STATISTISCHE ABLEITUNG DER GEQUANTELTEN STRAHLUNGS- UND GASENERGIE

r o n

K. F. NOVOBXTZKY

PI~YSIKALISCItES INSTITUT DER ROLAND E•TVOS UNIVERSIT~.T, BUDAPEST

(Eingegangen" 4. I r . 1959)

Zweck der vorliegenden Arbeit ist nachzuweisen, dass die Quantelung keinen Bruch mit der klassischen Thr bedeutet, sondern voto NERNSTschen Hauptsatz geradezu ge- fordert wird. Das Strahlungsgesetz, die Forro des Strahlungsquantes sowie auch jene der Gasenergie folgen zwangsweise ohne besondere quantenhafte Annahme. Es stellt sich heraus, dass fª die Strahlung die BOLTZ~ANNsche Statistik massgebend ist.

Aro Beispiele der Strahlung und des einatomigen Gases wird festgestellt, dass die voraussetzungslose Anwendung der BOrTZMA~Nschen Statistik durch die kategorische Forderung des dritten Hauptsatzes der klassischen Thermo- dynamik automatisch zur Quantelung fª Ein erster Versuch in dieser Richtung, der voto Verfasser an anderer Stelle verSffentlicht wurde, wird durch die vorliegende Arbeit ron willkª Annahmen befreit und auf feste Grundlagen gestellt.

Man pflegt in der PLANCKschen Ableitung des Strahlungsgesetzes die Geburt der Quantentheorie zu erblicken. Tats~ichlich bedeutete die besondere Annahme, dass die Energie des Oszillators gequantelt sei, einen Bruch mit der klassischen Physik. Diese Annahme wird hier vermieden.

Man denke sich einen evakuierten Hohlzylinder vom Volumen V mit vollkommen reflektierenden Innenw~inden. Die eine Endfl/iche sei ein beweg- licher Kolben. Der Raum werde mit monochromatischer Strahlung, deren Frequenz zwischen v und v ~ dv liegt, angefª und dann abgeschlossen. Die Temperatur der Strahlung sei T, ihr Energiebetrag U. Es bilden sich dann stehende Wellen aus, deren Anzahl nach dem bekannten WEYLschen Satze

N = 8~ Vv~ d v r

betr~igt. Da bei stehenden Wellen ron einem Impuls der Strahlung nicht gesprochen werden kann, wird die Zustandswahrscheinlichkeit W der Strahlung dadurch bestimmt, dass man abz~hlt, auf wie viele Weisen die einzelnen stehenden Wellen als Energietr~iger den verschiedenen Energieniveaus zuge- teilt werden k~nnen. Als Gleichgewichtszustand wird jene Verteilung betrach-

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te t , die aro ifftesten vorkommt und demnach einem Maximum von IV oder der Entropie S entspricht. Die Energieniveaus werden erhalten, indem man die Energie U in Stufen ron der Hiihe A U aufteilt. Gewiihnlich wird die Stufen- h6he schon von Anfang ah als unendlich klein betrachtet. Etwas allgemeiner ist der Vorgang, wenn man die Hiihe 8 vorerst als endlich voraussetzt und erst aro Schlusse der Rechnung zu lin e -+ 0 ª Das bedeutet natª keine besondere Annahme. Es sei daher U = Me, dann werden die Energie- niveaus

O. ~ , 1 . ~ , 2 . ~ . . . i . e . . . M . ~ . (2)

Wir betrachten die stehenden Wellen als unterscheidbar, die zustiindige Statistik ist demnach die BOLTZMAr~r~sche. Die auf die einzelnert Niveaus entfallende Anzahl der Energietriiger sei der Reihe nach

No, Ni, N 2 �9 . . Ni . �9 NM. (3)

Diese Verteilung l~isst sich, wie bekannt, auf

N! 1V : (4)

No!N1! . . . Ni! . . . N M !

Arten verwirklichen. Die entsprechende Entropie wird nach der BOLTZMANr~-- PLAr~CKschen Gleichung

M S = k { l g N ! - - VlgN~!}

i = 0

I~Iach der STmmr~Gschen Formel lg n! = n (lg n - 1) wird daraus

/M

S= k{.~ls!V- 2;N~lgN~}. 0

Zu beachten sind die Bedingungsgleichungen

M M ~,v N i = . N , Z , N i i e = U O 0

Fª man die Bezeichnung wi : - - ein, so lauten sie N

M M U ~ ~ , = 1, Z q . . . . .

