Stark konvexe Steuerungsprobleme

Math. Nachr. 77,363-360 (1977)

Stark konvexe Steuerungsprobleme

Von A. LANGENBACII in Berlin

(Eingegangen am 24.2.1975)

Das Minimum-Problem

Auf einem linearen normierten Raum 11 sei das Zielfunktional FC (11 +%) gegeben. F heifit auf dem niclitleeren Steuerbereich G s U konvex, wenn G konvex ist, d. h. u, v€G=>ccu+(l-a) vEG a€[(), 11, und wenn die Ungleichung

(1) fur alle u, V C G , a€[@, 13 erfullt ist. F heifit stark konvex auf G, wenn uberdies

F (GCU + (1 -a) v ) s a F ( u ) + (1 - a ) F(v )

fur u, vEG und ein y > O ist. Den Steuerbereich G & U nennen wir schwach kompakt, wenn man aus jeder Folge {u,}gG eine Teilfolge auswahlen kann, die schwach gegen ein Element uEG kanvergiert. I m reflexiven Banachraum U = ?B ist bei- spielsweise jede konvexe beschrlnkte und abgeschlossene Menge G in unserem Sinne schwach kompakt [ l ] . 1st G schwnch kompakt, so niiniiit jedes unter- halbstetige konvexe. Funktional auf G sein Minimum an [ 2 , 31. Fur die Losung von Optimierungsprobleinen ist die Konvexitilt des Zielfunktionals daher eine sehr erwiinschte Eigenschaft. Noch gunstiger sind die Voraussetzungen, wenn das Zielfunktional F auf seinem Steuerbereich G stark konvex ist. Der Vollstandig- keit halber gehen wir das fur uns wesentliche Resultat niit Beweis an.

Satz 1. FC (U --%) sei stark konvez und uizterhn1bbeschrtiizX.t auf G S 11. Dann ist jede Dlinimnlfolge auch Fundamentalfolge.

Beweis. Nach Voruucisetzung ist ---=a =inf F(u) , Mininialfolgen existieren

also. Sei {u,}SG eine Minimalfolge und zu E=-O F ( u , ) - = d + ~ , falls n ~ n , , . Fur n z no ist dann

U Eff

q. e. d.

Korollar 1.1. Bedingungen wie in Sat2 1. Uberdies sei F unterhalbstetig und G vollstandig. Dunn besitxt das Minimum-Problem far F azlf G genuu. eine Losung up. Jede Minimalfolge von F konvergiert gegen 2iF.

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354 Langenbach, Stark konvexe Steuerungsprobleme

Beweis. Sei {un}&G eine Minimalfolge und uFEG ihr Grenzwert. Dann gilt

d s F ( u ~ ) s l i m - F(un) = lim F(un) =d n-- n-r-

up ist daher Minimalelement. Die Einzigkeit von U p zeigt man wie ublich mit Hilfe von Mlischfolgen, (1. e. d.

Fur Zwecke der Optimierung und optimalen Steuerung reiclien die Hedin- gungen von Satz 1 hiiufig aus, da man dem Infimum des Zielfunktionals durch Berechnung einer Miniinalfolge beliebig nahe kommt, und da wegen der Kon- vergenz der Minimalfolge eine gewisse numerische Stabilitiit erwartet werden darf.

Zur Konstruktion von Minimalfolgen eignet sich das RITzsche Verfihren, wenn der Steuerbereich G S U gewisse Bedingungen erfullt. Fur eine beliebige Teilmenge 85 U bezeichne 2(%) die lineare Hiille von 137 in U.

Sat2 2. I n U miige eine ausgezeichnete Folge {wk} derart existieren, dap sP((wk}). G sei konvex, G,=Gn2((wi, w2, . . . , w,}). abgeschlossen far ulle n, GI + 0. FC (U --c '8) genage d e n Bedingungen von Satz 1. Dann gibt es zzc jedem n = 1, 2 , . . . genau ein u,EGn mit der Eigenschcsft F ( u , ) s F ( v ) far alle VEG,. Die Folge {u,} ist Minimalfolge far F auf G.

Beweis. F ist konvex und seine Einschrknkung auf .I({wi, w2, , , . , w,~}) daher stetig [a]. Nach Korollar 1.1 nimmt diese Einschriinkung ihr Minimum in genau einem u,EGn an. Nach den Voraussetzungen ist --<d=inf F(u) .

Offenbar fiillt die Folge (F(u,)} monoton und besitzt daher einen Grenzwert. 1st {v,} eine beliebige Minimalfolge fur F auf G, so gilt vnCC,, und folglich d s s F(umn) s F(vn). {u,} ist daher ebenfalls Minimalfolge, g. e. d.

