2dt

=√

R2ω2 + c2

2πω∫

0

dt

=√

R2ω2 + c2 · t|2πω

0 =2π√

R2ω2 + c2

ω

Die Natur hat die Gabe, sich nach

vielfaltigen Bedingungen außerer

Einfusse zu bequemen und doch eine

gewisse errungene Selbststandigkeit

nicht aufzugeben.Goethe

Kapitel 3

Kinematik eines

Massenpunktes

Wir betrachten die Bewegung von Massenpunkten unter dem Einfluß ausse-rer Krafte, die durch die Massenpunktbewegung aber nicht verandert wer-den. Dies ist die Kinematik.

3.1 Bahnkurve eines Massenpunktes

! "

#$%&('

Mittlere Geschwindigkeit:

~v =∆~r

∆t

Momentane Geschwindigkeit inRichtung der Tangente:

~v(t) = lim∆t→0

∆~r

∆t=

d~r

dt= ~r

Oder allgemeiner formuliert:

~r = x(t)~ex + y(t)~ey Ebene Kurve

~r = x(t)~ex + y(t)~ey + z(t)~ez Raumkurve

Dies sind Tangentenvektoren!Anmerkung des TEXers: Diese Einheitsvektoren sind zeitunabhangig, denn

27

28 KAPITEL 3. KINEMATIK EINES MASSENPUNKTES

~r = x~ex + x~ex︸︷︷︸

=0

+ . . .. Jedoch Vorsicht spater bei anderen Koordinatensyste-

men, dort konnen die Einheitsvektoren zwar nicht zeitabhangig sein, wohlaber ortsabhangig und deshalb andern sie sich mitunter, namlich wenn sichein Teilchen in einem derartigen Koordinatensystem bewegt.

3.2 Anderung der Geschwindigkeit

Ein Maß fur die Anderung der Geschwindigkeit ist die Beschleunigung a:

• Mittlere Beschleunigung

∆~v

∆t=

~v(t + ∆t)− ~v(t)

∆t= ~a

• Momentane Beschleunigung

~a(t) = lim∆t→0

∆~v

∆t=

d~v

dt= ~v = ~r =

d2~r

dt2

3.3 Bogenlange einer Kurve S

y(t)

x

P

y

"!$#

s

S =t2∫

t1

|~r|dt =t2∫

t1

√

x2 + y2dt Ebene Kurve

S =t2∫

t1

|~r|dt =t2∫

t1

√

x2 + y2 + z2dt Raumkurve

3.4. TANGENTEN- UND HAUPTNORMALENEINHEITSVEKTOR 29

3.4 Tangenten- und Hauptnormaleneinheitsvek-

tor

Bahn−kurve

Definition 4 (Tangenteneinheitsvektor)

~T =~r

|~r|

Fur die Definition des Hauptnormaleneinheitsvektors ist etwas Vorarbeitnotig:

d

dt(~T · ~T ) =

d~T

dt~T + ~T

d~T

dt=

d

dt(1) = 0

Mit der Kommutativitat des Skalarproduktes folgt:

d~T

dt· ~T + ~T · d

~T

dt= 2

(

~Td~T

dt

)

= 0

⇒ ~T · d~T

dt= ~T · ~T = 0

⇒ d~T

dt= ~T steht senkrecht auf ~T

Definition 5 (Hauptnormaleneinheitsvektor)

~N =~T

| ~T |

3.4.1 Krummung einer Kurve

Naturliche Darstellung einer Kurve mit Bogenlange S als Kurvenparameter:

~r = ~r(s) Ortsvektor~T = ~T (s) = d~r

ds Tangenteneinheitsvektor


Kurve

P

s

Der Tangenteneinheitsvektor andertsich im allgemeinen von Kurven-punkt zu Kurvenpunkt; eine Aus-nahme bildet die Gerade. Ihr Tan-genteneinheitsvektor besitzt in je-dem Punkt die gleiche Richtung.

Fur Geraden gilt also:

d~T

ds= ~T (s) = 0

Bei einer beliebigen Raumkurve ist d~Tds = ~T (s) die Anderung des Tangenten-

einheitsvektors ~T langs der Kurve in positiver Richtung bei Fortschreitenum ds:

d~T = ~T ds

3.4.2 Krummung und Krummungsradius

"! #

$%'&)(+*-,/. $0 1324

5687:9<;

Kurve

s

Je grosser d~T bei festem ds ist, umso starker weicht die Kurve von einerGeraden ab, das heißt also, umso starker ist sie gekrummt. Dies fuhrt zurDefinition der Krummung oder auch Kurvenkrummung:

Definition 6 (Kurvenkrummung) Sie ist folgendermaßen definiert:

χ =

∣∣∣∣∣

d~T

ds

∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣~T (s)

∣∣∣∣

3.4. TANGENTEN- UND HAUPTNORMALENEINHEITSVEKTOR 31

Definition 7 (Krummungsradius)

% =1

χ=

1∣∣∣~T (s)

∣∣∣

P

Der Vektor d~Tds

weist in Richtung des Haupt-

normalenvektors ~N , seine Lange ist dieKrummung:

d~T

ds= ~T (s) = χ ~N

Wichtige Beispiele fur Kurven mit konstanter Krummung:

Gerade x = 0Kreis x = const = 1

r r: Radius des Kreises

Rechtskrummung: x < 0 ~T dreht sich im UZS

Linkskrummung: x > 0 ~T dreht sich gegen UZS

UZS ist eine Abkurzung fur Uhrzeigersinn

Beispiele:

1. Zerlegung von Geschwindigkeit und Beschleunigung in Tangential- undNormalenkomponenten.

Ein Massenpunkt bewege sich auf einer Bahnkurve mit einem zeitabhangi-gen Ortsvektor ~r = ~r(t); das heißt also ~v = ~r und ~a = ~v = ~r inTangential- und Vektorkomponenten.

Gesucht sind ~v = vT~T + vN

~N und ~a = aT~T + aN

~N .

Der Geschwindigkeitsvektor ~v = ~r liegt bekanntlich in Richtung derKurventangente:

~v = v ~T =√

x2 + y2 + z2

︸︷︷︸

=|~v|=v= dsdt

zeitabhangiger Geschw.-Betrag

~T


0

P

Kurve~v hat nur eine Tangentialkomponente:

vT = v

vN = 0

Der Beschleunigungsvektor ergibt sich uber die Differentiation von~v = v ~T nach der Zeit t:

~a =d~v

dt=

d

dt(v ~T )

=dv

dt~T + v

d~T

dt= v ~T + v

d~T

dt

Ferner ist:

d~T

dt=

(

d~T

ds

)

ds

dt=(

χ ~N)

v = χ ~Nv =v

%~N

Fur die Umformung haben wir folgende Zusammenhange verwendet:

d~T

ds= χ ~N

ds

dt= v χ =

1

%

Fur die Beschleunigung ergibt sich:

~a = v ~T + v

(v

%

)

~N = v ~T +v2

%~N

Bahn−kurve

Also sind die einzelnen Komponenten der Be-schleunigung:

aT = v Tangentialbeschleunigung

aN = v2

% Zentripetalbeschleunigung

2. Gleichformige Kreisbewegung

v = 0 d.h. v = const ⇒ aT = 0

3.5. INTEGRATION VON VEKTOREN 33

Die Normalkomponente aN = v2

r ist stets auf den Kreis-mittelpunkt gerichtet und andert dauernd die Richtung der Geschwindigkeit,

nicht deren Betrag!

x

y

PMit der konstanten Winkelgeschwindigkeit ωist v = ωr und die Beschleunigung ergibtsich:

~a = aN~N = v2

r~N = − v2

r~rr = − v2

r2 ~r

= −(ωr)2

r2 ~c = −ω2~r

3.5 Integration von Vektoren

Bisher:

Bahn ~r(t) gegeben → ~v(t),~a(t) durch Differentiation

Jetzt geht’s an das inverse Problem:

~v(t) oder ~a(t) sind gegeben, berechne die Bahn ~r(t) durch Inte-gration

3.5.1 Integrale

Das Integral ist die Fache unter einer Kurve. Man unterscheidet bestimmteund unbestimmte Integrale:

• Bestimmtes Integral:

f(x)

b xa

I =

b∫

a

f(x) dx

• Unbestimmtes Integral:


y

a a(t) t x

f(x)

I(x) =

x∫

a

f(t) dt

Das unbestimmte Integral reprasentiert den Flacheninhalt zwischen der Funk-tion y = f(t) und der t-Achse im Intervall a ≤ t ≤ x in Abhangigkeit deroberen Grenze x.

3.5.2 Stammfunktion

Gegeben sei f(x) = dF (x)dx ; bestimme F (x).

F (x1) = F (x0) + f(x0)∆x

F(x)

x

Fur den Grenzwert ∆x → 0wird dies zu:

F (x) = F (x0) +

x∫

x0

f(x′) dx′

Die Stammfunktion ist F (x), der Anfangswert F (x0). Analog gilt dies furVektorfunktionen (hier: ~g(s)):

~I =s1∫

s0

~g(s) ds bestimmtes Integral

~F (s) =s∫

s0

~g(s′) ds′ + ~F (s0) Stammfunktion

Berechnung von Bahnkurven

1. Geschwindigkeit ~v(t) = d~rdt gegeben

~r(t) = ~r(t0) +

t∫

t0

v(t′) dt′

~r(t0) ist ein gegebener Anfangswert zur Zeit t0


2. Beschleunigung ~a(t) = d~vdt = d2~r

dt2gegeben

⇒ zweimaliges Integrieren, das heißt bestimmen der Stammfunktion

~v(t) = ~v(t0) +

t∫

t0

a(t′) dt′

~r(t) = ~r(t0) +

t∫

t0

~v(t0) dt′

︸︷︷︸

~v(t0)(t−t0)

+

t∫

t0

t′∫

t0

a(t′′)dt′′dt′

︸︷︷︸

i.a. kompliziert

3. Spezielle Beispiele

• Konstante Geschwindigkeit

~v(t) = const = ~v0

⇒ ~r(t) = ~r(t0) + ~v0(t− t0)

Es ergibt sich eine geradlinige Bahn. Die Bewegung heißt “gleichformi-ge Bewegung”.

• Bewegung mit konstanter Beschleunigung

~a(t) = const = ~a0

~v(t) = ~v(t0)︸︷︷︸

~v0

+~a0(t− t0)

~r(t) = ~r(t0)︸︷︷︸

~r0

+~v0(t− t0) +

t∫

t0

~a0(t′ − t0) dt′

︸︷︷︸

~a01

2(t−t0)2

Vereinfacht ergibt sich also folgende allgemeine Gleichung:

~r(t) = ~r0 + ~v0(t− t0) +~a0

2(t− t0)

2


Parabelbahn(Wurfbahn)

3.5.3 Komponenten und Koordinaten

~A = A1~e1 + A2~e2 + A3~e3

Anforderungen an geeignete Koordinatensysteme

1. Orthonormal

Das heißt sie mussen rechtwinklig und nor-miert sein. Schon zur Darstellung dieserEigenschaften ist das Kroneckersymbol :

~ei · ~ej = δij :=

1 i = j0 i 6= j

2. Rechtshandig

~e1 × ~e2 = ~e3

~e2 × ~e3 = ~e1

~e3 × ~e1 = ~e2

!"

Die Vektoren mussen also zyklisch vertauschbar sein.

Allgemein gibt es zwei Moglichkeiten fur Koordinatensysteme:


• Kartesische Koordinaten

~e1, ~e2, ~e3 = ~ex, ~ey, ~ez

konstant im R3

• Krummlinige Koordinaten

~e1, ~e2, ~e3

ortsabhangig, aberorthonormal

Komponentendarstellung von Vektoroperationen In orthonormalenKoordinatensystemen lassen sich Vektoren zerlegen:

~A = A1~e1 + A2~e2 + A3~e3 =3∑

i=1

Ai~ei

Zu beachten:~A ist darstellungsfrei und Ai ist basisabhangig. Außerdem gilt:

~ei · ~ej = δij und Aj = ~ej · ~A =∣∣∣ ~A∣∣∣ cos αi

cos αi heißt Richtungscosinus.Die folgenden Komponentendarstellungen gelten fur jedes orthonormale Ko-ordinatensystem, das heißt auch fur krummlinige, wenn Vektoren am glei-chen Aufpunkt genommen werden! Sei im weiteren

~A =∑

i

Ai~ei, ~B =∑

i

Bi~ei, . . .

~A = ~B ⇐⇒ Ai = Bi Gleichheit~B = λ ~B ⇐⇒ Bi = λAi Multiplikation mit Skalar~C = ~A + ~B ⇐⇒ Ci = Ai + Bi Addition

Skalarprodukt:~A · ~B =

∑

i

AiBi


Beweis zum Skalarprodukt:

~A · ~B =

(∑

i

Ai~ei

)

·

∑

j

Bj~ej

=∑

i,j

AiBj ~ei · ~ej︸︷︷︸

δij

=∑

i

AiBi

Insbesondere: ∣∣∣ ~A∣∣∣

2= ~A · ~A =

∑

i

A2i

Und auch die Lange des Ortsvektors ist:

|~r| :=√

x2 + y2 + z2

Vektorprodukt:

~C = ~A× ~B

∑

i

ci~ei =∑

j,k

AjBk ~ej × ~ek︸︷︷︸

~er

Dabei soll ~er ein rechtshandiges Dreibein aufstellen.

Fur Interessierte:Es existiert eine Darstellung des Vektorproduktes mit dem Levi-Civita-Tensor (Anm. des TEX-ers: Im Bronstein steht nix dazu).

εijk =

1 i, j, k = 1, 2, 3 und zyklisch vertauschbar−1 i, j, k = 1, 3, 2 und zyklisch vertauschbar0 sonst

~C = ~A× ~B

ci =∑

j,k

εi,j,kAjBk

Einsteinsche SummenkonventionDurch die lineare Transformation x = Ax′ oder auch

x1 = a11x1 + a12x2 + a13x3

x2 = a21x1 + a22x2 + a23x3

x3 = a31x1 + a32x2 + a33x3

wird im Dreidimensionalen eine Koordinatentransformation beschrieben. xj

und x′i sind die Koordinaten ein und desselben Punktes bezogen auf zwei


verschiedene Koordinatensysteme K und K ′. Anstelle der kompletten Aus-drucke kann man auch

x′i =

3∑

j=1

aijxj

oder auch abkurzend nach Einstein

xi = aijxj

schreiben.


Man muß den Begriff schon

wesentlich im Kopfe haben,

den man lernen soll.

Novalis

Kapitel 4

Koordinatensysteme und was

dazugehort

Koordinatensysteme konnen das Rechnen extrem erleichtern. Die ”Welt“ist eben nicht immer ein Kasten, also ist das kartesische (rechtwinklige)Koordinatensystem nicht immer optimal.

Alternativen sind:

- Polarkoordinaten

- Zylinderkoordinaten

- Kugelkoordinatenx

y

z

4.1 Polarkoordinaten

Definition 8 (Polarkoordinaten) Polarkoordinaten sind ein Tupel (r, ϕ),wobei r die Abstandskoordinate ist. Sie gibt den Abstand des Punktes P vomKoordinatenursprung an und ϕ ist der Winkel zwischen dem Koordinatenur-sprung 0 und dem zum Punkt P gerichteten Radiusvektor und der positivenx-Achse.

41

42KAPITEL 4. KOORDINATENSYSTEME UND WAS DAZUGEHORT

x

x

yr

Py

Polarkoordinaten (r, ϕ)eines Punktes (x, y)

r ist per Definition immer positiv. ϕ wird gegen den Uhrzeigersinn posi-tiv gezahlt und im Uhrzeigersinn negativ. Das Polarkoordinatensystem istkrummlinig. Die Koordinatenlinien bestehen aus konzentrischen Kreisen umden Ursprung (ϕ-Linien) und Strahlen, die radial vom Ursprung nach außenverlaufen (r-Linien). Im Punkt r=0 gibt es eine Singularitat, das heißt hierist ϕ nicht definiert.

yconst

−Linie

(r−Linie)

x

r const

Ebenes Polarko-ordinatensystem

4.1.1 Koordinatentransformation

Kartesisch −→ Polar

x = r cos ϕ

y = r sinϕ

Polar −→ Kartesisch

r =√

x2 + y2

tan ϕ =y

x

4.1.2 Darstellung eines Vektors in Polarkoordinaten

Erinnerung an kartesische Koordinaten

4.1. POLARKOORDINATEN 43

x

y

~A = Ax~ex + Ay~ey

~ex und ~ey sind Einheitsvektoren in Richtung der x- beziehungsweise y-Achse.Ax und Ay sind die Projektionen des Vektors auf die Einheitsvektoren. EineVereinbarung ist, daß die Vektorkoordinate positiv wird, wenn der Projek-tionsvektor die gleiche Richtung hat wie der Einheitsvektor, ansonsten ne-gativ.

Wie lauten die Einheitsvektoren ~er und ~eϕ in Polarkoordinaten?

x

yr−Linie

sin

−sin cos

−Linier

cos

~er = cos ϕ ~ex + sinϕ ~ey

~eϕ = − sinϕ ~ex+cosϕ ~ey

~er und ~eϕ verandern sich von Punkt zu Punkt. Die Ausnahme ist eine Be-wegung langs eines r-Strahles (ϕ = const). Also ganz im Gegensatz zu kar-tesischen Koordinaten, bei denen ~ex und ~ey stets konstant bleiben.Eine andere Schreibweise fur die Polarkoordinaten ist auch:

~er =

(

cos ϕ

sinϕ

)

~eϕ =

(

− sinϕ

cos ϕ

)

Sie sind orthogonal, denn

~er · ~eϕ = − cos ϕ sinϕ + sinϕ cos ϕ = 0


Daraus kann man eine Transformationsmatrix A berechnen:(

~er

~eϕ

)

=

(

cos ϕ sinϕ− sinϕ cosϕ

)

︸︷︷︸

A

(

~ex

~ey

)

= A

(

~ex

~ey

)

Det A =

∣∣∣∣∣

cos ϕ sinϕ− sinϕ cos ϕ

∣∣∣∣∣= cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1

Dies bedeutet, daß A orthogonal ist. Die Transformationsmatrix entsprichteiner Drehung der Ebenen des x-y-Koordinatensystems um den Winkel ϕ.

Physikalische AnwendungErinnerung an den Ortsvektor ~r(t) = r(t) · ~er. Das Differential in kartesi-

schen Koordinaten lautet:

~A = Ax~ex + Ay~ey + Az~ez

Fur die Ableitungen der Einheitsvektoren gilt:

~ex = ~ey = ~ez = 0

Geschwindigkeit in Polarkoordinaten:

~v(t) = ~r(t) = r~er + r~er

Wie lautet ~er?~er = cos ϕ~ex + sinϕ~ey

~er = −ϕ sinϕ~ex + ϕ cos ϕ~ey = ϕ (− sinϕ~ex + cos ϕ~ey)︸︷︷︸

~eϕ

= ϕ~eϕ

Also ist die Geschwindigkeit in Polarkoordinaten:

~v(t) = r~er + rϕ~eϕ

~eϕ = −ϕ cos ϕ~ex − ϕ sinϕ~eϕ = −ϕ~er

Damit kann man wiederum die Beschleunigung in Polarkoordi-naten ausrechnen:

~a(t) = ar~er + aϕ~eϕ = ~v(t)

Dabei ist

- die Zentripetalbeschleunigung

ar = r − rϕ2

4.2. ZYLINDERKOORDINATEN 45

- die Coriolisbeschleunigung

aϕ = 2rϕ + rϕ

Beispiel:Gleichformige Kreisbewegung mit

r = R = const r = 0 r = 0ϕ = ωt ϕ = ω = const ϕ = 0

⇓

~v = ωR~eϕ Tangentialkomponente~a = −ω2R~er Normalkomponente

4.2 Zylinderkoordinaten

z

Zylinderkoordinaten verwendet man vorzugsweise beiraumlichen Problemen mit Axial-, Zylinder- oder Ro-tationssymmetrie. Sie bestehen aus den Polarkoordi-naten % und ϕ in der (x-z-Ebene) und der kartesischenHohenkoordinate z.

Wichtig:

% ≥ 00 ≤ ϕ ≤ 2π

−∞ < z < ∞

x

P

y

z

P(x,y,z)

y

P

x

yx

z



Kartesische → Zylinder

x = % · cos ϕ

y = % · sinϕ

z = y

Zylinder → Kartesische

% =√

x2 + y2

tan ϕ =y

xz = z

4.2.2 Koordinatenflachen

Sie entstehen, wenn jeweils eine der drei Zylinderkoordinaten festgehaltenwerden:

% = const Zylindermantelϕ = const Halbebene durch die z-Achsez = const Parallelebene zur x-y-Achse in der Hohe von z

y

x

z

=const

z

x

y

=const

x

y

z z=const

4.2.3 Koordinatenlinien

%, z = const Halbgerade senkrecht zur z-Achse (%-Linie % ≥ 0)ϕ, z = const Kreis um die z-Achse parallel zur x-y-Ebene (ϕ− Linie)z, ϕ=const Mantellinie des Zylinders (z-Linie)

x

y

z

P−Linie

−Linie

z−Linie

4.2. ZYLINDERKOORDINATEN 47

4.2.4 Linien- Flachen- und Volumenelemente

• LinienelementDas Zylinderelement ist die geradlinige Verbindung zweier differentiellbenachbarter Punkte, die sich in ihren Zylinderkoordinaten der Reihenach um d%, dϕ und dz verandern. Seine Lange ist:

ds =√

(d%)2 + %2(dϕ)2 + (dz)2

• Flachenelement

d

z

x

y

dz

dAd

Das Flachenelement entsprichteinem Rechteck mit den Seiten%dϕ und dz und besitzt denFlacheninhalt:

dA = %dϕdz

• VolumenelementdV = %d%dϕdz

4.2.5 Useful Stuff

~e 2 = 1 =⇒ d

dt~e 2 = 0 = 2~e ~e =⇒ ~e ⊥ ~e

1. Der Ortsvektor in Zylinderkoordinaten ist:

~r(t) = %~e% + ϕ~eϕ + z~ez

2. Sowie der Geschwindigkeitsvektor in Zylinderkoordinaten:

~v(t) = %~e% + %ϕ~eϕ + z~ez

3. Zur Beschleunigung:

~a(t) = a%~e% + aϕ~eϕ + az~ez

a% = %− %~ϕ2

aϕ = %ϕ− 2%ϕ

az = z


4.3 Kugelkoordinaten

z

x

yx

y

rP

z

Die Kugelkoordinaten r, ϑ und ϕ einesRaumpunktes P bestehen aus einer Ab-standskoordinate r und zwei Winkelkoor-dinaten ϑ und ϕ.ϑ ist hierbei der Polabstand.


Kartesische → Kugel

x = r · sinϑ · cos ϕ

y = r · sinϑ · sinϕ

z = r · cos ·ϑ

Kugel → Kartesische

r =√

x2 + y2 + z2

ϑ = arccos

(z

r

)

= arccos

(

z√

x2 + y2 + z2

)

tanϕ =y

x

4.3.2 Koordinatenflachen

Sie entstehen, genau wie bei den Zylinderkoordinaten, wenn jeweils eine derdrei Kugelkoordinaten festgehalten werden:

r = const Kugeloberflache

ϑ = const Mantelfache eines Kegels (Kegelspitze, Offnungswinkel )2ϑϕ = const Halbebene durch die z-Achse

z

y

x

r

r=const

x

y

z

=const

=const

z

y

x

4.3. KUGELKOORDINATEN 49

4.3.3 Koordinatenlinien

Koordinatenlinien entstehen, wieder wie bei den Zylinderkoordinaten, wennjeweils zwei der drei Kugelkoordinaten festgehalten werden. Sie sind somitSchnittkurven zweier Koordinatenflachen:

ϑ, ϕ = const radialer Strahl vom Ursprung (r-Linie)r, ϑ = const Breitenkreis mit Radius r · sinϑ (ϕ-Linie)r, ϕ = const Langenkreis (ϑ-Linie)

x

y

zr−Linie

x

y

z −Linie

x

y

z−Linie

4.3.4 Flachen-, Linien- und Volumenelement

• Flachenelement

z

x

r sin d r sin d

y

dA

r

dr sin

r d

d

Flachenelement dA auf derKugeloberflache:

dA = r2 · sinϑ dϑdϕ

• Linienelement ds

ds =√

(ds)2 + r2(dϑ)2 + r2 · sin2 ϑ(dϕ)2

• Volumenelement dV

z

xy

dr

dAdV

d

rdV = dA · dr

= r2 · sinϑ drdϑdϕ


4.3.5 Useful Stuff

~er = ϑ~eϑ + ϕ · sinϑ · ~eϕ

~eϑ = −ϑ~er + ϕ · cos ϑ · ~eϕ

~eϕ = −ϕ sinϑ~er − ϕ · cos ϑ · ~eϑ

~r = r · ~er + ϑ~eϑ + ϕ~eϕ

~v = r~er + rϑ~eϑ + r · sinϑϕ~eϕ

~a = (r − rϑ2 − rϕ2 · sin2 ϑ)~er

+ (rϑ− 2rϑ− rϕ2 sinϑ cos ϑ)~eϑ

+ (rϕ sinϑ + 2rϕ sinϑ + 2rϑϕ cos ϑ)~eϕ

Hinter jeder Ecke lauern ein

paar Richtungen.Stanislaw Lec

Kapitel 5

Skalar- und Vektorfelder

5.1 Motivation und Definitionen

Physikalische Großen sind im Raum R3 definiert, das heißt also als Funktionvon ~r und eventuell von t. Dies fuhrt uns zum Begriff des Feldes.

5.1.1 Skalarfelder

Definition 9 (Skalarfeld) Ein Skalarfeld ordnet den Punkten eines ebe-nen oder raumlichen Bereiches in eindeutiger Weise einen Skalar zu.

Φ = Φ(P ) = Φ(x, y) ebenes SkalarfeldΦ = Φ(P ) = Φ(x, y, z) raumliches Skalarfeld

Beispiele:

Temperatur T (~r, t)Dichte %(~r)

Flachen im Raum, auf der das Skalarfeld einen konstanten Wert annimmtheißen Niveauflachen:

Φ(x, y, z) = const Aquipotentialflachen

5.1.2 Vektorfelder

Definition 10 (Vektorfeld) Ein Vektorfeld ordnet den Punkten eines ebe-nen oder raumlichen Bereiches in eindeutiger Weise einen Vektor zu.