O o . ~ 8 (5)

STATISTISCHE ABLEITUNG DER GEQUANTELTEN STRAI~LUNGSENERGIE 409

Die Entropie S, durch die w i ausgedrª n immt die wohlbekannte Forro an :

NI

S = - - k N ~Y wi lg wi. (6) O

Um das Maximum der Entropie zu erhalten, bildet man die Variation ~S, f ª die mit den LAGRA•GEschen Multipl ikatoren -- k N a bzw. -- k N ~ multi- plizierten vari ierten Gleichungen (5) hinzu und setzt gleich Null. Man erh/ilt dann

M

- - k N ~, { l g w , A- 1 -4-a-4- i ~ } � 9 1 = O. (7) 0

Daraus folgt e-i~

l g w ~ = - - l - - a - - i / ~ und w~-- , (8) Z

wo Z = el+aist . Die Zustandsumme Z ergibt sich aus der ersten GI (5)zu

M

Z = Z, e-i~. (9) 0

Aus (8) und (5) folgt j~tzt fª den Entropieausdruck (6) :

M

S : k N ,~, w i (lg Z + i/~) ----- k N lg Z n u k/~ U. 0 t

(lO)

Wir bet rachten M als sehr grosse Zahl " summieren daher in (9) von 0 bis co. Dann haben ~ i r

1 Z -- - - (11)

1 - - e-~

Man kann auch U durch/~ ausdrª Aus (5), (8) und (9) folgt

M V

M £ ie -i~ d Z 1 1 U = N t • q = N t - - N i - - N i (12)

0 Z d/~ Z � 9 1

Aus dieser le tzten Gleichung l~isst sich der Multiplikator/~ berechnen. Man hat

eS = _ N i - 4 - 1 - - - - M - l - N , / ~ = l g - - M A - N (13) U M M

410 K . F . NOVOB~TZKY

Nach Einsetzen dieser Werte in (11) ergibt sich

Z - - M - b N

N (14)

und nach Einsetzen in (10) folgt nach einigen Umstellungen

S = k { ( M - 4 - N ) I g ( M - b N) -- M l g M - - N l g N } . (15)

Die niichste Aufgabe besteht darin, die Form des Quantes ~ zu bestim men. Zu diesem Zwecke denken wir uns das Energiequant e in Form ron W~irme in die Strahlung hineingebracht. Es geschieht dies, indem mart durch eine Klappe Strahlung derselben Frequenz und Intensitiit, also auch derselben Temperatur, hineinbringt. Da dabei weder V noch v veriindert wird, bleibt auch N konstant. Energie und Temperatur sind jedoch gestiegen, auch die

Entropie ist um den Betrag ~- vergr/issert. Nach (15) kann dies nur durch

eine Veriinderung von M erfolgt sein. Es gilt daher

aS ~ 8S A M 1 A S = - - A M = - - - , oder -- (16)

0M T 0M ~ T

Andererseits folgt nach einem Satze der Thermodynamik

~S 1

OU T

U Denkt man sich in (15) M d u r c h - - e r s e t z t und setzt voraus, ~ sei ron U

ti

abh/ingig, so hat man

OS 8S A M OS U O~ 1 . . . . . . . . ( 1 7 ) OU OM AU OM ~~ OU T

98 Da A U = ~ ist, so zeigt der Vergleich ron (16) und (17), dass o-U Null sein

muss. e ist bei rein thermischen Prozessen unabhiingig ron U. Wir betrachten zweitens eine adiabatische Ver~inderung der Strahlung,

indem wir den Kolben ohne Wiirmezufuhr in den Zylinder schieben. Man weiss aus der klassischen Theorie W. WIENS, dass dabei der Ausdruck v 3V unver- ~indert bleibt. Da bei der Kompression dv sich im festen Verh/iltnis zu v ver- ~ndert, folgt dann aus (1), dass N ebenfalls eine adiabatische Invariante

STATISTISCHE ABLEITUNG DER GEQUANTELTEN STRAHLUNGSENERGIE 411

darstellt. Die Anzahl der stehenden Wellen/indert sich bei einer adiabatischen Kompression nicht. Ebenso bleibt bekanntlich bei einer umkehrbaren adia- batischen )~nderung auch die Entropie S konstant. Dann aber ist aus (15)

U ersichtlich, dass M = - ebenfalls eine adiabatische Invariante sein muss.

e Nun ist uns aus der WI~~schen Theorie eine Invariante/ihnlicher Formbekannt .

