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Seminar WS 04/05Prof. Beutelspacher
Geometrie und Wirklichkeit
Körper VonYelyzaveta RabinovychTim SchweisgutChristoph PuhlDirk Woitaschek
Zoom auf die Erde
Einleitung Überall in unserer Umwelt finden sich Rollen, Walzen, Kugeln, Ziegel,
Blöcke, Eistüten.... Damit sind geometrische Körper gemeint. In der Mathematik heißen sie Zylinder, Kugel, Quader, Pyramide, Kegel, Würfel usw. Wenn man jetzt das Volumen oder die Oberfläche eines solchen "Dinges" bestimmen möchte, kann man froh sein, wenn es eine regelmäßige geometrische Form hat. Denn dann kann man mit Hilfe von Abmessen oder Abschätzen und einer passenden Formel Volumen, Oberfläche und bestimmte Längen oder Winkel der Körper berechnen. Schwieriger ist es, wenn ein Körper aus mehreren Grundformen zusammengesetzt ist oder gar vollkommen unregelmäßig ist.
Beispiele:
Einleitung Die eben gesehenen Körper
wurden von verschiedenen „Erbauern“ erzeugt! Natur Menschen Maschinen
Die Reise beginnt Wir starten kurz vor der Erde und
fliegen am Mond vorbei
Mond = Kugel Wir fragen uns nun was ist eine Kugel
Definition Formeln usw…
Die Kugel Eine Kugel ist in der Mathematik ein Körper, der nur
aus einer Oberfläche besteht und deshalb hohl ist. Im nicht-mathematischen Zusammenhang wird eine Kugel oft als Festkörper betrachtet (mathematisch das Innere der Kugel)
Genauer ist eine Kugel die Menge aller Punkte bzw. der geometrische Ort aller Punkte im 3-dimensionalen Euklidischen Raum, die den Abstand r von einem festen Punkt des Raumes haben. r ist dabei eine positive reelle Zahl, genannt Radius der Kugel.
Definition
Die Kugel Eine Kugel mit Zentrum(x0, y0, z0) und Radius r ist die
Menge aller Punkte (x,y,z), so dass (x - x0)2 + (y - y0)2 + (z - z0)2 = r2
Eine Kugel kann auch als diejenige Fläche definiert werden, die bei der Rotation eines Kreises um seinen Durchmesser entsteht.
Rotationskörper dazu gleich
Definition
Die Kugel Das Kugelvolumen V berechnet sich als:
V = 4r3/3 (Beweis)
Die Oberfläche O einer Kugel mit Radius r ergibt sich als: O = 4r2
weiteres Vorkommen: Sport Natur Obst Kunst
Formeln und weiters Vorkommen
Die Kugel Wir beweisen die Formel indem wir über die Halbkugel gehen und
benutzen dann das Prinzip von Cavalieri
Um das Volumen einer Halbkugel vom Radius r (links oben) herauszufinden verwendet man einen Vergleichskörper (rechts oben), dessen Volumen einfacher zu berechnen ist!
Kreiszylinder mit Radius r und Höhe r aus dem Ein Kreiskegel mit Radius r und Höhe r herausgenommen wurde
Man zeigt jetzt dass die Halbkugel und der Vergleichskörper das gleiche Volumen haben.
Dazu schneidet man beide Körper parallel zur jeweiligen Grundfläche durch (man stellt sich dies nur vor!)
Schnittflächer der Kugel ergibt einen Kreis (grün) Schnittfläche des Vergleichskörper ergibt einen Kreisring (orange)
Beweis vom Kugelvolumen
Der Abstand h der Schnittebene von der Ebene kann jeden Wert zwischen 0 und r annehmen. (siehe Animation)
Wenn man r und h kennt, lassen sich also die Inhalte der beiden Schnittflächen berechnen!
Für die grüne ergibt sich: A1 = s2 => A1 = (r2 - h2) (Pythagoras) Für die orange ergibt sich:A2 = r2 - h2 = (r2 - h2)
Man sieht nun das die beiden Inhalte tatsächlich überein stimmen! (für jeden Wert von 0 bis h)
Nach dem Prinzip von Cavalieri muss folglich auch das Volumen der Halbkugel gleich dem Volumen des Vergleichskörpers sein
Vol Halbkugel = Vol Vergleichskörper = Vol Zylinder - Vol Kegel =
r2 · r - (1/3) r2 · r = (2/3) r3
Die Reise geht weiter Vom Mond aus nähern wir uns der
Umlaufbahn der Erde .Es schwebt eine Raumstation vorbei!
Sie besteht aus Modulen Module = Zylinder Was ist ein Zylinder?
Definition Formeln usw..
Der ZylinderDefinition
Der Begriff Zylinder (v. griech.: kylíndein rollen, wälzen) bezeichnet in der Geometrie einen geometrischen Körper, der durch die Verschiebung eines Kreises entlang einer Geraden durch den Kreismittelpunkt, der Achse, die nicht in der Ebene des Kreises liegt, entsteht.
Varianten Gerader Zylinder, dessen Achse senkrecht zur
Kreisebene liegt Schiefer Zylinder, bei dem dies nicht der Fall ist!
