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Schwerpunkt „Finanzmanagement“ Modul 2

Produktanalyse

Struktur und „Pricing“

reiner

Derivatkontrakte

Prof. Dr. Stefan May

© Prof. Dr. Stefan May WS 2013/2014

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Gliederung

I. Grundlegendes zur Analyse von Derivaten

II. Struktur und theoretische Bewertung („Pricing“) von TermingeschäftenDerivate Special 1: Zinsparität und Bewertung eines

Devisentermingeschäfts

III. Die wichtigsten EUREX-Produkte: DAX- und BUND-Future

IV. Optionen und ihre Auszahlungsprofile

V. Zur theoretischen Bewertung von Optionen: ein Beispiel der CBTDerivate Special 2: Bewertung von Corporate Bonds durch

strukturierte Kreditmodelle

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Teil I

Grundlegendes zur Analyse von Derivaten

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Was sind Derivate?

Derivate sind Finanzinstrumente, deren

Auszahlungsstruktur sich ableitet aus der

Entwicklung ....– der vier Basisinvestments Aktien, Renten, Währungen und

Realgüter (Rohstoffe!)

– von Finanzmarkt-oder sonstigen Indizes

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Welche Derivate gibt es?

• Als Grundformen werden unterschieden.....– Termingeschäfte

– Futures

– Optionen

– (Swaps)

• Strukturierte Produkte sind.....– Kombinationen der Grundformen (z.B. Optionen auf Futures an der

EUREX)

– Kombinationen mit Basisinvestments (z.B. equity linked bonds, Anleihen mit Kündigungsrechten)

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Auszahlungsstruktur

Genaue Kenntnis der Auszahlungsstruktur ist für das

Verständnis eines Produktes entscheidend:

– Prüfung auf Marktgerechtigkeit

– Szenarienanalyse

– Bewertung („Pricing“)

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Zwei Arten von Auszahlungsstrukturen

• Unbedingte Auszahlungsstruktur– die Auszahlungsstruktur steht von Anfang unabhängig von der

Marktentwicklung fest!

• Bedingte Auszahlungsstruktur– die Auszahlungsstruktur ist abhängig von einer bestimmten

Marktentwicklung oder der Entwicklung anderer Größen!

– Häufig steht hierbei aber die Art der Abhängigkeit von Anfang an fest!

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Preisbildung bei Derivaten

Bei der Ermittlung des fairen Preises eines

Derivatgeschäftes wird – immer die Effizienzhypothese unterstellt, d.h. dass die Märkte

etwaige Arbitragegewinne schnell wegkonkurrieren

– Bei der Diskontierung (Auf- und Abzinsen) meistens die sogenannte stetige Zinskonvention zugrunde gelegt

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Unterschiedliche Effizienzbegriffe

• Markteffizienz hat drei Facetten:– Kurse reagieren schnell auf Nachfrage- und Angebotsüberschüsse

(„Preiseffizienz“)

– Angebotene und nachgefragte Mengen reagieren schnell auf veränderte Preise („Mengeneffizienz“, Liquidität)

– Neue Informationen werden von den Kursbewegungen schnell antizipiert („Informationseffizienz“)

• Für die Derivatebewertung werden alle drei Facetten benötigt.• In der Diskussion ist vor allem die Informationseffizienz

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Informationseffizienz in drei Ausprägungen

• Schwache Version:Im aktuellen Kurs sind sämtliche, im Kursverlauf der Vergangenheit

steckenden Informationen beinhaltet.

• Halbstrenge Version:Im aktuellen Kurs sind sämtliche relevanten und öffentlich verfügbaren

Informationen enthalten

• Strenge Version:Im aktuellen Kurs sind sämtliche relevanten, öffentlich verfügbaren

enthalten, und darüber hinaus auch alle relevanten Insider-Informationen.

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Effiziente Märkte und Arbitrage

• Speziell an Finanzmärkten kann man von perfekt funktionierenden Finanzmärkten ausgehen

• Dies führt dazu, dass etwaige Arbitragegewinne sehr schnell wieder wegkonkurriert werden

• Entscheidende Prämisse aller Pricing-Modelle ist daher:

Prinzip der Arbitragefreiheit!

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Arbitragefreiheit

Ein Finanzmarkt ist arbitragefrei, wenn keine

risikolosen Arbitragemöglichkeiten existieren!

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Risikolose Arbitragemöglichkeit, wenn

– .....zwei Portfolios konstruiert werden können, welche bei unterschiedlichen Kosten eine identische Auszahlungsstruktur aufweisen!

– .....zwei kostengleiche Portfolios konstruiert werden können, von denen eines unter allen Umständen mindestens so hohe Erträge bringt wie das andere, jedoch bei mindestens einer Marktkonstellation mehr einbringt!

– .....ein kostenfreies Portfolio konstruiert werden kann, das unter keinen Umständen Verluste verursacht, jedoch bei mindestens einer Marktkonstellation positive Erträge aufweist!

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Bewertung eines Produkts oder Geschäfts

• “Bewertung” bedeutet, den aktuellen (Netto)Barwert eines Geschäftes oder Finanzmarktinstrumentes zu ermitteln

• Drei Schritte zur Bewertung– ermittle den Zahlungsstrom (“Cash Flow”) des Geschäfts, d.h.

