Sensitivitätsanalyse an einem Brückenbauwerk in semi

Sensitivitätsanalyse an einem

Brückenbauwerk in semi-integraler

Bauweise

Diplomarbeit im Fachbereich Bauingenieurwesen / Fachgebiet Baustatik

Studiengang Konstruktions- und Fertigungstechnik der

Universität Kassel

von

Marek Sopoth & Georg Sopoth

Erstprüfer: Univ.-Prof. Dr.-Ing. Friedel Hartmann Zweitprüfer: Univ.-Prof. Dr.-Ing. Hans-Georg Kempfert

Bearbeitungszeitraum:

11. Dezember 2007 bis 06. Februar 2008

Kassel, Februar 2008

INHALTSVERZEICHNIS

ERKLÄRUNG

I. MOTIVATION UND ZIELE .............................................. 1-2 II. THEORETISCHE GRUNDLAGEN .................................. 3-51 III. SENSITIVITÄTSANALYSE ........................................... 53-85 IV. NUMERISCHE ERGEBNISSE ..................................... 87-100 V. ANALYSE ................................................................ 101-120 VI. ZUSAMMENFASSUNG ............................................ 121 - 121

ANHANG A. BERECHNUNG DER SCHNITTGRÖßENÄNDERUNGEN ......................................... LINKER PFAHL (X = 29,80 M) ............................................... 123-153 B. BERECHNUNG DER SCHNITTGRÖßENÄNDERUNGEN ......................................... RECHTER PFAHL (X = 69,80 M) ........................................... 155-178 C. BERECHNUNG DER DIFFERENZSCHNITTGRÖßEN ............................................. RIEGEL (29,80 M < X < 69,80 M) ......................................... 179-196 D. MITWIRKENDE PLATTENBREITEN ..................................................... 197-202 E. FAHRBACHTALBRÜCKE IN 3D ........................................................... 203-217 F. ARBEITEN MIT SOFISTIK .................................................................... 219-236 G. LITERATURVERZEICHNIS ................................................................... 237-237

3D-Ansichten aus Anhang E

Abbildung E.b: Perspektivische 3D-Seitenansicht

Abbildung E.c: Perspektivische 3D-Ansicht von unten

Motivation 1

KAPITEL I

MOTIVATION Tragwerksplaner entwerfen und planen Tragwerke. Tragwerke werden meist so konstruiert, dass sie den Wünschen des Bauherren/Architekten Genüge tun und vor allem, während seiner gesamten Lebenszeit hinreichend lange Bestand haben. Es entstehen Tragsysteme, in denen mehrere tragende Bauteile zusammenwirken, die einen Tragwiderstand gegenüber den Einwirkungen aufweisen. Planmäßige Einwirkungen werden in einem idealisierten Tragwerksmodell abgebildet. Mit Hilfe der Statik werden die Auswirkungen der Einwirkungen auf das Tragsystem prognostiziert. Die resultierenden Beanspruchungen auf die tragenden Bauteile rufen Verformungen, Schnittgrößen und Spannungen hervor, die zur Bemessung notwendig sind.

Aus wirtschaftlichen und ästhetischen Gründen kommen in der Praxis vermehrt Bauwerke zur Ausführung, bei denen auf Dehnungsfugen gänzlich verzichtet wird. Diese Bauweise, auch als semi-integrale Bauweise bezeichnet, kommt in der semi-integralen Brückenbauweise aus Beton zum Einsatz. Überbau, Pfeiler und Unterbauten sind monolithisch miteinander verbunden, wodurch eine schlanke und wartungsarme Konstruktion realisiert werden kann. Die monolithische Verbindung führt in aller Regel zu Tragsystemen, die mehrfach statisch unbestimmt sind.

Statisch bestimmte Tragstrukturen zeichnen sich dadurch aus, dass sämtliche Schnitt- und Auflagergrößen allein durch Anwendung der Gleichgewichtsbedingungen bestimmbar sind. Ist die Anzahl der Schnitt- und Auflagergrößen geringer, so wird die Struktur kinematisch verschieblich (instabil), ist sie dagegen größer, so bezeichnet man die Struktur als statisch unbestimmt.

Statisch unbestimmte Tragstrukturen besitzen eine große Bedeutung im Ingenieurwesen. Gründe hierfür liegen in ihrer größeren Steifigkeit, ihrer höheren Systemfestigkeit und ihrem günstigeren Verformungsverhalten in Versagensnähe sowie ihrer zumeist einfacheren Herstellung und Wartung. (Krätzig, 1998)

Je steifer ein Tragwerk ist, desto bedeutender können die Einwirkungen aus Zwängungen z.B. aus dem Lastfall Temperatur auf die Schnittgrößen und Spannungen sein. Das Lastspiel wird stark von Setzungen, Temperaturdifferenzen, die man nicht exakt in ihrer Dimension angeben kann, beeinflusst. Dazu kommt, dass die Steifigkeiten der einzelnen Bodenschichten zum einen von der Lastgeschichte abhängen und zum anderen nur obere und untere Grenzwerte für die Steifigkeiten angegeben werden können. Eine eindeutige Prognose des ungünstigsten Lastfalls gibt es nicht. Im Gegensatz dazu haben

2 Ziele

Zwangsverformungen in statisch bestimmten Tragwerken freies Spiel und rufen keine Zwangsspannungen hervor.

ZIELE In dieser Arbeit wird als konkretes Untersuchungsbeispiel die Fahrbachtalbrücke A3 Frankfurt – Nürnberg gewählt. Bei der Berechnung dieser Brücke traten die oben beschriebenen Schwierigkeiten auf. Mit Hilfe der zughörigen Einflussfunktionen soll der Einfluss der Lasten abgeschätzt werden. Ziel ist es, die Einflüsse, die die Modellparameter auf die Schnittgrößen haben, abzuschätzen, um dadurch zu einer Aussage zu gelangen, wie sensibel das Bauwerk auf Streuungen von Modellparametern reagiert.

II Theoretische Grundlagen 3

KAPITEL II

THEORETISCHE GRUNDLAGEN

INHALT

II Theoretische Grundlagen.................................................................................... 4 II.1 Newtonsche Axiome ............................................................................................... 4

II.2 Arbeit ....................................................................................................................... 4 II.2.1 Elastische Verformungsarbeit .......................................................................... 4 II.2.2 Energie ............................................................................................................. 5 II.2.3 Beispiel Feder .................................................................................................. 6 II.2.4 Virtuelle Arbeit .............................................................................................. 10

II.3 Jedes Tragwerk ist eine Feder ............................................................................... 13

II.4 Greensche Identitäten ............................................................................................ 14

II.5 Einflussfunktionen ................................................................................................. 18

II.6 Berechnung von Einflussfunktionen ..................................................................... 19

II.7 Auswertung von Einflusslinien ............................................................................. 24

II.8 Steifigkeitsänderungen .......................................................................................... 24 II.8.1 Einführungsbeispiel: Feder ............................................................................ 25

II.9 Änderung der Schnittkraft infolge Bettung ........................................................... 26

II.10 Herleitung der zusätz. virtuelle innere Arbeit im gebetteten Biegebalken. ........... 27

II.11 Steifigkeitsänderung im Balken ............................................................................ 29

II.12 Untersuchungen an stat. bestimmten Systemen .................................................... 31 II.12.1 Beispiel: Statisch bestimmter Biegebalken ................................................... 33

II.13 Untersuchungen an stat. unbestimmten Systemen ................................................ 34 II.13.1 Beispiel: Eingespannter Biegebalken ............................................................ 35 II.13.2 Zweites Beispiel ............................................................................................ 37

II.14 Beispiel: Kragarm .................................................................................................. 39

II.15 Sensitivitätsanalyse an einem Zweifeldträger ....................................................... 43

II.16 Untersuchung an einem 3-Feldträger .................................................................... 48

II.17 Betrachtung der Näherung N1 und N2 .................................................................. 50

4 II Theoretische Grundlagen

II THEORETISCHE GRUNDLAGEN

II.1 NEWTONSCHE AXIOME

Erstes Newtonsches Axiom

Ohne äußere Beeinflussung verharrt ein Körper im Zustand der Ruhe oder der gleich-förmigen Bewegung.

Dieser Satz ist nicht experimentell beweisbar, denn es gelingt nirgends, auch nicht im Weltraum, einen Körper nicht mit anderen Körpern in Wechselwirkung treten zu lassen. Daher die Bezeichnung „Axiom“. (Dobrinski/Krakau/Vogel, 1988)

Zweites Newtonsches Axiom

gmF ⋅~

m := Masse [kg], g := Gravitationskonstante [m/s²], F := Kraft [N]

Drittes Newtonsches Axiom

Drittes Newtonsches Axiom (actio = reactio): Jede Kraft→

F besitzt eine Gegenkraft oder Reaktionskraft F

→′ . Beide sind gleich groß und einander entgegengesetzt gerichtet.

→→

−= FF´ . Die Angriffspunkte von→

F und ´→

F liegen in verschiedenen Körpern.

(Dobrinski/Krakau/Vogel, 1988)

II.2 ARBEIT

Definition: Die Arbeit W ist gleich dem Produkt der Beträge der wirkenden Kraft→

F und der Komponente des Weges

→

s in Richtung der Kraft.

αcos⋅⋅=⋅=→→

sFsFW W := Arbeit [Nm]

Die Arbeit ist das skalare Produkt aus Kraft und Weg.

II.2.1 ELASTISCHE VERFORMUNGSARBEIT

Zieht man eine Feder entlang eines Weges, so steigt die Kraft proportional an. Beim li-nearen Kraftgesetz gilt F = k·u mit k = linear el. Federsteifigkeit [N/m]

2

0 0

12

u u

W Fdu ku du ku= = =∫ ∫


II.2.2 ENERGIE

Potentielle Energie

Lageenergie

L GW F h mgh= ⋅ =

Federenergie

2

21 kuWs =

Beide bezeichnet man als potentielle Energie potW .

Bewegungsenergie oder kinetische Energie

2

21 mvWkin =

Energiesatz der Mechanik

In einem gegen Zufuhr oder Abgabe von Arbeit abgeschlossenen mechanischen System bleibt die Summe aus potentieller Energie und Bewegungsenergie konstant.

constWWWWW kinsLkinpot =++=+

(Dobrinski/Krakau/Vogel, 1988)

(II.2.a)


II.2.3 BEISPIEL FEDER

Versuch 1: Energieansatz der Mechanik

Ein Körper der Masse m wird auf eine nicht gespannte Feder gelegt und gehalten (Zu-stand I). Der gehaltene Körper wird losgelassen und augenblicklich bewegt sich der Kör-per ab- und aufwärts, er schwingt. Nach kurzer Zeit klingt die Schwingung exponentiell ab und der Köper kommt zu Ruhe. (Zustand II).

Anwendung des Energiesatzes: (II.2.a)

21

21

2

10 02

1 ( )212

pot kin L s kin

G

G

G G

W W W W W

mgh mgh ku E

E ku F h h

E ku Fu

+ = + +

+ = + + + Δ

−Δ = − −

−Δ = −

Kinetische-Wkin, Lage-WL und Federenergie WL können sich wechselseitig ineinander umwandeln. Im Zustand II ist die Bewegungsenergie infolge Reibung vollständig in Wärmeenergie (Strahlung) umgewandelt, so dass es dem System nicht mehr zur Verfü-gung steht. Die im System noch verfügbaren Umwandlungsenergien sind Lageenergie und Federenergie (innere Energie). Das Gleichgewicht stellt sich im Ruhepunkt uG, auch Gleichgewichtspunkt oder Gleichgewichtslage genannt, ein.

Die Absenkung stellt sich so ein, dass betragsmäßig die potentielle Energie |∏(u)| maxi-mal wird, dass also die Energie möglichst weit weg von Null liegt. Bezogen auf einen Balken, kann man sich das so vorstellen, dass die Streckenlast p auf einem Riegel mög-lichst weit nach unten durchsacken will, um möglichst viel Lageenergie in potentielle Energie umzuwandeln. (Hartmann, Statik mit finiten Elementen, 2002)

h

m

k

Zustand I

m

k h1

Zustand II

uG

Abbildung II.2.3.a: Feder 1


21( )2

u ku FuΠ = − (II.2.b)

Abbildung II.2.3.b: Π(u)

Den Ruhepunkt uG ermittelt man aus der ersten Ableitung der obigen Gleichung:

0 (1)

/

G

G

G

ku FF kuu F k

= −

==

Versuch 2: Newtonscher Ansatz

Die Berechnung der Durchsenkung kann auch mittels Newtonschen Axiomen erfolgen. Der Versuch wird wiederholt mit dem Unterschied, dass die Masse m um ∆m stufenweise über den Weg anwächst.

Aus dem dritten Newtonschen Axiom folgt:

2max

2max

max

1 12 2

1 10 (2)2 2

/

a i

a i

a

a

G a

actio reactioF F kuEa Ei

F du dx F du dx

F u ku

ku F u

u F k

== =

=

=

=

= −

=

∫ ∫

Beide Ansätze führen zum gleichen Ergebnis uG = F / k. Paradoxerweise sind die For-meln (1) und (2) nicht identisch, was man doch vermuten könnte. Bei genauerer Betrach-tung stellt sich heraus, dass die Feder im ersten Versuch von Anfang an voll mit der Mas-se m belastet war. Der Überschuss an Lageenergie (= 1/2 F u) wurde in Wärmeenergie umgewandelt.

3

2,5

2

1,5

1

0,5

0

PI(u) [kNm]

u [m]

uG

Abbildung II.2.3.c: Energielinie: Ea= äußere Arbeit = ½ F u,

Ei= innere Arbeit = ½ k u2, E(u)= = ½ k u2 – F u

‐4‐20246810

PI(u) [kNm]

u [m]

Ea

Ei


Vorteile des Energieansatzes sind: Nur zwei Zustände sind nötig, um die Endverformung uG zu ermitteln. Es spielt also keine Rolle, welchen Weg die Masse m zwischen den Zu-ständen I und II durchläuft, wichtig ist nur, dass die Masse im Zustand II sich nicht mehr auf und ab bewegt. Die exakte Formulierung der Bewegungsgleichung ist somit nicht notwendig. Diesen Ansatz über die Energie verfolgt auch die Methode der finiten Ele-mente (FEM, engl.: finite element method). Ziel der FEM ist es Informationen über ein Tragwerksystem zu erhalten, indem sie Ansatzfunktionen/Verformungsfiguren generiert, die das Energiegleichgewicht erfüllen mit dem Ziel, so nah wie möglich an die wahre Biegelinie heranzukommen. Sie approximiert die wahre Biegelinie.

Um nun die gesuchte Verschiebungsfigur zu erhalten, werden alle Verformungen zuge-lassen, die die geometrischen Rand-/Lagerbedingungen erfüllen, die in allen Lagern Null-stellen haben. Sieger ist die Biegelinie, die betragsmäßig den größten Wert für die poten-tielle Energie liefert. Wenn das Tragwerk also möglichst wenig innere Energie haben soll, dann muss das Tragwerk gut ausgesteift sein und viele Lager besitzen, die die Bewe-gungsfreiheit und Amplitude der Verformungsfigur eingeschränkt.

Umgekehrt bedeutet dies, dass bei Abnahme der Steifigkeit eines Bauteils, die potentielle Energie zunimmt.

Abbildung II.2.3.d: Je mehr Lager vorhanden sind, um so kleiner wird die potentielle Energie ∏, um sokleiner wird die Durchbiegung w in der Mitte des Trägers, und um so kleiner wird der Umfang des Ver-formungsraums V.(Hartmann, Statik mit finiten Elementen, 2002)


Zustand I: Das ungeschwächte Tragsystem wird mit der Masse m belastet und befindet sich in Ruhe (Gleichgewichtslage).

Zustand II: Die Steifigkeit des Systems wird um einen Betrag ∆k geschwächt und befin-det sich ebenfalls in Ruhe mit derselben Einwirkung.

Die potentielle Energie beträgt:

Im Zustand I mit u0 = F/k (Ruhelage)

201 2

1 kuEF =

Im Zustand II mit u1= F/k1 (neue Ruhelage)

22 1

2 1

1 ( )( )2F

F F

E k k u

E E E

= −Δ

Δ = −

Für den Fall, dass die Differenzenergie ∆E > 0 ist, folgt, dass die innere Energie des ge-schwächten Systems größer als im ungeschwächten System ist.

1

1 0

22

1 0

22 1 1

11

2

2

k , ,

1 1u2 2

12

12

F

F

F

Fk k u F mgk

FE kk

E k u

Fuk

FEk

= − Δ = =

= =

=

=

=

Abbildung II.2.3.e: Feder 2

m

k h

Zustand I

m

k1=(k - ∆k) h1

Zustand II

u1

u0


1

2

2 1

21

11

2

11

1 1( )2

, , 02

2

F F

F

FE E Ek k

k kFE k k Ek k

F kEk k k

kE Ek

Δ = − = −

−Δ = > → Δ >

ΔΔ =

−ΔΔ

Δ =

II.2.3.1 BEISPIEL: FEDERENERGIE

Abbildung II.2.3.f: Die Federenergie im Tragwerk nimmt mit abnehmender Steifigkeit zu, wobei k = 1, F = 21/2 und 0 < ∆k < k ist.

II.2.4 VIRTUELLE ARBEIT

Prinzip der virtuellen Verrückung

Wenn ein Tragwerk im Gleichgewicht ist, dann ist bei jeder virtuellen Verrückung δu die virtuelle innere Arbeit δAi gleich der virtuellen äußeren Arbeit δAa.

Das Prinzip der virtuellen Verrückung (P.d.v.V.) ist formal gesehen trivial. (Hartmann, Statik mit finiten Elementen, 2002)

virtuelle Arbeit links = virtuelle Arbeit rechts

3 4 123 4 12

3 412

l

r

l r

u uA uA uA A

δ δδ δδ δδ δ

⋅ =⋅ ⋅ = ⋅

= ⋅ ⋅= ⋅=

δu = virtuelle Verschiebung

012345678910

deltaE

∆k


Beispiel: Denken wir uns eine Feder, die mit einer Kraft F = 12 kN belastet wird und deren Steifigkeit k = 3 kN/m beträgt. Gemäß dem Federgesetz F = k·u gilt für die Verlän-gerung u der Feder 3·u = 12. Wenn aber 3·u = 12 ist, dann ist natürlich auch δu·3·u = 12·δu mit beliebigen Zahlen δu.

3 12 3 4 12T

u u uK u f u K u f u

δ δδ δ

⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅⋅ = ⇒ ⋅ ⋅ = ⋅

δAi = virtuelle innere Arbeit = 43⋅⋅uδ

δAa = virtuelle äußere Arbeit = uδ⋅12

Prinzip der virtuellen Kräfte

Das Prinzip der virtuellen Kräfte (P.d.v.K) verwendet anstatt einer virtuellen Weggröße eine gedachte Kraftgröße auf das System. Mit Hilfe der vollständigen Arbeitsgleichung lassen sich die Weggrößen berechnen.

12

Die vol

Abbildun

(W.Fran

llständige A

ng II.2.4.a

nke/T.Kuno

Arbeitsgleic

ow, 2007)

chung lauteet:

II Theoreetische Grundllagen


II.3 JEDES TRAGWERK IST EINE FEDER

Kräfte, die auf ein Tragwerk wirken, werden nur dann abgetragen, wenn Verformungen zugelassen sind. Kräfte verursachen Verformungen. Aus Verformungen lassen sich mit Hilfe des Federgesetztes Federsteifigkeiten herleiten, die das Tragwerk approximieren, um es dann eventuell in ein Rechenmodell zu implementieren.

Beispiel:

Die Steifigkeiten k sind reine Systemparameter.

Die hier schematisch in Abbildung II.2.4.a dargestellten Steifigkeiten sind die Reaktions-kräfte des Systems, die infolge einer bestimmten Verschiebung entstehen. F = k·u, falls u = 1 ist, dann ist k = F. Oder über den Arbeitssatz: Die Steifigkeit multipliziert mit u2 ist die virtuelle Arbeit, die im System gespeichert wird, mit F·u = k·u·u und u = 1 folgt, k = F.

In der Matrizenverschiebungsmethode (MVM), auch Weggrößenverfahren genannt, be-steht die Steifigkeitsmatrix vollständig aus Federn. Deren Steifigkeiten werden über Ein-heitsverformungen ermittelt. Einheitsverformungen sind diejenigen Biegelinien, die sich

Abbildung II.2.4.a: Schematische Darstellung

lEAk =1

F

323lEIk =

213 kkk +=

F

F

F

F F


einstellen, wenn alle Weggrößen an den Lagern bis auf eine gesperrt werden. Die verblei-bende freie Weggröße wird nun in ihrer Arbeitsrichtung um „1“ bewegt.

Abbildung II.2.4.b: Einheitsverformungen a) am Stab, b) am Balken (W.Franke/T.Kunow, 2007) (leicht modifiziert)

II.4 GREENSCHE IDENTITÄTEN

Die Greenschen Identitäten stellen auf kompakte Weise viele Prinzipien der Statik und Mechanik dar. Für die Herleitung der Greenschen Identitäten wird die partielle Integra-tion benötigt. Im Folgenden wird die erste Greensche Identität beispielhaft für einen Bal-ken mit konstanter Biegesteifigkeit EI hergeleitet.

Partielle Integration: Haben u(x) und v(x) im Intervall eine stetige Ableitung, so gilt:

Aus Übersichtlichkeitsgründen wird festgelegt, dass u(x) = u, v(x) = v, w(x) = w und p(x) = p gesetzt werden.

uv dx uv u v dx′ ′= −∫ ∫

Bei bestimmten Integralen (BRONSTEIN-SEMENDJAJEW, 1991):

[ ]b bb

aa auv dx uv u v dx′ ′= −∫ ∫

Die Durchbiegung w(x) eines Balkens genügt der Differenzialgleichung (Dgl.):

pEIw IV = (Eulergleichung)

tan α = 1

tan α = 1


Wird ein Balken entlang einer gedachten Biegelinie ˆ ( )w x verformt, so widerstrebt der Balken der Verformung. Um die gewünschte Biegefigur zu halten, bedarf es somit einer äußeren Belastung p(x). Die Energie, die dafür benötigt wird, ist gleich der Summe der Einzelarbeiten )()(ˆ xpxw entlang der Länge l.

0 0ˆ ˆ

l lIVw EIw dx w p dx=∫ ∫

Durch Umformung der Dgl. mit Hilfe der partiellen Integration folgt:

ˆ ,ˆ ,

IV

III

u w v EIwu w v EIw

′= =

′ ′= =[ ]00 0

l lluv dx uv u v dx′ ′= −∫ ∫

Partielle Integration auf0

lu v dx′∫ anwenden, folgt

[ ]

( )00 0

00 0ˆ ˆ ˆ (1)

l ll

l llIV III III

uv dx uv u v dx

wEIw dx wEIw w EIw dx

′ ′= −

′⎡ ⎤= −⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫

Anwendung der partiellen Integration auf ⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ′∫

l IIIEIww0

ˆ

II

III

EIwvwuEIwvwu

=′′=′

=′′=

,ˆ,ˆ

[ ]00 0

00 0ˆ ˆ ˆ

l ll

l llIII II II

uv dx uv u v dx

w EIw dx w EIw w EIw dx

′ ′= −

′ ′ ′′⎡ ⎤= −⎣ ⎦

∫ ∫∫ ∫

Einsetzen in (1), folgt

0 00 0

00 0

ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ

l ll lIV III II II

l llIV III II II

wEIw dx wEIw w EIw w EIw dx


⎡ ⎤′ ′′⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

′ ′′⎡ ⎤= − +⎣ ⎦

∫ ∫

∫ ∫

Durch Umstellen des linken Terms auf die rechte Seite und Multiplikation mit (-1), folgt

00 0

00 0

ˆ ˆ ˆ ˆ0

ˆ ˆ ˆ ˆ0

l llIV III II II

l llIV III II II



′ ′′⎡ ⎤= − − −⎣ ⎦

′ ′′⎡ ⎤= + − + −⎣ ⎦

∫ ∫∫ ∫


Ersetzen von:

ˆˆ /

IV

III

II

pEIwVEIwMEIw

w M EI

→−→−→

→′′ −

Folgt die Erste Greensche Identität für den Balken. p = p(x) ist die äußere Einwirkung, V = V(x) und M = M(x) sind die Schnittgrößen des Balkens.

[ ]00 0

ˆˆ ˆ ˆ ˆ( , ) 0

l ll MMG w w pw dx Vw Mw dxEI

′= + − − =∫ ∫

Falls w eine virtuelle Verrückung ist, folgt das P.d.v.V.

Alle Terme sind Arbeiten.

Der erste Term

∫l

dxxwxp0

)(ˆ)(

beschreibt die äußere virtuelle Feldarbeit FeldaA , .

Der zweite Term

[ ]0ˆ ˆ( ) ( ) ( ) ( ) lV x w x M x w x′−

stellt die äußere virtuelle Randarbeit RandaA , dar.

Der letzte Term

dxEI

xMxMl

∫0)(ˆ)(

bildet die innere virtuelle Arbeit Ai. Sie kann auch als Wechselwirkungsenergie bezeich-net werden. Für den Fall, dass das Moment ˆ ( )M x infolge einer Einzelkraft F = “1“ ent-steht, erhalten wir die Mohrsche Arbeitsgleichung ("1" ( ) )iw x A⋅ = .

, ,ˆ( , ) 0a Feld a Rand iG w w A A A= + − =

, ,i a Feld a RandA A A= +

Wird w mit w vertauscht, folgt das P.d.v.K.

00 0

ˆˆ ˆˆ ˆ( , ) [ ] 0l ll MMG w w pw dx Vw Mw dx

EI′= + − − =∫ ∫


Wird der Ausdruck 000),ˆ()ˆ,()ˆ,( −==−= wwGwwGwwB gebildet, entsteht die Zweite Greensche Identität (Satz von Betti).

[ ]0 00

1,2 00

2,1 0 0

1,2 2,1

ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ( , ) 0

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆˆ

ll l

l l

ll

B w w pw dx Vw Vw Mw Mw pw dx

A pw dx Vw Mw

A pw dx Vw Mw

A A

⎡ ⎤′ ′= + − − + − =⎣ ⎦

′= + −

⎡ ⎤′= + −⎣ ⎦=

∫ ∫

∫

∫

Satz von Betti: Die Arbeiten A1,2, die die Kräfte des ersten Systems auf den Wegen des zweiten Systems leisten, sind gleich den Arbeiten A2,1, die die Kräfte des zweiten Systems auf den Wegen des ersten Systems leisten.

Zusammenfassend:

)ˆ,( wwG = 0 v. Arbeitäußere – v. Arbeitinnere = 0

),( wwG δ = 0 Prinzip der virtuellen Verrückungen

),( wwG δ = 0 Prinzip der virtuellen Kräfte

)ˆ,( wwB = 0),ˆ()ˆ,( =− wwGwwG Satz von Betti

)(1 xw⋅ = dxEI

xMxMl

∫0)(ˆ)( Mohrsche Arbeitsgleichung

Die vier Gleichungen Prinzip der virtuellen Verrückungen (P.d.v.V), Prinzip der virtuel-len Kräfte (P.d.v.K), Satz von Betti und die Mohrsche Arbeitsgleichung bilden die Grund-lage der Statik.

Moderne Definitionen beim Balken

0( , ) :

lp w pw dx= ∫ (v. Äußere Arbeit)

dxEI

MMdxwwEIwwal l

∫ ∫=′′′′=0 0

:),( (v. Innere Energie)

0 0

ˆˆ ˆ( , ) :

l l MMa w w EIw w dx dxEI

′′ ′′= =∫ ∫ (Wechselwirkungsenergie)

2 2

1 1( , ) :

x x cc cx x

c

MMd w w EI w w dx EI dxEI EI

′′ ′′= Δ ⋅ = Δ∫ ∫ (∆Energie bei EI-Änderung)


p(x)

G0(x,m)

m + +

- - + +

II.5 EINFLUSSFUNKTIONEN

Alle Einflussfunktionen sind Verformungsfiguren. Sie stellen Punktlösungen (Reaktio-nen) für einen beliebigen Punkt m dar, die infolge einer Wanderlast F = 1 entstehen.

Einflussfunktionen (EL) dienen zur Bestimmung des Einflusses ortveränderlicher Lasten auf statische Größen J(N, V, M, w, …). Mit Hilfe der EL lassen sich relativ leicht die maßgebenden (ungünstigsten) Lastfallkombinationen finden.

Beispiel: Fünffeldträger

Abbildung II.2.4.a: Fünffeldträger

G0(x, m) ist die Einflussfunktion für die Absenkung im Punkt m. Ist die Streckenlast kons-tant und p(x) = 1, dann ist die resultierende Absenkung wm gleich dem Flächeninhalt der Einflussfunktion im Bereich der Streckenlast. Die Biegelinie senkt und hebt sich in eini-gen Bereichen, dargestellt durch + und -.

Wird die Funktion p(x) mit G0(x, m)+, untere Welle, überlagert, erhält man die maximale Durchbiegung im Punkt m. Dies entspricht der Belastung, die auf den positiven Feldern mit der Last p(x) wirkt. Wird hingegen die Funktion p(x) mit den negativen G0(x,m)-Werten überlagert, folgt die maximale negative Durchbiegung.

Die Einflussfunktionen sind Aggregatoren (’Staubsauger’), die alles aufsammeln, was nur irgendwo auf dem Tragwerk als Belastung steht. Allerdings wichten sie das, was sie ein-sammeln mit den Einflusskoeffizienten, also dem Wert der Einflussfunktion G0(x,m) im Lastangriffspunkt. Lasten, die in der Nähe des Punktes m stehen, haben so in der Regel einen größeren Einfluss, als Lasten, die weiter weg stehen. (www.uni-kassel.de/fb14/baustatik, 2007)

Wird die Wanderlast als eine Testfunktion interpretiert, erhält man eine Leitwertfunktion, die Auskunft gibt, wie viel von der äußeren Last p(x) im Punkt m ankommt. Anstelle, wie üblich, die Durchbiegung im Punkt m mit u = F / k zu ermitteln, ermöglicht die Einfluss-funktion G die Verformung mit u = G · F zu bestimmen. Die Methode, Schnittkräfte und Verformungen mittels Einflussfunktionen zu bestimmen, kennzeichnet die Einflussfunk-tionen als Systemgrößen, die unabhängig von äußeren Einwirkungen sind. Die Einfluss-funktionen G stellen demgemäß Punktlösungen der Inversen von k dar.


II.6 BERECHNUNG VON EINFLUSSFUNKTIONEN

Variante I: Wanderlast

Prinzipiell entstehen Einflusslinien, indem eine Wanderlast F = 1 auf das Tragwerk los-gelassen wird und die daraus entstandenen statischen Größen im Punkt m unter dieser Wanderlast stellt.

Dieses Verfahren ist für große Tragwerke nicht zweckmäßig, weil dann unzählige „1“-Lastfälle berechnen werden müssten, um eine aussagekräftige Einflussfunktion zu erhalten.

Variante II: Kraftgrößenverfahren

Bei der Berechnung von EL für Kraftgrößen ist zwischen statisch bestimmten und unbes-timmten Systemen zu unterscheiden:

a) Statisch unbestimmte Systeme

1. Lösen der Bindung an der Stelle der gesuchten Kraftgröße und Ansetzen einer entsprechenden Kraft Fm = -1 bzw. eines Momentes Mm = -1.

2. Biegelinie infolge der virtuellen Last berechnen.

3. Verformung w(x=m) an der Stelle m berechnen.

4. Skalieren der Biegelinie um den Faktor 1/w(x=m) ergibt die gesuchte Einflussli-nie.

Daraus ergeben sich für die Berechnung von EL statisch bestimmter Systeme kinemati-sche Ketten.

b) Statisch bestimmte Systeme

1. Lösen der Bindung an der Stelle der gesuchten Kraftgröße und Ansetzen einer entsprechenden Verformung δm = -1.

2. Ermitteln der kinematischen Kette aus den geometrischen Randbedingungen des Systems.

Bei komplizierten Systemen kann die kinematische Kette mit Hilfe von Polplänen kons-truiert werden.

Variante III:

Im Allgemeinen wird eine bestimmte Arbeit im „Punkt m“ verrichtet. Daraufhin reagiert das Tragsystem entsprechend seinen Randbedingungen mit Verformungen. Die daraus entstandene Biegefigur ist die Einflusslinie.


Mit Hilfe der Zweiten Greenschen Identität (Satz von Betti) lassen sich Einflussfunktio-nen für alle interessierenden Größen eines Tragwerks berechnen, die besagt, dass die re-ziproken äußeren Arbeiten zweier Systeme, die im Gleichgewicht sind, gleich groß sind A1,2 = A2,1.

0

( , ) ( , ) ( ) "1" ( ) 0l

i ii iB w G G x m p x dx w m∂ = − ⋅∂ =∫

dxxpmxGmwl

ii )(),()(1

0∫=∂⋅ (Dirac Energie)

Der Index i beschreibt den Typ der Einflusslinie, siehe Tabelle II.a.

Beispiel: Gegeben sei die EL für die Querkraft G3(x,m) und eine Auflast p(x). Gesucht ist die Querkraft im Punkt m unter der Auflast p(x). Die Dirac Energie beträgt:

30

( , ) ( )l

DiracEnergie G x m p x dx= ∫

( ) , ( ) ( , , , ...) "1"

( ) ( )( )

DiracEnergieJ m J m statische Größe M N V w im Punkt m

J m V mV m Querkraft im Punkt m

= =

==

Das Vorgehen im Einzelnen:

1 Zunächst wählt man sich einen interessanten Punkt m und die dazugehörige stati-sche Größe J(M, N, V, w…) aus. Die duale Größe ergibt sich aus dem Energiean-satz (Kraft x Weg). Ist beispielsweise die EL für das Moment gesucht, so ist die duale Größe die Relativ-Verdrehung φ = 1.

Tabelle II.a: Duale Größen zur Berechnung von Einflussfunktionen am Balken.

TYP Gesuchte

Größe

Einfluss-

Funktion

Injizierte

Energie

Duale

Größe Bemerkung

0 w G0(x,m) )(mwF ⋅ F=0δ , da w(x) gesucht ist, muss F = "1“ sein

1 ϕ G1(x,m) )(mM ϕ⋅ M=1δ M=“1“

2 M G2(x,m) )(mM⋅ϕ ϕδ =2 φ = “1“, Knick um 1; (Relativverdrehung im Punkt m gleich 1)

3 V G3(x,m) )(mVw ⋅ w=3δ w=“1“, Versatz um 1; (Relativspreizung im Punkt m gleich 1)

II Th

Abbi

heoretische Gr

ildung II.2.4.a

2 Ermittlu2.1

2.2

2.3

rundlagen

a: Die vierG1 = El-

ung des LasFür die DuEinzelkraftgur ist die EFür die VMoment Mist die EinfFür die MoEin Gebiet formuliert dAlle VerscBalken durlautet:

)(xw =

Aus Randb

x

x

x

xlx

=

=

=

=

=

4

3

2

1

)(

)(

)(

)(

φ

φ

φ

φ

ξ

r Einflussfun-Verdrehung,

stfalls. urchbiegungt F = 1 im PEinflussfun

VerdrehungsM = 1 im Puflussfunktionomenten-Ein

um den Punden dazugeh

chiebungszurch kubisch

10 xaa ++=

edingungen

(

( ) l⋅−=

−

−+−=

+−

32

32

2

2

23

2

231

ξξ

ξξ

ξξ

ξξ

ktionen des G2 = El-Mom

gs-EinflussPunkt m unktion G0(x,

s-Einflussfuunkt m und n G1(x, m).nflussfunktinkt m wird hörigen Ver

ustände lasshe Gleichun

33

22 xaxa +

n folgen die

) l⋅− 3

3

ξ

ξ

Balkens im ent, G3 = El-Q

funktion fond die daraum).

unktion folgdie daraus e

ion: herausgescrschiebungssen sich fürngen exakt

3

Einheitsver

Punkt m. GQuerkraft

olgt eine Bus entstehen

gt eine Belentstehende

hnitten (z.Bsansatz, Knr den schubabbilden. D

rformungen

0 = El-Durch

Belastung mnde Verform

lastung mie Verformun

B. Balkenstüick um „1“bstarren BeDie Ansatzf

n Ф1 bis Ф4

21

hbiegung,

mit einer mungsfi-

t einem ngsfigur

ück) und “. ernoulli-funktion

.


Aus Einheitsverformungen entstehen Reaktionskräfte (Festhaltekräfte). Aus Festhalte-kräften entstehen Einheitsverformungen. Diesen Effekt nutzen wir aus, indem wir auf unser gedachtes Stück der Länge l mit den spezifischen Einwirkungen, die den Festhalte-kräften entsprechen, belasten. Für den Knick um „1“ bedeutet dies, falls wir den Knick in der Mitte haben wollen, dass wir die Festhaltekräfte suchen, die den Knick in der Mitte x = l/2 verursachen. Die äquivalenten Knotenkräfte für dieses Balkenelement lassen sich mittels zweiten Ableitung der Funktionen Ф1 bis Ф4 und anschließendes multiplizieren mit der negierten Biegesteifigkeit (–EI) ermitteln.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=′′⋅−=

−=′′⋅−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=′′⋅−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=′′⋅−=

24

3

22

321

62)(

)(

64)(

126)(

lx

lEIxEIM

VxEIVlx

lEIxEIM

lx

lEIxEIV

r

lr

l

l

φ

φ

φ

φ

Abbildung II.2.4.b: Die genäherte Einflussfunktion hG2 und die exakte Einflussfunktion 2G für das Moment

an der Stelle m. (Carl, 2004) (leicht modifiziert)

2.4 Querkraft-Einflusslinie

0 0,5 1 0 0,5 1

Ф1(x) Ф3(x)

„1“ „1“

„1“

„1“ Ф2(x) Ф4(x)

lM rM

Länge l

lV rV

2

1 "1"

MEnergie dxEI

EI EI EIEnergie l Ml l EI l

=

= = = ⋅

∫

Fließgelenk

←⎯⎯→


Die Festhaltekräfte ermitteln sich mit den 3. Ableitungen von Ф1,2,3,4.

1 3

2 2

3

4

12( )

6( )

( )( )

l

l

r l

r l

V EI x EIl

M EI x EIl

V EI x VM EI x M

φ

φ

φφ

′′′= − ⋅ = −

′′′= − ⋅ =

′′′= − ⋅ = −′′′= − ⋅ =

2.5 Normalkraft-Einflusslinie Analog zur Ermittlung der Momenteinflusslinie wird ein Teilstück mit der Länge l virtuell herausgeschnitten und entlang seiner Normalen um „1“ gedehnt (Gesamtlänge = l + „1“). Die daraus resultierenden Festhaltekräf-te Nl = Nr = N = EA/l werden als äußeres Kräftepaar angesetzt.

Vorteile des dritten Verfahrens sind:

Knotenkräfte lassen sich relativ leicht ermitteln. Das System muss nicht verändert werden (kein Einbau eines Gelenks notwendig). Nur ein Lastfall ist nötig, um alle stat. Größen zu ermitteln.

Die genährte Lösung wird umso genauer, je kleiner das Teilstück ist. Dies führt jedoch zu sehr großen Festhaltekräften, die zu numerischen Instabilitäten führen (Vorsicht!). Für den Grenzfall liml→0 (N = EA / l) folgt, dass die Festhaltkräfte unendlich groß werden und da dies nummerisch nicht zu Lösen ist, versagt das Verfahren III die wahre Einflussfunk-tion exakt darzustellen. (Vergleichbar mit der Ermittlung einer Kreisfläche). Trotz alle-dem sollten die genährten Einflusslinien den normalen Anforderungen genügen.

Glücklicherweise stellen einige Programme Funktionen zu Verfügung, die die Einflussli-niengenerierung übernehmen (z.B. Software: Sofistik v10.75-23 (Rahmen- und Flächen-tragwerke), TwoDFrame (Rahmenstabwerke).

lM rM

l lV rV

N EA N

l


II.7 AUSWERTUNG VON EINFLUSSLINIEN

Voraussetzung: Es gilt das Superpositionsprinzip

Gesamtlösung = ∑ Einzellösungen

( ) statische Größe im Punkt (M, N, w, ...)( ) ( , ) für Einzellasten

J m mJ m F G x m

== ⋅

Auswertung für Streckenlasten: ( )dF p x dx=

Auswertungsgleichung:

Unstetigkeit bei Integration beachten! (Knick, Sprung)

II.8 STEIFIGKEITSÄNDERUNGEN

Die Empfindlichkeitsanalyse versucht Änderungen in den statischen Größen eines modi-fizierten Tragwerks vorherzusagen.

Das wesentliche Werkzeug für die Sensitivitätsanalyse sind Einflussfunktionen. Dies soll anhand eines Einführungsbeispiels demonstriert werden.

dF = p(x)dx

dx G(x,m)

( ) ( , ) ( ) ( , )iJ m F G i m p x G x m dx= ⋅ + ⋅∑ ∫

( , ) ( ) ( , )

( ) ( ) ( , )

dJ dF G x m p x G x m dx

J m p x G x m dx

= ⋅ = ⋅

⇒ = ⋅∫


II.8.1 EINFÜHRUNGSBEISPIEL: FEDER

Gegeben sei das unten dargestellte System. Die Feder im Grundsystem staucht sich ent-sprechend ihrer Steifigkeit k um den Betrag u = F/k zusammen (Zustand I). Im veränder-ten System drückt sich die Feder infolge der modifizierten Federsteifigkeit kc = k+∆k auf uc zusammen (Zustand II). Gesucht ist die Verformungsänderung ∆u?