(Querschnitt hat die Form einer Ellipse)
Der ZylinderFormeln Volumen eines Zylinders berechnet sich mittels des Radius r der
Grundfläche des Zylinders und der Höhe h: V = r2h
Die Oberfläche ergibt sich aus: O = 2rh + 2r2 = 2r(r + h)
Andere Zylinderarten
Der ZylinderAndere Arten
zurück
Der Zylinder In verschiedenen Bereichen des Lebens kommen
Zylinder vor!
Weiteres Vorkommen
Wir bleiben in der Umlaufbahn Wir schauen uns die „Solarsegel“ der
Raumstation an, diese rotieren da die Raumstation rotiert
=> Rotationskörper Was ist ein Rotationskörper?
Definition Formeln Usw..
Rotationskörper Rotationskörper werden in der Geometrie Körper
genannt, die durch Rotation einer in einer Ebene liegenden erzeugenden Fläche um eine in derselben Ebene liegende, aber die Fläche nicht schneidende Achse gebildet wird. Ein bekannter Rotationskörper ist der Torus, der durch die Rotation eines Kreises gebildet wird. Auch Körper wie Zylinder und Hohlzylinder zählen zu den Rotationskörpern.
Das Volumen und die Oberfläche wird mit den Guldinschen Regel errechnet.
Definition
Paul Guldin Paul Guldin, ursprünglich Habakuk Guldin (* 12. Juni 1577 in
St. Gallen, † 3. November 1643 in Graz), war Astronom und Professor für Mathematik in Graz und Wien.
Lernte zuerst die Goldschmiedekunst, trat 1597 zum Katholizismus über und nahm dabei den Vornamen Paul an. Kurz darauf tratt er in den Jesuitenorden in München ein. Dort erkannte man sein Talent für Mathematik und sandte ihn zur weiteren Ausbildung nach Rom. Anschließend lehrte er in Rom, Wien und Graz. Sein größtes Werk Centrobaryea erschien in 4 Büchern 1635, 1640 und 1641 in Wien und enthält die baryzentrische Regeln, heute Guldinschen Regeln genannt, mit denen man Volumen und Oberflächen von Rotationskörpern berechnen kann. Diese Regeln wurden allerdings schon ca. 300 v.Chr. von Pappos von Alexandria in seinem mathematischen Lehrbuch beschrieben, so dass es sich hier eigentlich um eine Wiederentdeckung handelt.
zurück
RotationskörperFormeln
1. Guldinsche RegelDie Oberfläche eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt des Umfanges der erzeugenden Fläche mal dem Umfang des durch die Rotation des Schwerpunktes dieserFläche erzeugten Kreises:
Beispiel: Oberfläche eines Torus:
S = OberflächeL = Länge der erzeugenden FlächeR = Radius des Schwerpunktkreises der erzeugenden Flächer = Radius des erzeugenden Kreises
RotationskörperFormeln
2. Guldinsche RegelDas Volumen eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt aus der erzeugenden Flächemal dem Umfang des durch die Rotation des Schwerpunktes dieser Fläche erzeugten Kreises:
Beispiel: Volumen eines Torus:
V = VolumenA = erzeugenden FlächeR = Radius des Schwerpunktkreises der erzeugenden Flächer = Radius des erzeugenden Kreises
Einzelne Rotationskörper
Rotationsparaboloid
Rotationsellipsoid
Rotationsparaboloid Ein Rotationsparaboloid ist in der
Mathematik der Rotationskörper einer Parabel, also die dreidimensionale Figur, die entsteht, wenn man eine (zweidimensionale) Parabel um ihre Symmetrieachse rotieren lässt.
Anwendung Wenn man eine Flüssigkeit
gleichmäßig um eine senkrechte Achse dreht, dann überlagern sich Schwerkraft und Fliehkraft, und die Flüssigkeitsoberfläche nimmt die Form eines Rotationsparaboloids an. So funktioniert das Quecksilber>Teleskop, und so kann man auch Teleskop-Spiegel gießen, um danach nicht so viel Material abschleifen zu müssen.
Rotationsellipsoid Ein Rotationsellipsoid (auf Englisch "spheroid") ist ein
Ellipsoid, das durch die Drehung einer Ellipse um eine ihrer Achsen entsteht.
Man unterscheidet Abgeplattete Ellipsoid bei Rotation um die kleine Achse und das Verlängerte Ellipsoid bei Rotation um die große Achse
Anwendung
Vorkommen in der Natur
Rotationsellipsoid
In der Geodäsie, Kartografie und den anderen Geowissenschaften werden Rotationsellipsoide als geometrische Annäherung an das (physikalische) Geoid benutzt. Diese Rotationsellipsoide dienen dann als Referenzfläche, um die Lage bzw. Höhe von Objekten der Erdoberfläche anzugeben. Man spricht dann von einem Referenzellipsoid.
Anwendung
zurück
Rotationsellipsoid
Die meisten größeren Himmelskörper sind angenähert abgeplattete Rotationsellipsoide.
entstehen durch die Fliehkraft (Verformung) an den Polen werden diese Körper abgeplattet am Äquator entsteht eine Ausbauchung
Besonders deutlich ist die Abplattung bei der Sonne und den großen Gasplaneten Jupiter und Saturn ausgeprägt, weil sie besonders schnell rotieren und nicht verfestigt sind.