Höhe und Zeitpunkt jeder Zahlung

– ermittle die zeitpunktgerechten Diskontierungsfaktoren

– ermittle den finanzmathematischen (Netto)Barwert des Geschäfts

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Graphische Darstellung der Cash Flow Bewertung

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Der Gegenwartwert eines Zahlungsstromes

Der (Brutto)Barwert einer Zahlungsreihe Z1....ZT

entspricht der Summe der Beträge die man „heute“ (d.h.

in t=0) anlegen muss, damit sie zu den Zeitpunkten

1.....T zu genau den Beträgen Z1..... ZT angewachsen

sein werden.

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Bewertung mit Einheitszins (flache Zinskurve)

CFt= Rückfluss aus dem Projekt in Periode t (Netto-

Abfluss: CFt0; Netto-Zufluss: CFt0)

r = Zinssatz, der eine alternative Anlagemöglichkeit widerspiegelt

T = Laufzeit des Projektes

T

tt

t

r

CFPV

1 )1(

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Annahme flacher Zinskurve

• Diskontierung mit einem Einheitszinssatz unterstellt eine flache Zinskurve

• Eine flache Zinskurve wiederum bedeutet, dass die Zinsen in allen Laufzeiten identisch sind.

• Es bedeutet auch, dass es keinen Unterschied zwischen Renditen und (risikolosen) Verzinsungen gibt: Zinssätze und Renditen in allen Laufzeiten haben das gleiche Niveau r.

Yields and riskfree interest rates

1,80%

2,30%

2,80%

3,30%

3,80%

4,30%

4,80%

5,30%

5,80%

6,30%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Flat yield curve: single yield for all maturities

1,80%

2,30%

2,80%

3,30%

3,80%

4,30%

4,80%

5,30%

5,80%

6,30%

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

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Zinsstrukturkurve und die Bewertung von Cash-Flow-Sequenzen

• Die Laufzeiten von Cash Flows und Bewertungszinssätzen müssen übereinstimmen.

• Das heißt: Ist die Zinsstrukturkurve nicht flach, müssen wir Cash Flows, die zu unterschiedlichen Zeitpunkten zufließen, mit unterschiedlichen Zinssätzen diskontieren.

• Diese sehr präzise Form der Bewertung nennt man „Bewertung mit der Zinsstruktur“.

• Sie ist im Bank- und Derivategeschäft unverzichtbar

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Korrekte Kalkulation von Barwerten

CFt= Rückfluss aus dem Projekt in Periode t (Netto-

Abfluss: CFt0; Netto-Zufluss: CFt0)

rt = Zinssatz mir Laufzeit von t Jahren, der eine alternative Anlagemöglichkeit von t Jahren widerspiegelt

T = Laufzeit des Projektes

T

tt

t

t

r

CFPV

1 )1(

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Zinssätze und Diskontierungsfaktoren

• Betrachten wir die folgenden Zinssätze mit Laufzeiten von 1, 2 und 3 Jahren:

• r1 = 3 %, r2 = 4 %, r3 =5 %.

• Rechts abgebildet finden sich die entsprechenden Diskontierungsfaktoren.

• Interpretation:– Heutiger Wert eines EUR, den wir erst in

einem Jahre erhalten ist 0,9709 EUR.

• Heutiger Wert eines EUR, den wir erst in zwei Jahren erhalten, ist 0,9246 EUR.

– Heutiger Wert eines EUR, den wir erst in

drei Jahren erhalten, ist 0,8763 EUR.

9709,0)1(

11

11

rD

8763,0)1(

13

33

rD

9246,0)1(

12

22

rD

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Unterjährige Verzinsung

Gegenwartswertberechnung (für eine einzelne Zahlung):

GGW*(1+rT)T = ZT

Stellt man nach GGW um, ergibt sich:

TT

T

r

ZGGW

)1(

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Beträgt die Anzahl der Zinstermine pro Jahr m (z.B. m=2, wie

z.B. in den USA!) so verändert sich die Formel wie folgt:

mTT

T

mrZ

GGW*)1(

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Exkurs: „Normale“ (diskrete) versus stetige Verzinsung

• Bei Kalkulationen mit Derivaten wird zumeist die sogenannte stetige Zinskonvention unterstellt!

• Hierbei geht die Anzahl der Zinstermine pro Jahr fiktiv gegen Unendlich!

• D.h. m

• Aus [1+rT/m]T*m wird: er*T

• Hierbei entspricht e der sogenannten Euler-Zahl:

e 2,71828........

• Beachte, dass hierbei das Symbol m, welches für die Anzahl der Zinstermine pro Periode steht, aus der Formel verschwindet.

• Auch wenn dies zunächst nicht so aussieht, werden viele Berechnungen durch die stetige Zinskonvention viel einfacher.

• Wir gehen jedoch im folgenden weiterhin von der „normalen“ (diskreten) Zinskonvention aus und vernachlässigen die Problematik der Unterjährigkeit.

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Gegenüberstellung von diskreter und stetiger Zinskonvention

Zukunftswert eines €

Barwert eines €

Diskrete Verzinsung

Stetige Verzinsung

mT

m

r *)1(

€1

mT

m

r *)1(*€1

Tre **€1 Tre *

€1

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Teil II

Struktur und theoretische Bewertung („Pricing“) von

Termingeschäften

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Was ist ein Terminkontrakt?

Ein Terminkontrakt ist eine Vereinbarung...

