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Inhaltsverzeichnis
Auf einen Blick!
Vorwort
So arbeitest du mit diesem Buch
Grundlagen der Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Prozentschreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
2 Relativer Vergleich von Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3 Promille . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
4 Darstellung in Diagrammen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
Test 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
Test 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
Die drei Grundaufgaben der Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1 Die drei Begriffe der Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Berechnung des Prozentwerts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Berechnung des Prozentsatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4 Berechnung des Grundwerts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Auf dem Rummel – Vermischte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
Test 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Test 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Prozentuale Veränderung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1 Vermehrter Grundwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2 Verminderter Grundwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
Auf die Plätze, fertig, los! – Vermischte Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3 Anwendungen der Prozentrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Test 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
Test 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
Fortsetzung nächste Seite
Inhaltsverzeichnis
Auf einen Blick!
Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
1 Die drei Begriffe der Zinsrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2 Jahreszinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3 Monats- und Tageszinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4 Zinseszinsen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Test 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
Test 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
Lösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
Autor: Michael Heinrichs
Vorwort
Auf einen Blick!
Liebe Schülerin, lieber Schüler,
die Prozentrechnung ist eines der zentralen Themengebiete im Mathematikunter-richt der Jahrgangsstufen 7 bis 10. Aber nicht nur dort, sondern auch im Alltag werden dir beim Einkaufen oder Zeitunglesen oft Prozentzahlen begegnen: Ist ein Rabatt von 10 % wirklich ein unschlagbares Angebot? Sind 25 % der Deutschen wirklich eine klare Mehrheit? Um Fragen wie diese zu beantworten und nicht zu-letzt um deinen Kenntnisstand immer wieder in Klassenarbeiten zu beweisen, ist es besonders wichtig, dass du sicher im Umgang mit Prozenten bist.
Das vorliegende Buch hilft dir, dein Wissen in der Prozentrechnung zu vertiefen und zu testen.
■ Klar strukturierte Schritt-für-Schritt-Erklärungen vermitteln die Lerninhalte so, dass du sie wirklich verstehst und auch anwenden kannst.
■ Zahlreiche Aufgaben helfen dir dabei, den neu gelernten Stoff zu festigen.
■ Tests zur Selbstüberprüfung geben einen Überblick über deinen aktuellen Leistungsstand.
■ Ausführliche Lösungsvorschläge sorgen dafür, dass du deine Rechenwege selbstständig kontrollieren und verbessern kannst.
Du wirst sehen, wenn du parallel zum Unterricht mit diesem Buch arbeitest, wird dir das Thema Prozente schon bald viel leichter fallen und du kannst stark in deine nächste Klassenarbeit gehen!
Viel Spaß beim Üben und viel Erfolg bei deinen Klassenarbeiten wünscht dir
Michael Heinrichs
Die drei Grundaufgaben der Prozentrechnung
27
Vertiefe dein Wissen!
4 Berechnung des Grundwerts
Lucia lädt sich eine Datei aus dem Internet herunter. Sie beobachtet den Lade-
balken, der nach 15 Minuten wie folgt aussieht: Datenübertragung
30 %
Wie lange dauert es, die gesamte Datei herunterzuladen, wenn die Download-
geschwindigkeit immer gleich ist?
WISSEN
Den Grundwert kannst du mit dem Dreisatz oder mithilfe der folgenden Formel
berechnen:
P 100G
p
⋅
=
Wie lange dauert es, die gesamte Datei herunterzuladen?
Lösung:
■ Rechnung mit dem Dreisatz:
Prozentsatz Ladezeit
: 3
⋅ 10
30 % 15 min
10 % 5 min
100 % 50 min
A
A
A
: 3
⋅ 10
In 15 Minuten wurden 30 % herunterge-
laden. Gesucht ist der Grundwert (100 %).
Du musst nicht immer über 1 % rechnen.
Hier bietet es sich z. B. an, über 10 % zu
rechnen.
■ Rechnung mit der Formel:
P 100G
p
100G
G 50 min
⋅
=
⋅
=
=
15 min
30
Der Grundwert ist gesucht. Bestimme den
Prozentwert und den Prozentsatz.