Aber auch die Erde und die anderen terrestrischen Planeten werden durch die bei der Rotation entstehenden Fliehkräfte zu Rotationsellipsoiden verformt.
Der in zehn Stunden rotierende Jupiter ist um etwa 1/16 abgeplattet, die Erdabplattung beträgt 1/298.
Weiteres Vorkommen in der Natur
Die Reise geht weiter Von der Umlaufbahn aus sehen wir die Erde
Wieder eine Kugel Ist ein Beispiel für Körper im Körper da auf der Erde
weitere Körper zu finden sind!
Die Reise geht weiter Wir durchfliegen eine Wolke und fangen einen
Regentropfen auf
Regentropfen = Kugel + Kegel Beispiel für zusammengesetzten Körper Was ist ein Kegel?
Definition Formeln Usw..
Kegel In der Geometrie ist ein Kegel ein Körper, der durch eine Kreisfläche,
umschlossen vom Basiskreis, und einen Punkt, der Spitze, begrenzt ist. Dabei liegt die Spitze nicht in der gleichen Ebene wie die Kreisfläche.
Vereinzelt wird für Kegel auch das lateinische Wort Konus verwendet mit dem zugehörigen Eigenschaftswort konisch.
Die Gerade, auf welcher der Mittelpunkt des Basiskreises und die Spitze liegen, nennt man die Achse des Kegels.
Der Mantel ist jener Teil der Oberfläche, der nicht durch den Basiskreis gebildet wird.
Definition
Kegel Die Ebene, in der der Basiskreis liegt, heißt Basisebene (oder
Basiskreisebene) Als Höhe (h) des Kegels wird der Normalabstand von der
Basiskreisebene und der Spitze bezeichnet Unter Radius (r) des Kegels versteht man normalerweise den Radius
des Basiskreises Steht die Achse senkrecht auf die Basisebene, spricht man von einem
geraden Kegel oder Drehkegel, ansonsten von einem schiefen Kegel
Bei einem Drehkegel werden die Verbindungslinien von Basiskreis zur Spitze Erzeugende genannt (m), da sie den Mantel "erzeugen".
Der Winkel zwischen Erzeugenden und Achse eines Drehkegels heißt Öffnungswinkel (φ).
Definition
Kegel Das Kegelvolumen berechnet sich wie folgt:
Beweis
Die Kegeloberfläche (des Mantels) berechnet sich wie folgt:
Wobei s die Länge der Erzeugenden ist!!
Formeln
Kegel Ein beliebter Beweiß wird mit
Integration abgehandelt!!
Beweis-Volumen
Die Gerade aus der Grafik ist wie folgt definiert:
Man lässt den Körper nun an der X-Achse rotieren:
Nun bestimmt man das Integral
es folgt
Kegel Kegelstumpf
Doppelkegel
Weiteres vorkommen des Kegel und des Kegelstumpfes
Ergänzung und weiteres Vorkommen
Kegelstumpf
Doppelkegel Ein Doppelkegel entsteht als Rotationsfläche einer Geraden um eine
sie nicht rechtwinkelig schneidende Achse. Es entstehen zwei Drehkegel mit dem gleichen Öffnungswinkel und einer gemeinsamen Achse, die sich in der Spitze berühren. Schneidet man einen solchen unendlichen Doppelkegel mit einer Ebene, entstehen die so genannten Kegelschnitte: Kreis, Ellipse, Parabel und Hyperbel
Ellipse bzw Kreis Parabel bzw im
Sonderfall eine Gerade
Hyperbel
Die Reise geht weiter Wir fliegen an einem Berg vorbei, auf diesem steht eine
Sternenwarte!
Zoom in Uns begegnen Prismen Was ist ein Prisma?
Definition Formeln usw
Das Prisma Ein Prisma ist ein geometrischer Körper, der durch
Parallelverschiebung einer ebenen Fläche (der Grundfläche) entlang einer nicht in dieser Ebene liegenden Geraden im Raum entsteht. Erfolgt die Parallelverschiebung senkrecht zur Fläche, spricht man von einem geraden Prisma, andernfalls von einem schiefen Prisma.
Ist die Grundfläche ein Kegelschnitt, so spricht man von einem Zylinder.
Ein Prisma ist ein Körper aus einem Material, das einen höheren Brechungsindex hat als die Umgebung!!
Definition
Das Prisma Oft betrachtet man nur Prismen, deren Grundfläche ein
Vieleck ist. Dessen Mantel besteht aus Parallelogrammen, beim geraden Prisma aus Rechtecken. Ein solches Prisma ist ein spezieller Polyeder.
Eine besondere Form des Prismas ist, neben dem Zylinder, der Hexaeder (Würfel). Er ist von jeder Seite betrachtet ein Prisma.
Das Volumen V eines Prismas ist gegeben durch V = AG h (AG = Grundseite, h= Höhe)
Definition und Formel
Das Prisma Man benutzt Prismen z.B zur Herstellung von Spiegeln,
Ferngläser und Teleskopen
Weiteres Vorkommen
Die Reise geht weiter…… und jetzt wird es „leider“ etwas trockener:
Die Reise geht weiter Wir fliegen über Ägypten hinweg, und kommen
an großen alten Bauwerken vorbei:
Den Pyramiden Was ist eine Pyramide?
