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Stahlbau Grundlagen 2
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Stahlbau Grundlagen
Der Grenzzustand der Stabilität:
Einzelstab- und Systemknicken
Prof. Dr.-Ing. Uwe E. Dorka
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 2
Eine Dachscheibe wird zum statischen System mit Lasten
Einführung
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 3
Ein möglicher Grenzzustand ist Einzelstabknicken
Einführung
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 4
Beobachtung im Versuch
Einführung
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 5
Stabilität ist Gleichgewicht im Nachbarzustand !!
Annahmen der elastischen Stabilitätstheorie in der Baustatik:
Geometrie:
Werkstoff:
Gleichgewicht: Formulierung am System im Nachbarzustand:
v ist sehr klein und unbestimmt
Elastisches Einzelstabknicken
Einführungsbeispiel: starrer Stab mit Drehfeder
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 6
Einführungsbeispiel: Starrer Stab mit Drehfeder
Elastisches Einzelstabknicken
Werkstoff:
Geometrie:
Gleichgewicht im Nachbarzustand:
Lösung für beliebige j:
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 7
Knicklast der Kragstütze (Eulerfall 1)
Elastisches Einzelstabknicken
Gleichgewicht im Nachbarzustand:
Elastizitätstheorie:
Homogene DGL II. Ordnung.
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 8
Lösung der homogenen DGL:
Eigenwert:
Lösungsansatz:
Einarbeitung der Randbedingungen:
Elastisches Einzelstabknicken
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 9
1. Lösung (Triviallösung):
2. Lösung für Knickbedingung:
hier: b = 2,0
Elastisches Einzelstabknicken
Knicklast:
Knicklänge:
Knicklängenbeiwert:
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 10
Elastisches Einzelstabknicken - Knickformen
Hinweis: Knickformen sind Schwingungsformen sehr ähnlich, da diese ebenfalls Eigenformen einer DGL 2. Ordnung sind. Schwingungen kann man sich meist gut vorstellen, deshalb auch Knickformen!
1.Knickform
maßgebend, da kleinste Knicklast!
2.Knickform 3.Knickform
VariableKnickform
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 11
Roik [1]
Die Eulerfälle des Knickens
2
2cr
cr
EIN
l
crl1
2crl
Der Knicklängenbeiwert b gestattet es, ein konkret vorliegendes Knickproblem auf das Knickproblem eines Ersatzstabes zurückzuführen. Als Ersatzstab wird der Eulerfall 2 herangezogen, bei dem b = 1,0 ist, also lcr = L
cot
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Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme
Beispiel: Hallenrahmen
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Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme
Antimetrisch Symmetrisch
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 14
Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme
1. Knickform - antimetrisch
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 15
2. Knickform - symmetrisch
Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme
1. Knickform - antimetrisch
Normalkraftverformungen
bei Biegegliedern werden
hier vernachlässigt, da sie
viel kleiner als die
Biegeverformungen sind.
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 16
Vereinfachtes System zur Berechnung der 1. Knickform
Normalkraftfreie Stäbe, oder Stäbe mit geringer Normalkraft lassen sich in vielen Fällen durch Rotations- oder Translationsfedern ersetzen.
Roik [1]
Federermittlung für vorliegendes Beispiel z.B. mit Arbeitsgleichung:
Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme
Beispiel: Hallenrahmen
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Vereinfachtes System zur Berechnung der 2. Knickform
Normalkraftfreie Stäbe, oder Stäbe mit geringer Normalkraft lassen sich in vielen Fällen durch Rotations- oder Translationsfedern ersetzen.
j j L L
M M dx M M dxEI EI
21 11
Federermittlung für vorliegendes Beispiel z.B. mit Arbeitsgleichung:
j R R
bb
EI EI
211
j j
REIc
b
1
Roik [1]
Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme
Beispiel: Hallenrahmen
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 18
Roik [1]
Typische Knickformen und Rückführung auf Einzelstäbe mit Endfedern bei Rahmen:
Die meisten üblichen Stabtragwerke
lassen sich auf den Einzelstab mit
Endfedern zurückführen, der somit
als „Grundsystem“ für das Systemknicken angesehen werden kann. Für seine „Grundfälle“ gibt es analytische Lösungen.
Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 19
Gleichgewicht am unteren Teilsystem:
Elastizitätstheorie:
Inhomogene DGL II. Ordnung:
Allgemeiner Lösungsansatz:
Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme
Lösung für den Grundfall mit 1 Drehfeder unten, 1 Wegfeder oben:
mit:
homogener Lösungsanteilpartikuläre Lösung als Taylorreihenentwicklung
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4 Unbekannte erfordern 4 Randbedingungen:
Elastisches Systemknicken - richtungstreue Systeme
Homogene Lösung:
Knickbedingung:
Knicklängenbeiwert:für Eulerfall 2
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Petersen [4]
Elastisches Systemknicken – richtungstreue Systeme
1.