Es ist dies der Ausdruck --U. Es gilt also gleichzeitig U-U- = K 1, U_U = K2 ' folglich

K 1 e = v = h v . (18) K-o

Von eminenter Wichtigkeit ist es nachzuweisen, dass h nicht nur eine adiabatische Invariante, sondern eine universelle Konstante bedeutet. Wir betrachten ein Strahlungssystem, das in seinem Anfangszustand durch die

U Werte U, V und v bestimmt ist. Denn V und v bestimmen N, V ira Verein

mit v die Temperatur T. ~qun ver~indern wir das System in der denkbar allgemeinsten Weise. Wir unterwerfen es erstens einer adiabatischen, zweitens

8 einer rein thermischen Ver~inderung. Beim ersten Prozess beh/ilt - - s e i n e n

V

Anfangswert, beim darauffolgenden zweiten bleiben die erreichten Werte ron e und v sogar einzeln konstant, also auch ihr Verh~iltnis. Energie, Volumen, Temperatur und Frequenz des Systems haben sich vollkommen ver~indert,

e der Quotient - - aber hat seinen Anfangswert beibehalten. Betrachtet man

den Endzustand als neuen Anfangszustand, so ist also f ª wieder derselbe

Wert einzusetzen. Genau dieselbe Invarianzeigenschaft besitzt die Wellenzahl N. Wie oben erwiihnt, ist N gleichzeitig eine thermische und adiabatische Invariante. Daraus folgt, dass zwei verschiedene Strahlungssysteme nur dann ineinander ª252 werden k6nnen, wenn sie die gleiche Wellenanzahl besitzen. Um den Beweis bezª h vollst~indig zu machen, ist es noch nStig,

e die Gleichheit v o n - fª zwei beliebig gegebene Strahlungssysteme 1. und 2.

nachzuweisen. Besitzt das System 2. eine grSssere Wellenanzahl als 1. (N2>N1), so sondere man durch Einschieben einer spiegelnden Wand jenes Teilvolumen

8 V-o ab, fª welches NŸ = N 1 wird. Fª dieses abgesonderte Volumen h a t - -

natª denselben Wert wie fª das ursprª Volumen IZo, denn durch das Einschieben der Wand ver~indert sich der innere Zustand der Strahlung

2 nicht. Die Gleichheit ron N2 und N 1 fordert die Gleichheit r on vldvlV 1 und

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2 t v~dv2V Ÿ Die Differentiale dv 1 und dv 2 s tehen ira kons tan ten Verh~iltnis zu v 1 bzw. v2. Es folgt daher die Gleichung v~V~-~ v~VŸ Kompr imie r t man daher das Tei lsystem adiabatisch, bis VŸ den Wer t V 1 erreicht hat , dann wird

auch v 2 = v r Dabei bleibt 82 unveri indert . J e t z t haben beide Systeme das ~2

gleiche Volumen und die gleiche Frequenz. Durch einen nachfolgenden ther- mischen Prozess, der ~2 und v 2, also auch ihr Verh~iltuis unge~indert 1/isst, kann man dann auch die zwei Energien gleieh machen. Die zwei Sys teme sind dann vol lkommen identisch. Es folgt h~ : h 1. Dami t erscheint h als universelle Kons tan te .

OS Die Einf ª der Tempera tu r T erfolgt durch die Gleiehung aU --

1 1 OS 1 : - - , oder -- . Nach Ausf ª der Different iat ion erh~ilt man

T ~ 8M T

und nach (13)

k l g M + N 1

e M T

/~ = - - - (19) k T

Die Energie l~isst sich j e t z t nach (12) einfach niederschreiben

8 zt v z d v V hv U -- (20)

C3 h~ e - - 1

k T

F ª man noeh die Energiediehte pro Volumeneinhei t und Einhe i t des Frequenzinterval les ein, so erh~ilt man die PLANCKsche Gleichung

8~ v ~ h ~v - - c3 hv (21)

e - - - - 1 k T

Der un te r (10) s tehende Ent rop ieausdruck erh~ilt nach Einse tzen des Wertes r o n fl die endgª Forro

_ }~. __U. (22) S ~ - - k N l g 1 - - e -4- T

Da aus (20) ersichtlich ist, dass die Energie aro absoluten Nul lpunkt der Te m pe r a tu r Null wird und zwar von unendl icher Ordnung, so verschwindet