über die Lieferung und Bezahlung eines Gutes (meistens Rohstoffe!) oder eines Finanzinstrumentes (meistens Währungen und Zinskonditionen)

• zu einem genau spezifizierten Zeitpunkt• zu einem bereits jetzt festgelegten Preis (oder Zins)

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Terminkontrakte auf einkommenslose Produkte

• T = Zeitpunkt zu dem Kontrakt fällig wird

• 0 = aktueller Zeitpunkt (Kontrahierungszeitpunkt)

• S0 = aktueller Kurs des „underlyings“

• ST = Preis des „underlyings“ in T

• f = Wert einer long Position des Terminkontraktes

• K = „Ausübungspreis“• r = risikoloser Zins für

Anlagedauer T

• (F = Terminkurs des

„underlyings“)

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Wie wird der Terminkurs F bestimmt?

Originalportfolio, bestehend aus:– einer long-Position im

Terminkontrakt

– einer Cash-Position in Höhe von K/(1+r)T

• Auszahlung für Portfolio A in 0:

f + K/(1+r)T

Replikationsportfolio bestehend aus:– einer long-Position des

„underlyings“ (Kassa-Markt!)

• Auszahlung für Portfolio B in 0:

S0

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• Beide Portfolios stellen sicher, dass sein „Halter“ im Zeitpunkt T eine Einheit des „underlyings“ im Besitz hat!

• M.a.W., die Auszahlungsstruktur beider Depots ist identisch!• Arbitragefreiheit fordert nun, dass sie dann in t=0 („heute“) auch

gleich viel kosten müssen!

• Es muss daher gelten: S0 = f + K/(1+r)T

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• Beachte: Je höher der „Ausübungspreis“ K, desto geringer ist f, d.h. der Wert des Terminkontraktes zum Zeitpunkt t!

• Der Terminkurs F eines „underlyings“ ist nun genau der „Ausübungspreis“ K, der den Wert des Terminkontraktes Null werden lässt!

• Das heißt: Wähle K so, dass f = 0 gilt und nenne dieses spezielle K dann Terminkurs F!

• Formal: S0 = F/(1+r)T

F = S0*(1+r)T

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Ergebnis

Der Terminkurs eines Wertpapiers, das während der Kontraktdauer

keine Erträge abwirft, entspricht seinem mit aufgezinsten

Kassakurs!

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Terminkontrakte auf Produkte mit bekannter Einkommens-Rendite

• T = Zeitpunkt zu dem Kontrakt fällig wird

• 0 = aktueller Zeitpunkt (Kontrahierungszeitpunkt)

• S0 = aktueller Kurs des „underlyings“

• ST = Preis des „underlyings“ in T

• q = bekannte Einkommens-Rendite (z.B. Dividenden-Rendite, Kuponsatz)

• f = Wert einer long Position des Terminkontraktes

• K = Ausübungspreis• r = risikoloser Zins für

Anlagedauer T• F = Terminkurs des

„underlyings“

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Wieder die beiden Portfolios:

Originalportfolio, bestehend aus:– einer long-Position im

Terminkontrakt

– einer Cash-Position in

Höhe von K/(1+r)T

• Auszahlung für Portfolio

A in 0:

f + K/(1+r)T

• Replikationsportfolio, bestehend aus:– long-Position des „underlyings“ am

Kassa-Markt in Höhe von

1/(1+q)T Einheiten

– Beachte: Hierbei ist unterstellt, dass sämtliche Erträge aus dem Wertpapier zum Wiederanlage-satz q reinvestiert werden!

• Auszahlung für Portfolio B in 0:

S0/(1+q)T

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• Der Halter der Wertpapierposition in Portfolio B muss seine Ausschüttungen in dasselbe Wertpapier reinvestieren!

• Damit stellen wieder beide Depots sicher, dass sein „Halter“ im Zeitpunkt T genau eine Einheit des „underlyings“ in Besitz hat!

• M.a.W., die Auszahlungsstruktur beider Depots ist identisch!• Arbitragefreiheit fordert nun, dass dann beide in t=0 („heute“)

auch gleich viel kosten müssen

S0/(1+q)T = f + K/(1+r)T

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Berücksichtigen wir wieder die Konvention

f = 0 und F = K, so ergibt sich:

S0/(1+q)T = F/(1+r)T

F = S0*(1+r)T/(1+q)T

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Ergebnis

Der Terminkurs eines Wertpapiers, das während der Kontraktdauer

T eine bekannte und feststehende Einkommens-Rendite abwirft,

entspricht dem mit (1+r)T/(1+q)T aufgezinsten Kassakurs des

Wertpapiers.

Verursacht das underlying während der Laufzeit des Kontraktes

Lager- oder sonstige Haltekosten (“Cost of Carry“), werden diese

wie negative Zinsen behandelt.

(siehe Beispiel, welches in der Vorlesung behandelt wurde)

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Zusammenfassung der Ergebnisse

• Terminkurs eines Instruments ohne Zahlungen:

• Terminkurs eines Instruments mit fester Einkommensrendite q:

F = S0*(1+r)T

F = S0*(1+r)T/(1+q)T

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Fazit:

• Die Differenz aus Termin- und Kassakurs leitet sich ausschließlich aus der sogenannten Arbitragefreiheitsbedingung ab!

• Sie wird daher nur von den Größen beeinflusst, die in den entsprechenden Formeln auftauchen!

• Insbesondere mit den Erwartungen der Marktteilnehmer hat sie nichts zu tun!

