Spezielle Relativitätstheorie

Spezielle Relativitätstheorie

Vorlesung vonProf. Dr. Cornelis (“Kees”) Dullemond

in Zusammenarbeit mitElena Kozlikin, Benjamin Wallisch, Robert Reischke

Institut für Theoretische AstrophysikUniversität Heidelberg

Die ersten Gedankenexperimente:

Zeit-Dilatation und Lorentz-Kontraktion

Einsteins Gedanken-Experiment

Zug fährt mit einer Geschwindigkeit vzug in einen Bahnhof ein.

Achtung: Der Zug bremst nicht ab, sondern fährt mit konstanter Geschwindigkeit weiter.

Frage: Bewegt sich der Zug oder bewegt sich der Bahnhof?


Zug

Bahnsteig


Zug

Bahnsteig


Zug

Bahnsteig

vx=vzug


vx=vzug

L


vx=vzug

x

y

L

Raum-Koordinaten(vom Bahnhof aus gesehen)


vx=vzugvx

vy

vy=vball,0

Geschwindigkeits-Koordinaten (vom Bahnhof aus gesehen)


v‘x=0 v‘x

v‘y

v‘y=vball,0

Geschwindigkeits-Koordinaten (vom Zug aus gesehen)


L


Jetzt mit einemLichtpuls(vom Zug aus gesehen)

L


Jetzt mit einemLichtpuls(vom Bahnhof aus gesehen)

L


vx=vzugvx

vy

vy

Geschwindigkeits-Koordinaten (vom Bahnhof aus gesehen)


Jetzt mit einemLichtpuls(vom Zug aus gesehen)

L

Wenn der Lichtpuls am Zeitpunkt t=0 gesendet wird, zu welchem Zeitpunkt t erreicht er die Kamera?



L

Wenn der Lichtpuls am Zeitpunkt t=0 gesendet wird, zu welchem Zeitpunkt t erreicht er die Kamera?

Aufgabe: Berechne wie viel länger es vom Bahnhof aus gesehen dauert.

Zeit-Dilatation


L

Wenn der Lichtpuls am Zeitpunkt t=0 gesendet wird, an welchem Zeitpunkt t erreicht er die Kamera?Die Person im Zug

ist jedoch völlig überzeugt, dass der Puls zum Zeitpunkt t‘=L/c ankommt! Also: seine Uhr läuft langsamer:

Problem: Denkt der Mensch im Zug nicht auch, dass unsere Uhr (am Bahnhof) langsamer als seine Uhr läuft??Antwort: Ja; aber dazu später...

Zeit-Dilatation

Zug

Bahnsteig

Beispiel: vzug=0.866 c, und damit vy=0.5 c (weil 0.8662+0.52=1)

L

Zeit-Dilatation

Zug

Bahnsteig


L

Zeit-Dilatation

Zug

Bahnsteig


L

Lorentzkontraktion

L

Wir ändern das Lichtpuls-Experiment leicht ab:

(vom Zug aus gesehen)Die Dauer ist nun:

vom Zug aus gesehen, und

vom Bahnhof aus gesehen

Lorentzkontraktion

L

Nun drehen wir dieses Experiment, so dass der Lichtpuls in Fahrtrichtung des Zuges geht:

(vom Zug aus gesehen)Die Dauer ist nun:

vom Zug aus gesehen, und

vom Bahnhof aus gesehen

LorentzkontraktionAber es gibt ein Problem: Stimmt es wirklich, dass der Zeitpunkt, zu dem der Lichtpuls zurückkommt tatsächlich

ist? Wenn wir dies ausarbeiten finden wir eine Inkonsistenz...

Aufgabe:(a) Berechne den Zeitpunkt an dem der Lichtpuls den bewegten

Spiegel erreicht.(b) Berechne den Zeitpunkt an dem der Lichtpuls wieder zurück bei

der (bewegte) Kamera ist.(c) Zeige, dass dies um den Faktor zu lange

dauert, im Vergleich zur o.g. Formel.

LorentzkontraktionAber es gibt ein Problem: Stimmt es wirklich, dass der Zeitpunkt, zu dem der Lichtpuls zurückkommt tatsächlich

ist?Lass uns dies aus Sicht des Bahnhofs berechnen. Zuerst: zu welchem Zeitpunkt t1 erreicht der Puls den Spiegel?

