Hydrodynamische Wechselwirkung und Stokes Reibungtheorie.physik.uni-konstanz.de/lsfuchs/lectures/seminar0708/j... · Überblick Hydrodynamik Ein Teilchen Viele Teilchen Experimente

ÜberblickHydrodynamik

Ein TeilchenViele Teilchen

Experimente

Hydrodynamische Wechselwirkungund Stokes Reibung

Johannes Reinhardt

9. Februar 2008

Johannes Reinhardt Hydrodynamische Wechselwirkung und Stokes Reibung



Experimente

Problemstellung

Kolloidsuspension aus Teilchenund LösungsmittelTeilchen bewegen sich aufgrundvon externen Kräften

SchwerkraftÄußere elektrische FelderBrownsche Bewegung




Experimente

Problemstellung

Bewegung der Teilchen erzeugtStrömungen im LösungsmittelStrömungen im Lösungsmittelbeeinflussen Bewegung derTeilchenBewegung aller Teilchengekoppelt




Experimente

Hydrodynamische Wechselwirkung

Hydrodynamische WechselwirkungDie Wechselwirkung zwischen den Teilchen, diedurch Strömungen im Lösungsmittel übertragenwird, bezeichnet man als hydrodynamischeWechselwirkung.




Experimente

Ziel

ZielAufstellen einer Bewegungsgleichung, die dieBewegung der einzelnen Teilchen in Abhängigkeitder auf sie wirkenden Kräfte unter Berücksichtigungder hydrodynamischen Wechselwirkung beschreibt




Experimente

Weiteres VorgehenHydrodynamik

Beschreibung desLösungsmittelsNavier-Stokes Gleichunggeeignet vereinfachen (CreepingFlow Gleichungen)Wirkung von Kräften aufLösungsmittel (Oseen-Tensor)




Experimente

Weiteres VorgehenEin Teilchen

Beschreibung eines einzelnenTeilchensVerhalten eines Teilchens imLösungsmittel (Faxén Theorem)Stokes Reibungsformel




Experimente

Weiteres VorgehenViele Teilchen

Bewegungsgleichung für vieleTeilchenApproximation derHydrodynamischenWechselwirkung(Rodne-Prager-Matrix)




Experimente

Weiteres VorgehenExperimente

Experimentelle ÜberprüfungHydrodynamische FunktionExperimentelle Bestimmung derHydrodynamischen Funktion




Experimente

Ausgangspunkt

inkompressible Navier-Stokes Gleichung

ρ0

∂u(r, t)∂t + (u(r, t) · ∇)u(r, t)

=

η0∇2u(r, t)−∇p(r, t) + fext(r, t)

Inkompressibilitätsbedingung

∇ · u(r, t) = 0




Experimente

Reynolds-Zahl

Terme der N-S-Gleichungverschieden wichtigSituation charakterisiertdurch typische Längen a,Geschwindigkeiten v , undZeiten τTransformation zudimensionsloser Variablen

u’ =uv

r’ =ra

t ′ = tτ

p′ = aη0v

p

f’ext =a2

η0vfext




Experimente

Reynolds-Zahl

a2ρ0vτη0

∂u’∂t ′ +

ρ0avη0︸︷︷︸Re

u’ · ∇′u’ = ∇′2u’−∇′p′ + f’ext

Re heißt ReynoldszahlFür typische Kolloidsuspensionen ist Re� 1Deshalb: Vernachlässigen des u · ∇u Terms




Experimente

Creeping Flow Equations

a2ρ0vτη0

∂u’∂t ′ = ∇′2u’−∇′p′ + f’ext

Teilchengeschwindigkeit relaxiert wegenReibungTypische Zeitskala für Dynamik istRelaxationszeitSetze τ = m

6πη0a




Experimente

Creeping Flow EquationsInteressiert an Beschreibung auf diffusiverZeitskala mit τD � τ

Annahme: fext(r, t) und damit u(r, t) ändernsich auf diffusiver Zeitskala, also∣∣∣∣∣∂u’

∂t

∣∣∣∣∣ ≈ 1τD

Dann ∣∣∣∣∣∂u’∂t ′

∣∣∣∣∣ =∣∣∣∣∣∂u’∂t

∂t∂t ′

∣∣∣∣∣ = τ

∣∣∣∣∣∂u’∂t

∣∣∣∣∣ ≈ τ

τD




Experimente

Creeping Flow EquationsBetrachte Vorfaktor

a2ρ0vm

6πη0aη0=

a3

m︸︷︷︸∝ρp

6ρ0π =9ρ0

2ρP≈ 9

2

Für Zeitableitungsterm gilt also mit τD � τ

a2ρ0vτη0

∂u’∂t ′︸︷︷︸

|...|≈ 9τ2τD�1

= ∇′2u’−∇′p′ + f’ext




Experimente

Creeping Flow Gleichungen

Lineare, inhomogene,partielle Differential-leichungenbeschreiben dasLösungsmittel inKolloidsuspensionenHeißen auch„Creeping Flow“Gleichungen