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Übung:

Wie wirken sich die diversen Einflussfaktoren auf

den Terminkurs eines Finanzinstrumentes aus?

EINFLUSSFAKTOR AUSWIRKUNG Aktueller Kassakurs des „underlyings“ Risikofreier Zinssatz Kontraktdauer

Erwartungen über zukünftigen Kassakurs Einkommensrendite des „underlyings“ Auslandszinssatz

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Derivate Special 1

Zinsparität und die Bewertung eines

Devisenterminkontraktes

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Was ist ein Devisenterminkontrakt?

Ein Devisenterminkontrakt ist die Vereinbarung...

über die Lieferung und Bezahlung einer bestimmten Fremdwährung (z.B. dem US-Dollar)

• zu einem späteren, genau spezifizierten Zeitpunkt• zu einem bereits jetzt festgelegten Preis (d.h. Wechselkurs)

Entscheidend: Durch den Kontrakt entsteht die zwingende Verpflichtung zu liefern und zum vereinbarten Kurs zu bezahlen (unabhängig vom dann herrschenden Wechselkurs!!)

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Wie wird genau bewertet?

• T = Zeitpunkt zu dem Kontrakt fällig wird

• 0 = aktueller Zeitpunkt, Kontrahierungszeitpunkt

• S0 = aktueller Wechselkurs der Fremdwährung

• ST = Kurs der Währung in T (unbekannt!!)

• Beachte, dass alle Wechselkurse (S0, ST und K) in gleicher Notierung vorliegen müssen; im Rahmen des Beispiels verwenden wir die sogenannte Mengennotierung des $

• r = Inlandszinssatz für Anlagedauer T (T = 1 Jahr; z.B. r =3,72 %)

• f = Wert einer „long Position“ des Devisenterminkontraktes in €

• K = Ausübungspreis, d.h. Wechselkurs zu dem Währung bezogen wird

• R = Auslandszins für Anlagedauer T (z.B. R = 5,00 %)

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Konstruktion der „Replikation“

• Originalportfolio:– 100 long-Positionen im

Terminkontrakt (Kauf von 100 $ auf Termin)

– einer €-Cash-Position in Höhe von

– Auszahlung in € für Portfolio A in 0:

• Replikationsportfolio:– long-Position im Dollar am

Kassa-Markt in Höhe von

100$/(1+R) FW-Einheiten

– Beachte: Dieser Betrag wird (mit R verzinst!) auf einem Währungskonto gehalten, so dass er auf 100$ anwächst!

– Auszahlung in € für Portfolio B in 0:

rK1

$100

rKf

1

$100

*100

0

1

$100

SR

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• Der Halter der Fremdwährungsposition in Portfolio B realisiert in dieser Position einen Vermögenszuwachs entsprechend dem Auslandzins R!

• Die €-Kassa-Position in Portfolio A stellt sicher, dass zum Erfüllungszeitpunkt genau der erforderliche (heimische!) Geldbetrag vorhanden ist, um den Devisenterminkontrakt zu erfüllen!

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• Damit stellen beide Depots sicher, dass sein „Halter“ im Zeitpunkt T genau eine Fremdwährungseinheit in Besitz hat!

• M.a.W., die Auszahlungsstruktur beider Depots ist identisch!• Arbitragefreiheit fordert nun, dass dann in t=0 auch beide gleich

viel kosten müssen!

• M.a.W. es muss gelten:

0

1

$100

1

$100

*100SR

rKf

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Wir erinnern uns:• Der Terminkurs F ist genau der Ausübungspreis K, der den

Wert des Devisenterminkontraktes Null werden lässt! Dies gilt auch für Devisenterminkurse!

• In der Formel wirkt sich die wie folgt aus: Man setzt f=0 und K=F.

• Dann lässt sich das Ganze wie folgt umformen:

)1(

)1(*)1(*)1(*

)1(*

$100

)1(*

$1001$100

1

$100

000

0

r

RSFRSrF

RSrFSR

rF

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Ergebnis:

• Der Devisenterminkurs F einer Währung entspricht dem aktuellen Wechselkurs S0 der Währung, aufgezinst mit dem Zinsverhältnis aus Auslands- und Inlandszins.

• Ob hierbei mit dem Quotienten (1+R)/(1+r) oder (1+r)/(1+R) aufgezinst wird, hängt davon ab, ob die Wechselkurse in Preis- oder Mengennotierung angegeben sind.

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Preisnotierung vs. Mengennotierung von F bzw. S0

• Mengennotierung (wie unser Beispiel!)

• Preisnotierung

)1(

)1(*0 r

RSF

)1(

)1(*0 R

rSF

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Bedingung der Zinsparität

• Dieses Ergebnis entspricht der berühmten sogenannten Zinsparitätsbedingung

• Diese besagt, dass das Verhältnis aus Devisenterminkurs und aktuellem Kurs einer Währung dem Zinsverhältnis entspricht!

• Damit lässt sich der Terminkurs einer Währung ausschließlich durch den Zinsunterschied zum Ausland erklären!

• Erwartungen spielen hierbei keine Rolle!!

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Übungsaufgabe

Ein Unternehmen möchte Exporterlöse, die in genau einem Jahr in Höhe von 5.000.000 US-Dollar zufließen, gegen Währungsverluste absichern.

