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9. Dezember 2010 | 1
Signalverarbeitung - Filterung, PSD, Korrelationen
Messtechnik Vorlesung
9. Dezember 2010
9. Dezember 2010 | 2
Zurück zur Schnellen Fourier-Transformation (FFT)
Ein FFT-Beispiel mit zwei sich überlagernden Sinusfunktionen
• Im Zeitbereich• und im Frequenzbereich
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Filterung
Einführung
• Eine der nützlichsten Anwendungen der FFT is die Filterung• Man kann frei entscheiden, welcher Frequenzbereich ausgefiltert
werden soll!• Typisch verwendet man einen Tiefpassfilter, um das
experimentelle Rauschen zu entfernen.• Normalerweise gibt es Rauschen immer bei höheren Frequenzen.• In unserem ersten Beispiel, betrachten wir das Signal mit 100 Hz
als Rauschen und das mit 1 Hz soll abgetastet werden.
9. Dezember 2010 | 4
Vorbereitung der Filterung
Änderung der Frequenz der Signale (1/100 Hz)
• Sodass die zwei Frequenzen gut getrennt sind (Faktor 100).• Die geänderten Signale sehen jetzt so aus:
9. Dezember 2010 | 5
Filterung
Funktionsweise
• Um das Signal bei einer bestimmten Frequenz zu filtern, muss derentsprechende Teil der DFT H(f ) auf 0 gesetzt werden.
• Die DFT ist aber imaginär.• Deswegen muss natürlich sowohl der reelle als auch der
imaginäre Teil auf 0 gesetzt werden.• entweder getrennt (HR und HI)• oder beide zusammen (H)
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Filterung - H(t)
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Filtering (3/3)
high frequency
suppress by filtering
low frequency
keep!
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Beispiel in LabVIEW
1 Der richtige Bereich muss ausgewählt werden (wir filtern alles von50 Hz bis zur Nyquistfrequenz)
2 Die cut-off Frequenz wird mit Variablen eingegeben.3 Der entsprechende Teil der DFT wird auf 0 gesetzt.4 Die inverse FFT (iFFT) wird berechnet.5 Das gefilterte Signal wird mit dem Originalsignal verglichen.
9. Dezember 2010 | 8
Filterung von Rauschen
• Bis jetzt haben wir nur bestimmte Frequenzen betrachtet.• In der Praxis müssen wir aber (zufälliges) Rauschen filtern.• Ist Filterung immer noch wirksam?
Beispiel
• Wir betrachten jetzt ein Signal entstehend aus der Superpositioneiner Sinuswelle mit einer Frequrenz von 1 Hz (Amplitude=A1)und eines zufälligen Rauschen (Amplitude=A2)
• Unterschiedliche cut-off Frequenzen werden getestet, von 50 biszu 2 Hz
• Verschiedene Amplituden werden getestet (SRV 30. . .0)• Beobachtungen?
9. Dezember 2010 | 9
Spektrale Energiedichte (ESD)
Die Spektrale Energiedichte beschreibt, wie sich die Energie einesSignals auf den Frequenzbereich verteilt. Es ist nichts anderes als dasQuadrat der Größe der FT.
ESD(f ) = H(f )H∗(f ) = |H(f )|2 (1)
Ist der globale Mittelwert eines Signals nicht 0, geht die ESD für langeReihen gegen unendlich.
limN→+∞
ESD = +∞ (2)
In solchen Fällen ist es sogar unmöglich die DFT zu berechnen.
9. Dezember 2010 | 10
Spektrale Leistungsdichte (PSD)
Alternativ kann die Spektrale Leistungsdichte (PSD) berechnetwerden.