Die Elemente un der in Satz 2 konstruierten Minimalfolge heillen n-te RITzsche Niiherungslosungen des Minimum-Problems fur F auf G.

Horollar 2.1. Far eine ausgezeichnete Folge {wk}&U gelte . I ( { w , } ) n G ~ G ; G

F E (U -+%) genqe den Bedingungen von Satz 1 und sei fiberdies oberhalbstetig.

U€Q

sei konvex, G, ubgeschlossen far alle n, Gi + 0.

Dann liefert das RITzsche Verfahren eine Minimalfolge far F auf G.

Beweis. Nach Satz 2 ist die Folge der RITzschen Niiherungslosungen {un} eindeutig bestimmt und liefert eine Minimalfolge fur F auf G' =G n i!({w,}). Das Infimum von P iindert sich jedoch bei der Einschriinkung von G auf G' nicht, da & = G n 2 ( { w k } ) ~ G und F oberhalbstetig auf G. W'are niimlich fur ein

& E>O inf F ( u ) = d ' = d + ~ und inf F(u)=d , so giibe es ein vCG rnit F ( v ) s d + - .

U€Q' U€B 2 Fiireine Folge (vn}&G', llvn-vll -0 fknden wir F ( v ) slim P(v,), also inf F(u) -=a'

n-- U€o'

im Gegensatz zur Annahme. {u,} ist daher auchMinimalfolge fur F auf G, q. e. d.

Langenbach, Stark konvexe Steuerungsprobleme 355

Das Steuerproblem

5 = [ O , TI sei ein festes Zeitintervall, 2 ein linearer norniierter Raum und C(s, 2 ) der Raum der stetigen Abbildungen von S in 2 (Wege in 2). Mit der Maxi mum-Norm

(3)

ist C(S, X) selbst linearer norniierter Raum, der Trajektorienraum, der die Bcwegungen eines gesteuerten Systems beschreibt. uber die Art der Steuerung sintl fur die folgenden Betrachtungen keine spezifischen Annahmen notig. W’ir konnen uns daher vorstellen, da13 die Werte der Steuerungen in einem linearen normierten Raum ’$) liegen und da13 die Steuerungen selbst Elemente des Itaumes U(S, 9 ) sind. In der Literatur tritt haufig der Raum U = L , ( S , 9 ) mit der Norm

1

als Steuerungsraum auf, vgl. [5]. Nichtstetige Steuerungen werden bei der Modellierung von Schaltvorgangen bevorzugt. Die Abhangigkeit der Trajektorie x von der Steuerung uE U werde durch die Steuergleichung

(5) z = K ( r , u)

(6) f(z[uI, u ) = W )

gegeben, die Qualitat der Steuerung durch das Zielfunktional

bewertet. Gesucht ist eine Steuerung u € G s U, die dem Zielfunktional (6) einen minimalen oder fast minimalen Wert erteilt. I n der Einschriinkung G sind alle moglicherweise nichtlinearen Zusatzbedingungen berucksichtigt.

I n wichtigen Fallen liiBt sich das so formulierte Steuerprobleni auf das in Satz 1 und Korollar 1.1 geloste Minimum-Problem zuruckfuhren. Dazu denken wir uns den Raum C(S , 2 ) mit einer Halbordnung > versehen, die den ublichen Axiomen geniigt.

Definition 1. Der durch die Steuergleichung ( 5 ) definierte Operator r[-]c E (G-C(8, X)) heil3e konvex (konkav), falls G konvex und ( 7 ) 2: [GczL+(l-a) W] <a~[zt]+(l-a)r[v] bzw . (8) z [azt + (1 - a ) w] > a:[u] + (1 -a ) x(w1 fur 21, wEG, aE[O, 13.

Voraussetzungeiz : Satz 3. Das Zielfunktional F ( u ) =f(2[2(]. u), f~ (C(S , 2 ) xG! -+a) erfalle folgende

i ) G sei konwez, f ( a x + ( l - a ) y , au+( i -a ) v)Saf(x, u ) + ( l - a ) f ( y , v) x, y € EC(S, X ) 21, vEG, aE[O, 13.

