c©Doris Samm 2008 1

Spektralzerlegung von Licht

1 Der Versuch im Uberblick

Ein Blick ins Universum zeigt, dass nicht alle Sterne dieselbe Farbe haben: man-che sind gelb, manche rot und manche blau. Unsere Sonne erscheint als gelberFeuerball. Dieses Licht ist aber nur ein kleiner Teil der Strahlung, die die Sonneaussendet. Der Mensch kann nicht das gesamte Spektrum der elektromagnetischenStrahlung sehen, sondern nur den kleinen optischen Bereich (Abb. 1).

Abbildung 1: Gesamtes elektromagnetisches Spektrum und optischer Bereich.

In Abb. 2 ist links die Sonne dargestellt, wie sie im optischen Bereich erscheint.Die anderen beiden Bilder zeigen die Sonne in ihrer Ultravioletten- bzw. Ront-genstrahlung. Da diese Strahlung nicht im optischen Bereich liegt, wurde sie insogenannten Falschfarben dargestellt. Dies sind willkurliche Farben, die zwar nichtder Wirklichkeit entsprechen, aber hier fur uns sichtbar sind.

Abbildung 2: Die Sonnenstrahlung im optischen und ultravioletten Bereich, sowiedie Sonne als Rontgenstrahler.

c©Doris Samm 2008 2

Woher kommt die elektromagnetische Strahlung? Eine Ursache ist die sogenannteTemperaturstrahlung. So sendet jedes Objekt mit einer Temperatur oberhalb desabsoluten Nullpunktes elektromagnetische Strahlung aus. Manchmal ist das Objektso heiß, dass die Strahlung im optischen Bereich liegt, wie z.B. bei einer Gluhbirne.Ist die Temperatur dagegen klein, wie z.B. beim Menschen, wird infrarote Strah-lung ausgesandt, die man als Warmestrahlung spuren kann. Das Spektrum derTemperaturstrahlung ist ein kontinuierliches Spektrum.

Mit Hilfe von Spektrometern kann man die elektromagnetische Strahlung in seinespektralen Bestandteile zerlegen. Ein Beispiel fur ein Spektrometer ist das Prisma.In Abb. 3 ist schematisch dargestellt, wie das Sonnenlicht nach Durchgang durchein Prisma in seine spektralen Komponenten zerlegt wird.

Abbildung 3: Das kontinuierliche Spektrum des Sonnenlichts wird durch ein Prismain seine spektralen Anteile zerlegt.

Eine weitere Ursache der Strahlung von Objekten basiert auf atomaren Ubergangen.Elektronen in einem Atom springen von einem Zustand großer Energie in einen Zu-stand kleiner Energie. Die uberschussige Energie wird in Form elektromagnetischerStrahlung abgegeben. Es wird in diesem Fall kein kontinuierliches Spektrum son-dern ein Linienspektrum emittiert. Da die Sonne im Wesentlichen aus Wasserstoffbesteht, emittiert sie die charakteristischen Linien von Wasserstoff (Abb.4).

Abbildung 4: Spektrallinien von Wasserstoff.

Zur Aufnahme der Spektrallinien reicht ein Prisma als Spektrometer nicht aus.Man benotigt hochauflosende Gitterspektrometer.

Im Rahmen des Praktikumsversuchs sollen Sie mit Hilfe eines Spektrometers dieWellenlangen der Spektrallinien einer Lichtquelle bestimmen. Hierzu wird die Auf-spaltung der Lichtwellen in seine Spektralfarben sowohl uber ein optisches Gitterals auch uber ein Prisma durchgefuhrt. Im Fall des Prismas soll die Dispersions-kurve aufgenommen und der brechende Winkel des Prismas gemessen werden.

c©Doris Samm 2008 3

2 Grundlagen

Lichtquellen emittieren im Allgemeinen nicht Lichtwellen einer Wellenlange son-dern ein Spektrum aus unterschiedlichen Wellenlangen. Das Emissionsspektrum ei-ner Lichtquelle lasst Ruckschlusse auf die chemische Zusammensetzung einer Probezu. So weiß man z.B. sehr genau, aus welchen Elementen die Sonne und andereSterne aufgebaut sind. Gewonnen wird diese Kenntnis durch Zerlegung der ausge-sandten Strahlung in seine Spektralfarben mit Hilfe eines Spektrometers.

Spektrometer sind z.B. Prismen oder optische Gitter. Mit ihrer Hilfe kann, z.B.weißes Licht, in seine Spektralfarben zerlegt werden. Die physikalischen Phanome-ne, die bei der Zerlegung von Licht eine Rolle spielen, sind im Fall des Prismas dieBrechung, im Fall des Gitters die Beugung.