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Power Spectral Density (PSD)If the global mean value of a signal is not 0 and has not been
removed, the ESD tends toward infinity for long sequences
+∞⎯⎯⎯ →⎯ +∞→NESD
Indeed, for such a case, it will become at some point even impossible to compute the DFT
As an alternative, it is still possible to compute the Power Spectral Density (PSD)
Physically, the computation of the PSD uses an overlapping segmentation of the original signal, followed by corresponding DFT computations and final re-assembling by averaging
1 N
Die PSD-Berechnung verwendet eine überlappende Segmentation(Unterteilung) des Originalsignals, gefolgt von einer entsprechendenDFT-Berechnung und schließlich die Rekonstruktion mittels Mittelung.
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Practical PSD computation
samplingh(t) h(kΔt) hi(kΔt)
segmentation DFT
Hi(kΔf) 2 averaging PSD
9. Dezember 2010 | 11
Beispiel für PSD
9. Dezember 2010 | 12
Korrelation
Einführung
• Es ist häufig notwendig die Korrelation zwischen zwei Signalenzu bestimmen
• Das bedeutet: «wie ähnlich sind die Signale, auf einerquantitativen Weise?»
• Die DFT kann sehr wirksam verwendet werden um die Korrelationfestzustellen, basierend auf der Frequenzanalyse.
• und zwar wegen der mathematischen Eigenschaft:• DFT(Korrelation zwischen h(t) und g(t))=N H∗(f )G(f )
• Das bedeutet: die DFT der Korrelation ist das Produkt der DFTsder beiden Signale multipliziert mit der Länge des Signals (N)
• Konsequenz: es reicht die einzelne DFTs zu berechnen um dieKorrelation zu bestimmen!
9. Dezember 2010 | 13
Normalisierung der Korrelation
Definition
• Offensichtlich, die bestmögliche Korrelation bekommt man beizwei identischen Signalen
• Die allgemeine Gleichung liefert in diesem Fall:• DFT(Korrelation zwischen h(t) und h(t))=N H∗(f )H(f ) = N|H(f )|2
• Konsequenz: die Definition der normalisierten Korrelation (Wertezwischen -1 und 1, wobei 0=keine Korrelation) zwischen einerbekannten, Referenzfunktion h(t) und eine Testfunktion g(t) wird:
Korr(h(t), g(t)) = iDFT(
H∗(f )G(f )(|H(f )||G(f )|)
)(3)
9. Dezember 2010 | 14
Beispiele in LabVIEW
mit den folgenden Funktionen
• g = h• g = −h• g = 2h• g = 2h + 13• g = (5− 2h)2
• g = 1• g = h+ Rauschen
Alternativ kann ein Koeffizient r auch bestimmt werden (r ∈ [−1, 1])• 0 - keine Korrelation,• 1, -1: komplette Korrelation.
9. Dezember 2010 | 15
Wavelet - Einführung 1/2
• Wavelet wurde in der 50er definiert• als eine Ergänzung zur klassischen Fourier-Analyse• Warum soll die Fourier-Analyse überhaupt erweitert werden?
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Introducing Wavelets (1/2)Wavelets have been defined in the 50s
as a complement to classical Fourier analysis
Why extend the Fourier analysis at all?
Drawback of FFT: by transformation, the time information is completely lost when obtaining the frequency spectrum
It is thus impossible to know at which time an event took place
A choice is needed: either time or frequency, not both!
• Nachteil der FFT: die Zeitinformation geht komplett verloren• → es ist unmöglich zu sagen, wann ein Ereignis passiert ist.• Eine Wahl muss getroffen werden: entweder Zeit oder Frequenz
9. Dezember 2010 | 16
Wavelet - Einführung 1/2
• Wenn das Signal in der Zeit sich nicht ändert (stationär), ist eskein Problem!
• Bis jetzt war das bei uns immer der Fall.• Also die meisten einfachen und sogar 50% der komplexeren
Anwendungen werden damit abgedeckt.• Aber, wenn die zeitlichen Änderungen wichtig werden und die
Signale nicht mehr mit FFT analysiert werden können:• Signale mit Drift• monoton zu-/abnehmende Signale• Signale mit plötzlichen Änderungen
• Dann müssen die zeitlichen Änderungen berücksichtigt werden!
