TECHNISCHE MECHANIK 8(1987)Heft2

Manuskripteingang: 20. 06. 1986

Beispiele zur Spannungs- und Deformationsanalyse

sowie zur Lösung des Kontaktproblems

nach dem FEM-Programm FIDEFA

H. Gläser, K.—D. Drey, R. Dudek

l. Programm FIDEFA

Das Programm FIDEFA/(ESER) basiert auf einer tota-

len Ingrange‘schen Beschreibung von Deformation und

Spannungen. Als Deformationsmaß findet demzufolge

der Greensche Verzerrungstensor EKL Verwendung:

2EKL =ng-GKL=UK IL+UL IK +UNIK UN IL (1)

GKL ist der Metriktensor in der Ausgangsgeometrie,

g L derjenige der Momentankonfiguration, bezogen auf

en Ausgangszustand, und UK sind die Komponenten

des Verschiebungsvektors. In Zuwachsform bzw. Ge-

schwindigkeitsformulierung lautet das Formänderungs-

maß

-2EKL=ÜK|L+ÜL|K+ÜN|KUN|L+UN|KÜN|L (2)

Senkrechte Striche bedeuten kovariante Ableitungen.

Durch das Deformationsgesetz erfolgt eine Verknüpfung

von Greenschem Verzerru s- und 2. Piola-Kirchhoff-

schem Spannungstensor T L. Dieses Gesetz läßt sich

aus einer entsprechenden Geschwindigkeitsbeziehung

ZWischen wahrer Spannung und natürlicher Deformation

für die Momentankonfiguration herleiten. Als objektives

Maß für die Spannungsgesclilewindigkeit wird die Jau-

mannsche Geschwindigkeit TKL benutzt. Das Defor-

mationsgesetz lautet dann

v'fKL = fiKLU EH(3)

mit

- E v a <KLIJ=_ ILJ L H__ KL U

D 1+„(gKg +l_2„gK g 7s s >. (4)

Mit der Jaumannschen Spannungsgeschwindigkeit

v°fKL : TKL+(TNLgKM+TKNgML)EMN (5)

und

TKL = DKLIJ EU (6)

wird

E vLU=___ KI LJ _ KL n

DK l+u[g g +1—2V g g

_ L; (gKITIJ + gLITKJ) _ ESKL SH 1, (7)

7

Für den plastischen Teil des Deformationsgesetzes gilt

a=1‚wennF=0undj2>0

_ . (8)a —0,wenn F<00derJ2 <0

F beschreibt die Fließfunktion, J2 die 2. Invariante des

Spannungsdeviators SKL und ‘y lautet mit dem Tangen-

tenmodul Et

E 1~2

2mi— 3 V)

E4Et

Der FEM—Algorithmus wurde auf der Grundlage der

Variationsformulierung entwickelt [l], [2]. Um einen

aufwendigen Iterationszyklus bei der Lösung des nicht-

linearen Problems zu umgehen, bieten sich Methoden

vom Runge-Kutta-Typ an Effektiv sind Zweischritt-

verfahren, wie die Prädiktor-Korrektor-Verfahren. In

diesem Fall werden zwei Formeln gleicher Fehlerord-

nung so gekoppelt, dal3 mit der expliziten Prädiktor-

forme] eine Näherung berechnet und in die rechte Seite

der impliziten Korrektorformel eingesetzt wird, so daß

sie einen verbesserten Wert liefert. Für die ESER-Version

von FIDEFA I findet ein Prädiktor-Korrektor-Vcrfahren

Anwendung, das unterschiedliche Schrittweiten ermög-

licht und eine rückwärtige Differenz benötigt. Wenn alle

das zu behandelnde Problem bestimmenden Größen

formal zu einem Zustandsvektor _z_ zusammengefaßt

werden,

={aEIh}TE

mit g: Vektor der Knotcnverschiebungen

E: Formänderungstensor

I: Spannungstensor

l_1: Vektor interner Zustandsparameter,

kann allgemein für die Zuwächse von z

Z = K!» t) (11)