51

52 KAPITEL 5. SKALAR- UND VEKTORFELDER

• ebenes Vektorfeld:

~F (x, y) = Fx(x, y)~ex

+ Fy(x, y)~ey

=

(

Fx(x, y)Fy(x, y)

)

y

x x

y

P

• raumliches Vektorfeld:

~F (x, y, z) =

Fx(x, y, z)~ex + Fy(x, y, z)~ey + Fz(x, y, z)~ez =

Fx(x, y, z)Fy(x, y, z)Fz(x, y, z)

Beispiele:

- Kraftfelder ~F (~r)- Geschwindigkeitsfeld einer Flussigkeit ~v(~r, t)

5.1.3 Feldlinien

Das Vektorfeld lasst sich durch Feldlinien sehr anschaulich darstellen. Feld-linien sind Kurven, die in jedem Punkt P durch den dortigen Feldvektor~F (P ) tangiert werden.

Definition 11 (Feldlinie)

!"#$%

Feldlinie

P~F × ~r = 0 oder ~F × d~r = 0

Der Feldvektor ~F (p) verlauft parallel zumTangentenvektor ~r der Feldlinie

&')(+* ,-./

P

5.2. SPEZIELLE VEKTORFELDER AUS DER PHYSIK 53

Beispiel:

x

y

Die Feldlinien des ebenen Vektorfeldes~A1(x, y) = x~ex + y~ey = ~r sind radialnach außen gerichtet, die des Vektorfeldes~A2(x, y) = −x~ex − y~ey = −~r radial nachinnen.

5.2 Spezielle Vektorfelder aus der Physik

5.2.1 Homogenes Vektorfeld

Dies ist ein Vektorfeld, dessen Feldvektoren ~F in jedem Punkt die gleicheRichtung und den gleichen Betrag haben:

~F =−−−→const

Beispiel:Elektrisches Feld in einem geladenen Plattenkondensator. ~E hat in jedemPunkt die gleiche Richtung und den gleichen Betrag:

~E(P ) = 0~ex + E0~ey + 0~ez

E0 = const

5.2.2 Kugelsymmetrisches Vektorfeld

Zwei Bedingungen mussen fur kugelsymmetrische Vektorfelder gelten:

1. Die Feldvektoren zeigen in jedem Punkt des Feldes radialnach außen oder radial nach innen.

2. Der Betrag des Vektorfeldes hangt nur vom Abstand r vomKoordinatenursprung ab.

Ein kugelsymmetrisches Vektorfeld hat die Form:

~F (P ) = f(r)~er = f(r) ~r|~r| = f(r)

r~r

~er = ~r|~r| = ~r

r


~er ist der nach außen gerichtete Einheitsvektor.

Beispiel:

Erde

Gravitationsfeld der Erde.

~F (P ) = −GMErdem

r2~er

= −GMErdem

r2

~r

r

5.3 Linien- oder Kurvenintegrale

Physikalische Arbeit, die von einer Kraft oder einem Kraftfeld verrichtetwird.

1. Verschiebung langs einer Geraden durch eine konstante Kraft

W = ~F · ~s= F · s · cos ϕ

2. Verschiebung langs einer Geraden durch eine ortsabhangige Kraft.

s s+ds

sd

Die Einwirkung der Kraft ist ortsabhangig ~F = ~F (s). Also:Zerlegung des geradlinigen Wegstuckes in kleine Wegelemente; langseines Wegelements kann dann die einwirkende Kraft als nahezu kon-stant betrachtet werden. Fur eine infinitesimal kleine Verschiebung umd~s gilt deshalb:

dW = ~F (s) · d~s = Fs(s)ds

Fs ist die Kraftkomponente in Wegrichtung.

Dies fuhrt zum Arbeitsintegral:

W =

s2∫

s1

dW =

s2∫

s1

~F (s) · d~s =

s2∫

s1

Fs(s) ds

5.3. LINIEN- ODER KURVENINTEGRALE 55

Der allgemeine Fall ist die Verschiebung eines Massenpunktes langs einerKurve C mit dem Ortsvektor ~r(t) in einem ebenen Kraftfeld ~F (x, y) von P1

nach P2. (Zeit: t1 ≤ t ≤ t2) – Welche Arbeit wird dabei verrichtet?

C

P

Die Kraft variiert langs von C. Deshalb zerlegt man die Bewe-gung in Wegelemente d~r:

dW = ~F · d~r =

(

Fx(x, y)Fy(x, y)

)

·(

dxdy

)

=

= Fx(x, y) dx + Fy(x, y) dy

W =∫

C

dW =∫

C

~F · d~r =∫

C

(Fx(x, y) dx + Fy(x, y) dy)

mit

~r =d~r

dtund d~r = ~rdt =

(

x(t)

y(t)

)

dt

ergibt sich aus dem Kurvenintegral∫

C

~F · d~r ein gewohnliches

Integral:

W =∫

C

~F · d~r =t2∫

t1

(

~F · ~r)

dt =

=t2∫

t1

[Fx(x, y) · x(t) + Fy(x, y) · y(t)] dt

Definition 12 (Kurven- oder Linienintegral)

∫

C

~F · d~r =

t2∫

t1

(

~F · ~r)

dt ~F (x, y) ist Vektorfeld


Diese Definition laßt sich fur skalare Funktionen noch umformulieren:Wenn f(~r) eine skalare Funktion ist und das Wegelement einer Kurve:

ds = |d~s| =√(

dx

du

)2

+

(dy

du

)2

+

(dz

du

)2

du =ds

dudu

wobei u ein Parameter ist, so laßt sich das Kurvenintegral auch folgender-maßen formulieren:

∫

C

f (~r) ds =b∫

af (~r) ds

dudu =

b∫

af (~r(u))

√(

dxdu

)2+(

dydu

)2+(

dzdu

)2du

Achtung!Der Weg des Linienintegrals hangt nicht nur vom Anfangs- und Endpunktdes Integrationsweges, sondern auch noch vom eingeschlagenen Verbindungs-weg ab.

Anmerkungen:

• Kurvenintegral im Dreidimensionalen:

∫

C

Fxdx + Fydy + Fydz =

t2∫

t1

(Fxx + Fyy + Fz z) dt

• Wird der Integrationsweg C umgekehrt durchlaufen, andert sich dasVorzeichen: ∫

−C

~F d~r = −∫

C

~Fd~r

• Die Schreibweise fur das geschlossene Kurvenintegral ist:

∮

• Ebenes ProblemHaufig ist der Integrationsweg als explizite Funktionsgleichung gege-ben, das heißt in der Form y = f(x). Die Berechnung des Linieninte-grals erfolgt dann in zwei Schritten:

1. Schritt:Lose f(x)

dy = f ′(x)dx


2. Schritt:

∫

C

~F · d~r =

∫

C

(Fxdx + Fydy) = (5.1)

x2∫

x1

[Fx(x, f(x)) + Fy(x, f(x)) · f ′(x))

]dx (5.2)

5.3.1 Beispiele

1. Halbkreisbogen

x

y

• Berechnung in kartesischen Koordinaten

x = R cos u

y = R sin u

0 ≤ u ≤ π

⇒ dxdu = −R sinu

⇒ dydu

= R cosu

Aus f(x, y) = 1 =⇒ x2 + y2 = 1. Also ist:

ds

du=

√

R2 sin2 u + R2 cos2 u = R

Umgeformt nach ds und eingesetzt in die allgemeine Gleichungergibt sich dann:

l =

π∫

0

ds = R

π∫

0

du = πR

• Berechnung in ebenen Polarkoordinaten

d~r = dr ~er + r dϕ ~eϕ

ds =

√(

dr

du

)2

+ r2

(dϕ

du

)2

r = Rϕ = u

dr

du= 0

dϕ

du= 1

l =

π∫

0

R du = πR


Man sieht also, daß es sich am einfachsten in angepaßten Koor-dinatensystemen rechnet.

2. Gegebenes Vektorfeld

~F (x, y, z) =

2x + y2

x2yzx + z

Aufgabe:Integration langs der Kurve C, die durch

~r(t) =

tt2

t

0 ≤ t ≤ 1

beschrieben wird.

Losung:Die Komponenten von ~r(t) sind

x = t y = t2 z = t

und die Ableitung ~r(t) ist

~r =

12t1

und ~r(t) eingesezt in ~F (x, y, z) ist

~F =

2t + t4

t5

2t

sowie

~F · ~r = 2t6 + t4 + 4t

Damit wird das Integral:

∫

C

(

~F · ~r)

dt =

1∫

0

(

2t6 + t4 + 4t)

dt =87

35


3. Gegebenes Integral

P=(1,1)

0 1 x

1y

∫

C

(

xy2dx + xydy)

Verbindungswege von 0 = (0, 0)zu P = (1, 1).

(a) Integrationsweg C1: y=x, 0 ≤ x ≤ 1

dy

dx= 1⇒ dy = dx

∫

C1

(

xy2dx + xy dy)

=

1∫

0

(

x · x2dx + x · x dx)

=

1∫

0

(

x3 + x2)

dx

=1

4x4 +

1

3x3

∣∣∣∣

1

0=

7

12

(b) Integrationsweg C2: y = x3, 0 ≤ x ≤ 1

dy

dx= 3x2 ⇒ dy = 3x2dx

⇒ . . .

∫

C2

=31

56

(c) Integrationsweg C3 = C∗3 + C∗∗

3

Also ein zusammengesetzter Integrationsweg.

i. C3 mit 0 ≤ y ≤ 1:

x = 0⇒ dx = 0⇒∫

C∗

3

= 0

ii. C∗∗3 von Q→ P , also 0 ≤ x ≤ 1:

y = 1⇒ dy = 0 . . .→∫

C∗∗

3

. . . =1

2

In diesem Beispiel hangt das Linienintegral nicht nur vom Anfangs-und Endpunkt, sondern auch vom eingeschlagenen Weg ab. Ergo: DreiIntegrationswege fuhren in manchen Fallen zu drei Werten.


5.4 Konservative Krafte und Gradienten

1. Ubergang vom Zeitintegral zum Impuls

t∫

t0

~Fdt =

t∫

t0

md2~r

dt2dt = m

d~r

dt

∣∣∣∣t

−md~r

dt

∣∣∣∣t0

= ~p− ~p0

2. Ubergang vom Wegintegral zur EnergieDie Energie ist definitionsgemaß:

W =

~r1∫

~r0

~Fd~r

Und die Kraft ist:

~F = md2~r

dt2=⇒ d~r =

d~r

dtdt

Ineinander eingesetzt ergibt dann die kinetische Energie:

W =

t1∫

t0

md2~r

dt2· d~rdt

dt =

t1∫

t0

d

[

1

2m

(d~r

dt

)2]

=1

2m(

v21 − v2

0

)

Das heißt eine Kraft, die stets senkrecht auf der Bahn steht kann keine Ar-beit leisten, also auch keine Anderung der kinetischen Energie hervorrufen.Solche Krafte konnen die Richtung der Geschwindigkeit andern, nicht jedochderen Betrag!

Was ist die Physik des Integrals?

∮

C

~F · d~r ? C

5.4.1 Partielle Differentiation

Zur Erinnerung:

d f(x0)

dx= f ′(x0) = lim

∆x→0

f(x0 + ∆x)− f(x0)

∆x

Wird eine Funktion partiell abgeleitet, so bedeutet dies:

∂f

∂x= lim

∆x→0

f(x + ∆x, y)− f(x, y)

∆x

∂f

∂y= lim

∆y→0

f(x, y + ∆y)− f(x, y)

∆y

5.4. KONSERVATIVE KRAFTE UND GRADIENTEN 61

Die partielle Differentiation wird auf eine gewohnliche Differentiation, dasheißt auf die Differentiation einer Funktion einer Variablen zuruckgefuhrt.Alle unabhangigen Variablen, bis auf die Differentiationsvariable (das ist dieVariable, nach der differenziert wird) werden als konstante Großen betrach-tet.

Beispiel:

z = f(x, y) = −4x3y2 + 3xy4 − 3x + 2y + 5

∂f

∂x= −12x2y2 + 3y4 − 3

∂f

∂y= −8x3y + 12xy3 + 2

5.4.2 Produktregel

z = f(x, y) = u(x, y) · v(x, y) = u · v

∂z

∂x=

∂f

∂x=

∂u

∂xv + u

∂v

∂x

∂z

∂y=

∂f

∂y=

∂u

∂yv + u

∂v

∂y

5.4.3 Kettenregel

Hier die Kettenregel fur Funktionen mit zwei Parametern.

z = f(x, y) außere Funktion

x = x(u, v) ∧ y = y(u, v) innere Funktion

=⇒ z = f(x(u, v), y(u, v))

∂z

∂u=

∂z

∂x· ∂x

∂u+

∂z

∂y· ∂y

∂u

∂z

∂v=

∂z

∂x· ∂x

∂v+

∂z

∂y· ∂y

∂v

Beispiel:Bei einer Rakete ist die Masse eine Funktion der Zeit, da sich de-ren Masse durch Verbrauch von Treibstoff verringert. Der Impulshat nur eine Komponente und ist deshalb als Skalar darstellbar:

p = mv


Er setzt sich also aus zwei zeitabhangigen Grossen zusammen,der Masse und der Geschwindigkeit. Die Kettenregel ergibt:

F =dp

dt=

∂p

∂m

dm

dt+

∂p

∂v

dv

dt= vm + mv

= vm + ma

Und fur m = 0 ergibt sich F = ma.

5.5 Das totale Differential

Hier gibt’s nur die Definition:

z = f(x, y)

dz =∂f

∂xdx +

∂f

∂ydy

5.5.1 Gradient eines skalaren Feldes

Die partiellen Ableitungen erster Ordnung einer differenzierbaren FunktionΦ(x, y, z) ermoglichen Aussagen uber die Anderungen des FunktionswertesΦ, wenn man von einem Punkt P aus in Richtung der betreffenden Koordi-natenachsen fortschreitet.

Definition 13 (Gradient) Der Gradient ist folgendermaßen definiert:

grad Φ =∂Φ

∂x~ex +

∂Φ

∂y~ey +

∂Φ

∂z~ez

Der Gradient eines Skalars ist ein Vektor.Der Gradient eines Skalarfeldes steht in jedem Punkt P senkrecht auf derdurch P verlaufenden Niveaulinie.

Niveaulinie=const

grad

0

P

Beweis:Das totale Differential ist:

dΦ =∂Φ

∂xdx +

∂Φ

∂ydy = gradΦ · d~r

auf Niveaulinien gilt:

dΦ = 0

⇒ grad Φ · d~r = 0⇒ Der Gradient eines Skalarfeldes ist

stets senkrecht zu den Niveau-linien dieses Feldes.

5.5. DAS TOTALE DIFFERENTIAL 63

Der Gradient zeigt immer in Richtung des großten Zuwachses von Φ(x, y).Fur raumliche Felder gilt eine entsprechende Definition, hier gibt es nurnoch eine “Abkurzung”, den Nabla-Operator (Anm.: Dieses Ding scheintstudienbegleitend zu sein!).

Definition 14 (Nabla-Operator)

~∇ =

∂∂x

∂∂y

∂∂z

grad Φ = ~∇Φ =∂Φ

∂x~ex +

∂Φ

∂y~ey +

∂Φ

∂z~ez

Das Produkt des Nabla-Operators mit einem Skalarfeld steht also immersenkrecht auf Φ und zeigt in Richtung des starksten Zuwachses von Φ

Der Gradient steht immer senkrecht auf den Niveaulinien.

Beispiel: Berechnung der Niveaulinien und des Gradienten desebenen Skalarfeldes

Φ(x, y) = x2 + y2

Die Niveaulinien sind konstant:

Φ = const = C

Was bildlich bedeutet: DieNiveaulinien sind konzentri-sche Kreise um den Koordi-natenursprung mit den Radi-en r =

√C

y

x

Niveaulinie

x2 + y2 = const = C C > 0

~∇Φ = 2x~ex + 2y~ey = 2

(

xy

)

= 2~r

Der Gradient ist radial nach außen gerichtet und steht senkrechtauf den Niveaulinien.


x

y

Niveaulinie(Kreis)

grad =2

5.5.2 Rechenregeln fur Gradienten

Im weiteren sind Φ und Ψ skalare Felder, C eine Konstante.

~∇C = ~0

~∇(C · Φ) = C ~∇ · Φ~∇(Φ + Ψ) = ~∇Φ + ~∇Ψ

~∇(Φ + C) = ~∇Φ

~∇(Φ ·Ψ) = Φ~∇Ψ + Ψ~∇Φ

5.5.3 Richtungsableitung

Gesucht:Anderung des Funktionswertes einer skalaren Funktion Φ, wenn man vomPunkt P aus in eine bestimmte Richtung fortschreitet. ~a ist der Richtungs-vektor, definitionsgemaß in Fortschreiterichtung.

Niveaulinie=const

Tangente in PP

~a Richtungsvektor

def.: Fortschreiterichtung

~ea =~a

|~a|

Definition 15 (Richtungsableitung)

∂Φ

∂~a= ~∇Φ · ~ea =

1

|~a|~∇Φ · ~a

Die Richtungsableitung ist ein Skalar!

5.5. DAS TOTALE DIFFERENTIAL 65

5.5.4 Kurvenintegral eines konservativen Kraftfeldes

Was sind die Bedingungen, unter denen der Wert eines Kurvenintegrals nurvom Anfangs- und Endpunkt, nicht aber vom eingeschlagenen Verbindungs-weg der beiden Punkte abhangt?

Ein Kurvenintegral

∫

C

~Fd~r =

∫

C

(Fx(x, y)dx + Fy(x, y)dy)

ist wegunabhangig, wenn

~F · d~r = Fxdx + Fydy

das totale Differential dΦ einer ortsabhangigen Funktion Φ(P ) = Φ(x, y)darstellt:

dΦ = Fxdx + Fydy =∂Φ

∂xdx +

∂Φ

∂ydy

Dann gilt namlich:

∫

C

~Fd~r =

∫

C

(Fxdx + Fydy)

=

∫

C

[∂Φ

∂xdx +

∂Φ

∂ydy

]

P2∫

P1

dΦ = Φ(P )|P2

P1

= Φ(P2)− Φ(P1)

= Φ(x2, y2)− Φ(x1, y1)

hangt nur vom Anfangspunkt P1 und Endpunkt P2 ab!

Definition 16 (Konservatives Vektorfeld) Ein Vektorfeld ~F heißt kon-servativ oder ein Potentialfeld, wenn das Kurvenintegral

∫

C

~Fd~r

nur vom Anfangs- und Endpunkt, nicht aber vom eingeschlagenen Verbin-dungsweg C der beiden Punkte abhangt.

Woran kann man aber erkennen, ob ein vorgegebenes, ebenes Vektorfeld~F (x, y) mit den skalaren Komponenten Fx(x, y) und Fy(x, y) konservativ


ist oder nicht? – Falls ~F (x, y) konservativ ist, das heißt ein Potentialfeld istund Φ(x, y) die zugehorige Potentialfunktion, so gilt jedenfalls

Fx =∂Φ

∂x∧ Fy =

∂Φ

∂y

oder auch~F (x, y) = ~∇Φ

was der Darstellung eines Vektorfeldes als Gradient eines Potentials ent-spricht. Noch mal zur Verdeutlichung:

Wegunabhangigkeit eines Kurvenintegrals bedeutet, daß das Vek-torfeld als Gradient einer Potentialfunktion darstellbar ist.

Definition 17 (Satz von Schwarz) Partielle Ableitungen hoherer Ordnungwerden nach dem Satz von Schwarz gebildet:

∂

∂x

∂f

∂x=

∂2f

∂x2

∂

∂y

∂f

∂x=

∂2f

∂x∂y=

∂2f

∂y∂x

Mit dem Satz von Schwarz gilt dann

∂2Φ

∂x∂y=

∂2Φ

∂y∂x

und somit∂Fx

∂y=

∂Fy

∂x

Diese Bedingung ist notwendig und hinreichend fur die Wegunabhangig-keit eines Kurvenintegrals vom Typ

∫

C

~F · d~r.Fur ein raumliches Vektorfeld

ergeben sich analoge Beziehungen:

∂Fx

∂y=

∂Fy

∂x

∂Fx

∂z=

∂Fz

∂x

∂Fy

∂z=

∂Fz

∂y

5.5.5 Die Rotation

Im Falle der Wegunabhangigkeit verschwindet das Kurvenintegral langs ei-ner geschloßenen Kurve, denn

∮

~Fd~r =

∫

C1

~Fd~r +

∫

C2

~Fd~r

=

∫

C1

~Fd~r −∫

−C2

~Fd~r = 0

−

5.6. ZUSAMMENFASSUNG: KONSERVATIVE KRAFTFELDER 67

5.6 Zusammenfassung: konservative Kraftfelder

1. Das Kurvenintegral∫

C

~F · d~r langs einer Kurve C die zwei beliebige

Punkte P1 und P2 verbindet ist unabhangig vom eingeschlagenen Ver-bindungsweg.

2.∮

~F · d~r = 0

3.

~F = ~∇Φ

4.

∂Fx

∂y=

∂Fy

∂x

∂Fx

∂z=

∂Fz

∂x

∂Fy

∂z=

∂Fz

∂y

oder auch~∇× ~F = ~0

Letzteres ist ein kleiner Vorgriff.

5. Totales Differential~F · d~r = dΦ

5.6.1 Physikalische Beispiele

Fur konservative Kraftfelder gilt bekanntermaßen :∮

~Fd~s = 0

Und das bedeutet fur die Energie:

Epot (~r) = u (~r, ~r0) = −~r∫

~r0

~F · d~s =

~r0∫

~r

~F · d~s

sie ist nur abhangig vom Bezugspunkt ~r0 und dem Endpunkt ~r. Bei einemWechsel des Bezugspunktes passiert folgendes:

u(~r, ~r′0

)= −

~r0∫

~r′0

~Fd~s

︸︷︷︸

u(~r0,~r′0)=const

−~r∫

~r0

~F · d~s = u (~r, ~r0) + const

Will heißen: Die potentielle Energie ist bis auf eine Konstante definiert.=⇒ ~r0 kann man bequem wahlen.


1. Zentralkraftfeld ~F = f(r)~er

W =

∫

~F · d~s =

r1∫

r0

f(r)dr

=⇒Wegunabhangigkeit. Zentralkraftfelder sind immer konservativ.

2. GravitationDas Gravitationspotential ist:

~F = −GmM

r2~er

Somit ist das Linienintegral:

u (~r, ~r0) = u(r, r0) = −(−GmM)

r∫

r0

dr′

r′2= −GmM

1

r

∣∣∣∣

r

r0

↑r0 = 0 nicht moglich

bequem r0 =∞

Man sollte folgendes Integral kennen (Anm.: Vermutlich steht’s auchim “Bronstein”):

∫dx

xn= − 1

(n− 1)xn−1

Und damit wird u (~r, ~r0) zu:

u (r,∞) = ugrav(r) = −GmM

r

U r

~F = −~∇u

Konservativ!

(a) Potential auf der Erdoberflache

Man nimmt an, die Kraft au-ßerhalb der Erde ware so, alsob die Gesamtmasse im Mit-telpunkt der Erde vereinigtwerde. Der Bezugspunkt istdie Erdoberflache.

R=6000km

z<<R


u(z + R,R) = − GmM

r

∣∣∣∣

z+R

R

= −GmM

(1

z + R− 1

R

)

(b) Entwicklung

1

z + R=

1

R

1

1 + zR

=1

R

(

1− z

R+

(z

R

)2

− . . .

)

≈ 1

R− z

R2

1

1− x= 1 + x + x2 + x3 + . . . + xn − 1 < x < 1

Also ist

u(z + R,R) = −GmM

(1

R− z

R2− 1

R

)

= mGM

r2z

Man kann nun einen Vergleich mit der nahe der Erde gultigen Formelder konstanten Schwerebeschleunigung g ziehen:

~F = −mg~ez

u(z, z0 = 0) = −z∫

0

~Fd~s = mGM

r2z

Der Zusammenhang besteht also in der Konstante:

g = GMR2

Dies ist ein lineares Potential!z

U(z)

3. Federkraft oder harmonische Kraft


Beide sind Zentralkrafte mit der Feder-konstanten k in der Form:

~F = −k~r = −kr~er

u(r, r0) = k

r∫

r0

r′dr′ =k

2r′2∣∣∣∣

r

r0=0=

k

2r2

Das “Oszillatorpotential” wird spaterbeim harmonischen Oszillator wichtig.

u(r)

r

4. Rechnerisches BeispielGegeben ist ein ebenes Vektorfeld

~F (x, z) = 3x2y~ex + x3~ey

(a) Beweis der Konservativitat

∂Fx

∂y=

∂Fy

∂x

∂Fx

∂y= 3x2

∂Fy

∂x= 3x2

(b) Linienintegral

∫

C

~F · d~r =

P2∫

P1

(

3x2y dx + x3 dy)

ist wegunabhangig


(c) Bestimmung der Potentialfunktion

~F = ~∇Φ

∂Φ

∂x= Fx = 3x2y

∂Φ

∂y= Fy = x3

Φ =

∫∂Φ

∂xdx =

∫

3x2y dx = 3y

∫

x2 dx = x3y + K(y)

Durch die folgende partielle Differentiation erhalt man eine ge-nauere Vorstellung von der Art der Integrationskonstanten K(y)(abhangig von y!):

∂Φ

∂y= x3 + K ′(y) = x3 ⇒ K ′(y) = 0

⇒ K(y) = K0

⇒ Φ(x, y) = x3y + K0

(d) Integrationsweg P1 = (x1, y1) nach P2 = (x2, y2)

∫

C

(

3x2y dx + x3 dy)

=

P2∫

P1

dΦ

= Φ(x, y)|x2,y2

x1,y1

= x3y + K0

∣∣∣

x2,y2

x1,y1

= x32y2 − x3

1y1

5. Energieerhaltung

(a) Im Eindimensionalen

F (x) = mx

mxx = F (x) x

d

dt

(m

2x2)

= − d

dtU(x) (*)

mit

U(x) = −x∫

F (x′)dx′

U(x) ist Stammfunktion der Kraft und bis auf eine Konstante be-stimmt. Die Gleichung (*) liefert bei Integration eine Konstante.Dies ist die Energie E!

E = T + U =m

2x2 + U(x)


Fur konservative Krafte ist E konstant

dE

dt= 0 =

d

dt(T + U) = 0

Das heißt es geht nichts verloren!

(b) Im Dreidimensionalen

m~r~r = ~F · ~r

d

dt

(m

2~r

)

= ~F · ~r

Die Dimension von ~F · ~r ist die einer Leistung also Joulesec = Watt

[Joule] = kgm2

sec2

Im Eindimensionalen war ~F ·~r = − ddt

u (~r) eine reine Ortsfunktionund u (~r) ein Potential.

