Statistik II 1. Einführung - Fachgebiet Statistik · Statistik II 1. Einführung 2/34. Einleitung Wahrscheinlichkeitsaussagen Organisatorisches Beispiele Anwendungsgebiet und Überblick

EinleitungWahrscheinlichkeitsaussagen

Organisatorisches

Statistik II1. Einführung

Prof Dr. Andreas Behr

Statistik II 1. Einführung 1/34


Organisatorisches

Inhaltsverzeichnis

1 EinleitungBeispieleAnwendungsgebiet und ÜberblickMotivation

2 WahrscheinlichkeitsaussagenDefinition von WahrscheinlichkeitBeispieleParadigmaFazit

3 Organisatorisches



Organisatorisches

BeispieleAnwendungsgebiet und ÜberblickMotivation

Einleitung



Organisatorisches


Beispiel 1

Ich biete Ihnen folgendes Spiel an:

Sie zahlen mir 4 Euro

werfen mit einem Würfel

und erhalten von mir die Augenzahl in Euro



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Beispiel 2

Sie interessieren sich für den Anteil der Akademiker (20%)unter allen in einem Land lebenden erwachsenen Personen(60 Mio.)

Sie befragen 10.000 zufällig ausgewählte Personen (d.h.0.0167%)

In der Stichprobe finden Sie mit einer Wahrscheinlichkeitenvon 95% einen Anteil an Akademikern, ...

der zwischen 19.2 und 20.8% liegt (unter Vernachlässigungdes Korrekturfaktors für das Ziehen ohne Zurücklegen)⎡⎢⎢⎢⎢⎣0.2−1.96 ·

√0.2 ·0.810000

;0.2 + 1.96 ·√

0.2 ·0.810000

⎤⎥⎥⎥⎥⎦ = [0.192;0.208]



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Beispiel 3

Sie betrachten die empirische Verteilung von Aktienrenditen

S&P 500, Density of monthly rate of return

Time covered: 1/1871 − 05/2005

Monthly rate of return

Den

sity

02

46

810

1214

−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4



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Beispiel 3

glauben, dass diese das Ergebnis eines ’Zufallsprozesses’sind

und überlegen sich einen Zufallsgenerator, dessenBetätigung ’Aktienrenditen’ erzeugen würde, die mit dentatsächlich beobachteten Renditen Ähnlichkeiten aufweisen

Z.B. könnten Sie sich für die Normalverteilung entscheiden ...



Organisatorisches


Beispiel 3

S&P 500, Density of monthly rate of return

Time covered: 1/1871 − 05/2005

Monthly rate of return

Den

sity

02

46

810

1214

−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4



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Anwendungsgebiet

Das sind die drei wesentlichen Anwendungsgebiete derWahrscheinlichkeitsrechnung

Glücksspiele

Stichproben aus endlichen Grundgesamtheiten

Statistische Modelle, d.h. ausgedachte Zufallsgeneratoren,die beobachtete Sachverhalte ’hervorgebracht’ haben sollen



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Überblick

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung und dieinduktive StatistikDeskriptive Statistik

Charakterisierung einer vorliegenden Datenmenge

StochastikWahrscheinlichkeitsaussagen über ’den Datenzugrundeliegende Gesamtheiten oder Prozesse’



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Motivation

Wahrscheinlichkeitsaussagen begegnen Ihnen allerorten

ABER: ganz überwiegend liegt eine sprachlicheVerwechslung vor

Es handelt sich oft tatsächlich nicht umWahrscheinlichkeiten, sondern einfach um relativeHäufigkeiten



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Motivation

Ein Beispiel:Von 1000 Personen im Alter von 60 Jahren sind X% aneinem Herzinfarkt gestorbenOft wird dieser Anteilswert als Wahrscheinlichkeitinterpretiert:’Die Wahrscheinlichkeit für eine 60-jährige Person einentödlichen Herzinfarkt zu erleiden beträgt X%’



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Definition von WahrscheinlichkeitBeispieleParadigmaFazit

Wahrscheinlichkeitsaussagen



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Wahrscheinlichkeit: Ein intuitives Beispiel

Wenn wir aus einer Kugelurne mit einer roten und einerweißen Kugel zufällig (blind, nach Mischung) eine Kugelziehen, dann beträgt die Wahrscheinlichkeit für die Ziehungeiner roten Kugel gerade 1/2

Analog: Münzwurf

D.h. wir nutzen die Vorstellung eines einfachenZufallsgenerators um ’Wahrscheinlichkeit’ zu definieren



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Wahrscheinlichkeitsdefinition nach Laplace

Pr(A ) =Anzahl der gunstigen Ereignisse

Anzahl der gleichmoglichen Ereignisse

Wahrscheinlichkeit wird also mit Hilfe eines gedachtenZufallsgenerators definiert:

Wenn wir ’zufällig’ aus einer Urne mit n Kugeln ziehen, vondenen r rot sind und wir das Ziehen einer roten Kugel alsgünstiges Ereignis A betrachten, dann beträgt dieWahrscheinlichkeit für A gerade r/n .