Und zu welchem Zeitpunkt t2 fällt der Puls in die Kamera?

LorentzkontraktionWir haben also ein Problem: Wir haben gerade ausgerechnet, dass die Dauer des Experiments

ist, aber wir wissen, dass es eigentlich

sein muss... Was ist los?

Henrik Lorentz kam zu dem Schluss, dass sich Längen in Fahrtrichtung verkürzen!

LorentzkontraktionStatt L müssen wir Lvbhag (L vom Bahnhof aus gesehen) benutzen (aber nur für das Experiment in Fahrtrichtung!):

Und mit der Lorentzkontraktion

erhält man dann wieder die richtige Antwort:

Lorentzkontraktion

Leiter-Paradoxon der Lorentzkontraktion

http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ladder_Paradox_GarageScenario.svg

Leiter bewegt sich,Garage steht still:

Garage bewegt sich,Leiter steht still:

Relativitätsprinzip• Galilei und Newton wussten schon, dass absolute

Geschwindigkeiten keine physikalische Bedeutung haben, sondern nur relative Geschwindigkeiten: dies heißt Galilei-Invarianz.

• Wir kennen das: Im ICE bei 200 km/h kann man problemlos laufen, spielen, tanzen, als ob der Zug stillsteht.

• Problem: Die Lichtgeschwindigkeit scheint jedoch absolut zu sein. Wenn wir trotzdem fordern, dass eine bewegte Person dieselbe Lichtgeschwindigkeit misst, so erhält man Zeitdilatation und Lorentzkontraktion. Diese sehen aber asymmetrisch aus!

Raum-Zeit Diagramme

Raum-Zeit-DiagrammeUm einen besseren Blick zu bekommen, machen wir Bewegungdurch Raum-Zeit Diagramme ersichtlich. Traditionell: Raum horizontal und Zeit vertikal.

Beispiel: rennende Person

Raum-Zeit-Diagramme

Raum-Zeit-Diagramme

Raum-Zeit-Diagramme

Raum-Zeit-DiagrammeSupermarkt Wohnung Büro Lunchroom

„Weltlinie“

Raum-Zeit-Diagramme

Deine Geburt

Deine Hochzeit

Die Hochzeit eines FreundesDie Geburt deines Kindes

„Ereignisse“

Raum-Zeit-Diagramme: 2+1D

yx

t Etwas schwierigerum damit zu arbeiten...

Raum-Zeit-Diagramme: 3+1D (=„4D“)

Noch schwierigerum damit zu arbeiten...

Sorry, Powerpointkann leider nochkeine 4-D Grafen

erstellen...

Versuchen Sie es in 30 Jahren wieder...

Galilei InvarianzBahnhof Zug

Der Zug fährt aus dem Bahnhof raus...

Galilei InvarianzBahnhof Zug

...oder der Bahnhof fliegt vom Zug weg...

Wer hat recht?

‘

Galilei TransformationBahnhof Zug

Bahnhof und Zug haben eigeneZeitachsen

Das bedeutet: x=0 an t≠0 hat eine andere Bedeutung in den zwei Bezugssystemen

x=0

x‘=0

x‘=1

x=1


Wir können durcheine Koordinaten-Transformation vom (x,t) ins (x‘,t)-System wechseln.x‘=0

x=0

x=1

x‘=1

‘



Das bedeutet: x=0 an t≠0 hat eine andere Bedeutung für den zwei Bezugssystemen

x=0

x‘=0

x‘=1

x=1



Das bedeutet: x=0 an t≠0 hat eine andere Bedeutung für den zwei Bezugssystemen

x=0

x‘=0

x‘=1

x=1



x=0

x=1

x‘=1

‘



x=0

x=1

x‘=1

‘

Inertialsystem (inertiales Bezugssystem)Ein Koordinatensystem (x,t) ist ein Inertialsystem wenn eine geradlinige gleichförmige Bewegung als

geschrieben werden kann.

Das heißt, dass ein neues Koordinatensystem (x‘,t) welches von (x,t) abgeleitet ist durch

(mit C und u Konstanten) auch ein Inertialsystem ist, und zwar völlig gleichwertig.