geschrieben werden. Wie aus Bild 1 entnommen wer-

den kann, sind im Lastschritt n zn und _zn bekannt,

aus dem vorhergehenden Schritt ist es _z_n_l. Mit dem

IN

:3

3.-

.L

Bild 1

Veranschaulichung von Zustandsgrößen und Lastschritten

für ein Prädiktor—Konektor—Verfahren

57

Verhältnis der Schrittweiten x = h/s wird in einem Prä-

diktorschritt eine erste Näherung

E:+1 =5n+(l+x)h.in—X2(En’5n—l) (12)

berechnet und

entsprechend

im anschließenden Korrektorschritt

(13)

verbessert. +1 wurde dabei aus (11) mit 5: +1 nach

(12) gewonnen. Das Restglied bzw. der Fehler ist von

der Größenordnung

h . .

5n+l :5n + +5:+l)

Diese Prädiktor-Korrektor-Methode hat sich bewährt.

Ihre Anwendung führte zu wesentlichen Rechenzeit-

einsparungen gegenüber ursprünglichen Iterationsver-

fahren. Der Korrektorschritt kann beliebig oft wieder-

holt werden, falls die erzielte Genauigkeit nicht aus-

reicht. Oft ist jedoch schon der Prädiktorschritt genau

genug. Als Abbruchkriterium kann eine Vektornorm,

z. B. die Maximalnorm

<15)

benutzt werden. Die Anlaufrechnung erfolgt mit X=O.

Das Programm FIDEFA ist zur Berechnung der ebenen

i+1 i"Agn — Aznjl l <e

h3 1 Verzerrungs- sowie des rotationssymmetrischen und

‘ R = 6 (1+ + 0 (s4, h4). (14) ebenen Spannungszustands ausgelegt.

'1' 1“ 11! “I,

170 172 17s / 150

171 177163

173 171 3 131n

‘1.

“I

103

166 "a175

100 11° 111 7 1“

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m 173„J 107 106

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„5 112 1 1" 1M 1 010‘1 m 113

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102 11-. 11sr 183

100 101 1’"

116 11o 115 1 160

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39 so 36 ‚0‘ 119 1‘76

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a a as o 111° 1'13 n

77 73 6’ 1",s7 33 158

‚o 5 7‘ l 7e 9° 55 \\ 37 m 122 "z 1.” 1 119

“ 65‘ 66 ” 3" 56 .1 123 121 15-,

63 . ea ,1 83 " ' ‘‘1. 67 u ' .1. 1110u u 69 62 115 126 1” 10.: u

51 n ea -* 15637 38 71 127 \ ' z 150

,6 72 “ 125 \‘ 13a \

I 1 33 no 73 1 123 137 151 1 155

13 "

1'1 2° 7 731 15).

, 15H

22 H2 MM 132 135 U.

2 3 23 «3 15 '° 133 131 1”I1 u x

1 l 5 16 I17 ‘l s3 5., ‘5 60

, s V 2» 26 „3 ‘9 51 u 55 as \557 25 27 50 ° 57 53 51

~ ß

o 25 2: 31 32’s 11 / 3° 33 3a

s g u 13 1» 15 16 171o' V l J

14 u 1J 1

X

Bild 2

Vernetzung eines Rohrbodens

58

2. Anwendung

2.1 . Berechnung eines Rohrbodens

Das Einpressen von Rohren in eine Bodenplatte wurde

rechnerisch simuliert und im elastischen Bereich! mit

spannungsoptischen Ergebnissen verglichen [4]. Im

Lastfall 1 erfolgt eine schrittweise radiale Verschie-

bungsvorgabe in der zentralen Bohrung (Vernetzung

s. Lastfall 2 zusätzlich‚dieangloge Verschie-

bungsvorgabe in den benachbarten Bohrungen. Die

Spannungsverläufe, die für den elastischen Grenzfall

ermittelt wurden, stimmen sehr gut mit dem Experi-

ment überein. Für die weitere Belastung nach Fall l

bis zum Erreichen eines vollplastischen Zustandes im

Steg A-A sind bei verschiedenen Laststufen die Span-

nungsverläufe aus dem Bild 3 ersichtlich. Die Analo- -

gie zur gelochten Scheibe bzw. zum Rohr unter Ins

nendruck ist erkennbar.