– Welchen Devisenterminkontrakt und in welcher Höhe muss es hierzu abschließen?– Was kostet dieses Absicherungsgeschäft?– Benutzen Sie hierzu obenstehende Tabelle bzw. Chart, welche die aktuellen Wechselkurse sowie die

Geldmarktkurven in USA und €-Land enthalten!– Der Ein-Jahreszins in €-Land beträgt 4,1 %, in USA dagegen 5,2 %.

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Teil III

Die wichtigsten EUREX Produkte:

DAX- und BUND-Future

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Was ist ein Future-Kontrakt?

• Ein Future-Kontrakt ist ein spezieller Terminkontrakt mit folgenden Besonderheiten:– Handel erfolgt nur im Rahmen standardisierter

Kontraktspezifikationen, wie• Kontraktvolumen• Margin-Pflichten

– Das zu liefernde Gut oder Finanzinstrument ist häufig nicht genau, sondern nur ungefähr spezifiziert!

– Handel erfolgt nicht OTC, sondern an geregelten Märkten mit Liquiditäts- und Preisgarantie (in Deutschland früher über DTB jetzt EUREX)

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Was ist die EUREX?

• EUREX ist die weltweit mit Abstand größte internationale Elektronik-Börse für Derivate

• Über 700 Mitglieder aus über 25 Ländern

• EUREX ist das Ergebnis der Fusion von DTB und SOFFEX („Swiss options and financial futures

exchange“) im Jahr 1998

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EUREX-Produkte im Überblick

• Aktienmarktprodukte• Indexprodukte• Anleihenprodukte (Kapitalmarktprodukte)• Geldmarktprodukte

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Was ist der Euro-Bund-Future (FGBL)?

Der Bund-Future ist ein Terminkontrakt auf

langlaufende Bund-Anleihen:– „underlying“ ist eine synthetische, fiktive Bund-Anleihe mit einem

Kupon von 6 % und einer Restlaufzeit von 8,5 bis 10,5 Jahren.

– die Anleihe, mit welcher erfüllt werden muss, ist nicht genau spezifiziert, sondern „lieferbar“ ist jede BundAnleihe mit einer Restlaufzeit von 8,5 bis 10,5 Jahren und einem Emissionsvolumen von mindestens 2 Mrd. Euro .

– Minimales Kontraktvolumen (Nominalwert eines Kontraktes!) beträgt EURO 100.000,-

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– Preisänderungen werden in „ticks“ von 0,01 % vom Nominalwert notiert, d.h. in 10 Euro-Schritten.

– Der Kontrakt läuft jeweils bis Ende des letzten Monats der Quartalszyklen März, Juni, September und Dezember.

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Zur Notierung des Bund-Futures

• Die Notierung des Bund-Futures erfolgt (wie bei Anleihen üblich!) in Prozent vom Nominalwert

• Ein Kurs von 116 bedeutet daher, dass eine long-Position im Future einen Wert von 100.000Euro*1,16 = 116.000 Euro hat.

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Was ist der DAX-Future (FDAX)?

• Der DAX-Future ist ein (geregelter) Terminkontrakt auf den DAX-Index

• Der Käufer des Kontraktes (long-Position) gewinnt, wenn der DAX steigt!

• Der Verkäufer des Kontraktes (short-Position) gewinnt, wenn der DAX fällt!

• Konkret: Pro-Index-Punkt beträgt der Gewinn bzw. der Verlust 25 EURO

• Der aktuelle Terminkurs entspricht dem aktuellen Stand des DAX-Futures!

• Zu diesem Terminkurs kann in den Kontrakt kostenlos eingetreten werden!

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• Preisänderungen werden in „ticks“ von 50 % eines Indexpunktes notiert, d.h. in 12,5 Euro-Schritten.

• Der Kontrakt läuft jeweils bis Ende des letzten Monats der Quartalszyklen März, Juni, September und Dezember.

Seite 61

DAX-Index versus DAX-Future

Index = 6.716 Future = 6.853• Aktueller Kontraktwert eines am 21.09.2007 lieferbaren September Futurekontraktes

beträgt 6.853, aktueller DAX-Stand: 6.716 Indexpunkte.• Der Halter einer long-Position (Kauf eines Futures!)

– erhält für jeden Index-Punkt, den der Index im September über 6.853 steht, 25 EURO!!– Muss für jeden Index-Punkt, den der Index im Dezember unter 6.853 steht,– 25 EURO bezahlen!!

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• Der Halter einer short-Position (Verkauf eines Futures!)– erhält für jeden Index-Punkt, den der Index im Dezember unter 6.853 steht,

25 EURO!!– muss für jeden Index-Punkt, den der Index im Dezember über 6.853 steht,

25 EURO bezahlen!!

• Vor der Fälligkeit sich ergebende entsprechende Gewinne bzw. Verluste werden dem Margin-Konto täglich gutgeschrieben, bzw. belastet. (Unterschied zum Terminkontrakt!)

Seite 63

Pricing von DAX- und Bund-Futures

• Der DAX-Future (wie auch der Bund-Future) wird vom Prinzip her bewertet, wie ein normales Termingeschäft.

• D.h. der aktuelle DAX-Stand bzw. Anleihenkurs wird mittels eines laufzeitgerechten Zinssatzes auf den Fälligkeitszeitpunkt hin aufgezinst.