Weltlinie & Raumzeit-Geschwindigkeit

0 s

1 s

2 s

(Zeit)

(Raum)

vx

RelativistischeRaum-Zeit-Diagramme

(„Minkowski-Diagramme“)

Hermann Minkowski

"Die Anschauungen über Raum und Zeit, die ich Ihnen entwickeln möchte, sind auf experimentell-physikalischem Boden erwachsen. Darin liegt ihre Stärke. Ihre Tendenz ist eine radikale. Von Stund′ an sollen Raum für sich und Zeit für sich völlig zu Schatten herabsinken und nur noch eine Art Union der beiden soll Selbständigkeit bewahren.“(Hermann Minkowski, 80th Assembly of German Natural Scientists and Physicians, September 21, 1908)

Minkowski Diagramme

Für die Gedankenexperimenteersetzen wir die t-Achse durch eine ct-Achse (also wir multiplizieren die Zeit mit der Lichtgeschwindigkeit).

Die Zeitache hat jetzt auch Dimension „meter“

Lichtkegel

Jetzt bewegt sich Licht entlang diagonalen Linien mit ±45∘ Winkel

Lichtkegel

Mehrere Lichtkegel

Zwei Lichtpulse,unterschiedliche Orte

Mehrere Lichtkegel

Zwei Lichtpulse,unterschiedliche Ort und Zeit

Raumzeit-Geschwindkigkeit: SpezRel

Raumzeit-Geschwindigkeit für stillstehende Person


Raumzeit-Geschwindigkeit für bewegende Person

t‘ ist die Zeit so wie die bewegte Person sie wahrnimmt.


Dieser Raumzeit-Geschwindigkeitsvektorliegt immer auf der gestrichelte Linie.

Grund: Zeitdilatation! t‘ ist die Zeit so wie die bewegte Person sie wahrnimmt.


t‘ ist die Zeit so wie der bewegender Mensch sie wahrnimmt.

Aufgabe: Zeige, dass dieser Raumzeit-Geschwindigkeitsvektor folgendermaßen aussieht:


t‘ ist die Zeit so wie der bewegender Mensch sie wahrnimmt.

Aufgabe: Zeige, dass dies eine Hyperbel ist, d.h. dass die Zeit- und Raum-Komponente Vct bzw Vx folgende Gleichung befolgen:


Die gestrichelte Hyperbel ist also die ct‘=1 Linie. Sie ist nicht horizontal (wie klassisch) sondern eine Hyperbel wegen der Zeit-Dilatation.

Was ist „gleichzeitig“?

Das Prinzip der Uhren-Synchronisationund die Vermischung von

Raum und Zeit

Aus dem Urpsrunglichen Paper von Albert Einstein (1905)

Wie synchronisiert man Uhren?

Aufgabe: Überlegt euch eine Methode („protocoll“) womit man trotz Zeit-Verzögerung feststellen kann ob die Uhren synchron laufen.

Stellt euch vor, wir haben eine Mars-Kolonie mit der wir überRadio-Funk kommunizieren können. Wir wollen checken, ob dieUhr dort synchron mit unserer Uhr auf der Erde läuft. Aber: Licht (das Radio-Signal) braucht ca. 20 Minuten von Erde bis zum Mars, und ca. 20 Minuten wieder zurück (wie lange genau müssen wir noch vermessen). Wenn wir über Funk fragen: wie viel Uhr ist es bei euch, dann kommt die Antwort viele Minuten später, und damit ist die Information schon „veraltet“.

Wie synchronisiert man die Uhren?Erde Mars

Von vorbeifliegendem Raumschiff aus gesehenErde MarsFür den

Raumschiffpiloten bewegen sich Erde

und Mars

Man sieht: Die „Linie der synchronen Ereignisse“ ist nun gekippt!

Sowohl Zeit- als Raum-Achse kippen!



Zug-Bahnhof-Symmetrie wiederhergestellt?

Aufgabe: Beweise, dass das Längenverhältnis A/a dasselbe ist wie B/b, also dass A/a=B/b.

AB

ba

Autobahnpolizei

A

Jeweils nur Auto „A“ messen:

A

Jeweils nur bei Blitzer „B“ messen:

B

B

Die Uhr „A“geht langsamer(Zeit-Dilatation)

Die Uhr gemessenvon Station „B“geht schneller!

