Springer-Lehrbuch

Springer-Verlag Berlin Heidelberg GmbH

Boto von Querenburg

Mengentheoretische Topologie

Dritte, neu bearbeitete und erweiterte Auflage

M i t 30 Abbildungen

Springer

Boto von Querenburg

Die Deutsche Bibliothek - CIP-Einheitsaufnahme

Querenburg, Boto von: Mengentheoretische Topologie / Boto v. Querenburg. - 3., neu bearb. und erw. Aufl. - Berlin; Heidelberg; New York; Barcelona; Hongkong; London; Mailand; Paris; Singapur; Tokio: Springer, 2001 (Springer-Lehrbuch) ISBN 978-3-540-67790-1

Bis zur zweiten Auflage (1979) erschien das Werk in der Reihe Hochschultext

Mathematics Subject Classification (2000): 54-01, 22-01,54-03,32B05, 43A05, 46}o5,46H05

ISBN 978-3-540-67790-1 ISBN 978-3-642-56860-2 (eBook)

DOI 10.1007/978-3-642-56860-2

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© Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1973,1979, 2001

Ursprünglich erschienen bei Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 2001

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Gedruckt auf säurefreiem Papier SPIN: 10758281 44/3i42ck - 5 4 3 2 1 0

In Erinnerung an Edelgard

Vorwort zur dritten Auflage

Zu dieser Auflage wurde das Buch "Mengentheoretische Topologie" wesent­lich geändert und ergänzt. Ins Auge fallend ist die Umwandlung in einenbesser lesbaren Text, einerseits dank 'IEX, andererseits durch Lehrerfahrungund größeren Abstand zu der Niederschrift der Kapitel aus den vorangegan­genen Auflagen .

In Vorlesungen wird die mengentheoretische Topologie oftmals in Zusam­menhang mit algebraischer Topologie, Funktionalanalysis oder den topolo­gischen Gruppen dargestellt . In der vorliegenden neuen Auflage wird diemengentheoretische Topologie um die Grundlagen der Theorie topologischerGruppen erweitert . Die topologischen Gruppen bieten viele Möglichkeiten,die Begriffe und Methoden der mengentheoretischen Topologie anzuwendenund einzuüben. Sie geben zudem ein Muster für eine Theorie, in der Algebraund Topologie zusammenspielen.

Unser Dank gilt Marlene Schwarz. Sie hat die schwierige Aufgabe ge­meistert, die alte Auflage in 'IEX umzusetzen, neu verfaßte Manuskripte zuentziffern und mit großer Zuverlässigkeit in eine druckfertiges 'IEX-Vorlage zuverwandeln. Herrn Jörg Stümke danken wir für die ansprechende, klare undsorgfältige Ver'IEXung der Skizzen und Herrn Semeon Bogatyi für zahlreicheAufgaben.

Für Anregungen, Kommentare und Verbesserungsvorschläge aus demKreis der Leser sind wir stets dankbar.

Bochum, im November 2000

v

VIII Vorwort

Vorwort zur zweiten Auflage

Wir waren sehr erfreut über die freundliche Aufnahme und wohlwollende Kri­tik unserer Mengentheoretischen Topologie und möchten uns hier bedankenfür die mündlichen wie auch brieflichen Hinweise auf Ungenauigkeiten imText.

Neben Berichtigungen haben wir noch einige Aufgaben zugefügt . Fernerfolgen wir der Anregung eines Referenten, einen Abschnitt über die geschicht­liche Entwicklung der Mengentheoretischen Topologie zuzufügen und Origi­nalliteratur anzugeben.