(c) Energie eines Massenpunktes

E =m

2~r2 + u (~r)

Zerlegung von ~F · ~r in

- konservativen Anteil

∼ d

dtu (~r)

- dissipativen (nicht konservativen) Anteil, also beispielsweiseWarme, Strahlung, . . .

d

dt

(m

2~r2+ u (~r)

)

= ~Fdissipativ · ~r︸︷︷︸

dissipat.Leistung

Definition 18 (Energiesatz (vollstandig)) Die zeitliche Ande-rung der Energie ist gleich der Leistung der dissipativen Krafte.

6. Drehimpuls und Drehmoment

Definition 19 (Drehimpuls) Der Drehimpuls ist

~L = ~r × ~p


MP ~L ist ein axialer Vektor, er definiert eine Ach-

se durch den Drehpunkt, die Drehachse; siesteht senkrecht auf der von ~r und ~p aufge-spannten Ebene.

Definition 20 (Drehmoment) Das Drehmoment ist definiert als

~D = ~r × ~F

d~L

dt= ~D

denn:

~D =d~L

dt

=d

dt(~r ×m~v)

=d~r

dt×m~v + ~r × m · d~v

dt

= ~v ×m~v + ~r × d~p

dt= ~r × ~F

weil ~v ×m~v = ~0 ist, und speziell ~D = ~r × ~F = ~L = ~0 ist, folgt daraus~L = const⇐⇒ Drehimpulserhaltung.

~r × ~F ist aber nur dann Null (ausser fur ~r = ~0, ~F = ~0), wenn ~rund ~F in gleicher oder entgegengesetzter Richtung liegen, das heißtbei Zentralkraftfeldern.

In Zentralkraftfeldern gilt die Drehimpulserhaltung:~L = const

~D = ~L = ~0

Damit haben wir die drei grundlegenden Erhaltungssatze kennengelernt:

• Energieerhaltung

• Impulserhaltung

• Drehimpulserhaltung


5.7 Divergenz und Rotation von Vektorfeldern

5.7.1 Die Divergenz – Quellen und Senken

Beispiel:Stromende Flussigkeit mit dem Geschwindigkeitsfeld:

~v = vx~ex + vy~ey + vz~ez

Die Geschwindigkeitskomponenten sind also ortsabhangig, dasheißt eine Funktion von x,y und z:

vx = vx(x, y, z) vy = vy(x, y, z) vz = vz(x, y, z)

In der Stromung liege ein kleiner Quader, mit den achsenparalle-len Kanten ∆x,∆y und ∆z. Die Quaderflachen seien vollkommendurchlassig.

! #"%$& (')

z

xy

Eintrittsflaeche

Austrittsflaeche

Stromung in y-Richtung.Annahme: vy andert sich kaum entlang ∆y.Die Flussigkeitsmenge (Volumen), die in der sehr kleinen Zeit ∆tdurch die Quaderflachen ein- oder austreten sind gegeben durch:

Eintrittsmenge

vy(x, y, z) ·∆t︸︷︷︸

∆s

·∆x∆z

Austrittsmenge

vy(x, y + ∆y, z)∆t∆x∆z

Austrittsmenge - Eintrittsmenge

[vy(x, y + ∆y, z)− vy(x, y, z)] ∆x∆z∆t

5.7. DIVERGENZ UND ROTATION VON VEKTORFELDERN 75

Pro Zeiteinheit ergibt dies den Uberschuss

[vy(x, y + ∆y, z)− vy(x, y, z)] ∆x∆z

mit dem Quadervolumen ∆V = ∆x∆y∆z

[vy(x, y + ∆y, z)− vy(x, y, z)]

∆y∆x∆y∆z

=⇒ Volumengewinn an Flussigkeit pro Volumen und Zeit

vy(x, y + ∆y, z)− vy(x, y, z)

∆y

Entsprechendes gilt fur vx und vz.

Dies sind Differenzenquotienten!

Ergo gilt mit ∆x→ 0, ∆y → 0 und ∆z → 0:

Volumengewinn an Flussigkeit

∂vx

∂x+ ∂vy

∂y+ ∂vz

∂z= div ~v

~∇ · ~v = ∂vx

∂x+ ∂vy

∂y+ ∂vz

∂z

Die Divergenz ist ein Skalar!

Im Volumenelement dV wird pro Zeit die Flussigkeitsmenge

div ~v · dV = ~∇ · ~v dV

erzeugt oder vernichtet.

div ~v > 0 Abfluß uberwiegt Quellediv ~v < 0 Zufluß uberwiegt Senkediv ~v = 0 Zufluß=Abfluß Quellenfrei

Der Begriff Divergenz stammt aus der Hydrodynamik und bedeutet “Ausein-anderstromen einer Flussigkeit”. Die Feldlinien “entspringen” den Quellenund “enden” in den Senken.

geschlossene Feldlinien ⇐⇒ Quellenfreiheit

Rechenregeln fur Divergenzen


~A und ~B sind Vektorfelder,Φ ist ein Skalarfeld~a ist ein konstanter Vektor undC ist eine Konstante

~∇ · ~a = 0 (∗)~∇ ·

(

Φ ~A)

=(

~∇Φ)

· ~A + Φ~∇ · ~A

~∇ ·(

C ~A)

= C ~∇ · ~A

~∇ ·(

~A + ~B)

= ~∇ · ~A + ~∇ · ~B~∇ ·

(

~A + ~a)

= ~∇ · ~A

(*) Die Divergenz eines konstanten Vektors ist Null.

5.7.2 Rotation eines Vektorfeldes

Definition 21 (Rotation) Ist ~F ein Vektorfeld, so ist seine Rotation:

rot ~F =

(∂Fz

∂y− ∂Fy

∂z

)

~ex

+

(∂Fx

∂z− ∂Fz

∂x

)

~ey

+

(∂Fy

∂x− ∂Fx

∂y

)

~ez

oder auch

rot ~F = ~∇× ~F =

∂∂x

∂∂y

∂∂z

×

Fx

Fy

Fz

=

∂Fz

∂y −∂Fy

∂z

∂Fx

∂z− ∂Fz

∂x

∂Fy

∂x − ∂Fx

∂y

1. Fur ebene Vektorfelder ist:

~F = Fx~ex + Fy~ey

~∇× ~F (x, y) =

(∂Fy

∂x− ∂Fx

∂y

)

~ez

2. Rotation ⇐⇒ Wirbelfeld


3. Wirbelfrei heißt ~∇× ~F = ~0

4. Bedingung fur konservative Kraftfelder ~F ist:

~∇× ~F = ~0

KugelsymmetrieZylindersymmetrie

homogene Vektorfelder

⇐⇒ wirbelfrei

5. Rotation des Ortsvektors verschwindet:

~∇× ~r = ~0

Rechenregeln fur Rotation

~A und ~B sind Vektorfelder,Φ ist ein Skalarfeld~a ist ein konstanter Vektor undC ist eine Konstante

~∇× ~a = ~0

~∇×(

Φ ~A)

= ~∇Φ× ~A + Φ(

~∇× ~A)

~∇×(

C ~A)

= C ~∇× ~A

~∇×(

~A + ~B)

= ~∇× ~A + ~∇× ~B

~∇×(

~A + ~a)

= ~∇× ~A

5.7.3 Mehr Rechenregeln

Es sind wieder:~A und ~B Vektorfelder,Φ und Ψ Skalarfelder~a ein konstanter Vektor und


C eine Konstante

~A · ~B × ~C = ~A× ~B · ~C = ~B · ~C × ~A = ~B × ~C · ~A = ~C · ~A× ~B = ~C × ~A · ~B~A×

(

~B × ~C)

=(

~C × ~B)

× ~A =(

~A · ~C)

~B −(

~A · ~B)

~C

~A×(

~B × ~C)

+ ~B ×(

~C × ~A)

+ ~C ×(

~A× ~B)

= ~0(

~A× ~B)

·(

~C × ~D)

=(

~A · ~C) (

~B · ~D)

−(

~A · ~D) (

~B · ~C)

(

~A× ~B)

×(

~C × ~D)

=(

~A× ~B · ~D)

~C −(

~A× ~B · ~C)

~D

~∇ (ΦΨ) = ~∇ (ΨΦ) = Ψ~∇Φ + Φ~∇Ψ~∇ ·

(

Φ ~A)

= Φ~∇ · ~A + ~A · ~∇Φ

~∇×(

Φ ~A)

= Φ~∇× ~A + ~∇Φ× ~A

~∇ ·(

~A× ~B)

= ~B · ~∇× ~A− ~A · ~∇× ~B

~∇×(

~A× ~B)

= ~A(

~∇ · ~B)

− ~B(

~∇ · ~A)

+(

~B · ~∇)

~A−(

~A · ~∇)

~B

~A×(

~∇× ~B)

=(

~∇ ~B)

· ~A−(

~A · ~∇)

~B

~∇(

~A · ~B)

= ~A×(

~∇× ~B)

+ ~B ×(

~∇× ~A)

+(

~A · ~∇)

~B +(

~B · ~∇)

~A

~∇2Ψ = ~∇ · ~∇Ψ~∇2 ~A = ~∇

(

~∇ · ~A)

− ~∇× ~∇× ~A

~∇× ~∇Ψ = ~0~∇ · ~∇× ~A = 0

Diese Rechenregeln sollte man kennen, nicht auswendig lernen!

5.7.4 Anwendungsbeispiel

Eine dunne, homogene Scheibe rotiere mit konstanter Winkelgeschwindig-keit ~ω = ω0~ez um die Symmetrieachse der Scheibe. Sie wird im Weiteren alsflachenhafter Korper der Dicke Null angenommen.

x

z

y

P

rotierende Scheibe

Ein Teilchen auf der Scheibe mit dem Ortsvektor ~r hat den Geschwindig-keitsvektor:

~v = ~ω × ~r =

00ω0

×

xy0

=

−ω0yω0x0


Anmerkung des TEXers: Der Zusammenhang ~ω × ~r ist rein mathematischkonstruiert.Dieses ebene Geschwindigkeitsfeld ist ein Wirbelfeld, da die Rotation von ~vnicht verschwindet :

~∇× ~v∣∣∣z

=∂vy

∂vx− ∂vx

∂x=

∂

∂x(ω0x)− ∂

∂y(−ω0y) = 2ω0 6= 0

~∇× ~v = 0~ex + 0~ey + 2ω0~ez = 2~ω 6= 0

Die Feldlinien sind konzentrische Kreise sie lassen sich aus ~v × d~r = ~0 be-rechnen:

~v × d~r =

−ω0yω0x0

×

dxdy0

= ω0

−yx0

×

dxdy0

= ω0

00

−y dy − x dx

=

000

Somit gilt:

−y dy − x dx = 0

Uber eine Trennung der Variablen erhalt man den Radius:

∫

y dy = −∫

x dx

1

2y2 = −1

2x2 + C

x2 + y2 = 2C = R2

x

y

=⇒ Radius ist√

2C = R. Dies bedeutetdie Feldlinien sind konzentrische Kreise mit

Radien R =√

C und C > 0.


5.7.5 Spezielle Vektorfelder

Ein Vektorfeld ~F dessen Divergenz verschwindet (~∇· ~F = 0) heißt quellenfrei.Ein Wirbel ~F = ~∇× ~E ist stets quellenfrei ; ergo

~∇ · ~F = ~∇ ·(

~∇× ~E)

= 0

~E ist in komponentenweiser Darstellung:

~E = Ex~ex + Ey~ey + Ez~ez

Damit ist ~∇× ~E:

~∇× ~E =

(∂Ez

∂y− ∂Ey

∂z

)

~ex

+

(∂Ex

∂z− ∂Ez

∂x

)

~ey

+

(∂Ey

∂x− ∂Ex

∂y

)

~ez

Und letztendlich ~∇ ·(

~∇× ~E)

:

~∇ ·(

~∇× ~E)

=∂

∂x

(∂Ez

∂y− ∂Ey

∂z

)

+∂

∂y

(∂Ex

∂z− ∂Ez

∂x

)

+∂

∂z

(∂Ey

∂x− ∂Ex

∂y

)

=

(

∂2Ez

∂y∂x− ∂2Ey

∂z∂x

)

+

(

∂2Ex

∂y∂z− ∂2Ez

∂y∂x

)

+

(

∂2Ey

∂z∂x− ∂2Ex

∂z∂y

)

=

(

∂2Ex

∂z∂y− ∂2Ex

∂y∂z

)

+

(

∂2Ey

∂z∂x− ∂2Ey

∂x∂z

)

=

(

∂2Ez

∂y∂x− ∂2Ez

∂x∂y

)

= 0

Die Reihenfolge der Ableitungen laßt sich ja nach dem Satz von Schwarzbeliebig wahlen; deshalb verschwinden letztendlich alle Komponenten.Umgekehrt lasst sich zeigen, daß ein quellenfreies Vektorfeld stets als Rota-tion eines Vektorfeldes, Vektorpotential genannt, darstellbar ist: ~F = ~∇× ~E.

~∇ · ~F = ~∇ ·(

~∇× ~E)

= 0


Das Vektorpotential ist also immer bis auf den Gradienten einer skalarenFunktion Φ eindeutig bestimmt, denn

~∇×(

~∇Φ)

= ~0

Ein wirbelfreies Feld

~∇× ~F = ~0

lasst sich stets als Gradienteines skalaren Feldes Φ darstellen:

~F = ~∇Φ ⇒ ~∇× ~F = ~0

Zentralfelder, homogene Felder undaxialsymmetrische Felder sind wirbelfrei

⇐⇒ konservativ

5.7.6 Laplace- und Poisson-Gleichung

Fur ein quellenund zugleich wirbelfreies Vektorfeld mussen die folgendenGleichungen erfullt sein:

~∇ · ~F = 0 ∧ ~∇× ~F = ~0

Ein solches Vektorfeld ist wegen der Wirbelfreiheit als Gradient eines skala-ren Feldes Φ darstellbar:

~F = ~∇Φ

Mit ~∇ · ~F = 0:

~∇ ·(

~∇Φ)

= 0

~∇Φ =∂Φ

∂x~ex +

∂Φ

∂y~ey +

∂Φ

∂z~ez

~∇ ·(

~∇Φ)

=∂

∂x

(∂Φ

∂x

)

+∂

∂y

(∂Φ

∂y

)

+∂

∂z

(∂Φ

∂z

)

=

=∂2Φ

∂x2+

∂2Φ

∂y2+

∂2Φ

∂z2

Der letzte Term ist eine sogenannte partielle Differentialgleichung 2.Ord-nung. Diese hangt eng mit dem Laplace-Operator zusammen.

Definition 22 (Laplace-Operator)

∆ =∂2

∂x2+

∂2

∂y2+

∂2

∂z2


Laplace-Gleichung∆Φ = 0

Die Laplace-Gleichung ist ein Sonderfall der allgemeinen Poisson-Gleichung:

∆Φ = f(x, y, z)

5.7.7 Differentialoperatoren und verschiedene Koordinatensyste-

me

1. Polarkoordinaten

• Gradient (Skalarfeld)

~∇Φ(r, ϕ) =∂Φ

∂r~er +

1

r

∂Φ

∂ϕ~eϕ

• Divergenz (Vektorfeld)

~∇ · ~F (r, ϕ) =1

r

∂

∂r(r · Fr) +

1

r

∂Fϕ

∂ϕ

• Rotation (Vektorfeld)~∇× ~F (r, ϕ)

hat nur Komponente in z-Richtung:

[

~∇× ~F (r, ϕ)]

z=

1

r

∂

∂r(r · Fϕ)− 1

r

∂Fr

∂ϕ

• Laplace-Operator

∆Φ(r, ϕ) =∂2Φ

∂r2+

1

r

∂Φ

∂r+

1

r2

∂2Φ

∂ϕ2

2. Zylinderkoordinaten

• SkalarfeldΦ = Φ(%,Ψ, z)

• Vektorfeld

~F = ~F (%,Ψ, z) = F%(%,Ψ, z)~e% +

FΨ(%,Ψ, z)~eΨ +

Fz(%,Ψ, z)~ez

• Gradient

~∇Φ(%,Ψ, z) =∂Φ

∂%~e% +

1

%

∂Φ

∂Ψ~eΨ +

∂Φ

∂z~ez


• Divergenz

~∇ · ~F (%,Ψ, z) =1

%

∂

∂%(% · F%) +

1

%

∂FΨ

∂Ψ+

∂Fz

∂z

• Rotation

~∇× ~F (%,Ψ, z) =

(1

%

∂Fz

∂Ψ− ∂FΨ

∂z

)

~e% +

(∂F%

∂z− ∂Fz

∂%

)

~eΨ

+

(1

%

(∂

∂%(% · FΨ)− ∂F%

∂Ψ

))

~ez


∆Φ =1

%

∂

∂%

(

% · ∂Φ

∂%

)

+1

%2

∂2Φ

∂Ψ2+

∂2Φ

∂z2

• AnmerkungenEin zylindersymmetrisches Vektorfeld vom Typ ~F = f(%)~e% iststets wirbelfrei, aber nur in Sonderfallen auch quellenfrei, somitgilt fur % 6= 0:

~∇× ~F = ~0 und ~∇ · ~F 6= 0

• Sonderfalle

f(%) ∼ 1

%oder f(%) =

const

%

dann ist namlich ~∇ · ~F = 0 !

3. Kugelkoordinaten

• SkalarfeldΦ = Φ(r, ϑ,Ψ)

• Vektorfeld

~F = ~F (r, ϑ,Ψ)

= Fr(r, ϑ,Ψ)~er + Fϑ(r, ϑ,Ψ)~eϑ + FΨ(r, ϑ,Ψ)~eΨ

• Gradient

~∇Φ =∂Φ

∂r~er +

1

r

∂Φ

∂ϑ~eϑ +

1

r sinϑ

∂Φ

∂Ψ~eΨ

• Divergenz

~∇ · ~F (r, ϑ,Ψ) =1

r2

∂

∂r

(

r2 · Fr

)

+1

r sinϑ

[∂

∂ϑ(sinϑFϑ) +

∂FΨ

∂Ψ

]


• Rotation

~∇× ~F (r, ϑ,Ψ) =

[1

r sinϑ

(∂

∂ϑ(sinϑFΨ)− ∂Fϑ

∂Ψ

)]

~er

+

[1

r sinϑ

∂Fr

∂Ψ− 1

r

∂

∂r(r · FΨ)

]

~eϑ

+

[1

r

∂

∂r(r · Fϑ)− 1

r

∂Fr

∂ϑ

]

~eΨ


∆Φ =1

r2

[

∂

∂r

(

r2 ∂Φ

∂r

)

+1

sinϑ

∂

∂ϑ

(

sinϑ∂Φ

∂ϑ

)

+1

sin2 ϑ

∂2Φ

∂Ψ2

]

• AnmerkungenDer in Kugelkoordinaten ausgedruckte Laplace-Operator enthaltauch partielle Ableitungen 1.Ordnung, ganz im Gegensatz zumkartesischen Fall.

∂

∂r

(

r2 ∂Φ

∂r

)

= 2r∂Φ

∂r+ r2 ∂2Φ

∂r2

∂

∂ϑ

(

sinϑ∂Φ

∂ϑ

)

= cos ϑ∂Φ

∂ϑ+ sinϑ

∂2Φ

∂ϑ2

Ein kugelsymmetrisches Vektorfeld, also ein Zentralfeld vom Typ~F = f(r)~er ist stets wirbelfrei, aber nur in Sonderfallen auchquellenfrei. Somit gilt fur r > 0:

~∇× ~F = ~0 und ~∇ · ~F 6= 0

Sonderfalle

Ist der Betrag des Zentralkraftfeldes umgekehrt proportional zumQuadrat des Abstandes r, gilt also:

f(r) ∼ 1

r2oder f(r) =

const

r2

so ist das Zentralfeld zusatzlich auch quellenfrei, das heißt

~∇ · ~F = 0

wie bei Gravitationsfeldern oder dem elektrischen Feld einer La-dung.

5.8. OBERFLACHEN- UND VOLUMENINTEGRALE 85

5.8 Oberflachen- und Volumenintegrale

5.8.1 Das Oberflachenintegral

Physikalisches Beispiel:Flussigkeitsstromung mit konstanter Geschwindigkeit ~v durch ein vollkom-men durchlassiges Flachenelement ∆A senkrecht zur Stromungsrichtung.Welche Flussigkeitsmenge fließt pro Zeit durch die Flache?

Losung:Ein Flussigkeitsteilchen der Geschwindigkeit v = |~v| legt in der Zeit ∆t denWeg ∆s = v ·∆t zuruck.

Das Volumen ist ∆V = ∆A · ∆s = ∆A · v∆t. In der Zeit ∆t stromt dieMenge ∆V

∆t= v ·∆A durch ∆A. Dies ist der Flussigkeitsfluß durch ∆A.

Jetzt fuhrt man das vektorielle Flachenelement ∆ ~A ein:

1. Der Vektor ∆ ~A steht senkrecht auf dem Flachenelement ∆A

2. Der Betrag von ∆ ~A entspricht der Flache von ∆A:

∣∣∣∆ ~A

∣∣∣ = ∆A


oder anders ausgedruckt, mit ~N der Flachennormalen (≡ Einheitsvek-tor in Stromungsrichtung):

∆ ~A = ∆A · ~N

=⇒ ∆V

∆t= v ·∆A

= ~v ·∆ ~A =(

~v · ~N)

∆A

Eine schrage Stromung ~v = ~vT + ~vN zerlegt man fur die Berechnungin die Tangential- und Normalenkomponenten ~vT und ~vN :

~vN = ~v · ~N∆V

∆t= ~vN∆A =

(

~v · ~N)

∆A = ~v ·∆ ~A

Sonderfall (Luftwiderstand):∆A ist parallel zu ~v; dann ist ~N senkrecht zu ~v

~v · ~N = 0

=⇒ ∆V

∆t=

(

~v · ~N)

·∆A = 0

Allgemeiner Fall:Gegeben ist ein ortsabhangiges Geschwindigkeitsfeld ~v(x, y, z); wie groß istder Fluss durch eine beliebige Flache A? – Zerlegung der Flache in Flachen-elemente dA. Dann ist der Flussigkeitsfluss:

~v · d ~A =(

~v · ~N)

dA

der Gesamtfluss ist dann∫ ∫

(A)

~v d ~A =

∫ ∫

(A)

(

~v · ~N)

dA

Zusammenfassung Oberflachenintegral

Allgemeines Vektorfeld ~F = ~F (x, y, z)

Orientiertes Flachenelement d ~A (|d ~A| = dA)

Flachennormale ~N (d ~A = dA ~N)

Oberflache A∫ ∫

(A)

~F · d ~A =∫ ∫

(A)

(

~F · ~N)

dA

Anmerkungen

1. Die Orientierung der Flache wird durch ~N festgelegt.


2. Bei geschlossenen Flachen, wie beispielsweise der Oberflache einer Ku-gel, zeigt ~N nach aussen.

3. Das Oberflacheintegral wird mit der Normalenkomponente FN = ~N · ~Fgebildet.

4. Andere Begriffe fur das Oberflachenintegral sind

• Flussintegral

• Flachenintegral

5. Schreibweise fur geschlossenes FlachenintegralSo, hatte ich bereits beim Kurvenintegral ’nen Problem, so weiß dies-mal auch mein LATEX-Buch nix mehr. Das Zeichen soll ausschauen wieein geschlossenes Kurvenintegral (

∮) mit zwei Integralen, oder einem

Kringel uber zwei Integralzeichen, oder. . . ach keine Ahnung, fragt eu-ren Prof oder schaut im Original-Script nach.

Anmerkung des Korrektors: Werde es in Zukunft durch ein o als Indexmarkieren

6. Die Gesamtheit der Flachennormalen ist:

~F · ~N = ~N · ~N = 1 und

∫∫

dA = A Flacheninhalt

Berechnung eines Flachenintegrals

x+2y+2z=2Ebene

x

2

1

y

z1 Wie groß ist der Fluss des Vek-

torfeldes ~F durch die im er-sten Oktanten gelegene Flacheder Ebene x + 2y + 2z = 2.

~F =

6z−3y3

Insgesamt vier Schritte:

1. Wahl der geeigneten KoordinatenHier empfehlen sich naturlich kartesische Koordinaten. Die Ebene x+2y + 2z = 2 wird als Niveauflache eines skalaren Feldes Φ aufgefasst:

Φ(x, y, z) = x + 2y + 2z


Ergo ist

~∇Φ =

122

uberall senkrecht auf der Ebene. Durch Normierung erhalten wir ~N :

~N =~∇Φ∣∣∣~∇Φ

∣∣∣

=1√

12 + 22 + 22

122

=

1

3

122

2. Bestimme ~F · ~N

~F · ~N =

6z−3y3

· 1

3

122

= 2(z − y + 1)

=⇒ Lose die Gleichung der Ebene nach z auf:

z =1

2(2− x− 2y)

in ~F · ~N eingesetzt

~F · ~N = 2(z − y + 1)

= 2

(1

2(2− x− 2y)− y + 1

)

= −x− 4y + 4

Normalerweise ist ein Flachenelement dA∗ = dxdy aber hier gilt jad ~A = dA ~N und deshalb ist

dA∗ = d ~A · ~ez = dA(

~N · ~ez

)

= dxdy

~N · ~ez =1

3

122

·

001

dA · 23

= dydx oder dA =3

2dydx

Dies ist das Flachelement dA in kartesischen Koordinaten in der Ebenez=0, in der die Flache A∗ liegt. Die Gleichung der Ebene lautet

x + 2y = 2 oder y = −1

2x + 1

3. Aus der Gleichung der Ebene ergeben sich als Integrationsgrenzen

y = 0 bis y = −1

2x + 1

x = 0 bis x = 2


4. Berechnung des Oberflachenintegrals

∫ ∫

(A)

(

~F · ~N)

dA =

∫ ∫

(A)

(−x− 4y + 4)dxdy3

2

=3

2

2∫

x=0

− 1

2x+1∫

y=0

(−x− 4y + 4)dxdy

innere Integration, also nach y:

− 1

2x+1∫

y=0

(−x− 4y + 4)dy =[

−xy − 2y2 + 4y]− 1

2x+1

0= x + 2

aussere Integration, also nach x:

2∫

x=0

(x + 2)dx =

[1

2x2 + 2x

]2

0= 2 + 4 = 6

Und das gesamte Integral ist dann also:

∫ ∫

(A)

(

~F · ~N)

dA =3

2· 6 = 9

Anmerkungen

1. Der Fluß eines zylindersymmetrischen Vektorfeldes durch die Ober-flache eines Zylinders

~F = f(%)~e%

2. durch die geschlossene Oberflache A eines (Koaxial-)Zylinders

∫∫

o

(

~F ~N)

dA = f(R) · 2πRH

mit Zylinderradius R, Zylinderhohe H und der Symmetrieachse z.