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Wahrscheinlichkeitsdefinition nach Laplace

Im Nenner dieser Definition steht ’gleichmöglich’

D.h. wir müssen schon wissen, dass alle Ereignisse diegleiche Wahrscheinlichkeit haben, gleichmöglich sind

Ein Würfel kann z.B. asymmetrisch sein, wie lautet dann dieWahrscheinlichkeit für eine 6?

Hier wird mit einer weiteren Wahrscheinlichkeitsdefinitiongearbeitet



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Wahrscheinlichkeitsdefinition nach von Mises

Pr(A ) = limn−→∞

rn

n ist die Versuchszahl und r die Häufigkeit des Auftretensdes interessierenden Ereignisses

Wahrscheinlichkeit wird als Grenzwert der relativenHäufigkeit definiert

D.h. wenn wir ’unendlich’ oft würfeln, entspricht die relativeHäufigkeit (Anteil der Sechsen) der Wahrscheinlichkeit eineSechs zu würfeln

Tatsächlich können wir nur sehr oft würfeln und daher nureine Schätzung der Wahrscheinlichkeit erhalten



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Objektive und subjektive Wahrscheinlichkeiten

Objektiver WahrscheinlichkeitsbegriffEine Kugelurne mit einem Anteil 𝜋 an roten Kugeln

Es wird gemischt und es soll blind gezogen werden

Die Wahrscheinlichkeit eine rote Kugeln zu ziehen beträgtdann 𝜋

Diese Wahrscheinlichkeit ist durch die objektiveBeschaffenheit der Urne, d.h. die Kugeln, deren Farben, usw.bestimmt



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Objektive und subjektive Wahrscheinlichkeiten

Subjektiver WahrscheinlichkeitsbegriffJemand, der den Anteil 𝜋 nicht kennt, kann eine Vermutungdarüber anstellen

Offenkundig existiert diese subjektive Wahrscheinlichkeitnur im Kopf dieser Person (degree of belief)

Insbesondere, wenn Wiederholungen oder eine Inspektionder physischen Beschaffenheit (Zufallsgenerator) unmöglichsind, finden subjektive Wahrscheinlichkeiten Anwendung



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Arten von Wahrscheinlichkeitsaussagen

’Die Wahrscheinlichkeit mit einem fairen Würfel höchstenseine Drei zu werfen beträgt 3/6’

’Aufgrund der Kenntnis der Grundgesamtheit kann für eineStichprobe gesagt werden, dass der Anteil mit einerWahrscheinlichkeit von ...% in dem Intervall ... liegt’

’Die Wahrscheinlichkeit, dass der Kurs der Aktie XY heutesteigt, beträgt ...%’



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Beispiel 1

’Die Wahrscheinlichkeit mit einem fairen Würfeln höchstenseine drei zu werfen beträgt 3/6’

Hier bezieht sich die Aussage auf die Ausgestaltung einesechten Zufallsgenerators

D.h. jemand schüttelt den Würfelbecher, so dass die Lagedes Würfels regellos ist und jede Seite des Würfels diegleiche Wahrscheinlichkeit hat, oben zu liegen zu kommen



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Beispiel 2

Es herrscht ein rein deskriptives Interessen an einerGrundgesamtheit vor

Bekannt ist lediglich eine Teilgesamtheit (Stichprobe)

Zufällig ist hier nur, welche Personen in die Stichprobegelangen

Aufgrund der zufälligen Auswahl können ausgehend von derGrundgesamtheit Wahrscheinlichkeitsaussagen über dieStichprobe gemacht und auf Basis einer StichprobeVermutungen über die Grundgesamtheit angestellt werden



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Beispiel 3

’Die Wahrscheinlichkeit, dass der Kurs der Aktie XY heutesteigt, beträgt X%’

Tatsächlich bestimmen unzählige soziale Ereignisse dieEntwicklung des Aktienkurses (Äußerungen einesVorstandsmitglieds, die Geschäftsentwicklung eines Kunden,...)