STATISTISCI~IE ABLEITUNG DER GEQUANTELTEN STRAI~LUNGSENERGIE 413

U dort sowohl _z__ und damit auch die Entropie als auch die spezifische W~irme

T 0U

Cv = 0 T " Die Forderungen des dritten Haupsatzes sind erfª

Der Grenzª lim r fª bekanntlich zur RXYLEIGH-- JEArr Formel

87g~ 2 d~ U - - V k T

C 3

und dann wird C v temperaturunabhiingig, verschwindet also aro absoluten Nullpunkt nicht, die Entropie aber wird geradezu unendlich. Der dritte Hauptsatzverbietet daher den Grenzª und fordert die Aufrechter- haltung der endlichen Energiestufen. Die Quantelung ist daher keine besondere Annahme, bedeutet keinen Bruch mit der klassischen Theorie, sondern wird von dieser entschieden gefordert.

Man k6nnte leicht nachweisen, dass aus der Entropieformel (22) -- durch • zur freien Energie -- der MAXWELLsche Strahlungsdruck in der

1 U bekannten Forro p -- folgt.

3 V Zum Schlusse sei noch bemerkt, dass auch die VerteŸ der stehenden

Wellen auf die einzelnen Energieniveaus berechnet werden kann. Aus (8) und (11) folgt

W~ = e kr -- e ~ . (23)

Das Nullniveau i = 0 ist am dichtesten besetzt. Eine Anzahl der stehenden Wellen bleibt unangeregt. Die Besetzungszahlen der steigenden Niveaus bilden eine fallende geometrische Reihe.

Zusammengefasst lauten die Ergebnisse : 1. Die Quantentheorie bedeutet keinen Bruch mit der klassischen

Theorie. Ira Falle der Strahlung wird die Quantelung voto dritten I-Iauptsatz gefordert.

2. Fª die Strahlung ist die BOLTZMAN~sche Statistik zust~indig. 3. Die Form des Quantes r = hv bedeutet keine besondere Annahme,

sondern ergibt sich zwangsl/iufig. 4. Eine Nullpunktsenergie existiert nicht. 5. Die Besetzungszahlen der Energieniveaus k6nr~en berechnet werden. Die herk6mmliche BOLTZMAN~sche Statistik, auf einatomige Gase

angewandt, fª bekanntlich ebenfalls zu Ergebnissen, die dem dritten Hauptsatze widersprechen. Es ergibt sich z. B. eine konstante spezifische W~rme, eine unendliche Entropie fª T = 0. Um dem • zu begegnen, liegt es nahe, die vorhin benutzte Methode auch auf Gase anzuwenden.

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Die endlichen Energies tufen mSgen wieder mit ~ bezeiehnet werden. Die ira Volumen V befindl ichen N Atome werden je tz t nicht auf die Energie- niveaus, sondern auf die e lementaren Phasenzel len verteil t . Man kann alle Resul ta te aus dem Abschni t t der Strahlung ª wenn man die dort angedeute ten Summierungen s ta t t auf Energieniveaus je tz t auf Phasenzellen umdeu te t . Bekannt l ich gehSre zum Niveau Ei die Zellenzahl

2 ~ Z i -- V ( 2 m ) al2 E y 2 dE~ .

h a

In unserem Falle daher, wo E i = ie und dE~ = e, ist

mi t

2=V 1 Zt _ (2m)3/2 ~.~/2 i~/~ = K i - - , (24)

h 3 2

2=V K -- (2m)~/2 ~3/2. (25)

h a

Wie ersiehtlieh, geh6rt zum Nullniveau keine Zelle. Die dort befindl ichen N Atome werden nicht auf Zellen vertei l t . Das ist selbstverstiindlich, denn jede Zelle zeigt eine Bewegungsr ichtung an und f ª unbewegte Atome gibt es keine solche. Bei der Z/ihlung der Atome aber mª die auf der Nullschicht sŸ Atome mitgez~ihlt werden. Es vere infacht die Schreibweise, wenn m a n das Nullniveau zugleich als Zelle be t r ach t e t und Z 0 = 1 setzt. Das soll ira folgenden geschehen.