mm i WX / \\\\

„uns ‘ "mans:

1/2

t [mm so so doc-on -a'o 1'» 42:: aka who-1'30

3

Spannungsverliufe im Rohrboden, AU = 5 ' 103 mm

2.2. Deformationsanalyse an Dichtungen der Hoch-

drucktechnik

In der chemischen Hochdrucktechnik werden vorzugs—

weise metallische Dichtungen unterschiedlicher Quer-

schnittsprofile eingesetzt. Unter der Voraussetzung

einer möglichen laminaren Leckströmung ist der ertrag-

bare Mediumsdruck bei Gasen proportional dem Kehr-

wert des Quadrates der ‚Tiefe der Leckrille dreieckför-

miger Querschnittsgestalt. Bei geforderter Gasdichtheit

kommt es darauf an, derartige, durch die Spanende Be-

arbeitung der Flansch- und Deckelkontaktflächen be-

dingten Leckrillen im Rauhigkeitsbereich, insbesondere

durch plastische Deformation der Dichtung im Vor-

spannungszustand soweit auszufüllen, daß die zulässige

Leckmenge bei Prüfdruck mit Sicherheit nicht über-

schritten wird [5]. Dazu ist erforderlich, daß die Dich-

tung an ihrer Kontaktfläche zu plastischen Verfor-

mungen fähig ist. Dieses Vermögen ist bei metallischen

Dichtungen in Abhängigkeit vom Querschnittsprofil

und der Größe der übertragbaren Schubspannungen

längs der Kontaktfläche unterschiedlich ausgeprägt.

So können z. B. die Plastizierung des Querschnittes und

die Verteilung des Dichtungsdruckes längs der Kontakt-

x|'u—>

1.

Nla

„Nubmeü

Bild4

Kontaktdruckverteilung und Gleitlinienfeld im gestauchten

Streifen; Lösung nach Hill

’;g|v—.

[lg-0.397

uns

Kontaktdruckverteilung und Gleitlinienfelder im gestauchten

Streifen; Lösung nach Alexander

fläche einer Flachdichtung aus dem Vergleich mit der

Gleitlinienlösung eines gestauchten Metallstreifens zwi-

schen rauben, starren, parallelen Platten nach Hill

[6] ermittelt werden. Wie die Ergebnisse nach Bild 4

für einen Plattensu'eifen mit einem Breiten-Höhen-

Verhältnis bD/hD = 6,72 zeigen, verbleibt in Streifen-

mitte ein plastisch nicht verformtes, sogenanntes starres

Gebiet der Breite 2.r, innerhalb dessen ein Verfüllen der

Leckrillen nicht stattfinden kann. Da die Spannungs-

verteilung in diesem Bereich nach der Gleitlinientheorie

unbekannt bleibt, gibt man hier den mittleren Druck an,

der durch „Integration der Spannungen längs der Unste-

tigkeitslinie EF gewonnen wird.

Alexander [7] ermittelte den Verlauf der interessieren-

den Kontaktpressung, verteilt über endliche Streifenbrei-

ten für den Fall Coulombscher Reibung zwischen den

Berührungsflächen. Die hier mitgeteilten Lösungen nach

Bild 5 beschränken sich auf das Breiten-Höhen-Verhält—

nis bD/hD Z 7 und die Reibzahlen uo = 0,15, 0,3 und

den Grenzwert #0 = 0,389, bei dem die Fließschubspan-

nung mit Ausnahme des starren Z‘entralgebietes in allen

Punkten längs des *Kontaktrandes erreicht wird (gleiche

Randbedingungen wie die Lösung von Hill).