Stokes Gleichung

∇p(r, t)− η0∇2u(r, t)= fext(r, t)

Inkompressibilität

∇ · u(r, t) = 0




Experimente

Oseen Tensor

„Creeping Flow“ Gleichungen linearSuperposition möglichBerechnen nun Lösung u(r, t) mit denRandbedingungen

limr→∞u(r, t) = 0




Experimente

Oseen Tensor

Durch Fouriertransformation wird aus den„Creeping Flow“ Gleichungen ein Systemalgebraischer Gleichungen

„Creeping Flow“

∇p(r, t)− η0∇2u(r, t)= fext(r, t)

∇ · u(r, t) = 0

Fouriertransformation

ikp(k, t) + η0k2u(k, t)= fext

(k, t)iku(k, t) = 0




Experimente

Oseen Tensor

fext(k, t) = ikp(k, t) + η0k2u(k, t)

p(k, t) = −i kfext(k, t)

k2

Oseen Tensor in Fourier-Darstellung

u(k, t) =1

η0k2

(I − kk

k2

)fext

(k, t)




Experimente

Oseen Tensor

u(r, t) =∫d3r ′ 1

(2π)3

∫d3k 1

η0k2

(I − kk

k2

)e ik·(r−r’)

︸︷︷︸:=T (r−r’)

fext(r’, t)

RücktransformationMan erhält also die Lösung der „CreepingFlow“ Gleichungen durch Integration über denOseen Tensor T




Experimente

Oseen Tensor

u(r, t) =∫

d3r ′T (r− r’)fext(r’, t)

Die Geschwindigkeit an einem Ort zu einer Zeithängt von den Kräften an allen anderen Ortenzur selben Zeit abAlso Ausbreitungsgeschwindigkeit vonhydrodynamischen Störungen unendlich schnellNäherung für diffusive Zeitskala gut erfüllt, daAusbreitungsgeschwindigkeit sehr viel größer alsDiffusionsgeschwindigkeit




Experimente

Oseen Tensor

Das Integral lässt sich ausrechnen, und nachlängerer Rechnung erhält man expliziteDarstellung des Oseen Tensor im Ortsraum

T (r) =1

8πη0r

(I +

rrr 2

)

T (r) ∝ 1r , der Effekt einer Kraft an einem Ort

ist also langreichweitig




Experimente

Oseen Tensor

Betrachten Spezialfall einer Punktkraft imUrsprung

fext(r, t) = f0δ(r)Dann erzeugt der Oseen Tensor direkt dasGeschwindigkeitsfeld

u(r, t) = T (r)f0




Experimente

Faxén Theorem

Im Folgenden betrachten wir nur nochkugelförmige TeilchenRotation wird nicht betrachtetUntersuchen Effekt von mit v0 bewegter Kugelin einem äußeren Strömungsfeld u0(r, t)




Experimente

Faxén TheoremZiel: Zusammenhang zwischen Gesamtkraft aufKugel, u0(r) und v0Ausgangspunkt

u(r) = u0(r) +∫S

d3r ′T (r− r’) · fext(r′)

Haftrandbedingung auf Kugeloberflächeu(r) = v0 r ∈ SIntegration über Kugeloberfläche∫

Sd3r (v0 − u0(r)) =

∫S

d3r ′[∫

Sd3rT (r− r’)

]·fext(r′)




Experimente

Faxén Theorem

∫S

d3rT (r) =1

8πη0

∫S

d3r 1r I︸︷︷︸=4πI

+∫S

d3r rrr 3︸︷︷︸

:=Bĳ

Kugelkoordinaten für B

Bĳ = a∫ 2π

0dφ

∫ 1

−1d(cos θ)rirj

r 2 ∝ I

wegen Symmetrierr = (sin θ cosφ, sin θ sinφ, cos θ)T




Experimente

Faxén Theorem

Insgesamt ∫S

T (r) =2a3η0

I

Damit∫S

d3r (v0 − u0(r)) =2a3η0

∫S

d3r ′I ·fext(r′) =2a3η0

F

linke Seite weiter vereinfachen




Experimente

Faxén Theorem

∫S

d3ru0i(r) =∫S

d3ru0i(r0) + (rj − r0j)

∂

∂xju0i(r0)+

+12(rl − r0l)(rj − r0j)

∂

∂xl

∂

∂xju0i(r0) + . . .