Definition Formeln usw..
Die PyramideDefinition
Pyramide wird ein Polyeder genannt, dessen Grundfläche ein Vieleck ist und dessen Seitenflächen Dreiecke sind, die in einem Punkt, der Spitze, zusammenlaufen.
Die PyramideFormeln und weiteres Vorkommen
Für das Volumen der Pyramide gilt:
Für die Oberfläche der Pyramide gilt:wobei p der Umfang der Grundfläche und hs die Höhe einer Seitenfläche ist.
3GA hV
12 s GO ph A
Tetraeder Natürlich ist ein
Tetraeder ebenfalls eine Pyramide. Eine Pyramide mit einer 3-seitigen Grundfläche.
Das Tetraeder gehört zu den platonischen Körpern… dazu allerdings erst später mehr.
Pyramideweitere Vorkommen
Wo kommen denn noch Pyramiden in unserem Alltag vor?
Irgendwo in der Nähe unserer letzten Station Finden wir wieder einen
anderen Körper: Den Obelisken Was ist ein Obelisk?
Definition Formeln usw..
Der ObeliskDefinition
Obelisk wird ein Polyeder genannt, dessen Seitenflächen Trapeze sind.
In dem hier betrachteten Spezialfall sind die parallelen Grundflächen Rechtecke, einander gegenüberliegende Kanten haben die gleiche Neigung gegenüber der Grundfläche, laufen aber nicht in einem Punkt zusammen.
ObeliskFormel
Für das Volumen des Obelisken gilt:
1 1 1 1 1 1 16 6[(2 ) (2 ) ] [ ( )( ) ]h hV a a b a a b ab a a b b a b
Denn dort finden wir:
Quader!
Doch wir haben nicht soviel Zeit, also lasst uns weiterreisen nach… … Kairo Downtown:
QuaderDefinition
Quader sind gerade Parallelepipede mit rechteckigen Grundflächen.
QuaderEigenschaften und Formeln
Bei einem Quader sind die Raumdiagonalen gleich lang.
2 2 2 2
2( )
d a b cV abcO ab bc ca
Wenn a, b und c die Kanten des Quaders sind, und d die Diagonallänge, gilt:
Quaderweitere Vorkommen
Quader sind Körper die uns, im Gegensatz zu Pyramiden oder Obelisken viel häufiger im Alltag begegnen:
Nach einer weiteren halben Weltreise kommen wir an in…
Und beobachten die Dreharbeiten von…
Cube
Der Würfel Geometrischer Würfel
In der Geometrie bezeichnet man mit Würfel einen Vielflächner (Polyeder) dessen Seiten Quadrate sind.
Genauer: Es handelt sich um einen Sechsflächner (Hexaeder) mit 12 Kanten und 8 Ecken. Die Kanten sind alle gleich lang!
Der Würfel ist einer der Platonischen Körper (dazu später mehr)
Spielwürfel Bei Spielen wird ein Würfel als Zufallsgenerator verwendet! Jeder Polyeder ist als Spielwürfel geeignet!
Definition
Der Würfel In der Kryptologie ein Verschlüsselungsverfahren
Ein Beispiel für ein Transpositions-Verschlüsselungsverfahren ist der Würfel: Der Klartext wird zeilenweise aufgeschrieben und nach einer festen Anzahl von
Zeichen k umgebrochen. Das letzte Zeichen muss am Ende einer Zeile stehen, sonst wird der Text mit Füllbuchstaben ergänzt. Das spaltenweise Auslesen des Textes ergibt den Geheimtext, der Schlüssel ist die Zeilenlänge k.
Beispiel für Schlüssel k= 8:
Klartext: DIES IST EIN BEIS PIELXXXX
Geheimtext: DEPIIIENES L BXIEXSIXTSX(Spartaner benutzten eine Skytale um Texte zu verschlüsseln)
Definition
Der Würfel Berechnung des Volumen:
V = l3
Berechnung der Oberfläche: A = 6l2
Formeln
Der Würfel In der Linearen Algebra spricht man auch vom
Einheitswürfel des VR Rn. Dies ist die Teilmenge [0,1]x…x[0,1], ein n-dim achsenparaller Würfel mit Seitenlänge 1 und einer Ecke im Ursprung
Als Knobelspiel wie z.B Rubiks Würfel Beispiel für Fraktale Körper
Architektur und Kunst
Weiteres Vorkommen
Fraktale Figuren (Selbstähnlich) Definition
Eine Figur wird selbstähnlich genannt, wenn Teile der Figur kleine Kopien der ganzen Figur sind.
Eine Figur ist exakt selbstähnlich, wenn sie in Teile, die exakte Kopien der ganzen Figur sind, zerlegt werden kann. Jeder beliebige Teil enthält eine exakte Kopie der ganzen Figur.
Beispiel: Das Farnblatt
zurück
…weiter geht´s Wir verlassen Hollywood und fliegen in eine
Wohngegend Wieder sehen wir viele Quader In fast allen Häusern findet man andere
Körper (gleich mehr)
Wir sehen Kinder auf der Straße spielen: Diabolo => Doppelkegel Seilspringen => kann man als Rotationskörper betrachten
Zoom in ein Wohnhaus Hier finden wir verschiedene „einfache Körper“
Der Fernseher (Quader) Kühlschrank (Quader) und vieles mehr
Zoom in den Fernseher ergibt das man verschiedene Bauteile sieht
die wieder aus den schon besprochenen erbaut werden können!