3. Kugelsymmetrie

~F = f(r)~er∫∫

o

(

~F · ~N)

dA = f(R) · 4πR2

mit dem Kugelradius R und dem Kugelmittelpunkt als Koordinatenur-sprung.


Weiteres BeispielGegeben ist eine Stromung mit

• Dichte % (~r)

• Geschwindigkeit v (~r)

• Zeitintervall ∆t

Wie groß ist die in der Zeit ∆t durch die Flache ∆f stromende Masse?

∆m = %(v∆t)∆f cos α

∆~F = ∆f · ~n

Der Fluß ist definiert als

Masse

Zeiteinheit= ∆Φ =

∆m

∆t= %v∆f cos α

= %~v ·∆ ~f = ~ ·∆ ~f

Die Flußdichte ist definiert als

Definition 23 (Flußdichte)

~ (~r) = % (~r) · ~v (~r)

und damit ist der Gesamtfluß durch die Flache:

Φ =

∫∫

~ · d~f

5.8.2 Das Volumenintegral

Zusammenhang zwischen:

Gesamtvolumen Vm

Volumenelement ∆Vi

Volumen V

Ist eine skalare Funktion f(~r) und das Volumen V gegeben, dann ist:∫

V

f (~r) dV = lim∆Vi→0

∑

i

f (~ri) ∆Vi

das Volumenintegral.


Spezifizierung des Volumenelementes dV = d3r

kartesisch dV = dxdydzzylinder dV = %d%dϕdzkugel dV = r2 sinϑdrdϑdϕ

BeispielBerechnung des Gravitationspotentials einer Kugel der homogenen Dichte%.

1. Hohlkugel mit Radius r und der Dicke der Kugelschale dr.

drdH

r

mR d

Der Abstand d ergibt sich aus dem Cosinussatz.

d =√

R2 + r2 − 2rR cos ϑ ≥ 0

Uhohl(R) = −∫

Kugelschale

GmdM

d

dM = %dV = %r2 sinϑdrdϑdϕ

UHohl(R) = −Gm%r2dr

π∫

0

sinϑdϑ√R2 + r2 − 2rR cos ϑ

︸︷︷︸

1∫

−1

dt√R2+r2

−2rRt

2π∫

0

dϕ

︸︷︷︸

2π

Substitution: t = cos ϑ und dt = − sinϑdϑ:

UHohl(R) = −Gm%r2dr · 2π · 2

−2rR

√

R2 + r2 − 2rRt

∣∣∣∣

+1

−1︸︷︷︸


= − 1

rR

±(R− r)− (R + r)︸︷︷︸

>0

R>r

R<r

=

2R r < R

2r

r > R

UHohl = −4πGm%r2dr

1R = −GmMH

R r < R (1)

1r = −GmMH

r r > R (2)

(1) Das Potential verhalt sich so, als ob MH im Ursprung verei-nigt ware.

(2) Das Potential ist konstant fur r = const.=⇒ aussen verhalt sich das Potential so, als ob die ge-

samte Masse im Zentrum vereinigt ware.

r

const

R

r R

~F = −~∇UHohl(R) = −dUHohl

dR~er =

−GmMH

R2 r < R0 r > R

Wichtige Schlußfolgerung:

=⇒ im Inneren existiert kein Kraftfeld, da sich die Betragegegeneinander aufheben.

2. VollkugelIm Gegensatz zur Hohlkugel, muß hier noch uber die Kugelschalenaufsummiert (sprich: integriert) werden. Das Integral uber dem Radiusa schafft also den Ubergang zwischen den beiden Kugeln

UHohl(R, r) → dUV oll(r)

UV oll =

a∫

0

dUV oll(r)

= −4πGm%

a∫

0

r2dr

1R

1r

r < R

r > R


MV = 4π3 a3%

↓

R > a

R < a

=

−4πGM% 1R

a3

3 = −GmMv

R

−4πGm%

R∫

0

r2dr1

R+

a∫

R

r2dr1

r︸︷︷︸

R2

3+ 1

2(a2−R2)= 1

6(3a2−R2)

= GmMv

2a3

(

R2 − a2)

F (R) = −dUV oll

dR=

−GmMv

R2 R > a

−GmMv

a3 R R < a

R>a

R<a

ra

r R

Potential außerhalb Kugelwie Punktmasse

a R

Innerhalb quadratisch (Kraft li-near)


5.9 Integralsatze von Gauss und Stokes

5.9.1 Gausscher Integralsatz

1. BeispielModell einer Flussigkeitsstromung mit dem Geschwindigkeitsfeld ~v =~v(x, y, z).

Volumen−

Quader

Flaechen−

element dVelement dA

Stromung durch ein Quadervolumen V . Pro Zeiteinheit fließt durchein Flachenelement dA der Quaderoberflache die Flussigkeitsmenge

(

~v · ~N)

dA = ~v · d ~A

Der Gesamtfluß pro Zeit durch die geschloßene Hulle A, die Oberflachedes Quaders ist durch das geschlossene Oberflachenintegral gegeben:

∫

o,(A)

∫ (

~v · ~N)

dA =

∫

o,(A)

∫

~vd ~A

Nun: Flussigkeitsmenge, die im Volumenelement dV im Inneren desQuaders erzeugt oder vernichtet wird:

~∇ · ~vdV

und im gesamten Quader:∫ ∫

(V )

∫

~∇ · ~vdV

=⇒ Diese Menge muß aber bei einer Flussigkeit mit konstanterDichte in der Zeiteinheit durch die Quaderoberflache Ahindurchfließen.

5.9. INTEGRALSATZE VON GAUSS UND STOKES 95

Wir formulieren deshalb:Die in der Zeiteinheit im Volumen V erzeugte oder vernichtete Flussig-

keitsmenge∫ ∫ ∫

~∇ · ~vdV muß gleich dem Gesamtfluß∫ ∫

o

(

~v · ~N)

dA

durch die Quaderoberflache entsprechen.

2. Definition 24 (Satz von Gauss im Raum)

∫ ∫

o,(A)

~Fd ~A =

∫ ∫

(V )

∫

~∇ · ~FdV

~F : stetig differenzierbares Vektorfeld

A: Geschloßene Flache

V : von A eingeschloßenes Volumen

3. AnmerkungenMit Hilfe des Satz von Gauss lasst sich ein Volumenintegral uber dieDivergenz eines Vektorfeldes in ein Oberflachenintegral umwandelnund umgekehrt. Bei einem quellenfreien Feld (~∇ · ~F = 0) ist der Ge-samtfluß durch die Oberflache gleich Null.

4. weitere Beispiele

(a) Gegeben ist das Feld:

~F =

x3

−yz

Berechnung des Fluß durch die Oberflache eines Zylinders mitRadius R = 2 und der Hohe H = 5. Nach dem Satz von Gaussgilt:∫ ∫

o,(A)

(

~F · ~N)

dA =

∫∫ ∫

(V )

~∇ · ~FdV

~∇ · ~F =∂

∂x

(

x3)

+∂

∂y(−y) +

∂

∂z(z) = 3x2 − 1 + 1 = 3x2

∫∫ ∫

(V )

~∇ · ~FdV = 3 ·∫∫ ∫

(V )

x2dV

Das Volumenelement in Zylinderkoordinaten war: dV = %dzd%dϕund die Formeln zur Umwandlung von kartesische in Zylinderko-ordinaten waren:

x = % cos ϕ

y = % sinϕ

z = z


Und die Integrationsgrenzen sind:

z = 0 bis z = 5 (Hohe)

% = 0 bis % = 2 (Radius)

ϕ = 0 bis ϕ = 2π

∫∫ ∫

(V )

~∇ · ~FdV = 3

∫∫ ∫

(V )

x2dV

= 3

2π∫

ϕ=0

2∫

%=0

5∫

z=0

(% cos ϕ)2%dzdϕd%

= 3

2π∫

ϕ=0

2∫

%=0

5∫

z=0

%3 cos2 ϕdzdϕd%

= 3

2π∫

0

cos2 ϕdϕ

2∫

0

%3d%

5∫

0

dz

= 3

[ϕ

2+

sin(2ϕ)

4

]2π

0·[1

4%4]2

0· z|50

= 3 · π · 4 · 5

= 60π =

∫∫ ∫

(V )

~∇ · ~FdV =

∫ ∫

o,(A)

(

~F · ~N)

dA

(b) Wie groß ist der Fluß durch ein kugelsymmetrisches Vektorfeld~F = k~r durch die Oberflache A einer konzentrische Kugel vomRadius R (k = const)?

∫∫

o

(

~F · ~N)

dA =

∫∫∫

~∇ · ~FdV = k

∫∫∫

~∇ · ~rdV

Aus ~r = r~er folgt eingesetzt in ~∇ · ~r:

~∇ · ~r = ~∇ · (r~er)

=1

r2

δ

δr(r2 · r)

=1

r23r2 = 3

5.9. INTEGRALSATZE VON GAUSS UND STOKES 97

∫∫

o

(

~F · ~N)

dA = k

∫∫∫

~∇ · ~FdV = k3

∫∫∫

dV︸︷︷︸

VKugel=4π3

R3

=⇒∫∫

o

(

~F · ~N)

dA = 3kV = 4πkR3

Definition 25 (Satz von Gauss in der Ebene)

∮

C

(

~F ~N)

ds =

∫∫

~∇ · ~FdA

dA: Flachenstuck einer Ebene

C: Geschlossene Randkurve~N : nach außen gerichtete Flachennormale

ds: Linienelement der Randkurve C

5. AnmerkungZusammenhang zwischen Kurven- und Doppelintegral:

∮ (

~F ~N)

ds: Flussigkeitsmenge, die durch die geschlossene Randkurve C

pro Zeit in die Flache ein- oder austritt

∫∫~∇ · ~FdA: Flussigkeitsmenge, die in der Flache A “erzeugt”

oder “vernichtet” wird

5.9.2 Integralsatz von Stokes

Das Kurven- oder Linienintegral eines stetig differenzierbaren Vektorfeldes~F langs einer einfach geschlossenen Kurve C ist gleich dem Oberflachenin-tegral der Rotation von ~F uber eine beliebige Flache die durch C berandetwird.

∮

C

~Fd~r =

∫ ∫

A

~∇× ~FdA︸︷︷︸

Wirbelfluss

∫ ∫

o,A

~∇× ~FdA =

∫ ∫ ∫

V(~∇ · (~∇× ~F ))︸︷︷︸

=0

dV = 0


Fortschritt bedeutet, daß

wir immer mehr wissen

und immer weniger davon

haben.

Josef Meinrad

Kapitel 6

Mechanik in bewegten

Bezugssystemen

y

z

z’

y’

0’

x’

0 x

Beschreibung der Bahn eines Massenpunktes in verschiedenen Bezugssyste-men 0 und 0′. Es muß gelten:

• Die Physik ist unabhangig vom Bezugssystem

• Die Bewegungsgleichungen hangen vom Bezugssystem ab!

In diesem Kapitel geht es also um die Beschreibung der Beziehung der Bewe-gung in verschiedenen, meist zueinander bewegten Bezugssystemen. Oft ist

99

100 KAPITEL 6. MECHANIK IN BEWEGTEN BEZUGSSYSTEMEN

es außerdem besser angepaßte Bezugssysteme zu verwenden, beispielsweise:

- in Erdoberflache verankert (Labor)

- fahrender Zug, Fahrstuhl, . . .

6.1 Inertialsysteme, Galilei-Transformationen

Was wissen wir?– Wir wissen, dass die Newton-Axiome die Bewegung eines mechanischenSystems vollstandig beschreiben. Gilt das fur alle Bezugssysteme?– Wir werden sehen: Nein!

Die Newtonschen Axiome

1. Tragheitsgesetz~F = ~0 =⇒ ~v = const

2. Bewegungsgesetz

~p = ~F

3. Actio=Reactio~F12 = −~F21

6.1.1 Probleme der Interpretation

1. Newtonsches Axiom:

Ist es ein Spezialfall des 2. Newtonschen Axioms?

Was heißt eigentlich kraftefrei?

Gibt es eine Abhangigkeit vom Bezugssystem? (Karussell, . . . )

2. Newtonsches Axiom: Kraft und Masse sind nicht definiert.

=⇒ Die Definitionen und Axiome sind nicht klar getrennt.

Losung: Umdrehen der Argumentation!

1. Newtonsches Axiom: Es existieren Bezugssysteme, in denen das Tragheits-gesetz gilt. Solche Bezugsysteme heißen Inertialsysteme.

6.1. INERTIALSYSTEME, GALILEI-TRANSFORMATIONEN 101

2. Newtonsches Axiom: In einem Inertialsystem gilt das Bewegungsge-setz in der Newtonschen Form:

~p = ~Fd~p

dt= ~F

wobei ~F die physikalische Kraft ist (nicht geandert).

Bemerkungen

• Inertialsysteme sind nicht eindeutig!

• Wie werden Inertialsysteme gefunden?

• Ein Inertialsystem definiert physikalische Krafte!

In Nicht-Inertialsystemen konnen die Bewegungsgleichungen anders ausse-hen und tun es auch! Was ist also ein ”gutes“ Inertialsystem?Ein gutes Inertialsystem ist unbeschleunigt und rotiert nicht!Ist die Erde also ein Inertialsystem?

Nein, denn sie rotiert.

Ja, wenn der Einfluß der Rotation sehr klein ware

Ein Inertialsystem ist unbeschleunigt. Aber fur viele Zwecke ist die Erdeeine ziemlich gute Naherung fur ein Inertialsystem. Aber wie groß ist dieBeschleunigung eigentlich?

1. Beschleunigung eines Labors auf der Erde durch die Erdrotation. Abschatzungfur einen Massenpunkt am Aquator – die Zentripetalbeschleunigungist:

a =v2

RErde= ω2RErde

mit ω = 0, 7 · 10−4sec−1 und RErde ≈ 6400 km:

a ≈ 0, 031m

sec2−→ klein

2. Rotation des Fixsternhimmels oder Erddrehung um die Sonne

ω =2π

1 Jahr= 2 · 10−7 sec−1

R = 1011m

a = ω2R ≈ 4 · 10−3 m

sec2−→ kleiner


3. Drehung der Sonne um das Zentrum der Milchstraße

aSonne ∼ 3 · 10−10 m

sec2−→ sehr klein

Inertialsysteme gibt es eigentlich gar nicht! Das Dilemma ist, daß es keineKraftefreiheit gibt, wenn sich alles dreht. Wir erwarten jedoch, daß Fixsternein guter Naherung ein unbeschleunigtes Koordinatensystem definieren.– Warum konnen wir das erwarten?– Weil Sterne sehr weit (∼ 1LJ ∼ 1016m) voneinander entfernt sind und dieSchwerkraft proportional zu R−2 ist.

6.1.2 Beziehungen zwischen Bezugssystemen

Zueinander fest orientierte Bezugssysteme.

1. Translation ohne zeitliche Anderung. Ein Bezugssystem bewegtsich relativ zum anderen mit einem konstanten Abstand ~d.

BS

BS’

y

x

z

y’

x’

z’

~d = const =⇒ d~d

dt= 0

Fur die Translationsbewegung ~r′(t) eines Punktes im Bezugssystem 0′

bedeutet dies, ausgedruckt im Bezugssystem 0:

~r′(t) = ~r(t)− ~d

d~r′(t)dt

=d~r′(t)

dt− d~d

dt︸︷︷︸

=0

Damit erhalten wir die Zusammenhange:

~v′(t) = ~v(t)

~a′(t) = ~a(t)


2. Feste Drehung des Bezugssystems, ohne zeitliche Anderung~r(t) = ~r′(t), aber komplett verschieden. Hilfreich ist hier die Dreh-

oder Transformationsmatrix.

y’y

x

x’

zz’

rj = Rijr′j

vj =drj

dt

=∑

dRij

dt︸︷︷︸

=0,da fest

r′j + Rij

dr′jdt︸︷︷︸

v′j

=∑

j

Rijv′j

=⇒ ~v = ~v′

~a = ~a′

Wichtig ist dabei, daß die Drehung fest ist, das heißt also Rij = constbeziehungsweise die Drehung ist zeitlich unabhangig.

3. Gleichformig bewegte SystemeDiese entsprechen im Wesentlichen der Translation mit ~d = ~ut.

z

x

z’

x’

y’

y

~r′(t) = ~r(t)− ~ut ~u = const

dr′(t)dt

=d~r

dt− ~u ~v′ = ~v − ~u


d~v′

dt=

d~v

dt− d~u

dt︸︷︷︸

=0

=⇒ ~a′ = ~a

=⇒ m~a = m~a′

=⇒ ~F = ~F ′

Das heißt also, in zwei gleichformig zueinander bewegten Bezugssyste-men herrschen die gleichen Krafte.

Ergo:

• Falls ein Bezugssystem ein Inertialsystem ist, so ist auch das Be-zugssystem 2 eines.

• Es existieren unendlich viele Inertialsysteme.

• Inertialsysteme sind physikalisch aquivalent, das heißt also unun-terscheidbar.

Transformation zwischen Inertialsystemen durch die speziellen Galilei-Trans-formationen:

~r′ = ~r − ~utt′ = t

Die Zeit soll dabei durch eine synchrone Uhr gemessen werden. (Frage amRande: Stimmt das denn immer?) Insgesamt ist die allgemeine Galilei-Trans-formation eine Kombination aus fester Translation und Drehung.

6.1.3 Krafte

1. Direkter Kontakt, durch Druck, Stoss, Zug, . . .sogenannte Nahwirkungskrafte

2. Krafte ohne direkten Kontakt, es existieren also keinen direkten Wech-selwirkungspartner

(a) Entstehung durch Bezugssystemwechsel→ Tragheitskrafte oder Scheinkrafte (sie existieren naturlich trotz-dem!), am Beispiel der Insassen eines bremsenden Autos: Es exi-stieren (idealerweise, kein Unfall, . . . ) keine Nahwirkungskrafte.Die Beschleunigungskrafte verschwinden beim Ubergang in einSystem, das sich geradlinig-gleichformig weiterbewegt.Die Insassen tun das, was das Tragheitsgesetz verlangt.


(b) Echte Fernkrafte, diese sind durch keine Anderung des Bezugssy-stems zu beseitigen. Ein Beispiel ware die Gravitation.

Zentrifugalkraft

~FZentr. = mω2~r

Sie ist eine Scheinkraft und wirkt zum Beispiel bei einer Kurvenfahrt aufdie Insassen und das Auto selbst.Fur Beobachter im Inertialsystem bewegen sie sich einfach geradlinig-gleich-formig weiter und mussen dabei allerdings mit Teilen des seinerseits un-gleichformig bewegten Fahrzeugs kollidieren.Der Fahrer lenkt dieser Kraft hoffentlich entgegen.

Kraft in rotierendem SystemDie dort auftretende Kraft heißt Coriolis-Kraft:

∣∣∣~Fc

∣∣∣ = m2ω |~v|

~ac = 2~v × ~ω ⇒| ~ac |= 2vω sinα

Sie ist senkrecht zur Richtung der Drehachse und senkrecht zur Geschwin-digkeit gerichtet.

DrehscheibeIn der Mitte einer sich mit ω = const drehenden Scheibe befindet sich einBeobachter. Er schießt eine Kugel mit der Geschwindigkeit v = at. DieseKugel ist nach dem Abschuss mit der Scheibe durch keinerlei Krafte mehrverbunden, sondern fliegt frei durch den Raum.

1. ruhendes System

r=vt

Fur einen Beobachter außerhalb der Schei-be bewegt sich die Kugel also geradlinig mitder konstanten Geschwindigkeit v nach au-ßen. Nach der Zeit t = r

v ist sie im Abstandr angekommen.

In dieser Zeit hat sich die Scheibe um den Winkel α = ωt weiterge-dreht!

2. Mitrotierendes System


B

A

Weil sich die Scheibe in dieser Zeit (sieheoben) um den Winkel α = ωt weitergedrehthat, stellt der Beobachter auf der Scheibefest, daß sich die Kugel nicht uber dem PunktA seiner Scheibe befindet, wie er vielleicht er-wartet hatte, sondern uber dem Punkt B.

Die Kugel ist um y = rα nach rechts abgelenkt worden, senkrecht zurerwarteten Flugrichtung! :

z = rα = vtωt =⇒ y = vωt2

Der Beobachter auf der Scheibe muß diese Ablenkung auf eine Be-schleunigung zuruckfuhren, die senkrecht zur Geschwindigkeit wirkt.Der Bewegungsablauf y ∼ t2 lasst auf eine konstante Beschleunigunga schließen, denn diese fuhrt auf y = 1

2at2.Ein Vergleich liefert die Coriolisbeschleunigung:

a = 2ωv

Und daraus lasst sich leicht die Corioliskraft berechnen:

FC = ma = 2mωv

Diese Kraft spurt der Beobachter auch, wenn er sich selbst oder Teilevon sich mit v bewegen. Steht ~v nicht senkrecht zur Drehachse sondernbildet mit ihr den Winkel α so ist die Coriolisbeschleunigung:

| ~a |= 2 | ~v × ~ω |= 2vω sinα

6.2 Foucaultsches Pendel

Das Foucaultsche Pendel ist ein historischer Versuch; er ist eine Demonstra-tion fur die Erdrotation und damit ein Beweis, daß die Erde kein Inertialsy-stem ist. Dieser Versuch wurde zum erstenmal 1851 in Paris durchgefuhrt.Eine Masse von 28kg war an einem 70m langem Draht befestigt und konntefrei schwingen. Die Schwingungsdauer betrug 17 Sekunden.Nach mehreren Schwingungen zeigte sich, daß sich die Schwingungsebenevon oben gesehen in einer Stunde um 11 Grad im Uhrzeigersinn drehte.Zur Messung war auf dem Fußboden, direkt unterhalb der Aufhangung imPantheon in Paris ein kreisformiges Gelander aufgebaut, welches mit Sandbestreut war. Ein Nagel an der Unterseite des Pendels hinterlies bei jederSchwingung eine Spur im Sand.Zuruck zum Problem: Warum rotiert also die Schwingungsebene des Pen-dels?

6.3. DAS FOUCAULT-PENDEL AM NORDPOL 107

6.3 Das Foucault-Pendel am Nordpol

Wir stellen uns das Foucaultsche Pendel am Nordpol vor. Die Schwingungs-ebene bleibt im Inertialsystem fest, wahrend die Erde unter dem Pendel in24 Stunden eine Umdrehung ausfuhrt.Die Erde dreht sich, von einem Beobachter uber dem Nordpol (vom Po-larstern) aus gesehen, gegen den Uhrzeigersinn. Deshalb scheint fur einenBeobachter auf einer Leiter am Nordpol die Schwingungsebene im Uhrzei-gersinn relativ zu ihm zu rotieren.Die Situation wird schwieriger, sobald wir den Nordpol verlassen und dabeidie Zeit fur einen vollen Umlauf der Pendelebene langer wird.

geographischeBreite

Aequator

Nordpol

Rot

atio

nsac

hse

Suedpol

R

R

h S

N

Pendel

R cos

6.4 Sanfte mathematische Hinfuhrung

Wir betrachten die Relativgeschwindigkeit des nordlichsten (N) und sudlich-sten (S) Punktes des Foucaultschen Sandringes mit dem Radius r. Da derSudpunkt weiter von der Drehachse entfernt ist, bewegt er sich schnellerdurch den Raum (v = ωr) als der Nordpunkt. (Winkelgeschwindigkeit ω,Erdradius R). Das Zentrum des Kreises bewegt sich mit

vZ = ω ·R cos ϕ


Der nordliche Punkt bewegt sich mit

vN = ωR cos ϕ− ωr sinϕ

und der sudliche Punkt mit

vS = ωR cos ϕ + ωr sinϕ

Damit ist die Differenz der Zentrumsgeschwindigkeit zu den beiden anderenGeschwindigkeiten

∆v = ωr sinϕ

Die Zeit fur eine volle Umdrehung ist

T0 =Umfang

Geschwindigkeit=

2πr

ωr sinϕ=

24h

sinϕ

Fur die beiden “Extrempunkte” ergeben sich dann:

Pol ϕ = 90 T0 = 24h

Aquator ϕ = 0 T0 =∞

Beachte

∆v = ωr sinϕ

aCor ∼ ∆v∆t ∼ ωr

∆t sinϕ

6.5 Scheinkrafte in rotierenden Systemen

Die “Waschbrettversion” des Faucaultschen Pendels – hart aber herzlich.

6.5.1 Rotation eines (v′, y

′, z

′) Koordinatensystems um den Ur-

sprung des Inertialsystems (x, y, z)

Beide Koordinatenursprunge sollen zusammenfallen.Das Inertialsystem soll das Laborsystem sein, die Kennzeichnung soll des-halb im weiteren mit dem Index L erfolgen. Das rotierende System bekommtim weiteren den Index B.

6.5. SCHEINKRAFTE IN ROTIERENDEN SYSTEMEN 109

x

x’

zz’

y

y’

Der Vektor ~A(t) = A′x~e′x + A′

y~e′y + A′

z~e′z soll sich im gestrichenen System

zeitlich andern. Fur einen in diesem System ruhenden Beobachter gilt

d ~A

dt

∣∣∣∣∣B

=dA′

x

dt~e′x +

dA′y

dt~e′y +

dA′z

dt~e′z

Im Inertialsystem (x, y, z) ist ~A ebenfalls zeitabhangig. Hier andern sich aberauch aufgrund der Rotation des gestrichenen Systems auch die Einheitsvek-toren ~ex, ~ey , ~ez mit der Zeit. Ergo

d ~A

dt

∣∣∣∣∣L

=d ~A

dt

∣∣∣∣∣B

+ A′x

d~e′xdt

+ A′y

d~e′ydt

+ A′z

d~e′zdt

Allgemein gilt:

~e′x · ˙~e′x = ~e′x · d~e′xdt

= 0

Die Ableitung eines Einheitsvektorssteht immer senkrecht auf dem Vektor selbst!

Deshalb lasst sich die Ableitung eines Einheitsvektors als Linearkombinationder beiden anderen darstellen.

˙~e′x = a1~e′y + a2

~e′z

~e′y = a3~e′x + a4

~e′z

~e′z = a5~e′x + a6

~e′y

Von diesen sechs Koeffizienten sind nur drei linear unabhangig.