Taylorentwicklung des ungestörtenGeschwindigkeitsfelds u0(r) um denMittelpunkt der Kugel




Experimente

Faxén Theorem

Jeder Summand ist von Struktur

(r1−r01)n1(r2−r02)

n2(r3−r03)n3∂n1

∂xn11

∂n2

∂xn22

∂n2

∂xn21

u0i(r0)

ungeraden Potenzen von ri − r0i fallen wegenSymmetrie wegdeshalb fallen gemischten Terme einerungeraden Ableitung (n1 + n2 + n3 ungerade)weg




Experimente

Faxén TheoremHöhere gerade Ableitungen fallen weg, dennaus den „Creeping Flow“ Gleichungen folgt

∇2∇2u(r) = 0

Übrig bleiben zwei Terme, das Ausführen derIntegration liefert∫S

d3ru0i(r) = 4πa2u0i(r0) +2π3 a4∇2u0i(r0)

Einsetzen für rechte Seite liefert dasJohannes Reinhardt Hydrodynamische Wechselwirkung und Stokes Reibung



Experimente

Faxén Theorem

Faxén Theorem

F = 6πη0av0 − u0(r0)−

a2

6 ∇2u0(r0)

Verknüpft Kraft auf Kugel, ungestörtesStrömungsfeld und Geschwindigkeit der KugelDas ungestörte Strömungsfeld geht nur amMittelpunkt der Kugel einKeine Näherung




Experimente

Stokes Reibungsgesetz

Direkte Folgerung aus dem Faxén Theorem füru0(r) = 0Kraft auf Kugel, die mit v0 durch eine ruhendeFlüssigkeit gezogen wird

F = 6πη0av0

Die Kraft, die dazu nötig ist, ist geradeFR = −FReibungskoeffizient γ = 6πη0a




Experimente

Strömung durch Bewegung einer Kugel

Lösen der „Creeping Flow“ Gleichung für sichmit v0 bewegende Kugel in ruhigemLösungsmittel

u(r) =∫S

d3r ′T (r− r’)fext(r′)

Nach einiger Rechnung findet man als Ergebnis

u(r) = 6πη0aT (r− r0) +

a2

6 ∇2T (r− r0)

· v0




Experimente

BewegungsgleichungZiel: Bewegungsgleichung für TeilchenAusgangspunkt: Newtonsches Gesetz mitStokesscher Reibung

mv = −ξv + Fges

Linke Seite kann vernachlässigt werden, daReibungsterm dominiert

v =1ξ

Fges = βD0Fges




Experimente

Bewegungsgleichung

Kräfte auf jedes Teilchen:externe KräfteKräfte durch Strömung im Lösungsmittel

Kompliziertes, gekoppeltes, implizitesGleichungssystemGeschwindigkeit i-tes Teilchen dann

vi = βD0

Fexti +

∑j 6=i

FHydĳ




Experimente

Rodne-Prager-Matrix

Super-Vektor Schreibweise

v1v2. . .vN

= β

D11 D12 . . . D1ND21 D22 . . . D2N. . . . . . . . . . . .

DN1 DN2 . . . DNN

·

Fext1

Fext2. . .Fext

N

D hängen von Positionen aller Teilchen abSuchen Approximation für D




Experimente

Rodne-Prager-Matrix

Erste Näherung: Kräfte durchHydrodynamische Wechselwirkung klein

Fgesi = Fext

i + FHydi ≈ Fext

i

Annahme: Strömung u(r) so, als bewegten sichTeilchen mit vi = βFext

iDamit kann man u(r) ausrechnenDann kann mit dem dem Faxén Theorem dieFHyd

i und somit FHyd ausrechnenJohannes Reinhardt Hydrodynamische Wechselwirkung und Stokes Reibung



Experimente

Rodne-Prager-Matrix

ui(r) = 6πη0aT (r− r0i) +

a2

6 ∇2T (r− r0i)

·βFexti

genäherter Strömungsfeldbeitrag von Teilchen iFaxén Theorem, Kraft dadurch auf Teilchen j

FHydĳ = 6πη0a

βFextj︸︷︷︸

=vj0

−1 +

a2

6 ∇2ui(rj)




Experimente

Rodne-Prager-Matrix

Durch einige Umformungen und Vergleich miterhält man

Dĳ = D0

3a4rĳ

(I +rĳrĳ

r 2ĳ

) +a3

2r 3ĳ(I − 3rĳrĳ

r 2ĳ

)

Dii = D0I

Diese Näherung wird auch alsRodne-Prager-Matrix bezeichnet




Experimente

Hydrodynamische Funktion

Wie lässt sich das nun experimentellüberprüfen?Statische Lichtstreuung nurPotentialwechselwirkungAber dynamischer Strukturfaktor enthältDynamik




Experimente


Man kann zeigen, dass für kurze Zeiten gilt

S(q, t) = S(q)e−Dcq2t

misst man dynamischen und statischenStrukturfaktor, und errechnet daraus

− 1q2t ln

S(q, t)S(q)

= Dc

so findet man eine q Abhängigkeit von Dc




Experimente


Diese kommt von der HydrodynamischenWechselwirkungMan kann weiter zeigen

D(q) = D0

⟨∑i ,j Dĳe−iq·(ri−rj)

⟩S(q)

Der Zähler wird auch als HydrodynamischeFunktion bezeichnet




Experimente


Diese Hydrodynamische Funktion kann miteinigen Tricks und mit Hilfe derWechselwirkungsmatrizen berechnenUnd man kann sie über den dynamischen undstatischen Strukturfaktor messen


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Hydrodynamische Wechselwirkung und Stokes Reibungtheorie.physik.uni-konstanz.de/lsfuchs/lectures/seminar0708/j... · Überblick Hydrodynamik Ein Teilchen Viele Teilchen Experimente