P = 15 min
p % = 30 %
Die Formel
P 100
pG
⋅
= ergibt sich aus der
Formel
G p
100P
⋅
= durch Umformen.
Es dauert 50 Minuten, die gesamte Datei herunterzuladen.
Die drei Grundaufgaben der Prozentrechnung
28
Vertiefe dein Wissen!
Felix hat Flecken in sein Heft bekommen. Kannst du die fehlenden Grundwerte im
Kopf berechnen?
a 10 % von sind 20 ;. b 2 % von sind 4 ;.
c 6 % von sind 60 ;. d 20 % von sind 100 E.
e 2,5 % von sind 25 E. f 12 % von sind 6 E.
Berechne jeweils den Grundwert.
18 ; sind 8 kg sind 25 km sind 30 E sind
a 10 % 40 % 50 % 30 %
b 25 % 8 % 20 % 5 %
c 9 % 80 % 12,5 % 6 %
Auf der rechten Seite findest du die Gesamtanzahl der Mit-
glieder verschiedener Vereine. Auf welchen Verein trifft
welche Aussage zu?
a 66 Mitglieder gehören der Leichtathletikabteilung an.
Das sind 22 % aller Mitglieder.
b 18 % der Mitglieder zahlen einen ermäßigten Beitrag.
Das sind immerhin 90 Personen.
c Mit 140 Mitgliedern – und damit 35 % aller Mitglieder –
ist die Volleyballabteilung die größte Sparte im Verein.
d Stolze 78 % aller Mitglieder und damit 273 Personen
erwarben dieses Jahr das Sportabzeichen.
Ergänze die Flächen jeweils zu 100 %.
Die drei Grundaufgaben der Prozentrechnung
29
Vertiefe dein Wissen!
Bei den abgebildeten Waren wurden die alten Preise überklebt. Kannst du
herausfinden, was die Produkte ursprünglich gekostet haben?
Bei der Klassensprecherwahl bekam Nora 18 Stimmen. Das waren 72 % aller
abgegebenen Stimmen. Wie viele Schüler haben gewählt?
Berechne jeweils die gesamte Ladezeit bei konstanter Downloadgeschwindigkeit.
a bisherige Ladezeit: 3 Minuten
b bisherige Ladezeit: 8 Sekunden
c bisherige Ladezeit: 32 Sekunden
Am Anfang eines jeden Schuljahres wird in der Goethe-Schule der Schüler-
sprecher gewählt. Jana bekam in diesem Jahr 85 % aller Stimmen.
Nur 30 Schüler stimmten nicht für sie.
Wie viele Schüler haben an der Wahl teilgenommen?
Frau Jülich schließt eine Hausratversicherung ab. Die jährliche Prämie liegt bei
153 E, das sind 1,7 ‰ der Versicherungssumme. Wie hoch ist die Versicherungs-
summe?
Die drei Grundaufgaben der Prozentrechnung
32
Teste dein Wissen!
40 Minuten Test 3
Erfinde jeweils eine Aufgabe zur Prozentrechnung, bei der …
a Grundwert und Prozentsatz gegeben sind und der Prozentwert gesucht ist.
__________________________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________
b Prozentwert und Prozentsatz gegeben sind und der Grundwert gesucht ist.
__________________________________________________________________________________________________________________________
__________________________________________________________________________________________________________________________
c Prozentwert und Grundwert gegeben sind und der Prozentsatz gesucht ist.
__________________________________________________________________________________________________________________________
_____ von 6 __________________________________________________________________________________________________________________________
Ergänze die Tabelle.
Prozentwert Grundwert Prozentsatz
a 80 kg 1 000 kg
b 900 kg 32 %
c 512 kg 64 %
_____ von 3
Wie viel Prozent des Kreises sind eingefärbt? Bestimme auch den Grundwert.
_____ von 2
Die drei Grundaufgaben der Prozentrechnung
33
Teste dein Wissen!
Eine große Grundschule hat 640 Schüler. Davon besuchen 96 Kinder die 1. Klas-
se, 128 besuchen die 2. Klasse, 192 Kinder gehen in das 3. Schuljahr und 224 be-
suchen das 4. Schuljahr.
Berechne den prozentualen Anteil der jeweiligen Klassenstufen.
