STATISTISCHE LERNMETHODEN

Bayes‘sches LernenMAPMaximum Likelihood

Hauptquelle:

Artificial Intelligence: A Modern Approach

Stuart J. Russel, Peter Norvig

Beispiel 1

Gegeben: 2 Arten von Bonbons (Kirsche, Zitrone)5 Arten von Bonbontüten(äußerlich ununterscheidbar): 100% Kirsche (h1) 75% Kirsche, 25% Zitrone (h2)

50% Kirsche, 50% Zitrone (h3)

25% Kirsche, 75% Zitrone (h4)

100% Zitrone (h5)

Optional: (Vom Hersteller) gegebene Häufigkeitsverteilung der verschiedenen Tütensorten

Beispiel 1

Erhebung von Daten = Herausnehmen einzelner Bonbons und „prüfen“ des

Geschmacks

d = d1, … , dN sind die Daten

di = kirsche oder di = zitrone

h1, … , h5 sind die Hypothesen

Aufgabe / Problemstellung: Vorhersage des nächsten (bzw. der nächsten) Bonbons

Bayes‘sches Lernen

Bayes‘sches Lernen: Berechnen der Wahrscheinlichkeit jeder

Hypothese und Vorhersage auf dieser Basis

ALLE Hypothesen werden (gewichtet nach ihrer jeweiligen Wahrscheinlichkeit) verwendet, nicht nur eine „beste“ Hypothese

Beispiel 1

(1) P(hi|d) = α P( d|hi) P(hi) mit α = P(d)-1

(2)

=> Vorhersage = gewichteter Mittelwert der

Vorhersagen der Einzelhypothesen

Beispiel 1

Grundannahme bei diesem Beispiel: Das Auswerten von Daten verändert nicht

die Bonbonanteile in der untersuchten Bonbontüte,

d.h. die einzelnen „Bonbonziehungen“ sind voneinander (stochastisch) unabhängig

Dann gilt: P(d|hi) = P(d1|hi) P(d2|hi)…P(dn|hi)

Beispiel 1

Die (a-priori-) Wahrscheinlichkeiten für h1,…,h5 seien z.B.

( 0,1 ; 0,2 ; 0,4 ; 0,2; 0,1 )

Die ersten 10 gezogenen Bonbons seien allesamt Zitronenbonbons:

d = (d1,…,dn) = (zitrone,…,zitrone)

Unter der Annahme einer jeden Hypothese hat eine solche Ziehung dann eine bestimmte Wahrscheinlichkeit, so z.B.

P(d|h3) = 0,510

Entwicklung der a-posteriori-Wahrscheinlichkeiten der Hypothesen und der Vorhersage

P(hi|d) = α P(d|hi) P(hi)

Dominanz der wahren Hypothese bei der Bayes‘schen Vorhersage

Typischer Effekt: wahre Hypothese dominiert nach einer bestimmten Datenmenge die Bayes‘sche Vorhersage

„Grund: Die Wahrscheinlichkeit, durch Zufallsziehungen uncharakteristische Daten zu produzieren, wird mit zunehmender Datenmenge verschwindend gering.“

Bewertung des Bayes‘schen Lernens

Bayes‘sches Lernen ist insofern optimal, als dass jede andere Vorhersagemethode weniger oft richtig liegen würde.

Der Preis dafür: in realen Situationen gibt es meist zuviele Hypothesen und die Summenbildung (im kontinuierlichen Fall: Integration) in Gleichung (2) ist nicht (oder nicht effizient) durchführbar

=> Notwendigkeit einer sinnvollen Approximation

MAP-Approximation

Populäre Approximationsmöglichkeit:Vorhersage auf Basis

EINER wahrscheinlichsten Hypothese

D.h., bei gegebenen Daten wird diejenige Hypothese hi zur Vorhersage herangezogen, die

P(hi|d) maximiert („maximum a posteriori hypothesis“, hMAP)

MAP-Approximation

Im obigen Beispiel 1 wäre damit nach 3 geprüften Bonbons die Vorhersage aller folgenden Bonbons durch MAP, dass mit Wahrscheinlichkeit 1,0 Zitronenbonbons folgen werden

( sicherlich eine viel gefährlichere Prognose als die vom reinen Bayesverfahren zu diesem Zeitpunkt berechnete Wahrscheinlichkeit von 0,8 für Zitronenbonbons )

Vergleich MAP & Bayes

Vorhersagen des reinen Bayesverfahrens und MAP nähern sich mit zunehmender Datenmenge an

In vielen realen Situationen ist die

Vorhersage durch hMAP deutlich einfacher bestimmbar

Weitere Vereinfachung

Eine weitere populäre Vereinfachung wird angewendet, wenn alle Ausgangshypothesen gleich wahrscheinlich sind bzw. keine genaueren Vorkenntnisse vorhanden sind.