Hieraus folgt, daß die Anzahl der nicht plastischen Kon-

taktgebiete und deren Ausbreitung mit abnehmender

59

Reibung zwischen den Kontaktflächen anwächst. Damit

verringert sich die Fähigkeit der Dichtung zur plasti-

schen Ausfüllung der Leckrillen, z. B. bei Einfetten der

Dichtfläche.

Die Flachdichtungen sind hiernach offensichtlich von

ihrer geometrischen Form und der damit verbundenen

örtlich eingeschränkten Ausbildung eines Fließspan-

nungszustandes an der Berührungsfläche nur bedingt —

mit Ausnahme besonders duktiler Dichtungswerkstoffe

in Spezialfällen — in der chemischen Hochdrucktechnik

ökonomisch einsetzbar.

Dichtungslinsen bzw. Ovaldichtungen zeigen auf Grund

ihrer balligen Oberfläche diesbezüglich wesentlich gün-

stigeres Verhalten. Ein Zugang zur Lösung des Kontakt-

problems bei zugelassenen großen inelastischen Defor-

mationen nach der Methode der Finiten Elemente ge-

lingt gemäß [8] mit Hilfe einer entsprechenden Varia-

tionsgleichung in den Geschwindigkeitsgrößen, wobei

die Ungleichungsnebenbedingungen des Kontaktes —

analog zu denen der Plastizität — in den zeitintegralen

Größen auftreten. Bei der Annahme des reibungsfreien

Gleitens des plastisch deformierbaren Körpers längs einer

starren Gegenfläche bleibt das Problem konservativ. Mit

dem lokalen Krümmungstensor KLM des Hindernisses

erhält das beschreibende Funktional einen zusätzlichen

Term gegenüber der nicht restringierten, nichtlinearen,

inelastischen Aufgabenstellung

n(U): dei’u fiL UL dÄ—äApr; UM dA (16)

V cAt

der bei der Übertragung in einen FEM-Algorithmus —

Realisierung der Minimierungsforderung einer finiten

Struktur —zu einer sogenannten Laststeifigkeitsmatrix

führt.

In der Beziehung (16) bedeuten

Ac den aktuellen Kontaktrand, der nur den Normal-

druck p überträgt,

At den möglichen Lastrand für äußere Kräfte und

w = _äDUKL EH EKL + ä—TU ÜLIJ ÜLh (l7)

das Potential der Verschiebungsgeschwindigkeiten, wie

es dem Programm FIDEFA zugrunde liegt.

Im Bild 6 ist z. B. auszugsweise die Vernetzung (261

Dreieckselemente mit linearem Verschiebungsansatz,

154 Knoten) eines Quadranten einer metallischen Dicht-

linse NW 230 im Kontakt mit einer geneigten, starren

Flanschfläche dargestellt. Die stärker gezeichnete Kon-

tur markiert ‚die Grenze einer möglichen Auftrags—

schweißung.

DieVerfestigung der Dichtung wird im eingesetzten

FEM-Programm FIDEFA [2], [8] intern als isoh'op an-

genommen und durch eine Ramberg—Osgood-Approxi—

mation genähert. Die Belastung im Vorspannungszu-

stand der Dichtung erfolgt durch die Vorgabe der Ver-

schiebungsgeschwindigkeit. Es werden die Ergebnisse

für die beiden Extremfälle der Reibungsfreiheit und des

vollständigen Haftens der Dichtung an der Kontakt-

fläche einander gegenübergestellt. Das Bild 7 zeigt die

Kontaktdruckverteilung für die beiden Extremfälle.

Der elastische Grenzdruck, ausgerückt durch seinen

elliptischen Verlauf, liegt bei Annahme von Reibungs

freiheit wesentlich (um etwa 70 %) höher als im Falle

vollkommener Haftung, was auf den sich unmittelbar

unter der Kontaktfläche ausbildenden hydrostatischen

Spannungszustand zurückzuführen ist, wie ihn die de-

taillierte Spannungsanalyse liefert.