Beweis:Differenziere ~e′x · ~e′y = 0 =⇒ ˙~e′x~e′y = −~e′y~e′x

Multiplikation von˙~e′x = a1

~e′y + a2~e′z mit ~e′y und ~e′y = a3

~e′x +

a4~e′z mit ~e′x. Daraus ergibt sich

~e′y · ˙~e′x = a1 und ~e′x · ~e′y = a3

=⇒ a3 = −a1

Analog erhalt man: a6 = −a4 und a5 = −a2

=⇒ d ~A

dt

∣∣∣∣∣L

=d ~A

dt

∣∣∣∣∣B

+ A′x

(

a1~e′y + a2

~e′z)

+ A′y

(

−a1~e′x + a4

~e′z)

+ A′z

(

−a2~e′x − a4

~e′y)

=d ~A

dt

∣∣∣∣∣B

+ ~e′x(

−a1A′y − a2A

′z

)

+ ~e′y(a1A

′x − a4A

′z

)

+ ~e′z(

−a2A′x + a4A

′y

)

Mit ~C =

a4

a2

a1

folgt:

d ~A

dt

∣∣∣∣∣L

=d ~A

dt

∣∣∣∣∣B

+ ~C × ~A

Welche physikalische Bedeutung hat ~C? – Betrachten wir den Spezialfall

d ~A

dt

∣∣∣∣∣B

= ~0

das heißt, daß die Ableitung des Vektors ~A im bewegten System verschwin-det. ~A bewegt sich (rotiert) mit dem bewegten System mit.

6.5. SCHEINKRAFTE IN ROTIERENDEN SYSTEMEN 111

d

xx’

y

z

y’ϕ ist der Winkel zwischen der Rota-tionsachse (hier: z-Achse) und ~A istdie Komponente parallel zur Win-kelgeschwindigkeit ~ω. Letztere wirddurch die Rotation nicht geandert.

Anderungen von ~A im Laborsystem:

dA = ωdtA sinϕ

dA

dt

∣∣∣∣L

= ωA sinϕ

d ~A

dt

∣∣∣∣∣L

= ~ω × ~A

Die Richtung von(

~ω × ~A)

dt stimmt mit d ~A uberein. ~C muss mit ~ω, mit

der das System B rotiert identisch sein. Und allgemein:

d ~A

dt

∣∣∣∣∣L

=d ~A

dt

∣∣∣∣∣B

+ ~ω × ~A

Operator D =∂

∂t

DL =∂

∂t

∣∣∣∣L

∧ DB =∂

∂t

∣∣∣∣B

d ~A

dt

∣∣∣∣∣L

=d ~A

dt

∣∣∣∣∣B

+ ~ω × ~A

wird dann zu:DL

~A = DB~A + ~ω × ~A

Ohne ~A wurde man von einer Operatorgleichung sprechen:

DL = DB + ~ω×

6.5.2 Beispiele

1.

d~ω

dt

∣∣∣∣L

=d~ω

dt

∣∣∣∣B

+ ~ω × ~ω︸︷︷︸

=0

d~ω

dt

∣∣∣∣L

=d~ω

dt

∣∣∣∣B


Diese beiden Ableitungen sind offensichtlich fur alle Vektoren gleich,die senkrecht zur Rotationsebene stehen, da dann das Kreuzproduktverschwindet.

2.

d~r

dt

∣∣∣∣L

=d~r

dt

∣∣∣∣B

+ ~ω × ~r

DL~r = DB~r + ~ω × ~r

Dabei ist:

~ω × ~r Rotationsgeschwindigkeit

d~rdt

∣∣∣B

scheinbare Geschwindigkeit

d~rdt

∣∣∣B

+ ~ω × ~r wahre Geschwindigkeit

6.5.3 Formulierung der Newtonschen Gleichungen in rotierenden

Koordinatensystemen

~F = m~r = md2~r

dt2

gilt nur in Inertialsystemen. Der Betrag der reinen Rotation ist:

~rL =d

dt

(

~r)

L= DL

(

DL~r)

=(

DB + ~ω×) (

DB~r + ~ω × ~r)

= D2B~r + DB (~ω × ~r) + ~ω × DB~r + ~ω × (~ω × ~r)

= D2B~r +

(

DB~ω)

× ~r + 2~ω × DB~r + ~ω × (~ω × ~r)

Ersetzen wir den Operator durch Differentialquotienten:

d2~r

dt2

∣∣∣∣∣L

=d2~r

dt2

∣∣∣∣∣B

+d~ω

dt

∣∣∣∣B

× ~r + 2~ω × d~r

dt

∣∣∣∣B

+ ~ω × (~ω × ~r)

Dabei ist:

d~ω

dt

∣∣∣∣B

× ~r Lineare Beschleunigung

2~ω × d~r

dt

∣∣∣∣B

Coriolisbeschleunigung

~ω × (~ω × ~r) Zentripetalbeschleunigung

6.6. BELIEBIG GEGENEINANDER BEWEGTE SYSTEME 113

Durch Multiplikation mit der Masse m folgt die Kraft ~F :

md2~r

dt2

∣∣∣∣∣B

+ md~ω

dt

∣∣∣∣B

× ~r + 2m~ω × d~r

dt

∣∣∣∣B

+ m~ω × (~ω × ~r) = ~F

Die Grundgleichung der Mechanik in rotierenden Koordinatensystemen lau-tet dann, wenn man den Index B weglasst:

md2~r

dt2= ~F −m

d~ω

dt× ~r − 2m~ω × ~v −m~ω × (~ω × ~r)

Die zusatzlichen Terme auf der rechten Seite sind Scheinkrafte dynamischerArt, doch eigentlich vom Beschleunigungsterm stammend. Fur Experimenteauf der Erde kann man diese Zusatzterme oft vernachlassigen, da

ωErde =2π

T=

2π

24h≈ 7 · 10−5s−1

6.6 Beliebig gegeneinander bewegte Systeme

Diese bedeutet zunachst, daß die Ursprunge der beiden Koordinatensystemenicht mehr zusammenfallen! Im Allgemeinen setzt sich die Bewegung einesKoordinatensystems aus der Rotation des Systems und der Translation desUrsprungs zusammen.

x

y

z’

z

r’

z’

y’

Sei ~R der Ursprung des gestrichenen Systems, so ist der Ortsvektor im un-gestrichenen System

~r = ~R + ~r′


es gilt ~r = ~R + ~r′. Im Inertialsystem gilt aber nach wie vor:

md2~r

dt2

∣∣∣∣∣L

= ~F∣∣∣L

= ~F

einsetzen von ~r und anschließendes Differenzieren liefert:

md2~r′

dt2

∣∣∣∣∣L

+ md2 ~R

dt2

∣∣∣∣∣L

= ~F

Der Ubergang zum beschleunigten System erfolgt wie vorher, nur tritt hier

noch ein Zusatzglied m~R auf

d2~r′

dt2

∣∣∣∣∣B

= ~F − m~R

∣∣∣∣L

− m~ω∣∣∣B× ~r − 2m~ω × ~v|B −m~ω × (~ω × ~r)

6.6.1 Der freie Fall auf der Erde

x

y

z

x’

y’

z’

Auf der Erde gilt die bereits abgeleitete Grundgleichung der Mechanik, wennwir die Rotation um die Sonne vernachlassigen: sonst betrachten wir einKoordinatensystem im Erdzentrum als Inertialsystem:

d2~r′

dt2

∣∣∣∣∣B

= ~F − m~R

∣∣∣∣L

− m~ω × ~r′∣∣∣B− 2m~ω × ~r′

∣∣∣∣B

−m~ω ×(

~ω × ~r′)


Die Winkelgeschwindigkeit ~ω der Erde um ihre Achse kann als zeitlich kon-stant angesehen werden; deshalb ist m~ω×~r = ~0 die Bewegung des Aufpunk-tes ~R, also die Bewegung des Koordinatenursprungs des (x′, y′, z′) Systems,muß noch auf das bewegte System umgerechnet werden:

~R

∣∣∣∣L

= ~R

∣∣∣∣B

+ ~ω∣∣∣B× ~R + 2~ω × ~R

∣∣∣∣B

+ ~ω ×(

~ω × ~R)

Da ~R vom bewegten System aus eine zeitunabhangige Große ist und ~ω kon-stant ist, lautet die Gleichung schließlich

~R

∣∣∣∣L

= ~ω ×(

~ω × ~R)

Das ist die Zentripetalbeschleunigung, die ein sich auf der Erdoberflache be-wegender Korper aufgrund der Erdrotation erfahrt. Fur die Kraftgleichungergibt sich:

m~r′ = ~F −m~ω ×(

~ω × ~R)

− 2m~ω × ~r′ −m~ω ×(

~ω × ~r′)

Beim freien Fall auf der Erde treten demnach im Gegensatz zum Inertialsy-stem Scheinkrafte auf, die den Korper in x′- und y′-Richtung ablenken. DieKraft ~F ist im Inertialsystem, wenn nur die Schwerkraft wirkt:

~F = −GMm

r2

~r

|~r| = −GMm

r3~r

Ergo:

m~r′ = −GMm

r3~r −m~ω ×

(

~ω × ~R)

− 2m~ω × ~r′ −m~ω ×(

~ω × ~r′)

Wir fuhren nun den experimentell bestimmten Wert fur die Gravitationsbe-schleunigung ~g ein und nahern in −GMm

R3 ~r mit ~r ' ~R durch Einsetzen des

Radius ~r = ~R + ~r′:

~g = −GM

R3~R− ~ω ×

(

~ω × ~R)

Die Zentrifugalkraft verringert die Wirkung der Schwerkraft!

Damit erhalten wir fur die Krafte folgende Gleichung:

m~r′ = m~g − 2m~ω × ~r′ −m~ω ×(

~ω × ~r′)

In der Nahe der Erdoberflache ist ~r′ ~R. Der letzte Term ist von derOrdnung ω2 und kann wegen |ω| 1

sec vernachlassigt werden:

~r′ = ~g −(

~ω × ~r′)


beziehungsweise

~r′ = −g~e′z − 2

(

~ω × ~r′)

Zur Losung dieser Vektorgleichung zerlegt man sie in ihre Komponenten:Aus der Zeichnung folgt die Beziehung fur ~ex, ~ey, ~ez des Inertialsystems mit~e′x, ~e′y, ~e′z

~ez = − sinλ~e′x + 0~e′y + cos λ~e′z

wegen ~ω = ω~ez erhalt man

~ω = −ω sinλ~e′x + ω cos λ~e′zund

~ω × ~r′ =(

−ωy′ cosλ)

~e′x +(

z′ω sinλ + x cos λω)

~e′y −(

ωy′ sinλ)

~e′z

Die Vektorgleichung r′ = −g~e′z − 2 (~ω × ~r) lautet damit in Komponenten-gleichungen:

x′ = 2y′ω cos λ

y′ = −2ω(

z′ sinλ + x′ cosλ)

z′ = −g + 2ωy′ sinλ

Die Striche werden jetzt weggelassen.Wir erhalten drei gekoppelte Differentialgleichungen mit ~ω als Kopplungs-parameter. Fur ω = 0 ergibt sich der freie Fall im Inertialsystem:Verschiedenen Losungsverfahren:

1. Storungsrechnung

2. Sukzessive Approximation (erst in der T1-Vorlesung)

3. Exakte Losung

Wir versuchen 1. und 3.

6.6.2 Methode der Storungsrechnung

Man betreibt Storungsrechnung im Prinzip um die Stabilitat eines Systemszu uberprufen. Die Frage heisst: Wie wirken sich kleine Storungen auf einenZustand aus? Werden die Storungen gedampft, oder wachsen sie an?Im ersten Fall ware das System stabil, im zweiten instabil. Beim Foucault-schen Pendel weiß man schon die Antwort: das System wird durch die Erd-drehung nicht instabil, das heißt die Amplitude des Pendelausschlags wachstnicht durch die Erddrehung an. Hier wird Storungsrechnung verwendet umden Einfluss einer bekannten kleinen Storung, die durch die Erddrehungverursachte Zentrifugalkraft, auf ein System unter dem Einfluss einer sehr


viel starkeren Kraft, der Erdgravitation berechnet. Es ist also noch nichtdie Stabilitatsanalyse, sondern eine Analyse der zusatzlichen Effekte durchkleine Storungen. Zunachst integrieren:

x = 2ωy cos λ + c1

y = −2ω(x cos λ + z sinλ) + c2

z = −gt + 2ωy sinλ + c3

Beim freien Fall auf der Erde wird der Korper aus der Hohe h zur Zeit t = 0losgelassen; damit ergeben sich folgende Anfangsbedingungen:

z(0) = h z(0) = 0

y(0) = 0 y(0) = 0

x(0) = 0 x(0) = 0

Daraus ergeben sich dann folgende Integrationskonstanten:

c1 = 0 c2 = 2ωh sinλ c3 = 0

x = 2ωy cosλ

y = −2ω(x cos λ + (z − h) sin λ)

z = −gt + 2ωy sinλ

Die Glieder proportional zu ω sind klein gegen gt =⇒ z(t) = −gt. Sie bildendie Storung.Die Abweichung y vom bewegten System ist eine Funktion von ω und t.Ergo tritt in erster Naherung das Glied y1(ω, t) ∼ ω auf.

Achtung!

Wir setzen y1(ω, t) ∼ ω in x ein und erhalten:

x = 2ωy1(ω, t) cos λ ∼ ω2

=⇒ x(t) = 0

Denn die Glieder ∼ ω2 werden vernachlassigt.Die Integration von z(t) = −gt liefert mit den Anfangsbedingungen:

z(t) = − g2 t2 + h

Die Integration von x(t) = 0 mit den Anfangsbedingungen liefert:

x(t) = 0


Wegen x(t) = 0 fallt in der Differentialgleichung fur y(t) das Glied 2ωx cos λheraus und es bleibt

y = −2ω(z − h) sin λ

einsetzen von z = − g2 t2 + h:

y = −2ω

(

h− 1

2gt2 − h

)

sinλ

= ωgt2 sinλ

Mit der Anfangsbedingung y(t = 0) = 0

y =ωg sinλ

3t3

Die Losung des Differentialgleichungssystems in der Naherung ωN = 0 mitN ≤ 2 (konsistent bis zu den linearen Gliedern) ist dann:

x(t) = 0

y(t) =ωg sinλ

3t3

z(t) = h− g

2t2

Die Fallzeit T ergibt sich aus z(t = T ) = 0:

T 2 =2h

g

y(t = T ) = y(h)

=ω sinλ2h

3g

√

2h

g· g

=2ωh sin λ

3

√

2h

g

Letzteres ist die Ortsablenkung als Funktion der Fallhohe.

6.6.3 Exakte Losung

x = 2yω cos λ

y = −2ω (z sinλ + x cos λ)

z = −g + 2ωy sinλ

Integrieren mit den schon in der Storungsrechnung verwendeten Anfangsbe-dingungen liefert:

x = 2ωy cos λ

y = 2ω(z sinλ + x cos λ) + 2ωh sinλ

z = −gt + 2ωy sinλ


Durch Einsetzen von x und z in y erhalt man

y + 4ω2y = 2ωy sinλ = ct

Dies ist eine inhomogene Differentialgleichung 2.Ordnung. :-oDie allgemeine Losung ist

- die allgemeine Losung der homogenen Gleichung, das heißt

y + 4ω2y = 0

y = −4ω2y

y = A sin 2ωt + B cos 2ωt

- und eine spezielle Losung der inhomogenen Gleichung

y + 4ω2y = ct

y =c

4ω2t

=⇒ y =c

4ω2t + A sin 2ωt + B cos 2ωt

Aus den Anfangsbedingungen zur Zeit t=0

x = y = 0 x = y = z = 0 z = h

folgt B=0 (y=0):

− c

4ω2= 2ωA (y = 0)

A = − c

8ω3

y =c

4ω2t− c

8ω3sin 2ωt

=c

4ω2

(

t− sin 2ωt

2ω

)

c = 2ωg sinλ

y =g sinλ

2ω

(

t− sin 2ωt

2ω

)

Einsetzen in x = 2ωy cos λ liefert:

x = g sinλ cos λ

(

t− sin 2ωt

2ω

)

aus den Anfangsbedingungen folgt:

x = g sinλ cos λ

(

t2

2− 1− cos 2ωt

4ω2

)


In z = −gt + 2ωy sinλ wird y eingesetzt:

z = gt + 2ω sinλ

[g sinλ

2ω

(

t− sin 2ωt

2ω

)]

z = −gt− g sin2 λ

(

t− sin 2ωt

2ω

)

Mit den Anfangsbedingungen integriert liefert dies:

z = h− g

2t2 + g sin2 λ

(

t2

2− 1− cos 2ωt

4ω2

)

Und hier sind die exakten Losungen noch einmal zusammengefasst:

x = g sinλ cos λ

(

t2

2− 1− cos 2ωt

4ω2

)

y =g sinλ

2ω

(

t− sin 2ωt

2ω

)

z = h− g

2t2 + g sin2 λ

(

t2

2− 1− cos 2ωt

4ω2

)

Es ergibt sich fur die Entwicklung in ωt bei

t2

2− 1− cos 2ωt

4ω2=

t2

2−[

1

4ω2− cos 2ωt

4ω2

]

mit

(∗) cos 2ωt = 1− sin2 ωt = 1− 2

[

ωt− (ωt)3

3!

]2

!' 1− 2

[

ω2t2 − 2ω4t4

6

]

' 1− 2ω2t2 − 4ω4t4

6folgt

(∗)' t2

2−[

1

4ω2− 1

4ω2− 2ω2t2

4ω2− 4ω4t4

6 · 4ω2

]

=t2

6ω2t2

x =gt2

6sinλ cos λ

(

ω2t2)


Entsprechend:

y =gt2

3sinλωt

z = h− gt2

2

(

1− cos2 λ

3(ωt)2

)

Berucksichtigt man nur Glieder erster Ordnung in ωt, so ist (ωt)2 = 0 undwir erhalten:

x(t) = 0

y(t) = gωt3

3sinλ

z(t) = h− g

2t2

Dies ist identisch mit den Ergebnissen der Storungsrechnung!Die nichtentwickelten Losungen fur x, y und z sind jedoch exakt!Die Ostablenkung einer fallenden Masse erscheint zunachst paradox, weilsich die Erde doch nach Osten dreht, aber man muß bedenken:Die Masse hat in der Hohe h zur Zeit t = 0 im Inertialsystem aufgrundder Erdrotation eine großere Geschwindigkeitskomponente ostwarts, als einBeobachter auf der Erdoberflache. Diese “uberschussige” Geschwindigkeitgen Osten lasst den Stein nach Osten fallen und nicht senkrecht nach unten.

Projektion derMeridiane

h

R

Turm derHoehe h

6.6.4 Das Foucaultsche Pendel

Eine einigermaßen vollstandige theoretische Beschreibung des FoucaultschenPendels enthalt einige wichtige neue mathematische Konzepte wie nichtli-neare Differentialgleichungen, komplexe Zahlen, die wir als Handwerkszeugangeben. Vollstandig wird dieses Problem in T1 (Theoretische Mechanik)behandelt.


x

yOsten

z

Sueden

Es gilt ~F = ~T + m~g (~T ist unbekannte Zugkraft), sowie die Grundgleichungfur bewegte Bezugssysteme:

m~r = ~F −md~ω

dt× ~r − 2m~ω × ~v −m~ω × (~ω × ~r)

Wegen d~ωdt = 0, sowie ω2 ' 0

m~r = ~T + m~g − 2m~ω × ~v

Dabei fuhrt 2m~ω × ~v, die Corioliskraft zu einer Drehung der Schwingungs-ebene.

~T =(

~T · ~e′x)

~e′x +(

~T · ~e′y)

~e′y +(

~T · ~e′z)

~e′z

Tx

T= −x

l

Ty

T= −y

l

Tz

T= − l − z

l

~ω × ~v =

∣∣∣∣∣∣∣

~e′x ~e′y ~e′z−ω sinλ 0 ω cos λ

x y z

∣∣∣∣∣∣∣

= − cos λy~e′x + ω (cos λx + sinλz) ~e′y − ω sinλy~e′z

mit m~g = −mg~e′z und allem eingesetzt ergibt sich ein gekoppeltes Systemvon Differentialgleichungen:

mx = −x

lT + 2mω cos λy

my = −y

lT − 2mω (cosλx + sinλz)

mz =l − z

lT −mg + 2mω sinλy

Zur Eliminierung von T machen wir folgende Naherung:

Der Pendelfaden soll sehr lang sein, das Pendel soll aber nur miteiner kleinen Amplitude schwingen.

6.7. KOMPLEXE ZAHLEN 123

=⇒ x

l 1

y

l 1

z

l 1

Der Massenpunkt bewegt sich in der x-y-Ebene, deshalb gilt:

l − z

l= 1 und mz = 0

=⇒ T = mg − 2mω sinλy

Wir setzen ein in x und y und teilen durch die Masse m:

x = −g

lx +

2ω sinλ

lxy + 2ω cos λy

y = −g

ly +

2ω sinλ

lyy + 2ω cos λx

Dies ist ein System nichtlinearer Differentialgleichungen. Nichtlinear heißensie deshalb, weil die Glieder xy und yy auftreten. Da die Produkte der klei-nen Zahlen ω, x, y, beziehungsweise ω, y, y gegenuber den anderen Termenverschwindend klein sind haben wir

x =g

lx + 2ω cos λy

y =g

ly + 2ω cos λx

Diese linearen, gekoppelten Differentialgleichungenbeschreiben die Schwingungen eines Pendels unterEinfluß der Corioliskraft in guter Naherung.

Zur Losung brauchen wir komplexe Zahlen.

6.7 Komplexe Zahlen

Definition 26 (Imaginare Zahlen) Die Zahl i ist die Einheit der ima-ginaren Zahlen; sie hat die Eigenschaft:

i2 = −1

i entspricht dabei der 1 bei den reellen Zahlen.

Das Quadrat positiver wie negativer reeller Zahlen ist immer eine positivereelle Zahl:

32 = (−3)2 = 9


Die Wurzel aus einer positiven Zahl ist daher positiv oder negativ. Im Ver-gleich dazu liefert das Quadrat der imaginaren Zahl eine negative Zahl.Die allgemeine Form einer imaginaren Zahl ist:

z = y · i√−5 =

√

5(−1) =√

5√−1

Aus i2 = −1 folgt i =√−1 =⇒

√−5 =

√5·i Die Wurzel aus einer negativen

Zahl ist eine imaginare Zahl! Es gilt mit i2 = −1

i3 = i2 · i = −i

i4 = i2 · i2 = 1

Definition 27 (Komplexe Zahl)

z = x + iy

x heißt Realteil von z: Re(z)y heißt Imaginarteil von z: Im(z)

Der Imaginarteil ist reell!Eine imaginare Zahl entsteht durch das Produkt iy.

Definition 28 (Komplex konjugierte Zahl)

z∗ = x− iy

Eine komplexe Zahl ist nur dann Null, wenn Real- und Imaginarteil gleich-zeitig Null sind.

Rechenregeln

Addition z1 + z2 = (x1 + iy1) + (x2 + iy2)

= (x1 + x2) + i(y1 + y2)

Subtraktion z1 − z2 = (x1 − x2) + i(y1 − y2)

Multiplikation z1z2 = x1x2 − y1y2 + i(x1y2 + x2y1)

Division z1

z2=

(x1 + iy1

x2 + iy2

)

=x1 + iy1

x2 + iy2

x2 − iy2

x2 − iy2

=x1x2y1y2 + i(y1x2 − x1y2)

x22 + y2

2

Erweiterung mit komplex konjugierter

des Nenners, dann Ausmultiplizieren


6.7.1 Gaussche Zahlenebene

y

y

xx

Im(z)

Re(z)

P(z)=(x,y)

Zu jeder komplexen Zahl zgibt es genau einen PunktP (z) in der Gausschen Zahle-nebene.

yP(z)

x

yr

Wir konnen den Punkt P (z)auch durch seinen Abstand rvom Ursprung und durch denWinkel α festlegen.

x = r cosα ∧ y = r sinα

⇓

z = r(cos α + i sin α)z∗ = r(cos α− i sin α)

Es gilt

r2 = x2 + y2 =⇒ r =√

x2 + y2

r heißt der Betrag der komplexen Zahl z: |z| = r. Weiterhin gilt:

tan α =y

x

cot α =x

y

α = arctany

x

tan

1

1/2 3/2 2

α heißt das Argument der komple-xen Zahl, lauft von 0 bis 2π und des-sen Vorzeichen bestimmt den Qua-dranten. Aber Achtung:Die Tangensfunktion ist periodischmit der Periode π, deshalb liefert siezwei Werte fur 0 ≤ α ≤ 2π!


6.7.2 Exponentialfunktion einer komplexen Zahl

Eulersche Formel:Ansatz:

z = reiα = r(cos α + i sin α)

=⇒ eiα = (cos α + i sinα)

Beweis: Taylorentwicklung von ex

ex = 1 + x +x2

2!+

x3

3!+

x4

4!+

x5

5!+ · · ·

eiα = 1 + iα− α2

2!− i

α3

3!+

α4

4!+ i

α5

5!± · · ·

cos α = 1− α2

2!+

α4

4!± · · ·

i sinα = iα− iα3

3!+ i

α5

5!± · · ·

=⇒ cos α + i sinα = 1 + iα− α2

2!− i

α3

3!+

α4

4!+ i

α5

5!± · · ·

Die Euler Formel ist also:

eiα = cos α + i sin α

Wichtige spezielle Falle:

e−iα = cosα− i sinα

cos α = 12

(eiα + e−iα

)

sinα = 12i

(eiα − e−iα

)

Und ganz allgemein:

reiα = rei(α+2kπ) k = ±1,±2,±3, . . .