Den Kühlscharnk, hier finden wir viele verschiedene Körper aber wir picken uns mal das Ei herraus
Das EiWo es uns im Alltag begegnet...
Forschungsreaktor der
TU München
IMAX Kino imMainfrankenpark
DettelbachDas Hühnerei Das ÜberraschungseiOstereier
Das EiWo es uns im Alltag begegnet...
Minikühlschrank WohnwagenLuftballons
Das EiEin sehr symmetrischer Körper
RotationssymmetrieGibt es eine Gerade g und einen Winkel a, so dass der Körper bei Drehungum g und den Winkel a auf sich abgebildet wird, so heisst der Körperdreh- oder rotationssymmetrisch. g heißt die Dreh- oder Symmetrieachsedes Gegenstands.
Offenbar ist ein Ei ein sehr symmetrischer Körper.Aus vielen verschiedenen Richtungen sieht das Ei immer gleich aus.Befestigt man z.B. das Ei senkrecht mit dem dicken Ende auf einem Tischund geht nun um den Tisch herum, so wird man feststellen, dass das Eiimmer gleich aussieht, egal, wo man sich befindet.
Damit ist klar, dass dieSymmetrieachse des Eieswie hier dargestellt liegen muss.
Ein Ei ist also ein Rotationskörper!
Das EiEin sehr symmetrischer Körper
Da ein Ei ein Rotationskörper ist, gibt es also einen repräsentativen Querschnittdes Eies, mit dem man durch Rotation wieder das komplette Ei herstellen kann.Diesen erhält man, wenn man das Ei entlang der Symmetrieachse von obennach unten durchschneidet.
Ein Ei ist somitrotationssymmetrisch.
Das EiEin sehr symmetrischer Körper
EbenensymmetrieGibt es eine Ebene, so dass eine Figur im Raum unter Spiegelungan dieser Ebene in sich selbst überführt wird, so nennt man die Figurebenensymmetrisch.
Spiegelt man eine "Eierhälfte" an der Ebene, die beim "Durchschneiden„entlang der Symmetrieachse entstanden ist, so erhält man wirklich wiederdas komplette Ei. Diese Ebene nennt man „Spiegelebene“.
Daher ist ein Ei ebenensymmetrischbzgl. der oben genannten Spiegelebene.
Das EiVolumenberechnung
Da kein Ei gleich ist, gibt es auch keine allgemein gültige Funktion,in die man einige Werte einsetzt und aus der man dann sofort dasVolumen des Eies erhält.
Wir möchten an dieser Stelle ein Experiment zur Modellierung eines Eiesvorstellen, welches mit einer Schulklasse durchgeführt wurde.
Das EiVolumenberechnung
Als erstes wird mit einem „Tauchversuch“ im Reagenzglas dastatsächliche Volumen des Eies bestimmt.Es beträgt 65,5 cm³.
Eine Vermessung des Eies mit einer Schieblehreliefert folgende Ergebnisse:
Länge
0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 3,7 4 4,5 5 5,5 6
Höhe 1 1,5
1,8 2 2,1 2,2 2,3 2,31
2,2 2 1,7 1,2 0
Das EiVolumenberechnung
Mit den so gefunden Messpunkten erhalten wir die Randfunktion des Eies,die wir auf drei verschiedene Arten interpretieren möchten:
1. Viertelellipse und Viertelkreis
2. Wurzelfunktion und Viertelkreis
3. Logarithmusfunktion und Viertelkreis
Das EiVolumenberechnung
Das Volumen eines Rotationskörpers berechnet sich durch
Vol
a
b
f x2 d x
wobei f(x) die Randfunktion ist, die um die x-Achse rotiert.
Das Ei
f x
5.3361 x 3.72
Volumenberechnung
1. Interpretation der Randfunktion als Viertelellipse und ViertelkreisDurch Interpolation an unsere gemessenen Werte erhalten wir alsRandfunktionen
- für die Ellipse:
- für den Kreis:
f x 2.313.7
13.69 x2
Das Ei
VolE
0
3.72.313.7
3.72 x2
2
d x
Volumenberechnung
1. Interpretation der Randfunktion als Viertelellipse und ViertelkreisSomit ergibt sich für das Volumen des elliptischen Teils des Eies:
= 41,3508 cm³
Für den Kreisteil des Eis folgt:
VolK
3.7
6
5.3361 x 3.72 d x = 25,8156 cm³
Das EiVolumenberechnung
1. Interpretation der Randfunktion als Viertelellipse und ViertelkreisAlso hat unser Ei ein berechnetes Volumen von
41,3508 cm³ + 25,8156 cm³ = 67,1664 cm³
Dies sind 1,6664 cm³ mehr, als unser gemessenes Volumen.