2.1 Brechung

Trifft Licht von einem Medium 1 in ein anderes Medium 2, wird es von seinergeradlinigen Bahn abgelenkt: Es wird gebrochen oder reflektiert. Ursache fur dieBrechung sind die unterschiedlichen Lichtgeschwindigkeiten in den Medien.

Abbildung 5: Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht in unterschiedlichen Medien.

Die Brechung eines Mediums wird durch die Brechzahl n charakterisiert. Die Brech-zahl eines Stoffes ist der Quotient aus der Vakuumlichtgeschwindigkeit c und derLichtgeschwindigkeit in dem Medium cM :

c©Doris Samm 2008 4

n =c

cMmit cM < c (1)

Quantitativ wird die Brechung durch das Snellius’sche Brechungsgesetz beschrie-ben. Es verknupft den Einfallswinkel mit dem Ausfallswinkel.

Abbildung 6: Lichtstrahlen werden beim Ubergang in ein Medium gebrochen.

Fallt ein Lichtstrahl z.B. aus der Luft unter dem Einfallswinkel α1 auf die Ober-flache eines Glaskorpers (Abb. 6) gilt:

n1 sinα1 = n2 sinα2 mit n1 = 1 folgt (2)

n2 =sinα1

sinα2

(3)

2.1.1 Brechung durch ein Prisma

Bei einem Prisma ist der Zusammenhang zwischen Einfallswinkel und Ausfallswin-kel etwas komplizierter, da das Licht zweimal gebrochen wird.

Ein Prisma ist allgemein ein von ebenen Flachen begrenzter durchsichtiger Korper.Wir betrachten hier ein Dreikantprisma mit dem Scheitelwinkel γ und der Basisb (Abb. 7); die der Basis gegenuberliegende Kante heißt brechende Kante.

Der unter dem Winkel α1 einfallende Strahl wird an den Prismengrenzflachen zwei-mal gebrochen. Die totale Strahlablenkung δ erhalt man mit Hilfe des Brechungs-gesetzes. Hierzu werden sowohl die Brechung in das Prisma mit der Brechzahl nM ,als auch die Brechung vom Prisma in die Luft (nL = 1) betrachtet. Es gilt:

sinα1 = nM sin β1 und sinα2 = nM sin β2 (4)

Mit Hilfe geometrischer Uberlegungen erhalt man aus den beiden Dreiecken ABCund ABD (Abb. 7):

δ = (α1 − β1) + (α2 − β2) = (α1 + α2)− (β1 + β2) (5)

c©Doris Samm 2008 5

Abbildung 7: Strahlverlauf im Dreikantprisma.

Diese Gleichung kann man durch weitere geometrische Betrachtungen vereinfa-chen. So tritt der Winkel γ des Prismas sowohl bei D als Winkel zwischen denGrenzflachenloten, als auch als Außenwinkel im Dreieck ABD auf. Aus Abb. 7folgt:

γ = β1 + β2 . (6)

Beschrankt man sich auf kleine Winkel gilt naherungsweise:

αi ≈ nM · βi . (7)

Setzt man Gl. 6 und Gl. 7 in Gl. 5 ein, erhalt man fur die Gesamtstrahlablenkungδ des Prismas:

δ ≈ (nM − 1) · γ (8)

2.1.2 Minimale Ablenkung eines Prismas

Bei einem Prisma erreicht die Ablenkung eines Lichstrahls ihren kleinsten Wert,wenn Eintritts- und Austrittswinkel gleich sind, d.h. wenn der Strahl das Prismasymmetrisch durchlauft. Der im Prisma verlaufende Strahl ist senkrecht auf derWinkelhalbierenden des brechenden Winkels γ(Abb. 8).

Fur den minimalen Ablenkwinkel (siehe mittleres Bild von Abb. 8) gilt:

α = α1 = α2 = αmin und β = β1 = β2 =γ

2.

c©Doris Samm 2008 6

Abbildung 8: Beim symmetrischen Strahlengang (mittleres Bild) ist der Ablenk-winkel δ am kleinsten.

Weiterhin gilt:

sinαmin = nM · sin(γ/2) . (9)

Aus Abb. 8 konnen Sie die Beziehung zwischen dem Winkel α und dem minimalenAblenkwinkel δmin ablesen. Sie lautet:

α = α1 = αmin =1

2(δmin + γ) . (10)

Setzt man Gl. 10 in Gl. 9 ein, erhalt man fur die Brechzahl des Prismas:

nM =sin[1

2(δmin + γ)]

sin(12γ) .