Zuruck zur Losung der Differentialgleichung:

x = −g

lx + 2ω cos λy

y = −g

ly + 2ω cos λx

Wir definieren zunachst zwei Abkurzungen:

k2 =g

l∧ ω cos λ = α


Die Multiplikation von y mit i =√−1 ergibt:

x = −k2x− 2αi2y

iy = −k2iy − 2αix

x + iy = −k2(x + iy)− 2αi(x + iy)

Und wir fuhren die nachste Abkurzung ein: u = x + iy

u = −k2u− 2αiu oder u + 2αiu + k2u = 0

Diese Gleichung wird durch den sich bei allen Schwingungsvorgangen bewahr-ten Ansatz Ceγt gelost. γ wird durch Einsetzen der Ableitungen bestimmt:

Cγ2eγt + 2αiCγeγt + k2Ceγt = 0

oder

γ2 + 2iαγ + k2 = 0

Die beiden Losungen sind

γ1,2 = −iα± ik

√

1 +α2

k2

Da α2 = ω2 cos2 λ ist, und weiterhin ω2

k2 klein gegen 1:

ω2

k2 =T 2

Pendel

T 2Erde

1

=⇒ γ1,2 = −iα± ik

Die allgemeine Losung der Differentialgleichung u + 2αiu + k2u = 0 ist:

u = Aeγ1t + Beγ2t

A und B sind durch die Anfangsbedingungen festgelegt, sie sind selbst-verstandlich komplex, so daß man die Gleichung auch schreiben kann als

u = (A1 + iA2) e−i(α−k)t + (B1 + iB2) e−i(α+k)t

Bemuhen wir noch die Euler-Formel, so kommt dabei folgendes heraus:

x + iy = (A1 + iA2) (cos[α− k]t− i sin[α− k]t)

+ (B1 + iB2) (cos[α + k]t− i sin[α + k]t)


Nach Trennung von Real- und Imaginarteil folgt daraus

x = A1 cos(α− k)t + A2 sin(α− k)t

+B1 cos(α + k)t + B2 sin(α + k)t

y = A1 sin(α− k)t + A2 cos(α− k)t

+B1 sin(α + k)t + B2 cos(α + k)t

mit den Anfangsbedingungen

x0 = 0 x0 = 0

y0 = L y0 = 0

Das heißt, das Pendel wird um die Strecke L nach Osten ausgelenkt undbei t = 0 losgelassen. Mit x0 = 0 folgt B1 = −A2. Die sich damit aus yergebende Differenz ergibt, durch Einsetzen von x0 = 0:

B2 = A2(k − α)

k + α

und da α k =⇒ B2 = A2. Ergo:

x = A1 cos(α− k)t + A2 sin(α− k)t

− A1 cos(α− k)t + A2 sin(α + k)t

y = A1 sin(α− k)t + A2 cos(α− k)t

+ A1 sin(α− k)t + A2 cos(α + k)t

Unter Berucksichtigung von y0 = L und y0 = 0 folgt aus y0 = 0

−A1(α− k) + A1(α + k) = 0 =⇒ A1 = 0

sowie aus y0 = L

2A2 = L =⇒ A2 =L

2

so daß sich insgesamt ergibt:

x =L

2sin(α− k)t +

L

2sin(α + k)t

y =L

2cos(α− k)t +

L

2cos(α + k)t

Unter Berucksichtigung des folgenden Zusammenhangs

sin(x± y) = sinx cos y ± cos x sin y

cos(x± y) = cos x cos y ± sinx sin y


folgt dann

x = L sinαt cos kt

y = L cos αt cos kt

oder, formuliert als Vektorgleichung

~r = L cos kt (sin(αt)~ex + cos(αt)~ey)

6.7.3 Diskussion

y

z

x

Der erste Faktor beschreibt die Bewegung eines Pendels, das mit der Am-

plitude L und der Frequenz k =√

gl

schwingt.

Der zweite Faktor ist ein Einheitsvektor ~n, der mit der Frequenz α = ω cosλrotiert und die Drehung der Schwingungsebene beschreibt.

~r = L cos kt~n(t)

~n(t) = sinαt~ex + cos αt~ey

Fur die Nordhalbkugel ist cos λ > 0und nach kurzer Zeit cos αt > 0

sinαt > 0=⇒ Schwingungsebene dreht sich im Uhrzeigersinn

Und fur die Sudhalbkugel cos λ < 0=⇒ Drehung gegen die Uhr.

Insgesamt ergeben sich Rosettenbahnen!


Pantra rhei

Alles fließt

Heraklit

Kapitel 7

Hydrodynamik

7.1 Ruhende Flussigkeiten und Gase

Hydrostatik und Aerostatik Die Einzelteile eines makroskopischen Korperssind gegeneinander verschiebbar; man unterscheidet:

• Formveranderungen ohne Volumenanderung wie beispielsweise Sche-rungen, Biegungen, Drillungen,. . .

• Formveranderungen mit Volumenanderung wie Kompressionen, Dila-tationen,. . .

Feste Korper wehren sich gegen beide Arten der Formveranderung; siekehren sobald die Beanspruchung aufhort wieder in ihren ursprunglichenZustand zuruck. Man sagt sie seien Form- und Volumenbestandig. Erst wenndie Beanspruchung bestimmte Grenzen uberschreitet beginnt das plastischeFließen, daß schlußendlich zum Bruch fuhrt.

Flussigkeiten haben ein bestimmtes Volumen – aber keine bestimmteForm:

- nur eine Volumenanderung erfordert Krafte

- es herrscht Volumenelastizitat; dies bedeutet:Bei Entlastung nach einer Kompression stellt sich das Anfangsvolumenwieder ein.

131

132 KAPITEL 7. HYDRODYNAMIK

Gase erfullen jeden verfugbaren Raum, das bedeutet:

- keine Formelastizitat

- viel kompressibler als flussige oder feste Korper

Festkorper und Flussigkeiten zahlen zu den kondensierten Korpern, sowieFlussigkeiten und Gase zu den fluiden Korpern. Dazwischen befinden sichdie amorphen Stoffe, welche weder richtig fest noch flussig sind wie bei-spielsweise Teer oder auch Glas. Eine quantitative Erklarung der einzelnenPhanomene erfolgt spater in der Festkorper- und Atomphysik.Flussigkeitsmolekule sind nicht an Gleichgewichtslagen gebunden, sie sindgegeneinander seitlich verschiebbar aber nicht ganz frei, denn Reibungskraftebehindern die Bewegung. Die Dichten in Flussigkeiten und festen Stoffensind nicht allzu verschieden. Im Gegensatz dazu stehen die Gase (nichtzu grosser Dichte): In ihnen konnen die Krafte zwischen den Molekulenvernachlassigt werden, ausser im Moment des Zusammenstoßes zweier Mo-lekule.=⇒ Gasmolekule bewegen sich vollig ungeordnet

Bei “normalen” Drucken und Temperaturen haben Gase Dichten, die 103malkleiner sind als die kondensierter Materie.

7.1.1 Gestalt von Flussigkeitsoberflachen

Flussigkeitsteilchen verschieben sich leicht tangential zur Oberflache, sobaldentsprechende Krafte wirken. Ein Gleichgewicht kann nur bestehen, wenndie Oberflache uberall senkrecht zu den Kraften steht. Im homogenen Schwe-refeld ist die Oberflache horizontal. Kommt jedoch ein Zentrifugalfeld hinzu,so wird die Oberflache ein Rotationsparaboloid, dessen Achse mit der Dreh-achse zusammenfallt.

x

x

y

mg

Man kann den Neigungswinkel α als Funktion des Abstandes x beschreiben:

tanα =mω2x

mg=

ω2x

g

7.1. RUHENDE FLUSSIGKEITEN UND GASE 133

Andererseits gilt auchdy

dx= tanα

Dies ist die Steigung der Geraden, oder anders ausgedruckt die Neigung derOberflache gegen die Waagrechte. Beide Gleichungen lassen sich uber denTangens gleichsetzen:

dy

dx=

ω2x

g

uber eine Trennung der Variablen ergibt sich

∫

dy =ω2

g

∫

xdx

y =ω2

g

∫

xdx

=1

2

ω2

gx2 + C

Fur x = 0 soll gelten y = 0, woraus sich C = 0 ergibt

y =1

2

ω2

gx2

7.1.2 Der Druck

p

A

FGreift an einer Flache A die Kraft F flachenhaftund senkrecht an, so heißt das Verhaltniss vonKraft zu Flache Druck :

p =F

A

Die Einheit des Drucks ist

[p] = 1Nm−2

= 1Pascal

= 10−5bar

Ein bar ist der normale Atmospharendruck und 1 ATM entspricht 1013mbar.

Anmerkungen


• Der Druck ist kein Vektor!Soweit man von der Abhangigkeit des Drucks vom Gewicht der Flussig-keit absehen kann gilt der Satz von der allseitigen Gleichheit desDruckes (Isotrophie).

• An jeder Stelle der Wand und im Inneren der Flussigkeit ist der Druckder Gleiche.

• Bei ruhenden Flussigkeiten ist die Kraft senkrecht zur Wand.

Ein Anwendungsbeispiel ist die hydraulische Presse:

Auf den kleinen Stempel wirkt die bekann-te Kraft F; außerdem ist weiterhin dieFlache des kleinen und großen Stempelsbekannt. Somit ist der Druck:

p =F1

A1

p p

Beide Druckkammern stehen in Verbindung; somit gilt:

F2

F1=

A2

A1

Und aufgelost:

F2 = pA2 = F1A2

A1

7.1.3 Druckkraft

Auf das Volumen dV = dxdydz innerhalb einer Flussigkeit moge von derlinken Seite, oder dem linken Flachenelement dydz her der Druck p wirken.Eine Druckanderung in x-Richtung bewirkt einen entsprechenden Druck p+∂p∂xdx auf die Gegenflache.

dx

dz

z

y

x p

dy

Die Kraft in x-Richtung ist

Fx = pdydz −(

p +∂p

∂xdx

)

dydz = −∂p

∂xdV


Dies ergibt zusammengefasst fur alle drei Seiten des Quaders

~FDruck = −~∇p · dV

Aus ~∇p = ~0 folgt damit ~FDruck = ~0. Der Druck ist konstant im ganzenVolumen, auf jedes Flachenelement dA der umgebenden Wande wirkt ineiner ruhenden Flussigkeit derselbe Druck.

7.1.4 Druckarbeit

Eine hydraulische Presse spart zwar Kraft, aber keine Arbeit!Wir verdeutlichen uns diesen Zusammenhang: Schieben wir den Kolben umdx1 vor, ohne daß die Kraft F1 wesentlich geandert werden musste, so istdie geleistete Arbeit am Kolben 1:

dW = F1dx1 = pA1dx1 = pdV

mit dem Fluidvolumen dV = dx1A1, das verschoben wurde. Am Kolben2 wird die gleiche Arbeit geleistet, denn der Eintritt dieses Volumens dVverschiebt den grosseren Kolben nur um

dx2 =dV

A2

Allgemein erfordert eine Volumenabnahme−dV unter einem fast konstantenDruck p die Arbeit

dW = −pdV

7.1.5 Schweredruck

Eine Flussigkeitssaule mit der Hohe h und dem Querschnitt A hat das Ge-wicht F = g%hA und ubt daher den Druck

p =F

A= g%h

aus. Der Bodendruck ist dabei unabhangig von der Form des Gefasses (ver-gleiche: Hydrostatisches Paradoxon).

7.1.6 Kommunizierende Rohren

Zwei Flussigkeiten mit den Dichten %1 und %2 stehen in den Schenkeln einesU-Rohres. An jedem Rohrquerschnitt (zum Beispiel ganz unten), muss derDruck p = %gh beiderseits gleich sein, damit ein Gleichgewicht herrscht.Bei %1 = %2 ist das der Fall, wenn beide Schenkel gleich hoch gefullt sind –unabhangig von Form und Querschnitt!


Bei verschiedenen Dichten verhalten sich die Hohen umgekehrt wie diese,beispielsweise Wasser und Quecksilber:

hH2O

hHg=

%Hg

%H2O= 13, 6

Zu beachten:H2O kriecht an Hg vorbei, weil Hg die Wand nicht benetzt.

7.1.7 Auftrieb

Ein Zylinder oder Prisma, ganz in eine Flussigkeit der Dichte % getaucht,erfahrt auf seine Grundflache eine Kraft

F2 = g%h2A

und auf die obere Deckflache wirkt die Kraft

F1 = %gh1A

A

A

Die Differenz

FA = F2 − F1

= g% (h2 − h1) A = g%V

die den Korper nach oben schiebt, derAuftrieb, ist also gerade das Gewichtder verdrangten Flussigkeit. Die Krafteauf die Seitenflachen heben sich auf –auch bei beliebigen Formen.

Anmerkung:Eigentlich greift der Auftrieb uber die Oberflache verteilt an, man kannaber auch eine Einzelkraft einfuhren, die im Schwerpunkt der verdrangtenFlussigkeit angreift. (“Gleichgewichtsbetrachtung”)

7.1.8 Schwimmen

Ein Korper vom Gewicht FG, homogen oder nicht, erfahre ganz eingetauchtden Auftrieb FA.

FA = FG schwebt er im indifferenten Gleichgewicht,Bei FA < FG sinkt er

FA > FG schwimmt er (Ein Teil ragt uber die Oberflache.)


7.1.9 Druck

Bei einem nicht zu dichten oder zu kalten Gas sind Druck und Volumenumgekehrt proportional zueinander:

V ∼ p−1 ∧ V ∼ %−1

Aus beiden Bedingungen lasst sich das Gesetz von Boyle-Mariotte herleiten:

p%

= const

Der Atmospharendruck ist gleich dem Luftdruck und dieser wiederum istuberall 1atm oder 1,013bar. Dieser Druck kommt wie der Schweredruck ineiner Flussigkeit zustande, als Quotient von Gewicht und Flache der gesam-ten Erdatmosphare.Ware die Luft uberall so dicht wie in Meereshohe, dann konnte die Atmo-sphare nur bis zur Hohe

H =p

%g=

1, 013 Nm2

9, 81kg ms2 1, 29 kg

m3

' 8km

reichen; dann wurde aber der “Mount Everest” bereits ins Leere ragen. Beieinem Kilometer Anstieg wurde der Druck immer um 127mbar abnehmen,wahrend % konstant bliebe.Bei konstanter Temperatur muss aber nach Boyle-Mariotte die Dichte pro-portional zum Druck mit der Hohe abnehmen. Ergo:

p = g%h

gilt nur in einer dunnen Schicht der Dicke dh; beim Anstieg um dh andertsich der Druck um

dp = −g%dh (zwei Variable % und p)

mit dem Gesetz von Boyle-Mariotte ergibt sich

p%

= p0

%0

=⇒ dpdh

= −g %0

p0p

Dabei sind p0 und %0 die jeweiligen Werte auf Meereshohe.Die Ableitung der Funktion p(h) ist bis auf den Faktor −g %0

p0gleich der

Funktion selbst. Es handelt sich also um eine Exponential-Funktion:

p(h) = p0e−g

%0h

p0


mit der Skalenhohe

H =p0

%0g = 8005m (bei 0C)

p(h) = p0e− h

HbarometrischeHohenformel

Bei einem Anstieg von acht Kilometern nehmen also Druck und Dichte nichtauf Null ab wie bei der “homogenen Atmosphare”, sondern um den Faktore−1 = 0, 386. Eine scharfe obere Grenze der Atmosphare gibt es nicht.

7.1.10 Oberflachenspannung

- Tropfen auf fettiger Unterlage −→ nimmt Kugelform an

- Wasserlaufer uberm See

- Enten, die im eiskalten Wasser nicht frieren

Dann zeigt sich, dass eine Flussigkeit eine Art Haut hat, deren Spannung insehr kleinem Maßstab der Schwerkraft entgegenwirkt.Jede gespannte Haut hat minimale Energie, wenn ihre Flache minimal wird

Oberflachenenergie ∼ OberflacheWOb = σA

σ: spezifische Oberflachenspannung

Bei gegebenem Volumen hat eine Kugel die kleinste Oberflache, deshalb sindTropfchen eben kugelig.Die Beine der Wasserlaufer oder Enten sind gut eingefettet, das heißt nichtbenetzbar (Waschpulver senkt die Oberflachenspannung =⇒ macht fettigeFlachen benetzbar!).Die Oberflachenenergie ist Teil der Anziehungsenergie zwischen den Flussig-keitsmolekulen. Befindet sich ein Molekul tief in der Flussigkeit, so ist die aufes wirkende Gesamtkraft Null. Die Reichweite der Oberflachenspannung be-tragt 10−9m. Befinden sich Molekule an der Oberflache, so sind die Krafteeinseitig; es bleibt eine resultierende Kraft zur Flussigkeit hin. Um sie zuuberwinden und das Molekul ganz an die Oberflache zu bringen brauchtman Energie.Betrachten wir einmal nur die Molekularkrafte zwischen Nachbarn, so haltenein Molekul

• 12 Bindungen im Innern der Flussigkeit

• 9 Bindungen an der Oberflache

7.2. STROMUNGEN 139

Daraus folgt, daß die Oberflachenenergie pro Molekulquerschnitt ∼ 14 der

Energie ist, die notig ist das Molekul ganz aus der Flussigkeit zu befreien,das heißt 1

4 Verdampfungsenergie.

BugelversuchDie Oberflachenenergie bewirkt durch die Seifenhaut eine Kraft auf denBugel der Seitenlange b. Sie ziehe den Bugel um δs aufwarts.=⇒ Die Oberflachenenergie steigt um 2bδs. (Der Bugel hat zwei Sei-

ten, deshalb der Faktor zwei.)

∆W = F ·∆s

=⇒ F = 2bσ

An jedem Rand einer Oberflache zieht also eine Kraft nach innen, die gleichσ mal der Randlange ist.σ ist sehr empfindlich gegen winzige Verunreinigungen.

7.2 Stromungen

Bisher haben wir Flussigkeiten betrachtet, die als Ganzes ruhen; die Be-handlung der dort auftretenden Phanomene ist Aufgabe der Hydrostatik;eine thermische Bewegung der Molekule ist vernachlassigbar.Eine vollstandige Behandlung der makroskopischen Bewegung von Flussig-keiten und Gasen erfordert die Kenntnis aller Krafte, die auf ein Volumen-element ∆V mit der Masse ∆m = ∆V · % wirken.

Druckkrafte ∼ ~∇p

Schwerkraft ∼ ∆m~g (vertikale Stromung)

Reibungskrafte ∼ UStrom(r) (Geschwindigkeitsprofil)

Ist im allgemeinen alles Newton oder was?

~F = ∆m~r = ~Fp + ~Fg + ~FR = %∆V d~vdt

7.2.1 Grundbegriffe

kontinuierliches Geschwindigkeitsfeld ~u (~r, t)

stationare Stromung ~u (~r)Es ist zeitlich konstant, aber nicht raumlich!

Begriffskiste Demtroder Seite 222Stromlinie, Stromfaden, Stromrohre, . . .


Ideale FlussigkeitKeine Reibung und keine Dissipation. Beispiele:

• ”trockenes Wasser“

• Luftumstromte Tragflachen

• viele astronomische Stromungen, . . .

zahe FlussigkeitStarke Reibung. Beispiele:

• Dissipation

• Honig, . . .

reale FlussigkeitSie ist idealzah.

laminare StromungenDie Stromfaden sind geschichtet, nicht geruhrt!

turbulente StromungenVerruhrt, verwirbelt, . . .

Der Newton der Hydrodynamik heisst Euler!

Euler-Gleichung ≡ ~F = m~a|Flussigkeit

~F = m~a = md~v

dt

Dies ist eine lineare Differentialgleichung nach Newton.Geschwindigkeiten in Flussigkeiten sind lokal und global. Im Intervall dt legtein Flussigkeitsvolumen mit der Geschwindigkeit ~u (~r, t) den Weg d~r = ~udtzuruck. Es kommt vom Ort ~r zum Ort ~r + ~udt.Aber Achtung: ~u kann sich von Ort zu Ort und von Zeit zu Zeit andern.

~u + d~u = ~u (~r + ~udt, t + dt)

dux

dt=

∂ux

dt+

∂ux

∂x

dx

dt+

∂ux

∂y

dy

dt+

∂ux

∂z

dz

dt

Oder kurzer:d~udt = ∂~u

∂t +(

~u · ~∇)

~u

Durch das Nabla erhalten wir einen Zusammenhang ∼ u2 dies bedeutetNichtlinearitat und bereitet stets Probleme. Der Term setzt sich aus zweiSummanden zusammen, denen folgende Bedeutung zukommt:

7.2. STROMUNGEN 141

(

~u · ~∇)

~u Dies ist die Konvektionsbeschleunigung; sie tritt auch bei

stationaren Stromungen auf.

∂~u∂t 6= ~0 fur nichtstationare Stromungen

Damit ergibt sich die

Euler-Gleichung

d~udt = ∂~u

∂t +(

~u · ~∇)

~u = ~g − 1%~∇p

↑ ↑Schwer- Druck-kraft kraft

Sie ist eine Bewegungsgleichung und gilt fur ideale Flussigkeiten, das heißtsie mussen reibungsfrei sein. Fur die Massenerhaltung (rein=raus) ist dieKontinuitatsgleichung zustandig; das Volumen V enthalt zur Zeit t die Masse

M =

∫

V

%dV V olumenintegral

Die zeitliche Anderung der Masse ist beim Ausstromen

∂M

∂t= − ∂

∂t

∫

V

%dV

= −∫

V

∂%

∂tdV

Die zeitliche Anderung der Masse beim Ausstromen lasst sich auch durch einOberflachenintegral berechnen. Pro Zeiteinheit stromt aus einer OberflacheS die Masse

−∂M∂t

=∫

S

%~u · d~s =∫

S

~ · d~s

d~s Oberflaechenelement

~=%~u Stromdichte

Na und jetzt? Da war doch was?! – Genau: Gauss (Oberflachenintegral −→Volumenintegral)

−∂M

∂t=

∮

S

%~ud~s =

∫

V

~∇ · (%~u) dV

↑Divergenz


Gleichsetzen und umformen liefert:∫

V

[∂%

∂t+ ~∇ · (%~u)

]

dV = 0

Da das fur alle Volumina gelten muss

Kontinuitatsgleichung−→ Massenerhaltung

∂%∂t

+ ~∇ · (%~u) = 0

Gilt fur Gase und Flussigkeiten

Fur inkompressible Fluide gilt weiterhin

∂%

∂t= 0 bzw. % = const

Damit ergibt sich die Kontinuitatsgleichung fur inkompressible Flussigkei-ten:

~∇ · ~u = 0

Sie gilt fur u < Schallgeschwindigkeit; denn fur u > Schallgeschwindigkeit,wie sie beispielsweise bei Uberschallflugzeugen auftreten, bilden sich Schock-wellen: Das Gas wird komprimiert und der Uberschallknall entsteht.

7.2.2 Die Bernoulli-Gleichung

Die Energieerhaltung in idealen Flussigkeiten wird von der Bernoulli-Gleichungbeschrieben.

∆V1 = A1∆x1 ∧ ∆V2 = A2∆x2

7.2. STROMUNGEN 143

Eine Flussigkeit strome durch ein Rohr mit veranderlichem Querschnitt.=⇒ Die Stromungsgeschwindigkeit muss aufgrund der Kontinuitatsglei-

chung großer werden.Ergo: Die Flussigkeit wird dort beschleunigt.

=⇒ Die kinetische Energie steigt, woraus wiederum eineDruckabnahme folgt.

Beweis:Die Arbeit um das Flussigkeitsvolumen ∆V1 = A1∆x1 durch dieFlache A1 um ∆x1 gegen den Druck p1 zu bewegen ist

∆W1 = ∆V1 · p1

Und analog im engen Teil

∆W2 = ∆V2 · p2

Durch diese Arbeit wird die potentielle Energie geandert:

Ekin =1

2∆mu2 =

1

2%u2∆V

Fur ideale (sprich: reibungsfreie) Flussigkeiten gilt

Ekin + Epot = const

p1∆V1 +1

2%u2

1∆V1 = p2∆V2 +1

2%u2

2∆V2

Fur inkompressible Flussigkeiten ist % = const, deshalb ist ∆V1 =∆V2 = ∆V und damit ergibt sich

p1 +1

2%u2

1 = p2 +1

2%u2

2

Fur reibungsfreie, inkompressible Flussigkeiten gilt also

Bernoulli-Gleichungp + 1

2%u2 = p0 = const

p0 ist der Gesamtdruck an der Stelle mit u = 0. Man unterscheidet:

- Staudruck oder dynamischen Druck%2u2 = p0 − p

- statischen Druckp = p0 − %

2u2

Praktische Anwendung


• Zerstauber

• Wasserstrahlpumpen

• Gebaudezerstorung durch einen Sturm:

>

~FA = ∆p · A

• Aerodynamik oder aerodynamischer Auftrieb

Die Luft umstromt eine Tragflache. Bei einer unsymmetrischen Profil-form stromt die Luft oben schneller um die Tragflache als unten. Mitder Gesamtflache A ergibt sich als Auftriebskraft:

F ' 1

2%L

(

u21 − u2

2

)

A

Sie wirkt nach oben auf die Flache. – Im Prinzip!Luft ist namlich keine ideale oder inkompressible Flussigkeit.=⇒ Reibungskrafte, Wirbel, . . .

7.2.3 Laminare Stromungen

Wenn es stark reibt, wird es laminar:

wenn ~FR>∼ ~FB

Reibung>∼ Beschleunigung

Die Reibung kann Haftreibung, Gleitreibung, . . . sein. Hier ist es die innereReibung, also die Reibung zwischen den Geschwindigkeitslamellen.

7.2. STROMUNGEN 145

Erklarung:Wir bewegen eine Platte der Flache A in einer Flussigkeit. Zweifelsohnebesteht Haftreibung zwischen der Flussigkeit und der Oberflache. Dadurchwerden Flussigkeitsschichten x = x0 ± dx von der Platte mitgenommen. Eserfolgt ein Impulsubertrag auf Nachbarschichten

∼ %uz(x) · dV

Wir bekommen den Geschwindigkeitsgradi-enten

∼ du

dx

und damit die Kraft

∣∣∣ ~F∣∣∣ = ηA

∣∣∣∣

du

dx

∣∣∣∣

x

D

Sie ist in z-Richtung aufzuwenden, um eine konstante Geschwindigkeit u0

der Platte zu erreichen.

Reibungskraft

~FR = −~F = −ηA

∣∣∣∣

du

dx

∣∣∣∣

η ist die dynamische Zahigkeit oder Viskositat, ihre Einheit ist

[η] = Nsm2 = Pa s

η|H2O ∼ 1 η|Glycerin ∼ 1480

Die Schichtdicke, innerhalb der die Flussigkeit noch durch die Bewegung derPlatte mitgenommen wird heißt Grenzschicht.

Wie dicht ist die Grenzschicht?Um die Platte um ihre eigene Lange L zu verschieben, muss gegen die Rei-bungskraft ~FR die Arbeit

WR = −FR · L = ηAL

∣∣∣∣

du

dx

∣∣∣∣ ' ηAL

u0

D

weil bei einem linearen Geschwindigkeitsgefalle gilt

du

dx∼ u0

D


Achtung: Wichtige Methode!

Ersetze ddt −→ 1

τ

ddx −→ 1

L

Dadurch ergibt sich fur ~∇ und ∆

~∇ ∼ 1

L∧ ∆ ∼ 1

L2

τ und L sind sogenannte charakteristische Langen.