23


iiia) 34.1 sei konvex b) x[-] sei konkav.

l7nte.r den Bedingungen i, iia, iiia bzw. i, iib, iiib ist F konvex. Reweis. Es gilt

F ( a u + ( I - a ) v ) =f (x[au + ( I -a ) v] , au + (I -a) v ) ~f (ax[.] + ( I -a) x[v] , au + (1 -a ) v) s a f ( r [ u l , ~ ) + ( l - a ) f ( x [ v I , V)=cd’(U)+(l-a) F ( v ) ,

g . e. d. Unmittelbar aus dem Beweis erhalten wir

Korollar 3.1. Bedingungen wie in Saiz 3. Uberdies gelte

far x, y€C(S, X), u, VEG und ein y > O . Dann ist F € ( G - 8 ) stark konvex. Konvexe Steuerprobleme mit linearen bzw. linear-konvexen Steuergleichungen

wurden von R. KLUGE untersucht [5]. Fur wesentlich nichtlineare Steuer- gleichungen mit Volterraoperatoren zeigen wir die Konvexitiit des Operators x[.] und kommen damit zu einer weiteren Klasse konvexer bzw. stark konvexer Steuerungsprobleme.

Steuergleichungen mit Volterraoperatoren

I n diesem Abschnitt sei X = W gewhhlt, und die Steuergleichung hat das Aussehen

(9) 1

x ( t ) = g ( t ) + J k( t , z, u, x ( t ) ) dz t € S . 0

Da die Gleichung (9) einen Operator x[*]E(G-C(S, W)) definieren soll, wobei G eine konvexe Teilmenge des Steuerraumes U darstellt, formulieren wir zuniichst einige Einzigkeits- und Existenzbedingungen.

Sei d = { ( t , t)E’W; t , ~€8). i) Fur u € G und x c C ( S , !TIn) sei die Vektorfunktion a€ ( A +W), a ( t , t ) =

= k ( t , t, u, x(t)) definiert, ai(t, .) mel3bar fur alle K S , ai(. , z) stetig fur fast alb zES i=l, 2 , . . . , n, la.(t, t)l s b ( t ) , b L-inte- grierbar auf S.

IW, z, u, X ) - k ( f , z, u, Y)I SLulZ-Yl fur fast alle t ~ ( 0 , t ) und alle t € S x, y € ’ V niit einer von diesen Gro13en unrtbhangigen Konstante Lu.

I I ii) Fur uEG gelte die Lipschitzbedingung

1.1 bezeichnet die Norm in W.


Sate 4. Unter den Bedingungen (E) ist der Operator KO€ (C(S, 'illn) -47(S, $ I n ) ) , 1

K,F(t) = J k(t,. t, u, x ( t ) ) d t far jedes uEG 0

rnit einem Gewicht e-", t c A .vtrik.t kontraktiv.

Beweis. Aufgrund der Voraussetzung Ei) bildet KO den Rauin C(S, W) i n sicli ab. Denn fur beliebige t,, tCS gilt

1 tn [Knx(t,)lj= J k,(tn, t, u, .(TI) d t + J ki(tn, t, u, .(TI) d t

i = I , 2, . . . , n . 0 1

Der Satz von LEBESGUE und die absolute Stetigkeit des LEBESGUE-Integrals sichern den Grenzubergang fur t , -t und liefern die Stetigkeit der Vektorfunktion KG(t) . Weiterhin gilt

le-" [K,,z(t)-K,,y(t)]/ s e - A t /k.(t, t, u, x( t ) ) -k ( ( t , t, u, y ( t ) ) l d t 0 i

1

0

wenn wir (IxJI -max e -" /x ( t ) ( setzen, und folglich q- t € S

LU I l K ~ x - K n Y l l c ~ ~ ~ Ilx-~ll~;, 9

q. e . d.

Korollar 4.1. Unter den Voratissetztingen (E) besitzt die Steuergleichung ( 9 ) far jedes uCG und jedes gCC(S, 8") genau eine Loszing x:EC(S, W). Diese Losu~zg hangt bei festem tiEG stetig won g€C(S, '3") ab.

Beweis. Mi t K O ist auch der Operator KC(C(S, W)-C(S, W)), Kz=K,,x+g strikt kontraktiv. Nach den1 Banachschen Fixpunktsatz existiert dann genau eine Lowng der Gleichung x = K x oder (9). Zu g , h € C ( S , W ) und x=g+K,p, y = h + K,,y errechnen wir

IIx -Yllc, 5 119 -'h + Knx - KnYllcA

'=llg-hllq+ (L"~~)11~-Yllc,~

g . e. d.