(11)

Mit Hilfe von Gl. 11 ist man in der Lage, Brechzahlen von lichtdurchlassigen Mate-rialien zu bestimmen. Man muss nur den brechenden Winkel γ sowie das Minimumder Ablenkung δmin messen und kann dann die Brechzahl des Prismenmaterials be-rechnen.

2.1.3 Spektralzerlegung durch ein Prisma

Mit Hilfe des Prismas kann man Licht in seine Spektralfarben zerlegen, weil sichin einem Medium Wellen unterschiedlicher Wellenlange mit unterschiedlichen Ge-schwindigkeiten ausbreiten.

Da z.B. violettes Licht langsamer lauft als rotes, gilt nach Gleichung (4) fur dieBrechzahlen:

nrot < nviolett

Die Abhangigkeit der Ausbreitungsgeschwindigkeit und damit der Brechzahl vonder Wellenlange nennt man Dispersion.

c©Doris Samm 2008 7

Nach Gleichung (9) wird auch der Ablenkwinkel αmin eine Funktion der Wel-lenlange des Lichts und sorgt somit fur die Zerlegung des weißen Lichtes in seineSpektralfarben (Abb. 9).

Abbildung 9: Spektralzerlegung von weißem Licht.

2.2 Beugung

Beugung tritt auf, wenn eine Welle auf ein festes Hindernis trifft, dessen Abmessun-gen vergleichbar mit der Wellenlange sind. Dabei lauft die Welle um das Hindernisherum. Grundsatzlich versteht man unter der Beugung einer Welle eine Abwei-chung von der geradlinigen Ausbreitung, die nicht durch Reflexion oder Brechunghervorgerufen wird (Abb. 10).

Abbildung 10: Reflexion, Brechung, Beugung.

In Abb. 11 ist dargestellt, wie eine ebene Welle auf einen Spalt fallt. Hinter demSpalt bewegt sich die Welle nicht als ebene Welle weiter, sondern sie wird zu einerkreisformigen Welle: Sie wird gebeugt (Abb. 11)!

Zur theoretischen Beschreibung des Phanomens mussten wir die Wechselwirkungder Welle an der Blende beschreiben. Dies hatte zur Konsequenz, dass wir ei-ne komplizierte Wellengleichung mit den entsprechenden Randbedingungen losenmussten. Sehr kompliziert!

c©Doris Samm 2008 8

Abbildung 11: Reflexion, Brechung, Beugung.

Man kann das Phanomen der Beugung aber auch mit Hilfe einfacher Prinzipi-en losen, namlich mit dem Prinzip der ungestorten Superposition und dem Huy-gen’schen Prinzip.

2.2.1 Ungestorte Superposition und Huygen’sches Prinzip

Das Prinzip der ungestorten Superposition besagt: Treffen in einem Raumbereichzwei oder mehrere z.B. ebene Wellen aufeinander, dann uberlagern sie sich zu einerresultierenden Welle. Da eine Welle der Amplitude A, der Wellenzahl k und derKreisfrequenz ω z.B. durch die Wellenfunktion

Ψ1(x, t) = A1 sin(k1x− ω1t) (12)

beschrieben werden kann, wird die Gesamtwelle Ψres durch Addition der einzelnenWellen erhalten

Ψres = Ψ1 + Ψ2 + ... = A1 sin(k1x− ω1t) + A2 sin(k2x− ω2t) + ... (13)

Eine im Prinzip einfache Sache. Wie kann man das Prinzip der ungestorten Super-position zur Erklarung der Beugung nutzen? Betrachten wir hierzu ein Beispiel.

Eine Welle trifft auf ein Hindernis. Es wird eine vom Hindernis ausgehende Se-kundarwelle erzeugt, die sich mit der Primarwelle uberlagert (superponiert) undsich gemeinsam mit ihr ausbreitet (Abb. 12).

Diese an einem materiellen Hindernis beobachtete Erscheinung erhebt man nunzu einem Prinzip, indem man auch immaterielle Hindernisse − also mathemati-sche Punkte − zum Ursprung von Sekundarwellen erhebt. Es gilt folgendes Prinzip:

Jeder Punkt des Raumes, der von einer Primarwelle getroffen wird, ist Aus-gangspunkt einer Elementarwelle. Die Superposition aller Elementarwellenergibt die resultierende Welle (Huygen’sches Prinzip).

c©Doris Samm 2008 9

Abbildung 12: Eine Wasserwelle trifft auf ein Hindernis.

