5. 55.. 5. VorlesungVorlesungVorlesungEPI EPI 2f) 2f ... · 5. 55.. 5. VorlesungVorlesungVorlesungEPI EPI Energie-Erhaltungssatz: Energie kann nur von einer Form in eine andere verwandelt

EPI WS 2006/07 EPI WS 2006/07 EPI WS 2006/07 EPI WS 2006/07 DDDDüüüünnweber/Faesslernnweber/Faesslernnweber/Faesslernnweber/Faessler

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2.f) Scheinkräfte

= Trägheitskräfte in beschleunigten Systemen, z.B. im anfahrenden oder bremsenden Auto oder in der Kurve („Zentrifugalkraft“).In nicht beschleunigten Systemen („Inertialsysteme“) gibt es keine Schein-Kräfte und die Dynamik wird hinreichend durch die Newtonschen Axiomebeschrieben, z.B.

amFrr

⋅= (Newton II).

Aus der Sicht eines mitbeschleunigten Beobachters liest sich diese Gleichung:

0amFtScheinkraf

=⋅−321

rr

In seinem Koordinatensystem ruht die Masse m, weil sich die äußere Kraft

und die Scheinkraft (Trägheitskraft) kompensieren.

(s. 3 folgende Folien)

amr

⋅−Fr

2f) 2f) 2f) 2f) ScheinkrScheinkrScheinkrScheinkrääääftefteftefte



Systeme, in denen die Newton’schen Axiome gelten, heiß en Inertialsysteme

a) Ruhende Beobachterin, mit konstanter Geschwindigkeit fahrender Wagen

Geworfener Ball auf `Wurfparabel’

Geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit bewegte System e sindInertialsysteme (es wird keine Kraft benötigt, das System auf seiner Bahn zu halten)

b) Bewegter Beobachterauf dem fahrendem Wagen

Senkrechter Wurf, identische Dynamik




In beschleunigte Systemen verhalten sich die Dinge anders ...

Im ruhenden System S (Beobachter außen) bleibt das ruhende Buch in Ruhe (Trägheit)

Beschleunigt der Wagen, rutscht das Buch vom Tisch, ein mitfahrender, mitbeschleunigter Beobachter (S’)misst eine Kraft, die das Buch vom Tisch zu ziehen scheint.

Diese für ihn real erscheinende Kraft (messbar mit der dargestellten Feder) nennen wir Scheinkraft oder Trägheitskraft, Beschleunigte Systeme sind also keine Intertialsysteme.

Fschein




Insbesondere sind rotierende Systeme beschleunigte Systeme ...(Richtungsänderung)

a) Ruhender Beobachter: Das Buch bewegt sich geradlinig (Trägheit).

b) Beschleunigter Beobachter (im Zug, um die Kurve): Muss eine Kraft aufbringen, um das Buch auf die Kreisbahn bringen, für ihn wirkt eine Scheinkraft nach Außen (Zentrifugalkraft).




Dabei ist T die Umlaufzeit. Die Umlauffrequenz ist f = 1/T , deshalb ist ω= 2π· fDie Geschwindigkeit eines im rotierenden System ruhenden Körpers ist im Laborsystemv = 2 π· r / T = ω· rwobei r der Abstand vom Drehpunkt ist. Mit den so definierten Größen läßt sich mit Hilfe der Differentialrechnungfür Vektoren (s. Herleitung auf nächster Folie) zeigen, daß

FZf = m· r · ω²

= m · v² /r

Ein Spezialfall sind rotierende Systeme. Eine Rotation stellt eine Beschleunigung dar, weil der Geschwindkeitsvektorständig seine Richtung ändert (zur Erinnerung: ). Für einen Beobachter im rotierenden Sys-

tem unterliegen alle Körper mit Masse m zwei Scheinkräften: der Zentrifugalkraft FZf und, wenn sich der Körper im rotierenden System bewegt, zusätzlich der Corioliskraft FC.

Betrachten wir ein sich gleichförmig drehendes System mit Umlauffrequenz f und führen wir die Winkelgeschwindig-keit ω ein:

vr

dt/vdarr

=

T

2

Zeit

)Bogenmaßim(Winkel

t

π==∆ϕ∆=ω




rmr

vmamF 2

2

rotationZ ⋅ω⋅=⋅=⋅=

Zentrifugalkraft

Ein rotierende Körper wird durchdie Zentripetalkraft auf der Kreisbahngehalten.

Im rotierenden System erscheint derKörper in Ruhe. Entgegen der Zentripetal-kraft wird die Zentrifugalkraft empfunden.




πω=2

fUmlauffrequenz: Zahl der Umdrehungen pro Sekunde[f]: [1/s] = 1 Hz (Hertz)

Umlaufzeit (Periode):ωπ== 2

f

1T

2rrtt

v

t

vaa ω⋅=ω⋅⋅

∆ϕ∆=

∆ϕ∆=

∆∆

==r

r

Eine Kreisbewegung mit konst. ωωωω ist eine beschleunigte Bewegung,da zwar der Betrag v= const., sich aber die Richtung von ständig ändert.

Beschleunigung:

r

vrafolgt

r

v 22 =ω⋅==ω

da

→ Zentrifugalkraft FZf = m· r· ω2 = m·r

v2




Die Corioliskraft zieht bei einem linksdrehenden System nach rechts. Ihre Stärke ist auf der nächsten Folie(ohne Herleitung) für den einfachen Fall eines radial gerichteten Geschwindigkeitsvektors (im rotierendenSystem) angegeben und auf der übernächsten Folie für beliebige Richtung von .