Zustand I: Grundsystem Zustand II: Verändertes System c (crack)

0 0 c

c

, sind Einflussfunktionen; , sind Federsteifigkeiten

ist die äußere Last; , sind Verformungen infolge äußerer Last

cG G k k

F u u

Die Einflussfunktionen für die Wege lauten:

Originalsystem Verändertes System

0 0

0 0

"1"

u G F dx G F

F k G Gk

= ⋅ = ⋅

= ⋅ → =

∫

0 0

0

"1"

c cc

c

c

u G F dx G F

Gk

= ⋅ = ⋅

=

∫

Die Verformungsänderung ergibt sich zu:

0 0 0 0

0

0

( )

1 1( )

c cc

c

c c c c

c

c

u u u G F G F F G G

k k k ku F F F uk k k k k k k

u k u G

u k u G

Δ = − = ⋅ − ⋅ = −

− Δ ΔΔ = − = = − = −

⋅ ⋅

Δ = −Δ ⋅ ⋅

Δ = −Δ ⋅ ⋅

Die Verformungsänderung ∆u lässt sich einerseits über die Differenz (uc-u) oder anderer-seits mittels einfacher Multiplikation der Faktoren (-1), u (Anfangsverschiebung), Gc (Einflussfunktion im geschwächten System) und ∆k (Differenzsteifigkeit) bestimmen.

F

k

F

kc=(k+∆k)

uc

u

Zustand I Zustand II


II.9 ÄNDERUNG DER SCHNITTKRAFT INFOLGE BETTUNG Gegeben seien zwei stat. Systeme, bestehend aus einem Grundsystem und dessen Modifi-kation. Beide Systeme werden mit der gleichen Einwirkung P belastet. Des Weiteren sei-en die Biegelinie u, die Einflussfunktion G vom Grundsystem und die entsprechende Ein-flusslinie Gc vom modifizierten System bekannt.

(P,G) := stat. Größe (wm, M(xm), …) im Grundsystem

(P,Gc) := stat. Größe im modifizierten Grundsystem

0

0 0

: ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (v. innere Energie)

: ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , )

F

c c

c c

I P G a u Ga u G a u G a u G

II P G a u G d u Ga u G d u G

== +

= += +

+ ( , ) ( , )________________________________________________________

: 0 ( , ) ( , ) ( , ) mit ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , )

F c F c

c c

c c

c c

a u G d u G

I II a u G a u G d u GP G a u G

P G P G d u G

+

− = − −=

− = −

0 ( , ) ( , ) ( , )c c Fd u G d u G d u G= +

0

0

( , ) : ( , ): /( , ) : . ( , ) : .

c

F c

F

d u G Differenzänderung vom Biegebalkend u G Differenzänderung von Federn Bettungena u G v innere Energie im Balkena u G v innere Federenergie

====

Der Einfluss auf Schnittgrößen, infolge Steifigkeitsänderungen im Biegebalken und Bet-tungen kann durch einfache Addition der Summanden d0(u,Gc) und dF(u,Gc) geschehen.


II.10 HERLEITUNG DER ZUSÄTZ. VIRTUELLE INNERE ARBEIT IM GEBET-

TETEN BIEGEBALKEN.

Gegeben sei ein Biegebalken mit der Länge L, der Breite B, die Verformungsfigur w(x) und die Querbettung ks.

Gesucht ist die virtuelle innere Arbeit des gebetteten Biegebalkens. 0. Näherung: Keine Bettung

1. Näherung mit einer Feder 1k ks B L= ⋅ ⋅ :


2. Näherung mit zwei Federn k2=ks*B*(L/2):

3. Näherung mit n Federn:

4. Näherung:

Ändert sich die Steifigkeit der Bettung und des Biegebalkens, so beträgt der Differenz-wert:

( )0

0

- ( , ) ( , ) ( , )

( , ) (Differenzänderung vom Biegebalken)

( , ) (Differenzänderung von Federn / Bettungen)

c c F c

c c

F c c

c

d u G d u G a u G

d u G EIw G dx

d u G k w G dx

k k k

k k

= − +

′′ ′′= Δ

= Δ ⋅ ⋅

= + Δ

=

∫∫

; ; ( = Bettungsmodul; = Breite des Biegebalkens)cs c s sB k k B k B=


Für eine Feder:

( , ) ( ) ( , )c cFd w G k w l G l m= Δ ⋅ ⋅

( ) Verschiebung in Richtung der Senkfeder an der Stelle , infolge äußerer EinwirkungSteifigkeitsänderung in der Feder

( , ) Verschiebung einer Einflussfunkton in Richtung der Feder an decc

w l lk

k k k

G l m

=Δ == +Δ

= r Stelle l

Für eine Bodenschicht:

( , ) ( ) ( , )

: Steifigkeitsänderung in Bodenschicht ( ) : Verschiebungen im Bereich der Bodenschicht aus maß. Lastfall( , ) : Verschiebungen aus EL im Bereich der Bodenschicht

:

c cFS a

c

d w G k w x G x m dx

kw xG x ma

= Δ ⋅ ⋅

Δ ==

==

∫

Schichtdicke

Für mehrere Bodenschichten:

( , ) ( ) ( , )

: Steifigkeitsänderung in Bodenschicht

( ) : Verschiebung aus maß. Lastfall( , ) : Verschiebung aus Einflussfunktion : Schichtdicke

jF c j ca

j

j

c

j


k j

w xG x ma j

= Δ ⋅ ⋅

Δ =

=

=

=

∑∫

II.11 STEIFIGKEITSÄNDERUNG IM BALKEN

Mit Hilfe der ersten Greenschen Identität und der Einflussfunktion G0(x,m) lässt sich die zusätzliche Absenkung ∆w für einen Balken herleiten. Die Funktion G0(x,m) wird verein-facht mit G dargestellt. Der Index c weist auf das veränderte System hin.

( ),c m m cw w w p G G dxΔ = − = −∫

m EI EI EI+∆EI EI

mw ,c mw

,( , ) ( , )

( , )( , ) ( , )

m c m c c

c c

w p G w p G p G dx

a w Ga w G d w G

= = = ⋅

== +

∫

(II.10.a)


1 2 3

1 2

1 2 3

1 2

2

1

0

0

( , )

( , )

( , ) 0 0

x x x

x x

x x x

c c c cx x

x

c cx

a w G EI w G dx EI w G dx EI w G dx

a w G EI w G dx EI w G dx EI w G dx

d w G EI w G dx

′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

′′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′= ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅

′′ ′′= + Δ ⋅ ⋅ +

∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

∫

),(),(),(),(),(

GpGwdGwaGpGwa

cc =+=

)2()1(

0( , )

l

c

p G p Gdx

EI EI EI

= ⋅

= + Δ∫

Subtrahiert man Gl. (2) von (1) ab, folgt

( , ) ( , ) ( , ) 0c ca w G a w G d w G− − =

,

( , ) ( , ) ( , )( , )( , ) ( , )

c c

c c m m

c c

d w G a w G a w Gd w G w wd w G d w G

− = −− = −

− = −

,

( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , )

c m

c c c c m

c c

a w G a w G wa w G a w G wa w G a w G

= == =

≠

2

1

( , ) ( EI-Änderung)x

c cxd w G EI w G dx′′ ′′= Δ ⋅ ⋅ Δ∫

Für alle anderen statischen Größen J(w) (= w(x), M(x), …) gilt sinngemäß das Gleiche. G wird mit der dazugehörigen passenden Einflussfunktion ersetzt.

),(0 mxG = Durchbiegungs-Einflusslinie

),(1 mxG = Verdrehungs-Einflusslinie

),(2 mxG = Momenten-Einflusslinie

),(3 mxG = Querkraft-Einflusslinie

0

1

2

3

( , )( , )( , )( , )

( ) ( ) ( , )c c

G x mG x m

GG x mG x m

J w J w d w G

⎧⎪⎪= ⎨⎪⎪⎩

− = −

(II.11.a)


Zusammenfassend: Die Änderung ∆w kann auf zwei Wegen erfolgen:

1. Möglichkeit: Eine Integration über das gesamte Tragwerk, was einer kompletten

Neuberechnung gleichkäme. ( )cw p G G dxΔ = −∫

2. Möglichkeit: Auswertung der Formel 2

1

( , ) x

c cxw d w G EI w G dx′′ ′′Δ = − = − Δ ⋅ ⋅∫

Der Vorteil der zweiten Möglichkeit ist, dass nur das Gebiet untersucht (integriert) wer-den muss, in denen Steifigkeitsänderungen auftreten. Trotz allem werden Werte aus bei-den Systemen benötigt. Im Buch (Hartmann, Structural Analysis with Finite Elements, 2007) wird eine Näherung vorgestellt, die für die Berechnung der Differenzen nur Werte aus dem Grundsystem benötigt.

Sie beruht darauf, dass sich bei kleinen Steifigkeitsänderungen die Biegelinien im modifi-zierten System „crack-system“ und im Grundsystem kaum voneinander unterscheiden. Für die Näherung gilt dann, dass die Biegelinie wcrack gleich w ist.

Näherung (N1):

2 2

1 1

2 2

1 1

( , ) ( , )c

cx x

cx x

x xc G Gx x

c

w

w

w wd w G d G

EI w G dx EI G

ME

dx

M M MEI dx EI dxEI EI EII

≈

− ≈ −

′′ ′′ ′′− Δ ⋅ ⋅ ≈ − Δ ⋅ ⋅

⇒ − Δ ⋅ ⋅ ≈ − Δ ⋅ ⋅

′′∫ ∫

∫ ∫

II.12 UNTERSUCHUNGEN AN STAT. BESTIMMTEN SYSTEMEN

Bei Untersuchungen von statisch bestimmten Systemen, an denen Steifigkeitsänderungen vorgenommen werden, wird Folgendes festgestellt:

Biegelinien sind ungleich, cw w≠

Momente sind gleich M = Mc (Schnittkräfte sind unabhängig von EI)

Somit gilt für stat. best. Systeme:

2 2

1 1

( , )

(exakt für stat. best. Systeme)

x xG Gc x x

c

c

c

M Md w G EI dx EI dxEI EI EI EM

IM

− = − Δ ⋅ ⋅ = − Δ ⋅ ⋅∫ ∫

Die Auswertung des Produktintegrals GlM M dx⋅∫ kann mittels Integraltafeln ausgewertet werden.

(II.12.a)

32

Abbildungg II.8.1.a: Integegraltafel für ü

übliche Funktiionen (W.Fran

II Theore

nke/T.Kunow,

etische Grundl

2007)

lagen


II.12.1 BEISPIEL: STATISCH BESTIMMTER BIEGEBALKEN

Das linke Originalsystem besteht aus drei gleichen Elementen (Länge = 2 m, EI = 1 MNm²). Die Einzellast greift im Abstand von 2 m vom linken Lager an. Das ge-schwächte (cracked) System ist rechts abgebildet. Die Schwächung liegt im Bereich von 2 m bis 4 m. (2 m < x < 4 m) mit ∆EI = 0,5 MNm².

EI=0,5 MNm²

EI=1 MNm²

- Grundsystem- -Cracked-

x

w(x) = G0(x,m) [mm] wc(x) = G0,c

M(x)[kNm]= ),(0 mxGEI ′′⋅− Mc(x)= 0, ( , )c cEI G x m′′− ⋅

m

( ) ( )( )

2 2

1 1

5,63 3,56 2,07

( , ) dx

0,5 1( , ) 2 1,33 2 1,33 0,667 1,33 2 0,667 0,667 2,070,5 1 6

c

x xG Gc x x

c c

c

c

w w mmM Md w G EI dx EI

EI EI EI EI

d w G mm

M M− = − =

− = − Δ ⋅ ⋅ = − Δ ⋅ ⋅

− ⎛ ⎞− = − ⋅ + + + ⋅ =⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠

∫ ∫


( ) ( )( )

2

1

( , ) 2,07

( , )

0,5 1( , ) 2 1,33 2 1,33 0,667 1,33 2 0,667 0,667 1,041 1 6

c c

x Gx

w w d w G mmMd w G EI dx

EI EI

d w G mm

M− = − =

− = − Δ ⋅ ⋅

− ⎛ ⎞− = − ⋅ + + + ⋅ =⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠

∫

Bei Anwendung der Formel (II.12.a) für die Ermittlung von d(wc,G2), d(wc,G3), also der Momenten- Querkraftänderung, lässt sich feststellen, dass in einem statisch bestimmten System keine Schnittkraftänderungen infolge Steifigkeitsänderungen, auftreten. Es ent-steht ein kinematisches System. (Siehe auch Ermittlung von EL für stat. best. System Va-riante IIb). Die Schnittkräfte MG2 und MG3 sind gleich NULL, so dass sich keine Diffe-renz-Wechselwirkungs-Energien d(wc,G2), d(wc,G3) bilden können.

II.13 UNTERSUCHUNGEN AN STAT. UNBESTIMMTEN SYSTEMEN

Statisch unbestimmte Systeme sind aufgrund ihrer Überbestimmtheit wesentlich kom-plexer als stat. best. Systeme. Die Schnittgrößen sind meist von der Systemsteifigkeit abhängig und lassen sich ergo nicht ohne Weiteres berechnen. Welchen Einfluss üben nun Steifigkeitsänderungen auf die Schnittgrößen aus? Die Lösung für die Änderung der Schnittgrößen lässt sich mittels der exakten Formel -d(w,Gc), sowie mit der Näherung -d(w,G), bestimmen. Eine weitere Näherung erhalten wir bei Anwendung der Gl. (II.11.a), indem man nicht die Biegelinien, sondern die Momente gleich setzt.

Anwendung der Gl. (II.11.a): Näherung (N2):

2 2

1 1

( , ) ( , )

( , )

c

c c

x x Gc cx x

c

M Md w G d w G

Md w G EI w G dx EII

M dxEI E

− ≅ −

′′− = − Δ ⋅ ⋅ = − Δ ⋅ ⋅∫ ∫


II.13.1 BEISPIEL: EINGESPANNTER BIEGEBALKEN

Das linke Originalsystem besteht aus drei gleichen Elementen (Länge = 2 m, EI = 1 MNm²). Die Einzellast F = 1 kN greift im Abstand von 2 m vom linken Lager an. Das geschwächte (cracked) System ist rechts abgebildet. Die Schwächung liegt im Be-reich von 2 m bis 4 m. (2 m < x < 4 m) mit ∆EI = -0,5 MNm².

,

2

1

( , ) ( , )1,00 0,790,5 1 0,5

( , )

0,21m c m c c

x c Gc x

c

w w w d w G d w GwEI

M Md w G EI dxEI EI

mmΔ = − = − = −

Δ = − =

Δ = − = −⋅

− = − Δ⋅∫

EI=0,5 MNm²

EI=1 MNm²


x

w(x) = G0(x,m) [mm] wc(x) = 0 ( , )[ ]cG x m mm

M(x)[kNm]= ),(0 mxGEI ′′⋅− Mc(x)= ),(0 mxGEI cc ′′⋅−

m

EI=1 MNm²

EI=1 MNm²


( ) ( )( )

( ) ( )( )( )

4

2

0,5( , ) 0, 21 ( )1 0,50,5 1( , ) 2 0,593 2 0,5 0 0,5 2 0 0,074 0, 21

1 0,5 60,5 1( , ) 2 0,593 2 0,593 0,074 0,593 2 0,074 0,074

1 1 6( , ) 0,50 0, 267 0,13

c c G

c

d w G M M dx mm exakt

d w G mm

d w G

d w G mm

−− = − ⋅ =

⋅− ⎛ ⎞− = − ⋅ + + + ⋅ =⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠− ⎛ ⎞− = − ⋅ ⋅ + + + ⋅⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠

− = ⋅ =

∫

( 1)Näherung N

Anwendung der Gl. (II.12.a)

( )

2 2

1 1

( , )

0,5( , ) 0, 267 0, 267 ( 2)0,5 1

x x Gc cx x

c

c

Md w MG EI w G dx EI dxEI EI

d w G mm Näherung N

′′− = − Δ ⋅ ⋅ = − Δ ⋅ ⋅

−− = − ⋅ =

⋅

∫ ∫

Anscheinend bewertet die Näherung N1 nach Hartmann (Structural Analysis with Finite Elements, 2007) den Differenzwert zu niedrig. Hingegen bewertet die Näherung N2 nach Gl. (II.12.a) den Differenzwert zu hoch. Demzufolge liegt die gesuchte Verschiebung wc zwischen [wm - d(w,G)] und [wm - d( w ,G)]. Dies bedeutet, dass sich stat. unbestimmte Systeme weniger verformen als stat. bestimmte Systeme. Die Verformung hängt somit maßgeblich von der jeweiligen Steifigkeit des betrachteten Systems ab. Ersetzen wir nun die Steifigkeit EIc durch den Mittelwert (EI + EIc)/2, so erhalten wir eine neue Näherung -d(w,G).

( )( ) ( )( )

2

1

/ 2

/ 2 / 2 / 2

( , ) dx neue Näherung (N3)( / 2)

( , )

( , ) ( , ) ( / 2)

1 ( , ) 0,13(

c c

c

x Gx

EI EI EI

EI EI EI EI EI EI EI

Md w G EIEI EI EI

EI EI constEId w G d w G

EI EI

d w G

M

→ +

+ = + + Δ = + Δ

− = − Δ ⋅ ⋅+ Δ

Δ =

→ − = −+ Δ

− =

∫

0,13 1,333 0,1731 ( 0,5) / 2)

mm= ⋅ =+ −

Die Näherung (N3) liegt näher als die beiden anderen Näherungen. Die relativen Abwei-chungen betragen:

[ d(w,G)-d(w,Gc)] / d(w,Gc) = (0,13 - 0,21) / 0,21 = -38% (wc = w), N1

[ d( w ,G)-d(w,Gc)] / d(w,Gc) = (0,26 - 0,21) / 0,21 = 24% (wc = w ), N2

[ d(w,G)-d(w,Gc)] / d(w,Gc) = (0,173 - 0,21) / 0,21 = -18% (wc = w), N3

(II.13.a)


II.13.2 ZWEITES BEISPIEL

Eingespannter Balken bestehend aus zwei Elementen (HEA 900, Länge = 7 m). Die Ein-zellast F = 1 MN greift mittig an. Ermittelt werden soll die Änderung des Moments an der Stelle m, infolge der Steifigkeitsänderung im zweiten Element.

4900

4400

MN210000 0,004221m 886, 41 ²m²

MN210000 0,000451m 94,71 ²m²

791,7 ²

EI MNm

EI MNm

EI MNm

= ⋅ =

= ⋅ =

Δ = −


1: HEA 900 2: HEA 900 1: HEA 900 2: HEA 400

x m m

w(x) [mm] wc(x)

M(x)[kNm]= 01000 ( , )EI G x m′′− ⋅ Mc(x)= 01000 ( , )c cEI G x m′′− ⋅

),(2 mxG [mm] ),(2 mxG c


2

1

14

7

32

( , ) ( , )1185 1750 565

( , )

792 94,71 886,41

9,434 10 1,185 ( 0,9154) ( 63,31)( ) 7² 2

( ,

c cm m c

x c Gc x

c

c G

c

M M M d w G d w GM kNm

M Md w G EI dxEI EI

M M dx

MNm mMNm

d w G

−

Δ = − = − = −

Δ = − = −⋅

− = − Δ⋅

−= − ⋅

⋅

⋅ + −⎛ ⎞= − ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

−

∫

∫

3

14 3

7

9,434 10) 59,74( )² 564 ( )²

792( , ) 10 0 0 ( )886,41 886,41

( , ) 0 ( )

G

MNm m kNm exaktMNm

d w G M M dx versagt

d w G versagt

−

−

⋅= − ⋅ −

−= ⋅ = − ⋅ =

⋅=

∫

Alle Näherungen ergeben keine vernünftigen Ergebnisse und es ist nicht auszuschließen, dass es noch weitere Systeme gibt, in denen sich die Momente bei Überlagerung aus-löschen (Vorsicht ist geboten!).

Möglicher Ansatz zur Lösung: Ersatzstab

22 2 2

2 2 2

c

c c

c

Ersatzstabenergie Differenzenergie des geschwächten StabesMM M Mdx dx dx EI dx

EI EI EI EI EIEI EI

M dx M dx M dxEI EI

μ

≈

Δ≈ − ≈ Δ

⋅

Δ ⋅Δ = =

⋅

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫

Annahme: Die Momenten-Schnittkraftverläufe von ∆M und M haben die gleiche/ähnliche Gestalt, so dass sich die Formparameter der Produktintegrale kürzen.

2 2

791,7 94,71 0,0954886, 41 886, 41

0,30890,3089 1750 540,6 ( 564 )

c

M M

M MEI EIEI EI

M kNm kNm kNm

μ

μ

μ

μ

→ Δ =

Δ = ± ⋅

Δ ⋅ ⋅= = =

⋅ ⋅

= −

Δ = − ⋅ = − −

2 ( , )GM EI G x m′′= − ⋅ 2 ( , )G

ccM EI G x m′′= − ⋅


II.14 BEISPIEL: KRAGARM

Änderungen von Steifigkeiten auf Tragwerke ziehen meist auch Verformungsänderungen nach sich. Im Folgenden wird dargestellt, wie sich Steifigkeitsänderungen auf statisch bestimmten Systemen auswirken. Wie bereits am Beispiel II.2.3.1 gezeigt, erhöht sich die Federenergie bei Systemschwächungen die Verformungen nehmen zu. Bei einer Verstärkung hingegen nehmen die Verformungen ab.

Aber wie verhalten sich die Verformungsänderungen zueinander?

Gegeben sei ein Grundsystem, das wir um ∆EI stärken bzw. schwächen.

3

1 1 3

2 2 3

3 3

0 1 0 2 0 3 0

3;

3( 1 )1 2 ;

3( 2 )2 3

3 4

1 1 1, , , 2 2 3 4

EIF k u kl

EI EIEI EI k kl

EI EIEI EI k kl

EI EI k k

F Fu u u u u u uk k

= ⋅ =

+Δ = → = =

+Δ = → = =

Δ = → =

= = = = =

u0

F l, EI


Abbildung II.13.2.a: Kragarmverformungen infolge Steifigkeitsänderungen

Betrachten wir die obige Abbildung einmal von links nach rechts und einmal von rechts nach links, so lässt sich Folgendes feststellen:

Bei stetiger Zunahme der Steifigkeit ∆k, nehmen betragsmäßig die Verschie-bungsänderungen hyperbolisch ab.

10 21 32u u uΔ > Δ > Δ

Beispiel: Bei Betrachtung des Systems mit der Steifigkeit k (=3k) beträgt die maximale Auslenkung u2 = 1/3 u0.

Variiert die Steifigkeit k um ± ∆k, ergeben sich zwei unterschiedliche Deltas, die sowohl im Vorzeichen als auch im Wert verschieden sind.

0

0,25

0,5

0,75

1

1,25

1 2 3 4

u(k)

u3 u2

u1

u0

3 2 3 2u u u⎫− = Δ⎬

⎭

2 1 21u u u⎫− = Δ⎬

⎭

1 0 10 u u u

⎫⎪⎪⎪ − =Δ⎬⎪⎪⎪⎭

1 2 3 4 k


1 2

0 0

3 2

0 0

für 1 (Systemschwächung) mit ,

1 1 1( )2 3 6

für 1 (Verstärkung) mit ,

1 1 1( )4 3 12

c

weak c c

weak

strong c c

strong

waek strong

k k kk k

u u u u u u u

u u u

k ku u u u u u u

u u u

u u

+ Δ =Δ = −→ Δ = − = =

Δ = − =

Δ = +→ Δ = − = =

Δ = − = −

→ Δ ≥ Δ

Wird die Näherungsformel aus dem Buch (Hartmann, Structural Analysis with Finite Elements, 2007) verwendet, folgt für die Differenzverschiebungen:

Verstärkung des Systems von 3EI auf 4EI:

00

02

0 2

0 2 2 0

( , ) ;

(Absenkung an der Kragarmspitze)

( , )

mit 3EI; 4EI 1EI1 1( , ) mit 3 3

c

c

M Gd u G EI dx EI EI EIEI EI

M G M Mu dx dxEI EI

EId u G uEI

EI EI EI

d u G u u u

d

′′⋅− = −Δ = + Δ

⋅′′⋅ ⋅

= =

Δ→ − = −

= = →Δ =

− = − =

−

∫

∫ ∫

0 01( , )9

u G u= −

Bei Schwächung des Systems von 3EI auf 2EI:

0 2 2 2 0

0 0

2EI-3EI -1EI( 1EI) 1 1( , ) mit (3EI) 3 3

1( , )9

EI

d u G u u u u

d u G u

Δ = =−

− = − = =

− =

Berechnung der relativen Abweichungen:

0 0

-Bezeichnet a einen Näherungswert für z, so heißt der wahre relative Fehler von a.

- für a ( , ), ( , ), folgtc

a z fz

a zf d u G z d u Gz

= = − = −


0 2

0 2

2 2

2

;

( , )

( , )( ) 1

/ 1 1 1 1 1

4EI 3EI (bei Verstärkung)1EI3

cc

cc

c c

c c c

c

c

EI EI EIEI EI EI EI

d u G u

d u G uu uf

u

EIEI EI EI EI EIfEI EI EI EI EI

f

EI

f

α α

α

αα α α α α

α α α

α

α

Δ Δ Δ= = =

+ Δ− = − ⋅

− = − ⋅− ⋅ − − ⋅ −

→ = = = −− ⋅

⎛ ⎞Δ Δ + Δ Δ⎛ ⎞= − = − = − = + − =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

Δ = −

=

0 0

0

3

3

33% EI

2EI 3EI (bei Schwächung)-1EI 33%3EI

( , ) ( ( , ))( , )

( 1/ 9) ( 1/12) 33%( 1/12)

(1/ 9) (1/ 6) 33%(1/ 6)

c

c

EI

f

Kontrollrechnungd u G d u Gf

d u G

f

f

+

−

Δ = −

= −

− − −=

−− − −

= =−−

= = −

Die relative Abweichung für die Näherung liegt in beiden Fällen betragsmäßig bei 33%.

Zweites Rechenbeispiel: Ändert sich die Steifigkeit um -10%, so folgt für den relativen Fehler f = α = ∆k/k = -0,1EI/EI = -10%.


II.15 SENSITIVITÄTSANALYSE AN EINEM ZWEIFELDTRÄGER

Gegeben sei ein 2-Feldträger mit der Länge L. Die mittlere Stützung wird durch eine Fe-der ersetzt, die in ihrer Steifigkeit k variiert.

Gesucht wird die Schnittgrößen an der Stelle m in Abhängigkeit von k.

k

EIEI m

L Länge LLänge

q(x)

Abbildung II.13.2.a: Einfaches statisches System

Ändern sich die Federsteifigkeiten k auf ihre maximalen und minimalen Werte, so entste-hen zwei unterschiedliche statische Systeme.

System 1: Einfeldträger (Versagen der Feder)

Falls k gegen Null geht, entsteht ein stat. best. System mit der max. Schnittgröße Mmax = q(2L)²/8 im Punkt m.

System 2: Zwei - Feldträger (Starres Lager)

Falls k gegen unendlich strebt, folgt eine min. Stabschnittkraft von Mmin= -0,125 qL².

Generieren wir nun die Einflussfunktionen G(k,x;m)1,2 für die Schnittkraft M(x=m) der beiden Systeme 1 und 2. Es entstehen zwei unterschiedliche Einflussfunktionen G(k=0,x;m)1 und G(k=∞,x;m)2. Beide EL grenzen die restlichen Einflusslinien G(k,x;m), die sich infolge einer Steifigkeitsänderung der Feder verändern würden, nach oben und unten, ein. Die Schnittgröße M(m) erhält man durch Auswertung des Produktintegrals (q,G).

∫==

dxmxkGxqmM

GqmM

);,()()(

),()(


Abbildung II.13.2.b: Einflussfunktionen eines einfachen Systems

Bei Betrachtung der obigen Abbildung fällt auf, dass die Krümmungen (2. Ableitung der Biegelinien G(k,x;m)) kontinuierlich von starrer Lagerung bis hin zum mittleren Lager-ausfall abnimmt. Dies bedeutet, dass die Einflusslinien mit fallender Steifigkeit des mitt-leren Lagers weniger innere Energie in sich tragen. In statisch bestimmten Systemen bestehen die Einflussfunktionen nur aus stückweise geraden Stabzügen. Die inneren Energien sind außerhalb des Knicks gleich NULL. Im Knick selbst beträgt die innere Energie "1"FließM ⋅ (Fließgelenk).

Die Berechnung des Einflusses der Feder kann mittels Betti geschehen. Diese Berech-nung würde eine Integration über das gesamte Tragwerk nach sich ziehen. Mittels der Greenschen Gleichungen ist es möglich nur über das Teilstück zu integrieren, das ge-schwächt oder verstärkt wurde.

Verändert sich die Steifigkeit eines belasteten Systems, so ändert sich auch ihre Ver-formung, Biegelinie w Biegelinie wc.

Es ist zusätzliche Arbeit (Arbeit = Einwirkung x Verformung) verrichtet worden, die im System als innere Energie gespeichert und nach außen als zusätzliche Verformung sichtbar wird. Die Differenz, auch Wechselwirkungsenergie (engl. strain energie product) genannt, kann über den Ausdruck –d(w, wc) gewonnen werden.

Die Bestimmung der Verformungsarbeit kann nach Betti oder aber auch mittels der voll-ständigen Arbeitsgleichung, die die Wirkung von Querkräften, Torsion, Normalkraft, Federn, Lagerverschiebung sowie von Temperaturunterschieden berücksichtigt, erfolgen.

c c

c c c

Verformungsarbeit des ursprünglichen Systema(w,w): a(w,w) ( , ) (Ai Aa)a(w ,w ): Verformungsarbeit des modifizierten System a(w ,w ) ( , w )

p w

p

== =

=

=

m

m :

:

1),( mxG

2),( mxG

:

2

2

min ( )

( , ; ) ( )

0,125

Fläche M m

G x m q x dx

qL

=

= ∞ ⋅

= −

∫

1

2

min ( )

(0, ; ) ( )

0,5

Fläche M m

G x m q x dx

qL

=

= ⋅

= +

∫

Einflussfunktionen ( , ; )G k x m

2( , ; )G x m∞

1(0, ; )G x m


( , ) ( , ) ( , ) - ( , ) ( , ) ( , )( , ) ( , ) ( , ) -( , ) ( , ) ( , )

c c c

c c c

c

c

a w w a w w d w wd w w a w w a w w

p w p w p wp w p w p w

= += −

= + ΔΔ = −

Die Berechnung der Differenzenergie d(w,wc) kann durch einfache Modifikation der voll-ständigen Arbeitsgleichung geschehen. Anstelle der Zweiten zu multiplizierenden Schnittkraft tritt die veränderte Schnittgröße ein, dividiert diese durch die im veränderten System verbleibende Steifigkeit und multipliziert den Term mit der Steifigkeitsdifferenz. Differenz-Wechselwirkungsenergie:

( , ) (Biegemomente)

(Querkraft)

(Torsion)

(Normalkraft)

( ) (gle

jii j

i j

ji

i j

jTiTT

iT jT

ji

i j

j j i i T

MMd w w EI dxEI EI

VVGA dxGA GA

MMGI dxGI GI

NNEA dxEA EA

T N T N dx

κ

α

= Δ

+ Δ

+ Δ

+ Δ

+ −

∫

∫

∫

∫

∫ ichmäßige Temperatur)

( ) (ungleichmäßige Temperatur)

(Normal- Biegemomentenfedern)

(eingeprägte zusätzliche Lagerverschie

j j i iT

i j i j

N M

il jl

T N T Ndx

hN N N NC C

C c

αΔ −Δ

+

+ +

−

∫

∑ ∑

∑ gungen)

Erläuterungen zu den verwendeten Symbolen:, Spannungszustände , - (Temperaturdifferenz)

Elastizitätsmodul Balkenhöheu oi j i j T T T

E hG

= Δ =

= =

T Schubmodul = Temperaturdehnungskoeff.

Trägheitsmoment = Lagerverschiebung in [m]

Trägheitsmoment T jlI c

I

α=

=

= = Lagerkraft in Richtung

QuerschnittsflächeSchubfächenbeiwertGleichm. Erwärmung in [K]

il jlC c

A

Tκ===


Analytische Betrachtung des Zweifeldträgers: (nach Kraftgrößenverfahren)

0

20

1

( ) ( 2 )2

( )2

( ) 0,5

qM x x x L

qM m L

M m L

= − −

=

= −

2

( ) .

( ) ( ) ( )

( )

( )2

0, 0mit den Randbedingungen

(0) (2 ) 0

0

q q x const

M x V x dx q x dxdx

V x qx AxM x q Ax C

M V

M M LA B qLC

= =

= = −

= − +

= − + +

= =

= =→ = =→ =

∫ ∫ ∫

∑ ∑

11 1 10

101

11

10 0 1 a i

10 0 12

0 110

2

102

:0 (Bedingungsgleichung)

( , ) ( , ) (A A )

"1"

"1" (Arbeitsgleichung)

5 12

L

L

L

VerformungsbedingungX

X

P a w w

EIw w dx

M M dxEI

MParabel Dreieck dxEI

δ δδδ

δ

δ

δ

δ

+ =

= −

= =

′′ ′′⋅ =

⋅ =

⋅= =

∫

∫

∫ 0 1

2 4

10

mit 2

5 0,5 ( 0,5 ) 5(2 )12 24

i ki k

M l M M , M M , l LEI

qL L qLLEI EI

δ

⋅ = = =

⋅ − −= ⋅ =

1 111 1 1

2 2

1

3

11

"1" "1" 1 mit 3

1 mit 2 , 1/31 0,5 ( 0,5 ) (2 ) 1/31 1/6

i kL L

i k i k

M M Dreieck Dreieckdx B F B dx M M lEI k EI

M M l F M M M , l L F k

L L L kEI

L kEI

δ δ δ δ

δ δ

δ

⋅ ⋅= + = + = = ⋅

= ⋅ + = = = =

− ⋅ −= ⋅ +

= +

∫ ∫


0 2 4 6 8 10 12 14 16 18-0,2

-0,1

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

M(k,m) o.Grenze (k=0)

u.Grenze (k=inf)

k [MN/m]

M(k

,m) [

MN

m]

10 1 10 10 1 1 0 0

1 1

210 100

1

10 1 10 10 0

1 14

101 3

1

M MM( , ) M X M M M1/

Mlim ( , ) M (Oberer Grenzwert)1/ 2M Mlim ( , ) M M1/

5524M ( 0,5 )

1 486

k

k

k mB F B k

qM k m LB k

M k mB k B

qLqEI L

LBEI

δ δδ δ δ

δδδ δ

δ δ

δδ

→

→∞

− ⋅ − ⋅= + ⋅ = + = +

+ +− ⋅

= + =+

− ⋅ − ⋅= + = +

+

−− −

= − − =5

23

2 2 2

6 58

5 1lim M(k,m) (Unterer Grenzwert)2 8 8k

L EI qLEI L

q L qL qL→∞

= −

= − = −

Grenzwertbetrachtung:

Bei einer Federsteifigkeit k = 0 (keine Feder vorhanden, Totalausfall) beträgt das Mo-ment M gleich dem M0, die den oberen Grenzwert darstellt. Nimmt k stetig zu, so nähert sich die Kurve M(k;m) ihrer horizontalen Asymptote. Der untere Grenzwert für die Funk-tion M(k;m) beträgt -0,125ql².

Nummerisches Beispiel:

Gegeben sei die Länge L = 1 m, q = 1 MN/m, EI = 1 MNm², k > 0

M0 = ql²/2 [MNm]

M1 = -0,5L [MNm]

δ10=-5/24 ql4/ EI [m]

δB1=1/6 L3/ EI [m]

0,5 -0,5 -0,21 0,17

[MNm]0 0,5002 0,3444 0,2506 0,1888 0,143

10 0,10912 0,08314 0,06316 0,045

10000 -0,125

k M(k,m)[MN/m]

10 10

1

MM( , ) M1/

k mB kδ

δ− ⋅

= ++

Abbildung II.13.2.c: Schnittkraftverlauf M an der Stelle x = m = L, abhängig von der Steifigkeit k in den Grenzen von Null bis unendlich.


Es ist Festzustellen, dass sowohl die Schnittgröße und somit auch die Verformungen in diesem statisch unbestimmten System einen Grenzwert erreichen, bei Variation eines unbelasteten Federelementes. Je stärker die Verstärkung der Feder ist, desto geringer wird die Abnahme des Momentes.

II.16 UNTERSUCHUNG AN EINEM 3-FELDTRÄGER

Gegeben sei ein 3-Feldträger mit der Länge L.

Gesucht ist die Schnittgrößen M an der Stelle m in Abhängigkeit von EI2.

Abbildung II.13.2.a: Dreifeldträger

Anwendung des Kraftgrößenverfahrens:

Grad der statischen Unbestimmtheit n feststellen und freischneiden, hier n = 2. Schnittkraftverlauf M0, M1, M2, ermitteln (Abschnittsweise) Wechselwirkungsenergien δ10, δ20, δ11, δ22, δ12 ermitteln

2 31 0 1 0 1 0

10 1 01 2 30 2

20 2 0 11 1 1 22 2 2 12 1 2

( , )

( , ), ( , ), ( , ), ( , )

L L L

L L

M M M M M Ma w w dx dx dxEI EI EI

a w w a w w a w w a w w

δ

δ δ δ δ

= = + +

= = = =

∫ ∫ ∫

Elastizitätsgleichungen aufstellen

1011 12 1

2012 22 2

00

xx

δδ δδδ δ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞

+ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Gleichungssystem lösen: z.B. mit der „Cramerschen Regel“

1011 12 1

2012 22 2

10 1012 1210 22 20 12 10 22 20 121 22 2

20 2022 2211 22 12 11 22 12

, ,

1 1 , det det

Ax bx

A x bx

x xA A

δδ δδδ δ

δ δδ δδ δ δ δ δ δ δ δδ δδ δδ δ δ δ δ δ

=

−⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = = ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ −⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− −− + − += = = =

− −− −

0 1 1 2 2( , ) (Ansatzfunktion)M k m M x M x M= + ⋅ + ⋅

q(x)

A D

m

L Länge LLängeLLänge

k2k1

EI1 EI2 EI3


Numerische Auswertung des 3-Feld-Trägers

Abbildung II.13.2.b: Numerische Auswertung eines 3-Feld-Trägers

Feststellungen:

Die Gestalt der Kurve ist stark abhängig von den Systemgrößen (Federsteifigkei-ten, Längen, Biegesteifigkeiten).

Der Momentenverlauf M(EI2) beginnt mit dem oberen Grenzwert M(EI2=0) = -10.1, fällt bis zu seinem Scheitelspunkt (Minimum M(EI=10) = -12.1) ab und nähert sich anschließend ihrer Asymptote M(∞,m) = -10.4.


Die Kurve M(EI2) durchbricht die Asymptote. Die alleinige Betrachtung der Grenzwerte EI2 = 0 und EI = ∞ ist nicht ausrei-

chend die Kurve M(EI2) zu beschreiben. Der relative Fehler würde dann ((12,1-10)-((10,5-10)/(0,5) = 320%, bezogen auf den Differenzschätzwert von 0.5, betragen.

Die Gestalt der Funktion M(EI2) ähnelt einer abklingenden Exponentialfunktion.

2e ( )t

mx A Btμ

−= +

II.17 BETRACHTUNG DER NÄHERUNG N1 UND N2

Abbildung II.13.2.a: Abklingende Exponentialfunktion

Schwarze Tangente = Näherung J(N1) = J(0)-d(w,G); ( , )d w G EI w G dx′′ ′′− = − Δ ⋅∫

Grüne Kurve = Näherung J(N2) = J(0)-d(w,G); ( , ) ( , )/ 2

EId w G d w GEI EI

− = −+ Δ

Blaue Kurve = richtiger Momentenverlauf

S = Scheitelpunkt; W = Wendepunkt (Linkskurve geht über in Rechtkurve)

s

w

BEREICH I

BEREICH II

BEREICH III

0 EI2

J(EI2)


Voraussetzungen:

• Die wahre Gestalt der Funktion M(EI2) sei eine abklingende Exponentialfunktion. • Die Näherung N1 sei eine Tangente der Kurve M(EI2).

Die blaue Kurve M(EI2) wird in drei Bereiche unterteilt.

• Bereich I verläuft in den Grenzen (0 < EI < EIScheitelpkt); linksgekrümmter Graph • Bereich II verläuft in den Grenzen (EIScheitelpkt < EI < EIWendepkt); linksgekrümmter

Graph • Bereich III verläuft in den Grenzen (EIWendepkt < EI < ∞); rechtsgekrümmter Graph

In der Abbildung II.13.2.a sind die Näherungen N1 und N2 für jeden Bereich qualitativ eingetragen. Zu beobachten ist, dass sich die Prognosen aus den beiden Näherungen in ihrer Genauigkeit abwechseln. Die Näherung N2 liegt in den Bereichen I und III näher als die Näherung N1. Für den Bereich II bietet die Näherung N1 bessere Näherungen an. Um nun eine gute Näherung zu erhalten, wäre es von Vorteil zu wissen, im welchen Bereich man sich befände. Da aber im Allgemeinen der Bereich der statischen Größe J(0) unbe-kannt ist, bleibt die sinnigste Näherung N1 = -d(w,G).