In Abb. 13 sind zwei Beispiele zur Wellenkonstruktion nach dem Huygen’schenPrinzip dargestellt. Bei einer ebenen Welle uberlagern sich die von den getroffenenRaumpunkten ausgehenden Elementarwellen wieder zu einer ebenen Welle, beieiner Kreiswelle uberlagern sie sich zur resultierenden Kreiswelle. Die Einhullendeder Elementarwellen ist die Gesamtwellenflache.

Abbildung 13: Wellenkonstruktion nach dem Huygen’schen Prinzip, links fur eineebene Welle, rechts fur eine kreisformige Welle.

Mit Hilfe des Prinzips der ungestorten Superposition und des Huygen’schen Prin-zips konnen wir das Phanomen der Beugung erklaren. Hierzu betrachten wir dasklassische Beispiel der Beugung am Doppelspalt.

c©Doris Samm 2008 10

2.3 Beugung am Doppelspalt

Fallt eine Welle auf einen Doppelspalt, werden an beiden Spalten kreisformigeElementarwellen erzeugt. Hinter den Spalten uberlagern sich die Elementarwellen.Dabei gibt es Richtungen, in denen sich die Wellen phasengleich uberlagern undverstarkt werden. Die Lichtintensitaten geben dort Maxima.

In anderen Richtungen schwachen sich die Wellen ab oder loschen sich sogar vollstandigaus.

Macht man die Wellen auf einer Mattscheibe sichtbar, zeigt sich eine Vielzahlaquidistanter Linien (Abb. 14), abwechselnd hell und dunkel. Die Interferenzmustersind die Abbildungen des Spaltes.

Abbildung 14: Beugungsbild am Doppelspalt.

Mit Hilfe von Abb. 14 kann quantitativ die Lage der Minima und Maxima derInterferenzstreifen angeben werden.

Abbildung 15: Zwei Wellenfronten uberlagern sich zu Maxima oder Minima.

Hierzu nimmt man vereinfachend an, dass die Breite d der Spalte so klein sei, dassjeweils nur eine Elementarwelle gebildet wird. Fur die Interferenzbedingung gilt:

c©Doris Samm 2008 11

Maxima: D · sinα = mλMinima: D · sinα = (2m+ 1) · λ

2

mit m = 0, 1, 2, 3, ...

m ist die Ordnungszahl der Interferenzmaxima. m = 1 liefert das Spektrum 1.Ordnung, m = 2 das Spektrum 2. Ordnung usw.. Das ungebeugte Licht ist dasSpektrum 0. Ordnung.

Die in diesem Abschnitt gewonnenen Erkenntnisse ubertragen wir nun auf einGitter.

2.3.1 Beugung am Strichgitter

Optische Gitter bestehen aus einer hohen Zahl paralleler durchsichtiger und un-durchsichtiger Streifen. Die Breite der durchsichtigen Streifen heißt Spaltbreite.Sie muss von der Großenordnung des zu beugenden Lichts sein. Der Abstand zweierSpalte, von Mitte zu Mitte gemessen, heißt Gitterkonstante D.

Abbildung 16: Beugung am Strichgitter mit Beugungsmaxima.

Aus Abbildung 16 erhalt man fur die Maxima:

D · sinα = mλ m = 0, 1, 2, ... (14)

Wie aus Gl. 14 ersichtlich, gehoren zu jeder Wellenlange λ andere Winkel, deshalbwird buntes oder weißes Licht in seine Spektralfarben zerlegt (Abb. 17).

c©Doris Samm 2008 12

Abbildung 17: Zerlegung in Spektralfarben am optischen Gitter.

3 Versuchsanordnung

Die Messungen werden mit Hilfe eines Spektrometers (Abb. 18) durchgefuhrt.

Abbildung 18: Aufbau des Spektrometer: schematisch mit Prisma, Photo mit Git-ter.

Eine Lichtquelle L beleuchtet einen Spalt Sp. Der Spalt steht in der Brennebeneder Linse L1. Das Licht wird nun entweder durch ein Gitter (Gitterspektrometer)gebeugt oder in einem Prisma (Prismenspektrometer) gebrochen. Durch die Ob-jektivlinse L2 werden die parallelen Lichtstrahlen in der Ebene bei F gesammelt;hier entstehen die Bilder des Spaltes Sp. Das Okular O ist eine Lupe, mit der dieSpaltbilder betrachtet werden. Das Fernrohr kann um die Spektrometerachse indie Richtungen der gebeugten oder gebrochenen Lichtbundel geschwenkt werden.Mit einer Winkelskala misst man die Richtungen.

c©Doris Samm 2008 13

4 Versuchsdurchfuhrung

4.1 Gitterspektroskopie

Stellen Sie das Gitter so auf den Spektrometertisch, dass das Licht aus dem Kolli-mator senkrecht auf das Gitter fallt (Abb. 19).