• Komplikationen in der Praxis– Ermittlung der Dividenderendite für die DAX-Indexbewertung

– Ermittlung des CtD-Bonds für die Bewertung des BUND-Futures

Seite 64

Pricing des DAX-Future am vereinfachten Beispiel

• Beispiel für den DAX: 6.716– Aktueller DAX: 6.716 Indexpunkte

– Aktueller Halbjahreszins: 3,93 %– (tatsächlicher DAX-Future: 6.853)

• Aufzinsung mittels diskreter und stetiger Zinsformel:– Diskret: FV=6.716*(1+0,0393/2)=6.848

– Stetig: FV = 6.716*e 0,0393*190/360 =6.856

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Teil IV

Optionen und ihre Auszahlungsprofile

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Optionen

• Eine Option ist ein handelbares Recht....– ein Finanzmarktinstrument zu einem späteren Zeitpunkt entweder

• zu kaufen (Kaufoption, „call“), oder• zu verkaufen (Verkaufsoption, „put“).

• Eine Option heißt.....– „europäisch“, wenn dieses Recht nur am Fälligkeitstermin ausgeübt

werden kann.

– „amerikanisch“, wenn dieses Recht während der gesamten Zeit

(vom Kauf bis zur Fälligkeit) ausgeübt werden kann.

Seite 67

Begriffe zu Optionen

• Optionsprämie...– ist der Marktpreis, zu dem die Option gekauft oder verkauft werden

kann.

• Ausübung...– bedeutet, dass der Käufer der Option von seinem Recht zu kaufen

oder zu verkaufen Gebrauch macht.

• Ausübungspreis („strike“ oder „exercise“-Preis)– ist der Preis, zu dem gemäß Optionsrecht das zugrundeliegende

Finanzinstrument („underlying“) gekauft oder verkauft werden kann.

• Stillhalter...– ist eine andere Bezeichnung für den Verkäufer einer Option.

Seite 68

• Optionsfrist...– ist die Zeit während der („amerikanischer“ Typ) bzw. nach deren

Ablauf („europäischer“ Typ) die Option ausgeübt werden kann

• „Im Geld“...– ist eine Kaufoption (Verkaufsoption) dann, wenn der

Ausübungspreis unter (über) dem Marktkurs des „underlyings“ liegt, d.h. bei Ausübung ein Gewinn realisiert werden kann.

• „Am Geld“...– Ist eine Option dann, wenn der Ausübungspreis dem Marktkurs

entspricht

Seite 69

• „Aus dem Geld“...– ist eine Kaufoption (Verkaufsoption) dann, wenn der Ausübungspreis über

(unter) dem Marktkurs des „underlyings“ liegt, d.h. bei Ausübung ein Verlust realisiert würde.

• Intrinsischer (innerer) Wert...– einer Option ist der Gewinn, der bei Ausübung einer Option, die im Geld ist,

realisiert werden kann. Der innere Wert ist also die Differenz aus Markt- und Ausübungspreis (Kaufoption) bzw. die Differenz aus Ausübungs- und Marktpreis (Verkaufsoption).

• Zeitwert...– einer Option ist die Differenz aus dem Preis (Prämie) einer Option und ihrem

inneren Wert. Der Optionspreis entspricht somit stets der Summe aus innerem Wert und Zeitwert.

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Auszahlungsstruktur einer Long-Position in einer Call-Option

• K ist der vereinbarte Preis, zum dem gekauft werden kann („Ausübungspreis“)

• O ist der Optionspreis

• S(T) ist der Preis des „underlyings“, d.h. des Instruments, auf das sich der Terminkontrakt bezieht, zum Zeitpunkt T

• Auszahlung bzw. „Gewinn“

= max{S(T)-K;0}-O(1+r)T

Seite 71

Auszahlungsstruktur einer Short-Position in einer Call-Option

• K ist der vereinbarte Preis, zum dem (bei Ausübung!) verkauft werden muss

• O ist der Optionspreis

• S(T) ist der Preis des „underlyings“, d.h. des Instruments, auf das sich der Terminkontrakt bezieht, zum Zeitpunkt T

• Auszahlung bzw. „Gewinn“

= O*(1+r)T-max{S(T)-K; 0}

= O*(1+r)T+min{K-S(T); 0}

Seite 72

Auszahlungsstruktur einer Long-Position in einer Put-Option

• K ist der vereinbarte Preis, zum dem verkauft werden kann

• O ist der Optionspreis

• S(T) ist der Preis des „underlyings“, d.h. des Instruments, auf das sich der Terminkontrakt bezieht, zum Zeitpunkt T

• Auszahlung

= max{K-S(T);0}-O*(1+r)T

Seite 73

Auszahlungsstruktur einer Short-Position in einer Put-Option

• K ist der vereinbarte Preis, zum dem gekauft werden muss (bei Ausübung!)

• O ist der Optionspreis

• S(T) ist der Preis des „underlyings“, d.h. des Instruments, auf das sich der Terminkontrakt bezieht, zum Zeitpunkt T

• Auszahlung

= O*(1+r)T-max{K-S(T); 0} =O*(1+r)T+min{S(T)-K;0}

Seite 74

Teil V

Zur theoretischen Bewertung von Optionen – ein

didaktisches Beispiel der CBT

Seite 75

Logik allgemeiner Derivatbewertung

Der strukturelle Zusammenhang sieht wie folgt aus

Seite 76

Allgemeine Optionsbewertungsformel

• Erstmals publiziert im mittlerweile legendären Aufsatz aus dem Jahr 1973 zur Bestimmung der fairen Prämie einer Call-Option.