Leere Seite

III Sensitivitätsanalyse 53

KAPITEL III

SENSITIVITÄTSANALYSE

INHALT

III Sensitivitätsanalyse ............................................................................................ 54 III.1 Szenarien ............................................................................................................. 54

III.1.1 Linker Pfahl ................................................................................................... 56 III.1.2 Am rechten Pfahl ........................................................................................... 58 III.1.3 Linker & Rechter Pfahl .................................................................................. 58 III.1.4 Grenzbetrachtung Pfahlbettung ..................................................................... 58 III.1.5 Riegel ............................................................................................................. 58

III.2 Realisierung ......................................................................................................... 59

III.3 Das Modell .......................................................................................................... 60 III.3.1 Statisches System: Dreifeldrige Autobahnbrücke ......................................... 62 III.3.2 Der Überbau .................................................................................................. 63 III.3.3 Draufsicht ...................................................................................................... 63 III.3.4 Pfahlgründung ............................................................................................... 64 III.3.5 Perspektivische Ansicht des 2-D Modells ..................................................... 67

III.4 Lastenzusammenstellung ..................................................................................... 68

III.5 Wesentliche Schnittgrößen ermitteln (maximale / minimale) ............................. 69

III.6 Maßgebende Punkte eintragen............................................................................. 71

III.7 Kurze Prüfung der erzeugten Einflusslinien ........................................................ 75

III.8 Maßgebende Lastfälle .......................................................................................... 76

III.9 Statische Größen aus maßgebenden Lastfällen ................................................... 79

III.10 Anwendung der Näherungsformel d(w,G) .......................................................... 83 III.10.1 Anwendung der Näherungsformel d(w,G), L&R Pfahl ............................... 83 III.10.2 Anwendung der Näherungsformel d(w,G), Riegel ...................................... 84

54 III Sensitivitätsanalyse

III SENSITIVITÄTSANALYSE

III.1 SZENARIEN

Die Untersuchung beschränkt sich auf die Variationen der Bodenkennwerte. Die Boden-kennwerte werden vom Geotechniker mit oberen-, unteren Grenzwerten und empfohlenen Steifemoduln angegeben. Der hier in dieser Arbeit bestehende Boden besteht aus vier Bodenschichten mit jeweils eigenen Kennwerten für die horizontale und axiale Bettung. Es ergeben sich je Pfahl vier horizontale und vier axiale Bettungen. Das modellierte 2d-Modell besitzt zwei Pfähle und zwei Widerlager, die auf Großbohrpfählen gegründet sind, wodurch sich insgesamt (8 + 8 + 2 =)18 Bettungsfedern generieren lassen. Jede Fe-der wird durch drei Werte charakterisiert, den unteren-, oberen Grenzwert und den emp-fohlenen Mittelwert.

Welchen Einfluss üben die Federn auf die Schnittgrößen aus? Um diese Frage zu beant-worten, müsste eine Vielzahl von Variationen ermittelt und berechnet werden.

Es ergeben sich folgende Variationen:

n

1 Feder 3 Variationen2 Federn 6 Variationen3 Federn 9 Variationen...n Federn 3 Variationen

→→→

→

für 18 Federn ergeben sich 318 = 387.420.489 Variationen

Theoretisch wären mehr als 387 Millionen Möglichkeiten je Lastfall zu berechnen und zu untersuchen. Der Aufwand hierfür wäre zu hoch und steht in keinem Verhältnis zum Nut-zen, so dass weitere Vereinfachungen getroffen werden:

Die Senkfedern am Widerlager bleiben unverändert, keine Variation.

Die axiale Bettung wird als eine Senkfeder unterhalb jeden Pfahls vereinfacht zu

cp = 1800 MN/m, ∆k = ±400 MN/m.

Horizontale Bettungen variieren nur mit ihren Maximalwerten, d.h. es werden keine Va-riationen der Bodenschichten untereinander berechnet.


Abbildung III.1.1.a: Schematische Darstellung der Kombinationsmöglichkeiten


Folgende Szenarien werden untersucht:

III.1.1 LINKER PFAHL

Szenario 1L: (Min. linke horiz. Pfahlbettung)

Ausgehend vom Grundsystem werden die horizontalen Pfahlbettungen vom linken Pfahl an der Stelle x = 29,80 m auf das Minimum gesetzt.

1,min

2,min

3,min

4,min

:45 15 30 / ³180 20 160 / ³220 20 200 / ³450 50 400 / ³

Horizontale BettungenB MN mB MN mB MN mB MN m

= − =

= − =

= − =

= − =

Untersucht wird der Einfluss der minimalen linken horizontalen Pfahlbettungen auf die ausgewählten Schnittgrößen.

Szenario 2L: (Max. linke horiz. Pfahlbettung)

Ausgehend vom Grundsystem werden die horizontalen Pfahlbettungen vom linken Pfahl an der Stelle x = 29,80 m auf das Maximum gesetzt.

1,min

2,min

3,min

4,min

:45 15 60 / ³180 20 200 / ³220 20 240 / ³450 50 500 / ³


= + =

= + =

= + =

= + =

Untersucht wird der Einfluss der minimalen linken horizontalen Pfahlbettungen auf die ausgewählten Schnittgrößen.

Szenario 3L: (Min. linke Pfahlsenkfeder)

Ausgehend vom Grundsystem wird die linke Senkfeder unterhalb des Pfahls an der Stelle x = 29,80 m auf Minimum das gesetzt.

,min : 1800 400 1400 /pVertikale Senkfeder c MN m= − =

Untersucht wird der Einfluss der minimalen linken Pfahlsenkfeder auf die ausgewählten Schnittgrößen.


Szenario 4L: (Max. linke Pfahlsenkfeder)

Ausgehend vom Grundsystem wird die linke Senkfeder unterhalb des Pfahls an der Stelle x = 29,80 m auf das Maximum gesetzt.

,max : 1800 400 2200 /pVertikale Senkfeder c MN m= + =

Untersucht wird der Einfluss der maximalen linken Pfahlsenkfeder auf die ausgewählten Schnittgrößen.

Szenario 5L: Linker Pfahl (=Szenario 1 + Szenario 3)

Ausgehend vom Grundsystem werden die horizontalen Bettungen und die linke Senkfe-der unterhalb des Pfahls an der Stelle x = 29,80 m auf das Minimum gesetzt.

1,min

2,min

3,min

4,min

:45 15 30 / ³180 20 160 / ³220 20 200 / ³450 50 400 / ³


= − =

= − =

= − =

= − =

,min : 1800 400 1400 /pVertikale Senkfeder c MN m= − =

Untersucht wird der Einfluss der minimalen linken Pfahlsenkfeder und der linken hori-zontalen Pfahlbettungen auf die ausgewählten Schnittgrößen.

Szenario 6L: (Max. linker Pfahl)

Ausgehend vom Grundsystem werden die horizontalen Bettungen und die linke Senkfe-der unterhalb des Pfahls an der Stelle x = 29,80 m auf das Maximum gesetzt.

1,min

2,min

3,min

4,min

:45 15 60 / ³180 20 200 / ³220 20 240 / ³450 50 500 / ³


= + =

= + =

= + =

= + =

,max : 1800 400 2200 /pVertikale Senkfeder c MN m= + =

Untersucht wird der Einfluss der maximalen linken Pfahlsenkfeder und der maximalen linken horizontalen Pfahlbettungen auf die ausgewählten Schnittgrößen.


III.1.2 AM RECHTEN PFAHL

Szenarien 1R bis 6R entsprechen den Szenarien 1L bis 6L, mit dem Unterschied, dass anstelle der Steifigkeiten des linken Pfahls, die Steifigkeiten des rechten Pfahls variiert werden.

Szenario 1L Szenario 1R; Szenario 2L Szenario 2R; Szenario 3L Szenario 3R

Szenario 4L Szenario 4R; Szenario 5L Szenario 5R; Szenario 6L Szenario 6R

III.1.3 LINKER & RECHTER PFAHL

Szenario 15 ist eine Kombination aus den Szenarien 5L und 5R. Entspricht dem Szenario, indem alle Steifigkeiten sowohl im linken als auch im rechten Pfahl den kleinsten Wert erhalten. Für das Szenario 16 gilt das Gleiche, nur mit dem Unterschied, dass die Steifig-keiten den größtmöglichen Wert annehmen. Das Szenario 15 stellt das „schwächste“ und Szenario 16 das „stärkste“ System dar.

Szenario 15 Szenario 5L & 5R; Szenario 16 Szenario 6L & 6R

III.1.4 GRENZBETRACHTUNG PFAHLBETTUNG

Szenario 21: Horizontale Bettungen betragen nur 10% des Grundsystems im linken Pfahl.

1,min

2,min

3,min

4,min

:0,1 45 4,5 / ³0,1 180 18 / ³0,1 220 22 / ³0,1 450 45 / ³


= ⋅ =

= ⋅ =

= ⋅ =

= ⋅ =

Szenario 22:

Horizontale Bettungen betragen nur 10% des Grundsystems in beiden Pfählen.

III.1.5 RIEGEL

Szenario 1:

Ausgehend vom Grundsystem wird die Steifigkeit im Riegel von 29,80 m bis 69,80 m um 50% reduziert. Untersucht wird der Einfluss auf die ausgewählten Schnittgrößen.

Szenario 2:

Ausgehend vom Grundsystem wird die Steifigkeit im Riegel von 29,80 m bis 69,80 m um 50% erhöht. Untersucht wird der Einfluss auf die ausgewählten Schnittgrößen.


III.2 REALISIERUNG

Die Gründung der Fahrbachtalbrücke besteht aus Großbohrpfählen. Sie ist die konstrukti-ve und stat. Ausbildung des Übergangs vom Bauwerk zum Boden mit dem Ziel, dass die durch das Bauwerk und dessen Nutzung verursachten Verformungen des Bodens kleiner sind als aus Sicht des Bauwerks zulässig. (http://de.wikipedia.org, 2007)

Die Verformungen des Bodens, wie auch der Gründung, werden maßgeblich durch Bo-denparameter bestimmt. Geotechniker versuchen aus Sondierungen, Probebelastungen und Erfahrungen das Tragverhalten des Bodens zu erfassen. Sie charakterisieren den Bo-den in Schichten mit den dazugehörigen Bodenkennwerten, die in obere und untere cha-rakteristische Werte angegeben werden.

Mit Hilfe der Sensitivitätsanalyse ist es möglich Aussagen zu treffen, inwiefern sich die oberen und unteren charakterisieren Werte auf bestimmte stat. Großen auswirken, ohne eine Neuberechnung anstellen zu müssen. In dieser Arbeit wird gezeigt, welchen Einfluss Änderungen in den Lagersteifigkeiten der Bohrpfähle auf bestimmte stat. Größen haben. Die Lagersteifigkeiten eines Bohrpfahls werden hier nur durch horizontale Bettungen und eine Senkfeder vereinfacht dargestellt.


1. Maßgebende Stellen finden, die eine zentrale Rolle im Tragwerk spielen. i. Statisches System bilden

ii. Lastenzusammenstellung iii. Max. Schnittgrößen ermitteln iv. Maßgebliche Stellen für die Untersuchung Kennzeichnen

2. Die dazugehörigen Einflussfunktionen berechnen. 3. Analysiere den Einfluss der Steifigkeitsänderung auf die relevanten stat. Größen

(M, V, w …) mit Hilfe von Einflussfunktionen. i. Maßgebenden Lastfall generieren, um die größtmögliche Kraft- oder

Weggröße zu erhalten. ii. Statischen Größen berechnen aus maß. Lastfall

iii. Anwendung der Formel: ( ) ( ) ( , )cJ w J w d w G− ≈ −

4. Zusammenstellung der Ergebnisse 5. Beurteilungen der Ergebnisse


III.3 DAS MODELL

Modellierung

Reale Bauwerke müssen für ihre statische Berechnung durch ein Rechenmodell ersetzt werden. Die Idealisierung eines Tragwerks geschieht, indem die Geometrie des Trag-werks und sein Verformungsverhalten vereinfacht modelliert werden.

Der Begriff Rechenmodell umfasst das komplette Ersatzsystem einschließlich der theore-tischen Grundlagen, auf denen die Lösungsverfahren der jeweiligen statischen Aufgabe beruhen. Das geometrische Ersatzsystem wird statisches System genannt. Da den einzel-nen Elementen des statischen Systems ganz bestimmte mechanische Eigenschaften zu-geordnet sind, wird das Rechenmodell durch das statische System repräsentiert (http://www2.fab.fh-wiesbaden.de, 2008).

Allgemeine Annahmen für das statische Rahmensystem 2-d-Rahmensystem. Bestehend aus Längsträger, Stützen und gebetteten Pfählen. Querneigung wird vernachlässigt. Überbau, Pfeiler und Pfähle sind monolithisch (Biegestar) verbunden. Die Fahrbachtalbrücke besteht aus zwei separaten Brücken, für jede Fahrtrichtung

eine, die nahezu doppelsymmetrisch sind. Folglich wird nur ¼ der Fahrbachtal-brücke untersucht.

Jeder Pfeiler wird durch zwei Pfähle gestützt. Im 2d-System werden die zwei Pfähle zu einem Pfahl mit doppelter Steifigkeit zusammengefasst.

Pfähle werden als gebettete Biegestäbe dargestellt. Der Bettungsverlauf ergibt sich aus dem Bodenprofil. In vertikaler Richtung werden Senkfedern berücksichtigt. Im Grundsystem werden die mittleren Bettungswerte und Senkfederkenngrößen

angesetzt. In Querrichtung ist das System unverschieblich. Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung.

Der Überbau

Die Bauhöhe ist in Längsrichtung veränderlich 2,80 m an den Innenstützen bzw. 1,60 m an den Endauflagern, in der Feldmitte und in der Querrichtung konstant. Für die Berech-nung der statischen Größen wird der Überbau, als ein in Höhe und Breite variabler Plat-tenbalken dargestellt.

Die Vorspannung wird außer acht gelassen. Die Endauflagerung ist horizontal verschieb-lich (Elastomerlager) und vertikal durch eine steife Feder gestützt.


Widerlager

Die Widerlager werden hier nicht näher betrachtet.

Pfeiler

Die Pfeiler werden als Kreisquerschnitte dargestellt. Der Durchmesser vergrößert sich von 1,60 m an den Fußpunkten bis auf 2,00 m an den Überbau. Die statische Pfeilerlänge beträgt 13,8 m.

Baustoffkennwerte

für Überbau und Pfeiler: Beton C40/50, Stahl BSt 500 S für Pfähle: Beton C30/37, Stahl BSt 500 S

EDV-Programme:

Win XP, MS Office, Open Office, CutePDF-Writer, SofiplusX

Zur Berechnung wird das Programm SOFISTIK verwendet.


III.3.1 STATISCHES SYSTEM: DREIFELDRIGE AUTOBAHNBRÜCKE

Abbildung III.3.1.a:Statisches Grundsystem

1, 2, 3: Überbau: Beton C40/50, Stahl BSt 500S

4: Pfeiler: Beton C40/50, Stahl BSt 500S

5: Pfähle: Beton C30/37, Stahl BSt 500S, horizontal gebettet

cw: Steife Senkfeder mit 10.000 MN/m

cp: Senkfeder mit 1.800 MN/m mit ∆k = ±400 MN/m

Vertikaler Lastabtrag

Der vertikale Lastabtrag wird über Längsträger 1, 2 und 3 eingeleitet. Die drei Längsträ-ger bilden den Überbau. Jeder Längsträger variiert in seiner Höhe und Breite. Sie leiten die Vertikallasten in die Widerlager und Pfeiler (4) ein. Die Last wandert weiter zu den stützenden Bohrpfählen, die dann hauptsächlich über die Mantelreibung der Bohrpfähle ins Erdreich gelangt.

Horizontaler Lastabtrag

Die Horizontallasten aus Bremsen und Anfahren werden ebenfalls über Längsträger ein-geleitet. Die Randträger des Überbaus (1) und (3) lagern elastomer auf den Widerlagern, wodurch die Widerlager keine (geringe) Horizontallasten aufnehmen. Die Hauptlast muss über das innere Rahmensystem, bestehend aus Längsträgern, Pfeilern und Bohrpfählen, abgetragen werden. Die Längsträger, Pfeiler und Bohrpfähle sind miteinander monoli-thisch verbunden. Infolge des Rahmensystems wird die Horizontallast in die Pfähle einge-leitet. Die Pfähle leiten, entsprechend den zugrundeliegenden Bodenschichten (Bettun-gen), die Last ins Erdreich ein.

cw cw

cp cp

GOK


III.3.2 DER ÜBERBAU

Variabler Plattenbalken: Die variablen Plattenbalken bestehen aus vier Grundquer-schnitten, die linear über die Längsachse interpoliert werden. Es werden Grundquer-schnitte über Widerlager, Randfeldmitte, Stütze und Feldmitte gebildet. Siehe Anlage D: Mitwirkende Plattenbreite.

Q = (Breite/Höhe/Stegbreite/Plattendicke) Q1 = Plattenbalken-Querschnitt über Widerlager (375/160/194/42) Q2 = Plattenbalken-Querschnitt in Feldmitte 1 und 3 (844/160/188/42) Q3 = Plattenbalken-Querschnitt über Pfeiler (420/280/182/42) Q4 = Plattenbalken-Querschnitt im Feld 2 (Mitte): (900/160/194/42)

III.3.3 DRAUFSICHT

Feld 1 Feld 2 Feld 3

Q1 Q2 Q3 Q4 Q3 Q2 Q1

Abbildung III.3.3.a: Draufsicht Plattenbalken

64

III.3.4

Die Pfäuntertei

Ermittlu

Abbildun

Aus obi

Sch

Sch

Sch

Sch

PFAHLGRÜ

ähle haben eilt.

ung der mit

ng III.3.4.a: Ab

iger Abbild

icht 1/2→

icht 3 → S

icht 4 → S

icht 6 → S

ÜNDUNG

einen Durch

ttleren Bode

bgeleitete Bet

dung folgt:

Schicht 1

Schicht 2

Schicht 3

Schicht 4

hmesser von

enkenngröß

ttungsmoduln(

1,mittelB =

2,mittelB =

3,mittelB =

4,mittelB =

n 1,20 m. P

en für H/D

(Raithel)

30 /MN m=

90 /MN m=

110 /MN m=

225 /MN m=

Pfahllänge w

< 0,25 MN

³ k± Δ =

³ m k± Δ =

³ m k± Δ =

³ m k± Δ =

III S

wird in meh

/m:

10 / ³MN m=

10 / ³MN m=

10 / ³MN m=

25 /MN m=

Sensitivitätsan

hrere Absch

³

³

³

³

alyse

hnitte


Schicht 1

Laut dem siebten Symposium Brückenbau Abbildung III.3.4.a kann die Querbettung li-near angenommen werden. Im Mittel von 0 auf 30 MN/m³ ansteigend. Die Modellierung der Schicht 1 erfolgt durch zwei konstante Bettungsmoduln, um die Resultiere nicht in ihrer Lage zu verändern.

Für die Eingabe ins Programm müssen die Werte noch angepasst werden.

Die Pfähle haben einen Durchmesser von 1,20 m. Die Pfahllänge wird in mehrere Ab-schnitte unterteilt.

Pfahlkopf Schicht 1; h = 4m

2/3h

hhR 152/30 ==

1/3h

30 MN/m³

0 MN/m³

1/3h 12153

R h h B= = ⋅

1/3h

Abbildung III.3.4.b: Betrachtete Pfahlanordnung im Pfeilerbereich (Ellipse). Pfahl 1 und 2 werden zu einem Ersatzpfahl zusammengefasst. (Raithel)

3 30 22,504 ³R

MNBm

= ⋅ =


Ermittlung der rechnerischen Bettungsmodule quer zur Pfahlachse.

1

2

3

4

2 22,5 =45 / ³ 15 / ³2 90,0 180 / ³ 20 / ³2 110,0 220 / ³ 20 / ³2 225,0 450 / ³ 50 / ³

B Pfähle MN m MN mB Pfähle MN m MN mB Pfähle MN m MN mB Pfähle MN m MN m

= ⋅ ±= ⋅ = ±= ⋅ = ±= ⋅ = ±

Abbildung III.3.4.c: Pfahlgründung

GOK

Schicht 1_0

Schicht 1_1

Schicht 2

Schicht 3

Schicht 4

Mittlere Kenngrößen für 2d-Modell:

Schicht 1_0: d = 1,33m;

keine horizontale Bettung

Schicht 1_1: d = 2,67m; B1= 45 MN/m³

Schicht 2: d = 5,00m; B2 = 180 MN/m³

Schicht 3: d = 12,50m; B3 = 220 MN/m³

Schicht 4: d = 2,00m; B4 = 450 MN/m³

Ersatzpfahl:

Beton C30/37, Stahl BSt 500S

horizontal gebettet, Länge = 23,30 m

E-Modul = 2·(C30/37) = 56.618,8 MN/m²

Durchmesser D = 1,20 m


III.3.5 PERSPEKTIVISCHE ANSICHT DES 2-D MODELLS

Abbildung III.3.5.a: Perspektivische Ansicht des 2-D Modells


III.4 LASTENZUSAMMENSTELLUNG

Bestimmung der charakteristischen Lasten

i. Eigengewicht ii. Verkehrslasten

iii. Bremsen iv. Lasteinwirkungen

i. Eigengewicht_k

Ausbaulast 5kN/m² x 100m x 9,30m = 4650 kN

Fahrbahn 9,30m x 100m x 0,42m x 25kN/m³ = 9765 kN

Längsträger 1,84m x 2,20m x 100m x 25kN/m³ = 10120 kN

24535 kN

gk = 246 kN/m

je Pfeiler PI() x 1,80^2 / 4 x 13,80m x 25kN/m³ = 878 kN

Lastangriffspunkt Pfeilermitte

ii. Verkehrslasten vereinfachend zu 5 kN/m² entspräche 12 SLW40

= 12 SLW x 40 to = 480 to

= 4800 kN entspricht 50 kN/m (vertikal)

iii. Bremsen

Horizontallast = 557/2 kN nach (KG, 2006)

< höchstens 900 kN

> mindestens 1/3 der Lasten der Regelfahrzeuge in der Haupt- und Nebenspur

Lastangriffspunkt in Überbaumitte

iv. Lasteinwirkunken

(vertikal) p = 246 + 50 = 296 kN/m

(vertikal) F = 878 kN

(horizontal) Fh = 557/2 ≈ 280 kN


III.5 WESENTLICHE SCHNITTGRÖßEN ERMITTELN

(MAXIMALE / MINIMALE)

Abbildung III.3.5.a: Eingabelasten

Abbildung III.3.5.b: Biegemomente My [kNm]

p = 296 kN/m

Fh= 280 kN

Fv= 878 kN Fv= 878 kN


Abbildung III.3.5.c: Querkraft Vz [kN]

Abbildung III.3.5.d: Normalkraft N [kN]


III.6 MAßGEBENDE PUNKTE EINTRAGEN

Abbildung III.3.5.a: Maßgebende Punkte eintragen

Folgende Einflussfunktionen werden für das Tragsystem generiert:

die Querkraft an der Stelle m1 aus Abbildung III.3.5.c: Querkraft Vz [kN] → Querkraft-Einflusslinie G3(x, m1).

das Moment an der Stelle m2 aus Abbildung III.3.5.b: Biegemomente My [kNm] →Momenten-Einflusslinie G2(x, m2).

die Momente an den Stellen m3,5,7, aus Abbildung III.3.5.b: Biegemomente My [kNm]

→ Momenten-Einflusslinie G2(x, m3,5,7), die Querkräfte aus Abbildung III.3.5.c: Querkraft Vz [kN]

→ Querkraft-Einflusslinie G3(x, m4,6,8). das Moment an der Stelle m6 aus Abbildung III.3.5.b: Biegemomente My [kNm]

→ Momenten-Einflusslinie G2(x, m9). Normalkrafteinflusslinien werden hier nicht betrachtet.

m1 m2 m3,4 m5,6 m9

m7,8


Tabelle III.a: Maßgebende Punkte mit den dazugehörigen Einflussfunktionen

ELi Punkt Einflussfunktionen Lage (x), (y) Bemerkung

1 m1 G3(x, m1) ≈ 1,60 m Querkraft-Einflusslinie

Rechts vom Widerlager

2 m2 G2(x, m2) ≈ 14,90 m Momenten-Einflusslinie

Mitte Feld 1


Links vom Pfeiler


Links vom Pfeiler


Rechts vom Pfeiler


Rechts vom Pfeiler

7 m7 G2(x, m7) x(29,80), y(-2,80) Momenten-Einflusslinie

Oberhalb Pfeiler

8 m8 G3(x, m8) x(29,80), y(-2,80) Querkraft-Einflusslinie

Oberhalb Pfeiler


Mitte Feld 2

III S

Abbil

Sensitivitätsana

ldung III.3.5.b

alyse

b: Einflussfigu

uren EL1 bis EEL9, blau = ZZugspg., rot = Druckspannuungen

73


Abbildung III.3.5.c: Knotenverschiebungen in globaler y-Achse; EL 1 bis EL 9

EL 1

EL 2

EL 3

EL 4

EL 5

EL 6

EL 7

EL 8

EL 9

x

y


III.7 KURZE PRÜFUNG DER ERZEUGTEN EINFLUSSLINIEN

Mit Hilfe von zwei Lastfällen 3 und 4 werden die Einflusslinien EL 1 bis 9 überprüft. Lastfall 3 und 4 bestehen jeweils aus einer Einzellast F = 1 MN. Lastfall 3 greift lotrecht im Punkt (x = 49,80 m; y = 0,00 m) und Lastfall 4 im Punkt (x = 84,70 m; y = 0,00 m) an. Die Ergebnisse sind in den unten stehenden Tabellen zusammengefasst. Die Prüfung zeigt, dass die Einflusslinien EL 1 bis EL 9 sehr gut vom Programm Sofistik generiert werden. Natürlich ist dies keine richtige Prüfung der Einflussfunktion, dazu bedarf es der wahren EL, die nicht ohne Weiteres berechenbar ist.

Tabelle III.b: Vergleich LF 3 mit EL 1-9

Koord. in Feld 2 -mitte LF 3

x; y EL Verformung in y Schnittgröße Abweichung

[m]; [m] [mm] [%]

1,6 1 V -100,6 -100,6 0,00

14,9 2 M -1498,4 -1498 0,00

28,8 3 M -2896,3 -2896 0,00

28,8 4 V -100,6 -100,6 0,00

30,8 5 M -3938 -3938 0,00

30,8 6 V 500 500 0,00

29,8; 2,8 7 M -1172 -1172 0,00

29,8; 2,8 8 V -96,2 -96,2 0,00

49,8 9 M 5562 5562 0,00

Tabelle III.c: Vergleich LF 4 mit EL 4-9

Koord. in Feld 2 -mitte LF 4

x; y EL Verformung in y Schnittgröße Abweichung

[m]; [m] [mm] [%]

1,6 1 V 21,9 21,9 0,00

14,9 2 M 325,9 325,9 0,00

28,8 3 M 629,9 630 0,00

28,8 4 V 21,9 21,9 0,00

30,8 5 M 1346 1346 0,00

30,8 6 V -125,8 -125,8 0,00

29,8; 2,8 7 M 649,5 649,6 0,00

29,8; 2,8 8 V 61 61 0,00

49,8 9 M -1043 -1043 0,00


III.8 MAßGEBENDE LASTFÄLLE

Ermittlung des maßgebenden Lastfalls für die Schnittkraft an der Stelle m1 (x = 1,60 m):

(Prinzipiell müssen die minimalen und maximalen Schnittgrößen ermittelt werden. Hier wird nur die betragsmäßige max. Schnittkraft betrachtet.)

Den maßgebenden Lastfall für die Querkraft erhält man durch Überlagerung der Auflast p(x) mit den positiven Werten (blau) der Einflussfunktion. Siehe auch theoretische Grundlagen: Einflussfunktionen. Analog dazu werden zwei weitere Lastfälle LF 13 und LF 19 gebildet.

Maßg. Lastfälle:

Lastfall LF 11 gilt für die Einflussfunktionen EL (1, 2, 7, 8) Lastfall LF 13 gilt für die Einflussfunktionen EL (3, 4, 5, 6) Lastfall LF 19 gilt für die Einflussfunktionen EL ((7), (8), 9)

Die Auflast p(x) wird auf 1000 kN/m gesetzt.


Beispiel für die Ermittlung des maßg. Lastfalls LF 11:

Aus der Einflusslinie EL1 (siehe untere Abbildung),

Abbildung III.3.5.a: Einflusslinie EL1, lokale Stabverschiebungen, Querkraftsprung an der Stelle x = 1,60 m mit w(1,6) = 1000 mm = 921-(-79)

folgt der maßg. Lastfall LF 11 mit p(x) = 1000 kN/m für die Einflusslinie EL 1.

Abbildung III.3.5.b: Maßgebender Lastfall für die Einflusslinie EL1

x

y


Lastfall 11: Maßgebend für EL 1, 2, 7, 8

Abbildung III.3.5.c: Lastfall LF 11

Lastfall 13: Maßgebend für EL 3, 4, 5, 6

Abbildung III.3.5.d: Lastfall LF 13

Lastfall 19: Maßgebend für EL (7), (8), 9

Abbildung III.3.5.e: Lastfall LF 19


III.9 STATISCHE GRÖßEN AUS MAßGEBENDEN LASTFÄLLEN

Linke horizontale Pfahlverschiebungen infolge der Lastfälle; (x = 29,80 m)

Lastfall LF11 Lastfall LF13 Lastfall LF19

Abbildung III.3.5.a: Globale horiz. Verschiebungen des linken Pfahls infolge der Lastfälle LF 11,12,13

Pfahlfußverschiebungen infolge von Einflussfunktionen und Lastfällen

Basis EL u [mm] 1 4,9042 73,0663 141,2314 4,9045 127,9276 -5,7877 -9,4768 -1,0519 17,968

LF11 9,652LF13 23,7LF19 12,5


Linke horizontale Pfahlverschiebungen infolge der Einflusslinien 1 bis 9

Abbildung III.3.5.b: Globale horiz. Verschiebungen des linken Pfahls infolge der EL 1 bis 9

EL1 EL2 EL3

EL4 EL5 EL6

EL7 EL8 EL9


Rechte horizontale Pfahlverschiebungen infolge der Lastfälle; (x = 69,80 m)

Lastfall LF11

Lastfall LF13

Lastfall LF19

Abbildung III.3.5.c: Globale horiz. Verschiebungen des rechten Pfahls infolge der Lastfälle LF 11,12,13

Pfahlfußverschiebungen infolge von Einflussfunktionen und Lastfällen

Basis EL u [mm] 1 -2,652 -39,43 -76,24 -2,655 -91,86 5,787 -15,98 -1,029 18

LF11 9,92LF13 11LF19 12,5


Rechte horizontale Pfahlverschiebungen infolge der Einflusslinien 1 bis 9

Abbildung III.3.5.d: Globale horiz. Verschiebungen des rechten Pfahls infolge der EL 1 bis 9

EL1 EL2 EL3

EL4 EL5 EL6

EL7 EL8 EL9


III.10 ANWENDUNG DER NÄHERUNGSFORMEL D(W,G)

III.10.1 ANWENDUNG DER NÄHERUNGSFORMEL D(W,G), L&R PFAHL

Für die Berechnung der statischen Größen infolge von Lagersteifigkeitsänderungen sind nur die Verformungen im Bereich der Pfähle/Bettung von Bedeutung.

Im Folgenden werden Berechnungen für die Änderungen der stat. Größen ermittelt. Mit Hilfe der unten stehenden Gleichung wird eine Näherung angegeben, die nach ihrer Mo-difikation nur Werte aus dem Hauptsystem benötigt.

( , ) ( ) ( , )

: Steifigkeitsänderung in der Bodenschicht

( ) : Verschiebung aus maß. Lastfall( , ) : Verschiebung aus EL : Schichtdicke

Anwendung der

j

c ci j ia

j

j

ci

j


k j

w xG x ma j

= Δ ⋅ ⋅

Δ =

=

=

=

∑∫

Näherung

( , ) ( , )

( , ) ( ) ( , )j

ci i

ci i

i j iaj

G G

d w G d w G


≈

≈

= Δ ⋅ ⋅∑∫

Für 4 Bodenschichten folgt:

1

2

3

1

2

3

4

( , ) ( ) ( , ) (Schicht 1)

( ) ( , ) (Schicht 2)

( ) ( , ) (Schicht 3)

( ) ( , )

i ia

ia

ia

i


k w x G x m dx

k w x G x m dx

k w x G x m dx

= Δ ⋅ ⋅

+ Δ ⋅ ⋅

+ Δ ⋅ ⋅

+ Δ ⋅ ⋅

∫

∫

∫

4

1,2,3,4

(Schicht 4)

( ) : Biegelinie aus maß. Lastfall( , ) : Einflussfunktion

: Steifigkeitsänderungen in den Bodenschichten 1, 2, 3, 4

a

i

w xG x m

kΔ

∫

Für Senkfeder gilt:

( , ) ( ) ( , ) : Steifigkeitsänderung in der Senkfeder

( ) : Verschiebung in Richtung der Senkfeder am Pfahlfuß infolge maßg. Lastfall( , ) : Verschiebung in Richtung der

i i

i

d w G k w l G l mk

w lG l m

= Δ ⋅ ⋅Δ =

=

= Senkfeder am Pfahlfuß infolge Einflusslinie

(III.10.1.a)

(III.10.1.b)


Anwendung der Formel (III.10.1.a):

Die Auswertung erfolgt, indem wir die horizontale Pfahlverschiebung aus dem maßge-benden Lastfall mit der jeweiligen Einflusslinie Schichtweise überlagern und summieren.

Anwendung der Formel (III.10.1.b):

Die Auswertung erfolgt, indem wir die vertikale Pfahlverschiebung aus dem maßgeben-den Lastfall mit der jeweiligen Einflusslinie überlagern und mit der Steifigkeitsänderung ∆k multiplizieren. Die Berechnungen sind für den linken Pfahl im Anhang A und für den rechten Pfahl im Anhang B zu finden.

III.10.2 ANWENDUNG DER NÄHERUNGSFORMEL D(W,G), RIEGEL

Im Folgenden werden die Differenzschnittgrößen bei Schwächung bzw. Stärkung des Riegels um 50% berechnet.

2

1

69,80

29,80

( , )

( , )

Riegel-Steifigkeit des Grundsystems Steifigkeitsänderungen im Riegel Momentenverlauf im Riegel infolge maßg. Lastfall

M

x

x

GLF

LF

G

d w G EI w G dx

MMd w G EI dxEI EI

EIEI

MM

′′ ′′− = − Δ ⋅ ⋅

− = −Δ ⋅ ⋅

=Δ =

==

∫

∫

omentenverlauf im Riegel infolge Einflusslinie


M-Verlauf im Riegel infolge der maßg. Lastfällen (LF11, LF13 und LF19) sowie der Ein-flusslinien (EL1, …, EL9) ermitteln und tabellarisch zusammenstellen. Siehe Anhang C: Tabelle C.1.a: Riegel-Schnittgrößen.

Berechnung der Schnittkraftänderungen d(w,G): Die Auswertung des Integrals erfolgt, indem man die Terme im Integral knotenweise miteinander multipliziert (F1 bis F9) und anschließend stückweise über die Länge integriert und summiert. Siehe Anhang C: Tabel-le C.1.b.

0

:

( 0, ..., 40; 1, ..., 9)

39.376 112.493: 1 ( 71.094) 15.577 15,631.387 (4,53) 31.387 (4,53)

Knotenpunkt, Index für die Einflussl

LFji ELjii i

i i

IntegrationsmethodenM M

Fj EI i jEI EI

Beispiel F

i j

= −Δ ⋅ ⋅ = =

− −= − − ⋅ ⋅ =

⋅ ⋅= = inien, nomE E=


n-1

0

( , ) (1)

(1) : Rechteck ( 40; 1 )ii

d w G Verfahren

Verfahren Fj l n l m=

− ≈

⋅Δ = Δ =∑

y = iFj ; a = 29,80 m; b = 69,80 m; ( ) / 40n b a l= − Δ =

1( 1)

0

( , ) (2)

(2) : Trapez 2

ni i

i

d w G VerfahrenFj Fj

Verfahren l−

+

=

− ≈+

Δ∑

Nach Prüfung der Ergebnisse stellen wir fest, dass sich einige Werte stark vonei-nander unterscheiden. Um einen Rechenfehler auszuschließen, kommt ein weite-res Verfahren (3) zum Einsatz. Erläuterung des Verfahrens (3) siehe Anhang C.

Die Werte aus dem Verfahren (3) stimmen weitestgehend mit dem Verfahren (2) (Trapez) überein. Die Werte aus dem Verfahren (3) bzw. (2) werden als richtig angesehen, siehe Anhang C.

lΔ lΔ … lΔ

( ) ( ) 1li iΔ←⎯⎯⎯⎯⎯⎯→ +

iFj

( 1)iFj +

iFj


Leere Seite

IV Zusammenstellung der numerischen Ergebnisse 87

KAPITEL IV

ZUSAMMENSTELLUNG DER

NUMERISCHEN ERGEBNISSE

INHALT

IV Zusammenstellung der numerischen Ergebnisse ........................................... 88 IV.1 Zusammenstellung der Ergebnisse LINKER Pfahl (x = 29,80 m) ...................... 88

IV.2 Ergebnisse RECHTER Pfahl (x = 69,80 m) ........................................................ 94

IV.3 Zusammenstellung der Schnittgrößen und Differenzen; Riegel .......................... 98

88 IV Zusammenstellung der numerischen Ergebnisse

IV ZUSAMMENSTELLUNG DER NUMERISCHEN ERGEBNISSE

IV.1 ZUSAMMENSTELLUNG DER ERGEBNISSE

LINKER PFAHL (X = 29,80 M)

Die Ergebnisse werden tabellarisch aufgelistet.

Erläuterungen: : Mittlere horizontale Pfahlbettung (i=1, ..., 4): Vertikale Senkfeder

( , ) : ( ) (0); (i=1, ..., 6, 15, 16) ( , ) : richtige Differenzschnittgrößen aus Progra

i

p

c

c

Bc

d w G Szenario i Szenariod w G

− = −− =

1

2

2

mm

( , ) : ( ) (0) ; Näherung

( , ) : ( , ) (verbesserte) Näherung/ 2

:: Prognostizierter Wert

Ist :

i

d w G Szenario i Szenariokd w G d w G

k kSumQuad xSoll

− = −

− = − ⋅+ Δ

=

=∑

1 1

2 2

= richtiger Wert der Messgröße aus Programm

( , ) ( , ) ; relative Abweichung in [%]( , )

( , ) ( , ) ; relative Abweichung in [%]( , )

ci

c

ci

c

d w G d w GSoll IstxIst d w G


−−= =

−−= =

Tabelle IV.1.a: ELL2 (x = 14,90 m) Lastfall Szenarien

11 0 1 M [kNm] 74022 74097 ----> stat. Größe aus Sofistik

-d(wc, G) 75,0

∆M -d(w, G) 63,3 -16% ----> rel. Abweichung1 = x11

-d(w, G) 74,7 -0% ----> rel. Abweichung2 = x12 Tabelle IV.1.b: ELL2 (x = 14,90 m):

Punkt-Ergebnisse im maßg. Lastfall LF11 im Punkt m = 2, LINKER Pfahl.