9. Dezember 2010 | 17
Short-time Fourier-Analyse
• Um das Problem zu lösen, hat D. Gabor die STFT eingeführt• Es ist eine einfache DFT mit Fensterung des Signals• Die Fensterfunktion hat eine konstante Breite
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Short-time Fourier analysisTo solve this problem, D. Gabor introduced the short-time
Fourier analysis
It is simply a DFT relying on windowing the signal
The window has a constant, user-defined size
We now have an analysis both in time and frequency! ☺
But using a constant-size window limits the possible resolution in both dimensions
• Ergebnis in sowohl Frequenz- als auch in Zeitbereich! ,• Begrenzte Auflösung in beiden Dimensionen. /
9. Dezember 2010 | 18
Wavelet-Analyse
• Die Wavelet-Analyse führt eine variable Fenstergröße ein.• Lange Fenstergröße→ niederfreqente Information• kürzere→ hochfrequente Information
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Wavelet analysisAs a final evolution, the wavelet analysis introduces windowing
on variable-sized regions
Long window sizes are employed where accurate low-frequency information is required, shorter windows are used where high-frequency information is important.
We now have an analysis both in time and frequency (or scale)! ☺
With an optimally-adapted window size
• Ergebnis in Frequenz- (oder Skala) und Zeitbereich! ,• Mit einer optimierten Fenstergröße ,
9. Dezember 2010 | 19
STFT vs. Wavelet
National Instruments Confidential
Analytic wavelet transform
9. Dezember 2010 | 20
Vorteile
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wavelet
Wavelets can reveal aspects of data that DFT completely miss (trends, breakdown points, discontinuities, fractal nature...)
Advantage of Wavelet analysis
fft
time point 100
time point 100
9. Dezember 2010 | 21
FFT vs. Wavelet 1/2
• Die Fourier Analyse zerlegt die Signale in Sinuswellenunterschiedlicher Frequenzen
• Die Sinusfunktion ist die Grundfunktion für die Zerlegung• Die breitet sich von −∞ . . . +∞ aus, dadurch nicht für eine
örtliche Analyse geeignet.
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Fourier analysis vs. Wavelet (1/2)The Fourier analysis breaks up a signal into sine waves of
various frequencies
The function « sin » is the basis function for decomposition
This function extends from -∞ to +∞, and is thus not suited for a local analysis
9. Dezember 2010 | 22
FFT vs. Wavelet 2/2
• Die Wavelet-Transformation verwendet andere Grundfunktionen:die Wavelet-Funktionen,
• Diese sind lokal im Zeitbereich definiert.• Es gibt unterschiedliche Wavelet-Funktionen• Die Zerlegung ist dann ähnlich zu der der FFT
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Fourier analysis vs. Wavelet (2/2)The Wavelet transform uses other basis functions, called
wavelet functions
These wavelet functions are local in space
Different families of wavelet functions exist
The decomposition is then similar to FFT
9. Dezember 2010 | 23
Wavelet-Funktionen
Skalierend Verschiebend
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Scaling / shifting wavelet functionsScaling Shifting
9. Dezember 2010 | 24
Verstehen des Ergebnisses
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Understanding wavelet output
Time-information is not lost!
Frequency=1/(time scale)
low f
high f
9. Dezember 2010 | 25
Verstehen des Ergebnisses
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First hands-on: noisy signalFor this basic example, we use a pre-defined noisy signal of
Matlab, comprising 1000 points with a sampling period of 1 (« s »).
From Matlab, type
load noissin
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Choosing the scalesThe choice of the scales is essential for the analysis
All scales must be real, positive, increasing and are bounded by the length of the signal. Try:
c = cwt(noissin,2:2:128,’db4’,’plot’)
Periodicity is now visible
(9 half-periods+)