Bezeichnet man die Anzahl der Zellen (inklusive Z0) mit r, so wird aus (5)

aus (8)

aus (9)

und aus (10)

Ebenso folgt aus (12)

r r ~o w , ~ l , ~~~q U (5')

o N e

e- i /~ W i - - , ( 8 ' )

Z

Z = ~ e -i~, (9') 0

S = k N l g Z -4- kfl U . (10') E

1 dZ U : -- N~ . . . . (12')

Z d~

STATISTISCHE ABLEITUNG DER GEQUANTELTEN STRAHLUNGSENERGIE 41~

Die w i bedeuten jetzt die Verteilungszahlen bezª der Zellen. Aus (8') ergibt sich, dass s~imtlidae Zellen, die dem Energieniveau ir angda6ren, gleida- m/issig mit Atomen besetzt sind. Das bedeutet, dass das Maximum der Entropie automatisch f'ª gleichm/issige Richtungsverteilung der Atome jedweder Energiestufe Sorge tr/igt. Die Summierung ª die Zellen kann leicht in eine solche ª die Energieniveaus umgeiindert werden. Der Exponentialausdruck e - i ~ in (9'), der dem Niveau ir zugeh6rt, ist in Z~. Zellen derselbe. Man hat daher

M M Z = , ~ Z , e - i~ = 1 + K ~ P / 2 e - i # . (26)

i=0 i = l

Da M eine sehr grosse Zahl ist, m6ge die Summierung bis ins Unendliche erstreckt werden. Wir gebrauchen fª die unendliche Reihe das Zeichen s :

s : l~/2e-# + 21/2 e -9~~ -~- . . . -4- q -4- �9 �9 �9 (27)

und schreiben daher Z-- - - 1 + K s . (28)

Die Verteilungszahl bezª der Energieniveaus f2i wird nada (8')

~-~i:Zq -~- Zq (29) Z

OS 1 Um die Temperatur mittels der Gleichung o--• ~ T- einfª zu k6n-

nen, lassen wir vorsidatshalber die M6glidakeit zu, dass /~ von U abh~inge. Von r hingegen setzen wir dies nidat voraus. Gemiiss (10') folgt dann

OS -= k N - - - - - + - - + - -

o u , o~ z ~ • ~ T

Infolge (12') verschwindet der Klammerausdruck und man erhiilt

r und S k N l g Z + U (30) kT T

Zur Bestimmung von e stellen wir die natª Forderung auf, dass sich der Gasdruck nada der hier vorgetragenen Theorie in derselben Forro ergeben soll, wie er durch den Virialsatz festgelegt wird :

2 U p = - - - - (31)

3 F

5 Acta Physica X/4.

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Aus (30) folgt sofort die HELMHOLTzsche freie Energie

F ~- U - - T S = - - k N T lg Z . (32)

Nach einem Satze der Thermodynamik gilt

/~ (33)

Gemiiss den Formeln (25) und (28) erh~ilt man

(34)

1 St Aus dem zweiten Gliede wird nach ( 1 2 ' ) U - - -

OV ª so muss

1 Oe 2 1

e S V 3 V

�9 Soll es mi t (31) und (33)

sein. Daan versehwindet auch das erste Glied und Fª ~ f indet man den Aus- druck

K V~/S

Es ist wohl eine unabweisliche Forderung, dass e nicht von Anfangswerten der Zustandsvariablen, sondern nur voto inneren Zustand des Gases abhiingea soll. Dann ist zu sehreiben

N

[ N/2/s

wo -~- die Teilchendichte 0 bezeichnet und

deren Einheit erg cm 2 betriigt. Je tz t wird

und

a eine universelle Kons tan te ist,

2 ~ (2m)312 Na3/Z" (37) K = h 3

= ao2ia (36) k T

S T A T I S T I S C H E A B L E I T U N G D E R G E Q U A N T E L T E N S T R A H L U N G S E N E R G I E 417

Die klassische Theorie setzt fª die Zustandssumme Z den Ausdruck

co

Z = K ~ q 2 e - i ' d i = K V-~ fl--3/2 O

(38)

Wird dieser Wert in (12') eingesetzt, so erh~ilt man

U -~ 3 N k T . (39) 2

Die spezifisehe W~irme C v bleibt konstant, die Entropie wird fª T ~ 0 negativ unendlich. Der Sachverhalt ist genau derselbe wie ira Falle der Strah-

lung. Wenn man die dortige Zustandssumme Z ~ , ~ e -~~ der Stetigkeit 0

entsprechend durch das Integral

co

f e-i~di -- 1 (40) 1

ersetzt, so folgt fUr U das RAYLEIGH--JEXNSsche Gesetz und negativ unend- liche Nullpunktsentropie. Dureh die Quantelung gestaltet sich die Sache auch fª Gase wesentlich anders. Die Energie U nimmt die Form an

r

K Z ial2 e-ip U = N e o (41)

1 qt_ K ~ ' i�89 -i€ O

Bei T = 0 03 = co) wird U ron unendlicher Ordnung Null, sowohl ~ als T

aueh Cv= [OX~-[ " - " verschwinden dort. DieZustandssumme Z reduziert sich auf ~o l1 r

1~ und die Entropie verschwindet ebenfalls. Es zeigt sŸ dass auch ira Bereiehe der Gase der stetige Charakter der Energie voto dritten I-Iaupsatz verworfen und die Quantelung entschieden gefordert wird.

