Seminar: Weiche Materie Der nematische Phasenübergangtheorie.physik.uni-konstanz.de/lsfuchs/lectures/seminar0708/s_reinb… · Überblick Phasenübergänge Der nematische Phasenübergang

ÜberblickPhasenübergänge

Der nematische Phasenübergang

Seminar: Weiche MaterieDer nematische Phasenübergang

Simon Reinbold

11. Januar 2008

Simon Reinbold Seminar: Weiche Materie Der nematische Phasenübergang



Überblick über Phasen

Der nematische PhasenübergangLars OnsagerVirialtheorie des isotrop-nematischen PhasenübergangsVerteilungsfunktion der AuslenkungenFreie Energie für SphärozylinderVirialkoeffizienten für harte Sphärozylinder



Der nematische PhasenübergangÜberblick über Phasen

I Phase 6= Aggregatszustand

I Freie Energie muss analytisch bleiben

I Nematische PhaseI Cholerische PhaseI Smektische PhaseI Kolumnare Phase

I lyotrop, thermotrop und barotrop




I Phase 6= AggregatszustandI Freie Energie muss analytisch bleiben







I Nematische Phase

I Cholerische PhaseI Smektische PhaseI Kolumnare Phase






I Nematische PhaseI Cholerische Phase

I Smektische PhaseI Kolumnare Phase






I Nematische PhaseI Cholerische PhaseI Smektische Phase

I Kolumnare Phase

















Lars OnsagerVirialtheorie des isotrop-nematischen PhasenübergangsVerteilungsfunktion der AuslenkungenFreie Energie für SphärozylinderVirialkoeffizienten für harte Sphärozylinder

I 27. Nov 1903 - 5. Okt 1976

I 1925: Korrektur der Debye-Hückel-Theorie für elektrlytischLösungen

I 1929: Onsager reciprocal relationsI 1944: Lösung des 2D-Ising-ModellsI 1949: Theoretische Erklärung für das suprafluide Verhalten

von flüssigem Helium





I 27. Nov 1903 - 5. Okt 1976I 1925: Korrektur der Debye-Hückel-Theorie für elektrlytisch

Lösungen

I 1929: Onsager reciprocal relationsI 1944: Lösung des 2D-Ising-ModellsI 1949: Theoretische Erklärung für das suprafluide Verhalten







LösungenI 1929: Onsager reciprocal relations

I 1944: Lösung des 2D-Ising-ModellsI 1949: Theoretische Erklärung für das suprafluide Verhalten







LösungenI 1929: Onsager reciprocal relationsI 1944: Lösung des 2D-Ising-Modells

I 1949: Theoretische Erklärung für das suprafluide Verhaltenvon flüssigem Helium






LösungenI 1929: Onsager reciprocal relationsI 1944: Lösung des 2D-Ising-ModellsI 1949: Theoretische Erklärung für das suprafluide Verhalten






I pkBT = ρ +B2ρ2 +B3ρ3 + . . .

mit Wechselwirkungspotential u(i , j) zwischen Teilchen iund j

I Definiere Mayer-Funktion: Φ(i , j) = exp(−u(i ,j)

kBT

)−1

I Bestimme Vorfaktoren:

B2 =−β12 =− 1

2V∫ ∫

Φ(1,2)dr1dr2

B3 =−2β23 =− 1

3V∫ ∫ ∫

Φ(1,2)Φ(1,3)Φ(2,3)dr1dr2dr3

⇒ ∆FNkBT

=µ0

kBT+ ln

(Λ3

ρ

)−1+B2ρ +

12

B3ρ2 + . . .





I pkBT = ρ +B2ρ2 +B3ρ3 + . . .



kBT

)−1


B2 =−β12 =− 1

2V∫ ∫

Φ(1,2)dr1dr2

B3 =−2β23 =− 1

3V∫ ∫ ∫

Φ(1,2)Φ(1,3)Φ(2,3)dr1dr2dr3

⇒ ∆FNkBT

=µ0

kBT+ ln

(Λ3

ρ

)−1+B2ρ +

12

B3ρ2 + . . .





I pkBT = ρ +B2ρ2 +B3ρ3 + . . .



kBT

)−1


B2 =−β12 =− 1

2V∫ ∫

Φ(1,2)dr1dr2

B3 =−2β23 =− 1

3V∫ ∫ ∫

Φ(1,2)Φ(1,3)Φ(2,3)dr1dr2dr3

⇒ ∆FNkBT

=µ0

kBT+ ln

(Λ3

ρ

)−1+B2ρ +

12

B3ρ2 + . . .





I pkBT = ρ +B2ρ2 +B3ρ3 + . . .



kBT

)−1


B2 =−β12 =− 1

2V∫ ∫

Φ(1,2)dr1dr2

B3 =−2β23 =− 1

3V∫ ∫ ∫

Φ(1,2)Φ(1,3)Φ(2,3)dr1dr2dr3

⇒ ∆FNkBT

=µ0

kBT+ ln

(Λ3

ρ

)−1+B2ρ +

12

B3ρ2 + . . .