Zurück zum Zug+Bahnhof-Beispiel

Zug

Bahnsteig

Das Kippen der Raum-Achse bedeutet, dass die Uhren im Zug vom Bahnhof aus gesehen nicht überall dieselbe Uhrzeit anzeigen. Dieses Beispiel: am t=0 standen sich D und d gegenüber und hatten beide dieselbe Uhrzeit. Wenige Zeit später sieht die Lage so aus:

A B C D E F G

a b c d e f g

Aufgabe: Erkläre diese Lage mit dem x-ct Diagramm. (1) Warum ist Uhr „d“ hinterher im Vergleich zu „D“? (2) Warum ist Uhr „b“ weiter als „D“? (3) Warum ist Uhr „a“ weiter als Uhr „g“?

Kippen der Raum-Achse: Andere ErklärungWenn eine Ente im Wasser mit den Füssen wackelt, produziert sie Wellen. Solange die Ente nicht vom Platz bewegt, breiten die Wellen sich in allen Richtungen gleich aus:

Wenn die Ente aber vorwärts bewegt, so sieht sie sich plötzlich nicht mehr genau in der Mitte der Wellen:

Kippen der Raum-Achse: Andere Erklärung

Die Ente kann also „messen“ dass sie bewegt, indem sie sieht dass sie nicht mehr in der Mitte der Welle ist.

Da aber die Lichtgeschwindigkeit auch für eine sich bewegende Person immer c ist, ist eine sich bewegende Person immer im Zentrum seiner Lichtwellen. Wie kann dies sein?


a b

a≠b


a

b

a=b

Mit fast-Lichtgeschwindigkeitdurch Tübingen fahren...

Intermezzo: Koordinatentransformationen,

Matrizen, Vektoren

Die Lorentz-Transformation

Zwei Inertialsysteme

Das eine Inertial Koordinatensystem (blau)

Das andere Inertial Koordinatensystem (grün)

Beide Systeme (gesehen vom blauen)

Beide Systeme (gesehen vom grünen)

Zeit-, Licht- und Raum-Vektorenct

x

Zeit-Vektoren

Licht-Vektoren

Raum-Vektoren


x

Lorentz-Koordinaten-Transformation zumBezugssystem mit v>0.

Wichtig: Zeit-Vektoren bleiben Zeit-Vektoren, Raum-Vektoren bleiben Raum-Vektoren und Licht-Vektoren bleiben Licht-Vektoren.


x

Lorentz-Vektor-Transformation (Beschleunigung)in positive Richtung.

Zwingendheit der Form der Lorentz-TransformationEine allgemeine Raumzeit-Transformation kann man folgendermaßen schreiben:

Aufgabe: Beweise, dass wenn man fordert, dass Licht-Vektoren Licht-Vektoren bleiben (sie dürfen andere Länge erhalten, müssen aber Licht-Vektoren bleiben), dann folgt C=B und D=A.

Man erhält also:

Zwingendheit der Form der Lorentz-TransformationWir wissen aus den vorherigen Transparenten, dass die Raumzeit-Geschwindigkeits Vektoren von einer sich bewegenden und einer stillstehenden Person folgendermaßen aussehen:

Aufgabe: Wenn man Vb aus Vs erhalten möchte indem man eine Lorentz-Transformation anwendet:

leite damit her, was A und B sind in Abhängigkeit von (v/c).

Zwingendheit der Form der Lorentz-TransformationDie Lorentz-Transformation hat also die folgende Form:

wo der Lorentzfaktor γ und die dimensionslose Geschwindigkeit β folgendermaßen definiert sind:

Aufgabe: Wenn man einen Vektor V mit β Lorentztransformiert, und danach mit –β Lorentztransformiert (was ja die Rücktransformation ist), dass man tatsächlich wieder den ursprunglichen Vektor V erhält, wie es sein muss.

Lorentz-Kontraktion im x-ct-DiagrammZug-Ende Zug-Anfang

Lorentz-Kontraktion im x-ct-Diagramm

Zwar wird die x-Komponente des Raumvektors größer, der Zug wird kürzer.