Solange Ks �87 1 bleibt, kann die ira Nenner ron (41) stehende 1 vernaeh- I/issigt werden und U nimmt die einfachere Forro

r

,~, is/2 e- i'~ U = - N e o

co

i l l2 e-iP O

(42)

5*

4 1 8 K . F . NOVOB�93

ah. Ira Falle nicht zu grosser/~ ist diese N/iherung sicher zul/issig. Dann f ª auch die •ertei lungszahlen w i zur bekannten MAXWELLschen Vertei lung

e - i~ e - i ~ ~3/2 e - ~"~ h a . . . . . . . . (43)

wi Ks 2:r V~ (2m :rkT)3/2 V h 3 (2m)3/2 Veaq 2

Bezª der Kons t an t e a ist noch folgendes zu bemerken. Man k~nnte sich sehr wohl denken, das Quant ~ und daher auch a sei f ª jedes Gas ver- schieden. Dann kfinnte m a n a in seiner Abh~ingigkeit r o n m in der Forro ansetzen

h 2 a = a - - , (44)

2m

h 2 da - - ebenfalls die Einhei t erg cm 2 besitzt. Die GrSsse a wiire dann eine dimen-

m sionslose Kons tan te , wie z. B. die Fe ins t ruk tu rkons tan te . In diesem Falle folgt

K = 2~tNa a/2 . (45)

Die Verschiedenheit der Gase wª sich dann nur in/~, also in der Summe s auswirken, K wiire f ª jedes Gas dasselbe. I s t aber a eine universelle Kons tan te , so s t ª der Sachverhal t gerade umgekehr t , s wiire unabhiingig r o n m und der Unterschied der Gase kiime nur in K zum Ausdruck. Der Ums tand , dass die Energie zweier Gase mi t gleichem N, ~ und T erfahrungsgemiiss die gleiche ist, spricht ira Sinne der Formel (42) f ª die letztere Auffassung.

2 U Die Zus tandsgle ichungp . . . . . . zeigt f ª isotherme Kompress ion das

3 V Anste igen des Druckes bis zu einem Maximum und dann infolge wachsender Dichte das Herabs inken auf Null f ª lira V--~ 0.

He r r Prof. A. R~NYI ha t te die Freundl ichkei t , die Reihe s = ~ i~e -i~ 0

zu untersuchen. E r stellte fest, dass der Unterschied der Reihe vom Integral-

wer t [ i~ e-i~ di = /~ - ~ f ª kleine/~ ein prakt isch kleiner ist : 0

lim/~ --+ 0 ..~~~ i~r e- i~ = V~ 3 0 -~-/~ ~" -- 0-2078. (46)

Die Konvergenz erfolgt so langsam, dass man f ª kleine ~ getrost den Integral- we r t benutzen kann. Ich spreche Her rn Prof. R~~YI auch an dieser Stelle meinen besten Dank aus. Wann /~ klein ist, h~ingt nat ª in erster Reihe vo to Wer te a ab. Eine Bes t immung dieser Grfisse w~re sehr wª

STATISTISCHE ABLEITUNG DER GEQUANTELTEN STRAHLUNGSENERGIE 419

2 U g l e i c h u n g p - -

3 T D i v i d i e r t m a n

so fo lg t

Z u m Sch lusse sei noch d a r a u f h i n g e w i e s e n , dass m a n aus d e r Z u s t a n d s - 2

l e i ch t die a d i a b a t i s c h e I n v a r i a n z v o n U V ~ e r r e c h n e t .

U V ~ = K d u r c h e : a ,

U K . . . . . K ' (47) 2 ~

e aN~

U Es i s t d a h e r - - s o wie i m Fa l l e d e r S t r a h l u n g , e ine a d i a b a t i s c h e I n v a r i a n t e .

C T A T H C T H q E C ~ A ~ TPAI,(TOBI~A I~BAHTOBAHHblX 14 FA3A

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