Das Ei
f x
5.3361 x 3.72
Volumenberechnung
2. Interpretation der Randfunktion als Wurzelfunktion und ViertelkreisDurch Interpolation an unsere gemessenen Werte erhalten wir alsRandfunktionen
- für die Wurzelfkt.:
- für den Kreis:
f x 1.430529 x0.406024
Das EiVolumenberechnung
2. Interpretation der Randfunktion als Wurzelfunktion und ViertelkreisSomit ergibt sich für das Volumen des Teils, den wir als WurzelfunktionDargestellt haben:
VolW
0
3.71.430529 x0.406024
2 d x = 37,9824 cm³
Für den Viertelkreis gilt weiterhin:
Vol(K) = 25,8156 cm³
Das EiVolumenberechnung
2. Interpretation der Randfunktion als Wurzelfunktion und ViertelkreisAlso hat unser Ei diesmal ein berechnetes Volumen von
37,9824 cm³ + 25,8156 cm³ = 63,798 cm³
Dies sind 1,702 cm³ weniger, als unser gemessenes Volumen.
Das Ei
f x
5.3361 x 3.72
Volumenberechnung
3. Interpretation der Randfunktion als Logarithmusfunktion und ViertelkreisDurch Interpolation an unsere gemessenen Werte erhalten wir alsRandfunktionen
- für die Logarithmusfkt.:
- für den Kreis:
f x 0.655523 lnx 1.493067
Das EiVolumenberechnung
3. Interpretation der Randfunktion als Logarithmusfunktion und ViertelkreisSomit ergibt sich für das Volumen des Teils, den wir als WurzelfunktionDargestellt haben:
= 38,3979 cm³
Für den Viertelkreis gilt weiterhin:
Vol(K) = 25,8156 cm³
VolL
0
3.7
1.493067 0.655523 lnx2 d x
Das EiVolumenberechnung
3. Interpretation der Randfunktion als Logarithmusfunktion und ViertelkreisAlso hat unser Ei diesmal ein berechnetes Volumen von
38,3979 cm³ + 25,8156 cm³ = 64,2135 cm³
Dies sind 1,2865 cm³ weniger, als unser gemessenes Volumen.
Das Ei
O 2
a
b
f x
1 f 'x2 d x
Oberflächenberechnung
Die Oberfläche eines Rotationskörpers berechnet sich durch
wobei f(x) die Randfunktion ist, die um die x-Achse rotiert.
(Netzplan eines Eies)
Das Ei
f x 2.313.7
13.69 x2
Oberflächenberechnung
1. Oberflächenberechnung mit Viertelellipse und Viertelkreis
Es ist
f 'x x
2.313.7
13.69 x2
0.6243243243 x 13.69 x2
=
und
Für den elliptischen Teil des Eies.
Das Ei
f x
5.3361 x 3.72
Oberflächenberechnung
1. Oberflächenberechnung mit Viertelellipse und Viertelkreis
Es ist
=
und f 'x x
5.3361 x 3.72
2 x 7.4
2
5.3361 x 3.72
Für den Kreisteil des Eies.
Das Ei
OE 2
0
3.7
0.6243243243
13.69 x2
1 0.3897808619 x2
x2 13.96 d x
Oberflächenberechnung
Es folgt mit Hilfe der Formel für die Oberfläche eines Rotations-körpers, dass das Ei eine Oberfläche von
2
3.7
6 2.312 x 3.72
1
2 x 7.4
2
5.3361 x 3.72
2
d x+
= 80,57 cm²
hat.
Das EiOberflächenberechnung
Berechnet man die Oberfläche des Eies mit Hilfe der anderen beidenFunktionen, so erhält man als Ergebnis
- 78,63 cm² für die Wurzelfunktion
- 78,52 cm² für die Logarithmusfunktion
Bei der Oberfläche bereitet das reale Nachmessen sehr großeSchwierigkeiten, will man eine gute Genauigkeit erzielen.
Das EiWoher kommt der Unterschied?
Schauen wir uns die drei verschiedenen Funktionen, mit denen wir das Eimodelliert haben übereinander gelegt an, werden wir es sehen.
0.6243243243*(13.69 - (x - 3.7)^2)^(1/2)1.430529*x^0.4060240.655523*ln(x) + 1.493067
0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6 2.8 3.0 3.2 3.4 3.60.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
1.4
1.6
1.8
2.0
2.2
2.4
x
y
Das EiWoher kommt der Unterschied?
Im Dreidimensionalen sehen wir den Unterschied noch deutlicher.
Ellipse Wurzelfunktion Logarithmusfunktion
Das Ei – Eine ZeitungsmeldungSchnelle Drehung bringt den Stern Atair in Ei-Form
Pole flachen ab und Äquator beult sich aus
Der Stern Atair im Sternbild Adler dreht sich so schnell, dass er an den Polen abgeplattet und am Äquator ausgebeult ist. Die Ei-Form entdeckten Forscher um Gerard van Belle vom Jet Propulsion Laboratory (JPL) der Nasa mit einem besonders hochauflösenden Teleskop am Mount Palomar in Kalifornien. Das Palomar Testbed Interferometer besteht aus drei 50-Zentimeter-Spiegeln, die zusammengenommen so scharf blicken wie ein Teleskop von der Größe eines Fußballfeldes.
Wir verlassen nun den Kühlschrank Wir sehen auf einem Tisch ein Rollenspiel liegen!