_____ von 4
Herr Kurz hat sich ausgerechnet, wie viel er von seinem Gehalt wofür ausgibt.
Das Diagramm zeigt sein Ergebnis. Berechne seine Ausgaben, wenn er im Monat
1 600 E netto verdient.
_____ von 5
So lange habe ich gebraucht: _____________
So viele Punkte habe ich erreicht: _____________ 20 bis 15 14,5 bis 10 9,5 bis 0
Lösungen
90
Hast du’s gewusst?
Münchner Prozent
: 20 1 400 000 100 %
70 000 5 %
A
A
: 20
Die Allianz Arena fasst 5 % der 1,4 Mio. Münchner.
Beitrag Promille
: 75 000
⋅ 100
75 000 1 000 ‰
11 ‰
75
100 1,33 ‰
E
E
E
A
A
A
: 75 000
⋅ 100
Das Ganze entspricht 1 000 ‰.
Der Beitrag beträgt ca. 1,33 ‰ der Deckungssumme.
a 10 % von 200 ; sind 20 ;. Rechne beispielsweise auf 100 % hoch: 20 ; ⋅ 10 = 200 ;
b 2 % von 200 ; sind 4 ;. 4 ; ⋅ 50 = 200 ;
c 6 % von 1 000 ; sind 60 ;. 6 % von 100 ; = 6 ;
d 20 % von 500 E sind 100 E. 100 E ⋅ 5 = 500 E
e 2,5 % von 1 000 E sind 25 E. 2,5 % von 100 E = 2,50 E
f 12 % von 50 E sind 6 E. 12 % von 100 E = 12 E
18 ; sind 8 kg sind 25 km sind 30 E sind
a 10 %:
18 ; · 10 = 180 ;
40 %:
8 kg : 4 = 2 kg
2 kg · 10 = 20 kg
50 %:
25 km · 2 = 50 km
30 %:
30 E : 3 = 10 E
10 E · 10 = 100 E
b 25 %:
18 ; · 4 = 72 ;
8 %:
8 kg : 8 = 1 kg
1 kg · 100 = 100 kg
20 %:
25 km · 5 = 125 km
5 %:
30 E · 20 = 600 E
c 9 %:
18 ; : 9 = 2 ;
2 ; · 100 = 200 ;
80 %:
8 kg : 8 = 1 kg
1 kg · 10 = 10 kg
12,5 %:
25 km : 12,5 = 2 km
2 km · 100 = 200 km
6 %:
30 E : 6 = 5 E
5 E · 100 = 500 E
a Prozentsatz Mitglieder
: 22
⋅ 100
22 % 66
1 % 3
100 % 300
A
A
A
: 22
⋅ 100
⇒ Verein A
b Prozentsatz Mitglieder
: 18
⋅ 100
18 % 90
1 % 5
100 % 500
A
A
A
: 18
⋅ 100
⇒ Verein D
Lösungen
91
Hast du’s gewusst?
c Prozentsatz Mitglieder
: 35
⋅ 100
35 % 140
1 % 4
100 % 400
A
A
A
: 35
⋅ 100
⇒ Verein B
d Prozentsatz Mitglieder
: 78
⋅ 100
78 % 273
1 % 3,5
100 % 350
A
A
A
: 78
⋅ 100
⇒ Verein C
■ Luftmatratze:
Prozentsatz Preis
: 3
⋅ 10
30 % 4,50
10 % 1,50
100 % 15
E
E
E
A
A
A
: 3
⋅ 10
Die Luftmatratze hat ursprünglich 15 E gekostet.
■ Campingstuhl:
Prozentsatz Preis
⋅ 4 25 % 9
100 % 36
E
E
A
A ⋅ 4
Der Campingstuhl hat ursprünglich 36 E gekostet.
■ Sonnenschirm:
Prozentsatz Preis
: 3
⋅ 20
15 % 6,75
5 % 2,25
100 % 45
E
E
E
A
A
A
: 3
⋅ 20
Der Sonnenschirm hat ursprünglich 45 E gekostet.
Lösungen
92
Hast du’s gewusst?