-d(wc, G) = 75,0 kNm (der richtige Wert = 74.097 - 74022)

-d(w, G) = 63,3 kNm (Wert aus Näherung1, siehe Anhang A.4)

-d(w, G) = 74,7 kNm (Wert aus Näherung2, siehe Anhang A.4)


89

Tabelle IV.1.c: ELL1 (x = 1,60 m) Lastfall Szenarien li&re Pfahl li&re Pfahl Sum-

11 0 1 2 3 4 5 6 15 16 Quad B1

[MN/m³]

45 30 60 - - 30 60 30 60 B2 180 160 200 - - 160 200 160 200 B3 220 200 240 - - 200 240 200 240 B4 450 400 500 - - 400 500 400 500 cp [MN/m] 1800 - - 1400 2200 1400 2200 1400 2200 V [kN] 10815 10820 10811 10839 10800 10844 10796 10840 10798

-d(wc, G) 5,0 -4,0 24,0 -15,4 29,0 -19,4 24,6 -17,4 ∆V -d(w, G) 4,3 -15% -4,3 6% 18,9 -21% -18,9 23% 23,2 -20% -23,2 20% 20,1 -18% -20,1 16% 2605 -d(w, G) 5,0 0% -3,7 -8% 21,3 -11% -17,0 11% 26,3 -9% -20,7 7% 23,3 -5% -17,7 2% 465

Tabelle IV.1.d: ELL2 (x = 14,90 m) Lastfall Szenarien Sum-

11 0 1 2 3 4 5 6 Quad M [kNm] 74022 74097 73967 74384 73791 74458 73735

-d(wc, G) 75,0 -55,0 361,7 -231,0 436,0 -287,0 ∆M -d(w, G) 63,3 -16% -63,3 15% 282,1 -22% -282,1 22% 345,4 -21% -345,4 20% 2808 -d(w, G) 74,7 0% -55,1 0% 317,4 -12% -253,9 10% 392,1 -10% -309,0 8% 433

Tabelle IV.1.e: ELL3 (x = 28,80 m) Lastfall Szenarien li&re Pfahl li&re Pfahl Sum-

13 0 1 2 3 4 5 6 15 16 Quad M [kNm] -140333 -140435 -140258 -138621 -141430 -138724 -141354 -139252 -141000

-d(wc, G) -102 75 1712 -1097 1609 -1021 1081 -667 ∆M -d(w, G) -87 -15% 87 15% 1339 -22% -1339 22% 1252 -22% -1252 23% 828 -23% -828 24% 3565 -d(w, G) -102 0% 75 0% 1506 -12% -1205 10% 1404 -13% -1130 11% 921 -15% -751 13% 894

90 IV Zusammenstellung der numerischen Ergebnisse

90

Tabelle IV.1.f: ELL4 (x = 28,80 m) Lastfall Szenarien li&re Pfahl li&re Pfahl Sum-

13 0 1 2 3 4 5 6 15 16 Quad V [kN] -19263 -19267 -19260 -19204 -19301 -19207 -19298 -19225 -19286

-d(wc, G) -3,6 3,0 59,0 -38,0 56,0 -35,0 37,5 -23,2 ∆V -d(w, G) -3,0 -16% 3,0 0% 46,5 -21% -46,5 22% 43,5 -22% -43,5 24% 28,7 -23% -28,7 24% 3420 -d(w, G) -3,6 -1% 2,6 -13% 52,3 -11% -41,8 10% 48,7 -13% -39,2 12% 32,0 -15% -26,1 13% 1087

Tabelle IV.1.g: ELL5 (x = 30,80 m) Lastfall Szenarien li&re Pfahl li&re Pfahl Sum-

13 0 1 2 3 4 5 6 15 16 Quad M [kNm] -155835 -155840 -155830 -154283 -156827 -154288 -156821 -154719 -156560

-d(wc, G) -5,0 5,0 1552,0 -992,0 1547,0 -986,0 1116 -725,2 ∆M -d(w, G) -4,7 -5% 4,7 -5% 1212,7 -22% -1212,7 22% 1208,0 -22% -1208,0 23% 881,0 -21% -881,0 21% 2923 -d(w, G) -6,1 22% 3,8 -24% 1364,3 -12% -1091,5 10% 1358,3 -12% -1087,7 10% 995,1 -11% -790,8 9% 1764

Tabelle IV.1.h: ELL6 (x = 30,80 m) Lastfall Szenarien li&re Pfahl li&re Pfahl Sum-

13 0 1 2 3 4 5 6 15 16 Quad V [kN] 21316 21321 21313 21246 21361 21251 21358 21281 21339

-d(wc, G) 5,0 -2,8 -70,0 45,0 -65,0 42,0 -35,1 23,1 ∆V -d(w, G) 3,7 -26% -3,7 32% -54,9 -22% 54,9 22% -51,2 -21% 51,2 22% -27,8 -21% 27,8 20% 4430 -d(w, G) 4,4 -12% -3,2 13% -61,7 -12% 49,4 10% -57,3 -12% 46,2 10% -31,1 -11% 25,1 8% 1003

Tabelle IV.1.i: ELL7a (x = 29,80 m; y = 2,80 m)

Lastfall Szenarien li&re Pfahl li&re Pfahl Sum- 11 0 1 2 3 4 5 6 15 16 Quad

M [kNm] 28068 28040 28085 28021 28098 27993 28115 27553 28454 -d(wc, G) -28,2 17,6 -46,8 30,5 -75,1 47,3 -514,8 386,7

∆M -d(w, G) -21,8 -23% 21,8 24% -36,6 -22% 36,6 20% -58,4 -22% 58,4 23% -440,7 -14% 440,7 14% 3398 -d(w, G) -24,1 -15% 20,0 13% -41,2 -12% 32,9 8% -65,2 -13% 52,9 12% -514,7 0% 386,1 0% 916


91

Tabelle IV.1.j: ELL7b (x = 29,80 m; y = 2,80 m) Lastfall Szenarien Sum-

19 0 1 2 3 4 5 6 Quad M [kNm] -29926 -29895 -29944 -29986 -29886 -29956 -29905

-d(wc, G) 30,6 -18,2 -60,1 39,5 -30,4 20,7 ∆M -d(w, G) 23,2 -24% -23,2 28% -47,4 -21% 47,4 20% -24,1 -21% 24,1 17% 2891 -d(w, G) 25,7 -16% -21,3 17% -53,3 -11% 42,6 8% -27,6 -9% 21,3 3% 833

Tabelle IV.1.k: ELL8a (x = 29,80 m; y = 2,80 m) Lastfall Szenarien li&re Pfahl li&re Pfahl Sum-

11 0 1 2 3 4 5 6 15 16 Quad V [kN] 2303 2263 2333 2298 2306 2258 2336 2216 2371

-d(wc, G) -40,0 30,0 -5,0 3,0 -45,0 33,0 -87,0 68,0 ∆V -d(w, G) -34,1 -15% 34,1 14% -4,1 -19% 4,1 35% -38,2 -15% 38,2 16% -76,3 -12% 76,3 12% 2778 -d(w, G) -40,4 1% 29,5 -2% -4,6 -9% 3,7 22% -45,0 0% 33,2 1% -90,0 3% 66,4 -2% 570

Tabelle IV.1.l: ELL8b (x = 29,80 m; y = 2,80 m) Lastfall Szenarien Sum-

19 0 1 2 3 4 5 6 Quad V [kN] -2455 -2413 -2487 -2462 -2451 -2420 -2483

-d(wc, G) 42,0 -32,0 -7,0 4,0 35,0 -28,0 ∆V -d(w, G) 36,4 -13% -36,4 14% -5,3 -25% 5,3 31% 31,1 -11% -31,1 11% 2219 -d(w, G) 43,1 3% -31,5 -2% -5,9 -16% 4,7 18% 37,2 6% -26,8 -4% 644

Tabelle IV.1.m: ELL9 (x = 49,80 m) Lastfall Szenarien li&re Pfahl li&re Pfahl Sum-

19 0 1 2 3 4 5 6 15 16 Quad M [kNm] 88607 88722 88522 88723 88534 88837 88448 89062 88286

-d(wc, G) 115,0 -85,0 116,0 -73,0 230,0 -159,0 455,4 -320,9 ∆M -d(w, G) 97,7 -15% -97,7 15% 89,8 -23% -89,8 23% 187,5 -18% -187,5 18% 375,2 -18% -375,2 17% 2750 -d(w, G) 115,5 0% -84,8 0% 101,1 -13% -80,9 11% 216,6 -6% -165,6 4% 433,4 -5% -331,4 3% 368


Leere Seite


Tabelle IV.1.n: Zusammenstellung der Schnittgrößenänderungen d(w, G); LINKER Pfahl

L. P

fahl

(x =

29,

80 m

) Lastfall Szenario 11/13/19 0 1 2 3 4 5=(1+3) 6=(2+4)

B1

[MN/m³]

45 30 60 - - 30 60B2 180 160 200 - - 160 200B3 220 200 240 - - 200 240B4 450 400 500 - - 400 500cp [MN/m] 1800 - - 1400 2200 1400 2200

m J0 ∆J1 ∆J2 ∆J3 ∆J4 ∆J5 ∆J6 1 ∆V [kN] 4,3 -4,3 18,9 -18,9 23,2 -23,22 ∆M [kNm] 63,3 -63,3 282,1 -282,1 345,4 -345,43 ∆M [kNm] -87 87 1338,9 -1338,9 1252 -12524 ∆V [kN] -3 3 46,5 -46,5 43,5 -43,55 ∆M [kNm] -4,7 4,7 1212,7 -1212,7 1208 -12086 ∆V [kN] 3,7 -3,7 -54,9 54,9 -51,2 51,27 ∆M [kNm] -21,8 21,8 -36,6 36,6 -58,4 58,48 ∆V [kN] -34,1 34,1 -4,1 4,1 -38,2 38,29 ∆M [kNm] 97,7 -97,7 89,8 -89,8 187,5 -187,5

Tabelle IV.1.o: Richtige und prognostizierte Schnittgrößen in den Punkten m1-9 für die Szenarien1,2,3,4 , LINKER Pfahl

m

Ein

heit

Szenario 0 1 2 3 4 J0 J1 J2 J3 J4 Prognose Sofistik Prognose Sofistik Prognose Sofistik Prognose Sofistik

1 [kN] 10815 10819 10820 10811 10811 10834 10839 10796 108002 [kNm] 74022 74085 74097 73959 73967 74304 74384 73740 737913 [kNm] -140333 -140420 -140435 -140246 -140258 -138994 -138621 -141672 -1414304 [kN] -19263 -19266 -19267 -19260 -19260 -19217 -19204 -19310 -193015 [kNm] -155835 -155840 -155840 -155830 -155830 -154622 -154283 -157048 -1568276 [kN] 21316 21320 21321 21312 21313 21261 21246 21371 213617 [kNm] 28068 28046 28040 28090 28085 28031 28021 28105 280988 [kN] 2303 2269 2263 2337 2333 2299 2298 2307 23069 [kNm] 88607 88705 88722 88509 88522 88697 88723 88517 88534

94 Zusammenstellung der numerischen Ergebnisse

Tabelle IV.1.p: Richtige und prognostizierte Schnittgrößen in den Punkten m1-9 für die Szenarien5,6,15,16 , LINKER Pfahl

m

Ein

heit

Szenario 0 5 6 15 16 J0 J5 J6 J15 J16 Prognose Sofistik Prognose Sofistik Prognose Sofistik Prognose Sofistik

1 [kN] 10815 10838 10844 10792 10796 10835 10835,1 10795 107982 [kNm] 74022 74367 74458 73677 73735 74322 74387 73722 737593 [kNm] -140333 -139081 -138724 -141585 -141354 -139505 -139252 -141161 -1410004 [kN] -19263 -19220 -19207 -19307 -19298 -19234 -19225 -19292 -192865 [kNm] -155835 -154627 -154288 -157043 -156821 -154954 -154719 -156716 -1565606 [kN] 21316 21265 21251 21367 21358 21289 21281 21343 213397 [kNm] 28068 28010 27993 28126 28115 27627 27553 28509 284548 [kN] 2303 2265 2258 2341 2336 2227 2216 2379 23719 [kNm] 88607 88795 88837 88420 88448 88982 89062 88232 88286

IV.2 ERGEBNISSE RECHTER PFAHL (X = 69,80 M)

Die Ergebnisse werden tabellarisch aufgelistet.

Erläuterungen: : Mittlere horizontale Pfahlbettung (i=1, ..., 4): Vertikale Senkfeder

( , ) : ( ) (0); (i=1, ..., 6, 15, 16) ( , ) : richtige Schnittgrößenänderung aus Progr

i

p

c

c

Bc

d w G Szenario i Szenariod w G

− = −

− =

2

amm( , ) : ( ) (0) ;

( , ) : ( , ) verbesserte Näherung/ 2

:: Prognostizierter Wert

Ist := richtige

i

d w G Szenario i Szenariokd w G d w G

k kSumQuad xSoll

− = −

− = − ⋅+ Δ

=

=∑

r Wert der Messgröße als "bekannter Wert" aus Programm( , ) ( , ) ; relative Abweichung in [%]

( , )c

ic


−−= =

Weitere Erläuterungen siehe Ergebnisse LINKER Pfahl


Tabelle IV.2.a: ELR1 (x = 1,60 m)

Lastfall Szenarien Sum-11 0 1 2 3 4 5 6 Quad

B1

[MN/m³]

45 30 60 - - 30 60 B2 180 160 200 - - 160 200 B3 220 200 240 - - 200 240 B4 450 400 500 - - 400 500 cp [MN/m] 1800 - - 1400 2200 1400 2200 V [kN] 10815 10824 10809 10802 10824 10812 10818

-d(wc,G) 8,6 -6,4 -13,4 8,6 -3,4 2,6 ∆V -d(w,G) 7,4 -14% -7,4 16% -10,5 -21% 10,5 22% -3,1 -9% 3,1 18% 1809 -d(w,G) 8,8 2% -6,4 1% -11,8 -12% 9,5 10% -3,0 -11% 3,0 16% 599 Tabelle IV.2.b: ELR2 (x = 14,90 m)


M [kNm] 74022 74152 73924 73827 74147 73957 74049 -d(wc,G) 129,7 -97,6 -194,6 124,7 -65,0 26,8

∆M -d(w,G) 111,0 -14% -111,0 14% -156,3 -20% 156,3 25% -45,4 -30% 45,4 69% 7134 -d(w,G) 131,5 1% -96,2 -1% -175,9 -10% 140,7 13% -44,4 -32% 44,5 66% 5619

Tabelle IV.2.c: ELR3 (x = 28,80 m) Lastfall Szenarien Sum-

13 0 1 2 3 4 5 6 Quad M [kNm] -140333 -140438 -140256 -140762 -140060 -140868 -139983

-d(wc,G) -105 77 -429 273 -535 350 ∆M -d(w,G) -89 -15% 89 16% -335 -22% 335 23% -424 -21% 424 21% 2365 -d(w,G) -105 0% 77 1% -377 -12% 302 11% -482 -10% 379 8% 423 Tabelle IV.2.d: ELR4 (x = 28,80 m)

Lastfall Szenarien Sum- 13 0 1 2 3 4 5 6 Quad

V [kN] -19263 -19267 -19260 -19278 -19254 -19282 -19251 -d(wc,G) -3,7 2,8 -14,9 9,5 -18,6 12,1

∆V -d(w,G) -3,1 -16% 3,1 12% -11,7 -22% 11,7 23% -14,7 -21% 14,7 21% 2303 -d(w,G) -3,6 -1% 2,7 -3% -13,1 -12% 10,5 11% -16,8 -10% 13,2 9% 438 Tabelle IV.2.e: ELR5 (x = 30,80 m)


M [kNm] -155835 -155745 -155902 -156353 -155504 -156262 -155571 -d(wc,G) 90,2 -67,2 -517,5 331,5 -426,8 264,4

∆M -d(w,G) 76,9 -15% -76,9 15% -403,9 -22% 403,9 22% -327,0 -23% 327,0 24% 2495 -d(w,G) 91,2 1% -66,6 -1% -454,4 -12% 363,5 10% -363,2 -15% 296,9 12% 618 Tabelle IV.2.f: ELR6 (x = 30,80 m)


V [kN] 21316 21314 21318 21349 21296 21347 21297 -d(wc,G) -2 2 33 -21 30 -19

∆V -d(w,G) -2 -14% 2 14% 25 -22% -25 22% 23 -23% -23 23% 2371 -d(w,G) -2 3% 2 -2% 29 -12% -23 10% 26 -13% -21 11% 553

Tabelle IV.2.g: ELR7 (x = 29,80 m; y = 2,80 m)



M [kNm] 28068 27697 28350 27988 28119 27618 28401 -d(wc,G) -371,2 281,8 -79,8 51,5 -450,1 333,3

∆M -d(w,G) -319,2 -14% 319,2 13% -63,1 -21% 63,1 23% -382,3 -15% 382,3 15% 1762 -d(w,G) -378,5 2% 276,4 -2% -71,0 -11% 56,8 10% -449,5 0% 333,2 0% 236

Tabelle IV.2.h: ELR8 (x = 29,80 m; y = 2,80 m) Lastfall Szenarien Sum-

11 0 1 2 3 4 5 6 QuadV [kN] 2303 2263 2333 2298 2306 2258 2336

-d(wc,G) -40 30 -5 3 -45 33 ∆V -d(w,G) -34 -15% 34 14% -4 -19% 4 35% -38 -15% 38 16% 2461

-d(w,G) -40 1% 30 -2% -5 -9% 4 21% -45 0% 33 1% 543

Tabelle IV.2.i: ELR9 (x = 49,80 m) Lastfall Szenarien Sum-

19 0 1 2 3 4 5 6 Quad M [kNm] 88607 88722 88522 88723 88534 88837 88448

-d(wc,G) 115 -85 116 -73 230 -159 ∆M -d(w,G) 98 -15% -98 15% 90 -22% -90 23% 188 -19% -188 18% 2128

-d(w,G) 116 0% -85 -1% 101 -12% -81 11% 217 -6% -166 4% 321

Tabelle IV.2.j: Zusammenstellung der Schnittgrößenänderungen -d(w, G); Rechter Pfahl

R. P

fahl

(x =

69,

80 m

) Lastfall Szenario

11/13/19 0 1 2 3 4 5=(1+3) 6=(2+4)

B1

[MN/m³]

45 30 60 - - 30 60

B2 180 160 200 - - 160 200

B3 220 200 240 - - 200 240

B4 450 400 500 - - 400 500

cp [MN/m] 1800 - - 1400 2200 1400 2200

m J0 ∆J1 ∆J2 ∆J3 ∆J4 ∆J5 ∆J6

1 ∆V [kN] 7,4 -7,4 -10,5 10,5 -3,1 3,1

2 ∆M [kNm] 111 -111 -156,3 156,3 -45,4 45,4

3 ∆M [kNm] -89 89 -335,3 335,3 -424,2 424,2

4 ∆V [kN] -3,1 3,1 -11,7 11,7 -14,7 14,7

5 ∆M [kNm] 76,9 -76,9 -403,9 403,9 -327 327

6 ∆V [kN] -2 2 25,4 -25,4 23,4 -23,4

7 ∆M [kNm] -319,2 319,2 -63,1 63,1 -382,3 382,3

8 ∆V [kN] -34,1 34,1 -4 4 -38,1 38,1

9 ∆M [kNm] 97,7 -97,7 90 -90 187,7 -187,7


Tabelle IV.2.k: Richtige und prognostizierte Schnittgrößen in den Punkten m1-9 für die Szenarien1,2,3,4, RECHTER Pfahl

m

Ein

heit

Szenario

0 1 2 3 4

J0 J1 J2 J3 J4

Prognose Sofistik Prognose Sofistik Prognose Sofistik Prognose Sofistik

1 [kN] 10815 10823 10824 10808 10809 10805 10802 10826 10824

2 [kNm] 74022 74133 74152 73911 73924 73866 73827 74178 74147

3 [kNm] -140333 -140422 -140438 -140244 -140256 -140668 -140762 -139998 -140060

4 [kN] -19263 -19266 -19267 -19260 -19260 -19275 -19278 -19251 -19254

5 [kNm] -155835 -155758 -155745 -155912 -155902 -156239 -156353 -155431 -155504

6 [kN] 21316 21314 21314 21319 21318 21342 21349 21291 21296

7 [kNm] 28068 27749 27697 28387 28350 28005 27988 28131 28119

8 [kN] 2303 2269 2263 2337 2333 2299 2298 2307 2306

9 [kNm] 88607 88705 88722 88509 88522 88697 88723 88517 88534

Tabelle IV.2.l: Richtige und prognostizierte Schnittgrößen in den Punkten m1-9 für die Szenarien5,6 , RECHTER Pfahl

m Ein- J0 ∆J5 ∆J6 J5 J6

heit Prognose Sofistik Prognose Sofistik

1 [kN] 10815 -3 3 10812 10812 10818 10818

2 [kNm] 74022 -45 45 73977 73957 74067 74049

3 [kNm] -140333 -424 424 -140757 -140868 -139909 -139983

4 [kN] -19263 -15 15 -19278 -19282 -19248 -19251

5 [kNm] -155835 -327 327 -156162 -156262 -155508 -155571

6 [kN] 21316 23 -23 21340 21347 21293 21297

7 [kNm] 28068 -382 382 27685 27618 28450 28401

8 [kN] 2303 -38 38 2265 2258 2341 2336

9 [kNm] 88607 188 -188 88795 88837 88419 88448


IV.3 ZUSAMMENSTELLUNG DER SCHNITTGRÖßEN UND DIFFERENZEN;

RIEGEL

Die Riegel-Schnittgrößen infolge der Lastfälle LF 11, 13, 19 und Einflusslinien EL 1 bis 9 sind in der Tabelle C.1.a zu finden.

In der unten stehenden Tabelle sind die Schnittgrößen aus Sofistik (richtige Werte) aus dem Szenario 1 (EIc = 50% EI, weak) und dem Szenario 2 (EIc = 150% EI, strong) an den Stellen m1 bis m9 tabelliert.

∆Basis = Jc – J (richtiger Differenzwert)

∆Basis = Schnittgröße aus dem veränderten System – Schnittgröße aus Grundsystem

Tabelle IV.3.a Zusammenstellung der „richtigen“ Schnittgrößen und Differenzen (Riegel), ±50% E-Modul

Weak strong m Einheit Basis = Grundsystem Riegel ∆Basis Riegel ∆Basis 1 [kN] 10815 11200 384,6 10521 -294,42 [kNm] 74022 79754 5731,8 69639,49 -43833 [kNm] -140333 -136596 3737 -140427,38 -94,44 [kN] -19263 -19133 130 -19266,29 -3,35 [kNm] -155835 -154713 1122,36 -153758,56 20766 [kN] 21316 20761 -554,99 21587,7 2727 [kNm] 28068 32311 4243 24799,44 -32688 [kN] 2303 2650 347 2035 -2689 [kNm] 88607 70826 -17781 102237,3 13630

In der unten stehenden Tabelle sind die Differenzschnittgrößen aus den Verfahren 1, 2 und 3 zusammengestellt. Die Werte aus der Näherung d(w,G) der einzelnen Verfahren 1 und 2 sind in der Tabelle C.1.b enthalten. Im Anhang C auf den Berechnungsblättern F1 Riegel bis F9 Riegel stehen die Werte für das Verfahren 3 (unten links). Die verbes-serte Näherung 2 ermittelt sich zu:

( , ) ( , )

/ 2 / 2

0,5

0,8 ( , ) 0,8 ( , )0,5 / 2

0,5

1,33 ( , ) 1,33 ( , )0,5 / 2

d w G d w GEI E

EI EI E E

für Verstärkung mit E EE d w G d w G

E E

für Schwächung mit E EE d w G d w G

E E

χ

χ

χ

χ

− = − ⋅

= =+ Δ + Δ

Δ =

→ = = → − = − ⋅+

Δ = −

→ = = → − = − ⋅−


Erläuterung zur Tabelle IV.3.b:

Tabelle IV.3.b: Ergebnisse der Verfahren 1, 2, 3; Riegel (29,80 m < x < 69,80 m); ∆EI = 50% EI

%-Wert = rel. Abweichung weak strong V(X=1,60 m) [kN] -d(w,G) -d(w,G) -d(w,G) -d(w,G)

1

∆Basis 0 384,6 -294,4

Verfahren 1 343,9 -11% 19% 457,3 -343,9 17% -7% -275,12 332,8 -13% 15% 442,6 -332,8 13% -10% -266,23 332,3 -14% 15% 442,0 -332,3 13% -10% -265,9

rel. Fehler = -14%

= (332,3 - 384,6) / 384,6

rel. Fehler = -15%

= (442 - 384,6) / 384,6


Tabelle IV.3.b: Ergebnisse der Verfahren 1, 2, 3; Riegel (29,80 m < x < 69,80 m); ∆EI = 50% EI

weak strong V(X=1,60 m) [kN] -d(w,G) -d(w,G) -d(w,G) -d(w,G)

1

∆Basis 0 384,6 -294,4

Verfahren 1 343,9 -11% 19% 457,3 -343,9 17% -7% -275,12 332,8 -13% 15% 442,6 -332,8 13% -10% -266,23 332,3 -14% 15% 442,0 -332,3 13% -10% -265,9

M(x=14,90 m) [kNm]

2

∆Basis 0 5731,8 -4382,5

Verfahren 1 5123,7 -11% 19% 6814,5 -5123,7 17% -6% -4099,02 4958,3 -13% 15% 6594,6 -4958,3 13% -9% -3966,73 4951,4 -14% 15% 6585,4 -4951,4 13% -10% -3961,1

M(x=28,80 m) [kNm]

3

∆Basis 0 3736,7 -94,4

Verfahren 1 2347,4 -37% -16% 3122,1 -2347,4 2387% 1890% -1877,92 1131,3 -70% -60% 1504,6 -1131,3 1099% 859% -905,03 1154,0 -69% -59% 1534,9 -1154,0 1123% 878% -923,2

V(x=28,80 m) [kN]

4

∆Basis 0 129,7 -3,3

Verfahren 1 81,5 -37% -16% 108,4 -81,5 2377% 1882% -65,22 39,3 -70% -60% 52,2 -39,3 1094% 855% -31,43 40,1 -69% -59% 53,3 -40,1 1118% 874% -32,1

M(x=30,80 m) [kNm]

5

∆Basis 0 1122,4 2076,4

Verfahren 1 72,6 -94% -91% 96,6 -72,6 -103% -103% -58,12 -1280,3 -214% -252% -1702,8 1280,3 -38% -51% 1024,23 -1245,9 -211% -248% -1657,0 1245,9 -40% -52% 996,7

V(x=30,80 m) [kN]

6

∆Basis 0 -555,0 271,7

Verfahren 1 -423,3 -24% 1% -563,0 423,3 56% 25% 338,62 -364,2 -34% -13% -484,4 364,2 34% 7% 291,43 -364,2 -34% -13% -484,4 364,2 34% 7% 291,4

M(x=29,80

7

∆Basis 0 4243,0 -3268,3

Verfahren 1 3736,0 -12% 17% 4968,8 -3736,0 14% -9% -2988,82 3711,7 -13% 16% 4936,5 -3711,7 14% -9% -2969,33 3706,5 -13% 16% 4929,7 -3706,5 13% -9% -2965,2

V(x=29,80

8

∆Basis 0 347,0 -268,0

Verfahren 1 304,6 -12% 17% 405,1 -304,6 14% -9% -243,72 304,6 -12% 17% 405,1 -304,6 14% -9% -243,73 304,1 -12% 17% 404,5 -304,1 13% -9% -243,3

M(x=49,80 m) [kNm]

9

∆Basis 0 -17781,0 13630,3

Verfahren 1 -15450,9 -13% 16% -20549,7 15450,9 13% -9% 12360,72 -15450,9 -13% 16% -20549,7 15450,9 13% -9% 12360,73 -15406,2 -13% 15% -20490,2 15406,2 13% -10% 12324,9

%-Wert = rel. Abweichung

V Analyse 101

KAPITEL V

ANALYSE

INHALT

V Analyse ................................................................................................................. 102

V.1 LINKER Pfahl (x = 29,80 m) ............................................................................... 102 V.1.1 Vergleich der Näherungen N1 mit N2 ............................................................ 102 V.1.2 Kombinierte Szenarien .................................................................................... 103 V.1.3 Relevanz: Einfluss der Federsteifigkeitsänderungen in[%] auf die stat.

Größen ............................................................................................................ 105 V.1.4 Ergebnisse ....................................................................................................... 105

V.2 RECHTER Pfahl (x = 69,80 m) ........................................................................... 106 V.2.1 Vergleich der Näherungen N1 mit N2 ............................................................ 106 V.2.2 Kombinierte Szenarien .................................................................................... 106 V.2.3 Grenzfallbetrachtung (Nebenbetrachtung) ...................................................... 108 V.2.4 Ergebnisse ....................................................................................................... 109 V.2.5 Beurteilung der Näherung -d(w,G) ................................................................. 110

V.3 RIEGEL (29,80 m < x < 69,80 m) ........................................................................ 111 V.3.1 Vergleich der Näherungen N1 mit N2 ............................................................ 111 V.3.2 Vergleich: Rel. Abweichungen der richtigen statischen Größen .................... 112 V.3.3 Genauere Untersuchung der Punkte m3,4 und m5,6 .......................................... 113 V.3.4 Das Moment an der Stelle x = 28,80 m im maßg. Lastfall 13 ........................ 114 V.3.5 Die Querkraft an der Stelle x = 28,80 m im maßg. LF 13 .............................. 115 V.3.6 Das Moment an der Stelle x = 30,80 m im maßg. Lastfall 13 ........................ 116 V.3.7 Die Querkraft an der Stelle x = 30,80 m im maßg. LF 13 .............................. 117 V.3.8 Auswertung: .................................................................................................... 118 V.3.9 Ursache für das schlechte Abschneiden der modifizierten Näherungsformel 119

102 V Analyse

V ANALYSE

V.1 LINKER PFAHL (X = 29,80 M)

V.1.1 VE R G L E I C H D E R NÄ H E R U N G E N N1 M I T N2

Die Näherung (N1)

( , ) ( ) ( , )

: Steifigkeitsänderung in Bodenschicht

( ) : Verschiebung aus maß. Lastfall( , ) : Verschiebung aus Einflussfunktion : Schichtdicke

jF ja

j

j

j


k j

w xG x ma j

= Δ ⋅ ⋅

Δ =

==

=

∑∫

wird mit der modifizierten Näherung (N2)

( , ) ( , ) ( / 2)

kd w G d w Gk k

− = −+ Δ

verglichen.

Nach Ermittlung der Differenzschnittgrößen der richtigen Werte (Sofistik-Werte) und den Werten aus den Verfahren N1 und N2, werden die relativen Abweichungen je Szenario zu den richtigen Werten bestimmt.

1

2

( ) (0)

(0) richtige stat. Größe aus Grundsystem( ) richtige stat. Größe aus Szenario i

. [%] ( 1 ) /

. [%] ( 2 ) /

richitg

richitg richtig

richitg richtig

N J i J

JJ irel Fehler N N N

rel Fehler N N N

= −

==

= −

= −

Die rel. Fehler werden quadriert und über die Szenarien 1 bis 6, 15 und 16 summiert und tabellarisch zusammengefasst, siehe Tabelle IV.1.c bis Tabelle IV.1.m.

2. ( 1, ..., 6, 15, 16); ( 1, ..., 9)m imi

SumQuad rel Fehler i m

i Szenario

= = =

=

∑

V Analyse 103

Tabelle V.1.1.a: Vergleich SumQuadTest; LINKER Pfahl (x = 29,80 m)

m SumQuad (SumQuad)

8x = Bewertung

N1 N2 N1 N2 N2/N1

1 2605 465 18,0 7,6 0,42 +

2 2808 433 18,7 7,4 0,39 +

3 3565 894 21,1 10,6 0,50 +

4 3420 1087 20,7 11,7 0,56 +

5 2923 1764 19,1 14,8 0,78 0

6 4430 1003 23,5 11,2 0,48 +

7 3398 916 20,6 10,7 0,52 +

8 2778 570 18,6 8,4 0,45 +

9 2750 368 18,5 6,8 0,37 +

+: bessere Ergebnisse; 0: geringfügig besser

Die mod. Näherung N2 erzielt bessere Ergebnisse als die Näherung N1.

V.1.2 KOMBI NI ER TE SZE N A R I E N

Das Szenario 5 und 6 bestehen aus den Grundkombinationen SZ 1 und SZ 3 bzw. SZ 2 und SZ 4.

Wie verhalten sich die relativen Fehler zu den Grundszenarien?

Um dieser Frage zu beantworten, wird ein tabellarischer Vergleich geführt.

Tabelle V.1.2.a: Vergleich der relativen Fehler der Szenarien 5, 6

weak Szenario Bewertung strong Szenario Bewertung m 1 3 5 mEL 2 4 6 1 -15% -21% -20% 0 1 6% 23% 20% 0 2 -16% -22% -21% 0 2 15% 22% 20% 0 3 -15% -22% -22% 0 3 15% 22% 23% 0 4 -16% -21% -22% 0 4 0% 22% 24% 0 5 -5% -22% -22% 0 5 -5% 22% 23% 0 6 -16% -22% -22% 0 6 50% 22% 21% 0 7 -23% -22% -22% 0 7 24% 20% 23% 0 8 -15% -19% -15% 0 8 14% 35% 16% 0 9 -15% -23% -18% 0 9 15% 23% 18% 0

0:= keine nennenswerten Änderungen festzustellen

Die rel. Fehler bleiben nahezu gleich.

104 V Analyse

Die Mittelwerte der rel. Fehler betragen im geschwächten bzw. im verstärkten System -19% (20%) und die Standardabweichungen 4,0% (10%). Ähnlich verhält es sich bei den Szenarien 15 und 16.

Abbildung V.1.2.a: Darstellung der prozentualen Abweichungen für die Szenarien 1,2,3,4,5,6,15 und 16.

Die prozentualen Abweichungen sind bei Systemschwächungen alle negativ. Bei System-verstärkungen sind alle prozentualen Fehler positiv, bis auf eine Ausnahme (Szenario 2, ∆M(LF 13, EL 5)= -5%).

Der Mittelwert liegt sowohl im geschwächten als auch im verstärkten System betragsmä-ßig bei ca. 19%. Insgesamt beträgt der Mittelwert 2,3%.

Die Näherungsformel d(w, G) liegt sehr nahe am Mittelwert.

‐30%

‐20%

‐10%

0%

10%

20%

30%

40%

1 2 3 4 5 6 7 8 9

relative Abw

eichun

g

m

Prozentuale Abweichung

2

4

6

16

1

3

5

151 2 3 4 5 6 7 8 9

V Analyse 105

V.1.3 RE LE V A N Z: EI N F L U S S D E R FE D E R S T E I F IG K E I T S Ä N D E R U N G E N

IN[%] A U F D I E S T A T. GR Ö ß E N

Die unten aufgeführte Tabelle stellt das Verhältnis zwischen den richtigen Differenz-schnittgrößen ∆Ji und den richtigen Schnittgrößen J0 dar (richtige Werte = Sofistik-Werte), siehe Tabelle IV.1.c bis Tabelle IV.1.m.

Tabelle V.1.3.a Relevanz: Einfluss der Federsteifigkeitsänderungen in [%] auf die stat. Größen

m J0 ∆J1 ∆J2 ∆J3 ∆J4 ∆J5 ∆J6 1 ∆V [kN] 10815 4,7 -4,7 18,9 -18,9 23,6 -23,6

∆Ji/J0 0,00% 0,00% 0,20% -0,20% 0,20% -0,20%2 ∆M [kNm] 74022 69,6 -69,6 282,1 -282,1 351,7 -351,7

∆Ji/J0 0,10% -0,10% 0,40% -0,40% 0,50% -0,50%3 ∆M [kNm] -140333 -75,6 75,6 1338,9 -1338,9 1263,3 -1263,3

∆Ji/J0 0,10% -0,10% -1,00% 1,00% -0,90% 0,90%4 ∆V [kN] -19263 -3,3 3,3 46,5 -46,5 43,2 -43,2

∆Ji/J0 0,00% 0,00% -0,20% 0,20% -0,20% 0,20%5 ∆M [kNm] -155835 -4,7 4,7 1212,7 -1212,7 1208 -1208

∆Ji/J0 0,00% 0,00% -0,80% 0,80% -0,80% 0,80%6 ∆V [kN] 21316 4,2 -4,2 -54,9 54,9 -50,7 50,7

∆Ji/J0 0,00% 0,00% -0,30% 0,30% -0,20% 0,20%7 ∆M [kNm] 28068 -21,8 21,8 -36,6 36,6 -58,4 58,4

∆Ji/J0 -0,10% 0,10% -0,10% 0,10% -0,20% 0,20%8 ∆V [kN] 2303 -34,1 34,1 -4,1 4,1 -38,2 38,2

∆Ji/J0 -1,50% 1,50% -0,20% 0,20% -1,70% 1,70%9 ∆M [kNm] 88607 97,7 -97,7 89,8 -89,8 187,5 -187,5

∆Ji/J0 0,10% -0,10% 0,10% -0,10% 0,20% -0,20%

Die Einflüsse auf die stat. Größen sind sehr gering.

V.1.4 ER G E B N IS S E

Die Näherungsformel d(w, G) wird hier in fast allen Fällen tendenziell und quantitativ bestätigt. Federsteifigkeitsänderungen, bezüglich der Querbettung und Senkfeder an den Pfählen, rufen nur geringe Schnittgrößenänderungen < 2% hervor.

106 V Analyse

V.2 RECHTER PFAHL (X = 69,80 M)


Die Näherung (N1) wird mit der modifizierten Näherung (N2) tabellarisch verglichen. Tabelle V.2.1.a: Vergleich SumQuadTest; Rechter Pfahl (x = 69,80 m)

m Sum-Quad (SumQuad)

8x = Bewertung

N1 N2 N1 N2 (N2)/(N1)

1 1809 599 17,4 10 0,6 + 2 7134 5619 34,5 30,6 0,9 0 3 2365 423 19,9 8,4 0,4 + 4 2303 438 19,6 8,5 0,4 + 5 2495 618 20,4 10,1 0,5 + 6 2371 553 19,9 9,6 0,5 + 7 1762 236 17,1 6,3 0,4 + 8 2461 543 20,3 9,5 0,5 + 9 2128 321 18,8 7,3 0,4 +

Die mod. Näherung N2 erzielt bessere Ergebnisse als die Näherung N1.

V.2.2 KOMBI NI ER TE SZE N A R I E N

In den Szenarien 5 und 6, die aus den Szenarien (1&3) bzw. (2&4) generiert wurden, wird Folgendes festgestellt:

Tabelle V.2.2.a: Vergleich der relativen Fehler der Szenarien 5 und 6 im verstärkten System, rechter Pfahl an der Stelle x = 69,80 m

weak Szenarien Vergleich strong Vergleich

EL 1 3 5 EL 2 4 6 1 -14% -21% -9% + 1 16% 22% 18% 0 2 -14% -20% -30% -- 2 14% 25% 69% --- 3 -15% -22% -21% 0 3 16% 23% 21% 0 4 -16% -22% -21% 0 4 12% 23% 21% 0 5 -15% -22% -23% 0 5 15% 22% 24% 0 6 -14% -22% -23% - 6 14% 22% 23% 0 7 -14% -21% -15% 0 7 13% 23% 15% 0 8 -15% -19% -15% 0 8 14% 35% 16% 0 9 -15% -22% -19% 0 9 15% 23% 18% 0

+ := Abweichung zum richtigen Wert wird geringer -- := Abweichung nimmt stark zu --- := Abweichung nimmt sehr stark zu 0 := Abweichungen entsprechen den Werten aus den Szenarien 1 und 3, bzw. 2 und 4.

V Analyse 107

In der obigen Tabelle wird das Szenario 5 mit den Szenarien 1 und 3 und das Szenario 6 mit den Szenarien 2 und 4 verglichen. Der Mittelwert im geschwächten System (weak) beträgt -18,5% und die Standardabweichung liegt bei 4,4%. Im verstärkten System (strong) beträgt der Mittelwert 21,1% und die Standardabweichung 10,9%.

Die rel. Abweichungen bleiben, bis auf zwei Ausnahmen, nahezu gleich.

Abbildung V.2.2.a: Darstellung der prozentualen Abweichungen für die Szenarien 1-6

Die prozentualen Abweichungen sind bei einer Systemschwächung alle negativ. Bei einer Systemverstärkung sind alle prozentualen Abweichungen positiv.

Der Mittelwert der relativen Fehler liegt im geschwächten wie auch im verstärkten Sys-tem betragsmäßig bei ca. 20% und der gemeinsame Mittelwert für die Szenarien 1, 2, 3, …, 6 beträgt 1,34%. Somit liegen die Berechnungen mit der Näherungsformel d(w,G) sehr genau zwischen den richtigen Ergebnissen.

Die relative Abweichung im Szenario 6, an der Stelle m2, beträgt fast 70% und deutet auf einen Rechenfehler hin, der durch mehrmalige Überprüfung ausgeschlossen wird. Eine genauere Nachrechnung der Momentenschnittgrößen an der Stelle (x = 14,90 m) mit einer Netzverfeinerung mit einer Elementlänge von 0,1 m, anstelle von 1 m, ergeben für die Szenarien 1 bis 6 eine Schnittgrößenänderung von konstant -226 kNm. Also alleine aus einer Netzverfeinerung folgen Schnittkraftänderungen, die nahezu doppelt so groß sind, wie die aus den Steifigkeitsänderungen. Trotz allem sind die Differenzen d(w,Gc), infolge

‐40%

‐20%

0%

20%

40%

60%

80%

1 2 3 4 5 6 7 8 9relative Abw

eichun

g [%

]

m

Prozentuale Abweichung

1

3

5

2

4

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9

108 V Analyse

Steifigkeitsänderungen, sowohl im verfeinerten Netz als auch im Grundsystem, nahezu gleich. Die rel. Abweichung bleibt bestehen.

Tabelle V.2.2.b: ELR2(x = 14,90 m) Momente mit Netzverfeinerung: Netz= 0,1m

Lastfall Szenarien

11 0 1 2 3 4 5 6

M [kNm] 73796 73926 73699 73602 73921 73731 73823

-d(wc,G) 130 -97 -194 125 -65 27

∆M -d(w,G) 111 -14% -111 14% -156 -20% 156 -25% -45 -30% 45 69%

-d(w,G) 131 1% -96 -1% -176 -10% 141 -13% -44 -32% 44 66%

Netz 1 m

M [kNm] 74022 74152 73924 73827 74147 73957 74049

∆M [kNm] -226 -226 -225 -225 -226 -226 -226

∆M= Netz(0,1m) - Netz(1m)

V.2.3 GR EN ZF A LL BE TR A C H TU N G (NE BE N B E TR A C H T U N G)

Im Szenario 21 werden die linken Pfahlbettungen um 90% des Anfangswertes gesetzt. Die horizontalen Bettungen betragen nur noch 1/10 des Grundsystems. Im Szenario 22 werden die linken und ebenso die rechten Querbettungen um 90% abgemildert. Tabelle V.2.3.a: Szenario 21 und 22:

Stelle x stat. Szenario d(w,Gc)/J(0)

m [m] Größe J(0) Basis 21 22 21 22

J(21) d(w,Gc) J(22) d(w,Gc)

1 1,6 V [kN] 10815 10877 62 10937 122 0,6% 1,1%

2 14,8 M [kNm] 74022 74942 920 75842 1820 1,2% 2,4%

3 28,8 M [kNm] -140333 -141484 -1151 -142204 -1871 0,8% 1,3%

4 28,8 V [kN] -19263 -19303 -40 -19328 -65 0,2% 0,3%

5 30,8 M [kNm] -155835 -155595 240 -155003 832 -0,2% -0,5%

6 30,8 V [kN] 21316 21344 28 21330 14 0,1% 0,1%

7 29,8 M [kNm] 28068 26893 -1175 24224 -3843 -4,4% -15,9%

8 29,8 V [kN] 2303 1931 -372 1693 -610 -19,3% -36,0%

9 49,8 M [kNm] 88607 89843 1236 90645 2038 1,4% 2,2%

Trotz der großen Reduktion der Pfahlbettungen, bleiben die Schnittgrößen prozen-tual gesehen nahezu unverändert, bis auf die Querschnittsgrößen (7, 8) im Pfahl.

V Analyse 109

V.2.4 ER G E B N IS S E

Die Näherungsformel -d(w, G) wird hier ebenfalls in fast allen Fällen tendenziell und quantitativ bestätigt. Die Einflüsse aus den Federsteifigkeitsänderungen sind minimal < 2%.

110 V Analyse

V.2.5 BE U R T E I L U N G D E R NÄ H ER U N G -D(W,G)

Verglichen werden die Endschnittgrößen mit den genäherten Schnittgrößen.

Liegen die prognostizierten Schnittkräfte betragsmäßig kleiner, als die richtigen Werte, so liegen sie auf der unsicheren Seite, anderenfalls auf der sicheren Seite.

O = Näherung liegt auf der sicheren Seite; |J(0)-d(w,G)| ≥ | J(0)-d(w,Gc)|

X = Näherung liegt auf der unsicheren Seite; |J(0)-d(w,G)| < | J(0)-d(w,Gc)|

(Die Werte für die Näherungen sind in den Tabellen IV.2.a bis IV.2.i enthalten.)