Abbildung 19: Aufbau Gitterspektrometer.

Das Licht der Hg/Cd-Lampe wird durch das Gitter in seine Spektralfarben zerlegt(Abb. 20).

Abbildung 20: Spektrallinien der Quecksilberlampe.

Suchen Sie im Okular das Spaltbild nullter Ordnung. Stellen Sie das Okular so ein,dass Sie das Spaltbild und das Fadenkreuz scharf sehen. Links und rechts der null-ten Ordnung sehen Sie zuerst die Spektrallinien der 1. Ordnung in der Reihenfolgevon Violett nach Rot, dann die der 2. Ordnung in der gleichen Reihenfolge.

Zur Erhohung der Helligkeit konnen Sie den Spalt weiter offnen. Damit werdenaber auch die Spektrallinien breiter und die Messung wird ungenauer. Außerdemuberstrahlen die intensiven Linien (gelb-grun, gelb) die schwacheren.

Wahlen Sie die Spaltweite so, dass Sie die rote Linie noch bequem erkennen konnen.

Messen Sie zuerst die Linien auf einer Seite, und notieren Sie die Winkeleinstel-lungen des Fernrohrs αlinks mit Hilfe der Noniusskala auf ein zehntel Grad genau.

c©Doris Samm 2008 14

Benutzen Sie hierzu das Fadenkreuz als”Andreaskreuz“, um einen exakten Schnitt-

punkt zu erhalten.

Abbildung 21: Noniusskala und Einstellung des Fadenkreuzes.

Vermerken Sie zur Identifizierung der Linie deren Farbe und Intensitat, z.B. blau-grun, stark oder rot, schwach. Schwenken Sie dann das Fernrohr auf die andereSeite, und wiederholen Sie die Messung, jetzt fur αrechts. Wegen der symmetrischenAblenkung ist der gesuchte Beugungswinkel

α =1

2(|αrechts| − |αlinks|) (15)

Berechnen Sie die Wellenlangen (in nm) der Spektrallinien gemaß (Gl. 14 umge-formt):

λ =D

msinα mit m = 1, 2, 3, ... . (16)

Wenn Sie sowohl in der 1. als auch in der 2. Ordnung gemessen haben, bilden Sieden Mittelwert aus beiden Ergebnissen.

Fertigen Sie eine Tabelle nach folgendem Muster an:

Farbe Intensitat αrechts/◦ αlinks/

◦ (αr − αl)/◦ α/◦ sinα λ/nm

Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit der Theorie (Internet) und diskutieren Sie IhrMessergebnis.

c©Doris Samm 2008 15

Abbildung 22: Prismenspektrometer.

4.2 Prismenspektrometer

Stellen Sie das Prisma mittig auf den Drehteller. Eine Spitze sollte - anders als inAbb. 22 gezeigt - zum Kollimator zeigen.

Die Minimalstellung finden Sie folgendermaßen: Drehen Sie das Prisma und ver-folgen Sie dabei eine Spektrallinie, z.B. rot. Bei einer bestimmten Stellung desPrismas kehren die Spaltbilder um, obwohl Sie das Prisma in derselben Richtungwie zuvor weiter drehen. Der Umkehrpunkt markiert das Minimum der Ablenkung.Es muss fur jede Spektrallinie gesondert eingestellt werden.

Lesen Sie zu jeder Linie die Winkelstellung des Fernrohrs im Minimum der Ablenkungαrechts auf 1/10 tel Grad genau ab.

Drehen Sie dann das Prisma so, dass der Strahl zur anderen Seite gebrochen wird.Dort messen Sie die Winkelstellungen αlinks. Die Differenz ist

αrechts − αlinks = 2δmin (17)

Berechnen Sie n(λ) nach Gleichung (11). Die Prismenwinkel sind 60◦.

Erstellen Sie eine Tabelle nach folgendem Muster:

Farbe Intensitat λ/nm αrechts/◦ αlinks/

◦ 2δmin/◦ n/1

Zeichnen Sie die Dispersionskurve n = f(λ). Unterdrucken Sie in Ihrer grafischenDarstellung auf beiden Achsen den Nullpunkt.

Diskutieren Sie Ihr Messergebnis.