Konvexe Liisungen der Steuergleichung

f i (4 r, 4 sagiv , t, y) + (1 -4 hi(t, Z, 2)

far fast alle T E ( O , t ) und alle tES , i=l , 2 , . . . , n, falls z i s a y i + ( l - a ) zi aE[O, 11. i ) Dann gilt

xi(t)<ayi(t)+(1-a) zi(t) i=l , 2 , . . . , n t E S . ii) Ist die erste Gleichung in (10) in einer Umgebung von xoCC(S, '3") losbar in

C ( S , W), und hiingt die Losung dort stetig von xo ab, so gilt unter der schwdcheren Vmaussetzung xoi(t) syo i ( t ) i = 1, 2, . . . , n t € S

xi ( t ) s ayi(t) + (1 -a) z i ( t ) a € [0, 11 . Beweis. 1st die Aussage i) nicht richtig, so gibt es wegen der Stetigkeit der

Losungen ein toe (0, '1) mit der Eigensohaft, daB

xj(t)-=ayj(t)+(l-a) z j ( t ) & [ O , to) j=L 2, . . . , n , xi(t,,) =ayi(to)+ (1 -a) Z i ( t 0 ) fur ein i E (1, 2, . . . , n) .

Aus (10) errechnen wir aber

ayi(tn) + (1 -a) zi(tn) -x i ( fn) =Yoi(tn) -xoi(to)

+ J {qi(to, t, to + (1 -a) hi(tn, t, z(t)) -fi(tn, t, .(t))> d t r o .

0

Die Aussage i) ist daher richtig. Unter den Voraussetzungen der Aussage ii) konnen wir die erste Gleichung in (10) ersetzen durch die Gleichungen

0

die fur m Zmo je eine eindeutig bestimmte Losung d m ) E C(S, '3%) besitzen, und fur die lim IIx(m)-xllc=O gilt. Da fur diese m gemhB Aussage i )

m-a z ~ " ) ( t ) < a y i ( t ) + ( i - a ) z , ( t ) i = I , 2 , . . . , n t E S ,


erhdten wir die Aussage i i ) durch Grenzubergang m - a . Legen wir nun die Halbordnung in C(S, W) fest. Es sei fur x , yCC(S, W) (11) x < y o l r i ( t ) s y i ( t ) i = l , 2 , . . . , n t E S .

monofon i n x und konvex in folgendem Sinn:

i ) i = 1, 2, . . . , n f a r fast alle tE (0 , t ) tcnd alle tES, uEG, falls x i s y , z, ii)

f a r fast alle tE(0, t ) ztndalle tES, u, vEG, x , y E W . G S U seikonvexund gcC(S, W). Dann is1 der durch die Steuergleichung ( 9 ) definierte Operator X [ - ] E ( G -C(S, %")) konver.

Satz 6. Der Kcrn k der Steuergleichung ( 9 ) erftille d ie Bedingicng ( E ) , sei tiberdies

k , ( f , t, w, 2) s ki(t , t, 21, y )

ki ( t , z, ail + (1 -a ) V , ax+ (1 -a) y ) sak , ( t , t, u, x ) + ( l - a ) k, ( t , t, v , y )

i= l , 2 , . . . , n.

i= l , 2 , . . . , n

Beweis. Setzen wir in Lemma 1 fur aE[O, 11 r(t) = r [au + ( 1 -a) V ] ( t )

t

= g ( t ) + J k ( t , t, air + ( I -a ) v, ~ ( 7 ) ) d t , 0

Y ( 4 =r[uI ( t ) 1

=g(t)+ J k ( 4 t, 2(, y b ) ) d t , 0

z ( t ) =r[v] ( t ) t

= g ( t ) + [ k( t , t, V , z(.)) at. 0'

Nach Korollar 4.1 besitzen diese Gleichungen genau je eine Losung in C(S, W). Mit den Funktionen f, g, hE ( A xW-'3In)

f ( t , t, z) = k ( t , t, at&+ (1 - 5 ) v , x ) ,

h(t, t, Z) =k(t, t, V , Z)

7, Y) = k(t, t, u, Y ) 9

erfullen diese Gleichungen die Aussage ii) in Lemma 1. Denn die erste dieser Gleichungen ist laut Korollar 4.1 fur jedes x,,=gEC(S, '$In) eindeutig losbar, und die Losung hiingt stetig von g ab. uberdies ist fur

x i s a y , + ( l - a ) z i i = l , 2 , . . . , n aE[O, 11

f q ( t , t , r ) = k i ( t , t , a u + ( 1 - a ) v , x ) ~ k ~ ( t , t , a u + ( i - a ) v,ay+(i-oc)z)

zak i ( t , t, u, y )+(1 -a ) k,(t, t, v, z)=agi(t, T, y ) + ( l - a ) hi(t, t, z )

fur fast alle t E ( O , t ) und alle tES i = l , 2, . . . , n. Laut Aussage ii) in Lemma 1 ist dann

oder x i ( t ) sayL( t )+(1-a)z i ( t ) i = l , 2 , . . . , a tcS

z [au + ( 1 -a) v] < ax[u] + (1 -a) z[v] , g . e. d.


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DDR-1186 Berlin Lubbenauer Weg 9

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