Bochum, im August 1979

Vorwort zur ersten Auflage

Es werden die Grundbegriffe und -sätze der allgemeinen Topologie behandelt,ferner ergänzend einige speziellere Themenkreise, die nicht zum Standardstoffgehören . Das Buch ist gedacht für Studenten, die schon exakte Beweise führenund mit den mengentheoretischen Operationen umgehen können, die alsoetwa ein bis zwei Semester Mathematik studiert haben. Meistens hat der Stu­dent dann auch einen Teil der Begriffe, Methoden und Sätze der mengentheo­retischen Topologie (oftmals beschränkt auf metrische Räume) kennengelernt.Deshalb wird am Anfang sowohl auf Motivationen wie auf die vollständigeDurchführung bei manchen Beweisen verzichtet. Der eigene Nacht rag von Be­weisen soll auch weitgehen das Lösen von solchen Übungsaufgaben ersetzen ,in denen skurile topologische Räume behandelt werden.

Das Buch kann als Grundlage zum Eigenstudium, als Begleittext zu ei­ner Vorlesung und als Unterlage zu einem Proseminar dienen. Zu letzteremwurde 1970 die Mitschrift einer Vorlesung von E. Artin (Hamburg SS 1959)von uns überarbeitet und ergänzt. In den darauffolgenden Semestern wurdeder Text in Proseminaren erprobt und anschließend mehrfach überarbeitetund erweitert. Wir hoffen, daß Studenten mittlerer Semester die in der vor­liegenden vierten Fassung ausgelassenen Beweise durchführen bzw. ergänzenkönnen .

Wir freuen uns , daß aus unserem Skriptum ein HOCHSCHULTEXT ge­worden ist , danken dem Springer-Verlag für die Aufnahme in die Reihe undhoffen, daß wenigstens der Baum den Leser erfreuen wird.

Bochum , den 15. Mai 1973

Autorenliste

Prof. Dr. Gunter BengelMathematisches InstitutWestfälische Wilhelms-UniversitätEinsteinstr. 6248149 Münster

Dr, Hans-Dieter ColdeweyLandwehr 2349716 Meppen

Dr, Klaus FunckeRosmarinstr. 6833106 Paderborn

Dr, Edelgard Gramberg t

Dr, Norbert PeczynskiPerfallstr. 3383727 Schliersee

Prof. Dr. A. StieglitzFachhochschule LandshutFachbereich MaschinenbauAm Lurzenhof 184036 Landshut

Prof. Dr. Elmar VogtInstitut für MathematikFreie Universität BerlinAnimallee 314195 Berlin

Prof. Dr. Dr.h.c. H. ZieschangFakultät für MathematikRuhr-Universität Bochum44801 Bochum

Inhaltsverzeichnis

o Bezeichnungen und mengentheoretische Grundlagen .... 1

1 Metrische Räume 7A Grundlegende Definitionen und Beispiele . . . . . . . . . . . 7B Offene und abgeschlossene Mengen, Umgebungen 9C Stetige Abbildungen 11D Konvergente Folgen 15E Trennungseigenschaften in Metrischen Räumen 17Aufgaben 18

2 Topologische Räume und stetige Abbildungen 21A Topologis che Räume 21B Umgebungen . . . . .. .. .. .. 25C Stetige Abbildungen 29Aufgaben 33

3 Erzeugung topologischer Räume 37A Unterraumtopologie, Produkttopologie 37B Initialtopologie 42C Finaltopologie, Quotiententopologie 44D Identifizierungstopologie, Zusammenkleben von

topologischen Räumen 45E Mannigfaltigkeiten und topologische Gruppen 52Aufgaben 57

4 Zusammenhängende Räume 63A Zusammenhängende Räume 63B Wegzusammenhang, Lokaler Zusammenhang 69Aufgaben 70

XII Inhaltsverzeichnis

5 Filter und Konvergenz 73A Folgen . .. ... ... ... .... .. .. . ... ..... . . .... . . .... . . . .. . 73B Netze 75C Filter 77Aufgaben 80

6 Trennungseigenschaften 83A Trennungseigenschaften topologischer Räume . . . . . . . . . . . . 83B Vererbbarkeit von Trennungseigenschaften 88C Fortsetzung stetiger Abbildungen 92Aufgaben 94