Prozentsatz Stimmen
: 72
⋅ 100
72 % 18
1 % 0, 25
100 % 25
A
A
A
: 72
⋅ 100
Es haben 25 Schüler gewählt.
a Prozentsatz Zeit
: 3
⋅ 5
60 % 3 min
20 % 1 min
100 % 5 min
A
A
A
: 3
⋅ 5
Miss zuerst am „Streifendiagramm“ ab, wie viel Prozent bereits geladen wurden.
Die gesamte Ladezeit beträgt 5 Minuten.
b Prozentsatz Zeit
⋅ 5 20 % 8 s
100 % 40 s
A
A ⋅ 5
Die gesamte Ladezeit beträgt 40 Sekunden.
c Prozentsatz Zeit
: 4
⋅ 5
80 % 32 s
20 % 8 s
100 % 40 s
A
A
A
: 4
⋅ 5
Die gesamte Ladezeit beträgt 40 Sekunden.
Prozentsatz Schüler
: 3
⋅ 20
15 % 30
5 % 10
100 % 200
A
A
A
: 3
⋅ 20
Wenn 85 % für Jana gestimmt haben, haben
100 % – 85 % = 15 % nicht für sie gestimmt.
Insgesamt haben 200 Schüler an der Wahl teilgenommen.
Prozentsatz Prämie
: 0,17
⋅ 100
0,17 % 153
1 % 900
100 % 90 000
E
E
E
A
A
A
: 0,17
⋅ 100
1,7 ‰ = 0,17 %
Die Versicherungssumme beträgt 90 000 E.
wahr falsch
a Bei 2 Fahrten spart man 10 % im Vergleich zu 2 Einzelkarten. K✗ K 4 E – 3,60 E = 0,40 E; 4 E · 0,1 = 0,40 E
Bei 3 Fahrten spart man über 20 % im Vergleich zu 3 Einzelkarten. K K✗ 6 E – 5 E = 1 E; 6 E · 0,2 = 1,20 E
Am Mittwoch rechnet sich eine 10er-Karte nicht. K K✗ 1,50 E ⋅ 10 = 15 E
Wenn man 8-mal fahren möchte, ist es am günstigsten, eine 5er- und K K✗ eine 3er-Karte zu kaufen.
7,50 E + 5 E = 12,50 E
Lösungen
95
Hast du’s gewusst?
Test 3
Mögliche halbe bzw. ganze Punkte sind durch halbe (^) bzw. ganze (+) Häkchen gekenn-
zeichnet.
a z. B.: Lukas bekommt 30 E Taschengeld +. Wie viel Geld spart er, wenn er 20 %
+ von
seinem Taschengeld zurücklegt?
b z. B.: Vivien möchte eine Taschengelderhöhung von 10 % + haben, das wären 2 E
+. Wie
viel Taschengeld bekommt sie zurzeit?
c z. B.: Ein Snakeboard wurde von 80 E + auf 60 E
+ heruntergesetzt. Um wie viel Prozent
wurde das Snakeboard reduziert?
Prozentwert Grundwert Prozentsatz
a 80 kg 1 000 kg = =
80 kg 8
1000 kg 1008 % +
b 0,32 ⋅ 900 kg = 288 kg + 900 kg 32 %
c 512 kg ⋅
=
512 kg 100
64800 kg + 64 %
■ Prozentsatz: 1 25
25 %4 100
= =+
■ Grundwert:
Prozentsatz Euro
⋅ 4 25 % 15
100 % 60
E
E+
A
A ⋅ 4
Schüler Prozentsatz
: 640
⋅ 96
640 100 %
1 0,15625 %
96 15 %
128 20 %
192 30 %
224 35 %
+
+
+
+
A
A
A
A
A
A
: 640
⋅ 96
(1. Klasse)
(2. Klasse)
(3. Klasse)
(4. Klasse)
Prozentsatz Ausgaben
: 100
⋅ 20
100 % 1 600
1 % 16
20 % 320
40 % 640
25 % 400
E
E
E
E
E
+
+
+
A
A
A
A
A
: 100
⋅ 20
(Freizeit)
(Miete und Nebenkosten)
(Lebensmittel)
Herr Kurz gibt 320 E für seine Freizeit, 640 E für Miete und Nebenkosten, 400 E für
Lebensmittel und 1 600 E – 320 E – 640 E – 400 E = 240 E + für Sonstiges aus. +