Fazit:Sogenannte Schein- oder Trägheitskräfte sind immer dann (und nur dann) zu berücksichtigen, wenn man Vor-gänge aus der Sicht eines beschleunigten Beobachters beschreiben will.


vr

vr



Corioliskraft (wirkt auf bewegte Körper in rotierenden Systemen)

a) Ruhender Beob. b) Rotierender Beob.

a) Der Fänger verpasst, da er sich wegdreht

b) Eine Kraft scheint den Ball nach rechts abzulenken, genannt Corioliskraft

ω⋅⋅= vm2Fc

Sie steht senkrecht zur Dreh-achse und zur Geschwindigkeit




Bei Rotation entgegen Uhrzeigersinn (z.B. Nordhalbkugel der Erde vom Polarstern aus betrachtet): a) Bewegung von außen nach innen: große Anfangstangentialgeschwindigkeit vr = rw

folgt Ablenkung nach rechts.b) Bewegung von innen nach außen: kleine Anfangstangentialgeschwindigkeit

innen gibt: Scheibe dreht sich unter Masse weg:Daraus folgt im bewegten System Ablenkung nach rechts

Bei Umkehr des Drehsinnes:Ablenkung nach links.

Anwendungen und Auswirkungen: Luftbewegung auf ErdePassat, HochdruckgebietMäandern von Flüssen

Für eine beliebige Richtung von muß man das Vektorprodukt von (=Vektorin Richtung der Drehachse vom Betrag ω ) und einführen:

D.h. | | = 2mvωsin(α) mit senkrecht (┴) zu und CFr

CFr

ω⊥CFr

vr

vxm2FC

rrrω−=

vr ω

r

vr




Corioliskraft auf der Erde, Wolkenwirbel

Luft strömt in ein Tiefdruckgebiet und wird auf Nordhalbkugel nach rechtsabgelenkt, ein Wolkenwirbel entsteht.




Arbeit und Energie gehören zu den wichtigsten Begriffen der Physik

Arbeit = Kraft . Weg

θcos|s||F|sFW ⋅⋅=⋅=rrrr

Arbeit ist eine skalare Größe (reine Zahl). Sie wird aus 2 Vektoren berechnet (Skalarprodukt):

[w] = [F] * [s] = 1 Newton * Meter Einheit:

3.Arbeit, 3.Arbeit, 3.Arbeit, 3.Arbeit, EnergieEnergieEnergieEnergie, , , , StStStStößößößößeeee

a) Arbeit



Merke: Es wird keine Arbeit geleistet, wenn die Richtung der Kraft senkrecht zur Richtung des Weges ist. (Bsp.: Rotationsbewegung -> Mondbewegung um Erde)

Was passiert bei krummlinigen Bewegungen ?

αcos|s||F|sF ⋅⋅=⋅rrrr

s aufsenkrecht Fwenn , 0sFrrrr

=⋅

Die Verschiebung muss in kleine Stücke zerlegt werdenDie Arbeit wird für jedes Stück berechnet und aufsummiert




Übergang zum Intergral:Zerlegung des Weges in Teilstücke

isr∆ für krumme Bahnen und sich ändernde Kräfte:

iiii

ges sFWWrr

∆⋅Σ=Σ= ∫⇒ sdFrr

LeistungP =

sJ

WWatt[t

W ==∆

∆] = mittlere Leistung im (endlichen) Zeitintervall t∆

dtdW

= momentane Leistung (Differentialquotient)P=




b) EnergieIn einem System, an dem Arbeit verrichtet wurde, ist das Vermögengespeichert, selbst wieder Arbeit zu verrichten. Dieses Vermögen nennt man Energie.

Formen von mechanischer Energie:

Potentielle Energie: Epot, durch die Lage eines Punktes in einemKraftfeld gegeben (Bsp.: Hubarbeit im Schwerefeld)

Kinetische Energie: Ekin, durch den Bewegungszustand eines Körpersgegeben, d.h. durch die Geschwindigkeit




Potentielle Energie im Schwerefeld:

( ) hgm0coshmgsFWpot ⋅⋅=⋅⋅=⋅= vr

2pot Dx

2

1cos(0)dxxDxdFW ∫ ∫ =⋅⋅=⋅= rr

F ist eine gegen die Schwerkraft gerichteteKraft in Richtung s

Potentielle Energie in einer gespannten Feder:

Die Kraft ändert sich längs des Weges !

xDFvr

⋅=

xDFrr

⋅=




Beschleunigungsarbeit, kinetische Energie:

konstante Beschleunigung a

2kin

)(

2kin

)21(s

kin

mv21

W

at21

amW

cos(0)samsFW2

= →

⋅⋅= →

⋅⋅⋅=⋅=

=

=

atv

at

rr

Rotationsenergie, etc.: später




Energie-Erhaltungssatz:

Energie kann nur von einer Form in eine andere verwandelt werden,sie kann nicht vernichtet oder erzeugt werden.

Falls Energieverlust durch Reibung oder ähnliche Prozesse vernachlässigt werden kann, gilt für ein abgeschlossenes Systemder Energiesatz der Mechanik:

const.EEE kinpotges =+=

Neben der potentiellen, kinetischen oder elastischen Energie gibtes weitere Formen:Wärmeenergie, elektrische Energie, StrahlungsenergieDer Energie-Erhaltungssatz gilt ganz allgemein für jede Energieform:

Die Summe aller Energien in einem abgeschlossenen System ist konstant


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