Beispiel: Rechter Pfahl; Szenario 1; EL = 3

J(0) + ∆J = J(3); ∆J = -d(w,Gc)

J(0) = 10.802 kN;

-d(w,Gc) = -13,4 kN; -d(w,G) = -10,5 kN

|J(0)-d(w,G)| ≥ | J(0)-d(w,Gc)|

|10.791,5| ≥ |10.788,6| liegt auf der sicheren Seite (O)

V.2.5.a:Vergleich Endschnittgrößen mit den genäherten Schnittgrößen; O = Näherung liegt auf der siche-ren Seite; X = Näherung liegt auf der unsicheren Seite

m Szenario

Linker Pfahl Rechter Pfahl L&R

1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 15 16

1 O O X X X X X X O O O O X X

2 X X X X X X X X O O O O X X

3 X X O O O O X X X X X X O O

4 X O O O O O X O X X X X O O

5 O O O O O O O O X X X X O O

6 X X O O O O O O X X X X O O

7 O O O O O O O O O O O O O O

8 O O O O O O O O O O O O O O

9 X X X X X X X X X X X X X X

Gesamtzahl der Vergleichswerte (6 + 6 + 2) * 9 = 126. Davon liegen 56 (44%) auf der unsicheren und 70 (56%) auf der sicheren Seite.

V Analyse 111

V.3 RIEGEL (29,80 M < X < 69,80 M)


Die Näherung (N1)

( , ) ( ) ( , )

: Steifigkeitsänderung im Riegel( ) : Krümmung aus maß. Lastfall( , ) : Krümmung aus Einflussfunktion

d w G EI w x G x m dx

EIw xG x m

′′ ′′− = − Δ ⋅ ⋅

Δ =′′ =′′ =

∫

wird mit der modifizierten Näherung (N2)

( , ) ( , ) ( / 2)

EId w G d w GEI EI

− = −+Δ

verglichen.

Nach Ermittlung der Differenzschnittgrößen der richtigen Werte (Sofistikwerte) und der Werte aus den Verfahren N1 und N2, werden die relativen Abweichungen je nach Szena-rio zu den richtigen Werten bestimmt.

1

2

( ) (0)

(0) richtige stat. Größe aus Grundsystem( ) richtige stat. Größe aus Szenario i

. [%] ( 1 ) /

. [%] ( 2 ) /

richitg

richitg richtig

richitg richtig

N J i J

JJ irel Fehler N N N

rel Fehler N N N

= −

==

= −

= −

Die rel. Fehler werden quadriert, über die Szenarien 1 (Riegel weak) und 2 (Riegel strong) summiert und tabellarisch nach den Verfahren zusammengefasst. Die statischen Größen 3,4,5 und 6 werden hier in diesem Test nicht eingeschlossen, da die relativen Abweichen zu hoch sind (> 50%). Die einzelnen rel. Fehler sind in der Tabelle IV.3.b kursiv ge-schrieben zu finden.

2

2 2 2 2 2

. ( 1, 2); ( 1,2,7,8,9)

: ( 11) ( 11) ( 12) ( 12) ( 13) 699 (für Verfahren 1)

i imm

SumQuad rel Fehler i m

i SzenarioBeispiel

= = =

=

− + − + − + − + − =

∑

112 V Analyse

Tabelle V.3.1.a: SumQuadTest: Summe(Relative Abweichung²); EL(1, 2, 7, 8,9)

Spalte (1) (2) (3) (4) (5) Integration-

Verfahren Riegel weak Riegel strong SumQuadTest

-d(w,G) -d(w,G) -d(w,G) -d(w,G) (1)+(2)+(3)+(4) 1 699 1530 1138 327 3694 2 842 1244 891 435 3411 3 861 1213 866 449 3389

Tabelle V.3.1.b: Vergleich: SumQuadTest

-d(w,G) -d(w,G) Verfahren (1)+(3) (2)+(4)

1 1837 1857 2 1733 1678 3 1727 1662

Die Näherung N1 schneidet im Szenario 1 besser als Verfahren N2 ab. Im Szenario 2 verschlechtert sich N1 zu N2. In der Summe sind N1 und N2 gleichwertig. Siehe Tabelle V.3.1.b.

V.3.2 VE R G L E I C H: REL. AB W E I C H U N G E N D E R R I C H T I G E N S T A T I S C H E N

GR Ö ß E N

Im Folgenden werden die relativen Abweichungen infolge der Steifigkeitsänderung des Riegels für die stat. Größen im Punkt mi ermittelt.

( ) (0). [%] (i = 1, 2); (m = 1, ..., 9)(0)

(0) : richtige Werte im 0-Szenario (Grundsystem)( ) : richtige Werte im i-Szenario

(Schnittgrößen stehen in der Tabelle IV.3.a)

m mim

m

m

m

J i Jrel AbweichungJ

JJ i

−=

=

=

V Analyse 113

Tabelle V.3.2.a: Relative Abweichungen der richtigen Schnittgrößen infolge Steifigkeitsänderung des Rie-gels um ±50%.

Richtige rel. Abweichung (±50% Rie-gel)

m weak Strong1 3,6% -2,7%2 7,7% -5,9%3 -2,7% 0,1%4 -0,7% 0,0%5 -0,7% -1,3%6 -2,6% 1,3%7 15,1% -11,6%8 15,1% -11,6%9 -20,1% 15,4%

Steifigkeitsänderung in Höhe von ±50% der Grundsteifigkeit haben hier für die unter-suchten Schnittgrößen nur einen geringen Einfluss auf die Schnittgrößen.

V.3.3 GENAU ER E UN T E R S U C H U N G D ER PU N K T E M 3 , 4 U N D M 5 , 6

Aufgrund der hohen Abweichung wird die Steifigkeit des Riegels schrittweise um 10% geschwächt bzw. verstärkt und tabellarisch und graphisch zusammengefasst. Die Steifig-keit des Riegels wird von -90% bis +90% variiert. Folgende Schnittgrößen werden unter-sucht:

Das Moment und die Querkraft an der Stelle x = 28,80 m im maßgebenden Lastfall 13 (Auflast über

die Felder 1 und 2 (0 m < x < 69,80 m). Das Moment und die Querkraft an der Stelle x = 30,80 m im maßgebenden Lastfall 13.

Die blaue Kurve links neben der Null beschreibt das schwache System. Die rote Kurve hingegen beschreibt das verstärkte System. Die grüne Kurve stellt die Näherung J(N1) = (J(0) - d(w,G)) dar. Die richtigen statischen Größen werden in Richtung der Or-dinate abgetragen. Die Abszisse beschreibt die prozentualen Steifigkeitsänderungen.

114 V Analyse

V.3.4 DA S MO M E N T A N D ER ST E LL E X = 28,80 M I M M A ß G. LA S T F A L L 13 Tabelle V.3.4.a: Riegel LF13 M(x = 28,80 m)

Riegel LF13 M(x = 28,80 m) E-Modul Moment [kNm] E-Modul

[MPa] [%] weak_M29 strong_M29 [%] [MPa] 31387 0 -140333 -140333 0 -3124420

28248,3 -10% -140039,5 -140504,9 10% 34525,725109,6 -20% -139583 -140580,7 20% 37664,421970,9 -30% -138911,9 -140583 30% 40803,118832,2 -40% -137952 -140527,5 40% 43941,815693,5 -50% -136596,3 -140427,38 50% 47080,512554,8 -60% -134687,02 -140292,3 60% 50219,2

9416,1 -70% -131979,6 -140130 70% 53357,96277,4 -80% -128082,7 -139946,7 80% 56496,63138,7 -90% -122362,8 -139747 90% 59635,3

Abbildung V.3.4.a: Momentenverlauf M(x=28,80m) infolge Steifigkeitsänderungen des mittleren Riegels

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-145000

-140000

-135000

-130000

-125000

-120000weak_M29strong_M29J(0)-d(w,G)

deltaEI [%]

M(2

8,80

) [kN

m]

V Analyse 115

V.3.5 DI E QU E R K R A F T A N D E R ST EL LE X = 28,80 M I M M A ß G. LF 13 Tabelle V.3.5.a: Riegel LF13 V(x = 28,80 m)

Riegel LF13 V(x = 28,80 m) E-Modul Querkraft [kN] E-Modul

[MPa] [%] weak_V29 strong_V29 [%] [MPa] -1162326 0 -19263 -19263 0 -1162326

28248,3 -10 -19252,8 -19269 10 34525,725109,6 -20 -19237 -19271,6 20 37664,421970,9 -30 -19213,7 -19272 30 40803,118832,2 -40 -19180 -19269,76 40 43941,815693,5 -50 -19133,3 -19266,29 50 47080,512554,8 -60 -19067 -19262 60 50219,2

9416,1 -70 -18973 -19256 70 53357,96277,4 -80 -18837,8 -19249,6 80 56496,63138,7 -90 -18639,2 -19242,7 90 59635,3

Abbildung V.3.5.a: Querkraftverlauf V(x=28,80m) infolge Steifigkeitsänderungen des mittleren Riegels

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-19400

-19300

-19200

-19100

-19000

-18900

-18800

-18700

-18600

w eak_V29strong_V29J(0)-d(w ,G)

deltaEI [%]

V(28

,80)

[kN

]

116 V Analyse

V.3.6 DA S MO M E N T A N D ER ST E LL E X = 30,80 M I M M A ß G. LA S T F A L L 13 Tabelle V.3.6.a: Riegel LF13 M(x = 30,80 m)

Riegel LF13 M(x = 30,80 m) E-Modul Moment [kNm] E-Modul

[MPa] [%] weak_M31 strong_M31 [%] [MPa] 31387 0 -155835 -155835 0 31387

28248,3 -10 -156028,9 -155535,81 10 34525,725109,6 -20 -156079,7 -155160 20 37664,421970,9 -30 -155933,7 -154729 30 40803,118832,2 -40 -155515 -154257,8 40 43941,815693,5 -50 -154712,64 -153758,56 50 47080,512554,8 -60 -153361,4 -153240 60 50219,2

9416,1 -70 -151203 -152710 70 53357,96277,4 -80 -147813,77 -152173 80 56496,63138,7 -90 -142460,73 -151633,17 90 59635,3

Abbildung V.3.6.a: Momentenverlauf M(x=30,80m) infolge Steifigkeitsänderungen des mittleren Riegels

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-160000

-158000

-156000

-154000

-152000

-150000

-148000

-146000

-144000

-142000

-140000

weak_M31strong_M31J(0)-d(w,G)

deltaEI [%]

M(3

0,80

) [kN

m]

V Analyse 117

V.3.7 DI E QU E R K R A F T A N D E R ST EL LE X = 30,80 M I M M A ß G. LF 13 Tabelle V.3.7.a: Riegel LF13 V(x = 30,80 m)

Riegel LF13 V(x=30,80m) E‐Modul Querkraft [kN] E‐Modul

[MPa] [%] weak_V31 strong_V31 [%] [MPa] 31387 0 21316 21316 0 31387

28248,3 ‐10 21238 21384,67 10 34525,725109,6 ‐20 21147,44 21445 20 37664,421970,9 ‐30 21041 21498 30 40803,118832,2 ‐40 20914 21545 40 43941,815693,5 ‐50 20761,01 21587,7 50 47080,512554,8 ‐60 20572 21626 60 50219,29416,1 ‐70 20333 21661 70 53357,96277,4 ‐80 20020 21692,7 80 56496,63138,7 ‐90 19595,1 21721,7 90 59635,3

Abbildung V.3.7.a: Querkraftverlauf V(x=30,80m) infolge Steifigkeitsänderungen des mittleren Riegels

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 10019500

20000

20500

21000

21500

22000

22500

w eak_V31strong_V31J(0)-d(w ,G)

deltaEI [%]

V(30

,80)

[kN

]

118 V Analyse

V.3.8 AU S W ER T U N G:

Die Näherungen (J(0) - d(w,G)) tangieren in allen Graphen die Kurven. In den Abb. V.3.4.a, Abb. V.3.5.a und Abb. Abb. V.3.6.a nehmen die statischen

Größen sowohl bei Schwächung als auch bei Verstärkung ab. Die stat. Größen sind bei großen Änderungen von Systemsteifigkeiten nicht mehr monoton steigend oder fallend.

Die Tendenz der Näherung stimmt bei kleinen Steifigkeitsänderungen gut überein, sofern sich der Startpunkt weit genug vom Scheitel befindet.

Tabelle V.3.8.a:Tendenzen der Näherung d(w,G) bei ∆EI= ±30% und ±60%, RIEGEL

Tendenz: bei 30% Tendenz: bei 60% X weak strong weak strong

V 28,8 OK OK OK FALSCH M 28,8 OK OK OK FALSCH V 30,8 OK OK FALSCH OK M 30,8 OK OK OK OK

Die Tendenzen treffen nicht in einigen Fällen zu, dennoch liegen sie hier immer auf der sicheren Seite, wie man sich leicht aus den vier vorangegangenen Abbildungen überzeu-gen kann.

V Analyse 119

V.3.9 UR S A C H E F Ü R D A S S C H L E C H T E AB S C H N EI D E N D E R M O D I F I ZI E R T E N

NÄ H ER U N G S F O R M E L

Abbildung V.3.9.a: M-Verlauf (∆EI; 30,80 m); richtiger Verlauf (blau = geschwächtes System; rot = ver-stärktes System); Näherung aus d(w,G)(„Tangente“) = dunkelgrün; Näherung aus d(w,G) = hellgrün

N1= -d(w,G);

N2 = -d(w,G) = -d(w,G) * EI/(EI+∆EI/2)

J(N1) = J(0) - d(w,G) (grüne Tangente)

J(N2) = J(0) - d(w,G) (hellgrüne rechtsgekrümmte Kurve)

Aus Abbildung V.3.9.a wird deutlich, dass die hellgrüne Kurve J(N2) fast immer größere Differenzen als die Näherung N1 aufweist. Die Krümmung der Kurve J(N2) (rechtsge-krümmte Linie) verläuft genau entgegen der richtigen Krümmung (linksgekrümmte Linie, blau und rot). Hieraus folgt, dass im Allgemeinen die Krümmung des richtigen Kurven-verlaufs unbekannt ist und somit die „beste“ Näherung nur die Tangente in diesem Punkt sein kann. Da N1 das Kriterium einer Geraden/Tangente entspricht, ist sie der Näherung N2 vorzuziehen.

Bemerkung: Beträgt das Vorzeichen der Steigungen der Näherungen gleich den Steigun-gen der richtigen Kurve, links vom Scheitel, so gewinnt N2.

-100 -80 -60 -40 -20 0 20 40 60 80 100-165000

-160000

-155000

-150000

-145000

-140000

weak_M31strong_M31J(0)-d(w,G)J(N2)

deltaEI [%]

M(3

0,80

) [kN

m]

120 V Analyse

-158000

-156000

-154000

-152000

-150000

-148000

-146000

-144000

-142000

-140000

weak_M31strong_M31

deltaEI [%]

M(3

0,80

) [kN

m]

Plinks

Prechts

Schwarze Tangente = Näherung J(N1) = J(0)-d(w,G)

Grüne Kurve = Näherung J(N2) = J(0)-d(w,G)

Blaue Kurve = richtiger Momentenverlauf

Szenario X: Das Grundsystem befindet sich im Punkt Plinks mit einer Riegelsteifigkeit EIx. Ausgehend vom Plinks sind die Nähe-rungen N1 und N2 eingetragen. Die Näherung N2 liegt hier näher an der richtigen Kurve als die Tangente N1.

Szenario Y: Das Grundsystem befindet sich im Punkt Prechts mit einer Riegelsteifigkeit EIy. Hier zeigt sich, dass die Prognose der Näherung N2 falsch liegt.

EIx EIy EI

Abbildung V.3.9.b:

Szenario X(Plinks) und Y(Prechts), Betrachtung der Näherungen N1 = -d(w,G) und N2 = -d(w,G)

VI Zusammenfassung 121

KAPITEL VI

VI ZUSAMMENFASSUNG In dieser Arbeit werden die Einflüsse auf Schnittgrößen infolge von Steifigkeitsänderun-gen an einem realen Beispiel „Fahrbachtalbrücke“ untersucht. Im Einzelnen:

Kurze Zusammenstellung der theoretischen Grundlagen. Szenarien generieren. Modellieren der Fahrbachtalbrücke als 2D und 3D Modell in Sofistik. Berechnen der statischen Größen je Szenario. Generieren von Einflusslinien an den ausgewählten Punkten. Auswerten der Näherungsformeln -d(w,G) und –d(w,G) infolge Variationen

der Steifigkeiten o der horizontalen Pfahlbettungen, o der vertikalen Pfahlsenkfedern und o der Riegelsteifigkeit.

Analyse der Differenzwerte

VI FAZIT Die Einflüsse aus der Pfahlbettung im Untersuchungsbereich auf die maßgeblichen Schnittgrößen sind gering. Gleiches gilt auch für die Pfahlsenkfedern.

Mit Hilfe der Näherungslösung –d(w,G) ist es möglich, die Einflüsse von Steifigkeitsän-derungen zu berechnen, ohne eine Neuberechnung mit veränderten Systemparametern durchzuführen. Für die Variation der Pfahlbettung und Senkfeder wird Folgendes festges-tellt: Die Werte stimmen tendenziell mit den richtigen Werten überein. Quantitativ unter-liegen sie einem relativen Fehler von ca. ±20%. Von den 126 ermittelten Differenz-schnittgrößen liegen 56 (44%) auf der unsicheren und 70 (56%) auf der sicheren Seite.

Für die Variation der Riegelsteifigkeit wird Folgendes festgestellt: Bei kleinen Variatio-nen der Steifigkeiten (<10%) stimmen die Näherungen quantitativ und tendenziell gut überein. Bei größeren Steifigkeitsänderungen bis zu 30% vergrößert sich der Abstand zu den richtigen Differenzschnittgrößen. Die Tendenz bleibt erhalten. Bei noch größeren Änderungen (>40% der Anfangssteifigkeit) versagt die Näherung in einigen Fällen. Den-noch liegen sie hier immer auf der sicheren Seite.

Das Verfahren „Sensitivitätsanalyse mit Einflussfunktionen“ kann für kleine Steifigkeits-änderungen, wie hier gezeigt wurde, durchaus angewandt werden.

122 VI Zusammenfassung

Leere Seite

A Berechnung der Schnittgrößenänderungen (LINKER Pfahl x = 29,80 m) 123

ANHANG A

BERECHNUNG DER SCHNITTGRÖßENÄNDERUNGEN

(LINKER PFAHL X = 29,80 M)

INHALT

A Berechnung der Schnittgrößenänderungen (LINKER Pfahl x = 29,80 m) 124 A.1 Schnittkraftänderungen im Szenario 1 und 2 (LINKER Pfahl) ......................... 125

A.1.1 Ermittlung der Schnittkraftänderung V(x = 1,60 m) .................................... 125 A.1.2 Ermittlung der Schnittkraftänderung M(x = 14,90 m) ................................. 128 A.1.3 Ermittlung der Schnittkraftänderung M(x = 28,80 m) ................................. 130 A.1.4 Ermittlung der Schnittkraftänderung V(x = 28,80 m) .................................. 132 A.1.5 Ermittlung der Schnittkraftänderung M(x = 30,80 m) ................................. 134 A.1.6 Ermittlung der Schnittkraftänderung V(x = 30,80 m) .................................. 136 A.1.7 Ermittlung der Schnittkraftänderung M(x = 29,80 m; y = 2,80 m) ............. 138 A.1.8 Ermittlung der Schnittkraftänderung V(x = 29,80 m; y = 2,80 m) .............. 140 A.1.9 Ermittlung der Schnittkraftänderung V(x = 29,80 m; y = 2,80 m) .............. 142 A.1.10 Ermittlung der Schnittkraftänderung M(x = 29,80 m; y = 2,80 m) ............. 144 A.1.11 Ermittlung der Schnittkraftänderung V(x = 29,80 m; y = 2,80 m) .............. 146

A.2 Schnittkraftänderungen im Szenario 3 und 4 .................................................... 148 A.2.1 Ermittlung der Schnittkraftänderung V(x = 1,60 m); Senkfeder ................. 148 A.2.2 Ermittlung der Schnittkraftänderung M(x = 14,80 m); Senkfeder ............... 149

A.3 Szenario 5 und 6 ................................................................................................ 149

A.4 Berechnung der Differenzschnittgrößen nach verbesserter Näherung ( , )d w G 150

124 A Berechnung der Schnittgrößenänderungen (LINKER Pfahl x = 29,80 m)

A BERECHNUNG DER SCHNITTGRÖßENÄNDERUNGEN

(LINKER PFAHL X = 29,80 M) Für die Berechnung der statischen Größen infolge von Lagersteifigkeitsänderungen sind nur die Verformungen im Bereich der Pfähle/Bettung von Bedeutung.

Im Folgenden werden Berechnungen für die Änderungen der stat. Größen ermittelt. Mit Hilfe der unten stehenden Gleichung wird eine Näherung angegeben, die nach ihrer Mo-difikation nur Werte aus dem Hauptsystem benötigt.

( , ) ( ) ( , )

: Steifigkeitsänderung in der Bodenschicht

( ) : Verschiebung aus maß. Lastfall( , ) : Verschiebung aus EL : Schichtdicke

Anwendung der

j

c cF i j ia

j

j

ci

j


k j

w xG x ma j

= Δ ⋅ ⋅

Δ =

=

==

∑∫

Näherung

( , ) ( , )

( , ) ( ) ( , )j

ci i

cF i F i

F i j iaj

G G

d w G d w G


≈

≈

= Δ ⋅ ⋅∑∫

Für 4 Bodenschichten folgt:

1

2

3

1

2

3

4

( , ) ( ) ( , ) (Schicht 1)

( ) ( , ) (Schicht 2)

( ) ( , ) (Schicht 3)

( ) ( , )

F i ia

ia

ia

i


k w x G x m dx

k w x G x m dx

k w x G x m dx

= Δ ⋅ ⋅

+ Δ ⋅ ⋅

+ Δ ⋅ ⋅

+ Δ ⋅ ⋅

∫

∫

∫

4

1,2,3,4

(Schicht 4)

( ) Biegelinie aus maß. Lastfall( , ) Einflussfunktion

Steifigkeitsänderungen in den Bodenschichten 1, 2, 3, 4

a

i

w xG x m

k

=

=Δ =

∫

Anwendung der Formel (A.1.1.a):

Die Auswertung erfolgt, indem wir die horizontale Pfahlverschiebung aus dem maßge-benden Lastfall mit der jeweiligen Einflusslinie Schichtweise überlagern und summieren.

(A.1.1.a)


A.1 SCHNITTKRAFTÄNDERUNGEN IM SZENARIO 1 UND 2 (LINKER

PFAHL)

A.1.1 ERMITTLUNG DER SCHNITTKRAFTÄNDERUNG V(X = 1,60 M)

Gegeben: Biegelinie aus maß. Lastfall 11 und EL1,

1 2 3 415 / ³; 20 / ³; 20 / ³; 50 / ³k MN m k MN m k MN m k MN mΔ = − Δ = − Δ = − Δ = −

Aus Schicht 1:

Aus Schicht 2:

Schicht 3 und Schicht 4 werden aufgrund der kleinen Verschiebungen vernachlässigt.

Die Addition der Einzelterme ergibt: -4,7 kN

4,65 9,56 6,9 17,8

( ) ( )

( ) ( )

2,66

1 1 2 2 1 2

6 -6 3

15 3.688 3,7kN

1Anwendung der Trapezformel: 2 26

N 1-15 10 9,56 2 17,8 6,9 4,65 17,8 2 6,9 2,66 10 3.688m³ 6

dx N

j k k j k k l

m N

− ⋅ = − −

⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦

⎡ ⎤⎡ ⎤⋅ ⋅ ⋅ ⋅ + + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ = −⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ i

Abbildung A.1.1.a: Ausschnitt linker Pfeiler in [mm]: Horizontale Stabverschiebung infolge maß. Lastfall

Abbildung A.1.1.b: Ausschnitt linker Pfeiler in [mm]: Horizontale Stabverschiebung infolge EL1

Schicht 1

Schicht 2 Schicht 3

Schicht 4

520 996 1,0kNdx N− ⋅ = − −∫ i

6,9 -0,75

4,65 -0,17


3( , ) 4,7

( ) ( ) ( , ) 4,7

( ) ( ) 4,7

F

c c

c

d w G kN

J w J w d w G kN

J w J w kN

= −

− = −

+

Nehmen die horizontalen Steifigkeiten in den Bodenschichten ab,

nimmt die Querkraft an der Stelle m um den Betrag 4,7 kN zu.

Nehmen die horiz. Steifigkeiten zu,

nimmt die Querkraft an der Stelle m um den Betrag 4,7 kN ab.

Die Nachrechnung mit Sofistik ergibt an der Stelle x = 1,6 m

für das Grundsystem eine Querkraft von V = 10815 kN und für das Szenario 1 (min. linke horiz. Pfahlbettung) eine Querkraft = 10820 kN,

∆V = 5 kN; das Szenario 2 (max. linke horiz. Pfahlbettung) eine Querkraft = 10.811 kN,

∆V = -4 kN Eine genauere Nachrechnung ergibt für die Näherung –dF(wLF11,GEL1) = -4,25 kNm ≈ -4,7 kNm. (siehe nächste Seite) Kleines Zahlenbeispiel für die Bestimmung von d(wLF11,GEL1)=∑∆dj

( ) ( )

( ) ( )

1 1 2 2 1 2

1. 2. 1. 2.

1 2 26

; ; ; k (i=1, ..., 23)

Beispiel: 115 17,8 2 9,56 8 13,8 9,56 2 8 0,889 1856,826

i i i i i i i i

d k Trapezformel

d k j k k j k k l

j al j ar k bl br

d

Δ = Δ ⋅

⎡ ⎤Δ = Δ + + +⎣ ⎦

= = = =

⎡ ⎤Δ = − ⋅ + + + ⋅ = −⎣ ⎦

8 9,56 13,8 17,8

( ) ( )

0,889

1 1 2 2 1 2

15 1.856,82

1Anwendung der Trapezformel: 2 26

dx N

j k k j k k l

− ⋅ = −

⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦

∫ i


Tabelle A.1.a: Berechnung der Querkraft V(x=1,60); d(w, G); EL 1 x LF 11

Kote Schicht ∆k ∆L al ar bl br ∆d d [m] [-] [MN/m³] [m] [mm] [mm] [mm] [mm] [N] [kN]

15,1333 1

-15 0,889 17,8 13,8 9,56 8 -1856,82 16,0223 -15 0,889 13,8 10,1 8 6,3 -1146,37 16,9113 -15 0,889 10,1 6,9 6,3 4,65 -626,44 -3,63

17,8

2

-20 1 6,9 3,98 4,65 3,01 -424,69 18,8 -20 1 3,98 1,85 3,01 1,72 -142,46 19,8 -20 1 1,85 0,453 1,72 0,788 -31,05 20,8 -20 1 0,453 -0,361 0,788 0,179 -1,27 21,8 -20 1 -0,361 -0,746 0,179 -0,172 -0,19 -0,6022,8

3

-20 0,946 -0,746 -0,844 -0,172 -0,33 -3,80 23,746 -20 0,946 -0,844 -0,788 -0,33 -0,374 -5,43 24,692 -20 0,946 -0,788 -0,655 -0,374 -0,35 -4,95 25,638 -20 0,946 -0,655 -0,497 -0,35 -0,291 -3,51 26,584 -20 0,946 -0,497 -0,344 -0,291 -0,221 -2,05 27,53 -20 0,946 -0,344 -0,216 -0,221 -0,153 -1,00

28,476 -20 0,946 -0,216 -0,117 -0,153 -0,097 -0,40 29,422 -20 0,946 -0,117 -0,05 -0,097 -0,053 -0,12 30,368 -20 0,946 -0,05 0 -0,053 -0,022 -0,02 31,314 -20 0,946 0 0,02 -0,022 -0,003 0,00 32,26 -20 0,946 0,02 0,03 -0,003 0,0083 0,00

33,206 -20 0,946 0,03 0,03 0,0083 0,0131 -0,01 34,152 -20 0,946 0,03 0,03 0,0131 0,0141 -0,01 -0,0235,098 4 -50 1 0,03 0,02 0,0141 0,0133 -0,02 36,098 -50 1 0,02 0,01 0,0133 0,0122 -0,01 0,00

( , ) LF EL j LF ELljj

d w G k w G dxΔ

= Δ ⋅ ⋅∑ ∫

Summe: -4,25


A.1.2 ERMITTLUNG DER SCHNITTKRAFTÄNDERUNG M(X = 14,90 M)



( , ) 69,6

( ) ( ) ( , ) 69,6F

c c

d w G kNm

J w J w d w G kNm

= −

− = −


nimmt das Moment an der Stelle m um den Betrag 69,6 kNm zu.


nimmt das an der Stelle m um den Betrag 69,6 kNm ab.


für das Grundsystem ein Moment von M = 74.022 kNm für das das Szenario 1 (min. linke horiz. Pfahlbettung) ein Moment = 74.097 kNm,

∆M = 75 kNm; das Szenario 2 (max. linke horiz. Pfahlbettung) ein Moment = 73.967 kNm,

∆M = -55 kNm. Eine genauere Nachrechnung ergibt für ∆M = -63,35 kNm ≈ -69,6 kNm.



Schicht 1

Schicht 2 Schicht 3

Schicht 4


Tabelle A.1.b: Berechnung von d(w, G); EL 2 x LF 11; M(x=14,90);

Kote Schicht ∆k ∆L al11 ar11 bl2 br2 ∆d ∆d [m] [-] [MN/m³] [m] [mm] [mm] [mm] [mm] [Nm] [kNm]

15,1333 1

-15 0,889 17,8 13,8 142,5 119,2 -27672,75 16,0223 -15 0,889 13,8 10,1 119,2 93,9 -17083,11 16,9113 -15 0,889 10,1 6,9 93,9 69,3 -9336,63 -54,09

17,8

2

-20 1 6,9 3,98 69,3 44,9 -6331,23 18,8 -20 1 3,98 1,85 44,9 25,6 -2123,59 19,8 -20 1 1,85 0,453 25,6 11,7 -461,87 20,8 -20 1 0,453 -0,361 11,7 2,66 -18,87 21,8 -20 1 -0,361 -0,746 2,66 -2,57 -2,86 -8,9422,8

3

-20 0,946 -0,746 -0,844 -2,57 -4,92 -56,69 23,746 -20 0,946 -0,844 -0,788 -4,92 -5,58 -81,00 24,692 -20 0,946 -0,788 -0,655 -5,58 -5,21 -73,72 25,638 -20 0,946 -0,655 -0,497 -5,21 -4,34 -52,25 26,584 -20 0,946 -0,497 -0,344 -4,34 -3,29 -30,60 27,53 -20 0,946 -0,344 -0,216 -3,29 -2,29 -14,98

28,476 -20 0,946 -0,216 -0,117 -2,29 -1,44 -6,01 29,422 -20 0,946 -0,117 -0,05 -1,44 -0,786 -1,83 30,368 -20 0,946 -0,05 0 -0,786 -0,328 -0,30 31,314 -20 0,946 0 0,02 -0,328 -0,037 0,03 32,26 -20 0,946 0,02 0,03 -0,037 0,124 -0,02

33,206 -20 0,946 0,03 0,03 0,124 0,195 -0,09 34,152 -20 0,946 0,03 0,03 0,195 0,21 -0,11 -0,3235,098 4 -50 1 0,03 0,02 0,21 0,199 -0,26 36,098 -50 1 0,02 0,01 0,199 0,181 -0,14 0,00


d w G k w G dxΔ

= Δ ⋅ ⋅∑ ∫

Summe: -63,35





( , ) 86,62

( ) ( ) ( , ) 86,62

( ) ( ) 86,62

F

c c

c

d w G kNm

J w J w d w G kNm

J w J w kNm

=

− = − −

−


nimmt das Moment an der Stelle m um den Betrag 86,6 kNm ab.



Die Nachrechnung mit Sofistik ergibt an der Stelle x = 28,8 m für

das Grundsystem ein Moment von M = -140.333 kNm, das Szenario 1 (min. linke horiz. Pfahlbettung) ein Moment = -140.435kNm,

∆M = -102 kNm

das Szenario 2 (max. linke horiz. Pfahlbettung) ein Moment = -140.258kNm,

∆M = 75 kNm



Schicht 1

Schicht 2 Schicht 3

Schicht 4


Tabelle A.1.c: Berechnung von d(w, G); EL 3 x LF 13; M(x=14,90)


15,1333 1

-15 0,889 -13,4 -10 275,4 230,4 39627,35 16,0223 -15 0,889 -10 -7,06 230,4 181,6 23591,43 16,9113 -15 0,889 -7,06 -4,57 181,6 134 12368,00 75,59

17,8

2

-20 1 -4,57 -2,41 134 86,8 7875,84 18,8 -20 1 -2,41 -0,917 86,8 49,6 2361,58 19,8 -20 1 -0,917 0,02 49,6 22,7 366,27 20,8 -20 1 0,02 0,518 22,7 5,15 -60,35 21,8 -20 1 0,518 0,712 5,15 -4,97 2,17 10,5522,8

3

-20 0,946 0,712 0,717 -4,97 -9,51 97,91 23,746 -20 0,946 0,717 0,626 -9,51 -10,8 128,83 24,692 -20 0,946 0,626 0,495 -10,8 -10,1 110,96 25,638 -20 0,946 0,495 0,358 -10,1 -8,38 74,93 26,584 -20 0,946 0,358 0,236 -8,38 -6,36 41,80 27,53 -20 0,946 0,236 0,138 -6,36 -4,42 19,37

28,476 -20 0,946 0,138 0,0655 -4,42 -2,78 7,12 29,422 -20 0,946 0,0655 0,0173 -2,78 -1,52 1,78 30,368 -20 0,946 0,0173 -0,011 -1,52 -0,634 0,10 31,314 -20 0,946 -0,011 -0,026 -0,634 -0,072 -0,11 32,26 -20 0,946 -0,026 -0,029 -0,072 0,24 0,05

33,206 -20 0,946 -0,029 -0,027 0,24 0,377 0,16 34,152 -20 0,946 -0,027 -0,021 0,377 0,407 0,18 0,4835,098 4 -50 1 -0,021 0,0132 0,407 0,384 0,08 36,098 -50 1 0,0132 0,0052 0,384 0,35 -0,17 0,00


d w G k w G dxΔ

= Δ ⋅ ⋅∑∫

Summe: 86,62





( , ) 3,0

( ) ( ) ( , ) 3,0F

c c

d w G kN

J w J w d w G kN

=

− = − −






das Grundsystem eine Querkraft von V = -19.263 kN, das Szenario 1 (min. linke horiz. Pfahlbettung) eine Querkraft = -19.266 kN,

∆V = -3 kN das Szenario 2 (max. linke horiz. Pfahlbettung) eine Querkraft = -19.260 kN,

∆V = 3 kN



Schicht 1

Schicht 2 Schicht 3

Schicht 4


Tabelle A.1.d: Berechnung der Querkraft M(x=28,80); d(w, G); EL 4 x LF 13


15,1333 1

-15 0,889 -13,4 -10 9,56 8 1375,75 16,0223 -15 0,889 -10 -7,06 8 6,3 818,85 16,9113 -15 0,889 -7,06 -4,57 6,3 4,65 429,11 2,62

17,8

2

-20 1 -4,57 -2,41 4,65 3,01 273,24 18,8 -20 1 -2,41 -0,917 3,01 1,72 81,89 19,8 -20 1 -0,917 0,02 1,72 0,788 12,70 20,8 -20 1 0,02 0,518 0,788 0,179 -2,10 21,8 -20 1 0,518 0,712 0,179 -0,172 0,07 0,3722,8

3

-20 0,946 0,712 0,717 -0,172 -0,33 3,39 23,746 -20 0,946 0,717 0,626 -0,33 -0,374 4,47 24,692 -20 0,946 0,626 0,495 -0,374 -0,35 3,84 25,638 -20 0,946 0,495 0,358 -0,35 -0,291 2,60 26,584 -20 0,946 0,358 0,236 -0,291 -0,221 1,45 27,53 -20 0,946 0,236 0,138 -0,221 -0,153 0,67

28,476 -20 0,946 0,138 0,0655 -0,153 -0,097 0,25 29,422 -20 0,946 0,0655 0,0173 -0,097 -0,053 0,06 30,368 -20 0,946 0,0173 -0,011 -0,053 -0,022 0,00 31,314 -20 0,946 -0,011 -0,026 -0,022 -0,003 0,00 32,26 -20 0,946 -0,026 -0,029 -0,003 0,0083 0,00

33,206 -20 0,946 -0,029 -0,027 0,0083 0,0131 0,01 34,152 -20 0,946 -0,027 -0,021 0,0131 0,0141 0,01 0,0235,098 4 -50 1 -0,021 0,0132 0,0141 0,0133 0,00 36,098 -50 1 0,0132 0,0052 0,0133 0,0122 -0,01 0,00


d w G k w G dxΔ

= Δ ⋅ ⋅∑ ∫

Summe: 3,01





( , ) 4,7

( ) ( ) ( , ) 4,7F

c c

d w G kNm

J w J w d w G kNm

=

− = − −






das Grundsystem ein Moment von M = -155.835 kNm, das Szenario 1 (min. linke horiz. Pfahlbettung) ein Moment = -155.839kNm,

∆M = -4 kNm

das Szenario 2 (max. linke horiz. Pfahlbettung) ein Moment = -155.830kNm,

∆M = 5 kNm



Schicht 1

Schicht 2 Schicht 3

Schicht 4


Tabelle A.1.e: Berechnung von d(w, G); EL 5 x LF 13; M(x=30,80)


15,1333 1

-15 0,889 -13,4 -10 76,2 24,4 8043,49

16,0223 -15 0,889 -10 -7,06 24,4 -8,88 991,41 16,9113 -15 0,889 -7,06 -4,57 -8,88 -27,6 -1362,59 7,67

17,8

2

-20 1 -4,57 -2,41 -27,6 -36 -2189,40

18,8 -20 1 -2,41 -0,917 -36 -35,8 -1194,89 19,8 -20 1 -0,917 0,02 -35,8 -30,8 -306,51 20,8 -20 1 0,02 0,518 -30,8 -23,9 141,42 21,8 -20 1 0,518 0,712 -23,9 -16,9 248,66 -3,30

22,8

3

-20 0,946 0,712 0,717 -16,9 -11 188,53

23,746 -20 0,946 0,717 0,626 -11 -6,3 110,57 24,692 -20 0,946 0,626 0,495 -6,3 -2,9 49,48 25,638 -20 0,946 0,495 0,358 -2,9 -0,639 14,77 26,584 -20 0,946 0,358 0,236 -0,639 0,696 0,10 27,53 -20 0,946 0,236 0,138 0,696 1,35 -3,52

28,476 -20 0,946 0,138 0,0655 1,35 1,54 -2,76 29,422 -20 0,946 0,0655 0,0173 1,54 1,45 -1,18 30,368 -20 0,946 0,0173 -0,0114 1,45 1,22 -0,08 31,314 -20 0,946 -0,0114 -0,0255 1,22 0,935 0,37 32,26 -20 0,946 -0,0255 -0,0294 0,935 0,648 0,41

33,206 -20 0,946 -0,0294 -0,0269 0,648 0,384 0,28 34,152 -20 0,946 -0,0269 -0,021 0,384 0,149 0,12 0,36

35,098 4

-50 1 -0,021 0,0132 0,149 -0,0764 0,04

36,098 -50 1 0,0132 0,0052 -0,0764 -0,294 0,08 0,00


d w G k w G dxΔ

= Δ ⋅ ⋅∑∫ Summe: 4,73





( , ) 3,7

( ) ( ) ( , ) 3,7F

c c

d w G kN

J w J w d w G kN

= −

− = −






für das Grundsystem eine Querkraft von V = 21.316 kN, für das Szenario 1 (min. linke horiz. Pfahlbettung) eine Querkraft = 21.321 kN,

∆V = 5 kN für das Szenario 2 (max. linke horiz. Pfahlbettung) eine Querkraft = 21.313 kN,

∆V = -3 kN



Schicht 1

Schicht 2 Schicht 3

Schicht 4


Tabelle A.1.f: Berechnung von d(w, G); EL 6 x LF 13; V(x=30,80)

Kote Schicht ∆k ∆L al13 ar13 bl3 br3 ∆d ∆d [m] [-] [MN/m³] [m] [mm] [mm] [mm] [mm] [N] [kN]

15,1333

1

-15 0,889 -13,4 -10 -16,1 -10,6 -2.103,60 16,0223 -15 0,889 -10 -7,06 -10,6 -6,39 -980

16,9113 -15 0,889 -7,06 -4,57 -6,39 -3,22 -381,4 -3,4717,8

2

-20 1 -4,57 -2,41 -3,22 -0,797 -148,9 18,8 -20 1 -2,41 -0,917 -0,797 0,629 -6,3 19,8 -20 1 -0,917 0,02 0,629 1,32 7,7 20,8 -20 1 0,02 0,518 1,32 1,5 -7,7

21,8 -20 1 0,518 0,712 1,5 1,39 -17,7 -0,1722,8

3

-20 0,946 0,712 0,717 1,39 1,15 -17,2 23,746 -20 0,946 0,717 0,626 1,15 0,865 -12,8 24,692 -20 0,946 0,626 0,495 0,865 0,596 -7,8 25,638 -20 0,946 0,495 0,358 0,596 0,37 -3,9 26,584 -20 0,946 0,358 0,236 0,37 0,196 -1,6 27,53 -20 0,946 0,236 0,138 0,196 0,075 -0,5

28,476 -20 0,946 0,138 0,0655 0,075 -0,002 -0,1 29,422 -20 0,946 0,0655 0,0173 -0,0021 -0,045 0 30,368 -20 0,946 0,0173 -0,0114 -0,0446 -0,062 0 31,314 -20 0,946 -0,0114 -0,0255 -0,0624 -0,064 0 32,26 -20 0,946 -0,0255 -0,0294 -0,0638 -0,055 0