2.
3.
Damit wird das Grundsystem für das Systemknicken durch den Eulerfall 2 ersetzt und der Eulerfall 2 zum generellen „Ersatzstab“.
Die wichtigsten Grundfälle findet man grafisch aufbereitet in Diagrammen zur Ermittlung von b, zum Beispiel:
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Bei bestimmten Systemen treten im Nachbarzustand systembedingte zusätzliche Abtriebskräfte auf, welche
die Knicklast beeinflussen.
verkleinert Abtrieb steigert Knicklast
steigert Abtrieb verringert Knicklast
Elastisches Systemknicken - Poltreue Systeme
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 23
Beispiel: Längswandverband der Halle
Elastisches Systemknicken - Poltreue Systeme
Ermittlung der Abtriebskraft Hstab,i
Bei mehreren zu stabilisierenden Stützen
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 24
Beispiel: Längswandverband der Halle
Elastisches Systemknicken - Poltreue Systeme
Länge a der Pendelstütze:
Pol
Grundfall 1Beispiel: Aussteifung der Längswand durch biegesteifen Rahmen
Grundfall 2
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Ableitung der Knickbedingung
Biegemomente im Nachbarzustand:
Elastizitätstheorie:
Lösungsansatz:
Der poltreue Ersatzstab
Pol
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Ableitung der Knickbedingung
Der poltreue Ersatzstab
Pol
Randbedingungen:
Knickbedingung mit:
b
L
R
cr
atan
L
1
11 2
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Abminderung von NcrErhöhung von Ncr
Gefährlicher Bereich!
Der poltreue Ersatzstab
Die Knickbedingung lässt sich in Abhängigkeit der Längenverhältnisse graphisch darstellen:
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Beispiel für gefährlichen Bereich poltreu:
Elastastisches Systemknicken - Poltreue Systeme
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 29
Abschätzung der richtungstreuen Knicklänge mit Grundfall 2 (poltreue Knicklänge des Rahmens):
Beispiel für gefährlichen Bereich poltreu:
Elastastisches Systemknicken - Poltreue Systeme
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 30
Inelastisches Knicken – mechanischer Hintergrund
schlanke Stütze
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 31
Inelastisches Knicken – mechanischer Hintergrund
schlanke Stütze
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 32
Inelastisches Knicken – mechanischer Hintergrund
mittelschlanke Stütze
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 33
Inelastisches Knicken – mechanischer Hintergrund
mittelschlanke Stütze
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 34
Inelastisches Knicken – mechanischer Hintergrund
gedrungene Stütze
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 35
Inelastisches Knicken – mechanischer Hintergrund
gedrungene Stütze
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 36
Inelastisches Knicken – mechanischer Hintergrund
schlanke Stütze
mittelschlanke Stütze
gedrungene Stütze
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 37
Normierte Knickspannungskurven nach DIN EN 1993-1-1 (6.3.1)
DIN EN 1993-1-1 (Bild 6.4)
Normierte Größen:
Ersatzstabverfahren
Abminderungsfaktor
bez. Schlankheitsgrad
Trägheitsradius
Bezugsschlankheitsgrad
Zuordnung der Querschnittformen zu den Knickspannungskurven nach DIN EN 1993-1-1 (6.3.1.2)
Ablesung oder aus DIN formelmäßig
Tab. 6.2
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 38
Reine Normalkraft – Ablauf des Verfahrens
2. Festlegung der maßgeblichen Knickspannungskurve und Ermittlung des Abminderungsfaktors c:
1. Ermittlung der Knicklänge Lcr = b·L
Ersatzstabverfahren
3. Nachweis:
c
für Querschnittsklasse 1-3
Prof. Dr.-Ing. Dorka | Fachgebiet Stahl- & Verbundbau 39
[1] Roik –Vorlesungen über StahlbauVerlag Ernst und Sohn, 2., überarbeitete Auflage, 1983
[2] DIN EN 1993-1-1: Bemessung und Konstruktion von StahlbautenBeuth Verlag, 2005
[3] Petersen –StahlbauVieweg, 3. Auflage, 2001
[4] Petersen –Statik und Stabilität der BaukonstruktionenVieweg, 2., durchgesehene Auflage, 1982
[5] Lindner und Gietzelt -Zweiachsige Biegung und Längskraft – ein ergänzter BemessungsvorschlagStahlbau 9/1985
[6] Roik und Kindmann -Das Ersatzstabverfahren – Eine Nachweisform für den einfeldrigen Stab bei planmäßig einachsiger Biegung mit DruckkraftStahlbau 12/1981
[7] Roik und Kindmann -Das Ersatzstabverfahren – Tragsicherheitsnachweise für Stabwerke bei einachsiger Biegung und Normalkraft Stahlbau 5/1982
Referenzen