Entsprechende Unterschiede zeigen der Beginn und die

Ausbreitung der plastizierten Gebiete in der Gegenüber-

stellung für die beiden Extremfälle in den Bildern 8 und

9. Bei vollkommener Haftung, d. h. Verschiebungsbe-

hinderung längs der Kontaktlinie, setzt die Plastizie.

rung „dichtwirkungsgünstig” unmittelbar am Kontakt-

rand ein und breitet sich mit zunehmender Vorspannung

infolge des im Inneren der Dichtung wirkenden Span-

nungszustandes verhältnismäßig konzentriert in das

Dichtungsinnere zur Kontaktgegenfläche hin aus. Damit

verbunden ist die nahezu konstante Druckverteilung im

Zentrum der Kontaktzone.

\\

2LL\\\‚LS\\\\\\\\\\

X,‚/ ‘\ /

Bild 6

Vernetzung des Dichtungsquerschnittes

60

9

ußüuuuuuuma:

0—".

'33 '1,7 ‘Lb “1,1 'lß “1,5 ‘11 ‘09 '16 "M

Bid'l

’33 -30 ‘27 -2‚4 -Z‚l 48 “l5 "l '09 416 ‘ll3 0.3 Q6 0.9 11 L5 1.8 1.1 M 2,7 3,0mm 3,3

aß-

Verteilung degßontaktdruckes bei gleitenden und haftendal‘Kontaktflächen

11 1111/

Beginn und Ausbreitung der plastizierten Gebiete bei haftenden Kontaktflächen

’/„‚ _

//

74, a

\\\\\\\

\x

Bild 9

Beginn und Ausbreitung der plastizierten Gebiete bei gleitenden Kontaktflächen

Die in Umfangsrichtung verbliebenen geschlossenen ela-

stischen Gebiete erhöhen die Stabilität der Dichtung im

Vorspannungs- und Betriebszustand.

Im Gegensatz hierzu beginnt die Plastiziemng bei Rei-

bungsfreiheit wegen des herrschenden hydrostatischen

Spannungszustandes nicht am Kontaktrand. sondern

vielmehr im Dichtungshinterland ca. bei 0,3 ' a unter-

halb der Kontaktzone, Bild 9. Die hierbei auftretenden

44/411 . //

\\\\\\Qx_xm

l/I/

Umfangsspannungen führen zur verhältnismäßig schnel—

len Gesamtplastizierung des Querschnittes, und der

„dichtwirkungsungünstige” elastische Streifen am Kon-

taktrand baut sich nur schwerfällig ab. In gewisser Ana-

logie zur Flachdichtung verbleibt ein elastischer Rand—

kern unterhalb des Zentrums der Kontaktfläche, so

daß im gewünschten Maße erforderliche Ausfüllung der

61

Leckrillen im Flansch durch Plastizierung der Dichtung

in diesem Falle nicht gewährleistet ist.

Diese Aussagen bleiben auch bei gewissen Modifika-

tionen, die durch gezielte Auftragsschweißungen mög-

lich sind, prinzipiell erhalten. Wegen der versteifenden

Wirkung der Diskretisierung und der Nichtberücksich-

tigung einer elastischen Deformation von Flansch und

Deckel sind die berechnete Kontaktbreite a zu klein

und der Kontaktdruck eturas zu hoch. Vergleiche von

theoretischen und numerischen Ergebnissen an einer

Kugel im Kontakt mit einer Halbebene ergaben eine

maximale Abweichung des Kontaktdruckes von 5 %

im elastischen Bereich.

LITERATUR

[l] Zienkiewicz, 0. C.: Methoden der finiten Elemente.

VEB Fachbuchverlag, Leipzig 1975.

[2 ] Drey, K. D. /Pausch, E.: Erarbeitung einer ESER-Version

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leipzig 1931.

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