Wieder zuruck zur Grenzschichtdicke . . .Durch die Mitbewegung einer Flussigkeitsschicht der Masse dm = %Adxgewinnt diese die kinetische Energie

dm

2u2 mit u = u0

(

1− |x|D

)

Ekin =1

2

∫

u2dm =%

2

D∫

0

2u20

(

1− |x|D

)

Adx

Der Faktor zwei entsteht dadurch, daß ja auf beiden Seiten der PlatteFlussigkeit ist und daher die Kraft zweimal auftritt. Ekin ist also

Ekin =1

3A%Du2

0

wegen der umgewandelten Warme muss

Ekin < WR = −ηFR

D <√

3ηL%u0

D ' 1√u0

7.2.4 Allgemeines zur Reibung in Flussigkeiten

!

dx

x

7.2. STROMUNGEN 147

In einer Flussigkeit mit einer Stromung sei uz(x) die Geschwindigkeit inz-Richtung mit dem Gradienten in x-Richtung. Die Lamellen schieben sichubereinander. Wir entwickeln die Geschwindigkeit in einer Taylor-Reihe:

uz(x0 + dx) = uz(x0) +∂uz

∂xdx + . . .

Die Entwicklung wird nach dem linearen Glied abgebrochen. Die Flussig-keitsschicht erfahrt zwischen x = x0 und x = x0 +dx die Reibungskraft d ~FR

pro Flachenelement dA = dydz. Fur ∂uz

∂x > 0 wird die Flache an x = x0

gebremst (Grenze zur langsameren Schicht) und an x = x0 + dx beschleu-nigt (Grenze zur schnelleren Schicht). Die Netto-Tangentialkraft auf beideFlachen ist

+dx

∂FR = dFR(x0 + dx)− dFR(x0)

∂FR = ηdydz

[

∂uz

∂x

∣∣∣∣x=x0+dx

− ∂uz

∂x

∣∣∣∣x=x0

]

Mit der Taylorentwicklung ergibt sich

=⇒ ∂FR = ηdxdydz∂2uz

∂x2

∂FR = ηdV∂2uz

∂x2

Summa summarum fur alle Raumrichtungen

dFR = ηdV

[

∂2uz

∂x2+

∂2uz

∂y2+

∂2uz

∂z2

]

︸︷︷︸

Laplace−Operator ∆·uz

dFR = η∆uzdV

Fur beliebige Stromungen ~u mit dem endlichen Volumen V:

~FR = η∫

V

∆~udV

7.2.5 Krafte in Flussigkeiten

Bisher kennen wir folgende Krafte in Flussigkeiten:

Schwerkraft: d ~FG = %~gdV

Druckkraft: d ~Fp = −~∇pdV

Reibungskraft: d ~FR = η∆~udV


Fassen wir alle in einer Gleichung zusammen, erweitern wir also die Euler-Gleichung um die Reibungskraft, so erhalten wir die

Navier-Stokes-Gleichung

%

(

∂∂t +

(

~u · ~∇) )

~u = −~∇p + %~g + η∆~u

↑ ↑ Kraftezeitliche raumliche

Anderung Anderung

mit (

~u · ~∇)

~u = 12~∇u2 − ~u× ~∇× ~u

↑ ↑Anderung Anderung

von ~u der Richtung

7.2.6 Laminare Stromung durch ein Rohr

Von entscheidender Bedeutung in vielen Bereichen sind Stromungen durchein zylindrisches Rohr, beispielsweise

• Wasserleitungen

• Pipelines

• Blutgefasse

• Extragalaktische Jets

• stellare Jets

...

Das Prinzip

Triebkraft > Reibungs-der kraft

Stromung ∼ η∆~u↓

Druckdifferenz

∼ −~∇p

Die folgende Funktion sei eine Stromung mit dem Druckgradienten in nega-tiver z-Richtung und der z-Geschwindigkeit als Funktion von x

d2u

dx2= −1

η

∂p

∂z

Die Losung der obigen Gleichung erfolgt durch zweimaliges Integrieren:

7.2. STROMUNGEN 149

1. Integrationdu

dx= −1

η

∂p

∂zx + C1

C1 ist die erste Integrationskonstante; fur sie muß gelten:

C1 =du

dx

∣∣∣∣x=0

Ihre physikalische Bedeutung ist die Steigung des Geschwindigkeitspro-files bei x = 0, also wenn unsere Gleichung ein Geschwindigkeitspara-boloid beschreibt, so bedeutet x = 0 exakt die Spitze vorne.Anmerkung: p hangt nicht von x ab.

2. Integration

u(x) = −x2

2η

dp

dz+ C1x + C2

C2 ergibt sich wieder aus den Randbedingungen.

Ein Beispiel sagt mehr als tausend Worte. . . :Wir mochten die Stromung zwischen zwei parallelen Platten mit dem Ab-stand d berechnen. Also sind

x = −d ∧ x = +d

Die Symmetrie fordert an der Stelle x = 0, dass dudx

= 0 ist. Daraus folgt:

C1 = 0

Außerdem soll die Flussigkeit an den Wanden haften. Daraus ergibt sichdann die zweite Randbedingung:

u(x = +d) = 0 ∧ u(x = −d) = 0

=⇒ C2 = d2

2ηdpdz

−d 0 d x

u(0)

Und damit lautet unsere Gleichung dann

u(x) =1

2η

dp

dz

(

d2 − x2)

Ihr Scheitel liegt bei x = 0, das heißt in derMitte zwischen den parallelen Wanden.

Dies ist aber lediglich die Stromung zwischen zwei parallelen Platten. Wid-men wir uns einmal der Stromung durch ein Rohr und betrachten wir dieDruckdifferenz p1 − p2 zwischen z = 0 und z = L eines Kreiszylinders mitRadius R.


z=0

z=LR

Die Zylindersymmetrie fordert, daß u nur von der Entfernung r von derZylinderachse abhangt. Die Reibungskraft auf die Zylinderoberflachen istgleich der Nettodruckkraft auf die Stirnflachen:

η2πrLdu

dr= −πr2 (p1 − p2)

du

dr=

r

2

p2 − p1

ηL

Die Randbedingung ist wieder: u(R) = 0

∫

du =

R∫

r

r

2

p2 − p1

ηLdr

u(r) =

R∫

r

r

2

p2 − p1

ηLdr + C

Die Randbedingung C ist

C =p1 − p2

4ηLR2

Man erhalt sie, indem man uber die vorige Gleichung nochmals integriert,die Randbedingung u(0) = 0 einsetzt und ausrechnet. Insgesamt ergibt sichdann fur die Gleichung:

u(r) =p1 − p2

4ηL

(

R2 − r2)

Dies ist die Gleichung eines Rotationsellipsoids und beschreibt die laminareStromung in einem zylindrischen Rohr.

7.2. STROMUNGEN 151

Die gesamte Flussigkeitsmenge, die pro Zeiteinheit durch eine Flache z =const des Hohlzylinders mit Radien zwischen r und r + dr fließt ist

dV

dr= 2πrdru =

2πrdr(R2 − r2

)

4ηL(p1 − p2)

Durch den gesamten Rohrquerschnitt fließt dann wahrend der Zeit t dasFlussigkeitsvolumen

V = t ·R∫

0

2πrdru =πR4 (p1 − p2)

2 · 4ηLt

Beachte:p1 − p2

L=

∂p

∂z

beschreibt ein lineares Druckgefalle entlang des Rohres (siehe auch 6.2.3Wichtige Methode).

Die Flussigkeitsstromstarke I = Vt fuhrt zum

Hagen-Poiseuille-Gesetz

I = πR4

8η∂p∂z

Das heißt I ∼ R4 und bedeutet, daß die kleinste Veranderung des Rohrquer-schnittes die Stromstarke dramatisch andert.

- Blutzirkulation

- Rohrstromungen

...


7.2.7 Laminare Stromungen um Kugeln – Stokes-Gesetz

r

schematischesGeschwindig-keitsprofil umeine Kugel, dievon einer visko-sen Flussigkeitumstromt wird

Zieht man eine Kugel vom Radius r mit der Geschwindigkeit v durch eineFlussigkeit, so haften die unmittelbar benachbarten Flussigkeitsschichtenan der Kugel. In einiger Entfernung herrscht die Stromungsgeschwindigkeitnull. Diese Entfernung ist von der Große r. Ergo

∂u

∂z∼ u

r

Auf der Oberflache der Kugel greift also eine bremsende Kraft an:

FR ' −η dudz

4πr2 ' 4πηur

Mit dieser Kraft muss man ziehen, um die Geschwindigkeit v zu erzeugen.Die genauere und sehr aufwendige Rechnung liefert das

Stokes-GesetzFR = −6πηru

Neben dem Stokeschen Gesetz existiert aber noch ein weiteres, das derNewtonschen Reibung ; hier ist ein kleiner Vergleich:

Stokes

FR ∼ vLaminare

StromungenWichtig: Viskositat

aber

Newton

FR ∼ v2 TurbulenteStromungen

Luftwiderstand∗

*Luftwiderstand fur ungunstig geformte Korper,

hohe Geschwindigkeiten wie bei Geschossen,. . .

Herleitung der Newtonschen Reibung:Will ein Korper mit der Geschwindigkeit v durch ein Medium der Dichte %

7.2. STROMUNGEN 153

dringen, so muß er es erst zur Seite drangen. Dazu muß er das Medium aufdie Geschwindigkeit vM beschleunigen, die ungefahr gleich seiner Geschwin-digkeit v ist. In der Zeit dt, muß dies fur eine Saule der Lange vdt und demQuerschnitt S geschehen. Dabei ist S ∼ Querschnitt des bewegten Korpers.

Volumen der Saule∫

vdtMasse der Saule mM = %Svdt

Um diese Masse auf die Geschwindigkeit v ' vM zu bringen, muß ihrdie Energie 1

2mMv2 = 12%Sv3dt zugefuhrt werden; naturlich auf Kosten des

Korpers. Das bedeutet also1

2%Sv3

ist die zuzufuhrende Leistung. Da

Leistung = Kraft · Geschwindigkeit

muß die Kraft beziehungsweise die Reibungskraft

FR = 12%Sv2

sein, wobei S der sogenannte effektive Querschnitt ist. Und damit ist dieGrenzschichtdicke aus Kapitel 7.2.3.

F ∼ ηS

Dv ' S

√

v3η%

L

und fur S ∼ L2 erhalten wir die

Prandtl-Reibung

FPrandtl =√

F StokesR · F Newton

R

Denn fur Schiffe und Flussigkeiten ist

Stokes zu klein

Newton zu groß

7.2.8 Stromungstypen

Unser Ansatzpunkt ist die Navier-Stokes-Gleichung (zur Erinnerung: Krafte-gleichgewicht):

%∂~u

∂t+ %

(

~u · ~∇)

~u = −~∇p + η∆~u + . . .


Fuhren wir die zwei Vektoren

~a1 =∂~u

∂t

~a2 =(

~u · ~∇)

~u

ein, so lautet sie dann

% (~a1 + ~a2) = −~∇p + η∆~u

Wir kennen drei Stromungstypen:

1. Ideale StromungKeine Reibung → meistens in Ordnung

2. Laminare StromungAnteil ~a2 der Beschleunigung ist zu vernachlassigen – aber die Rei-bungskrafte sind entscheidend.

3. Turbulente StromungenSelbst wenn die Stromung stationar ist (~a1 = 0), ist ~a2 von großeremEinfluß als die Reibungskrafte. (~a1 = 0 =⇒ ∂u

∂r= 0)

Turbulenz ist sehr schwierig!

Kriterien fur verschiedene StromungstypenWelcher Stromungstyp (zur Auswahl stehen: ideal, laminar, sowie turbulent)gilt unter

• gegebenen Abmessungen l von Gefass oder umstromtem Korper

• gegebener Stromungsgeschwindigkeit u

• gegebener Dichte %

• gegebener Viskositat η

Wir betrachten nun stationare Stromungen mit ~a1 = ~0, was auch heißt, daßdie Stromungsgeschwindigkeit nicht von t abhangt: ∂~u

∂t= ~0.

Dagegen kann die Geschwindigkeitan verschiedenen Stellen verschieden sein!

~a2 ist umso grosser, je schneller sich die Geschwindigkeit raumlich andert,je grosser also ihr Gradient ist. Wir bekommen nun drei unterschiedlicheLangen:

7.2. STROMUNGEN 155

l1 Strecke, auf der eine wesentliche Geschwindigkeitsanderung erfolgt

t ∼ l1u

in dieser Zeit andert sich u um

a2 :=u

t' u2

l1

l2 Lange auf der sich der Druck andert

~∇p ∼ p

l2

l3 Lange auf der sich die Reibungskraft andert

η∆u ∼ ηu

l23

l1, l2, l3 konnen je nach Geometrie sehr verschieden sein. Fur stationareStromungen gelten die Navier-Stokes-Gleichungen:

%~a2 = −~∇p + η∆~u

Setzen wir nun die obigen Ergebnisse fur ~a2, p und ~u ein, so erhalten wir

%u2

l1≈ p

l2+ η u

l23

Wir konnen nun drei Falle unterscheiden:

1. keine Reibungηu

l23 p

l2' %u2

l1wenn

l2 ' l1 =⇒ p ' 1

2%u2

Dies bedeutet es herrscht eine ideale Stromung, ohne nennenswerteWirbel.

2. Tragheitskraft ∼ ~a2 zu vernachlassigen

%u2

l1 p

l2' η u

l23

=⇒ ~∇p = η∆~u

Laminare Stromung


3. Der Fallp

l2 %u2

l1' η

u

l23

ist von geringerer Bedeutung.

Der Ubergang von Fall 1 zu Fall 2 erfolgt bei

ηu

l23' p

l2' %u2

l1

und%ul23ηl1' 1 und

pl1%u2l2

' 1

Das sind Bedingungen fur Druckverhaltnisse von l1 und l2; beide beherrschendie hydrodynamische Ahnlichkeitstheorie. – Ein verkleinertes Modell (zumBeispiel im Windkanal) liefert nur dann physikalisch richtige Resultate, wenndie Zahlen

%ul23ηl1

sowiepl1

%u2l2

den gleichen Wert haben wie in Wirklichkeit. Da eine geometrische Ahn-lichkeit garantiert ist kann man l “kurzen” und nur die Ubereinstimmungvon

p

%u2und

%ul

η

fordern. Letzteres ist die

Reynoldszahl

Re = %ulη

Eine Stromung ist laminar fur

%ul232ηl1

sehr klein

und turbulent fur%ul232ηl1

sehr groß

da l3 6= l1 erfolgt ein Umschlag von laminar zu turbulent bei

Re =%ul

η 1

l ist hier die makroskopische Abmessung des um- beziehungsweise durch-stromten Korpers. Man findet

Re|kritisch ' 103

Beim Umschlag von laminar zu turbulent wachst der Stromungswiderstanderheblich an

7.2. STROMUNGEN 157

Laminar

Turbulent

Wirbel

Laminar: FR ∼ u · η (Stokes)Turbulent: FR ∼ u2 · % (Newton)

7.2.9 Wirbel und Zirkulation

Umstromung eines kreisformigen Hindernisses

• Kleine Stromungsgeschwindigkeit u =⇒ Laminare Stromung

• Geschwindigkeit u > ukritisch =⇒Turbulente Stromung

↓Wirbel

Wirbel? – Sie bestehen aus einem starr rotierenden Wirbelkern

~uWirbel = ~ω × ~r ∼ ~r

außerhalb des Wirbelkerns nimmt ~rWirbel ∼ ~r ab.


Zirkulationsstroemung

Wirbelkern

x

y

Wirbelvektor ~Ω = 12~∇× ~u

WirbelstarkeZirkulation

Z =∮

~ud~s

Z: Erhaltungsgroße in reibungfreien, also idealenFlussigkeiten

Wirbel verandern den Charakter der Reibung

Stokes Newton∼ ηv −→ ∼ %v2

laminar turbulent

Wirbelm

Reibung steigt

Diese ist aber formabhangig! 1

Wie entstehen aber Wirbel? – Wirbel entstehen durch Rander und Kanten;

dort ist namlich(

~u · ~∇)

~u am starksten, es herrschen starke Tangentialkrafte

(Scherkrafte) zwischen den Flussigkeitsteilchen.−→ Grenzschicht am umstomten Korper mit kleinen Unebenheiten

oder Fluktuationen

1zum cw-Wert siehe Demtroder Seite 240-241

7.2. STROMUNGEN 159

Verstarkung des Geschwin-digkeitsgradienten

Betrachtung des Druckpro-fils an umstomter Kugel:S1 Staupunkt

p ist maximalu=0

S2 u=0

Zwischen S1 und S2 stromen die Flussigkeitsteilchen zunachst schneller undwerden bis S2 wieder abgebremst.

• Laminare Stromung mit u < ukritisch

U


• Turbulente Stromung mit u > ukritisch

U

Wird ein Zylinder mit u0 angestromt und rotiert dieser mit der Winkelge-schwindigkeit ω, so stromt die Flussigkeit an seiner Oberseite mit

u′ = u0 + ωr

und unten mitu′′ = u0 − ωr

In Kombination mit Bernoulli folgt daraus, daß der statische Druck an derUnterseite uberwiegt, namlich um

p =1

2%(

u′2 − u′′2)

' 2%ωru0

falls ωr u0. Die Querkraft ist

F ' %ωrlu0 oder vektoriell ~F ∼ %r2l~u× ~ω

mit

Z =

∮

~ud~s = 2πru(r)

= 2πωr20

Kutta-Schukowski-FormelF ∼= %u0lZ

Letztere macht Flugzeuge fliegen.

Ich weiß, daß Sie glauben, Sie

verstunden, was sie denken, was ich

gesagt habe; aber ich bin mir nicht

sicher, ob Sie begreifen, daß das, was

Sie gehort haben, nicht das ist, was

ich meine.

Richard Nixon

Kapitel 8

Relativitatstheorie

Zur Einstimmung empfiehlt es sich nochmals die Bezugssysteme und Gali-leitransformationen zu Gemute zu fuhren.

8.1 Historisches

Im 19.Jahrhundert schien alles klar zu sein:

Bewegungenvon

Atomen/Molekulen

Newton Axiome −→ Gravitationsgesetz↓

Planeten + Himmelskorper

Maxwell-Gleichungen↓

Elektrodynamik

Newtonsches Relativitatsprinzipa) Raum und Zeit sind absolutb) Alle relativ zu einem Inertialsystem gleichformig

bewegten Bezugssysteme sind ebenfalls Inertialsystemeund im Rahmen der Newtonschen Mechanik gleichwertig!

161

162 KAPITEL 8. RELATIVITATSTHEORIE

An diesem Prinzip wurde nicht geruttelt, bis die Untersuchung elektroma-gnetischer Wellen die Vermutung nahrte, es liesse sich ein absolutes Bezugs-system finden.

8.2 Das Michelson-Morley-Experiment

Wellen brauchen ein Tragermedium wie

• Luft

• Wasser

• Festkorper

Die Ausbreitungsgeschwindigkeit hangt von den Eigenschaften des Trager-mediums ab (Schallgeschwindigkeit in Luft hangt von der Temperatur ab!).Bei mechanischen Wellen ist es erlaubt, das jeweilige Medium als ruhendanzusehen.Wie sind die Verhaltnisse bei Lichtwellen?–Optische Interferenz- und Beugungsversuche lieferten die Theorie, daß Lichteine Welle sei. Ergo gibt es ein Medium, das die Lichtwellen, oder allgemei-ner die elektromagnetischen Wellen tragt. Das Medium der Wahl sollte derAther sein, ein materieller Stoff mit besonderen Eigenschaften:

• kleine DichteDenn es sollte keine Reibung auf die Planeten bei ihrer Bewegung umdie Sonne wirken.

• grosse StarrheitWegen der hohen Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichtes.

• Ruhend

Der Ather sollte also als ruhendes System angesehen werden konnen, auf dassich alle Bewegungen samtlicher Korper und Erscheinungen beziehen lassensollten! Er sollte ein absolutes Bezugssystem sein. Dies steht im Widerspruchzum Newtonschen Relativitatsprinzip.Nach der Maxwellschen Theorie der Elektrodynamik ist die Ausbreitungsge-schwindigkeit von Licht und elektromagnetischen Wellen im Vakuum durch

c = 1√ε0 µ0

= 3 · 108 ms

ε0 Dielektrizitatskonstanteµ0 Permeabilitatskonstante

gegeben. Die Maxwellsche Gleichung sagt nichts daruber aus, in welchemBezugsystem die Lichtgeschwindigkeit diesen Wert annimmt. Man erwartet

8.2. DAS MICHELSON-MORLEY-EXPERIMENT 163

jedoch, daß c die Lichtgeschwindigkeit auf den Ather bezogen ist.Wenn sich die Erde also relativ zum ruhenden Ather bewegt (– Das tut sie,denn sie kreist um die Sonne und der Ather sollte der Theorie nach ruhen.),so erwartete man, dass eine Messung ein grosseres oder kleineres Ergebnissals c liefert, je nach Richtung relativ zum Lichtstrahl. 1881 beginnt dann Al-bert Michelson mit der Messung der Lichtgeschwindigkeit relativ zur Erdeund damit auch der Geschwindigkeit der Erde relativ zum Ather.Die gangi-gen Methoden waren jedoch zur Messung ungeeignet. – Aber warum??

Wir betrachten einmal folgende Situation:

l

v

c+v

c−v

Lichtquelle

Die Lichtquelle und der Spiegel bewegen sich mit der Geschwindigkeit v ingleicher Richtung durch den Ather. Dann sollte sich das Licht mit c− v aufden Spiegel zu und mit c + v von ihm wegbewegen. Die gesamte Laufzeitware daher

t1 =l

c− v+

l

c + v=

2l

c

1

1− v2

c2

t1 unterscheidet sich daher von der Laufzeit 2lc , die man erwartet, wenn die

Erde im Ather ruht nur durch den Faktor[

1− v2

c2

]−1, der fur v c sehr

nahe an 1 liegt. Fur kleine Werte von vc (will heißen: v

c 1) kann man mitHilfe der Binomialentwicklung noch vereinfachen:

(1 + x)n = 1 + nx + n(n− 1)x2

2+ . . . ≈ 1 + nx fur x 1

Setzt man fur n = −1 und x = − v2

c2ein, so folgt:

t1 ≈2l

c

(

1 +v2

c2

)

Die Bahngeschwindigkeit der Erde um die Sonne ist ∼ 3 · 104 msec

=⇒ v

c' 10−4

=⇒ v2

c2≈ 10−8


Der Effekt der Erdbewegung ist sehr sehr klein und daher schwer, sehr schwerzu messen!Die Losung:Differenzmessung mit einem Interferometer, dem Michelson-Morley-Inter-ferometer: Licht fallt auf einen Strahlteiler (sprich: halbdurchlassiger Spie-gel); es pflanzt sich dabei parallel zur Erdbewegung fort. Ein Teil des Lichtesgeht in dieser Richtung durch den Strahlteiler hindurch, ein anderer wirdmit 90 reflektiert.

Auge

teilerStrahl−

Spiegelfester

A

Spiegelbeweglicher

quellediffuse Licht−

1

2

1. Betrachten wir den durchgelassenen TeilDie Strecke AS1, vom Strahlteiler A zum Spiegel S1 und zuruck; derLichtstrahl benotigt die Zeit

t1 '2l

c

(

1 +v2

c2

)

mit l = l1.

2. Betrachtung des reflektierten StrahlsDieser trifft den Spiegel S2 mit der Geschwindigkeit ~u senkrecht zurGeschwindigkeit ~v der Erde. Relativ zum Ather jedoch bewegt er sichmit der Geschwindigkeit ~c. – Warum?

8.2. DAS MICHELSON-MORLEY-EXPERIMENT 165

SpiegelDas Interferometer bewegtsich relativ zum Ather mit ~vnach rechts, der Lichtstrahlmit ~u nach oben. Die Ge-schwindigkeit im Bezugssy-stems des Strahls im Ather ist~c und die Geschwindigkeit re-lativ zur Erde daher ~u = ~c−~v.

=⇒ nach der klassischen Theorie ist der Betragder Lichtgeschwindigkeit relativ zur Erde

u =(c2 − v2

) 1

2 = c(

1− v2

c2

) 1

2

~u = ~c− ~v |~u| =√

c2 − v2

=⇒ Laufzeit:

t2 =2l2√

c2 − v2=

2l2c

(

1− v2

c2

)− 1

2

mit n = − 12 und x = − v2

c2eingesetzt und binomialentwickelt:

t2 '2l2c

(

1 +1

2

v2

c2

)

Wenn l1 = l2 = l, dann ist die Differenz der Zeiten:

∆t = t1 − t2 ≈l

c

v2

c2

Diese Laufzeitdifferenz musste man nun durch Interferenz zwischen den bei-den Lichtstrahlen messen konnen. – Warum?Weil die Laufzeit ∆t einer Differenz in der Anzahl der Wellenlangen ent-spricht, die auf die Strecken AS1A und AS2A passen:

∆N =∆t

T= ν∆t =

c∆t

λ

T Periodendauerν Frequenzλ Wellenlange

des Lichts

c = ν · λfur elektromagne-

tische Wellen


Diese Interferenz ist unmoglich messbar; Michelson hatte deshalb eine an-dere Idee: die Messung der Anderung des Interferenzmusters.Sei ∆N definiert als die Zahl der Interferenzstreifen, wie zum Beispiel Ma-xima, die am Auge des Beobachters vorbeilaufen, wenn ∆t makroskopischherbeigefuhrt wurde. – Wie macht man das?Man dreht die Apparatur um 90; dadurch andert sich nicht der Abstand derSpiegel, denn die kleinste Veranderung der Spiegelabstande andert das Inter-ferenzmuster. Nimmt man die Existenz eines Athers an, so erhalt man nacheiner Drehung um 90 eine neue Laufzeitdifferenz (vertausche die Indices 1und 2), die gerade ∆t betragt. Beobachtet man wahrend einer langsamenDrehung das Interferenzmuster kontinuierlich, so musste es sich genau umdie Zahl

∆N =2c∆t

λ=

2l

λ· v

2

c2

von Interferenzmaxima verschieben!

1881 Erster Versuch von Michelson

l = 1, 2m λ = 590nm

Fur v2

c2= 10−8 ergibt sich ein Erwartungswert von

∆N = 0, 04 Streifen

Es wurde nichts beobachtet! – Warum nicht?Die Erde ruhte im Ather, deshalb: Messung sechs Monate spater (Be-wegung gegen Ather)Aber: Erneut keine Beobachtung! – Was ist da falsch?

Ruht die Erde im Ather?

Ist was mit dem Ather faul?

1887 Neuer Versuch von Michelson und Morley

l = 11m ∆N = 20− 40

Nichts geschah – Was ist da los?