I pkBT = ρ +B2ρ2 +B3ρ3 + . . .



kBT

)−1


B2 =−β12 =− 1

2V∫ ∫

Φ(1,2)dr1dr2

B3 =−2β23 =− 1

3V∫ ∫ ∫

Φ(1,2)Φ(1,3)Φ(2,3)dr1dr2dr3

⇒ ∆FNkBT

=µ0

kBT+ ln

(Λ3

ρ

)−1+B2ρ +

12

B3ρ2 + . . .





I Jetzt: Sphärozylinder der Länge L, Radius D

I Unterschiedliche Ausrichtungen im Raum werdenbeschrieben durch Verteilungsfunktion f (Ω) mit

∫f (Ω) = 1

I Für isotrope Phase gilt: f (Ω) = f = 14π

= konstI Einführung einer Orientierungsentropie:

Sor =−NkB

∫f (Ω) ln [4πf (Ω)]dΩ =−NkBσ [f ]





I Jetzt: Sphärozylinder der Länge L, Radius DI Unterschiedliche Ausrichtungen im Raum werden

beschrieben durch Verteilungsfunktion f (Ω) mit∫

f (Ω) = 1

I Für isotrope Phase gilt: f (Ω) = f = 14π

= konstI Einführung einer Orientierungsentropie:

Sor =−NkB








f (Ω) = 1I Für isotrope Phase gilt: f (Ω) = f = 1

4π= konst

I Einführung einer Orientierungsentropie:

Sor =−NkB









4π= konst


Sor =−NkB









4π= konst


Sor =−NkB









4π= konst


Sor =−NkB






I Die Virialkoeffizienten müssen nun gemittelt werden:B2 =−1

2∫ ∫

β1 (Ω1,Ω2) f (Ω1) f (Ω2)dΩ1dΩ2

I Damit folgt nun für die freie Energie:

⇒ ∆FNkBT

=µ0

kBT+ ln

(Λ3

ρ

)−1+

∫f (Ω) ln [4πf (Ω)]dΩ−

−12

ρ

∫ ∫β1 (Ω1,Ω2) f (Ω1) f (Ω2)dΩ1dΩ2 + . . .






2∫ ∫

β1 (Ω1,Ω2) f (Ω1) f (Ω2)dΩ1dΩ2


⇒ ∆FNkBT

=µ0

kBT+ ln

(Λ3

ρ

)−1+


−12

ρ

∫ ∫β1 (Ω1,Ω2) f (Ω1) f (Ω2)dΩ1dΩ2 + . . .






2∫ ∫

β1 (Ω1,Ω2) f (Ω1) f (Ω2)dΩ1dΩ2


⇒ ∆FNkBT

=µ0

kBT+ ln

(Λ3

ρ

)−1+


−12

ρ

∫ ∫β1 (Ω1,Ω2) f (Ω1) f (Ω2)dΩ1dΩ2 + . . .






2∫ ∫

β1 (Ω1,Ω2) f (Ω1) f (Ω2)dΩ1dΩ2


⇒ ∆FNkBT

=µ0

kBT+ ln

(Λ3

ρ

)−1+


−12

ρ

∫ ∫β1 (Ω1,Ω2) f (Ω1) f (Ω2)dΩ1dΩ2 + . . .





I Härte-Stäbchen-Potential

I ⇒ β1 = 1V

∫ ∫ [exp

(u(i ,j)kBT

)−1

]dr1dr2 =−vex (Ω1,Ω2)

I oder ausgeführt für Sphärozylinder:−β1 = 2L2D |sinγ|+2πD2L+ 4

3πD3

I für dünne Stäbchen DL 1 bleibt nur der führende Term:

−β1 ≈ 2DL2 |sinγ|






I ⇒ β1 = 1V

∫ ∫ [exp

(u(i ,j)kBT

)−1



3πD3








I ⇒ β1 = 1V

∫ ∫ [exp

(u(i ,j)kBT

)−1



3πD3








I ⇒ β1 = 1V

∫ ∫ [exp

(u(i ,j)kBT

)−1



3πD3







I lyotroper Übergang mit Konzentration c = Biso2 ρ = L

D v0NV

I Freie Energie bis B1-TermI Minimierung der freien Energie durch Variation der

Winkel-Verteilungsfunktion





II lyotroper Übergang mit Konzentration c = Biso2 ρ = L

D v0NV

I Freie Energie bis B1-Term

I Minimierung der freien Energie durch Variation derWinkel-Verteilungsfunktion






D v0NV








D v0NV







II mit anderen Wechselwirkungspotentialen: z.B. geladeneTeilchen

I Mischungen von verschiedenen TeilchenI endliche StäbchenlängeI Phasenkoexistenz und OberflächenspannungI Nicht-Gleichgewicht





I mit anderen Wechselwirkungspotentialen: z.B. geladeneTeilchen

I Mischungen von verschiedenen Teilchen

I endliche StäbchenlängeI Phasenkoexistenz und OberflächenspannungI Nicht-Gleichgewicht






I Mischungen von verschiedenen TeilchenI endliche Stäbchenlänge

I Phasenkoexistenz und OberflächenspannungI Nicht-Gleichgewicht






I Mischungen von verschiedenen TeilchenI endliche StäbchenlängeI Phasenkoexistenz und Oberflächenspannung

I Nicht-Gleichgewicht






I Mischungen von verschiedenen TeilchenI endliche StäbchenlängeI Phasenkoexistenz und OberflächenspannungI Nicht-Gleichgewicht


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