33,206 -20 0,946 -0,0294 -0,0269 -0,0554 -0,042 0

34,152 -20 0,946 -0,0269 -0,021 -0,0419 -0,026 0 -0,0435,098

4

-50 1 -0,021 0,0132 -0,0263 -0,009 0

36,098 -50 1 0,0132 0,0052 -0,0094 0,007 0 0,00

Summe: -3,68


d w G k w G dxΔ

= Δ ⋅ ⋅∑∫


A.1.7 ERMITTLUNG DER SCHNITTKRAFTÄNDERUNG M(X = 29,80 M; Y = 2,80 M)



( , ) 21,8

( ) ( ) ( , ) 21,8F

c c

d w G kNm

J w J w d w G kNm

=

− = − −





Die Nachrechnung mit Sofistik ergibt an der Stelle x = 29,8 m; y= 2,8 m für

das Grundsystem ein Moment von M = 28.068 kNm, das Szenario 1 (min. linke horiz. Pfahlbettung) ein Moment = 28.040 kNm,

∆M = -28 kNm das Szenario 2 (max. linke horiz. Pfahlbettung) ein Moment = 28.085 kNm,

∆M = 17 kNm



Schicht 1

Schicht 2 Schicht 3

Schicht 4


Tabelle A.1.g: Berechnung von d(w, G); EL 7 x LF 11; M(x = 29,80 m; y = 2,80 m)

Kote Schicht ∆k ∆L al ar bl br ∆d d [m] [-] [MN/m³] [m] [mm] [mm] [mm] [mm] [Nm] [kNm]

15,1333 1

-15 0,889 17,8 13,8 69,1 -12,4 -6335,41 16,0223 -15 0,889 13,8 10,1 -12,4 -59,9 5565,32 16,9113 -15 0,889 10,1 6,9 -59,9 -81,7 7947,48 7,18

17,8

2

-20 1 6,9 3,98 -81,7 -85,2 9062,33 18,8 -20 1 3,98 1,85 -85,2 -75,8 4726,52 19,8 -20 1 1,85 0,453 -75,8 -60,5 1605,12 20,8 -20 1 0,453 -0,361 -60,5 -43,9 70,54 21,8 -20 1 -0,361 -0,746 -43,9 -20,9 -343,91 15,1222,8

3

-20 0,946 -0,746 -0,844 -20,9 -17,3 -286,73 23,746 -20 0,946 -0,844 -0,788 -17,3 -8,62 -200,85 24,692 -20 0,946 -0,788 -0,655 -8,62 -2,72 -78,64 25,638 -20 0,946 -0,655 -0,497 -2,72 0,895 -10,84 26,584 -20 0,946 -0,497 -0,344 0,895 2,78 14,16 27,53 -20 0,946 -0,344 -0,216 2,78 3,48 16,44

28,476 -20 0,946 -0,216 -0,117 3,48 3,42 10,88 29,422 -20 0,946 -0,117 -0,05 3,42 2,96 5,09 30,368 -20 0,946 -0,05 0 2,96 2,33 1,30 31,314 -20 0,946 0 0,02 2,33 1,68 -0,36 32,26 -20 0,946 0,02 0,03 1,68 1,1 -0,65

33,206 -20 0,946 0,03 0,03 1,1 0,594 -0,48 34,152 -20 0,946 0,03 0,03 0,594 0,167 -0,22 -0,5335,098 4 -50 1 0,03 0,02 0,167 -0,229 0,02 36,098 -50 1 0,02 0,01 -0,229 -0,609 0,30 0,00


d w G k w G dxΔ

= Δ ⋅ ⋅∑∫

Summe: 21,77


A.1.8 ERMITTLUNG DER SCHNITTKRAFTÄNDERUNG V(X = 29,80 M; Y = 2,80 M)



11 8( , ) 34,1

( ) ( ) ( , ) 34,1F LF EL

c c

d w G kN

J w J w d w G kN

=

− = − −





Die Nachrechnung mit Sofistik ergibt an der Stelle x = 29,8 m; y = 2,8 m für

das Grundsystem eine Querkraft von V = 2.303 kN, das Szenario 1 (min. linke horiz. Pfahlbettung) eine Querkraft = 2.263 kN,

∆V = -40 kN das Szenario 2 (max. linke horiz. Pfahlbettung) eine Querkraft = 2.333 kN,

∆V = 30 kN



Schicht 1

Schicht 2 Schicht 3

Schicht 4


Tabelle A.1.h: Berechnung von d(w, G); EL 8 x LF 11; V(x=30,80)


15,1333 1

-15 0,889 17,8 13,8 -93,5 -68,2 17146,99 16,0223 -15 0,889 13,8 10,1 -68,2 -46,6 9235,69 16,9113 -15 0,889 10,1 6,9 -46,6 -29 4347,12 30,73

17,8

2

-20 1 6,9 3,98 -29 -14,2 2422,11 18,8 -20 1 3,98 1,85 -14,2 -4,24 572,88 19,8 -20 1 1,85 0,453 -4,24 1,73 42,80 20,8 -20 1 0,453 -0,361 1,73 4,7 1,07 21,8 -20 1 -0,361 -0,746 4,7 5,62 57,71 3,1022,8

3

-20 0,946 -0,746 -0,844 5,62 5,35 82,46 23,746 -20 0,946 -0,844 -0,788 5,35 4,5 76,11 24,692 -20 0,946 -0,788 -0,655 4,5 3,45 54,48 25,638 -20 0,946 -0,655 -0,497 3,45 2,42 32,24 26,584 -20 0,946 -0,497 -0,344 2,42 1,53 15,93 27,53 -20 0,946 -0,344 -0,216 1,53 0,846 6,43

28,476 -20 0,946 -0,216 -0,117 0,846 0,356 1,97 29,422 -20 0,946 -0,117 -0,05 0,356 0,0394 0,35 30,368 -20 0,946 -0,05 0 0,0394 -0,14 -0,01 31,314 -20 0,946 0 0,02 -0,14 -0,218 0,04 32,26 -20 0,946 0,02 0,03 -0,218 -0,229 0,11

33,206 -20 0,946 0,03 0,03 -0,229 -0,199 0,12 34,152 -20 0,946 0,03 0,03 -0,199 -0,147 0,10 0,2735,098 4 -50 1 0,03 0,02 -0,147 -0,084 0,15 36,098 -50 1 0,02 0,01 -0,084 -0,02 0,04 0,00


d w G k w G dxΔ

= Δ ⋅ ⋅∑∫

Summe: 34,10





19 9( , ) 97,7

( ) ( ) ( , ) 97,7F LF EL

c c

d w G kN

J w J w d w G kN

= −

− = −


nimmt das Moment an der Stelle m um den Betrag 97,7 kN zu.


nimmt das Moment an der Stelle m um den Betrag 97,7 kN ab.


das Grundsystem ein Moment von M = 88.607 kNm, das Szenario 1 (min. linke horiz. Pfahlbettung) ein Moment = 88.722 kN,

∆M = 115 kNm das Szenario 2 (max. linke horiz. Pfahlbettung) ein Moment = 88.522 kN,

∆M = -85 kNm



Schicht 1

Schicht 2 Schicht 3

Schicht 4


Tabelle A.1.i: Berechnung von d(w, G); EL 9 x LF 19; V(x=49,80)


15,1333 1

-15 0,889 -19 -14,7 -229,2 -177,8 -45970,99 16,0223 -15 0,889 -14,7 -10,8 -177,8 -130,3 -26397,63 16,9113 -15 0,889 -10,8 -7,36 -130,3 -88,7 -13417,48 -85,79

17,8

2

-20 1 -7,36 -4,24 -88,7 -51,1 -8303,92 18,8 -20 1 -4,24 -1,98 -51,1 -23,8 -2432,22 19,8 -20 1 -1,98 -0,483 -23,8 -5,83 -409,73 20,8 -20 1 -0,483 0,385 -5,83 4,64 -15,73 21,8 -20 1 0,385 0,795 4,64 9,58 -87,27 -11,2522,8

3

-20 0,946 0,795 0,9 9,58 10,8 -163,60 23,746 -20 0,946 0,9 0,841 10,8 10,1 -172,18 24,692 -20 0,946 0,841 0,699 10,1 8,42 -135,28 25,638 -20 0,946 0,699 0,529 8,42 6,38 -86,51 26,584 -20 0,946 0,529 0,367 6,38 4,43 -46,31 27,53 -20 0,946 0,367 0,23 4,43 2,77 -20,69

28,476 -20 0,946 0,23 0,124 2,77 1,5 -7,36 29,422 -20 0,946 0,124 0,0502 1,5 0,605 -1,84 30,368 -20 0,946 0,0502 0,003 0,605 0,0362 -0,20 31,314 -20 0,946 0,003 -0,023 0,0362 -0,276 -0,04 32,26 -20 0,946 -0,023 -0,034 -0,276 -0,405 -0,18

33,206 -20 0,946 -0,034 -0,034 -0,405 -0,412 -0,26 34,152 -20 0,946 -0,034 -0,029 -0,412 -0,351 -0,23 -0,6335,098 4 -50 1 -0,029 -0,021 -0,351 -0,255 -0,38 36,098 -50 1 -0,021 -0,013 -0,255 -0,154 -0,18 0,00


d w G k w G dxΔ

= Δ ⋅ ⋅∑∫

Summe: -97,67


A.1.10 ERMITTLUNG DER SCHNITTKRAFTÄNDERUNG M(X = 29,80 M; Y = 2,80 M)



( , ) 23,2

( ) ( ) ( , ) 23,2F

c c

d w G kNm

J w J w d w G kNm

= −

− = −






das Grundsystem ein Moment von M = -29.926 kNm, das Szenario 1 (min. linke horiz. Pfahlbettung) ein Moment = -29.895 kNm,

∆M = 31 kNm das Szenario 2 (max. linke horiz. Pfahlbettung) ein Moment = -29.944 kNm,

∆M = -18 kNm



Schicht 1

Schicht 2 Schicht 3

Schicht 4


Tabelle A.1.j: Berechnung von d(w, G); EL 7 x LF 19; M(x=30,80)


15,1333 1

-15 0,889 -19 -14,7 69,1 -12,4 6759,53 16,0223 -15 0,889 -14,7 -10,8 -12,4 -59,9 -5940,41 16,9113 -15 0,889 -10,8 -7,36 -59,9 -81,7 -8489,26 -7,67

17,8

2

-20 1 -7,36 -4,24 -81,7 -85,2 -9662,00 18,8 -20 1 -4,24 -1,98 -85,2 -75,8 -5042,51 19,8 -20 1 -1,98 -0,483 -75,8 -60,5 -1716,71 20,8 -20 1 -0,483 0,385 -60,5 -43,9 -75,17 21,8 -20 1 0,385 0,795 -43,9 -20,9 366,60 -16,1322,8

3

-20 0,946 0,795 0,9 -20,9 -17,3 305,67 23,746 -20 0,946 0,9 0,841 -17,3 -8,62 214,26 24,692 -20 0,946 0,841 0,699 -8,62 -2,72 83,92 25,638 -20 0,946 0,699 0,529 -2,72 0,895 11,57 26,584 -20 0,946 0,529 0,367 0,895 2,78 -15,09 27,53 -20 0,946 0,367 0,23 2,78 3,48 -17,53

28,476 -20 0,946 0,23 0,124 3,48 3,42 -11,56 29,422 -20 0,946 0,124 0,0502 3,42 2,96 -5,31 30,368 -20 0,946 0,0502 0,003 2,96 2,33 -1,38 31,314 -20 0,946 0,003 -0,023 2,33 1,68 0,35 32,26 -20 0,946 -0,023 -0,034 1,68 1,1 0,73

33,206 -20 0,946 -0,034 -0,034 1,1 0,594 0,54 34,152 -20 0,946 -0,034 -0,029 0,594 0,167 0,23 0,5735,098 4 -50 1 -0,029 -0,021 0,167 -0,229 -0,03 36,098 -50 1 -0,021 -0,013 -0,229 -0,609 -0,34 0,00


d w G k w G dxΔ

= Δ ⋅ ⋅∑ ∫

Summe: -23,23





( , ) 36,4

( ) ( ) ( , ) 36,4F

c c

d w G kN

J w J w d w G kN

= −

− = −






das Grundsystem eine Querkraft von V = -2.455 kN, das Szenario 1 (min. linke horiz. Pfahlbettung) eine Querkraft = -2.413 kN,

∆V = 42 kN das Szenario 2 (max. linke horiz. Pfahlbettung) eine Querkraft = -2.487 kN,

∆V = -32 kN



Schicht 1

Schicht 2 Schicht 3

Schicht 4


Tabelle A.1.k: Berechnung von d(w, G); EL 8 x LF 19; V(x=30,80)


15,1333 1

-15 0,889 -19 -14,7 -93,5 -68,2 -18287,46 16,0223 -15 0,889 -14,7 -10,8 -68,2 -46,6 -9852,83 16,9113 -15 0,889 -10,8 -7,36 -46,6 -29 -4644,17 -32,78

17,8

2

-20 1 -7,36 -4,24 -29 -14,2 -2582,56 18,8 -20 1 -4,24 -1,98 -14,2 -4,24 -611,00 19,8 -20 1 -1,98 -0,483 -4,24 1,73 -45,81 20,8 -20 1 -0,483 0,385 1,73 4,7 -1,15 21,8 -20 1 0,385 0,795 4,7 5,62 -61,52 -3,3022,8

3

-20 0,946 0,795 0,9 5,62 5,35 -87,91 23,746 -20 0,946 0,9 0,841 5,35 4,5 -81,19 24,692 -20 0,946 0,841 0,699 4,5 3,45 -58,14 25,638 -20 0,946 0,699 0,529 3,45 2,42 -34,37 26,584 -20 0,946 0,529 0,367 2,42 1,53 -16,97 27,53 -20 0,946 0,367 0,23 1,53 0,846 -6,86

28,476 -20 0,946 0,23 0,124 0,846 0,356 -2,09 29,422 -20 0,946 0,124 0,0502 0,356 0,0394 -0,36 30,368 -20 0,946 0,0502 0,003 0,0394 -0,14 0,01 31,314 -20 0,946 0,003 -0,023 -0,14 -0,218 -0,04 32,26 -20 0,946 -0,023 -0,034 -0,218 -0,229 -0,12

33,206 -20 0,946 -0,034 -0,034 -0,229 -0,199 -0,14 34,152 -20 0,946 -0,034 -0,029 -0,199 -0,147 -0,10 -0,2935,098 4 -50 1 -0,029 -0,021 -0,147 -0,084 -0,15 36,098 -50 1 -0,021 -0,013 -0,084 -0,02 -0,05 0,00


d w G k w G dxΔ

= Δ ⋅ ⋅∑∫

Summe: -36,37


A.2 SCHNITTKRAFTÄNDERUNGEN IM SZENARIO 3 UND 4

Tabelle A.2.a: Knotenverschiebungen am linken Pfahlfuß (x = 29,80m; y= 37,10 m) aus Sofistik; Ba-sis=Grundsystem

Szenariio 0 3 4

Basis EL u [mm] u [mm] u [mm]

1 4,904 6,286 4,022 73,066 93,656 59,93 141,231 181,029 115,84 4,904 6,286 4,025 127,927 163,977 104,96 -5,787 -7,418 -4,747 -9,476 -12,146 -7,778 -1,051 -1,347 -0,8629 17,968 23,032 14,7

LF11 9,652 12,372 7,91LF13 23,7 30,317 19,4LF19 12,5 16,025 10,2

A.2.1 ERMITTLUNG DER SCHNITTKRAFTÄNDERUNG V(X = 1,60 M); SENKFEDER

Gegeben:

Biegelinie aus maß. Lastfall 11 und EL1,


11 1

( , ) ( ) ( )

( , ) 400 9,652 4,904 18.933

( ) ( ) ( , ) 18,9

F

F LF EL

c c

d w G k w l G l

d w G N

J w J w d w G kN

= Δ ⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅ = −

− = −

Bei abnehmender vertikaler Steifigkeit in den Bodenschichten,





das Grundsystem eine Querkraft von V = 10.815 kN, das Szenario 3 (min. linke vert. Pfahlbettung) eine Querkraft = 10.839 kN,

∆V = 24 kN das Szenario 4 (max. linke vert. Pfahlbettung) eine Querkraft = 11.411 kN,

∆V = -15,4 kN


A.2.2 ERMITTLUNG DER SCHNITTKRAFTÄNDERUNG M(X = 14,80 M); SENKFEDER

Gegeben:

Biegelinie aus maß. Lastfall 11 und EL2,


11 2( , ) 400 9,652 73,066 282.090

( ) ( ) ( , ) 282,09F LF EL

c c

d w G Nm

J w J w d w G kNm

= − ⋅ ⋅ = −

− = − Bei abnehmender vertikaler Steifigkeit in den Bodenschichten,





das Grundsystem ein Moment von M = 74.022 kNm, das Szenario 3 (min. linke vert. Pfahlbettung) ein Moment M = 74.384 kNm,

∆M = 362 kNm, das Szenario 4 (max. linke vert. Pfahlbettung) ein Moment M = 73791 kNm,

∆M = -231 kNm.

Alle weiteren Schnittkraftänderungen sind analog zu den vorhergehenden Berechnungen durchzuführen.

Die Ergebnisse für den linken Pfahl (x = 14,90 m) sind im Kapitel IV: Zusammenfassung der Ergebnisse, dargestellt.

A.3 SZENARIO 5 UND 6

Die Berechnung der Schnittgrößen 5J (V, M) kann mittels eines additiven Terms 5JΔ zu der Grundgröße 0J erfolgen. Der Term 5JΔ besteht aus zwei Summanden 1JΔ und 3JΔ , wo-bei der Summand 1JΔ den Einfluss der min. linken horizontalen Pfahlbettung und der Summand 3JΔ den Einfluss der min. linken Senkfeder wiederspiegelt. Die Größe des Summanden 1JΔ ist bereits im Szenario 1 und des Summanden 3JΔ im Szenario 3 be-stimmt worden. Die Schnittgrößen im Szenario 6 werden entsprechend berechnet.


5 0 5

5

5 1 3

: ( , )J J J

J d w GJ J J

= + Δ

Δ = −

Δ = Δ + Δ

6 0 6

6

6 2 4

: ( , )J J J

J d w GJ J J

= + Δ

Δ = −

Δ = Δ + Δ

1,2JΔ : Einfluss der min./max. linken horiz. Pfahlbettungen (x = 28,90 m) aus Szenario 1&2

3,4JΔ : Einfluss der min./max. linken Senkfeder (x = 28,90 m) aus Szenario 3&4

Werte sind im Kapitel IV.1 tabellarisch zusammengestellt.

A.4 BERECHNUNG DER DIFFERENZSCHNITTGRÖßEN NACH

VERBESSERTER NÄHERUNG ( , )d w G

( , ) ( , ) (modifizierte Näherung N2) ( / 2)

kd w G d w Gk k

− = −+Δ

Die Querbettungen je Bodenschicht und Szenario ändern sich. Folglich müssen für jede Bodenschicht zwei Multiplikationsbeiwerte berechnet werden.

; ;

: 1 45/(45 15/ 2) 1,200: 1, 1, 1 ( 4,4) (1,200) ( 3,6)

j i idi F d i Schicht j Szenario

Beispiel FBeispiel EL Schicht Szenario

= ⋅ = =

= − =→ − = ⋅ −

Tabelle A.4.a: Multiplikationsfaktoren F1,F2,F3 und F4 für d = d(w,G), d = d(w,G)

Schicht k ∆k F1 F2 F3 F4 [MN/m³] [MN/m³] [-] [-] [-] [-] 1 45 15 1,200 0,857 2 180 20 1,059 0,947 3 220 20 1,048 0,957 4 450 50 1,059 0,947

Senkfeder [MN/m] 1 1800 400 1,125 0,900

Berechnung der Differenzschnittgrößen nach verbesserter Näherung d(w,G)

Tabelle A.4.b: Differenzschnittgrößen d(wLF11,GEL1); d = d(w,G), d = d(w,G)

EL1:Querkraft Szenario x = 1,60 m 1&|2| 1 2 3&|4| 3 4

LF11 Schicht d d d d d d [-] [kN] [kN] [kN] [kN] [kN] [kN] 1 -3,6 -4,4 3,1 2 -0,6 -0,6 0,6 3 0,0 0,0 0,0 4 0,0 0,0 0,0

Senkfeder -18,9 -21,3 17,0Summe -4,3 -5,0 3,7 -18,9 -21,3 17,0


Tabelle A.4.c: Differenzschnittgrößen d(wLF11,GEL2); d = d(w,G), d = d(w,G)

EL2:Moment Szenario x = 14,90 m 1&|2| 1 2 3&|4| 3 4

LF11 Schicht d d d d d d [-] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] 1 -54,1 -64,9 46,4 2 -8,9 -9,5 8,5 3 -0,3 -0,3 0,3 4 0,0 0,0 0,0

Senkfeder -282,1 -317,4 253,9Summe -63,3 -74,7 55,1 -282,1 -317,4 253,9

Tabelle A.4.d: Differenzschnittgrößen d(wLF13,GEL3)


LF13 Schicht d d d d d d [-] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] 1 75,6 90,7 -64,8 2 10,5 11,2 -10,0 3 0,5 0,5 -0,5 4 0,0 0,0 0,0

Senkfeder 1338,9 1506,2 -1205,0Summe 86,6 102,4 -75,2 1338,9 1506,2 -1205,0

Tabelle A.4.e: Differenzschnittgrößen d(wLF13,GEL4)


LF13 Schicht d d d d d d [-] [kN] [kN] [kN] [kN] [kN] [kN] 1 2,6 3,1 -2,2 2 0,4 0,4 -0,3 3 0,0 0,0 0,0 4 0,0 0,0 0,0

Senkfeder -46,5 -52,3 41,8Summe 3,0 3,6 -2,6 -46,5 -52,3 41,8


Tabelle A.4.f: Differenzschnittgrößen d(wLF13,GEL5)


LF13 Schicht d d d d d d [-] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] 1 7,7 9,2 -6,6 2 -3,3 -3,5 3,1 3 0,4 0,4 -0,3 4 0,0 0,0 0,0

Senkfeder -1212,7 -1364,3 1091,5Summe 4,7 6,1 -3,8 -1212,7 -1364,3 1091,5

Tabelle A.4.g: Differenzschnittgrößen d(wLF13,GEL6)


LF13 Schicht d d d d d d [-] [kN] [kN] [kN] [kN] [kN] [kN] 1 -3,5 -4,2 3,0 2 -0,2 -0,2 0,2 3 0,0 0,0 0,0 4 0,0 0,0 0,0

Senkfeder 54,9 61,7 -49,4Summe -3,7 -4,4 3,2 54,9 61,7 -49,4

Tabelle A.4.h: Differenzschnittgrößen d(wLF11,GEL7)

EL7:Moment Szenario x = 29,80 m, y =2,80 m 1&|2| 1 2 3&|4| 3 4

LF11 Schicht d d d d d d [-] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] 1 7,2 8,6 -6,2 2 15,1 16,0 -14,3 3 -0,5 -0,6 0,5 4 0,0 0,0 0,0

Senkfeder 36,6 41,2 -32,9Summe 21,8 24,1 -20,0 36,6 41,2 -32,9

Tabelle A.4.i: Differenzschnittgrößen d(wLF11,GEL8)

EL8:Querkraft Szenario x = 29,80 m, y =2,80 m 1&|2| 1 2 3&|4| 3 4

LF11 Schicht d d d d d d [-] [kN] [kN] [kN] [kN] [kN] [kN] 1 30,7 36,9 -26,3 2 3,1 3,3 -2,9 3 0,3 0,3 -0,3 4 0,0 0,0 0,0

Senkfeder 4,1 4,6 -3,7Summe 34,1 40,4 -29,5 4,1 4,6 -3,7


Tabelle A.4.j: Differenzschnittgrößen d(wLF19,GEL9)



Senkfeder -89,8 -101,1 80,9Summe -97,7 -115,5 84,8 -89,8 -101,1 80,9

Tabelle A.4.k: Differenzschnittgrößen d(wEL19,GEL7)

EL10:Moment Szenario x = 29,80 m, y =2,80 m 1&|2| 1 2 3&|4| 3 4

LF19 Schicht d d d d d d [-] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] 1 -7,7 -9,2 6,6 2 -16,1 -17,1 15,3 3 0,6 0,6 -0,5 4 0,0 0,0 0,0

Senkfeder 47,4 53,3 -42,6Summe -23,2 -25,7 21,3 47,4 53,3 -42,6

Tabelle A.4.l: Differenzschnittgrößen d(wLF19,GEL8)

EL8:Querkraft Szenario x = 29,80 m, y =2,80 m 1&|2| 1 2 3&|4| 3 4

LF19 Schicht d d d d d d [-] [kN] [kN] [kN] [kN] [kN] [kN] 1 -32,8 -39,3 28,1 2 -3,3 -3,5 3,1 3 -0,3 -0,3 0,3 4 0,0 0,0 0,0

Senkfeder 5,3 5,9 -4,7Summe -36,4 -43,1 31,5 5,3 5,9 -4,7


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B Berechnung der Schnittgrößenänderungen (RECHTER Pfahl x = 69,80 m) 155

ANHANG B

BERECHNUNG DER SCHNITTGRÖßENÄNDERUNGEN

(RECHTER PFAHL X = 69,80 M)

INHALT

B Berechnung der Schnittgrößenänderungen (RECHTER Pfahl x = 69,80 m) ......................................................................... 156

B.1 Schnittkraftänderungen im Szenario 1 und 2; rechter Pfahl ................................. 156 B.1.1 Ermittlung der Schnittkraftänderung V(x = 1,60 m) ....................................... 156 B.1.2 Ermittlung der Schnittkraftänderung M(x = 14,90 m) .................................... 158 B.1.3 Ermittlung der Schnittkraftänderung M(x = 28,80 m) .................................... 160 B.1.4 Ermittlung der Schnittkraftänderung V(x = 28,80 m) ..................................... 162 B.1.5 Ermittlung der Schnittkraftänderung M(x = 30,80 m) .................................... 164 B.1.6 Ermittlung der Schnittkraftänderung V(x = 30,80 m) ..................................... 166 B.1.7 Ermittlung der Schnittkraftänderung M(x = 29,80 m; y = 2,80 m) ................ 168 B.1.8 Ermittlung der Schnittkraftänderung V(x = 29,80 m; y = 2,80 m) ................. 170 B.1.9 Ermittlung der Schnittkraftänderung M(x = 49,80 m) .................................... 172

B.2 Schnittkraftänderungen im Szenario 3 und 4 ....................................................... 174 B.2.1 Ermittlung der Schnittkraftänderung V(x = 1,60 m); Senkfeder .................... 174

B.3 Szenario 5 und 6 ................................................................................................... 175

B.4 Berechnung der Differenzschnittgrößen nach verbesserter Näherung ( , )d w G ; RECHTER Pfahl (x = 69,80 m) ........................................................................... 176

156 B Berechnung der Schnittgrößenänderungen (RECHTER Pfahl x = 69,80 m)

B BERECHNUNG DER SCHNITTGRÖßENÄNDERUNGEN

(RECHTER PFAHL X = 69,80 M)

B.1 SCHNITTKRAFTÄNDERUNGEN IM SZENARIO 1 UND 2; RECHTER

PFAHL

B.1.1 ERMITTLUNG DER SCHNITTKRAFTÄNDERUNG V(X = 1,60 M)



( , ) 7,4

( ) ( ) ( , ) 7,4

( ) ( ) 7,4

F

c c

c

d w G kN

J w J w d w G kN

J w J w kN

= −

− = −

+


• nimmt die Querkraft an der Stelle m um den Betrag 7,44 kN zu.

Nehmen die horizontalen Steifigkeiten zu,

Abbildung 1.1.a: Ausschnitt rechter Pfeiler in [mm]: Horizontale Stabverschiebung infolge maß. Lastfall

Abbildung 1.1.b: Ausschnitt rechter Pfeiler in [mm]: Horizontale Stabverschiebung infolge EL1

Schicht 1

Schicht 2 Schicht 3

Schicht 4


• nimmt die Querkraft an der Stelle m um den Betrag 7,44 kN ab.


• das Grundsystem eine Querkraft von V = 10.815 kN • das Szenario 1 (min. linke hori. Pfahlbettung) ein Querkraft = 10.824 kNm,

∆V = 8,6 kN • das Szenario 2 (max. linke hori. Pfahlbettung) ein Querkraft = 10.809 kNm,

∆M = -6,4 kN

Tabelle B.a: Berechnung der Querkraft V(x=1,60); d(w, G); EL 1 x LF 11

Kote Schicht ∆k ∆L al ar bl br ∆d d [m] [-] [MN/m³] [m] [mm] [mm] [mm] [mm] [N] [kN] 15,1

1 -15 0,889 -17,8 -13,8 -19,7 -14,7 -3646,14

16,0 -15 0,889 -13,8 -10,1 -14,7 -10,3 -2010,01 16,9 -15 0,889 -10,1 -6,9 -10,3 -6,69 -975,72 -6,6317,8

2

-20 1 -6,9 -3,98 -6,69 -3,52 -570,85 18,8 -20 1 -3,98 -1,85 -3,52 -1,32 -148,90 19,8 -20 1 -1,85 -0,453 -1,32 0,0437 -17,87 20,8 -20 1 -0,453 0,361 0,0437 0,772 -0,61 21,8 -20 1 0,361 0,746 0,772 1,05 -10,26 -0,7522,8

3

-20 0,946 0,746 0,844 1,05 1,06 -15,87 23,7 -20 0,946 0,844 0,788 1,06 0,921 -15,30 24,7 -20 0,946 0,788 0,655 0,921 0,727 -11,29 25,6 -20 0,946 0,655 0,497 0,727 0,525 -6,87 26,6 -20 0,946 0,497 0,344 0,525 0,345 -3,50 27,5 -20 0,946 0,344 0,216 0,345 0,201 -1,48 28,5 -20 0,946 0,216 0,117 0,201 0,0952 -0,48 29,4 -20 0,946 0,117 0,0471 0,0952 0,0245 -0,10 30,4 -20 0,946 0,0471 0,0028 0,0245 -0,017 0,00 31,3 -20 0,946 0,0028 -0,022 -0,017 -0,038 -0,01 32,3 -20 0,946 -0,022 -0,315 -0,038 -0,043 -0,13 33,2 -20 0,946 -0,315 -0,032 -0,043 -0,04 -0,14 34,2 -20 0,946 -0,032 -0,027 -0,04 -0,031 -0,02 -0,0635,1 4 -50 1 -0,027 -0,02 -0,031 -0,019 -0,03 36,1 -50 1 -0,02 -0,12 -0,019 -0,008 -0,04 0,00


d w G k w G dxΔ

= Δ ⋅ ⋅∑∫ Summe: -7,44


B.1.2 ERMITTLUNG DER SCHNITTKRAFTÄNDERUNG M(X = 14,90 M)



( , ) 110,97

( ) ( ) ( , ) 110,97F

c c

d w G Nm

J w J w d w G kNm

= −

− = −


• nimmt das Moment an der Stelle m um den Betrag 111 kNm zu.

Nehmen die hori. Steifigkeiten zu,

• nimmt das Moment an der Stelle m um den Betrag 111 kNm ab.


• das Grundsystem ein Moment von M = 74.022 kNm, • das Szenario 1 (min. linke hori. Pfahlbettung) ein Moment = 74.152 kNm,

∆M = 130 kNm • das Szenario 2 (max. linke hori. Pfahlbettung) ein Moment = 73.924 kNm,

∆M = -98 kNm



Schicht 1

Schicht 2 Schicht 3

Schicht 4


Tabelle B.b: Berechnung von d(w, G); EL 2 x LF 11; M(x=14,90);

Kote Schicht ∆k ∆L al ar bl br ∆d d [m] [-] [MN/m³] [m] [mm] [mm] [mm] [mm] [Nm] [kNm] 15,1

1 -15 0,889 -17,8 -13,8 -293,9 -219,4 -54405,51

16,0 -15 0,889 -13,8 -10,1 -219,4 -154,1 -30027,71 16,9 -15 0,889 -10,1 -6,9 -154,1 -99,6 -14571,93 -99,0117,8

2

-20 1 -6,9 -3,98 -99,6 -52,4 -8498,51 18,8 -20 1 -3,98 -1,85 -52,4 -19,7 -2217,80 19,8 -20 1 -1,85 -0,453 -19,7 0,651 -266,73 20,8 -20 1 -0,453 0,361 0,651 11,5 -9,13 21,8 -20 1 0,361 0,746 11,5 15,7 -153,25 -11,1522,8

3

-20 0,946 0,746 0,844 15,7 15,7 -236,15 23,7 -20 0,946 0,844 0,788 15,7 13,7 -227,13 24,7 -20 0,946 0,788 0,655 13,7 10,8 -167,83 25,6 -20 0,946 0,655 0,497 10,8 7,82 -102,20 26,6 -20 0,946 0,497 0,344 7,82 5,14 -52,20 27,5 -20 0,946 0,344 0,216 5,14 2,99 -21,97 28,5 -20 0,946 0,216 0,117 2,99 1,42 -7,19 29,4 -20 0,946 0,117 0,0471 1,42 0,366 -1,50 30,4 -20 0,946 0,0471 0,0028 0,366 -0,259 -0,07 31,3 -20 0,946 0,0028 -0,022 -0,259 -0,563 -0,08 32,3 -20 0,946 -0,022 -0,315 -0,563 -0,646 -1,96 33,2 -20 0,946 -0,315 -0,032 -0,646 -0,59 -2,05 34,2 -20 0,946 -0,032 -0,027 -0,59 -0,459 -0,30 -0,8235,1 4 -50 1 -0,027 -0,02 -0,459 -0,288 -0,45 36,1 -50 1 -0,02 -0,12 -0,288 -0,112 -0,63 0,00

Summe: -110,97





( , ) 89

( ) ( ) ( , ) 89( ) ( ) 89

F

c c

c

d w G kNm

J w J w d w G kNmJ w J w kNm

=

− = − −

−


• nimmt das Moment an der Stelle m um den Betrag 89 kNm ab.


• nimmt das Moment an der Stelle m um den Betrag 89 kNm zu.


• das Grundsystem ein Moment von M = -140.333 kNm, • das Szenario 1 (min. linke hori. Pfahlbettung) ein Moment = -140.435kNm,

∆M =-102 kNm • das Szenario 2 (max. linke hori. Pfahlbettung) ein Moment =-140.258kNm,

∆M = 75 kNm



Schicht 1

Schicht 2 Schicht 3

Schicht 4


Tabelle B.c: Berechnung von d(w, G); EL 3 x LF 13; M(x=14,90)


1 -15 0,889 6,73 5,6 -568,1 -424,1 40965,34

16,0 -15 0,889 5,6 4,4 -424,1 -297,9 24237,96 16,9 -15 0,889 4,4 3,23 -297,9 -192,5 12611,10 77,8117,8

2

-20 1 3,23 2,08 -192,5 -101,3 7975,19 18,8 -20 1 2,08 1,18 -101,3 -38,1 2367,02 19,8 -20 1 1,18 0,531 -38,1 1,26 357,74 20,8 -20 1 0,531 0,109 1,26 22,2 -60,34 21,8 -20 1 0,109 -0,131 22,2 30,3 9,02 10,6522,8

3

-20 0,946 -0,131 -0,238 30,3 30,4 105,96 23,7 -20 0,946 -0,238 -0,265 30,4 26,5 135,21 24,7 -20 0,946 -0,265 -0,246 26,5 20,9 114,73 25,6 -20 0,946 -0,246 -0,204 20,9 15,1 77,01 26,6 -20 0,946 -0,204 -0,154 15,1 9,94 42,81 27,5 -20 0,946 -0,154 -0,106 9,94 5,79 19,66 28,5 -20 0,946 -0,106 -0,066 5,79 2,74 7,15 29,4 -20 0,946 -0,066 -0,036 2,74 0,707 1,77 30,4 -20 0,946 -0,036 -0,015 0,707 -0,501 0,09 31,3 -20 0,946 -0,015 -0,001 -0,501 -1,09 -0,11 32,3 -20 0,946 -0,001 0,0062 -1,09 -1,25 0,06 33,2 -20 0,946 0,0062 0,0092 -1,25 -1,14 0,17 34,2 -20 0,946 0,0092 0,01 -1,14 -0,886 0,18 0,5035,1 4 -50 1 0,01 0,0093 -0,886 -0,556 0,35 36,1 -50 1 0,0093 0,0083 -0,556 -0,216 0,17 0,00

Summe: 88,97





( , ) 3,1

( ) ( ) ( , ) 3,1F

c c

d w G kN

J w J w d w G kN

=

− = − −






das Grundsystem eine Querkraft von V = -19.263 kN, das Szenario 1 (min. linke hori. Pfahlbettung) eine Querkraft = -19.266 kN,

∆V = -3 kN das Szenario 2 (max. linke hori. Pfahlbettung) eine Querkraft = -19.260 kN,

∆V = 3 kN



Schicht 1

Schicht 2 Schicht 3

Schicht 4


Tabelle B.d: Berechnung der Querkraft V(x=28,80); d(w, G); EL 4 x LF 13


1 -15 0,889 6,73 5,6 -19,7 -14,7 1420,30

16,0 -15 0,889 5,6 4,4 -14,7 -10,3 839,30 16,9 -15 0,889 4,4 3,23 -10,3 -6,69 436,86 2,7017,8

2

-20 1 3,23 2,08 -6,69 -3,52 277,15 18,8 -20 1 2,08 1,18 -3,52 -1,32 82,19 19,8 -20 1 1,18 0,531 -1,32 0,0437 12,39 20,8 -20 1 0,531 0,109 0,0437 0,772 -2,10 21,8 -20 1 0,109 -0,131 0,772 1,05 0,31 0,3722,8

3

-20 0,946 -0,131 -0,238 1,05 1,06 3,68 23,7 -20 0,946 -0,238 -0,265 1,06 0,921 4,71 24,7 -20 0,946 -0,265 -0,246 0,921 0,727 3,99 25,6 -20 0,946 -0,246 -0,204 0,727 0,525 2,68 26,6 -20 0,946 -0,204 -0,154 0,525 0,345 1,49 27,5 -20 0,946 -0,154 -0,106 0,345 0,201 0,68 28,5 -20 0,946 -0,106 -0,066 0,201 0,0952 0,25 29,4 -20 0,946 -0,066 -0,036 0,0952 0,0245 0,06 30,4 -20 0,946 -0,036 -0,015 0,0245 -0,017 0,00 31,3 -20 0,946 -0,015 -0,001 -0,017 -0,038 0,00 32,3 -20 0,946 -0,001 0,0062 -0,038 -0,043 0,00 33,2 -20 0,946 0,0062 0,0092 -0,043 -0,04 0,01 34,2 -20 0,946 0,0092 0,01 -0,04 -0,031 0,01 0,0235,1 4 -50 1 0,01 0,0093 -0,031 -0,019 0,01 36,1 -50 1 0,0093 0,0083 -0,019 -0,008 0,01 0,00

Summe: 3,08





( , ) 77

( ) ( ) ( , ) 77F

c c

d w G kNm

J w J w d w G kNm

= −

− = −


nimmt das Moment an der Stelle m um den Betrag 77 kNm zu.


nimmt das Moment an der Stelle m um den Betrag 77 kNm ab.


das Grundsystem ein Moment von M = -155.835 kNm, das Szenario 1 (min. linke hori. Pfahlbettung) ein Moment = -155.745 kNm,

∆M = 90 kNm

das Szenario 2 (max. linke hori. Pfahlbettung) ein Moment = -155.902 kNm,

∆M = -67 kNm



Schicht 1

Schicht 2 Schicht 3

Schicht 4


Tabelle B.e: Berechnung von d(w, G); EL 5 x LF 13; M(x=30,80)


1 -15 0,889 6,73 5,6 534,6 380 -37788,89

16,0 -15 0,889 5,6 4,4 380 251,6 -21227,19 16,9 -15 0,889 4,4 3,23 251,6 149,8 -10342,57 -69,3617,8

2

-20 1 3,23 2,08 149,8 66,2 -5895,03 18,8 -20 1 2,08 1,18 66,2 11,9 -1354,48 19,8 -20 1 1,18 0,531 11,9 -19,2 28,81 20,8 -20 1 0,531 0,109 -19,2 -33,2 157,83 21,8 -20 1 0,109 -0,131 -33,2 -36 -8,73 -7,0722,8

3

-20 0,946 -0,131 -0,238 -36 -32,7 -119,35 23,7 -20 0,946 -0,238 -0,265 -32,7 -26,6 -140,83 24,7 -20 0,946 -0,265 -0,246 -26,6 -19,7 -112,12 25,6 -20 0,946 -0,246 -0,204 -19,7 -13,4 -70,87 26,6 -20 0,946 -0,204 -0,154 -13,4 -8,16 -36,92 27,5 -20 0,946 -0,154 -0,106 -8,16 -4,2 -15,50 28,5 -20 0,946 -0,106 -0,066 -4,2 -1,46 -4,79 29,4 -20 0,946 -0,066 -0,036 -1,46 0,243 -0,67 30,4 -20 0,946 -0,036 -0,015 0,243 1,15 0,30 31,3 -20 0,946 -0,015 -0,001 1,15 1,49 0,19 32,3 -20 0,946 -0,001 0,0062 1,49 1,46 -0,07 33,2 -20 0,946 0,0062 0,0092 1,46 1,21 -0,19 34,2 -20 0,946 0,0092 0,01 1,21 0,852 -0,19 -0,5035,1 4 -50 1 0,01 0,0093 0,852 0,435 -0,31 36,1 -50 1 0,0093 0,0083 0,435 0,0138 -0,10 0,00

Summe: -76,93





( , ) 2,0

( ) ( ) ( , ) 2,0F

c c

d w G kN

J w J w d w G kN

=

− = − −


nimmt die Querkraft an der Stelle m um den Betrag 2 kN ab.


nimmt die Querkraft an der Stelle m um den Betrag 2 kN zu.


für das Grundsystem eine Querkraft von V = 21.316 kN, für das Szenario 1 (min. linke hori. Pfahlbettung) eine Querkraft = 21.314 kN,