Üblich ist die Annahme, dass auch das Verhalten vonAkteuren determiniert ist (keine situative Handlungsfreiheit,keine ontologische Unbestimmtheit)



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Beispiel 3

Wir ignorieren nun alle diese Bestimmungsgründe unddenken uns stattdessen, dass über die Rendite mit einemZufallsgenerator entschieden wird

D.h. wir interpretieren soziale Ereignisse, die aufgrundsozialer Prozesse entstehen, so, als ob diese mit einemZufallsgenerator erzeugt würden

In diesem Fall: Jemand zieht eine Kugel aus einer Urne mitX% roten Kugeln

D.h. man weiß, dass hier tatsächlich die Ereignisse nicht miteinem Zufallsgenerator erzeugt werden, man tut lediglichso, als ob ...



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Paradigma

Dieses ’als ob’ stellt das herrschende Paradigma in derempirischen Wirtschaftsforschung dar

Soziale Prozesse werden stochastisch ’modelliert’

D.h. man denkt sich Zufallsgeneratoren aus, für die gilt,dass die vorliegenden Sachverhalte (und Daten darüber) soaussehen, als ob sie mit einem Zufallsgenerator erzeugtworden wären

Unter erkenntnistheoretischer Perspektive ist dieseForschungspraxis nicht unproblematisch



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Paradigma

Diese ’pragmatischen Sichtweise’ wird prägnant von Spanosformuliert:

’Indeed, an important task for the modeler is to identify theobservable phenomena which can be profitably viewed as

stochastic phenomena. The question of whether there existssuch a mechanism or not is only of methaphysic interest.’



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Fazit

Wir wollen festhalten: Wahrscheinlichkeitsaussagen können sich

direkt auf Ereignisse beziehen, die mit einemZufallsgenerator erzeugt werden

auf Grundgesamtheiten beziehen, aus denen mit Hilfe einesZufallsgenerators Einheiten ausgewählt wurden

auf soziale Prozesse und durch diese entstandeneSachverhalte beziehen, die so interpretiert werden, als obdiese mit einem Zufallsgenerator erzeugt würden(Ökonometrie, Probabilistische Sozialstatistik)



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Fazit

Wir sollten uns daher mit grundlegenden Kenntnissen derStochastik vertraut machen, wenn

wir uns für Glücksspiele interessieren und/oder

wir Aussagen über Grundgesamtheiten aufgrund vonStichproben machen wollen (’echte Stichprobentheorie’)

wir soziale Prozesse stochastisch ’modellieren’ wollen, d.h.so tun wollen, als ob soziale Sachverhalte mitZufallsgeneratoren erzeugt werden



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Klausur

5 gleichgewichtige Aufgaben

Keine Lehrbücher, keine eigenen Unterlagen

Kleine Formelsammlung (wird bereitgestellt)

Keine Fragen zu R oder anderer Software



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Literatur

Grundlegend: Karl Mosler, Friedrich Schmid,Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik,Springer, 2004

oder Walter Assenmacher, Induktive Statistik, 2. Aufl.,Springer, 2009

oder Werner Neubauer, Egon Bellgardt, Andreas Behr,Statistische Methoden, 2. Aufl., Vahlen, 2002



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Ergänzende Literatur

Aris Spanos, Probability Theory and Statistical Inference,Cambridge, 1999.

Andreas Behr, Ulrich Pötter, Einführung in die Statistik mit R,2. Auflage, Vahlen, 2010.

Götz Rohwer, Ulrich Pötter, Wahrscheinlichkeit, Begriff undRhetorik in der Sozialforschung, Juventa, 2002.



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Übungen

Die Übungen sollen helfen, den in der Vorlesungbehandelten Stoff zu verstehen

Die Übungen beziehen sich inhaltlich auf die jeweilsvorherige Vorlesung

Die Übungen sind keine ’Klausurvorbereitungskurs’, Ziel istnicht die automatisierte Anwendung von Lösungsschemata



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Gliederung

1 Einführung2 Kombinatorik3 Grundlagen der W.-Rechnung4 Zufallsvariablen, W.-Verteilung5 Maßzahlen zur Charakterisierung von W.-Vert.6 Spezielle diskrete Verteilungen7 Spezielle stetige Verteilungen8 Gemeinsame Verteilungen9 Stichproben und Grenzwertsätze

10 Schätzverfahren für Parameter11 Intervallschätzung12 Hypothesentests


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