Dadurch reduziert sich MAP, also die Maximierung von P(hi|d) = α P(d|hi) P(hi)

auf eine Maximierung von P(d|hi)

Maximum Likelihood

Diese Methode wird als Maximum-Likelihood-Methode

bezeichnet und die auf diese Weise bestimmte und zur Vorhersage verwendete Hypothese

hML bzw. ML-Hypothese

Die so gewonnene Vorhersage ist in aller Regel eine gute Näherung zur Bayes‘schen und MAP-Vorhersage, sofern die Datenmenge groß genug ist

Beispiel 2

Gegeben:Wie Beispiel 1, aber diesmal gibt der Hersteller

keine Proportionen (Tütensorten) an.

Kontinuum von Hypothesen anstatt diskreter Hypothesenmenge

Parameter θ ist Anteil der Kirschbonbons in der untersuchten Tüte, mögliche Hypothesen heißen hθ

A priori sind alle hθ gleich wahrscheinlich, also wird ML-Methode angewendet

Beispiel 2

Daten: N geöffnete Bonbons, c davon Kirsche, l = N-c

Zitrone

P(d|hθ) = P(d1|hθ)…P(dN| hθ) = θc(1-θ)l

ML-Hypothese durch θ gegeben, welches P(d|hθ) maximiert

L(d|hθ) = log P(d|hθ) = c log θ +l log (1-θ)

Beispiel 2

Bestimmung des Maximums dieser Funktion:

hML ist (wie erwartet) die Hypothese, dass der Anteil der Kirschbonbons in der Tüte gleich dem beobachteten Anteil der Kirschbonbons unter den geprüften Bonbons ist

Allgemeine Vorgehensweise

Das Beispiel ist zwar einfach, stellt aber die wesentlichen Schritte der allgemeinen Methode gut dar:

1) Ausdruck für Wahrscheinlichkeit der Daten als Funktion der Parameter finden

2) Den Logarithmus dieser Funktion nach jedem Parameter ableiten

3) Maximierende Parameter als Nullstellen der Ableitung bestimmen(insbesondere dieser letzte Schritt ist in der Praxis häufig der schwierigste)

Probleme der ML-Methode

Ebenfalls zeigt das Beispiel schon eines der Hauptprobleme der Methode auf:

Bei geringer Datenmenge (wenn z.B. einige mögliche Variablenwerte noch kein einziges mal vorkamen) ergibt die ML-Methode 0-Wahrscheinlichkeiten für diese Ereignisse, was häufig nicht der Realität entspricht

Eine mögliche Lösung ist das vorherige Initialisieren aller Ereigniszähler auf 1 (sodass jeder mögliche Variablenwert zumindest ein Mal in die Rechnung einfließt)

Beispiel 3 (mehrere Parameter)

Gegeben: Gleiche Situation wie in Beispiel 2, aber als „Hinweis“ färbt der Hersteller das Bonbon-papier eines jeden Bonbons in probabilistischer Abhängigkeit vom Bonbongeschmack:

F = Farbe, G = GeschmackP(G = kirsche) = θP(F=rot|G = kirsche) = θ1, P(F=rot|G = zitrone)

= θ2

Dies ist also ein Modell mit 3 Parametern und den möglichen Hypothesen hθ,θ1,θ2

Beispiel 3 (mehrere Parameter)Wie vorher wird wieder von N geöffneten

Bonbons ausgegangen, wovon c Kirsch- und l Zitronengeschmack haben.

Außerdem sind rc der Kirschbonbons in rotem Bonbonpapier, gc in grünem vorgefunden worden, entsprechend rl bzw. gl für die Zitronenbonbons.

Beispiel 3 (mehrere Parameter)

P(d|hθ,θ1,θ2) = θc(1-θ)l θ1

rc(1-θ1)gc θ2rl(1-θ2)gl

L(d|hθ,θ1,θ2) = c log θ + l log (1-θ)

+ rc log θ1 + gc log (1-θ1)

+ rl log θ2 + gl log (1-θ2)

Beispiel 3 (mehrere Parameter)

Vollständige Daten => unabhängige Gleichungen

Beobachtung an diesem Beispiel (gilt auch im Allgemeinen):

Vollständige Daten (d.h. wenn jeder Mess- bzw. Datenpunkt Werte für alle involvierten Variablen enthält) führen zu unabhängigen Gleichungen (und sind daher gut lösbar)

Zusammenfassung

Bayes‘sches Lernen ist in einem bestimmten Sinn optimal, was aber durch eine in der Realität häufig ineffiziente und unpraktikable Rechnung (in Form von Summenbildung über sehr viele Summanden oder schwierige Integration) erkauft wird.

Die MAP-Methode ist eine sinnvolle Näherung an Bayes‘sches Lernen, deren Güte allerdings von der verfügbaren Datenmenge abhängt. Sie ist häufig deutlich leichter berechenbar, kann aber bei geringer Datenmenge ausartende Ergebnisse liefern, was nur teilweise durch Modifikationen an der Methode ausgeglichen werden kann.

Die Maximum-Likelihood-Methode ist ein Spezialfall der MAP-Methode und hat damit weitgehend die gleichen Vor- und Nachteile. Sie ist noch einfacher berechenbar, vernachlässigt allerdings jegliches eventuelle Vorwissen über die a-priori-Wahrscheinlichkeitsverteilung der verfügbaren Hypothesen.