Zug-Ende Zug-Anfang

Zukunft und Vergangenheit

Was geschieht zuerst?ct

xC

D

ct

x

A

B

Aufgabe: Kann man eindeutig feststellen ob Ereignis A oder ereignis B zuerst passiert? Und was mit Ereignis C oder D?

Raum versus Zeit; Zukunft und Vergangenheit

Meine Zukunft

Meine Vergangenheit

Ereignisse die „räumlich getrennt“

von mir sind

Ereignisse die „räumlich getrennt“

von mir sind

Wenn man schneller als Licht reisen könnte...

Jetzt machenwir eine Lorentz-Transformation


Jetzt machenwir eine Lorentz-Transformation


Und reisen wiedermit über-Licht-Geschwindigkeit (diesmal sogar noch etwas schneller) zurück.

Jetzt treffen wir uns selbst... Hallo, wie geht es mir?

Also reisen mit überlicht-Geschwindigkeit führt zu Absurditäten...

Lorentz-Transformationen an anderen Stellen

Lorentz-Transformationzentriert auf dem unteren(roten) Ereignis:

Lorentz-Transformationen an anderen Stellen

Lorentz-Transformationzentriert auf dem oberen(grünen) Ereignis:

Weltlinie und Eigenzeit

x

ct

ct‘=1

ct‘=2

ct‘=3

ct‘=4

ct‘=5

ct‘=6

Zwillingsparadoxon

x

ct

Aufgabe: Löse dieses Paradoxon.

Und jetzt... E=mc2

Energie-Impuls-Vektor

Energie-Impuls-VektorDoppel so große Masse


Für ganz kleine Geschwindigkeiten (v<<c und γ≈1) müsste etwas rauskommen was wir aus der Newtonschen Dynamik kennen, sonst wäre relativistische Dynamik nicht vereinbar mit dem, was wir aus dem täglichen Leben kennen.

Aus der Newtonschen Dynamik kennen wir Impuls und Energie:

Die Raumkomponente von P (P1) wird für v<<c tatsächlich der Newtonsche Impuls.


Die Zeitkomponente von P (P0) ist etwas kniffliger. Zunächst würde man sagen, dass im Limes v<<c:

Dies bringt uns aber nicht viel. Lasst uns etwas genauer nach der Lorentzfaktor γ schauen:

Energie-Impuls-VektorMan kann dies für v<<c annäheren mit:

Aufgabe: Probiere es mit dem Taschenrechner aus, zum Beispiel, verifiziere, dass folgendes ungefähr gilt:

Energie-Impuls-VektorAlso kann man P0 folgendermaßen annäheren (für v<<c):

Aufgabe: Argumentiere jetzt warum es nahe liegt, dass Masse offenbar Energie entspricht, und zwar Emasse=mc2.

Offenbar gilt also:


Energie-Impuls-Vektor von Licht

Ene

rgie

des

Pho

tons

Impuls desPhotons

Umwandlung von Ruhemasse in Licht(Zerfall eines Elementarteilchens in zwei Photonen)

Umwandlung von Ruhemasse in Licht(Zerfall eines Energiezustandes eines Teilchen in zwei Photonen)

Beschleunigung einer Rakete...

...und die erste Hinweise wieGravitation funktionieren könnte!

Wenn sich eine Rakete beschleunigt...

Wenn sich eine Rakete beschleunigt...

Je weiter unten: desto mehr „Schwerkraft“

1 kg

1 kg

Kommt bekannt vor...

1 kg

1 kg

Je weiter unten: desto langsamer die Uhren

Je weiter unten: desto langsamer die Uhren

Rindler Modell eines „schwarzen Lochs“

Ereign

is-Hori

zont

Ereignis-Horizont

Um nicht in das „schwarze Loch“ zu fallen, muss man ständig beschleunigen.

Rindler Modell eines „schwarzen Lochs“

Ereign

is-Hori

zont Um nicht in das

„schwarze Loch“ zu fallen, muss man ständig beschleunigen.

Wenn man nicht beschleunigt, geht man irgendwann durch den Horizont, und kann niemals wieder zurück in den „normalen“ Raum.

Ereignis-Horizont

Achtung: richtige schwarze Löcher sind komplizierter. Aber das Konzept „Ereignis-Horizont“ wird mit dem Rindler-Modell gut beschrieben!

Documents

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