Doch was hat dies mit Körpern zu tun? Dieses Spiel wird mit Würfeln gespielt die dem
normalen W6 nicht gerade sehr ähnlich sind!
Die Rollenspielwürfel Als Würfel wird im Rollenspiel nicht nur der bekannte
Sechsseiter bezeichnet, wie man ihn aus der Mathematik kennt. Auch alle anderen regulären Polyeder und wenige andere Körper werden verwendet!
Das wichtigste Unterscheidungskriterium von Würfeln im Rollenspiel ist die Anzahl der Seiten. Entsprechend der Anzahl seiner Seiten wird der normale Würfel mit W6 bezeichnet
Die Rollenspielwürfel Wobei:
W4 ist ein Tetraeder aus 4 gleichseitigen Dreiecken
W6 ist ein Hexaeder aus 6 Quadraten
W8 ist ein Oktaeder aus 8 gleichseitigen Dreiecken
W10 ist ein Körper aus 10 (nicht rechteckigen) Vierecken
W12 ist ein Dodekaeder aus 12 Fünfecken
W20 ist ein Ikosaeder aus 20 gleichseitigen Dreiecken
Man sieht dass W4,W6,W8,W12,W20 die fünf platonischen Körper sind!
Platon 427-347 v.Chr. Griechischer Philosoph, Neffe des Kritias, Schüler des
Sokrates und Lehrer von Aristoteles und Plotin. Um 387 gründete er in Athen eine Akademie,in der
Politiker ausgebildet wurden. Platon begründete die Staatslehre „Politeia“. In Platons
Idealstaat in dem der Herrscher ein Philosoph sein sollte, gelten Pflichterfüllung und Gerechtigkeitssinn als höchste Tugend. Alles wird dem gesellschaftlichen Ganzen untergeordnet
Zitate: Alles ist Werden. Nichts ist. Das Denken ist Selbstgespräch der Seele.
Die platonischen Körper Kurze Übersicht
Tetraeder,Oktaeder,Dodekaeder,Ikosaeder, (Hexaeder=Würfel)
Definition Formeln
Dualität zwischen Polyedern insb. Zwischen platonischen Körpern
Warum ist die Anzahl der platonischen Körper beschränkt?
Die platonischen Körper Seit Platon sind die fünf einzigen möglichen Polyeder
bekannt deren Begrenzungsflächen alle kongurente regelmäßige Vielecke sind und deren Ecken alle die gleiche Zahl angrenzender Flachen/Kanten haben.(regelmäßige Polyeder)
Eine kleine Übersicht:
Polyederformel
Die platonische Körper Das Tetraeder lässt sich in einen Hexaeder einbeschreiben,
wobei die 6 Kanten die Diagonalen der 6 quadratischen Flächen des Hexaeders bilden. Dabei entspricht die Kantenlänge des Tetraeders das -fache der Kantenlänge des Hexaeders (Pythagoras). Das Volumen beträgt 1/3 des Hexaeders
Das Tetraeder gehört auch zu den Pyramiden mit der Besonderheit, dass es egal ist auf welcher Seite es steht.
Das Tetraeder lässt sich so in zwei Teile schneiden, dass die Schnittfläche ein Quadrat ergibt.
Das Tetraeder lässt sich in drei gleiche Teile zerlegen. Platons Zuordnung:
Feuer
Tetraeder
Die platonischen Körper Volumen:
Oberfläche
Umkugelradius ru und Inkugelradius r ,
Höhe
Tetraeder
Die platonischen Körper Das Oktaeder ist eine gleichseitige vierseitige
Bipyramide (mit quadratischer Grundfläche). Formeln
Volumen:
Oberfläche:
Umkugelradius ru und Inkugelradius ri:
Platons Zuordnung Luft
Oktaeder
Die platonischen Körper Genauer Pentagondodekaeder Die Bezeichnung –dodekaeder wird auch für andere Polyeder
mit 12 Flächen verwendet Rohmbendodekaeder besitzt 12 konkurente Rhomben (Rauten) als
Fläche, 14 Ecken und 24 Kanten Es bildet die typische Kristalform der Granate
Das Trigondodekaeder besitzt 12 konkurente gleichseitige Dreiecke als Flächen, 8 Ecken und 16 Kanten
Auch bei Geodätischen Kuppeln werden Polyeder verwendet, die vom Dodekaeder abgeleitet sind, indem die Fünfecke weiter in (gleichschenkelige) Dreiecke unterteilt werden
Platons Zuordnung Weltganzes
Dodekaeder
Die platonischen Körper Volumen:
Oberfläche
Umkugelradius ru und Inkreisradius ri
Dodekaeder
Die platonischen Körper Die Symmetrie des Ikosaeders ist (wegen der bei ihm
auftretenden fünfzähligen Symmetrie) mit einer periodischen Raumstruktur nicht verträglich. Es kann daher kein Kristalgitter mit Ikosaedersymmetrie geben!
Vorkommen: Ein Europafußball besteht aus 12 Fünfecken und 20
Sechsecken. Aus geometrischer Sicht ist ein Fußball ein Ikosaeder, dessen 12 Ecken zu Fünfecken platt gedrückt wurden, oder ein Dodekaeder dessen 20 Ecken zu Sechsecken platt gedrückt wurden.