∆V = -2 kN für das Szenario 2 (max. linke hori. Pfahlbettung) eine Querkraft = 21.318 kN,

∆V = 2 kN



Schicht 1

Schicht 2 Schicht 3

Schicht 4


Tabelle B.f: Berechnung von d(w, G); EL 6 x LF 13; V(x=30,80)


1 -15 0,889 6,73 5,6 -16,1 -10,6 1104,41

16,0 -15 0,889 5,6 4,4 -10,6 -6,39 572,02 16,9 -15 0,889 4,4 3,23 -6,39 -3,22 248,57 1,9217,8

2

-20 1 3,23 2,08 -3,22 -0,797 111,30 18,8 -20 1 2,08 1,18 -0,797 0,629 4,88 19,8 -20 1 1,18 0,531 0,629 1,32 -15,93 20,8 -20 1 0,531 0,109 1,32 1,5 -8,90 21,8 -20 1 0,109 -0,131 1,5 1,39 0,27 0,0922,8

3

-20 0,946 -0,131 -0,238 1,39 1,15 4,39 23,7 -20 0,946 -0,238 -0,265 1,15 0,865 4,78 24,7 -20 0,946 -0,265 -0,246 0,865 0,596 3,54 25,6 -20 0,946 -0,246 -0,204 0,596 0,37 2,07 26,6 -20 0,946 -0,204 -0,154 0,37 0,196 0,97 27,5 -20 0,946 -0,154 -0,106 0,196 0,075 0,34 28,5 -20 0,946 -0,106 -0,066 0,075 -0,002 0,06 29,4 -20 0,946 -0,066 -0,036 -0,002 -0,045 -0,02 30,4 -20 0,946 -0,036 -0,015 -0,045 -0,062 -0,02 31,3 -20 0,946 -0,015 -0,001 -0,062 -0,064 -0,01 32,3 -20 0,946 -0,001 0,0062 -0,064 -0,055 0,00 33,2 -20 0,946 0,0062 0,0092 -0,055 -0,042 0,01 34,2 -20 0,946 0,0092 0,01 -0,042 -0,026 0,01 0,0235,1 4 -50 1 0,01 0,0093 -0,026 -0,009 0,01 36,1 -50 1 0,0093 0,0083 -0,009 0,0074 0,00 0,00

Summe: 2,03


B.1.7 ERMITTLUNG DER SCHNITTKRAFTÄNDERUNG M(X = 29,80 M; Y = 2,80 M)



( , ) 319

( ) ( ) ( , ) 319F

c c

d w G kNm

J w J w d w G kNm

=

− = − −


nimmt das Moment an der Stelle m um den Betrag 319 kNm ab.


nimmt das Moment an der Stelle m um den Betrag 319 kNm zu.


das Grundsystem ein Moment von M = 28.068 kNm, das Szenario 1 (min. linke hori. Pfahlbettung) ein Moment = 27.697 kNm,

∆M = -371 kNm das Szenario 2 (max. linke hori. Pfahlbettung) ein Moment = 28.350 kNm,

∆M = 282 kNm



Schicht 1

Schicht 2 Schicht 3

Schicht 4


Tabelle B.g: Berechnung von d(w, G); EL 7 x LF 11; M(x = 29,80 m; y = 2,80 m)


1 -15 0,889 -17,8 -13,8 876,7 638,6 160689,91

16,0 -15 0,889 -13,8 -10,1 638,6 435,8 86438,40 16,9 -15 0,889 -10,1 -6,9 435,8 271 40643,04 287,7717,8

2

-20 1 -6,9 -3,98 271 132,1 22604,62 18,8 -20 1 -3,98 -1,85 132,1 38,8 5312,95 19,8 -20 1 -1,85 -0,453 38,8 -17 380,95 20,8 -20 1 -0,453 0,361 -17 -44,6 9,11 21,8 -20 1 0,361 0,746 -44,6 -53 545,61 28,8522,8

3

-20 0,946 0,746 0,844 -53 -50,3 776,47 23,7 -20 0,946 0,844 0,788 -50,3 -42,3 715,52 24,7 -20 0,946 0,788 0,655 -42,3 -32,3 511,27 25,6 -20 0,946 0,655 0,497 -32,3 -22,6 301,56 26,6 -20 0,946 0,497 0,344 -22,6 -14,3 148,79 27,5 -20 0,946 0,344 0,216 -14,3 -7,89 60,07 28,5 -20 0,946 0,216 0,117 -7,89 -3,3 18,34 29,4 -20 0,946 0,117 0,0471 -3,3 -0,333 3,15 30,4 -20 0,946 0,0471 0,0028 -0,333 1,34 -0,12 31,3 -20 0,946 0,0028 -0,022 1,34 2,07 0,33 32,3 -20 0,946 -0,022 -0,315 2,07 2,16 6,77 33,2 -20 0,946 -0,315 -0,032 2,16 1,87 6,75 34,2 -20 0,946 -0,032 -0,027 1,87 1,38 0,92 2,5535,1 4 -50 1 -0,027 -0,02 1,38 0,784 1,30 36,1 -50 1 -0,02 -0,12 0,784 0,175 1,42 0,00

Summe: 319,18


B.1.8 ERMITTLUNG DER SCHNITTKRAFTÄNDERUNG V(X = 29,80 M; Y = 2,80 M)



11 8( , ) 34,1

( ) ( ) ( , ) 34,1F LF EL

c c

d w G kN

J w J w d w G kN

=

− = − −






das Grundsystem eine Querkraft von V = 2.303 kN, das Szenario 1 (min. linke hori. Pfahlbettung) eine Querkraft = 2.263 kN,

∆V = -40 kN das Szenario 2 (max. linke hori. Pfahlbettung) eine Querkraft = 2.333 kN,

∆V = 30 kN



Schicht 1

Schicht 2 Schicht 3

Schicht 4


Tabelle B.h: Berechnung von d(w, G); EL 8 x LF 11; V(x = 29,80 m; y = 2,80 m)


1 -15 0,889 -17,8 -13,8 93,5 68,2 17146,99

16,0 -15 0,889 -13,8 -10,1 68,2 46,6 9235,69 16,9 -15 0,889 -10,1 -6,9 46,6 29 4347,12 30,7317,8

2

-20 1 -6,9 -3,98 29 14,2 2422,11 18,8 -20 1 -3,98 -1,85 14,2 4,24 572,88 19,8 -20 1 -1,85 -0,453 4,24 -1,73 42,80 20,8 -20 1 -0,453 0,361 -1,73 -4,7 1,07 21,8 -20 1 0,361 0,746 -4,7 -5,62 57,71 3,1022,8

3

-20 0,946 0,746 0,844 -5,62 -5,35 82,46 23,7 -20 0,946 0,844 0,788 -5,35 -4,5 76,11 24,7 -20 0,946 0,788 0,655 -4,5 -3,45 54,48 25,6 -20 0,946 0,655 0,497 -3,45 -2,42 32,24 26,6 -20 0,946 0,497 0,344 -2,42 -1,53 15,93 27,5 -20 0,946 0,344 0,216 -1,53 -0,846 6,43 28,5 -20 0,946 0,216 0,117 -0,846 -0,356 1,97 29,4 -20 0,946 0,117 0,0471 -0,356 -0,039 0,34 30,4 -20 0,946 0,0471 0,0028 -0,039 0,14 -0,01 31,3 -20 0,946 0,0028 -0,022 0,14 0,218 0,03 32,3 -20 0,946 -0,022 -0,315 0,218 0,229 0,72 33,2 -20 0,946 -0,315 -0,032 0,229 0,199 0,72 34,2 -20 0,946 -0,032 -0,027 0,199 0,147 0,10 0,2735,1 4 -50 1 -0,027 -0,02 0,147 0,084 0,14 36,1 -50 1 -0,02 -0,12 0,084 0,0195 0,15 0,00

Summe: 34,10





( , ) 97,7

( ) ( ) ( , ) 97,7F

c c

d w G kNm

J w J w d w G kNm

= −

− = −






das Grundsystem ein Moment von M = 88.607 kNm, das Szenario 1 (min. linke hori. Pfahlbettung) ein Moment = 88.722kNm,

∆M = 115 kNm das Szenario 2 (max. linke hori. Pfahlbettung) ein Moment = 88.522kNm,

∆M = -85 kNm



Schicht 1

Schicht 2 Schicht 3

Schicht 4


Tabelle B.i: Berechnung von d(w, G); EL 9 x LF 19; M(x=49,80)


1 -15 0,889 19 14,7 229,2 177,8 -45970,99

16,0 -15 0,889 14,7 10,8 177,8 130,3 -26397,63 16,9 -15 0,889 10,8 7,36 130,3 88,7 -13417,48 -85,7917,8

2

-20 1 7,36 4,24 88,7 51,1 -8303,92 18,8 -20 1 4,24 1,98 51,1 23,8 -2432,22 19,8 -20 1 1,98 0,483 23,8 5,83 -409,73 20,8 -20 1 0,483 -0,385 5,83 -4,64 -15,73 21,8 -20 1 -0,385 -0,795 -4,64 -9,58 -87,27 -11,2522,8

3

-20 0,946 -0,795 -0,9 -9,58 -10,8 -163,60 23,7 -20 0,946 -0,9 -0,841 -10,8 -10,1 -172,18 24,7 -20 0,946 -0,841 -0,699 -10,1 -8,42 -135,28 25,6 -20 0,946 -0,699 -0,529 -8,42 -6,38 -86,51 26,6 -20 0,946 -0,529 -0,367 -6,38 -4,43 -46,31 27,5 -20 0,946 -0,367 -0,23 -4,43 -2,77 -20,69 28,5 -20 0,946 -0,23 -0,124 -2,77 -1,5 -7,36 29,4 -20 0,946 -0,124 -0,05 -1,5 -0,605 -1,84 30,4 -20 0,946 -0,05 -0,003 -0,605 -0,036 -0,20 31,3 -20 0,946 -0,003 0,0229 -0,036 0,276 -0,04 32,3 -20 0,946 0,0229 0,0336 0,276 0,405 -0,18 33,2 -20 0,946 0,0336 0,0342 0,405 0,412 -0,26 34,2 -20 0,946 0,0342 0,0291 0,412 0,351 -0,23 -0,6335,1 4 -50 1 0,0291 0,0212 0,351 0,255 -0,38 36,1 -50 1 0,0212 0,0128 0,255 0,154 -0,18 0,00

Summe: -97,67


B.2 SCHNITTKRAFTÄNDERUNGEN IM SZENARIO 3 UND 4

Tabelle B.j: Knotenverschiebungen am rechten Pfahlfuß (x = 69,80m; y= 37,10 m) aus Sofistik

Szenario 0 3 4

Basis ∆k ∆k EL u [mm] u [mm] u [mm]1 -2,65 6,286 4,022 -39,4 93,656 59,93 -76,2 181,029 115,84 -2,65 6,286 4,025 -91,8 163,977 104,96 5,78 -7,418 -4,747 -15,9 -12,146 -7,778 -1,02 -1,347 -0,8629 18 23,032 14,7

LF11 9,92 12,372 7,91LF13 11 30,317 19,4LF19 12,5 16,025 10,2

B.2.1 ERMITTLUNG DER SCHNITTKRAFTÄNDERUNG V(X = 1,60 M); SENKFEDER



11 1

( , ) ( ) ( )

( , ) 400 9,92 ( 2,65) 10.515

( ) ( ) ( , ) 10,5

F

F LF EL

c c

d w G k w l G l

d w G N

J w J w d w G kN

= Δ ⋅ ⋅

= − ⋅ ⋅ − =

− = − −

Bei abnehmender vertikaler Steifigkeit in den Bodenschichten,





das Grundsystem eine Querkraft von V = 10.815 kN, das Szenario 3 (min. linke vert. Pfahlbettung) eine Querkraft = 10.802 kN,

∆V = -13,4 kN das Szenario 4 (max. linke vert. Pfahlbettung) eine Querkraft = 11.824 kN,

∆V = 8,6 kN

Alle weiteren Schnittkraftänderungen sind analog zu den vorhergehenden Berechnungen durchzuführen. Ergebnisse sind im Kapitel IV zusammengestellt.


Berechnung der Differenzschnittgrößen nach verbesserter Näherung d(w,G)

( , ) ( , ) (neue Näherung) ( / 2)

kd w G d w Gk k

− = −+ Δ

Die Querbettungen je Bodenschicht und Szenario ändern sich. Folglich müssen für jede Bodenschicht zwei Multiplikationsbeiwerte berechnet werden.

; ;

: 1, 1, 1 ( 8,0) (1,200) ( 6,6)j i idi F d i Schicht j Szenario

Beispiel EL Schicht Szenario

= ⋅ = =

→ − = ⋅ −

B.3 SZENARIO 5 UND 6

Die Berechnungen der Schnittgrößen J5(V, M) und J6(V, M) erfolgt analog zu A.3.

5 0 5

5

5 1 3

: ( , )J J J

J d w GJ J J

= + Δ

Δ = −Δ = Δ + Δ

6 0 6

6

6 2 4

: ( , )J J J

J d w GJ J J

= + Δ

Δ = −Δ = Δ + Δ

1,2JΔ : Einfluss der min./max. r. hori. Pfahlbettungen (x = 68,90 m) aus Szenario 1&2

3,4JΔ : Einfluss der min./max. r. Senkfeder (x = 68,90 m) aus Szenario 3&4

Werte sind im Kapitel IV.2 tabellarisch zusammengestellt.


B.4 BERECHNUNG DER DIFFERENZSCHNITTGRÖßEN NACH VERBESSER-

TER NÄHERUNG ( , )d w G ; RECHTER PFAHL (X = 69,80 M)

Die Multiplikationsfaktoren F1 bis F4 sind gleich den Werten aus Anhang A.4, Tabelle A.4.a.

Tabelle B.k: Differenzschnittgrößen d(wLF11,GEL1)

EL1:Querkraft Szenario x = 1,60 m 0 1 2 0 3 4

LF11 Schicht d d d d d d [-] [kN] [kN] [kN] [kN] [kN] [kN] 1 -6,6 -8,0 5,7 2 -0,7 -0,8 0,7 3 -0,1 -0,1 0,1 4 0,0 0,0 0,0

Senkfeder 10,5 11,8 -9,5Summe -7,4 -8,8 6,4 10,5 11,8 -9,5

Tabelle B.l: Differenzschnittgrößen d(wLF11,GEL2)

EL2:Moment Szenarien x = 14,90 m 0 1 2 0 3 4


Senkfeder 156,3 175,9 -140,7Summe -111,0 -131,5 96,2 156,3 175,9 -140,7


Tabelle B.m: Differenzschnittgrößen d(wLF13,GEL3)



Senkfeder 335,3 377,2 -301,8Summe 89,0 105,2 -77,3 335,3 377,2 -301,8

Tabelle B.n: Differenzschnittgrößen d(wLF13,GEL4)

EL4:Querkraft Szenarien x = 28,80 m 0 1 2 0 3 4


Senkfeder 11,7 13,1 -10,5Summe 3,1 3,6 -2,7 11,7 13,1 -10,5

Tabelle B.o: Differenzschnittgrößen d(wLF13,GEL5)



Senkfeder 403,9 454,4 -363,5Summe -76,9 -91,2 66,6 403,9 454,4 -363,5

Tabelle B.p: Differenzschnittgrößen d(wLF13,GEL6)

EL6:Querkraft Szenarien x = 30,80 m 0 1 2 0 3 4


Senkfeder -25,4 -28,6 22,9Summe 2,0 2,4 -1,8 -25,4 -28,6 22,9


Tabelle B.q: Differenzschnittgrößen d(wLF13,GEL7)

EL7:Moment Szenarien x = 29,80 m, y =2,80 m 0 1 2 0 3 4


Senkfeder 63,1 71,0 -56,8Summe 319,2 378,5 -276,4 63,1 71,0 -56,8

Tabelle B.r: Differenzschnittgrößen d(wLF13,GEL8)

EL8:Querkraft Szenarien x = 29,80 m, y =2,80 m 0 1 2 0 3 4

LF11 Schicht d d d d d d [-] [kN] [kN] [kN] [kN] [kN] [kN] 1 30,7 36,9 -26,3 2 3,1 3,3 -2,9 3 0,3 0,3 -0,3 4 0,0 0,0 0,0

Senkfeder 4,0 4,6 -3,6Summe 34,1 40,4 -29,5 4,0 4,6 -3,6

Tabelle B.s: Differenzschnittgrößen d(wLF19,GEL9)



Senkfeder -90,0 -101,3 81,0Summe -97,7 -115,5 84,8 -90,0 -101,3 81,0

C Berechnung der Differenzschnittgrößen (RIEGEL) 179

Anhang C

Berechnung der Differenzschnittgrößen

(RIEGEL)

INHALT

C Berechnung der Differenzschnittgrößen (RIEGEL) .................................... 180 C.1 Ergebnisse der Differenzschnittgrößen (Riegel): .............................................. 181

180 C Berechnung der Differenzschnittgrößen (RIEGEL)

C BERECHNUNG DER DIFFERENZSCHNITTGRÖßEN (RIEGEL) Im Folgenden werden die Differenzschnittgrößen bei Schwächung bzw. Stärkung des Riegels um 50% berechnet.

Die M-Schnittgrößen über den Riegel in den maßgebenden Lastfällen (LF11, LF13 und LF19) sowie die Einflusslinien (EL1, …, El9) ermitteln und tabellarisch zusammenstellen. Siehe Tabelle C.1.a: Riegel-Schnittgrößen.

Berechnung von Schnittkraftänderungen d(w,G), siehe Tabelle C.1.b. In dieser Tabelle werden die Schnittkraftänderungen mit zwei Verfahren durchgeführt.

:

(1) : Rechteck

(2) : Trapez 2

Integrationsmethoden

Verfahren j h

j iVerfahren h

⋅

+

∑

∑

Verfahren (3): Berechnung der Schnittgrößenänderungen im Riegel:

1 Schritt: Momenten-Schnittgrößen aus Szenario 0 (Grundsystem) berechnen. 2 Schritt: Trägheitsmomente werden als Mittelwerte zwischen den einzelnen Stütz-

stellen angesetzt. Steifigkeitsänderung ΔEI bestimmen. 3 Schritt: Funktionen für M-Verläufe aufstellen.

1 1 1 2 2 2

1 1 1

2 2 2

11 1

2 2

Für Geraden:geg: Zwei Punkte ( , ) und ( , )

y x 11 ay x 11 b

Ermittlung der Koeffizienten a und b.

1 ya1 yb

P x y P x yx

a bx

xx

−

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + =⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤= ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

1 1 1 2 2 2 3 3 3

1211 1

222 2

23 3 3

Für Parabelgleichungen:geg: Drei Punkte ( , ), ( , ) und ( , )y=cx²+dx+eErmittlung der Koeffizienten c, d und e .

y1cy1d

1e

P x y P x y P x y

x xx xx x y

−⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ = ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦


4 Schritt: Kontrolle der M-Funktionen mittels Graph und Wertetabelle. 5 Schritt: Multiplikation M mit G --> MG.

Multiplikation: Gerade mit Parabel: ( ) ( ) ²( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ² )( ) ( ) ( ) ² ³

geg Gerade G x ax b und Parabel M x cx dx eMG x G x M xMG x ax b cx dx eMG x be bd ae x bc ad x ac x

= + = + += ⋅= + ⋅ + += + + + + + ⋅

6 Schritt: Stammfunktion MG bestimmen --> Y.

4

MG integerieren: ( ) ( ) ( ) ² ³

( ) ( )( ) ² ³2 3 4

geg Funktion MG x be bd ae x bc ad x ac xbd ae bc ad acY x be x x x x R

= + + + + + ⋅+ +

= ⋅ + + + ⋅ +

7 Schritt: Funktionswerte für Y von 29,8 bis 69,8 mit einer Schrittweite von 1 be-rechnen, R=0.

8 Schritt: Abschnittsweise Teilintegrale berechnen Y(i+1)-Y(i) --> ΔYi, (i = 1, ..., 40).

9 Obergrenze minus Untergrenze.

j

( )( ) ( ) ( 1, ..., 9)( ) ( )

: x-Koordinate an der Stelle i: Index für die untersuchende Stelle m ( 1, ..., 9)

ik i i

i i

i

EI xf x Y x kEI x EI x

xk j

Δ= ⋅Δ =

⋅=

= =

10 Schritt: Beiwerte mit Y multiplizieren. 11 Schritt: Summe über fk(xi) (i=1, ..., 40) --> d(w,G).

Verfahren (3) Ende:

C.1 ERGEBNISSE DER DIFFERENZSCHNITTGRÖßEN (RIEGEL):

Siehe

• Tabelle C.1.a: Riegel-Schnittgrößen

• Tabelle C.1.b: Riegel-Schnittkraftänderungen d(w,G); Verfahren (1) und (2)

• Abbildung C.1.c: Deltas von d(w, G)[F1(x) bis F5(x)]; Riegel

• Abbildung C.1.d: Deltas von d(w, G)[F6(x) bis F9(x)]; Riegel

• F1 Riegel: Ermittlung von d(wLF11,GEL1); Verfahren 3


…



Tabelle C.1.a: Riegel-Schnittgrößen

Riegel-Schnittgrößen -----> LF11 LF13 LF19 EL1 EL2 EL3 EL4 EL5 EL6 EL7 EL8 EL9 x i Iy Emin Enom deltaEi M M M M M M M M M M M M

[m] [m4] [MPa] [MPa] [MNm²] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] [kNm] 29,8 0 4,53 15693 31387 -71094 -39376 -177651 -111392 -112493 -1676146 -3239837 -112493 -3843127 128192 -536136 -29602 -1407463 30,8 1 4,36 15693 31387 -68426 -39376 -155834 -91892 -108485 -1616434 -3124420 -108485 -3721344 121783 -527367 -29602 -1407463 31,8 2 4,18 15693 31387 -65601 -39376 -135015 -73392 -104478 -1556723 -3009003 -104478 -3599561 115373 -518597 -29602 -1407463 32,8 3 4,01 15693 31387 -62933 -39376 -115195 -55892 -100470 -1497011 -2893586 -100470 -3477777 108963 -509828 -29602 -1407463 33,8 4 3,83 15693 31387 -60108 -39376 -96375 -39392 -96463 -1437299 -2778168 -96463 -3355994 102554 -501058 -29602 -1407463 34,8 5 3,65 15693 31387 -57283 -39376 -78555 -23892 -92455 -1377588 -2662751 -92455 -3234211 96144 -492289 -29602 -1407463 35,8 6 3,47 15693 31387 -54458 -39376 -61733 -9392,53 -88448 -1317876 -2547334 -88448 -3112428 89734 -483520 -29602 -1407463 36,8 7 3,29 15693 31387 -51633 -39376 -45910 4107,47 -84440 -1258164 -2431917 -84440 -2990645 83325 -474750 -29602 -1407463 37,8 8 3,11 15693 31387 -48808 -39376 -31087 16607 -80433 -1198453 -2316499 -80433 -2868862 76915 -465981 -29602 -1407463 38,8 9 2,93 15693 31387 -45983 -39376 -17265 28107 -76425 -1138741 -2201082 -76425 -2747078 70506 -457211 -29602 -1407463 39,8 10 2,76 15693 31387 -43315 -39376 -4440,52 38607 -72418 -1079029 -2085665 -72418 -2625295 64096 -448442 -29602 -1407463 40,8 11 2,59 15693 31387 -40647 -39376 7384,09 48107 -68410 -1019317 -1970248 -68410 -2503512 57686 -439673 -29602 -1407463 41,8 12 2,42 15693 31387 -37979 -39376 18208 56607 -64403 -959606 -1854830 -64403 -2381729 51277 -430903 -29602 -1407463 42,8 13 2,25 15693 31387 -35312 -39376 28036 64107 -60395 -899894 -1739413 -60395 -2259945 44867 -422134 -29602 -1407463 43,8 14 2,09 15693 31387 -32800 -39376 36865 70607 -56388 -840182 -1623995 -56388 -2138162 38457 -413364 -29602 -1407463 44,8 15 1,93 15693 31387 -30289 -39376 44694 76107 -52380 -780470 -1508578 -52380 -2016379 32048 -404595 -29602 -1407463 45,8 16 1,78 15693 31387 -27935 -39376 51524 80607 -48373 -720759 -1393161 -48373 -1894595 25638 -395825 -29602 -1407463 46,8 17 1,64 15693 31387 -25738 -39376 57356 84107 -44365 -661047 -1277744 -44365 -1772812 19228 -387056 -29602 -1407463 47,8 18 1,5 15693 31387 -23541 -39376 62188 86607 -40358 -601335 -1162326 -40358 -1651029 12819 -378287 -29602 -1407463 48,8 19 1,36 15693 31387 -21344 -39376 66021 88107 -36350 -541623 -1046909 -36350 -1529246 6409,62 -369517 -29602 -1407463

49,8 20 1,23 15693 31387 -19304 -39376 68854 88607 -32343 -481912 -931492 -32343 -1407463 0 -360748 -29602 -1407463



x i Iy Emin Enom deltaEi LF11 LF13 LF19 EL1 EL2 EL3 EL4 EL5 EL6 EL7 EL8 EL9 50,8 21 1,36 15693 31387 -21344 -39376 70689 88107 -28335 -422200 -816075 -28335 -1285680 -6409,63 -351978 -29602 -1407463 51,8 22 1,5 15693 31387 -23541 -39376 71524 86607 -24328 -362489 -700658 -24328 -1163897 -12819 -343209 -29602 -1407463 52,8 23 1,64 15693 31387 -25738 -39376 71360 84107 -20320 -302777 -585240 -20320 -1042114 -19228 -334440 -29602 -1407463 53,8 24 1,78 15693 31387 -27935 -39376 70195 80607 -16313 -243065 -469823 -16313 -920330 -25638 -325670 -29602 -1407463 54,8 25 1,93 15693 31387 -30289 -39376 68033 76107 -12305 -183353 -354406 -12305 -798547 -32048 -316901 -29602 -1407463 55,8 26 2,09 15693 31387 -32800 -39376 64870 70607 -8298,14 -123642 -238989 -8298,14 -676764 -38457 -308131 -29602 -1407463 56,8 27 2,25 15693 31387 -35312 -39376 60708 64107 -4290,64 -63930 -123571 -4290,64 -554981 -44867 -299362 -29602 -1407463 57,8 28 2,42 15693 31387 -37979 -39376 55548 56607 -283,14 -4218,84 -8154,63 -283,14 -433198 -51277 -290592 -29602 -1407463 58,8 29 2,59 15693 31387 -40647 -39376 49390 48107 3724,35 55492 107262 3724,35 -311415 -57686 -281823 -29602 -1407463 59,8 30 2,76 15693 31387 -43315 -39376 42232 38607 7731,85 115204 222679 7731,85 -189631 -64096 -273054 -29602 -1407463 60,8 31 2,93 15693 31387 -45983 -39376 34075 28107 11739 174916 338097 11739 -67848 -70506 -264284 -29602 -1407463 61,8 32 3,11 15693 31387 -48808 -39376 24919 16607 15746 234627 453514 15746 53934 -76915 -255515 -29602 -1407463 62,8 33 3,29 15693 31387 -51633 -39376 14765 4107,48 19754 294339 568932 19754 175718 -83325 -246745 -29602 -1407463 63,8 34 3,47 15693 31387 -54458 -39376 3610,86 -9392,52 23761 354051 684349 23761 297501 -89734 -237976 -29602 -1407463 64,8 35 3,65 15693 31387 -57283 -39376 -8543,39 -23892 27769 413763 799766 27769 419284 -96144 -229207 -29602 -1407463 65,8 36 3,83 15693 31387 -60108 -39376 -21695 -39392 31776 473475 915183 31776 541067 -102554 -220437 -29602 -1407463 66,8 37 4,01 15693 31387 -62933 -39376 -35847 -55892 35784 533186 1030601 35784 662850 -108963 -211668 -29602 -1407463 67,8 38 4,18 15693 31387 -65601 -39376 -50998 -73392 39791 592898 1146018 39791 784634 -115373 -202898 -29602 -1407463 68,8 39 4,36 15693 31387 -68426 -39376 -67149 -91892 43799 652610 1261435 43799 906417 -121783 -194129 -29602 -1407463 69,8 40 4,53 15693 31387 -71094 -39376 -84299 -111392 47806 712321 1376852 47806 1028200 -128192 -185359 -29602 -1407463



Tabelle C.1.b: Riegel-Schnittkraftänderungen d(w,G); Verfahren (1) und (2)

x F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 m kN kNm kNm kN kNm kN kNm kN kNm

29,8 15,6 232,1 2024,1 70,3 2401,0 -80,1 74,2 4,1 551,3 30,8 15,6 15,6 232,6 232,3 1779,0 1901,5 61,8 66,0 2118,9 2259,9 -69,3 -74,7 75,9 75,1 4,3 4,2 472,6 512,0 31,8 15,7 15,6 233,6 233,1 1548,3 1663,7 53,8 57,8 1852,2 1985,6 -59,4 -64,4 77,8 76,8 4,4 4,4 393,7 433,1 32,8 15,7 15,7 234,2 233,9 1324,2 1436,3 46,0 49,9 1591,6 1721,9 -49,9 -54,6 79,8 78,8 4,6 4,5 312,5 353,1 33,8 15,8 15,8 235,4 234,8 1113,7 1218,9 38,7 42,3 1345,3 1468,4 -41,1 -45,5 82,1 80,9 4,8 4,7 230,6 271,6 34,8 15,9 15,8 236,8 236,1 912,9 1013,3 31,7 35,2 1108,9 1227,1 -33,0 -37,0 84,6 83,3 5,1 5,0 146,8 188,7 35,8 16,0 15,9 238,2 237,5 722,0 817,4 25,1 28,4 882,1 995,5 -25,4 -29,2 87,4 86,0 5,4 5,2 60,7 103,7 36,8 16,1 16,0 239,9 239,1 540,6 631,3 18,8 21,9 664,8 773,5 -18,5 -22,0 90,5 89,0 5,6 5,5 -28,0 16,3 37,8 16,2 16,2 241,7 240,8 368,9 454,8 12,8 15,8 456,8 560,8 -12,2 -15,4 94,0 92,3 6,0 5,8 -119,7 -73,9 38,8 16,4 16,3 243,8 242,8 206,6 287,7 7,2 10,0 257,9 357,4 -6,6 -9,4 97,9 95,9 6,3 6,2 -215,1 -167,4 39,8 16,5 16,4 245,2 244,5 53,5 130,0 1,9 4,5 67,3 162,6 -1,6 -4,1 101,9 99,9 6,7 6,5 -313,6 -264,4 40,8 16,6 16,5 246,9 246,1 -89,5 -18,0 -3,1 -0,6 -113,7 -23,2 2,6 0,5 106,5 104,2 7,2 6,9 -416,5 -365,1 41,8 16,7 16,6 248,7 247,8 -222,3 -155,9 -7,7 -5,4 -285,5 -199,6 6,1 4,4 111,7 109,1 7,7 7,4 -524,5 -470,5 42,8 16,8 16,8 250,9 249,8 -345,3 -283,8 -12,0 -9,9 -448,6 -367,0 8,9 7,5 117,7 114,7 8,3 8,0 -638,8 -581,7 43,8 16,9 16,9 252,2 251,5 -456,3 -400,8 -15,8 -13,9 -600,8 -524,7 10,8 9,9 124,1 120,9 8,9 8,6 -757,5 -698,2 44,8 17,0 17,0 253,7 252,9 -556,5 -506,4 -19,3 -17,6 -743,9 -672,3 11,8 11,3 131,5 127,8 9,6 9,3 -884,2 -820,8 45,8 17,0 17,0 254,0 253,8 -642,4 -599,5 -22,3 -20,8 -873,7 -808,8 11,8 11,8 139,5 135,5 10,4 10,0 -1015,4 -949,8 46,8 17,0 17,0 252,8 253,4 -711,9 -677,2 -24,7 -23,5 -987,7 -930,7 10,7 11,3 148,0 143,8 11,3 10,9 -1149,9 -1082,6 47,8 16,9 16,9 251,5 252,2 -767,7 -739,8 -26,7 -25,7 -1090,4 -1039,1 8,5 9,6 158,2 153,1 12,4 11,9 -1294,6 -1222,2 48,8 16,8 16,8 249,8 250,6 -809,6 -788,7 -28,1 -27,4 -1182,6 -1136,5 5,0 6,7 170,4 164,3 13,7 13,0 -1452,6 -1373,6 49,8 16,5 16,6 245,8 247,8 -830,7 -820,2 -28,8 -28,5 -1255,1 -1218,9 0,0 2,5 184,0 177,2 15,1 14,4 -1615,2 -1533,9



x F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 50,8 13,1 14,8 194,7 220,3 -675,7 -753,2 -23,5 -26,2 -1064,6 -1159,9 -5,3 -2,7 162,3 173,2 13,7 14,4 -1452,6 -1533,9 51,8 10,2 11,6 151,6 173,2 -532,2 -604,0 -18,5 -21,0 -884,1 -974,3 -9,7 -7,5 143,5 152,9 12,4 13,0 -1294,6 -1373,6 52,8 7,8 9,0 115,8 133,7 -405,7 -469,0 -14,1 -16,3 -722,4 -803,2 -13,3 -11,5 127,9 135,7 11,3 11,9 -1149,9 -1222,2 53,8 5,7 6,8 85,7 100,7 -295,2 -350,4 -10,2 -12,2 -578,2 -650,3 -16,1 -14,7 114,8 121,3 10,4 10,9 -1015,4 -1082,6 54,8 4,0 4,9 59,6 72,6 -199,0 -247,1 -6,9 -8,6 -448,4 -513,3 -18,0 -17,1 103,0 108,9 9,6 10,0 -884,2 -949,8 55,8 2,5 3,2 37,1 48,4 -118,2 -158,6 -4,1 -5,5 -334,6 -391,5 -19,0 -18,5 92,5 97,7 8,9 9,3 -757,5 -820,8 56,8 1,2 1,8 17,8 27,5 -53,1 -85,6 -1,8 -3,0 -238,5 -286,6 -19,3 -19,2 83,5 88,0 8,3 8,6 -638,8 -698,2 57,8 0,1 0,6 1,1 9,5 -3,0 -28,0 -0,1 -1,0 -158,4 -198,5 -18,8 -19,0 75,3 79,4 7,7 8,0 -524,5 -581,7 58,8 -0,9 -0,4 -13,4 -6,2 32,6 14,8 1,1 0,5 -94,6 -126,5 -17,5 -18,1 68,3 71,8 7,2 7,4 -416,5 -470,5 59,8 -1,8 -1,3 -26,2 -19,8 54,3 43,4 1,9 1,5 -46,2 -70,4 -15,6 -16,6 62,1 65,2 6,7 6,9 -313,6 -365,1 60,8 -2,5 -2,1 -37,4 -31,8 62,6 58,5 2,2 2,0 -12,6 -29,4 -13,1 -14,3 56,6 59,3 6,3 6,5 -215,1 -264,4 61,8 -3,2 -2,8 -47,3 -42,4 57,9 60,3 2,0 2,1 6,9 -2,8 -9,8 -11,4 51,5 54,1 6,0 6,2 -119,7 -167,4 62,8 -3,8 -3,5 -56,1 -51,7 40,7 49,3 1,4 1,7 12,6 9,7 -6,0 -7,9 47,0 49,3 5,6 5,8 -28,0 -73,9 63,8 -4,3 -4,0 -64,0 -60,1 11,3 26,0 0,4 0,9 4,9 8,7 -1,5 -3,7 43,0 45,0 5,4 5,5 60,7 16,3 64,8 -4,8 -4,5 -71,1 -67,6 -29,8 -9,2 -1,0 -0,3 -15,6 -5,4 3,6 1,0 39,4 41,2 5,1 5,2 146,8 103,7 65,8 -5,2 -5,0 -77,5 -74,3 -82,6 -56,2 -2,9 -2,0 -48,8 -32,2 9,3 6,4 36,1 37,7 4,8 5,0 230,6 188,7 66,8 -5,6 -5,4 -83,4 -80,5 -146,8 -114,7 -5,1 -4,0 -94,4 -71,6 15,5 12,4 33,1 34,6 4,6 4,7 312,5 271,6 67,8 -6,0 -5,8 -89,0 -86,2 -222,7 -184,8 -7,7 -6,4 -152,5 -123,4 22,4 19,0 30,4 31,8 4,4 4,5 393,7 353,1 68,8 -6,3 -6,1 -93,9 -91,4 -309,5 -266,1 -10,7 -9,2 -222,4 -187,4 29,9 26,2 27,9 29,2 4,3 4,4 472,6 433,1 69,8 -6,6 -6,5 -98,6 -96,3 -408,2 -358,8 -14,2 -12,5 -304,8 -263,6 38,0 33,9 25,7 26,8 4,1 4,2 551,3 512,0

Verf. (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2) -d (w,G) 343,9 332,8 5123,7 4958,3 2347,4 1131,3 81,5 39,3 72,6 -1280,3 -423,3 -364,2 3736,0 3711,7 304,6 304,6 -15450,9 -15450,9


1

A

86

Abbildung C.1.c: Deeltas von d(w,G) [F

C B

F1(x) bis F5(x)]; Rieg

Berechnung der Diff

gel

fferenzschnittgrößenn (RIEGEL)

18

86

C

A

C Berechnung der D

Abbildung C.1.d: De

Differenzschnittgröß

eltas von d(w,G) [F

ßen (RIEGEL)

F6(x) bis F9(x)]; Rieggel

187

1887

1

88

C Berechnung der DDifferenzschnittgröß

C B

ößen (RIEGEL)

Berechnung der Difffferenzschnittgrößenn (RIEGEL)

1

88

C

C

C Berechnung der D

C Berechnung der D



ßen (RIEGEL)

ßen (RIEGEL)

189

18

89

1

90

C Berechnung der D


C B

ößen (RIEGEL)


190

C

C Berechnung der D

C Berechnung der D



ßen (RIEGEL)

ößen (RIEGEL)

191

191

1

92

C Berechnung der

Differenzschnittgrö

C B

ößen (RIEGEL)


192

C

C

C Berechnung der D

C Berechnung der D



ßen (RIEGEL)

ßen (RIEGEL)

193

1993







D Mittwirkende Plattenbreiten 197

ANHANG D

MITWIRKENDE PLATTENBREITEN

INHALT

D Mittwirkende Plattenbreiten .......................................................................... 198 D.1 Mitwirkende Plattenbreite über Widerlager ...................................................... 199

D.2 Mitwirkende Plattenbreite in Feldmitte 1 und 3 ................................................ 200

D.3 Mitwirkende Plattenbreite über Pfeiler .............................................................. 201

D.4 Mitwirkende Plattenbreite im Feld 2 ................................................................. 202

198 D Mittwirkende Plattenbreiten

D MITTWIRKENDE PLATTENBREITEN Es werden folgende mitwirkenden Breiten für die Ermittlung der Schnittgrößen für das 2D-Modell berechnet:

Mitwirkende Plattenbreite über Widerlager (Q1): Mitwirkende Plattenbreite in Feldmitte 1 und 3 (Q2): Mitwirkende Plattenbreite über Pfeiler (Q3): Mitwirkende Plattenbreite im Feld 2 (Q4):

Abbildung D.a: Ermittlung der mitwirkenden Plattenbreite


D.1 MITWIRKENDE PLATTENBREITE ÜBER WIDERLAGER

1,84 (0,10 0,10) / 2 1,94wb m= + + = (Stegbreite)

0 ,1 ,2

, 0

,

0

,

,

0,15 ( ) 0,15 29,80 4,47

0,2 0,1

(9,30 1,94) 3,682

0,2 3,68 0,1 4,47 1,18

0,21,18

0,2 4,47 0,89 (maßgebend)3,68

2 0,89 1,94 3,

eff eff

eff i i

i

eff i

i

eff i

eff eff i w

eff

l l l m

b b l

b m

b m

l bb m

mm

b b b

b

= ⋅ + = ⋅ =

= ⋅ + ⋅

−= =

= ⋅ + ⋅ =

≤ ⋅ <=

< ⋅ =<

= +

= ⋅ + ≈∑

75m

Abbildung D.b: Plattenbalkenquerschnitt Q1 über Widerlager

Baustoffkennwerte: Beton C40/50, Stahl BSt 500 S

Q1


D.2 MITWIRKENDE PLATTENBREITE IN FELDMITTE 1 UND 3

[(1,60 1,84) / 2 2,04]/ 2 1,88wb m= + + = (Stegbreite)

0 ,1

, 0

,

0

,

0,85 0,85 29,80 25,33

1,600,2 0,1

(9,30 1,88) 3,712

0,2 3,71 0,1 25,33 3,28

0,2 0,2 25,333,71

2 3,28 1,88 8,44

eff

eff i i

i

eff i

i

eff eff i w

eff

l l m

h mb b l

b m

b m

l erfülltb erfüllt

b b b

b m

= ⋅ = ⋅ =

== ⋅ + ⋅

−= =

= ⋅ + ⋅ =

≤ ⋅ = ⋅

< =

= +

= ⋅ + =∑

Abbildung D.c: Plattenbalkenquerschnitt Q2 in Feldmitte 1 und 3


Q2


D.3 MITWIRKENDE PLATTENBREITE ÜBER PFEILER

1,60 0,22 1,82wb m= + = (Stegbreite)

0 ,1 ,2

, 0

,

0

,

,

0,15 ( ) 0,15 (29,80 40,00) 10,47

0,2 0,1

(9,30 1,82) 3,742

0,2 3,74 0,1 10, 47 1,80

0,21,18

0,2 10,47 2,093,74

2 1,18 1,82 4, 2

eff eff

eff i i

i

eff i

i

eff i

eff eff i w

eff

l l l m

b b l

b m

b m

l bb m

mm

b b b

b

= ⋅ + = ⋅ + =

= ⋅ + ⋅

−= =

= ⋅ + ⋅ =

≤ ⋅ <=

< ⋅ =<

= +

= ⋅ + ≈∑

0m

Abbildung D.d: Plattenbalkenquerschnitt Q3 über Pfeiler


Q3


D.4 MITWIRKENDE PLATTENBREITE IM FELD 2

1,84 0,10 1,94wb m= + = (Stegbreite)

0 ,2

, 0

,

0

,

0,7 0,7 40,00 28,00

0,2 0,1

(9,30 1,94) 3,682

0,2 3,68 0,1 28,00 3,54

0,2 0,2 28,003,68

2 3,54 1,94 9,00

eff

eff i i

i

eff i

i

eff eff i w

eff

l l m

b b l

b m

b m

lb

b b b

b m

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ + ⋅

−= =

= ⋅ + ⋅ =

≤ ⋅ = ⋅< =

= +

= ⋅ + ≈∑

Abbildung D.e: Plattenbalkenquerschnitt Q4 Feld 2


Q4

E Fahrbachtalbrücke in 3D 203

ANHANG E

FAHRBACHTALBRÜCKE IN 3D

INHALT

E Fahrbachtalbrücke in 3D ................................................................................ 204 E.1 3D-Ansichten ..................................................................................................... 205

E.2 Der Überbau: Schnitt x = 19,80 m ..................................................................... 206

E.3 Widerlager ......................................................................................................... 206

E.4 Pfeiler................................................................................................................. 207

E.5 Vorspannung ...................................................................................................... 207

E.6 EDV-Programm: ................................................................................................ 208

E.7 Einwirkungen: ................................................................................................... 208

E.8 Eingabelasten ..................................................................................................... 209

E.9 Schnittkräfte: ..................................................................................................... 210

E.10 Kurzer Vergleich zwischen 2D- und 3D-Modell .............................................. 211

E.11 Arbeiten mit Sofistik in 3D ............................................................................... 212

E.12 Perspektivische 3D-Ansichten: Einflussfunktionen .......................................... 214

E.13 Kurze Prüfung der Einflusslinien in 3-D ........................................................... 215

204 E Fahrbachtalbrücke in 3D

E FAHRBACHTALBRÜCKE IN 3D Die Modellierung der Fahrbachtalbrücke erfolgt ebenfalls mit Sofistik. Das Modell be-steht aus

acht horiz. gebetteten Pfählen, vier Querträgern, die jeweils zwei Pfähle mit einem Pfeiler verbinden, vier Pfeilern und einer „Fahrbahn“, dem Überbau,

die allesamt monolithisch verbunden sind. Die Fahrbahn wird als ein Faltwerk abgebildet, das aus mehr oder minder großen Flächenelementen besteht. Die Lagerungen der Wider-lager in Querrichtung und vertikaler Richtung werden durch sehr steife Randbettungen in Z- und Y- Richtung modelliert. Die Bettungen der Pfähle in vertikaler Richtung werden mittels einfachen Senkfedern approximiert. Die Vorspannung entspricht weitestgehend der in der Statik (KG, 2006) vorgegeben Werten.