• Varianten dieser Gleichung werden in nahezu allen Finanzinstituten in Form von Derivate-Bewertungsprogrammen eingesetzt.

• Damit ist sie die wohl am meisten angewendete Gleichung der Finanzmarkttheorie.

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Warum so kompliziert?

• Im allgemeinen kann die Brücke vom Kassakurs S(t) zum Derivatpreis F[S(t);t;...] nicht direkt geschlagen werden, weil...– .....S(t) normalerweise einem sogenanntem stochastischen Prozess

entspricht, und

– .....das Derivat von seiner Konstruktion her einen bedingten Zahlungsstrom generiert (Optionen)

• Ausnahmen:– Unbedingte Zahlungsströme (Termingeschäfte, Futures)

– Im Rahmen stark vereinfachter didaktischer Bespiele

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Zwei-Perioden-Beispiel der CBT

– Zum Zeitpunkt 0 wird eine europäische Kaufoption auf eine Aktie gehandelt, die in T ausgeübt werden kann.

– Aktueller Kurs der Aktie: S0 = 39,20

– Ausübungspreis der Aktie: K = 40– risikoloser Zinssatz für Anlagedauer T: r = 0,091– (in 0 unbekannter) Kurs der Aktie zum Ausübungszeitpunkt

T: S(T) = ???

– Aber: Nehmen wir an, es gibt in T für die Aktien nur zwei Möglichkeiten:

• entweder sie steigt von 39,2 auf 44 oder

• sie fällt von 39,2 auf 36

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• Mögliche Szenarien im Zeitpunkt T:

– STK: Option wird ausgeübt, da die Aktie günstiger als zum Marktkurs bezogen und damit mit Gewinn wiederverkauft werden kann

Gewinn: S(T)-K-O*(1+r)T

– STK: Option wird nicht ausgeübt, da die Aktie durch das Optionsrecht nicht günstiger als am Markt bezogen werden kann.

Verlust: -O* (1+r)T

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Zentrale Fragestellungen

• Wie hoch ist die „faire“ Prämie der Option?• Wovon hängt die Höhe dieser Prämie ab?• Wie verändert sich die Prämie, wenn sich „ceteris paribus“ ihre

Bestimmungsfaktoren verändern?

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Beispiel zur Bestimmung der Optionsprämie

• Die Logik der Optionspreisbildung kann anhand des einfachen Beispiels sehr schön verdeutlicht werden!

• Hierzu betrachten wir zwei „Strategien“:• Strategie A:

– Kauf zweier Kaufoptionen

• Strategie B (Replikation!)– Kauf der Aktie zum Kurs 39,2

– Kredit in Höhe von 33 zum Zinssatz r=0,091

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Auszahlungen beider Strategien in T

• Wenn Aktie auf 44 steigt– Strategie A:

Die Optionen werden ausgeübt. Zufluss beträgt: 2*(44-40) = 8

– Strategie B

Die Aktie wird verkauft, der Kredit verzinst und getilgt. Zufluss beträgt:

44-33*1,091 = 8

• Wenn Aktie auf 36 fällt:– Strategie A:

Optionen werden nicht ausgeübt. Zufluss beträgt 0

– Strategie B:

Die Aktie wird verkauft, der Kredit verzinst und getilgt. Zufluss beträgt:

36-33*1,091 = 0

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• Wir haben also zwei Portfolios mit den folgenden Eigenschaften:– Die in T zufließenden Zahlungen aus beiden Depots sind für beide

Depots unter jeder Marktkonstellation gleich.

– Die in t=0 für Strategie A anfallenden Auszahlungen sind abhängig von der (unbekannten!) Optionsprämie.

– Die in t=0 für Strategie B anfallende Auszahlung dagegen ist abhängig vom Kassakurs der Aktie.

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• Arbitragefreiheit fordert nun, dass die Auszahlungen in t=0 für beide Depots identisch sein müssen!

• Konkret:

2*O = 6,2

O = 6,2/2

O = 3,1

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Kennzahlen zur Beschreibung von Derivaten

• Die Optionspreistheorie beschreibt den Zusammenhang des Preises eines Derivates von folgenden Größen:

– Kassakurs des zugrunde liegenden Wertpapiers („underlying“)– Ausübungspreis („strike“)– Volatilität des zugrunde liegenden Wertpapiers– Laufzeit des Derivats– Laufzeit-entsprechender risikofreier Zinssatz– Einkommensrendite des zugrunde liegenden Wertpapiers

• Jedes Derivat reagiert nun ganz spezifisch auf Veränderungen der genannten Größen.

• Derivat-Sensitivitäten (die sogenannten „Griechen“) konkretisieren diese Empfindlichkeiten.

• So geben beispielsweise „Delta“ und „Omega“ einer Option an, wie stark die Optionsprämie auf Veränderungen des Kassakurses des underlyings reagiert.

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Bestimmungsfaktoren der Optionsprämie

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Derivate-Griechisch (Sensitivitäten)

Allgemein: Preisänderung = Sensitivität*Parameteränderung

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Derivate Special 2

Bewertung von Corporate Bonds durch

strukturierte Kreditmodelle

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Drei Schritte der Kreditbewertung nach Robert Merton

• Zerlegung der Kreditvergabe an ein Unternehmen in – einen ausfallrisikofreien Kredit

– Stillhalterposition in einer Verkaufs-Option („put“) welche die Möglichkeit eines Kreditausfalls (=Optionsausübung) widerspiegelt

• Strike = Nominalwert des Kredits• underlying ist das Unternehmen selbst• Wert des underlyings bei Ausübung = Marktwert des Unternehmens

• Getrennte Bewertung von risikofreiem Kredit und Verkaufsoption• Wert des Kredits = Wert des risikofreien Kredits

abzgl. Optionsprämie des Put

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Zwei Verständnisschritte erforderlich

1. Warum kann die Vergabe eines ausfallrisiko-behafteten Kredits als Kombination eines risikofreien Kredits und einer Stillhalterposition in einer Verkaufoption interpretiert werden?