Ein Fußball besitzt somit die volle Symmetrie eines Ikosaeders Die selben Eigenschaften gelten für C60-Buckminister Fulleren!
Platons Zuordnung Wasser
Ikosaeder
Die platonischen Körper Volumen:
Oberfläche
Umkugelradius ru und Inkreisradius ri
Ikosaeder
Die platonischen Körper Mit Dualität wird die Beziehung zwei Polyeder
zueinander bezeichnet; man spricht dann von zueinander dualen Polyedern
Beispiel Hexaeder und Oktaeder Tetraeder und Tetraeder Dodekaeder und Isokaeder
Dualität
Die platonischen Körper Betrachten wir den Hexaeder und den Oktaeder genauer!
Die Flächenmittelpunkte der Hexaederflächen definieren die Eckpunkte eines Oktaeders!
Die Flächenmittelpunkte eines Oktaeders definieren die Eckpunkte eines Hexaeders
Genauso verhalten sich auch Dodekaeder und Ikosaeder zueinander.
Das Tetraeder hingegen ist sich selbst dual. Dies bedeutet, dass die Flächenmittelpunkte des Tetraeders die Eckpunkte eines neuen Tetraeders definieren!
Allgemein: Die Anzahl der Kanten in jedem Paar ist dieselbe, aber die Anzahl
der Oberflächen des einen ist die Anzahl der Eckpunkte des anderen, und umgekehrt.
Dualität
Die platonischen Körper Jede Ecke eines konvexen platonischen Körpers zeigt nach
„außen“ Dies ist nur möglich wenn die Innenwinkel ((n-2)*180°) der
an einer Ecke aufeinander treffenden Flächen kleiner als 360° ist.
Denn: Bei genau 360° bekommt man keine Ecke mehr sondern eine
Fläche Bei mehr als 360° passt das ganze überhaupt nicht mehr
Mindestens 3 Flächen treffen sich an jeder Ecke eines Polyeders.(siehe Tabelle)
An den Ecken dürfen nur zusammenstoßen: 3,4 oder 5 Dreiecke 3 Vierecke 5 Fünfecke
Warum muss die Anzahl begrenzt sein?
Tabelle
Zurück
Die platonischen Körper Dies sind wirklich die einzigen Möglichkeiten denn:
6 Dreiecke, 4 Vierecke oder 3 Sechsecke ergeben nämlich schon 360°
4 Fünfecke würden die 360° sogar überschreiten
Das heißt es gibt nur 5 Kombinationen und dies hat zur folge:
Anmerkung: Die platonischen Körper kommen in der Natur nur in angenäherter
Gestalt vor.Mineralogie und Kristallograpfie klassifizieren mit „Idealgestallten“, bei Ihnen sind aber andere Formen, z.B. Sechsecksäule beim Basalt genauso wichtig. Die platonischen Körper sind in diesem Sinne eine reine „Erfindung der Menschen“
Warum muss die Anzahl begrenzt sein?
Es gibt genau 5 platonische Körper
Die Reise nähert sich dem Ende Dieser Abschnitt soll jetzt noch zeigen dass man viele
Körper auch im z.B Nanokosmus findet
Es ist aber hier sehr wichtig dass man, wie schon im ganzen Vortrag, geometrische Körper nur als Anschauungsmodell heranzieht!
Beispiel Platonische Körper Atome (Elektronenwolken)
Es werden einige ausgewählten Beispiele folgen
Die Reise nähert sich dem Ende Wir sehen auf einem Tisch eine Pflanze stehen
und zoomen auf ein Blatt!
Wir sehen dort einen Regentropfen der Kugelform angenommen hat, aber wieso?
Die Reise nähert sich dem Ende Wir haben ein Lotusblatt erwischt
Wasser, Honig uvm perlen einfach ab! Das Wasser berührt auf nur wenigen Punkten das Blatt und wegen
der Oberflächenspannung bildet sich eine Kugel Betrachtet man das Blatt unter einem Rasterelektronen-
Mikroskop so sieht man dies:
Es sind viele kleine Hügel und kleine Kugeln zu erkennen Weitere Anwendung
Teflon Sportkleidung
Die Reise nähert sich dem Ende Kohlenstoff-Nanoröhren sind aus sechseckigen Anordnungen
von Kohlenstoffatomen aufgebaut Sie können als zukünftige Transistoren in Prozessoren und
Speicherchips dienen
Weitere Beobachtungen unter dem Rasterelekt.-Mikroskop Photonische Kristalle: Anwendung als Leistungsstarke
Leuchtdioden für z.B Ampeln, Leitsysteme und evtl in Auto-Scheinwerfern
Die Reise nähert sich dem Ende Weitere Beobachtungen unter dem Rasterelekt.-Mikroskop
Der Hausstaub besteht auch aus vielen kleinen geometrischen Körpern!
Als letztes Beispiel zeigt das folgende Bild ein Hepatitis B Virus es besteht anschaulich aus Röhren und Schläuchen umgeben von einer Kugel
Ende Unsere Reise vom Großen ins Kleine endet nun
hier und wir hoffen wir konnten einen kleinen Einblick in die Welt der geometrischen Körper und deren Verknüpfung in die Wirklichkeit geben!