Abbildung E.a: Perspektivische 3D-Ansicht: Gesamtlänge 99,60 m; Gesamthöhe 38,00m, Fahrbahnbreite mit 18,60 m, Länge 99,6 m, (Feld1: 0-29,8 ; Feld2: 29,8-69,8 ;Feld3: 69,8-99,6)


E.1 3D-ANSICHTEN

Abbildung E.b: Perspektivische 3D-Seitenansicht

Abbildung E.c: Perspektivische 3D-Ansicht von unten


E.2 DER ÜBERBAU: SCHNITT X = 19,80 M

Abbildung E.d: Querschnitt des Überbau an der Stelle x = 19,80 m

Die Längsträger variieren in ihrer Höhe von 1,60 m bis 2,80 m.

Längsträgerquerschnitte:

LQ (Breite [m]; Höhe [m])

Vom linken Widerlager bis zum linken Pfeiler (0 m< x < 29.80 m):

LQ1 (1.84; 1.60), LQ2 (1.84; 1.615), LQ3 (1.84; 1.686), LQ4 (1.84; 1.817)

LQ5 (1.84; 2.007), LQ6 (1.84; 2.255), LQ7 (1.84; 2.563), LQ8 (1.84; 2.80)

Vom linken Pfeiler bis zur Mitte der Brücke (29.80m < x < 49.80 m):

LQ9 (1.84; 2.80), LQ10 (1.84; 2.541), LQ11 (1.84; 2.079), LQ12 (1.84; 1.813)

LQ13 (1.84; 1.653), LQ14 (1.84; 1.60)

Von der Mitte bis zum rechten Pfeiler (49.80m < x < 69.80 m):

LQ14, LQ13, …, LQ9

Vom rechten Pfeiler bis zum rechten Widerlager (69.80 m < x < 99.60 m)

LQ8, …, LQ1

E.3 WIDERLAGER

Widerlager entsprechen der Bettung der Fahrbahnkante in Z- und Y-Richtung.


E.4 PFEILER

Die Pfeiler sind als Kreisquerschnitte dargestellt. Der Durchmesser vergrößert sich von 1,60 m an den Fußpunkten bis auf 2,00 m an den Oberbau. Baustoffkennwerte: Überbau und Pfeiler: Beton C40/50, Stahl Bst 500S

Pfähle: Beton C30/37, Bst 500 S

E.5 VORSPANNUNG

Anspannverfahren: SUSPA-DSI Litze 16-19 150 mm², Anspannfolge von links nach rechts. Stahlgüte fp0,1k / fpk = 1500 / 1770 N/mm²; Ep-Modul = 195.000 N/mm².

Im Feld1 und Feld3: Sieben Spannglieder je „Längsträger“.

Im Feld2: Acht Spannglieder je „Längsträger“.

Abbildung E.e: Verformungen infolge Vorspannung


E.6 EDV-PROGRAMM:

Sofistik (Version:10.98 – 23)

E.7 EINWIRKUNGEN:

Vertikaler Richtung:

296 kN/m (Linienlast aus 2D-Modell)

--> 296 kN/m / 9,30m = 31,83 kN/m²

Flächenlast auf Fahrbahnplatte mit 31,90 kN/m²

Einzellast in Pfeilermittelpunkt mit 878 kN (Einzellast aus 2D-Modell)

Horizontaler Richtung:

280 kN (Bremslast aus 2D-Modell)

2 Fahrbahnen x 280 kN = 560 kN

Einzellast in vier Einzelkräfte zerlegt

Bremslast mit 4 x 140 kN


E.8 EINGABELASTEN

Abbildung E.f: 3D-Eingabelasten

Abbildung E.g: Verformungen infolge Eingabelasten ohne Vorspannung; ROT=Druckspg. Blau=Zugspg.

Abbildung E.h: Verformungen infolge Eingabelasten und Vorspannung; ROT=Druckspg. Blau=Zugspg.


E.9 SCHNITTKRÄFTE:

Normalkraft in Pfählen und Pfeilern

Abbildung E.i: Normalkräfte aus Eigengewicht und Verkehr ohne Vorspannung

Pfeiler: Max. Normalkraft beträgt -12.807 kN (-12.702 kN 2D-Modell)

Pfähle: Max. Normalkraft beträgt -6.639 kN

Abbildung E.j: Hauptmomente; ROT=min. Momente; BLAU=max. Momente; ohne Vorspannung

Abbildung E.k: Hauptmembrankräfte; ROT=minimal; BLAU=maximal; ohne Vorspannung


E.10 KURZER VERGLEICH ZWISCHEN 2D- UND 3D-MODELL

Die Tabelle stellt einen kurzen Vergleich zwischen den Schnittgrößen und Verschiebun-gen im 2D- und 3D-Modell dar.

Tabelle E.a: Kurzer Vergleich 2D-Modell mit 3D-Modell

(Grundlast) rel.

3D-Modell 2D-Modell Abweichung

Pfähle

Normalkraft [kN] -6639 -6351 -4%

Moment [MNm] 283 642 127%

Querkraft [kN] -96 -117 22%

X-Global Verschiebung [mm] 3,2 2,1 -34%

Z-Global Verschiebung [mm] 7,6 7,1 -7%

Pfeiler

Normalkraft [kN] -12807,0 -12702,0 -1%

Moment [MNm] 2613,0 2460,0 -6%

Querkraft [kN] 192,0 188,0 -2%

X-Global Verschiebung [mm] 14,5 8,9 -39%

Z-Global Verschiebung [mm] 10,0 13,6 36%


E.11 ARBEITEN MIT SOFISTIK IN 3D

Generierung von Einflusslinien und Einzellasten in Sofistik

Einzellast:

Möglichkeit 1:

Eingabe über den Lastmanager in Sofiplus 16

Möglichkeit 2:

Editieren der Textdatei „Berechnung Einzelastfälle“ und Einfügen der folgenden Zeilen ins Unterprogramm ASE:

LF 3011 BEZ "Einzelkraft 1 MN KN 53“

LAST 53 PZ 1000

LF: Abkürzung für Lastfall

BEZ: Kürzel für Bezeichnung

LAST: Funktion für Knotenlasten

PZ: Einzellast in Richtung von global z

1000: Wert in kN

Die zwei Zeilen sollten vor dem ENDE stehen.

Generierung einer Einflusslinie in Sofistik

Einflusslinien in Stäbe:

Editieren der Textdatei „Text Eingabe von allen Lasten“ und Einfügen der folgenden Zeilen ins Unterprogramm SOFILOAD:

LF 2000

STEL 204 204 1 WX -1000


STEL: Funktion generiert Lasten

204 204 1: Elementnummer (204)

WX: Einflusslinie N im lokalen Koordinatensystem

1000: Wert in mm



Einflusslinien in Flächentragwerken:

Editieren der Textdatei „Berechnung Einzelastfälle“ und Einfügen der folgenden Zeilen

ins Unterprogramm ASE:

LF 3001 BEZ "EL-Mxx, Element 100004"

FLAS 100004 typ EMY P 1



FLAS: Funktion für Elementenbelastung

100004: Flächen-Elementnummer

typ EMY: Einflussfläche m−y



E.12 PERSPEKTIVISCHE 3D-ANSICHTEN: EINFLUSSFUNKTIONEN

Abbildung E.l: Einflussfäche mxx an der Stelle (27,29; 4,61); Element 100004

Abbildung E.m: Einflussline N im vorderen linken Pfeiler (29,80; 4,15; 14,70); Element 204

Abbildung E.n: Einflussfläche in Querrichtung (14,90)


E.13 KURZE PRÜFUNG DER EINFLUSSLINIEN IN 3-D

Die Prüfung der generierten Einflussfläche erfolgt mit Hilfe des Satzes von Betti.

Für F (Punktlast) gilt:"1" ( , ; )J G x y m F→ ⋅ = ⋅

Gegeben:

Lastfall 3001: Einzelkraft F = 1 MN im Knoten 53





Zu prüfende Einflussflächen:

Flächenelement 100004 mit den Knoten (1554, 1553, 53, 1552).

Einflussfläche:

• m-xx, • m-yy, • v-x, • v-y

Vorgehen:

Ermitteln der Schalenschnittgrößen des Elements 100004 infolge der Lastfälle 3001 bis 3005.

Ablesen der gesuchte Größen: m-xx, m-yy, v-x, v-y (die Werte können in Ursula abgelesen werden).

Ablesen der Verschiebungen in z-Richtung der Knoten (53, 141, 6621, 3455, 1737) infolge der Einflussflächen.

Vergleich.


Tabelle E.b: Knotenkoordinaten

Koordinate Element Kn. x y 100004

[m] [m] Kn. 53 26,82 5,07 1554 141 49,8 5,07 1553

1552 26,82 4,15 53 1553 27,815 5,07 1552 1554 27,705 4,151 1737 26,075 5,07 3455 27,372 6,128 6621 14,693 8,424

Tabelle E.c: Test 1

LF 3002 Verschiebungen aus EL (Kn. 100004) stat. Einzellast F(Kn. 141) = 1 MN am Knoten 141 rel.

Größe Schalenschnittkräfte mxx myy v-x v-y Fehleram Element 100004 LF 3100 LF3101 LF3102 LF3103

m-xx 725,01 725,38 0%m-yy 10,84 10,85 0%v-x 70,61 70,963 0%v-y 3,05 3,072 1%

Einzellast ist ca. 23 m vom Element 100004 entfernt

Tabelle E.d: Test 2

LF 3001 Verschiebungen aus EL (100004) rel. Fehler

stat. Einzellast F(Kn. 53) = 1 MN am Knoten 53 Größe Schalenschnittkräfte mxx myy v-x v-y

am Element 100004 LF 3100 LF3101 LF3102 LF3103 m-xx 415,72 415,715 0%m-yy -41,92 -41,924 0%v-x -781,07 -781,072 0%v-y 339,41 339,413 0%

Einzellast wirkt direkt am Elementenknoten 53

Tabelle E.e: Test 3



am Element 100004 LF 3100 LF3101 LF3102 LF3103 m-xx -846,85 -846,831 0%m-yy 63,37 63,371 0%v-x -1083,7 -1083,643 0%v-y 30,66 30,661 0%

Einzellast ca. 12 m vom Element 100004 entfernt


Tabelle E.f: Test 4





Tabelle E.g: Test 5





Ergebnis: Wie zu erwarten ist, sind keine nennenswerten Abweichungen festzustellen.


Leere Seite

F Eingabe in Sofistik 219

ANHANG F

EINGABE IN SOFISTIK

INHALT

F Eingabe in Sofistik ........................................................................................... 220 F.1 Sofistik in 2D ..................................................................................................... 220

F.1.1 Allgemeines ................................................................................................. 220 F.1.2 Der Überbau ................................................................................................ 220 F.1.3 Widerlager ................................................................................................... 220 F.1.4 Pfeiler ........................................................................................................... 221 F.1.5 Baustoffkennwerte ....................................................................................... 221 F.1.6 EDV-Programm ........................................................................................... 221 F.1.7 2-D System in Sofistik generieren ............................................................... 221 F.1.8 Einflusslinien in Sofistik erzeugen: ............................................................. 232

F.2 Arbeiten mit Sofistik in 3D ............................................................................... 235 F.2.1 Generierung von Einflusslinien und Einzellasten in Sofistik ...................... 235 F.2.2 Generierung einer Einflusslinie in Sofistik ................................................. 236

220 F Eingabe in Sofistik

F EINGABE IN SOFISTIK

F.1 SOFISTIK IN 2D

F.1.1 ALLGEMEINES

Allgemeine Annahmen für das statische Rahmensystem 2-d-Rahmensystem. Bestehend aus Längsträger, Stützen und gebetteten Pfählen. Querneigung wird vernachlässigt. Überbau, Pfeiler und Pfähle sind monolithisch (Biegestar) verbunden. Die Fahrbachtalbrücke besteht aus zwei separaten Brücken, für jede Fahrtrichtung

eine, die nahezu doppelsymmetrisch sind. Folglich wird nur ¼ der Fahrbachtal-brücke untersucht.

Jeder Pfeiler wird durch zwei Pfähle gestützt. Im 2d-System werden die zwei Pfähle zu einem Pfahl mit doppelter Steifigkeit zusammengefasst.

Pfähle werden als gebettete Biegestäbe dargestellt. Der Bettungsverlauf ergibt sich aus dem Bodenprofil. In vertikaler Richtung werden Senkfedern berücksichtigt. Im Grundsystem werden die mittleren Bettungswerte und Senkfederkenngrößen

angesetzt. In Querrichtung ist das System unverschieblich. Schnittgrößen nach Theorie I. Ordnung.

F.1.2 DER ÜBERBAU

Die Bauhöhe ist in Längsrichtung veränderlich 2,80 m an den Innenstützen bzw. 1,60 m an den Endauflagern, in der Feldmitte und in der Querrichtung konstant. Für die Berech-nung der statischen Größen wird der Überbau, als ein in Höhe und Breite variabler Plat-tenbalken dargestellt.

F.1.3 WIDERLAGER

Die Widerlager werden als starke Senkfedern dargestellt.


F.1.4 PFEILER

Die Pfeiler werden als Kreisquerschnitt dargestellt. Der Durchmesser vergrößert sich von 1,60 m an den Fußpunkten bis auf 2,00 m an den Überbau. Die stat. Pfeilerlänge beträgt 13,8 m.

F.1.5 BAUSTOFFKENNWERTE

für Überbau und Pfeiler: Beton C40/50, Stahl BSt 500 S für Pfähle: Beton C30/37, Stahl BSt 500 S

F.1.6 EDV-PROGRAMM

Zur Berechnung wird das Programm SOFISTIK verwendet.

F.1.7 2-D SYSTEM IN SOFISTIK GENERIEREN

F.1.7.1 STATISCHES SYSTEM: DREIFELDRIGE AUTOBAHNBRÜCKE

Abbildung F.1.a: Statisches System

1, 2, 3: Überbau: Beton C40/50, Stahl BSt 500S

4: Pfeiler: Beton C40/50, Stahl BSt 500S

5: Pfähle: Beton C30/37, Stahl BSt 500S, horizontal gebettet

cw: Steife Senkfeder mit 10.000 MN/m


GOK

cw cw

cp cp


F.1.7.2 PLATTENBALKEN:

Gurt (Breite x Höhe), Steg (Breite x Höhe), Beton C40/50, Baustahl BSt 500S

Q1: Gurt(375 x 42), Steg(194 x 118) Q2: Gurt(844 x 42), Steg(188 x 118) Q3: Gurt(420 x 42), Steg(182 x 238) Q4: Gurt(900 x 42), Steg(194 x 118)

F.1.7.3 PFEILER:

Beton C40/50, Stahl BSt 500S, E-Modul= 31386.6 MPa

Q5: D(1.60), Q6: D(2.00)

F.1.7.4 PFÄHLE:

Beton C30/37, Stahl BSt 500S, E-Modul=2*28309.4 = 56618.8 MPa

Q7: D(1.20)

F.1.7.5 STABZÜGE:

Tabelle F.a: Stabzüge Stabzüge Anfangspunkt Endpunkt Länge

x y Quers. x y Quers. [m] [m] [m] [m] [m]

Feld 1: Stab 1 0 0 Q1 - 14.90 0 Q2 14.90 Stab 2 14.90 0 Q2 - 29.80 0 Q3 14.90 Feld 2:

Stab 3 29.80 0 Q3 - 49.80 0 Q4 20.00 Stab 4 49.80 0 Q4 - 69.80 0 Q3 20.00

Feld 3: Stab 5 69.80 0 Q3 - 84.70 0 Q2 14.90 Stab 6 84.70 0 Q2 - 99.60 0 Q1 14.90

Pfeiler 4: Stab 7 29.80 13.80 Q5 - 29.80 0 Q6 13.80 Stab 8 69.80 13.80 Q5 - 69.80 0 Q6 13.80

Pfähle 5: Linker Stab 9 29.80 13.80 Q7 - 29.80 15.133 Q7 1.333 Linker Stab 10 29.80 15.133 Q7 - 29.80 17.80 Q7 2.667 Linker Stab 11 29.80 17.80 Q7 - 29.80 22.80 Q7 5.000 Linker Stab 12 29.80 22.80 Q7 - 29.80 35.10 Q7 12.30 Linker Stab 13 29.80 35.10 Q7 - 29.80 37.10 Q7 2.000

Rechter Stab 14 69.80 13.80 Q7 - 69.80 15.133 Q7 1.333 Rechter Stab 15 69.80 15.133 Q7 - 69.80 17.80 Q7 2.667 Rechter Stab 16 69.80 17.80 Q7 - 69.80 22.80 Q7 5.000 Rechter Stab 17 69.80 22.80 Q7 - 69.80 35.10 Q7 12.30 Rechter Stab 18 69.80 35.10 Q7 - 69.80 37.10 Q7 2.000


F.1.7.1 MITTLERE HORIZONTALE BODENKENNGRÖßEN FÜR DAS 2D-MODELL:

• Schicht X: (Schichtdicke[m]; horizontale Bettung [MN/m³]) • Schicht 0: (1.33; 0) • Schicht 1: (2.67; 45) • Schicht 2: (5.00; 180) • Schicht 3: (12.50; 220) • Schicht 4: (2.00; 450)

Lasteinwirkunken (vertikal) p = 296 kN/m (Streckenlast auf Obergurt) (vertikal) F = 878 kN (Einzellast in Pfeilermitte, je Pfeiler) (horizontal) Fh = 280 kN (Einzellast in Feld 2 mitte)

F.1.7.2 EINGABE DER SYSTEMDATEN IN SOFISTIK:

Schritt 1: Programm „Sofistik 23“ starten. (Start Programme SOFISTIK 23 SSD)

Schritt 2: Neues Projekt anlegen. (Datei Neues Projekt) Schritt 3: Maske Systeminformationen ausfüllen

3.1 Überschrift: „2D-Modell“

3.2 Datenbasis: „2D-Modell“

3.3 Verzeichnis: „c:\2D-Modell\“

3.4 System: „2D-Rahmen“ auswählen

3.5 Art der Systemeingabe: „SOFIPLUS(X)-grafische Systemeingabe“

3.6 alle anderen voreingestellten Werte werden übernommen

3.7 Bestätigen mit „OK“

Schritt 4: Materialen hinzufügen

Material C30/37

4.1 Im Projektfenster Materialien mit rechter Maustaste öffnen und „Neu“ aus-wählen. (Projekt System Materialen Neu)

4.2 Maske Material ausfüllen

4.2.1 Nummer: „10“

4.2.2 Güteklasse: „C30“ auswählen

4.2.3 Bestätigen mit „OK“


Material C40/50

4.1 Im Projektfenster Materialien mit rechter Maustaste öffnen und „Neu“ auswählen. (Projekt System Materialen Neu)


4.2.1 Nummer: „11“



Material C2Pfahl (Ersatzmaterial für Pfähle)

4.1 Im Projektfenster Materialien mit rechter Maustaste öffnen und „Neu“ auswählen. (Projekt System Materialen Neu)


4.2.1 Nummer: „12“


4.2.3 Bezeichnung: „C2Pfahl“ eingeben

4.2.4 Eigenschaften anklicken

4.2.4.1 E-Modul[MPa]: „56618.8“ eingeben (2x28309)

4.2.4.2 Bestätigen mit „OK“


Schritt 5: Querschnitte definieren

Plattenbalkenquerschnitt Q1 eingeben

5.1 Im Projektfenster Querschnitte mit rechter Maustaste öffnen und „Neu“ aus-wählen. (Projekt System Querschnitte Neu)

5.1.1 Maske Querschnitte

5.1.1 Querschnittsart „Plattenbalken“ auswählen und mit „OK“ bestätigen

5.1.2 Maske Querschnitt Plattenbalken Nr: „1“

5.1.2.1 Material C40/50 (DIN 1045-1) auswählen

5.1.2.2 Gesamthöhe [m] „1.6“

5.1.2.3 Stegbreite [m] „1.94“

5.1.2.4 Plattendicke [m] „0.42“

5.1.2.5 Plattenbreite [m] „3.75“




Im Projektfenster Querschnitte mit rechter Maustaste öffnen und „Neu“ aus-wählen. (Projekt System Querschnitte Neu)


5.1.1: Querschnittsart „Plattenbalken“ auswählen und mit „OK“ bestätigen



5.1.2.2 Gesamthöhe [m] „1.6“

5.1.2.3 Stegbreite [m] „1.88“





Im Projektfenster Querschnitte mit rechter Maustaste öffnen und „Neu“ aus-wählen. (Projekt System Querschnitte Neu)





5.1.2.2 Gesamthöhe [m] „2.80“

5.1.2.3 Stegbreite [m] „1.82“





5.1 Im Projektfenster Querschnitte mit rechter Maustaste öffnen und „Neu“ auswählen. (Projekt System Querschnitte Neu)






5.1.2.2 Gesamthöhe [m] „1.60“

5.1.2.3 Stegbreite [m] „1.94“




Pfeilerquerschnitt Q5 eingeben



5.1.1: Querschnittsart „Kreis/Kreisring“ auswählen und mit „OK“ bestäti-gen

5.1.2 Maske Querschnitt Kreis Nr: 5

5.1.2.1 Material „C40/50 (DIN 1045-1)“ auswählen

5.1.2.2 Durchmesser auswählen

5.1.2.3 Äußerer Durchmesser [m] „1.60“


Pfeilerquerschnitt Q6 eingeben





5.1.2.1 Material „C40/50 (DIN 1045-1)“ auswählen





Pfahlquerschnitt Q7 eingeben





5.1.2.1 Material „C2Pfahl“ auswählen




Schritt 6: System generieren

6.1 Im Projektfenster „Grafische System – und Lasteingabe (SOFIPLUS(-X))“ aus-wählen und mit rechter Maustaste „Bearbeiten“ wählen. (Projekt System Grafische System – und Lasteingabe (SOFIPLUS(-X)) Bearbeiten). Das Softwarepaket „SOFIP-LUS-X 16.4“ startet.

6.2 Stabzüge eingeben

Stab 1:

6.2.1 Eingabe der Strukturlinie.

(Menu Eingeben Strukturelemente Strukturlinie)

6.2.2 Menu „Strukturlinie“

6.2.3 Tab „Stab/Seil“ auswählen

6.2.3.1 Elementtyp auswählen: „zentrischer Biegestab“

6.2.3.2 Maske Querschnitte

6.2.3.2.1 Passenden Querschnitt wählen: Nr. „1 B/H/Bw/Hf 375 …“

6.2.3.2.1 Button Material betätigen

6.2.3.2.2 Passendes Material auswählen: Nr. „11 C40/50 ...“

6.2.3.2.3 Bestätigen mit „OK“


6.2.3.2.5 Button Endquerschnitt drücken




6.2.4 Strukturlinie zeichnen durch Klicken der linken Maustaste im Zeichenfenster

6.2.4.1 Koordinaten des Anfangspunktes eingeben: „0,0“ und mit Enter-Taste be-stätigen

6.2.4.2 Endkoordinate eingebeben: „14.90,0“ und mit Enter-Taste bestätigen

6.2.4.3 Rechte Maustaste drücken und „abbrechen“ wählen

Stab 2:

6.2.1 Eingabe der Strukturlinie.

(Menu Eingeben Strukturelemente Strukturlinie)

6.2.2 Menu „Strukturlinie“

6.2.3 Tab „Stab/Seil“ auswählen

6.2.3.1 Elementtyp auswählen: „zentrischer Biegestab“

6.2.3.2 Maske Querschnitte


6.2.3.2.1 Button Material betätigen

6.2.3.2.2 Passendes Material auswählen: Nr. „11 C40/50 ...“



6.2.3.2.5 Button Endquerschnitt drücken



6.2.5 Strukturlinie zeichnen durch Klicken der linken Maustaste im Zeichenfenster

6.2.5.1 Koordinaten des Anfangspunktes eingeben: „14.90,0“ und mit Enter-Taste bestätigen

6.2.5.2 Relative Endkoordinate eingebeben: „14.90,0“ und mit Enter-Taste bestä-tigen

6.2.6 Rechte Maustaste drücken und „abbrechen“ wählen


Alle weiteren Stäbe können im gleichen Schema eingegeben werden. Bevor wir wei-ter machen, exportieren wir das System und überprüfen es durch Anschauung im Animator. (Menü Generieren Export OK)

Schritt 7: Lagerbedingungen eingeben Widerlager

7.1 Widerlagerknoten (0,0) und (99.6,0) auswählen und doppelklicken

7.2 Maske „Strukturpunkt“

7.2.1 Tab: „Festhaltungen“ anklicken

7.2.2 Steifigkeiten für lineare oder nicht… Festhaltungen auswählen

7.2.3 Button „Lokal Y“ drücken Menü Federeigenschaften

7.2.3.1 Steifigkeit [kN/m] eintragen: „1e7“


7.3 Bestätigen mit „Anwenden“ und „Schließen“

Pfahlsenkfeder

7.1 Knoten (29.80,37.10) und (69.80,37.10) auswählen und doppelklicken

7.2 Maske „Strukturpunkt“



7.2.3 Button „Lokal Y“ drücken Menü Federeigenschaften

7.2.3.1 Steifigkeit [kN/m] eintragen: „1800e3“



Horizontale Pfahlbettung

7.1 Stab 10 mit Doppelklick auswählen, liegt

im Bereich (29.80,15.133) - (29.80,17.80)

7.2 Maske „Strukturlinie“



7.2.3 Button „Bettung“ klicken Menü Bettung

7.2.3.1 Feder in global XX: „45000“




Alle weiteren horizontalen Pfahlbettungen können im gleichen Schema eingegeben wer-den.

Schritt 7: Einwirkungen eingeben

7.1 Die Lasteneingabe erfolgt über den Lastfallmanager

(Menü Eingeben Lasten Lastfallmanager)

7.2 Maske „Lastfall-Manager“

7.2.1 Neuen Lastfall eingeben: Button „Neu“ drücken

„Lasfall 1 Eigengewicht gesamt“ wird generiert

7.2.2 Neuen Lastfall eingeben: Button „Neu“ drücken

„Lasfall 2 Veränderliche Last“ wird generiert


Linienlast/Streckenlast in Höhe von 296 kN/m auf den Obergurt aufbringen

7.3 Eingabe „Freie Linienlast“ (Menü Eingeben Lasten Freie Linienlast)

7.3.1 Maske „Freie Linien- bzw. Strukturlinienlast eingeben“

7.3.2 Lastwert P1: [kN/m] „296“ (Anfangswert)

7.3.3 Lastwert P2: [kN/m] „296“ (Endwert)

7.3.4 Wähle Lasfall: „2-Lastfall 2“

7.3.4 Wähle Lasfallrichtung: „PYY-Last global Y“

7.3.5 Klicke Anfangspunkt (0, 0) und Endpunkt (99.6, 0) in der Zeichenebene an.

7.4 Rechte Maustaste drücken und „Abbrechen“ wählen

Vertikale Einzellast in Höhe von 878 kN in Pfeilermitte je Pfeiler aufbringen.

7.3 Eingabe „Freie Einzellast“ (Menü Eingeben Lasten Freie Einzellast)

7.3.1 Maske „Freie Einzel- bzw. Strukturpunktlast eingeben“

7.3.2 Lastwert: [kN] „878“ (Anfangswert)



7.3.4 Klicke Mittelpunkt (29.80, 6.90) und (69.80, 6.90) in der Zeichenebene an.


Horizontale Einzellast in Höhe von 280 kN aufbringen.

7.3 Eingabe „Freie Einzellast“ (Menü Eingeben Lasten Freie Einzellast)

7.3.1 Maske „Freie Einzel- bzw. Strukturpunktlast eingeben“

7.3.2 Lastwert: [kN] „280“ (Anfangswert)


7.3.4 Klicke Endpunkt (49.80, 0) in der Zeichenebene an.


Schritt 8: Generieren und Exportieren (Menü Generieren Export OK) und schließen Sofiplus-X

Maske Netzfeinheit:

Deaktivieren „automatisch bestimmen“

Setze „Maximale mögliche Elementkantenlänge [m]: 1“

Verfeinerungsfaktor auf 10% setzen

Das Programm „Sofistik Structural Desktop“ generiert anhand der exportierten Daten ein Rechenmodell, das auch im Animator bildlich angeschaut werden kann.

Schritt 9: Berechnung Einzellastfälle

9.1 Im Projektfenster „Berechnung Einzellastfälle“ mit rechter Maustaste öffnen und „Bearbeiten“ auswählen. (Projekt System Berechnung Einzellastfäll Berech-nung Einzellastfäll Bearbeiten)

9.2 Maske: „Berechnung Einzellastfälle“

9.2.1 Button „OK“ drücken

Schritt 10: Ergebnisse darstellen

Nach kurzer Berechnung können wir uns die Verformungen im Animator anschauen. Die Ergebnisse lassen sich in den Programmen „Wingraf“ oder „Ursula“ darstellen und aus-drucken.

(Wingraf: Menü SOFISTIK Grafische Ausgabe)

(Ursula: Menü SOFISTIK Ergebnisse Alle Ergebnisse)


F.1.8 EINFLUSSLINIEN IN SOFISTIK ERZEUGEN:

Als erstes benötigen wir einen zusätzlichen Task „Text Eingabe von allen Lasten“, der uns erlaubt zusätzliche Lastfälle zu generieren. (Menü Bearbeiten Task einfü-gen Text Eingabe von allen Lasten) und verschieben den Task in die Gruppe „Berech-nung Einzellastfälle.

F.1.8.1 EINFLUSSLINIE V EL1 EINGEBEN: IM ABSTAND VON 1.60 M VOM LINKEN

WIDERLAGER

1. Schritt: Task „Text Eingabe von allen Lasten“ auswählen und mit Doppelklick öffnen.

2. Schritt: Die notwendigen Befehlszeilen, die für die Erstellung des Lastfalls Ein-flusslinie notwendig sind, müssen sich zwischen KOPF und ENDE befinden im Programm „+PROG SOFILOAD“.

3. Schritt: Lastfall definieren. Folgende zwei Befehlszeilen sind notwendig: LF 1001 EINF STEL 2 2 1 WZ 1000 A 0.606667

1001 … stellt die Lastfallnummer dar

2 … Stabnummer. Mit Hilfe der Funktionstaste „F10“ lässt sich die Stabnum-mer leicht aus dem Animator ermitteln. Der Sprung soll im Abstand von 1.60 m vom linken Widerlager entstehen. Gesucht wird der Stab, der die Koordina-te (1.60,0) einschließt. Der Abstand zwischen Stabanfang und Sprung ist gleich der Sprungkoordinate minus Stabanfangskoordinate. Abstand = 1.60 – 0.993333 = 0.606667 m

WZ … Verschiebungssprung in lokaler z-Richtung, obwohl keine z-Richtung definiert ist.

1000 … Verschiebung in mm

0.606667 … Abstand zwischen Stabanfang und Verschiebungssprung

4. Schritt: Berechne „Text Eingabe von allen Lasten“ durch drücken der rechten Maustaste über den Task „Text Eingabe von allen Lasten“. (Projektfens-ter System Berechnung Einzellastfälle Text Eingabe von allen Las-ten rechte Maustaste Berechne „Text Eingabe von allen Lasten“)

5. Schritt: Editiere den Task „Berechnung Einzellastfälle“ 6. Schritt: Eingabe des Lastalles 1001 in das Programm STAR2 über den Befehl

ENDE. Programmzeile lautet: LF 1001 BEZ „EL1 Einflusslinie V“ 7. Schritt: Berechne: „Berechnung Einzellastfälle“ mit Hilfe der rechten Maustaste 8. Schritt: Ergebnisse sind wie gewohnt in den Programmen Ursula und WinGraf zu

finden.


F.1.8.2 EINFLUSSLINIE M EL2 EINGEBEN: KNICK-KOORDINATE (14.90, 0) Punkt liegt im Stab 29 mit der Stabanfangskoordinate (14.90, 0)

Programcode in „Text Eingabe von allen Lasten“ einfügen LF 1002 EINF STEL 16 16 1 DY 1000

Programcode in „Berechnung Einzellastfälle“ LF 1002 BEZ „EL2 Einflusslinie M“

F.1.8.3 EINFLUSSLINIE M EL3 EINGEBEN: KNICK-KOORDINATE (28.80, 0) Punkt liegt im Stab 29 mit der Stabanfangskoordinate (27.813, 0) Abstand zum Knick = 28.80 – 27.813 = 0.987 Programcode in „Text Eingabe von allen Lasten“

LF 1003 EINF STEL 29 29 1 DY 1000 A 0.987


F.1.8.4 EINFLUSSLINIE V EL4 EINGEBEN: SPRUNG-KOORDINATE (28.80, 0) Punkt liegt im Stab 29 mit der Stabanfangskoordinate (27.813, 0) Abstand zum Knick = 28.80 – 27.813 = 0.987 Programcode in „Text Eingabe von allen Lasten“

LF 1004 EINF STEL 29 29 1 WZ 1000 A 0.987

Programcode in „Berechnung Einzellastfälle“ LF 1004 BEZ „EL4 Einflusslinie V“

F.1.8.5 EINFLUSSLINIE M EL5 EINGEBEN: KNICK-KOORDINATE (30.80, 0) Punkt liegt im Stab 32 mit der Stabanfangskoordinate (30.80, 0) Programcode in „Text Eingabe von allen Lasten“

LF 1005 EINF STEL 32 32 1 DY 1000


F.1.8.6 EINFLUSSLINIE V EL6 EINGEBEN: SPRUNG-KOORDINATE (30.80, 0) Punkt liegt im Stab 32 mit der Stabanfangskoordinate (30.80, 0) Programcode in „Text Eingabe von allen Lasten“

LF 1006 EINF STEL 32 32 1 WZ 1000



F.1.8.7 EINFLUSSLINIE M EL7 EINGEBEN: KNICK-KOORDINATE (29.80, 2.80) Punkt liegt im Stab 112 mit der Stabanfangskoordinate (29.80, 2.957)

Abstand zum Knick = 2.800 – 2.957 = -0.157 Programcode in „Text Eingabe von allen Lasten“

LF 1007 EINF STEL 112 112 1 DY 1000 A 0.157


F.1.8.8 EINFLUSSLINIE V EL8 EINGEBEN: SPRUNG-KOORDINATE (29.80, 2.80) Punkt liegt im Stab 112 mit der Stabanfangskoordinate (29.80, 2.957)

Abstand zum Knick = 2.800 –2.957 = -0.157 Programcode in „Text Eingabe von allen Lasten“

LF 1008 EINF STEL 112 112 1 WZ 1000 A 0.157


F.1.8.9 EINFLUSSLINIE M EL9 EINGEBEN: KNICK-KOORDINATE (49.80, 0) Punkt liegt im Stab 51 mit der Stabanfangskoordinate (49.80, 0) Programcode in „Text Eingabe von allen Lasten“

LF 1009 EINF STEL 51 51 1 DY 1000



F.2 ARBEITEN MIT SOFISTIK IN 3D

F.2.1 GENERIERUNG VON EINFLUSSLINIEN UND EINZELLASTEN IN SOFISTIK

Einzellast:

Möglichkeit 1:

Eingabe über den Lastmanager in Sofiplus 16

Möglichkeit 2: Freie Einzellast

Editieren der Textdatei „Berechnung Einzelastfälle“ und Einfügen der folgenden Zei-len ins Unterprogramm ASE:

LF 3333 BEZ "Einzelkraft 1MN x=27.29,y=4.61“

ELAS x 27.29 y 4.61 z 0 TYP PZP 1000



ELAS: Funktion für Elementenbelastung

x 27.29 y 4.61 z 0: Stelle x, y, z an der die Einzelkraft wirken soll

TYP PZP: Einzellast in Richtung von global z

1000: Wert in kN


Möglichkeit 3: Einzellast

Editieren der Textdatei „Berechnung Einzelastfälle“ und Einfügen der folgenden Zei-len ins Unterprogramm ASE:

LF 3334 BEZ "Einzellast 1MN Knotennummer 51“

LAST 51 PZ 1000

LAST: Methode für Punktlasten

PZ 1000: Einzellast in Z-Richtung

Weitere Informationen sind in der Sofistik-Hilfedatei „ASE Allgemeine Statik Finiter Element Strukturen“ zu finden.


F.2.2 GENERIERUNG EINER EINFLUSSLINIE IN SOFISTIK

Einflusslinien in Stäbe:

Editieren der Textdatei „Text Eingabe von allen Lasten“ und Einfügen der folgenden Zei-len ins Unterprogramm SOFILOAD:

lf 2000

stel 204 204 1 WX 1000

lf: Abkürzung für Lastfall

stel: Funktion generiert Lasten

204 204 1: Elementnummer (204)

WX: Einflusslinie N im lokalen Koordinatensystem

1000: Wert in mm


Einflusslinien in Flächentragwerken:

Editieren der Textdatei „Berechnung Einzelastfälle“ und Einfügen der folgenden Zeilen

ins Unterprogramm ASE:

lf 3001 BEZ "EL-Mxx, Element 100004"

FLAS 100004 typ EMY P 1

lf: Abkürzung für Lastfall


ELAS: Funktion für Elementenbelastung

100004: Flächen-Elementnummer

typ EMY: Einflussfläche m−y


G Literaturverzeichnis 237

Anhang G

G LITERATURVERZEICHNIS • BRONSTEIN-SEMENDJAJEW. (1991). TASCHENBUCH DER MATHEMATIK.

Stuttgart: Teubner.

• Carl, O. (04. August 2004). Sensitivitätsanalyse mit Einflussfunktionen.

• Dobrinski/Krakau/Vogel. (1988). Physik für Ingenieure. Stuttgart: B.G.Teubner.

• Hartmann, F./ Katz, C. (2002). Statik mit finiten Elementen. Berlin: Springer.

• Hartmann, F./ Katz, C. (2007). Structural Analysis with Finite Elements (2 Ausg.). Würzburg: Springer-Verlag.

• http://de.wikipedia.org. (29. Dez. 2007). Abgerufen am 29. Dez. 2007 von http://de.wikipedia.org/wiki/Gr%C3%BCndung_%28Bauwesen%

• http://www2.fab.fh-wiesbaden.de. (3. Jan. 2008). Abgerufen am 3. Jan. 2008 von http://www2.fab.fh-wiesbaden.de/~kanz/Baustatik1-PDF/Skripte/S1-2-Grundlag.pdf

• KG, K. I.-C. (24. 09 2006). BAB 3, Bw 213b, Fahrbachtalbrücke.

• Krätzig, W. (1998). Tragwerke 2. Bochum: Springer Verlag.

• Raithel, K. L. Geotechnische Problemstellungen bei der Ausführung von semi-integralen Brückenbauwerken am Beispiel der Fahrbachtal- und Glattbachtalbrücke, 7. Symposium Brückenbau.

• W.Franke/T.Kunow. (2007). Kleines Einmaleins der Baustatik. Kassel: kassel university press GmbH.

• www.uni-kassel.de/fb14/baustatik. (17. Dez. 2007). Abgerufen am 17. Dez. 2007 von www.uni-kassel.de/fb14/baustatik/Download/lehrv/Einfluss.pdf

Documents

Sensitivitätsanalyse an einem Brückenbauwerk in semi