2. Wie funktioniert die Bewertung („Pricing“) des Optionsanteils, d.h. der Verkaufsoption?

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Beispiel zu Frage 1

• Börsennotiertes Unternehmen hat nur einen einzigen, abgezinsten und endfälligen Kredit mit Nennwert N ausstehen, der in einem Jahr fällig ist und für den keine zwischenzeitlichen Zinszahlungen anfallen (Emission Zero-Bond).

• Das Unternehmen ist zahlungsunfähig („Default“), wenn der Marktwert der Aktien des Unternehmens am Fälligkeitstermin ST unter dem Nominalbetrag des Kredits N liegt.

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Zahlungen (Cash Flows) zum Fälligkeitstermin

Originalkredit ST<N STN

(1) Auszahlung an Kreditgeber

ST N

Duplikation Ausübung Nicht-Ausübung

(2) Auszahlung aus risikofreiem Kredit

N N

(3) „Auszahlung“ aus Stillhalterposition in der Verkaufsoption

ST - N 0

(2)+(3)=(1) ST N

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Beispiel zu Frage 2:

• Vorliegende Situation– Zum Zeitpunkt 0 („heute“) wird eine europäische Verkaufsoption auf

eine Aktie gehandelt, die in T (in einem Jahr) ausgeübt werden kann.

– S0 = 98 (aktueller Kurs der Aktie)

– K = 100 (Ausübungspreis der Option, „strike“)

– R = 9,1 % (risikoloser Zinssatz für Anlagedauer T)

– ST = („heute“ noch unbekannter Kurs der Aktie zum Ausübungszeitpunkt)

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• Vereinfachung des Beispiels: Nehmen wir an, es gibt in T für die Aktie nur zwei Möglichkeiten:

• entweder sie steigt von 98 auf 110 oder • sie fällt von 98 auf 90

• Mögliche Szenarien im Zeitpunkt T:– ST = 90: Verkaufsoption wird ausgeübt, da die Aktie am Markt günstig

beschafft werden kann und über die Option dem Stillhalter zu 100 „angedient“ wird.

– ST =110: Option wird nicht ausgeübt, da die Aktie am Markt teurer „eingekauft“ werden müsste.

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Zur Bestimmung der Optionsprämie

• Die Logik der Optionspreisbildung kann anhand des einfachen Beispiels sehr schön verdeutlicht werden!

• Hierzu betrachten wir zwei Depots:• Originaldepot:

– Kauf zweier Verkaufsoptionen• Duplikationsdepot

– Leerverkauf der Aktie in 0 zu 98 und gleichzeitigen Wiederkauf in einem Jahr zum dann herrschenden Marktkurs

– Anlage von 100,82 zu 9,1 %• Wir betrachten nun die „Zahlungsprofile“ dieser beiden Depots zum

Ausübungszeitpunkt

• Wichtig: Die Zahlungen zu den Zeitpunkten 0 und T dürfen gemäß der Optionspreislogik nicht miteinander verrechnet werden.

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ST =90

(Ausübung der Option)

ST = 110

(Nichtausübung)

Original-Depot(Kauf von 2 Verkaufsoptionen)

2*(100 - 90)= 20 0

Duplikation („Replikation“)(Leerverkauf der Aktie zu 98 und Anlage von 100,82 zu 9,1 %)

Fest-Anlage: 100,82*(1,091) = 110Leerverkauf: - 90

Gesamt: 110 - 90 = 20

Fest-Anlage: 100,82*(1,091) = 110Leerverkauf: - 110

Gesamt: 110 - 110 = 0

• Die in T zufließenden Zahlungen aus beiden Depots sind für beide Depots unter jeder Marktkonstellation identisch!• Arbitragefreiheit fordert nun, dass Cash-Flows, die in T unter allen Marktkonstellationen identisch sind, auch in t=0 identische

Auszahlungen verursachen müssen: D.h. konkret:Ausz. „heute“ für Original = Ausz. „heute“ für Duplikation

2*Prämie = 100,82 – 98= 2,82

Prämie = 1,41

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Kombination der Ansätze

Originalkredit ST = 90 ST= 110 Bewertung

(1) Auszahlung an Kreditgeber

90 100

Duplikation Ausübung Nicht-Ausübung

(2) Auszahlung aus risikofreiem Kredit

100 100 91,66

(3) „Auszahlung“ aus Stillhalterposition in der Verkaufsoption

90 -100 =-10 0 1,41

(2)+(3)=(1)90 100

91,66 – 1,41 = 90,25

• Dies bedeutet: Die Anleihe, welche ohne Ausfallrisiko 91,66 kostet, hat unter Berücksichtigung des Ausfallrisikos nur noch einen Wert von 90,25

• Dies entspricht einer Rendite von 10,80 % und damit einem „fairen“ Credit-Spread von 10,80 % - 9,01 % = 1,79 % = 179 BP