7 Normale Räume 95A Das Lemma von Urysohn 95B Fortsetzung stetiger Abbildungen 98C Lokal-endliche Systeme und Partitionen der Eins 100Aufgaben 103

8 Kompakte Räume 105A Kompakte Räume 105B Lokalkompakte Räume 109C Andere Kompaktheitsbegriffe 112Aufgaben 115

9 Satz von Stone-Weierstraß 119Aufgaben . . . . . . . . . . 124

10 Parakompakte Räume und Metrisationssätze . . . . . . . . . . . 127A Parakompakte Räume 127B Metrisationssätze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 131Aufgaben 134

11 Uniforme Räume 135A Uniforme Räume 135B Gleichmäßig stetige Abbildungen 141C Konstruktion uniformer Räume 142D Uniformisierung 145Aufgaben . . . . . . . . . . 150

12 Vervollständigung und Kompaktifizierung 153A Vervollständigung uniformer Räume 153B Kompaktifizierung vollständig regulärer Räume 160Aufgaben . . . 165

Inhaltsverzeichnis XIII

13 Vollständige, Polnische und Baire'sche Räume 167A Vollständige Räume 167B Vollständige metrische Räume 169C Polnische Räume 171D Baire'sche Räume 173E Anwendungen des Baire'schen Satzes 176Aufgaben 179

14 Funktionenräume 183A Die uniforme Struktur der S-Konvergenz 183B Kompakt-offene Topologie 188C Gleichgradige Stetigkeit und Satz von Arzela-Ascoli 191Aufgaben 195

15 Ringe stetiger, reellwertiger Funktionen 197A Z-Mengen und Z-Filter 197B Stone-Cech-Kompaktifizierung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 201Aufgaben 205

16 Topologische Gruppen 207A Grundbegriffe der Gruppentheorie 207B Topologische Gruppen 213C Untergruppen und Quotientengruppen 220Aufgaben 226

17 Zur Integrationstheorie 231A Integral 231B Messbare Mengen 235C Reelle LP-Räume 237D Der duale Raum zu LP 239E Integration auf lokalkompakten Räumen 243F Komplexwertige reguläre Maße 246Aufgaben 249

18 Banachräume und Banachalgebren 251A Banachräume 251B Beschränkte lineare Transformationen 253C Lineare Funktionale und der konjugierte Raum 256D Maximale Ideale in Ringen und Algebren 260E Spektrum, Inverse und Adverse 262F Gelfand 'sche Theorie kommutativer Banachalgebren 264Aufgaben 267

XIV Inhaltsverzeichnis

19 Invariante Integration auf lokalkompakten Gruppen 269A Konstruktion des Haar'schen Integrales 269B Faltung und 1. Eindeutigkeitsbeweis . . . . . . . . . . . . . . . .. 276C 2. Eindeutigkeitsbeweis nach Weil-von Neumann 280D Eigenschaften des Haar'schen Integrales 282E Die Modulfunktion 283F Die Gruppenalgebra 287Aufgaben 294

20 Die duale Gruppe 299A Die Charaktergruppe 299B Die Charaktere lokalkompakter ab elscher Gruppen 307C Die Fourier-Stieltjes Transformierten 309D Positiv-definite Funktionen und Inversionssatz 313E Pontryagin'scher Dualitätssatz und Anwendungen 322Aufgab en 324

21 Zur historischen Entwicklung der mengentheoretischenTopologie 327A Anmerkungen zu Kapitel 1-3 327B Anmerkungen zu Kapitel 4, 6-8 328C Anmerkungen zu Kapitel 5 331D Anmerkungen zu Kapitel 10 331E Anmerkungen zu Kapitel 9, 11 und 14 332F Anmerkungen zu Kapitel 12, 13 und 15 333

Diagramm 335

Literaturverzeichnis 337

Index 343

Symbole 351

Hinweise für den Leser

Kapitel o stellt ohne Beweise diejenigen Grundbegriffe und Hilfsmittel derMengenlehre zusammen, die in den folgenden Kapiteln benötigt werden . DasKapitell über metrische Räume ist als Einführung in die Fragestellungen dermengentheoretischen Topologie gedacht und dient zur Motivation für spätereBegriffsbildungen.