1905 Einstein veroffentlicht die “Elektrodynamik bewegter Korper” oderauch spezielle Relativitatstheorie.

Sie enthalt im wesentlichen zwei Postulate:

8.3. DIE LORENTZ-TRANSFORMATION 167

1. Es gibt kein physikalisch bevorzugtes Inertialsystem. – Die Natur-gesetze nehmen in allen Inertialsystemen dieselbe Form an.

2. Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist in jedem beliebigen Iner-tialsystem unabhangig vom Bewegungszustand der Lichtquelle.

alternative Formulierung fur 2.:

2. Jeder Beobachter misst fur die Lichtgeschwindigkeit c im Vakuumdenselben Wert!

Das erste Postulat stellt eine Erweiterung des Newtonschen Relativitats-prinzips dar, gilt also nicht nur fur die Mechanik. Das zweite Postulat wi-derspricht unserer alltaglichen Vorstellung von Relativgeschwindigkeiten.Wenn sich ein Auto mit 50 km

h von einem Beobachter wegbewegt und ein

zweites Auto mit 80 kmh in dieselbe Richtung fahrt, dann ist die Relativge-

schwindigkeit der beiden Autos 30 kmh .

Trotzdem messen Beobachter in beiden Autos fur einen Lichtstrahl, der sichin ihrer Richtung ausbreitet, dieselbe Geschwindigkeit wie es die Einstein-schen Postulate fordern. Unsere Vorstellung, daß wir Geschwindigkeiten ein-fach addieren konnen ist offenbar nur solange gultig, wie die betrachteteGeschwindigkeit klein ist gegenuber der Lichtgeschwindigkeit c.

8.3 Die Lorentz-Transformation

Die Einstein-Postulate haben wichtige Konsequenzen fur die Messung vonZeit- und Langenintervallen, sowie von Relativgeschwindigkeiten. Wir ver-gleichen im folgenden Zeit- und Ortsmessungen von Ereignissen, wie zumBeispiel Lichtblitzen, die von verschiedenen sich relativ zueinander bewegen-den Beobachtern vorgenommen werden. Dazu verwenden wir zwei Bezugs-systeme S und S ′, mit den kartesischen Koordinaten x, y, z und x′, y′, z′,sowie den Ursprungen 0 und 0′.S′ bewege sich mit der Geschwindigkeit v in positiver Richtung der x-Achsedes Bezugssystems S. Auf dem Weg ist ein dichtes Netz von Beobachterninstalliert, die mit identischen Uhren und Maßstaben ausgestattet sind ummoglichst genaue Messungen zu erzielen. Diese sind lokale Beobachter!Wir benutzen die Einstein-Postulate, um eine allgemeine Beziehung zwi-schen den Koordinaten x, y, z und dem Zeitpunkt t eines Ereignisses gemes-sen im Bezugssystem S und den Koordinaten x′, y′, z′, sowie dem Zeitpunktt′, gemessen in S ′ herzuleiten. Desweiteren vereinfachen wir, indem wir an-nehmen, daß zu den Zeiten t = t′ = die Ursprunge 0 = 0′ zusammenfallen.


z’

x’0’

vy’

x

z

0

y S

S’

Die nichtrelativistische oder klassische Beziehung, die unter diesen Voraus-setzungen unmittelbar aus dem Newtonschen Relativitatsprinzip folgt, istdie sogenannte Galilei-Transformation (Kapitel 6.1.2):

x = x′ + vt′ y = y′

z = z′ t = t′

und die inverse Transformation lautet

x′ = x− vt y′ = yz′ = z t′ = t

Diese Transformationen geben die experimentelle Beobachtung richtig wie-der, solange v c und fuhren auf die gewohnliche klassische Additionsvor-schrift fur Geschwindigkeiten. Besitzt ein Teilchen die Geschwindigkeit

ux =dx

dt

im System S, dann ist seine Geschwindigkeit in S ′

u′x = dx′

dt′= dx′

dt= dx

dt− v = ux − v

u′x = ux − v

Durch nochmaliges Differenzieren erhalt man die Beschleunigung des Teil-chens in beiden Bezugssystemen

ax = dux

dt = du′

x

dt′ = a′x

8.3. DIE LORENTZ-TRANSFORMATION 169

Die Galilei-Transformation steht jedoch im offensichtlichen Widerspruch zuden Einsteinschen Postulaten der speziellen Relativitatstheorie:

Bewege sich ein Lichtstrahl in S entlang der x-Achse. Nach denGalilei-Transformationen gilt in S ′:

u′x = c− v

laut Einstein ist aber c = const und daher

u′x = c

Wir benotigen daher andere Transformationsgesetze. Nehmen wir also an,daß die relativistische Transformationsformel fur x bis auf einen Faktor γ aufder rechten Seite der Gleichung x = x′ +vt entspricht, so ist die (“richtige”)Gleichung dann von der Form

x = γ (x′ + vt′)

γ kann von c und von v abhangen, nicht jedoch von den Koordinaten! Dieinverse Transformation ware also

x′ = γ(x− vt)

Betrachten wir nun einmal einen Lichtstrahl, der im Ursprung von S zur Zeitt = 0 startet. Da fur t = t′ = 0 die Ursprunge von S und S ′ zusammenfallenstartet der Lichtstrahl auch in S ′ zum Zeitpunkt t′ = 0. Nach den Einstein-Postulaten muß gelten

x = ct in Sx′ = ct′ in S′

Wir setzen ein und erhalten

x = ct

= γ(ct′ + vt′

)

= γ(c + v)t′

sowie

x′ = ct′

= γ(ct− vt)

= γ(c− v)t

Nach t′ oder t aufgelost ergibt

γ2 =

(

1− v2

c2

)−1

=⇒ γ =1

√

1− v2

c2


Beachte: γ ist immer grosser als 1γ ' 1 fur v c

Die relativistischen Transformationsformeln sind also

x = γ(

x′ + vt′)

x′ = γ(x− vt)

γ = 1√

1− v2

c2

Wird die Zeit vielleicht auch transformiert?Ersetze in x′ = γ(x− vt) x durch γ (x′ + vt′), so ergibt sich

x′ = γ(

γ(

x′ + vt′)− vt

)

Letzteres wird nach t aufgelost, wodurch sich dann die vollstandigen relati-vistischen Transformationsgleichungen ergeben

Lorentz-Transformation

x = γ (x′ + vt′) y = y′ z = z′

t = γ(

t′ + vx′

c2

)

inverse Transformation

x′ = γ(x− vt) y’=y z=z’

t′ = γ(

t− vxc2

)

Die Lorentz-Transformation erfullt die Einsteinschen Postulate! Sie stellt dieBeziehung zwischen den Orts- und Zeitkoordinaten x, y, z und t eines Ereig-nisses in einem Bezugssystem S und den Orts- und Zeitkoordinaten x′, y′, z′

und t′ desselben Ereignisses in einem anderen Bezugssystem S ′, das sich mitder Geschwindigkeit v relativ zu S bewegt her.

Anwendungen:

• Zeitdehnung

• Langenkontraktion

• Uhrensynchronisation und Gleichzeitigkeit

• Doppler-Effekt

• Zwillingsparadoxon

• Geschwindigkeitstransformation

• Impuls

• Masse-Energie Aquivalenz

8.4. ZEITDEHNUNG – DILATATION 171

8.4 Zeitdehnung – Dilatation

Aus der Lorentz-Transformation folgt die Dehnung der Zeit – die Zeitdilata-tion. Messung von zwei Ereignissen in zwei verschiedenen Inertialsystemen

im ersten System: Ereignisse am selben Ort

im zweiten System: an verschiedenen Orten

Das Zeitintervall fur zwei Ereignisse, die man am selben Ort betrachtet, istimmer kleiner als das Zeitintervall fur dieselben Ereignisse, die in einem an-deren Inertialsystem an verschiedenen Orten stattfinden.

Lassen wir also einmal zwei Ereignisse zu den Zeitpunkten t′1 und t′2 im Be-zugssystem S ′ am Ort x′

0 stattfinden. Mit Hilfe der Lorentz-Transformationfinden wir fur die Zeiten t1 und t2 in S

t1 = γ

(

t′1 +vx′

0

c2

)

und t2 = γ

(

t′2 +vx′

0

c2

)

=⇒ t2 − t1 = γ(t′2 − t′1

)

Die Zeit zwischen Ereignissen, die in einem Bezugssystem am selben Ortstattfinden heisst Eigenzeit :

∆tE = t′2 − t′1 (gemessen in S ′)

Das Zeitintervall ∆t = t2− t1 ist um den Faktor γ grosser als die Eigenzeit.Diese Dehnung des Zeitintervalls ∆t im Vergleich zur Eigenzeit ∆tE heißtZeitdilatation

∆t = γ∆tE

Beispiele:

1. Zwei Ereignisse finden in S ′ am selben Punkt x′0 zu den Zeiten t′1 und

t′2 statt. S′ bewege sich relativ zu S mit der Geschwindigkeit v.Wie groß ist die raumliche Distanz der Ereignisse in S?

x1 = γ (x′0 + vt′0)

x2 = γ (x′0 + vt′2)

x2 − x1 = γv (t′2 − t′1)

= v(t2 − t1)

Die raumliche Distanz der beiden Ereignisse in S entspricht also derEntfernung, die ein Punkt in S ′, beispielsweise x′

0 im Zeitintervall zwi-schen den Ereignissen in S zurucklegt.

2. Astronauten in einem mit v = 0, 6c von der Erde fortfliegenden Raum-schiff teilen ihrer Bodenstation mit, daß sie ein Nickerchen einlegen undsich nach einer Stunde wieder melden werden.Wie lange schlafen die beiden im Bezugssystem der Erde?


Eigenzeit der Astronauten: 1 Stunde

Im Bezugssystem der Erde legen die Astronauten eine beachtliche Di-stanz zuruck. Das Zeitintervall im Bezugssystem Erde ist daher langer,und zwar um γ. Mit v = 0, 6c ergibt sich::

1−(

v2

c2

)

= 1− (0, 6)2 = 0, 64

=⇒ γ = 1√

1− v2

c2

− 1√0,64

= 10,8 = 1, 25

Das Nickerchen dauert im Bezugssystem der Erde also 1,25 Stunden.

8.5 Die Langenkontraktion

Eng mit der Zeitdilatation verwandt ist die Langenkontraktion:Die Lange eines Objektes gemessen im Ruhesystem heisst Ruhelange lR. Injedem Bezugssystem S, in dem sich das Objekt bewegt, ist die dort gemes-sene Lange kurzer als die Ruhelange.

Beweis:In S′ ruhe ein Stab der Lange

lR = x′2 − x′

1

in S ist die Lange des Stabes

l = x2 − x1

Dabei istx2: Position des einen Endes zu einer Zeit t2x1: Position des anderen Endes zu derselben Zeit t1 = t2

x′2 = γ(x2 − vt2)

x′1 = γ(x1 − vt1)

t2 = t1 =⇒ x′2 − x′

1 = γ(x2 − x1)

x2 − x1 = 1γ (x′

2 − x′1) = 1

γ lR

Lorentz-KontraktionL = LR

1γ

Beispiel: Myonen-ZerfallMyonen entstehen, wenn kosmische Strahlung auf die Atmosphare trifft. Diedabei entstehenden Myonen zerfallen nach dem Zerfallsgesetz

N(t) = N0e(− t

τ )

8.5. DIE LANGENKONTRAKTION 173

N0: Ursprungliche Zahl von Myonen bei t = 0N(t): Anzahl der Myonen zum Zeitpunkt t

τ : Mittlere Lebensdauer ∼ 2 · 10−6sec

Da Myonen beim Zerfall von Pionen in einer Hohe von mehreren tausendMetern entstehen, sollten nur wenige die Hohe des Meeresspiegels erreichen.

vMyon ' 0, 998c =⇒ in 2µs l ' 600m

Im Bezugssystem der Erde erhoht sich die Lebensdauer des Myons jedochum γ

γ(v = 0, 998c) = 15

=⇒ tZerfallMyon = γ · 2µs ≈ 30µs

=⇒ v · tZerfallMyon = 9000m

Das heißt also, aus 9000m im Bezugssystem der Erde werden 600m im Be-zugssystem des Myons.

Test:Angenommen wir beobachten in 9000m Hohe 108 Myonen. Wieviele Myonenwerden wir in Meereshohe im selben Zeitintervall erwarten?

• NichtrelativistischEin Myon benotigt fur die 9000m die Zeit

9000m

0, 998 · c ' 30µs

– das 15-fache der Lebensdauer. Eingesetzt ins Zerfallsgesetz

N0 = 108 t = 15 · τN = 108e−15 = 30, 6

Von den ursprunglich 100 Millionen Myonen sollten nur 31 den Mee-resspiegel erreichen, also nicht zerfallen!

• RelativistischDie Strecke ist nur 600m lang, die Dauer 2µs = 1τ .

=⇒ N = 108e−1 = 3, 68 · 107

Diese Zahl wird auch von den Experimenten bestatigt.


8.6 Uhrzeitsynchronisation und Gleichzeitigkeit

Definition 29 (Eigenzeit) Die Eigenzeit ist das Zeitintervall zwischen zweiEreignissen die in einem Bezugssystem am selben Ort stattfinden.

Die Eigenzeit kann daher nur mit einer einzigenUhr gemessen werden!

In einem anderen Bezugssystem, das sich relativ zum ersten bewegt, findendiese Ereignisse an verschiedenen Orten statt. Der Zeitpunkt des Ereignissesmuss also mit verschiedenen Uhren gemessen werden. Das Zeitintervall er-gibt sich dann durch Subtrahieren der Zeitpunkte. Dazu mussen die Uhrenjedoch synchronisiert sein.

Zwei Uhren, die an einem Bezugssystem synchronisiert sind,gehen in keinem relativ zum ersten bewegten Bezugssystem synchron.

=⇒ zwei Ereignisse, die in einem Bezugssystem gleichzeitigstattfinden sind in einem relativ zum ersten bewegten Bezugs-system nicht gleichzeitig.

In einem Bezugssystem sind zwei Ereignisse gleichzeitig, wenn die vonden Ereignissen ausgesendeten Lichtsignale einen Beobachter, der sichin der Mitte zwischen den Ereignissen befindet, zur selben Zeiterreichen.

Werden zwei Uhren in ihrem Ruhesystem synchronisiert, so sind sie in kei-nem anderen Bezugssystem synchron. In dem Bezugssystem, in dem dieUhren sich bewegen, geht die fuhrende Uhr um

∆ts = lRv

c2

vor, zeigt also eine spatere Zeit an, wobei lR der Ruheabstand der Uhrenist.

8.7 Der relativistische Doppler-Effekt

Betrachten wir einmal eine Quelle, die sich mit der Geschwindigkeit v =const in Richtung eines Beobachters bewegt.

Ab jetzt wird im Ruhesystem des Beobachters gerechnet!

8.7. DER RELATIVISTISCHE DOPPLER-EFFEKT 175

Die Quelle emittiere N elektromagnetische Wellenberge in einem vom Beob-achter gemessenen Zeitintervall ∆tB. Wahrend der erste Wellenberg in dieserZeit eine Entfernung c ·∆tB zurucklegt, bewegt sich die Quelle um v ·∆tB

auf den Beobachter zu. Die Wellenlange der vom Beobachter empfangenenWelle ist

λ′ = c·∆tB−v∆tBN

und die vom Beobachter gemessene Frequenz ist

ν ′ = cλ′ = c

(c−v)N

∆tB= 1

1− vc

N∆tB

Ist die Frequenz der Welle im Ruhesystem der Quelle gleich ν0, so emittiertsie N = ν0∆tQ Wellenberge im Intervall ∆tQ der Eigenzeit, da im Bezugssy-stem der Quelle die Wellen immer am selben Ort emittiert werden. Es gilt:∆tB = γ∆tQ

=⇒ ν ′ =1

1− vc

N

∆tB=

ν0∆tQ∆tB

1

1− vc

=ν0

γ

1

1− vc

Die Quelle bewegt sich also auf den Beobachter zu −→ Blauverschiebungoder fur v c : ν0 = γν ′, oder

ν ′ =

√

1− v2

c2

1− vc

ν0 =

√

1 + vc

1− vc

ν0

und fur eine sich vom Beobachter wegbewegende Quelle ergibt sich

ν ′ =

√

1− v2

c2

1 + vc

ν0 =

√

1− vc

1 + vc

ν0

Beispiel:Eine Linie der Balmer-Serie von Wasserstoff hat eine Wellenlange λ0 =656nm. Im Licht einer entfernten Galaxie wird die Wellenlange dieser Liniezu λ′ = 1458nm gemessen. Wie gross ist die Geschwindigkeit, mit der sichdie Galaxie von der Erde wegbewegt?

ν ′ = cλ′ ν0 = c

λ0√

1− vc

1+ vc

= ν′

ν0= λ0

λ′

Anmerkung:Die Rotverschiebung ist eine Verschiebung hin zu langeren Wel-lenlangen.


mit β = vc :

1 + β

1− β=

λ′2

λ20

=

(1458nm

656nm

)2

= 4, 94

1 + β = 4, 94 − 4, 94β

β =4, 94 − 1

4, 94 + 1= 0, 663 =

v

c

v = 0, 663c

8.8 Das Zwillingsparadoxon

Homer und Odysseus seien eineiige Zwillinge. Odysseus reise mit hoher Ge-schwindigkeit zu einem Planeten weit jenseits des Sonnensystems und kehreschließlich zur Erde zuruck, wahrend Homer auf der Erde bleibt.Welcher Zwilling ist nun nach Odysseus’ Ruckkehr alter? – Oder sind siebeide gleich alt?

ParadoxonNach der Reise ist Odysseus junger als Homer!

Wie kommt denn das? – Die Rolle der Zwillinge ist asymmetrisch.

y

S x

x’’

ErdeS’’

v

zurueck Odysseusy’’

x’S’

y’

v

fortflieg Odysseus

XPlanet

Der Planet X und der auf der Erde verbleibende Homer sollen im Bezugs-system S in einem Abstand lP voneinander ruhen (wir vernachlassigen die

8.8. DAS ZWILLINGSPARADOXON 177

Erdbewegung).S′ und S′′ bewegen sich mit der Geschwindigkeit v auf den Planeten zu,beziehungsweise vom Planeten fort. Odysseus beschleunigt rasch bis zur Ge-schwindigkeit v, ruht dann in S ′, bis er den Planeten erreicht, an dem eranhalt und fur einen kurzen Moment in S ruht.Dann beschleunigt er rasch auf v in Richtung Erde, ruht in S ′′ bis er dieErde erreicht und wieder anhalt. Die Beschleunigungszeiten seien klein imVergleich zu den Ruhezeiten. Wir benutzen

lP = 8LJ

v = 0, 8c

γ =1

√

1− v2

c2

=5

3

Wir analysieren von Homer’s Sicht aus.Nach Homer’s Uhr ruht Odysseus jeweils fur einen Zeitraum lP

v= 10Jahre

in S′ beziehungsweise in S ′′. Homer ist deshalb um 20 Jahre gealtert.Das Zeitintervall im Bezugssystem S ′, in dem Odysseus ruht, ist kurzer, daes ein Eigenzeitintervall ist. Er braucht nach seiner Uhr fur die Strecke vonder Erde zum Planeten

∆t′ =∆t

γ=

10a

5/3= 6a

benotigt er dieselbe Zeit fur den Ruckweg, also insgesamt zwolf Jahre!

Odysseus ist nach seiner Ruckkehr acht Jahrejunger als Homer!

Aus Odysseus’ Sicht ist die Distanz zwischen Erde und Planet kontrahiertund betragt nun

l′ =lPγ

=8LJ

5/3= 4, 8LJ

mit v = 0, 8c braucht er nur sechs Jahre fur jeden Weg.

Das Problem liegt darin, aus Odysseus’ Sicht zu verstehen, warum sein Zwil-lingsbruder in seiner Abwesenheit um 20 Jahre gealtert ist.Wenn wir annehmen, dass Odysseus die ganze Zeit ruht und Homer sichbewegt, sollte Homer’s Uhr langsamer gehen und nur 6a

γ = 3, 6a fur eineStrecke messen. Warum sollte also Homer nicht nur 7, 2a altern? – Dies istdas Paradoxon.

Losung: Odysseus bleibt nicht immer in einem Inertialsystem.Was passiert bei seinen Beschleunigungen?=⇒ Allgemeine

RelativitatsTheorie


Versuch einer Erklarung:Die Kommunikation erfolge uber Signale. Die Vereinbarung ist, daß pro Jahrein Signal gesendet wird.

Aber:Die von jedem Zwilling an seinem Ort gemessene Frequenz derhereinkommenden Signale wird wegen der Doppler-Verschiebungnicht ein Signal pro Jahr sein.

Mit vc ∼ 0, 8, das heißt v2

c2' 0, 64 folgt, falls sich die Zwillinge entfernen

ν ′ =

√

1− v2

c2

1 + vc

ν0 =

√1− 0, 64

1 + 0, 8ν0 =

1

3ν0

Und damit ist ν ′ = 3ν0, falls sie sich einander nahern.

Aus Odysseus’ Sicht:Wahrend der sechs Jahre, die er von der Erde zum Planeten braucht(die Distanz ist fur ihn ja kontrahiert), misst er eine Frequenz von 1

3Signal pro Jahr, er empfangt also zwei Signale auf dem Hinweg.Nach seiner Umkehr erhalt er drei Signale pro Jahr, also 18 Signaleauf dem Ruckweg.

Odysseus erwartet also, dass Homer um 20 Jahre gealtert ist,wahrend fur ihn selbst erst 12 Jahre vergangen sind.

Aus Homer’s Sicht:Er misst eine Frequenz von 1

3 Signalen pro Jahr nicht nur wahrendder zehn Jahre, die Odysseus benotigt, um zum Planeten zu kommen,sondern auch noch wahrend der Zeit, die das letzte von Odysseus aufdem Hinweg ausgesandte Signal braucht, um die Erde zu erreichen.

Homer kann nicht wissen, dass Odysseus umgekehrt ist,bevor er Signale mit erhohter Frequenz empfangt.

Da der Planet 8LJ entfernt ist, erhalt er also weitere acht Jahre langSignale mit 1

3 Signal pro Jahr, das heißt wahrend der ersten 18 Jah-re insgesamt sechs Signale. In den verbleibenden zwei Jahren bis zuOdysseus Ruckkehr empfangt Homer drei Signale pro Jahr – zusam-men also sechs Signale.

Homer erwartet demnach, daß Odysseusum zwolf Jahre gealtert ist.

Hier wird die Asymmetrie in der Rolle der Zwillinge deutlich:Beide Zwillinge kommen zu dem Ergebnis, daß der Zwilling, der beschleunigtwurde, nach seiner Ruckkehr junger ist als der auf der Erde gebliebene.

8.9. GESCHWINDIGKEITSTRANSFORMATION 179

8.9 Geschwindigkeitstransformation

Differenzieren wir einmal die Gleichung der Lorentz-Transformation (zurErinnerung: Die Transformation fur Geschwindigkeiten beim Ubergang voneinem zu einem anderen Bezugssystem). Sei also

u′x =

dx′

dt′

die Geschwindigkeit eines Teilchens in S ′. S′ bewegt sich relativ zu S mitder Geschwindigkeit v. u′

x = dx′

dt′ in S ist dann

dx = γ(

dx′ + vdt′)

dt = γ

(

dt′ +vdx′

c

)

ux =dx

dt=

u′x + v

1 + vu′

x

c2

u′x =

ux − v

1− vux

c2

Entsprechende Transformationen gelten fur uy und uz:

uy =u′

y

γ(

1 + vu′

x

c2

)

uz =u′

z

γ(

1 + vu′

x

c2

)

Beispiel: Zwei Flugzeuge fliegen aufeinander zu. Flugzeug 1 hateine Geschwindigkeit von v = 0, 8c uns Flugzeug 2 fliegt relativzu Flugzeug 1 mit 0, 8c.

vu′x

c2=

0, 8 · 0, 8 · c2

c2= 0, 64

=⇒ u′x =

0, 8c + 0, 8c

1 + 0, 64= 0, 98c

Dies uberrascht, denn das klassische Ergebnis ware 0, 8c+0, 8c =1, 6c!

Die Lichtgeschwindigkeit c ist fur massenbehaftete Teilchen eine nichterreichbare Grenzgeschwindigkeit.

Masselose Teilchen wie Photonen bewegen sich immer mit c.


8.10 Relativistischer Impuls

Was ist aber mit der Impulserhaltung? Schließlich andert sich die Masse desTeilchens.– Sie gilt weiterhin: Fur u

c−→ 0 muss ~p −→ m~u gehen. Gesucht ist also der

relativistische Impuls und dieser ist

~p = mr · ~u~p = γm0~u

~p =m~u

√

1− v2c2

mr relativistische Massem0 Ruhemasse

Dabei istmr =

m0√

1− v2

c2

8.11 Relativistische Energie

Aus der klassischen Mechanik ist die resultierende Kraft Fres, die auf einenMassenpunkt einwirkt gleich der zeitlichen Anderung seines Impulses, vor-ausgesetzt, die Kraft wird nicht durch eine Gegenkraft kompensiert. Außer-dem ist die Arbeit gleich der Anderung der kinetischen Energie des Massen-punktes. Eine analoge Definition gilt in der Relativitatstheorie; wir behan-deln jedoch hier nur den eindimensionalen Fall:

Ekin =

u∫

u=0

Fresds

=

u∫

0

dp

dt· ds

=

u∫

0

udp =

u∫

0

ud

m0u

√

1− u2

c2

mit u = dsdt . Weiterhin ergibt sich mit

d

m0u

√

1− u2

c2

= m0

(

1− u2

c2

)− 3

2

du

Ekin =

u∫

0

m0

(

1− u2

c2

)

udu = m0c2

1

√

1− u2

c2

− 1

8.12. NUTZLICHE GLEICHUNGEN 181

Daher ist

Ekin =m0c

2

√

1− u2

c2

−m0c2

Letzteres heißt die Ruheenergie ist

E0 = m0c2

Die relativistische Gesamtenergie ist

E = Ekin + m0c2

Bedeutung:Bei der Beschleunigung investierte Arbeit wird nicht nur in der Geschwin-digkeitserhohung, sondern auch im Massenzuwachs deutlich. Fur u −→ cwird mr −→∞.

8.12 Nutzliche Gleichungen

pc2 =m0c

2u√

1− u2

c2

= Eu

u

c=

pc

E

E2 = p2c2 +(

m0c2)2

E ≈ pc fur E >> m0c2


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Scriptum zur P1-Vorlesung - Fakultät für Physik · Die Richtung wird durch den Einheitsvektor, einen Vektor der L ange Eins angegeben. 2.3. VEKTORRECHNUNG 9 a^ = ~a j~aj Darstellung