Die grundlegenden Begriffe und Sätze der allgemeinen Topologie sind infolgenden Abschnitten enthalten:

\2: 3A; 4Aj 5A; C; 6A; Bj 7; 8A, B: 9.

Die weiteren Kapitel können auch in einer anderen Reihenfolge als in derhier angegebenen gelesen werden, z.B. in Zusammenstellungen wie sie auf dernächsten Seite aufgeführt sind .

Zu jedem Kapitel gibt es mehrere Übungsaufgaben. In ihnen soll der Lesereinerseits die Anwendung der Begriffe und Sätze des vorangegangenen Kapi­tels einüben, andererseits soll er Beispiele und Gegenbeispiele entwickeln undmanchmal auch weiterführenden Stoff behandeln. Oft tragen auch Beispielezu Definitionen oder Sätzen den Charakter von Übungsaufgaben.

Steht am Ende eines Satzes das Zeichen 0 , so ist der Beweis der Aussageevident oder kann leicht unter Verwendung der bereitgestellten Methodenund Sätze erbracht werden. Wir empfehlen dem Leser, zu seiner Übung dieausgelassenen Beweise durchzuführen und sich die Beispiele zu verdeutlichen.

Verweise in diesem Buch zitieren die Nummer eines Kapitels und die Num­mer eines Satzes innerhalb dieses Kapitels. 6.9 bedeutet etwa Satz 9 aus Ka­pitel 6, 13.A2 bezeichnet die Aufgabe 2 zu Kapitel 13. Im Index wird aufSeiten verwiesen .

XVI Hinweise für den Leser

Im Folgenden sind diejenigen Abschnitte zusammengstellt, die zum Verständnisdes angegebenen Themenkreises benötigt werden .

1. Satz von Stone-Weierstraß2; 3A; 8Aj 9.

2. Metrisationssatz von Bing-Nagata-Smirnov2j 3Aj 6A; 7A, C; 8A, Bj 10.

3. Uniformisierung topologischer Räume und Metrisierung uniformer Räume.2j 3A, Bj 6A, n, 1l.

4. Stone-Cech-Kompaktifizierung2; 3A, Bj 5C; 6A, Bj 8A, B; 12j (15).

5. Vervollständigung uniformer Räume. Vollständig metrisierbare Räume.2; 3A, Bj 5C; 6Aj 11A, B, C; 12Aj 13A, B, C.

6. Funktionenräume2; 3A, n, 5Cj 6Aj 8A; 11A, B, c, 14.

7. Ringe reellwertiger Funktionen2; 3A; 5Cj 6A; 8A; 12Bj 15.

8. Topologische Gruppen2j 3Aj 5C; 6A; 8A; 11j 16.

9. Haar'sches Integral2; 3Aj 5Cj 6A; 8A; 11j 16j 17j 19.

10. Dualitätssatz von lokalkompakten abelschen Gruppen2; 3Aj 5Cj 6Aj 8A; 11j 16j 17j 18j 19j 20.

11. Banachalgebren2j 3Aj 5Cj 6Aj 8A; 11j 18.

19 InvarianteIntegration

auf lokalkorn- ~pakten G rupp en ~

...---=---------.

Leitfaden

18 Banachräumeund -algebren

16 TopologischeGruppen

17 Integrations­theorie

14 Funktionen­räume

r-------.~r----13 Vollstän­

d ige. Polnischeund Bairesche

Räume.:~~

.-------'--...., 10 ParakompakteRäume und

Metrisationssätze

2 TopologischeRäume und

stetigeAbbildungen